4 Photometrie

WS 1998/99
Astronomische Beobachtungsmethoden
4 Photometrie
Dieser Abschnitt behandelt die Grundlagen der Photometrie, d. h., die Definition,
Messung und Kalibration der mit der elektromagnetischen Strahlung verbundenen
physikalischen Größen. Einige dieser Größen gehen auf die (buchstäblich)
visuelle Beobachtung zurück. Schwarzkörperstrahlung und ihre Charakteristika
spielt eine besondere Rolle.
Die absolute Messung astrophysikalischer Größen wie den absoluten Fluß einer
astronomischen Quelle ist ein schwieriges Thema. Es ist nicht nur kompliziert,
geeichte Strahlungsnormale im Labor darzustellen, auch ihr Vergleich mit einer
Himmelsquelle erfordert eine Menge experimentellen Geschicks. Daher werden
veröffentlichte absolute Werte gelegentlich revidiert; ein Umstand, welcher der
Astronomie den Ruf einer nur bezüglich Größenordnungen exakten Wissenschaft
zu sein.
4.1 Einführung in die Radiometrie
4.1.1 Durchsatz oder Étendue
Wir betrachten zwei beliebig orientierte Flächenelemente dS1 und dS2 in einem
G
 Eλ , x 

Eλ = 

E
 λ , y  . Die Normale von dS
Abstand r, in Richtung eines Einheitsvektors
1
bilde einen Winkel θ1 mit der Verbindungslinie, die Normale von dS2 bilde den
Winkel θ2. Wir betrachten alle Strahlen, die von dS1 ausgehend durch dS2
hindurchgehen. Die Größe
dS cosθ
(4.1)
dS1 cosθ1 2 2 2 = dσ 1 dΩ 2
r
heißt Étendue oder Durchsatz (throughput, Einheit m2) des betrachteten Bündels
(siehe Abbildung 1). Es gilt
(4.2)
dσ 1 dΩ 2 = dσ 2 dΩ1 .
Bei Abwesenheit von Absorption und Emission ist das Produkt dσ dΩ n 2 eine
Erhaltungsgröße des Lichtbündels.
Abbildung 1: zur Definition der étendue.
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4.1.2 Intensität und Strahlungsstrom
Der durch elektromegnetische
Strahlung durch das Flächenelement dS1 in
G
Richtung von k bei der Wellenlänge λ bewirkte Energiestrom ist gegeben mit
G
dE
= I λ k dλ dσ dΩ .
dPλ =
(4.3)
dt
G
Die Größe I λ k , Einheit [W m-2 sr-1 m-1], heißt Strahlungsintensität (specific
intensity). Sie hängt zusammen mit dem den Energiestrom eines Feldes bestimmenden
Poynting-Vektors und ergibt sich z. B. aus der elektrischen Feldstärke
G
Eλ mit
G 2
I λ = 12 ε 0 c Eλ .
(4.4)
()
()
Die mittlere Intensität J λ , Einheit [W m-2 m-1], ergibt sich durch Integration der
Intensitätüber den gesamten Raumwinkel,
1
(4.5)
Jλ =
I λ dΩ .
4π ∫
Der Strahlungsstrom Fλ durch die Empfängerfläche dS2 senkrecht zur AusbreiG
tungsrichtung k , Einheit [W m-2 m-1], ergibt sich durch Integration über die
Quelle,
∫ I λ cosθ1 dΩ .
Fλ =
(4.6)
Quelle
Der Gesamtstrahlungsstrom F, Einheit [W m-2], ergibt sich durch Integration über
alle Wellenlängen,
∞
F = ∫ Fλ dλ .
(4.7)
0
Intensitäten und Flüsse können in Abhängigkeit von der Frequenz ν anstelle der
Wellenlänge λ - Iν und Fν - angegeben werden. Hierfür gilt:
λ I λ = ν Iν
(4.8)
Als Einheit für den spektralen Strahlungsstrom Fν wird das Jansky verwendet:
1 Jansky ([Jy]) = 10 −26 [W m -2 Hz -1 ] .
(4.9)
Die spektrale Leuchtkraft Lλ und die Gesamtleuchtkraft L einer Quelle ist durch
Integration der Intensität über die Oberfläche der Quelle und den Raumwinkel,
sowie über die Wellenlänge gegeben
Lλ =
∫ J λ dS ,
Oberfläche
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∞
L = ∫ Lλ dλ
(4.10)
0
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4.1.3 Polarisierte Intensitäten, der Stokes-Vektor
Elektromagnetische Strahlung ist eine Transversalwelle. Sie kann an einem
gegebenen Ort zeitabhängg beschrieben werden durch z. B. die Amplitude des
elektrischen Feldvektors senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
G
 E x (t )  E0 x (t )[cosωt + δ x (t )]
=

E (t ) = 
(4.11)
  E0 y (t ) cosωt + δ y (t )  .
(
)
E
t
y

 

Dabei sind E0 x , E0 y die instantanen Amplituden, ω die instantane Winkel-
[
]
frequenz und δx, δy sind instantane Phasenterme. Für eine monochromatische
Welle sind die Amplituden und Phasenterme zeitlich konstant. Man führt hier die
Polarisationsellipse ein,
2
Ex2 (t ) E y (t ) E x (t )E y (t )
+ 2 −2
cos δ = sin 2 δ ,
2
E0 x
E0 y
E0 x E0 y
(4.12)
mit δ = δ y − δ x . Die Messung bewirkt eine zeitliche Mittelung der Feldamplituden über Perioden, die sehr viel größer als die Oszillationsperiode 2π ω ist. Im
zeitlichen Mittel ergibt sich die Polarisationsellipse zu
Ex2 (t )
E02x
oder
+
E y2 (t )
−2
E02y
E x (t )E y (t )
E0 x E0 y
cos δ = sin 2 δ
(4.13)
4 E02y E x2 (t ) + 4 E02x E y2 (t ) − 8E0 x E0 y E x (t )E y (t ) cos δ
(
= 2 E0 x E0 y sin δ
)
2
.
(4.14)
Aus (4.10) erhält man die in (4.14) erscheinenden Mittelwerte:
E x2 (t ) = 12 E02x
E y2 (t ) = 12 E02y
(4.15)
E x (t )E y (t ) = 12 E0 x E0 y cos δ
Durch Einsetzen von (4.15) in (4.14) und Umformen erhält man:
(E
2
0x
+ E02y
) = (E
2
2
0x
) (
2
− E02y + 2 E0 x E0 y cos δ
) (2E
2
0 x E0 y sin δ
)
2
(4.16)
Die Größen innerhalb der Klammern nennt man die Stokes-Parameter der Welle:
I = S0 = E02x + E02y
Q = S1 = E02x − E02y
(4.17)
U = S 2 = 2 E0 x E0 y cos δ
V = S3 = 2 E0 x E0 y sin δ
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Hier beschreibt I die Gesamtintensität, Q die linear horizontal oder vertikal
polarisierte Intensität, U die linear unter ±45° polarisierte Intensität und V die
zirkular polarisierte Intensität. Die Beziehung (4.16), d. h. I 2 = Q 2 + U 2 + V 2 gilt
nur, solange die zeitliche Änderung der Amplituden und Phasenwinkel klein sind
innerhalb der Meßdauer. Im allgemeinen Fall führt der Mittelungsprozeß durch
Anwendung der Schwarz'schen Ungleichung zu der Relation
I 2 ≥ Q 2 +U 2 +V 2
(4.18)
Den Anteil der Gesamtintensität I, dessen Quadrat die Summe der Quadrate der
anderen Stokes-Parameter übersteigt, heißt unpolarisierte Intensität. Der
Polarisationsgrad ist gegeben mit
Q2 +U 2 +V
(4.19)
P=
I
Man faßt die vier Stokes-Parameter zu einem 4-Tupel zusammen, welchen man
Stokes-Vektor 1nennt:
I
 
G Q
S = =
U
 
V 
 E02x + E02y 


 E02x − E02y 
 .

δ
2
E
E
cos
 0x 0 y

 2 E E sin δ 
 0x 0 y

(4.20)
Vollständig polarisiertes Licht läßt sich mit Stokes-Vektoren wie folgt
beschreiben:
Linear horizontal und
1
1


 
vertikal
1
 
 − 1
I 
I 
0
0
 
 
0
0
Linear +45° und -45°
1
1
 
 
0
0
I 
I 
−1
1
 
 
0
0
Zirkular rechts und links
1
1
 
 
0
0
I 
I 
0
0
 
 
1
 −1
1
Dies ist eigentlich eine Fehlbezeichnung, da sich diese Größe nicht im mathematischen Sinne wie ein Vektor
transformiert. Richtig wäre die Bezeichnung "Stokes-Matrix".
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Für die vollständige Bestimmung des Stokes-Vektors sind die Messungen der
sechs oben angegebenen Intensitäten erforderlich.
4.2 Hohlraumstrahlung
In einem auf gleichförmiger Temperatur T gehaltenen Hohlraum ist die durch
jedes Flächenelement dσ hindurchtretende Intensität eine Konstante (Strahlung
eines Schwarzen Körpers)
(4.21)
Iν = Bν (T ) dνdσ cosϑ dω
mit der Kirchhoff-Planck - Funktion Bν (T )
2hν 3
1
c 2 exp hν  − 1


 kT 
bzw. als Funktion der Wellenlänge
Bν (T ) =
[W Hz-1 m-2 sr-1]
2hc 2
1
[W m-1 m-2 sr-1]
Bλ (T ) = 5
λ exp hc  − 1


 λkT 
mit den Konstanten
h
Planck'sches Wirkungsquantum 6.63 10-34 [J s]
k
Boltzmann-Konstante
1.381 10-23 [J K-1]
c
Lichtgeschwindigkeit
2.998 108 [m s-1]
Im kurzwelligen Spektralbereich, d. h. für
rungsweise das Wien'sche Gesetz
2hν 3
 hν 
Bν (T ) ≈ 2 exp −

 kT 
c
2hc 2
 hc 
Bλ (T ) ≈ 5 exp −

 λkT 
λ
.
(4.23)
hν
hc
>> 1 bzw.
>> 1 gilt näheλkT
kT
(4.24)
Im langwelligen Spektralbereich, d. h. für
rungsweise das Rayleigh - Jeans - Gesetz
2ν 2 kT
Bν (T ) ≈
c2 .
2ckT
Bλ (T ) ≈ 4
λ
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(4.22)
hν
hc
<< 1 bzw.
<< 1 gilt näheλkT
kT
(4.25)
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Die Kirchhoff-Planck-Funktion hat ein ausgeprägtes Maximum, dessen Lage im
Spektrum von der Temperatur abhängt. Dieser Zusammenhang ist durch das
Wien'sche Verschiebungsgesetz gegeben:
λmax ⋅T = const = 2.90 ⋅ 10 −3 [m K]
(4.26)
Ein Hohlraum mit einer Temperatur von 1 K hat damit das Maximum der
Intensität bei einer Wellenlänge von 2.9 mm, d. h. im kurzwelligen
astronomischen Radiofrequenzbereich. Bei einer Temperatur von 5780 K (Effektivtemperatur der Sonne) ist das Maximum bei 502 nm, d. h. im grünen,
sichtbaren Spektralbereich.
Der Gesamt-Strahlungsstrom der Hohlraumstrahlung ist nach dem StefanBoltzmann'schen Gesetz gegeben mit
F
+
∞
(T ) = π ∫ Bν (T )dν
=σT4
(4.27)
0
mit der Stefan-Boltzmann - Konstante
σ =
2π 5 k 4
2
15 c h
3
= 5.67 ⋅ 10 − 8
[W m-2 K-4]
(4.28)
Bei steigender Temperatur nimmt die Intensität eines Hohlraumstrahlers in allen
Spektralbereichen stetig zu, d. h., die Kirchhoff-Planck-Funktionen bei
unterschiedlicher Temperatur schneiden sich nicht.
Intensität für T = 5780 K
3
1 10
Intensität [MW µm^-1 m^-2 sr^-1]
100
10
1
0.1
0.01
0.1
1
10
Wellenlänge [µm]
Kirchhoff-Planck
Wien
Rayleigh-Jeans
Abbildung 2: Kirchhoff-Planck - Funktion und Näherungen.
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4.3 Größenklassen
Die Entfernungen zu den Sternen in unserer Milchstraße variiert zwischen ca. 1
pc (4 Lj) und 25 kpc (8 104 Lj) mit einer entsprechenden Variation in den beobachteten Signal. Gemäß dem Weber-Fechner'schen Gesetz ist die Empfindung
(Erregung) dem Logarithmus des Reizes proportional; dies gilt auch für
empfundene Helligkeiten. Die schon von den Griechen verwendete Helligkeitsoder Größenklassenskala ist daher ein logarithmisches Maß der Strahlungsströme. Man definiert daher den Unterschied der scheinbaren Helligkeit m1 und
m2 zweier Sterne über den dekadischen Logarithmus der gemessenen
Strahlungsströme s1 und s2:
s 
m1 − m2 = − 2.5 lg 1  .
(4.29)
 s2 
Einheit: magnitudines [mag]. Merke: bei zunehmender scheinbarer Helligkeit m
wird der Strahlungsstrom schwächer! Tabelle 1 zeigt die zu gegebenen Differenzen in mag gehörenden Verhältnisse der Signale.
Unterschied in Helligkeit m1 - m2
Verhältnis der Signale s1/s2
-1
2.51
-2.5
10
-5
100
Tabelle 1: Relation zwischen magnitudines und Verhältnis der gemessenen
Strahlungsströme.
Der gemessene Strahlungsstrom s hängt von dem spektralen Strahlungsstrom und
von der spektralen Empfindichkeit Eλ des Empfängers ab. Für einen Stern mit
Radius R in der Entfernung r vom Beobachter ergibt sich aus dem Strahlungsstrom an der Sternoberfläche Fλ:
s=
∞
∫
0
R2
r
2
Fλ Eλ dλ ,

1 ∞ 2
m E = − 2.5 lg  2 ∫ R Fλ Eλ dλ  + const.

 r 0
.
(4.30)
Es gibt je nach spektraler Empfindlichkeit des Empfängers verschiedene Systeme
scheinbarer Helligkeiten. Sehr weit verbreitet ist die sich von der Empfindlichkeit
des menschl. Auges abgeleitete visuelle Helligkeit mV, mit einer Verteilung
zwischen 480nm und 650nm und einem Maximum bei 550nm. Der Nullpunkt der
Skala ist durch Angabe der visuellen Helligkeiten der Sterne Wega (α Lyr; mV =
0.14) und Deneb (α Cyg; mV = 1.33) definiert.
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Um die grobe spektrale Verteilung der Flüsse von Sternen charakterisieren zu
können, wurden Spektralindices eingeführt.
UBV-System, photoelektrisch und photographisch durch spektrale Empfindlichkeiten realisiert (Johnson, Morgan 1951). Später in den roten und infra-roten
Bereich ausgedehnt worden, dort durch die atmosphärische Transmission
gegeben. Heute eines der gebräuchlichsten photometrischen Systeme.
Index
Mag. Bezeichnung
Mittl. Wellenlänge λ [nm]
U
365
mU
B
440
mB
V
548
mV
R
700
mR
I
900
mI
J
1250
mJ
H
1630
mH
K
2200
mK
L
3500
mL
M
5000
mM
N
10600
mN
Q
21000
mQ
Je nach Effektivtemperatur bzw. spektralem Fluß sind die Indices für einen
gegebenen Himmelskörper verschieden. Die Konstanten in Gl. (2.35) sind so
gewählt, daß für einen Stern der Spektralklasse A0V (s. unten) gilt: mU = mB =
mV = ... etc. Für den praktischen Gebrauch durch Standardsterne realisiert.
Farbindices sind Differenzen von Spektralindices und stellen ein Maß für die
spektrale Energieverteilung der Strahlung eines Himmelskörpers dar. Als erste
Näherung erhält man aus Farbindices die Farbtemperatur TF. In der Wien'schen
Näherung (2.21) ergibt sich, wenn man die Integration über λ durch die
Funktionen an der jeweiligen Schwerpunktswellenlänge λ ersetzt, für den
Farbindex B - V:
 1
1 
6800

 + const. ≈
+ const.
−
(4.31)
λ
λ
T
[K]
 B
V 
F
Die Farbtemperatur ist die Temperatur desjenigen schwarzen Körpers, der im
betrachteten Spektralbereich (hier B und V) denselben Intensitätsverlauf wie der
betrachtete Körper hat. Da die Spektren von Sternen z. T erheblich von denen
schwarzer Körper abweichen, hat die Farbtemperatur keine große Bedeutung.
Farbindices - und damit Temperaturunterschiede - lassen sich aber mit hoher
Präzision messen.
B − V = 2.5 lg e
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hc
kTF
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4.4 Kalibration und Intensitätsstandards
Man unterscheidet die absolute und relative Kalibration des Flusses einer
astronomischen Quelle. Im ersten Fall vergleicht man den gemessenen Fluß mit
einem primären oder sekundären Flußstandard im Labor. Hier muß man sich
genau über die systematischen und zufälligen Fehler der Beobachtung Klarheit
verschaffen. Im zweiten Fall wird der gemessene Fluß mit dem einer möglichst
genau bekannten astronomischen Quelle unter möglichst identischen Beobachtungsbedingungen verglichen. Die möglichen Fehler hängen hier auch von der
Qualität der Referenzquelen ab.
Kalibrationsmethoden unterscheiden sich sehr bezüglich des Spektralbereichs.
4.4.1 Radio-Bereich
Die Strahlung schwarzer Körper im Radiobereich läßt sich in aller Regel im
Rayleigh-Jeans - Limit (4.25) beschreiben. Radioantennen der Empfänger fläche
A haben einen Durchsatz von AΩ = λ2 und messen nur eine Polarisation.
Eine in einem Strahlungsfeld der Temperatur T eingebettete Radioantenne mit
einem Empfänger, welcher für einen Frequenzbereich ∆ν zentriert auf die
Frequenz ν empfindlich ist, mißt eine Strahlungsleistung von
P=
1
2
ν + ∆ν / 2
∫ Bν (T )dω dν
∫
= k T ∆ν .
(4.32)
ν −∆ν / 2 (λ / A )
2
Kennt man die Bandbreite ∆ν und die Temperatur T, so läßt sich die
Ausgangsspannung des Verstärkers absolut kalibrieren. Als Kalibrationsquelle
kann man die Erdoberfläche (T = 300 K) verwenden.
Schließt man den Eingang des Antennenverstärkers alternativ mit einem
Widerstand R ab, so ergibt sich bei einer Temperatur TR des Widerstandes eine
thermische Rauschspannung V mit der Leistung
V
2
4k TR ∆ν
= 4k T ∆ν .
(4.33)
R
R
Bei optimaler Anpassung des Widerstandes an die Eingangsimpedanz des
Verstärkers Z (Z = R) beträgt die gemessene Leistung die Hälfte des Wertes in
(4.33). Zusätzlich muß die Transmission der Antenne gemessenwerden, um die
absolute Kalibration abzuschließen.
Zur relativen Kalibration verwendet man Quasare, aktive galaktische Kerne und
H II-Regionen, die keine Veränderungen zeigen.
Pth =
=
4.4.2 Sichtbarer und IR- Bereich
Schwarze Körper müssen höhere Temperaturen wegen der kürzeren
Wellenlängen haben. Anders als bei Radioantennen bestimmt die Geometrie der
Optik (Abstände und Durchmesser der optischen Elemente und Blenden) den
Durchsatz, der i. a. wesentlich größer als λ2 ist. Man muß daher die Transmission
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G
t ϑ , λ des Instruments in Abhängigkeit von Feldwinkel und Wellenlänge berücksichtigen. Der Durchsatz des Systems ist dann
G
G
AΩ = A ∫ t ϑ , λ dϑ
(4.34)
( )
Feld
( )
und die gemessene Leistung beträgt
∞
G
G
P = ∫ ∫ ε λ Bλ (T )t ϑ , λ dλdθ .
Feld 0
( )
(4.35)
Dabei ist ελ die Emissivität der Kalibrationsquelle bei der Wellenlänge λ. Die
Temperatur der Quelle kann dirch Kontaktsensoren oder pyrometrisch bestimmt
werden. Die Bestimmung der Emissivität ist eine besonders große Quelle der
Unsicherheit.
Für die Beobachtung im thermalen IR reicht die rein geometrische Ermittlung des
Durchsatzes nicht aus; es müssen durch Beugung entstehende Seitenbänder
Berücksichtigt werden. Bei schlechter optischer Abschirmung kann in den
Seitenbändern erhebliche instrumentelle Einstrahlung (Falschlicht) bestehen.
Wegen der experimentellen Komplexität verwendet man im Sichtbaren häufig
Standardsterne zur relativen Kalibration. Der Stern Wega (α Lyr) spielt dabei
eine besondere Rolle als spektraler Standard. Es gibt ca. 200 gut bekannte
photometrische Standardsterne. Die unter guten Bedingungen erreichte
radiometrische Präzision ist etwa 1% (0.01 mag).
Im nahen IR ist die Genauigkeit schlechter (15% oder 0.1 mag). Man benutzt den
spektralen Fluß der Sonne als primären Standard und nimmt an, daß sonnenähnliche Sterne (Spektraltyp G0 bis G4) eine zur Sonne exakt proportionalen
spektralen Strahlungsstrom im IR haben. Der Vergleich der V-Magnituden mit
Wega ergibt Referenzmagnituden in den Infrarot-Bändern R bis Q. Dieser
Standard wird auf hellere Serne anderer Spektraltypen übertragen.
Für das thermale IR verwendet man bei Ballonflügen die Planeten als Standards.
4.4.3 UV- und Röntgenbereich
Thermische Quellen als absolute Standards erfordern sehr hohe Temperaturen.
Sie lassen sich nicht immer "optisch dick", d. h. als Approximation eines
schwarzen Körpers, verwirklichen. Man verwendet kontinuierliche
Gasentladungen (geeichte Hohlkathodenlampen) für den Bereich oberhalb von
100 nm und Pulsentladungen für den kurzwelligen Bereich.
In letzter Zeit hat sich die Synchrotron-Strahlung immer mehr als primärer
Standard über einen weiten Spektralbereich durchgesetzt. Ein Elektron mit der
kinetischen Energie Ee im Magnetfeld B emittiert Strahlung mit der spektralen
Leistung (Elektronenmasse me)
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Astronomische Beobachtungsmethoden
2
 Ee 


(4.36)
mit ν m
 m c2 
 e 
Die Ausstrahlung erfolgt in Richtung der Bewegung des Elektrons, d. h.
tangentioal in Bewegungsrichtung zu der vom Elektron beschriebenen Kreisbahn
senkrecht zum Magnetfeld. Die Divergenz des Strahlungsbündels ist
16 e 3 B c
ν 

 dν
dPSyn (ν ) =
p
4πε 0 me c 2  ν m 
Θ Sync
me c 2
0.511
≅
=
[rad] .
Ee
Ee [MeV]
eB
=
2πme
(4.37)
Zur Kalibration muß das Instrument entweder zu einem Synchrotron gebracht
werden (z. B. Bessy in Berlin) oder ein transporabler Sekundärstandard am
Synchrotron geeicht werden.
Im Gammastrahlen-Bereich werden Photonen direkt gezählt. Instrumente lassen
sich absolut eichen mit Hilfe radioaktiver Proben bekannter Aktivität (z. B 60Co).
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