Das Feld von Punktladungen

Das Feld von Punktladungen
1. Eine sehr große positiv geladene Platte P erzeugt ein (nahezu) konstantes elektrisches Feld der Stärke E =
V
5,0 · 104 m
. In diesem Feld befindet
sich ein geladenes Kügelchen der Masse m = 2,0 mg, das aus der Ruhelage
um den Winkel α = 1,2◦ ausgelenkt
ist. Berechne die Ladung q des Kügelchens.
P
+
+
α
+
+
+
~
E
Lösung: tan α =
qE
mg
⇒
q=
m g tan α
= 8,2 nC.
E
2. Coulombgesetz
(a) Wie viel mal kleiner als die coulombsche Abstoßung ist die Gravitationskraft
zwischen zwei Protonen?
(b) Wie groß ist die Abstoßungskraft von zwei Ladungen von 1C im Abstand von
1m? Finde einen anschaulichen Vergleich, der zeigt, ob das eine große oder eine
kleine Kraft ist.
(c) Welche Gemeinsamkeiten und Unterchiede bestehen zwischen Coulomb- und
Gravitationsgesetz?
Lösung: (a) 1, 25 · 1036
(b) F = 9 · 109 N ; um eine Gewichtskraft mit gleicher Stärke zu erhalten benötigt man
eine Masse von 109 kg, etwas der Masse von einer Million PKWs.
(c) Gemeinsamkeiten:
• wirkt ohne mechanischen Kontakt und materielles Medium
• zwei Wechselwirkungspartner (Ladung/Masse)
• Kraftrichtung parallel zur Verbindungsrichtung der Quellen
• Superpositionsprinzip
• Abstandsgesetz r12
Unterschiede:
1
Ursache
Kraftrichtung
Stärke
Abschirmbarkeit
Bedeutung
Coulombkraft
zwei Ladungen
Anziehung und
Abstoßung
groß
ja
Zusammenhalt der
Atome, Moleküle, Kristalle
3. Die Punktladungen Q1 = Q und Q2 = −Q sitzen
an den Orten P1 (a 0 0) und P2 (−a 0 0). Das von
Q1 und Q2 erzeugte Feld heißt Dipolfeld.
~ r ) durch Q, x, y, z und a aus.
(a) Drücke E(~
 
18
~

(b) Berechne E(~r1 ) für ~r1 = 16 cm,
16
a = 10 cm und
Graviationskraft
zwei Massen
nur Anziehung
klein
nein
Zusammenhalt des
Makrokosmos
z
−a
0
P2
y
a
x
P1
Q
= 0,27 Vm.
4 π ε0
~ r ) und E(~r) = |E(~
~ r)| auf der x-Achse, d.h. für y = z = 0. Unter(c) Berechne E(~
scheide die Fälle x < −a, −a < x < a und x > a. Skizziere die x-Koordinate
Ex (x) qualitativ für Q > 0. Mit welcher Potenz fällt E(x) für x ≫ a ab?
~ r) und E = |E(~
~ r)| in der yz-Ebene, d.h. für x = 0.
(d) Berechne E(~
p
Mit welcher Potenz fällt E(r) (r = y 2 + z 2 ) für r ≫ a ab?
~ r) in der yz-Ebene, wenn Q1 = Q2 = Q gilt.
(e) Berechne E(~
p
Mit welcher Potenz fällt E(r) (r = y 2 + z 2 ) für r ≫ a ab?




x−a
x+a
1
1
~ r) = Q · 
 y −
 y 
Lösung: (a) E(~
3
3
4 π ε0
2 + y2 + z2 ] 2
[(x − a)2 + y 2 + z 2 ] 2
[(x
+
a)
z
z


−0,06
V
~

(b) E(r~1 ) =
2,2
m
2,2





x−a
x+a
1
1
~ r) = Q · 
 0 −
 0 
(c) E(~
3
4 π ε0
|x − a|
|x + a|3
0
0
x−a
x+a
Q
·
−
, E(x) = |Ex (x)|
Ey = Ez = 0, Ex (x) =
4 π ε0
|x − a|3 |x + a|3

2
Drei Fälle für Ex (x):

Qax

−



π ε0 (x2 − a2 )2







Q (x2 + a2 )
Ex (x) = −

2 π ε0 (x2 − a2 )2








Qax


π ε0 (x2 − a2 )2
Ex
für x < −a
für −a < x < a
für x > a
Für x ≫ a kann man a2 in der Differenz
im Nenner gegen x2 vernachlässigen und
es gilt
E(x) = |Ex (x)| ≈
 
0
(d) ~r = y 
z
~ =
|E|
=⇒
Qa 1
·
π ε0 x3
 
1
~ r) =

·
0
E(~
3
2 πε0 · [a2 + y 2 + z 2 ] 2
0
−Q a
|Q a|
3
2 πε0 · [a2 + y 2 + z 2 ] 2
 
 
0
0
Q
~ r) =


(e) ~r = y  =⇒ E(~
·
y
3
2 + y2 + z2 ] 2
2
πε
·
[a
0
z
z
p
|Q| · x2 + y 2
~ =
|E|
3
2 πε0 · [a2 + y 2 + z 2 ] 2
3
−a
a
x