Beweis für Schwerpunktsverlagerung ducrh „Reinlegen“

Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Skizze 1
Symmetrischer Zustand, es gelten:
Fr
TK
1. l = r
2. l x Fvl = r x Fvr
Fvl
3. 2. Fvl + Fvr + G = 0
Fl
Fvr
4. TK = Fl + Fr = -G
5. 4. Fhl +Fhr = 0
Fhl
Fhr
l
r
Wobei TK die „Totale-Luftkraft“
darstellt (die Resultierende aller
aerodynamischen Kräfte an der
Tragfläche)
Fl und Fr sind die Gurtkräfte
G
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Skizze 2
Zustand kurz nach dem „Reinlegen“ es gelten:
TK
Fr
Fvl
Fhl
Fl
α
β
a Fa
Fvr
Fhr
1.
l x Fvl = r x Fvr, da l<r folgt Fvr<Fvl
2.
Fa = m x a, wobei a = Beschleunigung der Masse m
(m aus G)
3.
Fvl + Fvr + G =0
4.
TK = Fl + Fr = -G + Fa (Vektoraddition)
5.
Fhl + Fa + Fhr = 0
Beispiel: l = 0,1m, r= 0,4m, G = 1000N ,
siehe Skizze4: b= 2,5m, L= 7m, folgt β=α = 18,7°
aus 1. und 3. folgt:
Fvl = 800N, Fvr = 200N
Fhl = Fvl x tan α =-271N
Fhr = Fvr x tan β = 68N
Fa = -Fhl-Fhr = 203N
l
G
r
-TK
Daraus folgt: der Pilot (inkl. Gurtzeug) wird mit 203N nach
links beschleunigt, damit vergrößert sich die
Schwerpunktsverschiebung gegenüber der
Hochachse und da es die Tragfläche ausführungsbedingt zulässt verschiebt sich die Systemgeometrie,
siehe Skizze 3.
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Skizze 3
TK
Fl
Fvl
Fr
β
Fvr
α
Fhr
Fhl
l
r
G = -TK
•
Einleitphase, Zustand vor Kursänderung und
maximale Gewichtsverlagerung durch
„Reinlegen“:
•
Wenn -Fhl = Fhr ist die Verschiebebewegung zu
Ende, die Beschleunigung a = 0 und die
Auslenkgeschwindigkeit = 0
•
Daraus folgt:
•
TK = Fl + Fr = -G = Fvl + Fvr
•
4. Fhl = -Fhr
•
l = 0,15m, r= 0,25m, G = 1000N ,
α = 14,3, β= 23° ergeben sich aus der
Bedingung 4.
aus 1. und 3. (Skizze 2) folgt:
Fvl = 625N, Fvr = 375N
-Fhl = Fhr = 159N
In der folge Skizze 4 ist der Nachweis,
wie weit der Pilotenschwerpunkt aus
seiner ursprünglichen Lage
(Hochachse) verschoben wird.
•
•
•
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Skizze 3
Einleitphase, Zustand vor Kursänderung und
maximale Gewichtsverlagerung durch „Reinlegen“:
b
A
b
B
Füe L = mittlere Leinenlänge an ¼ Kappe (an der Stelle A, B b von
Hochachse (Symmetrielinie) entfernt) dann gilt:
a
β
α
annähernd: a = L x (sin α‘ - sin α)+ (l+r)/2 – l
ähnlich (da sin nicht linear) a = L x (sin β - sin β‘)+(l+r)/2 – l
wobei sich α‘ = β‘ aus dem symmetrischen Zustand ergeben.
TK
Fl
Fvl
Zustand wenige Sekunden nach dem
„Reinlegen“, System noch nicht im Gieren.
Annahme: b = annähernd konstant, Winkeländerungen bei α u. Β
annähernd gleich.
Fr
α
Fvr
Fhr
β
Fhl
l
l
r
G = -TK
Beispiel: L = 7m, α‘ = β‘ = 18,7°
aus Skizze 3. α = 14,3°, β = 23°, daraus folgt:
a = 7m x ( sin18,7°-sin14,3°)+0,05m = 0,56m Gegenprobe:
a = 7m x (sin23° - sin18,7°) + 0,05 = 0,54m, also rund 0,5m, schwingt der
Pilotenschwerpunkt von der Hochachse weg.
Dieser erstaunlich hohe Wert ist zwar ein Näherungswert, unter der
Annahme, dass der Schirm bis zu diesem Systemzustand noch nicht rollt.
Das Verhältnis l/r ist natürlich ein wesentlicher Faktor, den ich abgeschätzt
habe, l=0,15 und r= 0,25 bedeutet, dass der Pilot seinen Schwerpunkt
innerhalb (l+r)/2 um 0,05m verschoben hat, das dürfte nicht so abwegig
sein. Außerdem ist die Winkeländerung von 4,4° links und 4,3° rechts
plausibel . D.h. die Schwerpunktsverlagerung des Piloten gegenüber der
Hochachse dürfte in der Realität um etwas über 50 cm liegen.
Daraus ergibt sich ein Rollmoment von 500Nm. Fazit: Im Prinzip ist
bewiesen, dass eine erhebliche Schwerpunktsverlagerung weg von der
Hochachse erfolgt.
Urheber: Gerd Halbeis
Stationärer Zustand beim „Reinlegen“, Skizze 5
B
b
b
A
1.
l x Fvl = r x Fvr
2.
Fvl + Fvr + G =0
3.
-Fhl = Z + Fhr
4.
Fhl = Fvl x tanα, Fhr = Fvr x tanβ
5.
Wegen Geometrie ist α= λ+α‘, β= β‘ -λ
λ empirisch ermittelt, α‘, β‘ sind Winkel aus Zustand vor dem
Rollen.
l = 0,15m, r = 0,25m
Z aus Messungen von Konrad Friz, R = 37m, v=11m/s
m = 100Kg,
ergibt für Z = 327N,
λ
α
β
TK
Fl
Aus 1. und 2. ergibt sich: Fvl = 625, Fvr = 375
Fr
Fvr
Fhr
Aus 3. und 5. α = 30,7, β= 6,7, λ = 16,3°
Damit ist Fhl =-370, Fhr = 370-327 = 43N =Fvr x tan β
Fazit:
Fvl
1.
Da r>l ÆFvl>Fvr bleibt, ist die Gewichtsverlagerung des Piloten
und damit auch des Systemschwerpunktes bewiesen.
2.
Die Schwerpunktverlagerung bewirkt die Verschiebung der TK
in Richtung der mehr belasteten Seite.
3.
Die TK ist eine Reaktion auf die Gurtkräfte und muss genau so
der Summe aller aerodynamischer Kräfte (AK) entsprechen,
d.h. die AKs stellen sich durch den „Einschwingvorgang“ über
die Parameter Geschwindigkeit und Kurvenradius genau so ein.
Fhl
l
l
G
r
-TK
Z
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“ mit gekreuzten Gurten, Skizze 6
Zustand kurz nach dem „Reinlegen“ es gelten:
1.
l x Fvl = r x Fvr, da l<r folgt Fvr<Fvl
2.
Fa = m x a, wobei a = Beschleunigung der Masse m
(m aus G)
3.
Fvl + Fvr + G =0
4.
TK = Fl + Fr = -G -Fa (Vektoraddition)
5.
Fhl +Fa + Fhr = 0
TK
Fr
Fhl
Fvl
α
Fl
Fhr
Fvr
Fa
Fvl = 769N, Fvr = 231N
a
Fhl = Fvl x tan α =339N
β
l
-TK G
Beispiel: l = 0,15m, r= 0,5m, G = 1000N ,
siehe Skizze4: b= 2,5m, L= 7m, folgt β=α = 23,8°
aus 1. und 3. folgt:
r
Fhr = Fvr x tan β = -150N
Fa = -Fhl-Fhr = -189N , Daraus folgt: der Pilot (inkl.
Gurtzeug) wird mit 189N nach rechts beschleunigt, bis
Fhl=Fhr, damit vergrößert sich die Schwerpunktsverschiebung gegenüber der Hochachse und da es
die Tragfläche ausführungs-bedingt zulässt verschiebt
sich die Systemgeometrie, also ungefähr wie bei „nicht
gekreuzt“, auf die Seite der stärkeren Gurtbelastung.
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Widerlegung der „Knicktheorie“,
Skizze 7
F
Fv
Wx
vs
o
Fh
Z
ms
Dhs
Vereinfachungen: Die Gewichtskräfte von Schirm und Pilot werden
zunächst nicht einbezogen, denn es interessiert lediglich ob
der Knick das System zum Rollen bringen kann.
Dynamische Kräfte sind mit D gekennzeichnet, F die Knick-Kraft, W
die Widerstandskraft, die bei einer Bewegung des Schirms
entsteht.
Es wird die Feststellung von Horst Altmann zu Grunde gelegt, die
besagt, dass am Knick eine Kraft vom Betrag 20N in –X
Richtung wirkt.
x
vp
Die Auswirkungen des Knick, der sich beim „Reinlegen“ ergibt wird
im Folgenden untersucht:
ap
In einem genügend kleinen Zeitfenster um t =0 (nach Auftraten der
Kraft F) gilt:
vs =0, vp =0, mit vs =0 ist auch wx =0 daraus folgt das
Kräftegleichgewicht:
mp
Dhp
Gl.1 Fth +Dhs + Dhp = 0, da mp auf der Mittelsenkrechten liegt ist ap
=0 und damit auch Dhp =0, daraus folgt Fth + Dhs =0 und Dhs =
-Fth d.h. Der Schirm wird mit as = Fth/ms beschleunigt, während
mp noch ruht.
Fazit: in diesem Zustand beginnt der Schirm um die Achse bei
mp zu rollen. Das Rollmoment = 20N x 7m = 140Nm (siehe
Horst Altmann)
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Widerlegung der „Knicktheorie“,
Skizze 8
F
Fv
Wx
vs
o
Fh
Z
ms
Dhs
vs ≠ 0, vp ≠0,
damit wird wx ≠0 , da α ≠ 0 wird mp ebenfalls beschleunigt d.h.
ap ≠ 0 und Dhp ≠ 0, daraus folgt das Kräftegleichgewicht:
Gl.2 Fth +Dhs + Dhp + Wx = 0, Æ -Fth =Dhs + Dhp + Wx
Da vs wesentlich schneller anwächst als vp und Wx bereits bei
niederem vs die Größe von Fth annimmt, ist bereits nach kurzer
Zeit ap und damit Dhs =0 , dann schwingt
mp wieder zurück in die Mittelsenkrechte (Luftwiderstand des
Piloten vernachlässigt) und nach dem Einschwingvorgang ist
x
vs = vp, es gilt Fth = -Wx , damit besteht kein Rollmoment
mehr.
α
vp
Zustand bei t> t0
ap
Dhp
mp
Fazit:
Im eingeschwungenen Zustand (stationärer Zustand) wirkt
kein Rollmoment, der Schirm ist nicht geneigt, d.h.α
annähernd 0, das System driftet mit vs = vp in Richtung Fth.
Beispiel: Annahme cw = 0,5, projizierte Fläche in –x-Richtung 2m2 ,
Fth =20N, dann ist vs = 5,8 m/s
Urheber: Gerd Halbeis
Beweis für Schwerpunktsverlagerung durch „Reinlegen“, Widerlegung der
„Knicktheorie“, Zusammenfassung
Die Ergebnisse aus den Folien 4, 5 und 8 zeigen einen gravierenden Unterschied zwischen der Wirkung des Knick
und der Gewichtsverlagerung wie die Gegenüberstellung zeigt:
Systemzustand
Gewichtsverlagerung
Knick
Im Startzustand
Rollmoment 500Nm
Rollmoment 140Nm
Im stationären Zustand
Rollmoment bleibt erhalten, TK
ist gegen Hochachse geneigt
und verschoben, asymmetrische
Schirmbelastung
Kein Rollmoment, Schirm bleibt
nicht geneigt, Schirm bleibt
symmetrische belastet.
Entspricht nicht dem Zustand
einer Kurve.
erzwingt Kurve
ja
nein
Ergebnis:
1. Der Knick ist nicht die Ursache für eine stationäre Kurve.
2. Das „Reinlegen“ bewirkt eine Gewichtsverlagerung des Piloten, die beim
Gleitschirm einen stationären Kurvenflug erzwingt.
Urheber: Gerd Halbeis