III INTERPOLATION MIT SPLINES III.A. Splines. Die Interpolation mit

III INTERPOLATION MIT SPLINES
S. BARTELS, 28.5.2014
III.A. Splines. Die Interpolation mit Polynomen erfordert hohe Regularitätseigenschaften von Funktionen, um kleine Fehler zu garantieren. Um
auch Funktionen, die beispielsweise nur f ∈ C 1 ([a, b]) erfüllen, mit hoher Genauigkeit zu approximieren, wird das Intervall [a, b] in Teilintervalle zerlegt
und auf jedem Teilintervall eine polynomielle Interpolation durchgeführt.
An den Übergängen zwischen den Teilintervallen müssen geeignete Stetigkeitsbedingungen gestellt werden.
Definition III.1. Für eine durch a = x0 < x1 < ... < xn = b definierte
Partitionierung Tn von [a, b], heißt eine Funktion s : [a, b] → R Spline vom
(polynomiellen) Grad m ∈ N0 und von der (Differenzierbarkeits-) Ordnung
k ∈ N0 , falls s ∈ C k ([a, b]) und s|[xi−1 ,xi ] ∈ Pm |[xi−1 ,xi ] , i = 1, 2, ..., n, gilt.
Es bezeichne S m,k (Tn ) den Raum aller Splines vom Grad m bezüglich Tn .
Splines vom Grad m = 1, 2, 3 der Ordnung m−1 heißen lineare, quadratische
beziehungsweise kubische Splines.
Bemerkung III.2. Häufig wird bei Splines nur die Differenzierbarkeitsordnung k = m − 1 betrachtet und dann S m (Tn ) statt S m,m−1 (Tn ) geschrieben.
Dies ist die maximale Ordnung, für die der Polynomraum Pm ein echter
Teilraum von S m,k (Tn ) ist. Für k ≥ m gilt hingegen Pm |[a,b] = S m,k (Tn ).
Satz III.3. Für gegebene Werte y0 , y1 , ..., yn existiert genau ein linearer Spline s ∈ S 1,0 (Tn ) mit s(xi ) P
= yi für 1
s
s0
n
y
s
i = 0, 1, ..., n. Dieser ist gegeben durch s =
s2
i
i
i=0
mit den Hutfunktionen (s0 , s1 , ..., sn ) ∈ S 1,0 (Tn ), die durch
x0 x1 x2 x3
si (xj ) = δij für 0 ≤ i, j ≤ n definiert sind.
Beweis. Siehe Vorlesung.
Satz III.4. Die Dimension des Raums
S m,m−1 (T
n)
ist n + m.
Beweis. Siehe Vorlesung.
Bemerkungen III.5. (i) Bei n + 1 Stützstellen müssen neben n + 1 Interpolationsbedingungen s(xi ) = yi , i = 0, 1, ..., n, weitere m − 1 Bedingungen
gestellt werden, um s ∈ S m,m−1 (Tn ) eindeutig festzulegen.
(ii) Ist m ungerade und f ∈ C m+1 ([a, b]), so kann ein interpolierender Spline s ∈ S m,(m−1)/2 (Tn ) durch stückweise Lagrange- beziehungsweise HermiteInterpolation definiert werden mit der Eigenschaft
kf − skC 0 ([a,b]) ≤
hm+1
kf (m+1) kC 0 ([a,b]) ,
(m + 1)!
1
S. BARTELS, 28.5.2014
2
wobei h = maxi=1,...,n xi − xi−1 sei.
III.B. Kubische Splines. Während lineare Splines Knicke haben und quadratische Splines unstetige zweite Ableitungen besitzen, die bei praxisrelevanten Auflösungen gut wahrgenommen werden können, erscheinen kubische
Splines als sehr glatt.
Definition III.6. Für eine Partitionierung Tn = {x0 , x1 , ..., xn } des Intervalls [a, b] und Stützwerte y0 , y1 , ..., yn besteht die Interpolationsaufgabe
mit kubischen Splines in der Bestimmung einer Funktion s ∈ S 3,2 (Tn ) mit
s(xi ) = yi für i = 0, 1, ..., n unter Berücksichtigung einer der folgenden
Randbedingungen:
(N) natürliche Randbedingungen, das heißt s00 (a) = 0 und s00 (b) = 0;
(1)
(H) vollständige oder Hermite-Randbedingungen, das heißt s0 (a) = y0
(1)
(1) (1)
und s0 (b) = yn mit gegebenen Zahlen y0 , yn ∈ R;
(P) periodische Randbedingungen, das heißt s0 (a) = s0 (b) und s00 (a) =
s00 (b), wobei zusätzlich y0 = yn gelte.
Die kubische Spline-Interpolation lässt sich interpretieren als das Fixieren einer dünnen Holzleiste durch gegebene Punkte. Mathematisch bedeutet dies, dass interpolierende kubische Splines minimal für eine linearisierte Biegeenergie sind, wie die folgende Aussage zeigt. x0 x1 x2
x3
Satz III.7. Sei s ∈ S 3,2 (Tn ) eine Lösung einer kubischen Spline-Interpolationsaufgabe und sei g ∈ C 2 ([a, b]) eine beliebige Funktion, die die Interpolationsbedingungen g(xi ) = yi , i = 0, 1, ..., n, sowie dieselben Randbedingungen wie s erfüllt. Dann gilt
Z b
Z b
Z b
00
2
00
2
|s (x)| dx +
|(s − g) (x)| dx =
|g 00 (x)|2 dx.
a
Beweis. Siehe Vorlesung.
a
a
Aus dem vorangegangenen Satz folgt die Wohlgestelltheit der Interpolationsaufgabe, die hier nur für vollständige Randbedingungen bewiesen wird.
Satz III.8. Es existiert eine eindeutige Lösung der Interpolationsaufgabe
mit kubischen Splines und vollständigen Randbedingungen.
Beweis. Siehe Vorlesung.
III.C. Berechnung kubischer Splines. Aufgrund der Regularitätsbedingung s ∈ C 2 ([a, b]) lassen sich interpolierende kubische Splines nicht lokal
bestimmen und es muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden, um
eine Darstellung in der Monombasis auf jedem Teilintervall zu erhalten.
Satz III.9. Für eine Partitionierung x0 < x1 < ... < xn und gegebene
Werte y0 , y1 , ..., yn sei s ∈ S 3,2 (Tn ) mit s(xi ) = yi , i = 0, 1, ..., n. Dann
III INTERPOLATION MIT SPLINES
3
erfüllen die Ableitungen γi = s00 (xi ), i = 0, 1, ..., n, die Gleichungen
γi (hi+1 + hi ) 4γi+1
γi+2
yi+2 − yi+1 yi+1 − yi
−
,
+
+ hi+1
=
6
2
6
6
hi+1
hi
für i = 0, 1, ..., n − 2, wobei hi = xi+1 − xi sei. Mit den Größen
yi+1 − yi γi
di
γi+1 − γi
bi =
− hi − h2i , di =
hi
2
6
hi
folgt dann auf jedem Teilintervall [xi , xi+1 ], i = 0, 1, ..., n−1, die Darstellung
γi
di
s|[xi ,xi+1 ] = yi + bi (x − xi ) + (x − xi )2 + (x − xi )3 .
2
6
Beweis. Siehe Vorlesung.
hi
Im vorangegangenen Satz wurden n − 1 Gleichungen hergeleitet, die von den
n+1 Ableitungen γi = s00 (xi ), i = 0, 1, ..., n, erfüllt werden müssen. Die Hinzunahme von zwei Randbedingungen vervollständigt das Gleichungssystem.
Beispiel III.10. Für ein äquidistantes Gitter, das heißt es gilt hi = h für
i = 0, 1, ..., n − 1, und die natürlichen Randbedingungen s00 (x0 ) = s00 (xn ) = 0
beziehungsweise γ0 = γn = 0 sind die Größen γ1 , γ2 , ..., γn−1 als Lösung des
tridiagonalen linearen Gleichungssystems

 


4 1
γ1
r1
..

 

. 
1
  γ2   r2 
1 4
=




 .

.
.
6
. . . . . 1  ..   .. 
rn−1
1 4 γn−1
gegeben, mit ri = (yi+1 − 2yi + yi−1 )/h2 , i = 1, 2, ..., n − 1. Die strikt diagonaldominante Systemmatrix ist regulär und somit existiert eine eindeutige
Lösung.