GET-Skript Kapitel2

Seite 16
GET-Skript
2
Der Stromkreis
2.1 Bewegte Ladungen
Bei nicht homogener Verteilung positiver und negativer Ladung:
Aufbau eines elektrischen Feldes E
- Kraft F = q ⋅ E auf jede Ladung q
- Antriebskraft (elektromotorische Kraft, EMK) für Ausgleichsvorgang ist vorhanden.
- Wenn Verbindungsweg vorhanden, kann der Ausgleich durch
Bewegung der Ladung stattfinden.
Beispiel: Zwei Metallplatten mit Elektronenüberschuß (-), bzw.
Elektronenmangel (+).
Elektronenüberschuß
−−
Elektronenmangel
−
−−
++
+
++
Bewegungsrichtung
der Elektronen
Stromrichtung
nach Definition
Leiter
Man kann den Ausgleichsvorgang als Funktion der Zeit beobachten.
- Kupferdraht, Silberdraht usw.: schneller Ausgleich
- Holzstab, Faden usw.: langsamer Ausgleich,
d.h. transportierte Ladungsmenge pro Zeit ist unterschiedlich.
Man definiert: Die elektrische Stromstärke I ist die pro Zeiteinheit
durch einen gegebenen Querschnitt hindurchfließende Ladungsmenge I = δq ⁄ δ t .
Für zeitlich veränderliche Ströme wählt man δt → 0 , also
I = dq / dt
Definition der Stromstärke
Die Einheit der Stromstärke heißt Ampere (Basiseinheit im
MKSA-System) ; [ I ] = A = Ampere
Der Stromkreis
Seite 17
2.2 Quellen
Beim Ausgleichsvorgang kommt die Antriebskraft ( E -Feld, EMK
bzw. Spannung U) aus der ungleichen Ladungsverteilung nimmt
also zeitlich ab.
Einen Gleichstrom erhält man, wenn die Elektromotorische Kraft
(EMK), auch Quellspannung bzw. Urspannung trotz des fließenden Stromes I konstant bleibt, wenn also zur Erhaltung des Überschusses (-) bzw. Mangels (+) Ladung nachgeliefert wird
.
Dies geschieht durch
-
chemische Vorgänge (Batterien, Akkumulatoren),
mechanische Ladungstrennung (Reibung usw.),
Induktionsvorgänge (Generatoren),
photoelektrischen Effekt (Solarzellen)
wobei mechanische, chemische Energie bzw. Strahlungsenergie in
elektrische Energie umgewandelt wird.
Es wird also zwischen zwei Polen eine konstante Spannung erzeugt, man spricht von einer Spannungsquelle
+ Pluspol
U
Zählpfeil
- Minuspol
Der Zählpfeil wird so definiert, daß er vom positiven Pol (Elektronenmangel) zum negativen Pol (Elektronenüberschuß) zeigt.
Die technische Stromrichtung (Zählpfeilrichtung) ist also der Bewegungsrichtung der Elektronen entgegengesetzt und stimmt mit
der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger überein (z.B. mit
der Bewegungsrichtung positiver Ionen)
Verbindet man beide Pole einer Quelle mit einem Leiter, so fließt
ein Strom konstanter Stärke an jeder Stelle dieses Stromkreises,
also ein Gleichstrom.
Seite 18
GET-Skript
2.3 Stromstärke und Stromdichte
Beschreibung der Stromstärke ist möglich
dq
- entweder über I = -----dt
- oder durch Ladungsdichte ρ und Geschwindigkeit v der Ladungsträger, die durch Leiterquerschnitt A laufen.
δq
Ladung
Ladungsdichte ρ = ------- = ----------------------δV
Volumen
δl
A
δQ
δV
Bei gleichförmiger Geschwindigkeit v der Ladungsträger und bei
gleichförmiger Verteilung über den senkrechten Querschnitt A, ist
I = δ q ⁄ δ t = ρ ⋅ δV ⁄ δt = ρ ⋅ A ⋅ δl ⁄ δt = ρ ⋅ A ⋅ v
oder I ⁄ A = ρ ⋅ v
Man bezeichnet I/A = Strom pro Fläche als Stromdichte S, also
S = ρ ⋅ v . Im allgemeinen ist aber die Geschwindigkeit der Ladungsträger nicht gleichförmig und senkrecht zum Querschnitt A
und die Stromdichte S ist ein Vektor, dessen Richtung durch die
Bewegungsrichtung der Ladungsträger festgelegt wird zu
S = ρ⋅v
Die Stromdichte ist also an unterschiedlichen Stellen des Leiters
unterschiedlich, hängt vom Ort (x,y,z) ab und ist demzufolge ein
Feld (Strömungsfeld), also genauer
S ( x, y, z ) = ρ ⋅ v ( x, y, z )
Berechnet man den Fluß dieses Vektorfeldes (siehe Werkzeuge,
1.4.1), so läßt sich leicht der Gesamtstrom I durch einen beliebigen
Leiterquerschnitt A berechnen.
Der Stromkreis
Seite 19
dA
v, S
Für ein Flächenelement d A ist der Teilfluß
S ⋅ d A = ρ ⋅ v ⋅ d A = ρ ⋅ v ⋅ dA ⋅ cos α
Zerlegt man v bzw. S in Komponenten parallel bzw. senkrecht zur
Oberfläche des Elements d A , so ist in der obigen Gleichung
v ⋅ cos α = v ⊥ die senkrechte Komponente von v und
S ⋅ d A = ρ ⋅ v ⊥ ⋅ dA
Für senkrecht zur Oberfläche mit v = v ⊥ laufende Ladungen galt
aber dI ⁄ dA = ρ ⋅ v ⊥ . Dann ist
S ⋅ d A = ρ ⋅ v ⊥ ⋅ dA = ( dI ⁄ dA ) ⋅ dA = dI
und für die gesamte Fläche A ist I =
I =
∫ A dI
=
∫A S d A
=
∫ A dI
und somit
∫A ρ ⋅ v d A
Also: Gleiche Stromstärke I aus vielen Ladungsträgern (großes ρ )
bei kleiner Geschwindigkeit v oder wenigen Ladungsträgern bei
großer Geschwindigkeit oder bei beliebiger Geschwindigkeitsverteilung.
Ebenso: Gleiche Stromstärke I aus positiven Ladungsträgern ρ
mit positiver Geschwindigkeit v wie aus negativen Ladungsträgern - ρ mit negativer Geschwindigkeit - v oder beliebiger Mischung.
Merke: Bis auf wenige Ausnahmen (z. B. Hall-Effekt) hängen die
äußeren Wirkungen des Stromes I nicht vom Vorzeichen der beteiligten Ladungsträger ab. Daher kann in E-Technik festgelegt werden: Flußrichtung des Stromes ist Bewegungsrichtung der positiven Ladungen.
Seite 20
GET-Skript
Beachte: Nach 1.4.1 war Ψ = ∫ v ⋅ d A das (Volumen/Zeit) das
A
sich durch A bewegte. Dann ist ρ ⋅ Ψ = ∫ ρ ⋅ v ⋅ d A = ∫ S ⋅ d A ,
A
A
also ( Ladungsdichte ⋅ Volumen ⁄ Zeit ) die Ladung, die sich pro
Zeit durch den Leiterquerschnitt bewegt, also der Strom I.
2.4 Potentielle Energie einer Ladung und Spannung
Ohne Magnetfeld ( B = 0 ) ist die Kraft im elektrischen Feld E
auf Ladung q gegeben durch F = q ⋅ E und die Energie, die eine
Ladung q bei Bewegung im E -Feld aufnimmt (die potentielle Engerie der Ladung), ist
– dW = F ⋅ ds = q ⋅ E ⋅ ds
δs
δs
q
m
E
Erdfeld
Beachte: Bei Bewegung in Feldrichtung ist dW = – ( q ⋅ E ⋅ ds )
negativ d. h. die Ladung verliert potentielle Energie. (Vergleiche:
Masse, die in Richtung des Erdfeldes fällt, verliert Energie!)
Die Änderungen dW der potentiellen Energie Wab auf dem Weg
von a → b einer Ladung kann man aufsummieren zu
–W ( a → b ) =
b
∫a q ⋅ E ⋅ ds .
Man kann plausibel machen (und später beweisen), daß die Energieänderung W ( a → b ) nur von der potentiellen Energie W(a) im
Punkt a und W(b) im Punkt b und nicht vom Weg des Ladungsträgers abhängt. W(a) und W(b) sind der Ladung proportional und
man schreibt deshalb
W ( a ) = q ⋅ ϕ ( a ) bzw. W ( b ) = q ⋅ ϕ ( b )
und nennt ϕ ( a ) bzw. ϕ ( b ) das Potential von Punkt a bzw. von
Punkt b. Dann ist aber
b
– W ( a → b ) = – q ⋅ [ ϕ ( b ) – ϕ ( a ) ] = q ⋅ ∫ q ⋅ E ⋅ ds
a
Der Stromkreis
Seite 21
Die Potentialdifferenz [ ϕ ( a ) – ϕ ( b ) ] spielt in der Elektrotechnik
eine wichtige Rolle. Sie bekommt einen eigenen Namen Uab und
heißt elektrische Spannung. Es ist also
U ab = ϕ ( a ) – ϕ ( b ) =
b
∫a E ⋅ ds
Spannung, Potentialdifferenz
Die Richtung a → b ist die Zählpfeilrichtung der (skalaren) Spannung.
Die Einheit der Spannung ist 1 Volt, also [ U ] = 1Volt = 1V
2.5 Metallische Leiter
2.5.1 Leitungsmechanismen
Pro Atom gibt es wenigstens ein freies Elektron, d.h. wenigstens
circa 1023/cm3. Sie bewegen sich ungeordnet wie Gasmoleküle,
ohne Vorzugsrichtung.
Bei einer Spannung Uab zwischen den Enden des Leiters ist ein E Feld vorhanden, d.h. Kraft F = – e ⋅ E beschleunigt alle Elektronen in Richtung - E .
Nach kurzer Laufstrecke erfolgen Stöße mit dem „Atomgitter“ und
Streuung der Elektronen in alle Richtungen (Flipper).
Also: Beschleunigung wird nach kurzer Zeit unterbrochen und
v e = b ⋅ t bleibt klein. Nur eine mittlere Driftgeschwindigkeit v ,
die proportional zu E ist, stellt sich ein:
v = –µe ⋅ E
Die Proportionalitätskonstante µ e heißt Beweglichkeit der Elektronen.
Sind N Leitungselektronen im Volumen V, so ist durch n = N/V und
die Elementarladung -e auch die Ladungsdichte ρ = – n ⋅ e bekannt.
Mit ρ und v läßt sich aber auch S berechnen
S = ρ ⋅ v = ( –n ⋅ e ) ⋅ ( –µe ⋅ E ) = κ ⋅ E
Seite 22
GET-Skript
Die Proportionalitätskonstante κ = µ e ⋅ e ⋅ n faßt die Materialeigenschaften zusammen und heißt spezifische Leitfähigkeit.
Der Kehrwert ρ R = 1/ κ heißt spezifischer Widerstand.
Bei konstanter Temperatur ist in Metallen κ (praktisch) konstant,
also unabhängig von S und E (Ohm‘sches Gesetz).
2.5.2 Anwendung des Ohm‘schen Gesetzes
In der Praxis verwendet man häufig metallischer Leiter der Länge
l mit Querschnitt A. Dann verläuft auch E in Leiterrichtung und
damit in Richtung des Wegelements ds . Es gilt Spezialfall 1 für
das Linienintegral und die Spannung Uab ist
l
A
a
U ab =
b
Uab
∫a E ⋅ ds
b
b
= E ⋅ ∫ ds = E ⋅ l ,
a
Mit E ist auch die Stromdichte S = κ ⋅ E überall gleich und parallel zur Flächennormalen, d.h. zur Berechnung des Stromes gilt
bei der Integration Spezialfall 1
I =
oder
∫A S ⋅ d A
= S ⋅ ∫ dA = S ⋅ A
A
I = κ⋅E⋅A
zusammen mit U ab = E ⋅ l ergibt sich eine Beziehung zwischen
Spannung Uab und Strom I
ρR ⋅ l
l
U ab = ----------- ⋅ I = ------------ ⋅ I
κ⋅A
A
Diese Beziehung zwischen den integralen Größen Uab und I wurde durch Integrieren der Beziehung zwischen E und S gewonnen.
Der Stromkreis
Seite 23
Man nennt die Proportionalitätskonstanten zwischen U und I den
elektrischen Widerstand R des Leiters, also
R = l ⁄ ( κ ⋅ A ) bzw. R = ρ R ⋅ l ⁄ A elektrischer Widerstand
Den Kehrwert nennt man den elektrischen Leitwert G, also
G = 1 ⁄ R elektrischer Leitwert
Damit kann man also schreiben
U = R⋅I
oder
I = G⋅U
Ohm‘sches Gesetz
Bei konstanter Temperatur ist R bzw. G in Metallen konstant
(Ohm‘sches Gesetz) und somit sind Spannung und Stromstärke
einander proportional. Dies ist gleichwertig mit der differentiellen
Form
E = ρR ⋅ S
S = κ⋅E
oder
Der ohm‘sche Widerstand R bzw. der Leitwert G sind wichtige
Größen in der Elektrotechnik und die Einheiten [ R ] bzw. [ G ] erhalten eigene Namen
[ R ] = 1Ohm = 1Ω = 1V ⁄ A ;
[ G ] = 1Siemens = 1S = 1 A ⁄ V ;
Die Einheiten der Konstanten ρ R und κ sind somit
[ ρ R ] = Ω ⋅ m und [ κ ] = S ⁄ m
2.5.3 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Im allgemeinen ist R temperaturabhängig, also: R = R(T), z.B. bei
Kupfer:
ρR
Ωm
6 ⋅ 10
–8
4 ⋅ 10
–8
2 ⋅ 10
–8
T;ρR(T)
T0;ρR0
T
0
200
400
600
K
Da ρ in einem großen Bereich linear mit der Temperatur geht,
Seite 24
GET-Skript
kann man von ρ RO auf ρ R ( T ) schließen
ρ R ( T ) = ρ R0 ⋅ ( 1 + α ( T – T 0 ) ) .
Die Konstante ρ RO ist der spezifische Widerstand bei T = T 0 ; α
hängt i. a. etwas von der Wahl von T o ab.
°
Z.B. wird für T 0 = 20 = 293K der Wert von α mit α 20 gekenn–3
zeichnet und beträgt α 20 = 3, 93 ⋅ 10 ⁄ K .
Dieser Temperaturkoeffizient α ist bei vielen Stoffen positiv, bei
manchen auch negativ.
Für manche Anwendungen möchte man eine möglichst geringe
Temperaturabhängigkeit, also α ≈ 0 . Dies läßt sich bei einigen Legierungen erreichen, z. B. Konstantan (54% Cu, 45% Ni, 1% Mn)
–3
mit α = - 0.0035 ⋅ 10 ⁄ K .
Wenn der lineare Bereich für die geforderte Berechnung zu klein
ist oder die Linearität zu gering ist, verwendet man auch eine quadratische Näherung:
2
ρ R ( T ) = ρ R0 ⋅ ( 1 + α ⋅ ( T – T 0 ) + β ⋅ ( T – T 0 ) )
Bei einigen Metallen geht ρ R ( T ) bei T = 0 nicht exakt auf den
Wert Null.
Bei Supraleitern springt ρ R ( T ) bereits unterhalb einiger K auf exakt Null (z. B. in Quecksilber bei 4,2K).
Ωm
ρR
T
K