M athe-Basics - Fernstudium Guide

Fernstudium-Guide präsentiert
Online–Vorlesung Wirtschaftswissenschaft
Mathe-Basics
Gleichungen verstehen, umstellen und lösen
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jegliche unzulässige Form der Entnahme, des Nachdrucks, der
Vervielfältigung, Veröffentlichung oder sonstiger Verwertung ist untersagt und wird strafrechtlich verfolgt. Alle
Rechte vorbehalten. Ⓒ fernstudium-guide 2008-2010
Der Begriff der Gleichung
Was ist eine Gleichung?
Bei einer „Gleichung“ handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme
zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole.
Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -, ·, /, (),...).
Sie erhalten zu jeder Vorlesung von uns die kompletten
Vorlesungsunterlagen. Das sind im Schnitt über 60 Folien. Diese
eignen sich hervorragend bei Ihrer Klausurvorbereitung als
effektive Zusammenfassung des Stoffes und dienen zudem als
Hilfsmittel auch für weiterführende Kurse Ihres Studium.
Der Begriff der Gleichung
Was ist eine Gleichung?
Bei einer „Gleichung“ handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme
zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole.
Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -, ·, /, (),...).
Zahlen kann man in verschiedene Mengen unterteilen:
Natürliche Zahlen  : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 112.998, ..., 5.909.092, ...
Ganze Zahlen  : -1, - 2, - 3, - 4, - 5, ..., - 5.909.092, ..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 5.909.092, ...
Rationale Zahlen  :
−
1
54 0
13 4 1.002.000
,−
, = 0, , ,
,...
2
9 4
2 4
10
Reelle Zahlen  : - 0,1234, 4, - 0,5,
20
, ....
2
Wir lassen Sie auch nach der Vorlesung nicht allein - Wenn
Sie Fragen zum Studium, zu den Folien, zu Klausuren, zum
Kursmaterial haben - wir helfen Ihnen per Mail gerne weiter.
Der Begriff der Gleichung
Was ist eine Gleichung?
Bei einer „Gleichung“ handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme
zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole.
Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -, ·, /, (),...).
Zahlen kann man in verschiedene Mengen unterteilen:
Natürliche Zahlen  : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 112.998, ..., 5.909.092, ...
Ganze Zahlen  : -1, - 2, - 3, - 4, - 5, ..., - 5.909.092, ..., 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 5.909.092, ...
Rationale Zahlen  :
−
1
54 0
13 4 1.002.000
,−
, = 0, , ,
,...
2
9 4
2 4
10
Reelle Zahlen  : - 0,1234, 4, - 0,5,
20
, ....
2
Merke:
Alle natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten.
Alle ganzen Zahlen sind in den rationalen Zahlen enthalten.
Alle rationalen Zahlen sind in den reellen Zahlen enthalten.
Der Begriff der Gleichung
Was ist eine Gleichung?
Bei einer „Gleichung“ handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme
zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole.
Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -, ·, /, (),...).
Term1 = 7 + 4 = 11
Term2 = 3 ⋅ x +
45
45
= x+x+x+
4
4
⎛ 19
82 ⎞
8 ⋅8⎞
⎛ 19
Term3 = ⎜ ⋅ a − ⎟ + ( 5 ⋅ x + 3,141627 ) = ⎜ ⋅ a −
⎟ + ( 5 ⋅ x + 3,141627 )
⎝ 2
4⎠
4 ⎠
⎝ 2
Box:
Unter „Potenzieren“ versteht man das
n-malige Multiplizieren einer Zahl a
mit sich selbst:
a n = a ⋅ a ⋅ ...⋅ a
Der Begriff der Gleichung
Was ist eine Gleichung?
Bei einer „Gleichung“ handelt es sich um eine Aussage, die die Gleichheit zweier Werte oder Terme
zum Ausdruck bringt. Dazu nutzt man mathematische Symbole.
Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen (x, y, z, a, b,..) und mathematischen Symbolen (+, -, ·, /, (),...).
Term1 = 7 + 4 = 11
Term2 = 3 ⋅ x +
45
45
= x+x+x+
4
4
⎛ 19
82 ⎞
8 ⋅8⎞
⎛ 19
Term3 = ⎜ ⋅ a − ⎟ + ( 5 ⋅ x + 3,141627 ) = ⎜ ⋅ a −
⎟ + ( 5 ⋅ x + 3,141627 )
⎝ 2
4⎠
4 ⎠
⎝ 2
Variablen sind gewisse Zahlen, die man in die Gleichungen einsetzen muss, damit diese „wahr“ sind:
Term4 = 3 ⋅ x
Term5 = 18
Term4 = Term5
⇔ 3 ⋅ x = 18
⇔ 3 ⋅ 6 = 18
⇔x=6
Umformung von Gleichungen
Wie löst man die Gleichung?
Waage
Waage
Gleichzeitige Reduzierung
auf beiden Seiten um z.B.
ein schwarzes Kästchen.
Gleichzeitige Erhöhung
auf beiden Seiten um z.B.
2 rote Kästchen.
Umformung von Gleichungen
Wie löst man die Gleichung?
Waage
Waage
Gleichzeitige Reduzierung
auf beiden Seiten um ein
Vielfaches (zb. Halbierung
der Kästchenzahl)
Gleichzeitige Erhöhung auf
beiden Seiten um ein
Vielfaches (zb. Verdoppeln
der Kästchenzahl
Waage
Waage
Umformung von Gleichungen
Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:
Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„+2“ oder „+5·x“ oder „+4·(x2+y2)“...).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„-2“ oder „-5·x“ oder „-(x+y)·(x-y)“ ...).
Viele Studierende scheitern nicht an den Anforderungen
des Studiums, sondern an einer falschen Vorbereitung
und Studienorganisation. Wir wollen, dass Sie Ihr Studium
schaffen und nicht, dass das Studium Sie schafft...
Nutzen Sie unser Hintergrundwissen zu Bibliotheksrecherche, kostenlosen Zusatzmaterialien (die wirklich
nützlich sind!), Kontaktgruppen und Klausuranforderungen
- so ist der Studienerfolg näher als Sie denken.
Umformung von Gleichungen
Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:
Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„+2“ oder „+5·x“ oder „+4·(x2+y2)“...).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„-2“ oder „-5·x“ oder „-(x+y)·(x-y)“ ...).
Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
(„·2“ oder „·5“ ...).
Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine
Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.B. x-2)
der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.
Ein Studium ist nicht nur mit großem Lernaufwand
verbunden. Es müssen Unterlagen wie Altklausuren und
Z u s a t z l i t e r a t u r b e s o r g t w e r d e n , Te r m i n e z u r
Klausuranmeldung, zur Rückmeldung und für Studienzentren
müssen koordiniert werden und schließlich muss auch ein
Lernplan entwickelt werden.
Wir stehen Ihnen mit unserer kostenlosen Studienplanung
gerne helfend zur Verfügung. Testen Sie uns!
Umformung von Gleichungen
Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:
Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„+2“ oder „+5·x“ oder „+4·(x2+y2)“...).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„-2“ oder „-5·x“ oder „-(x+y)·(x-y)“ ...).
Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
(„·2“ oder „·5“ ...).
Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine
Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.B. x-2)
der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.
Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten („÷2“ oder „ ÷5“ ...).
Anmerkung: Division durch null ist nicht möglich. Beachte: bei Multiplikation mit
einem Ausdruck (z.B. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.
Umformung von Gleichungen
Erlaubte Äquivalenzumformungen sind:
Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„+2“ oder „+5·x“ oder „+4·(x2+y2)“...).
Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten
(„-2“ oder „-5·x“ oder „-(x+y)·(x-y)“ ...).
Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten
(„·2“ oder „·5“ ...).
Eine Multiplikation mit null ist nicht umkehrbar und damit keine
Äquivalenzumformung. Beachte: bei Multiplikation mit einem Ausdruck (z.B. x-2)
der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.
Division durch denselben Ausdruck (ungleich null) auf beiden Seiten („÷2“ oder „ ÷5“ ...).
Anmerkung: Division durch null ist nicht möglich. Beachte: bei Multiplikation mit
einem Ausdruck (z.B. x-2) der eine Variable enthält, kann dieser Ausdruck null sein.
Vertauschen der beiden Seiten bzw. der Ausdrücke auf einer Seite
7x + 6x 3 −
4p
4p
= 9π + 2 ⇔ 2 + 9π = 6x 3 + 7x −
8
8
Umformung von Gleichungen
Wie löst man die Gleichung 3x + 1 = x + 9 ?
Waage
Wägeoperation
Gleichung
Äquivalenzumformung
-1
3x + 1 = x + 9
-1
-x
3x = x + 8
-x
÷2
2x = 8
÷2
x=4
Klammern auflösen
Klammern auflösen:
1.) + (....)
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden.
⎛
7x + ⎜ 6x −
⎝
4⎞
4
=
7x
+
6x
−
⎟
8⎠
8
Klammern auflösen
Klammern auflösen:
1.) + (....)
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden.
4⎞
4
⎛
7x + ⎜ 6x − ⎟ = 7x + 6x −
⎝
8⎠
8
2.) - (....)
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so dreht man in der Klammer alle Vorzeichen um.
⎛
7x − ⎜ 6x −
⎝
4⎞
4
=
7x
−
6x
+
⎟
8⎠
8
Klammern auflösen
Klammern auflösen:
1.) + (....)
Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer einfach weggelassen werden.
4⎞
4
⎛
7x + ⎜ 6x − ⎟ = 7x + 6x −
⎝
8⎠
8
2.) - (....)
Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, so dreht man in der Klammer alle Vorzeichen um.
⎛
7x − ⎜ 6x −
⎝
4⎞
4
=
7x
−
6x
+
⎟
8⎠
8
3.) · (....)
Steht vor einer Klammer ein Mal-Zeichen, so muss jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor
vor dem Mal-Zeichen multipliziert werden.
⎛
7 ⋅ ⎜ 6x −
⎝
4⎞
4
4 4 4 4 4 4 4
28
14
=
7
⋅
6x
−
7
⋅
=
6x
+
6x
+
6x
+
6x
+
6x
+
6x
+
6x
−
−
−
−
−
−
−
=
42x
−
=
42x
−
(
)
⎟
8⎠
8
8 8 8 8 8 8 8
8
4
4⎞
4
28
14
⎛
−7 ⋅ ⎜ 6x − ⎟ = −7 ⋅ 6x − ( −7 ) ⋅ = −42x +
= −42x +
⎝
8⎠
8
8
4
⎛
5a ⋅ ⎜ 6x −
⎝
4⎞
4
5⋅4
20
20
=
5a
⋅
6x
−
5a
⋅
=
5
⋅
6
⋅
a
⋅
x
−
a
⋅
=
30ax
−
a
⋅
=
30ax
−
a
⎟
8⎠
8
8
8
8
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
Merkregel: „Jeder Mann möchte mit jeder Frau tanzen“
+
+
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
Merkregel: „Jeder Mann möchte mit jeder Frau tanzen“
+
+
+
+
+
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Merke:
-·+=+·-=-
+·+=+
-·-=+
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
1. Beispiel:
( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 6 ⋅ 4 ⋅ x ⋅ a + 6 ⋅ 5 ⋅ x − 2 ⋅ 4a − 2 ⋅ 5
= 24 ⋅ x ⋅ a + 30 ⋅ x − 8a − 10 = 24xa + 30x − 8a − 10
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
-·-=+
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
2. Beispiel:
−5 ⋅ ( 6x − 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −5 ⋅ 6x + 5 ⋅ 2 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= ( −30x + 10 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= −30x ⋅ 4a − 30x ⋅ 5 + 10 ⋅ 4a + 10 ⋅ 5
= −120xa − 150x + 40a + 50
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
Klammern auflösen
4.) (....) · (....)
Hat man zwei Klammern zu multiplizieren, so muss man alle Summanden der ersten Klammer die
allen Summanden der zweiten Klammer multiplizieren.
3. Beispiel:
( 6x − 2a + 6 ) ⋅ ( 4a + 5 )
= 6x ⋅ 4a + 6x ⋅ 5 − 2a ⋅ 4a − 2a ⋅ 5 + 6 ⋅ 4a + 6 ⋅ 5
= 24xa + 30x − 8a ⋅ a − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 − 10a + 24a + 30
= 24xa + 30 − 8a 2 + 14a + 30
−10a + 24a = +14a
...
-10a
...
-1a
0
+24a
1a
...
14a
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
(a+b)2
b
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
(a+b)2
b
a
a
a2
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
a
a
a2
b
a·b
(a+b)2
b
a
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
a
b
a
a2
a·b
b
a·b
(a+b)2
b
a
a
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
a
b
a
a2
a·b
a
b
a·b
b2
b
a
b
(a+b)2
b
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Grafische Darstellung:
b
a
a
(a+b) · (a+b) =
a
b
a
a2
a·b
a
b
a·b
b2
b
a
b
(a+b)2
b
(a+b)2 = a2 + a·b + a·b + b2
Binomische Formeln
Binomische Formeln
1.) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Beispiele:
( x + 4 )2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 4 2 = x 2 + 2 ⋅ 4 ⋅ x + 4 2 = x 2 + 8x + 16
2
⎛ 3 43a ⎞
3
⎜⎝ x +
⎟⎠ = x
b
( )
2
43a ⎛ 43a ⎞
432 ⋅ a 2
432 ⋅ a 2
3⋅2
3 a
6
3 a
+ 2⋅ x ⋅
+⎜
= x + 86 ⋅ x ⋅ +
⎟⎠ = x + 86 ⋅ x ⋅ +
2
⎝
b
b
b
b
b
b2
2
( )
3
Box : Potenzgesetze
( x ⋅ y)
a
a
= x a ⋅ ya
⎛ x⎞
xa
⎜⎝ y ⎟⎠ = y a
(x )
n m
= x n⋅m
Binomische Formeln
Binomische Formeln
2.) (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Beispiel:
( zx − 4y )2 = ( zx )2 − 2 ⋅ zx ⋅ 4y + ( 4y )2 = z 2 x 2 − 8zxy + 16y 2
Binomische Formeln
Binomische Formeln
2.) (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
Beispiel:
( zx − 4y )2 = ( zx )2 − 2 ⋅ zx ⋅ 4y + ( 4y )2 = z 2 x 2 − 8zxy + 16y 2
3.) (a-b)·(a+b) = a2 - b2
Beispiel:
( 4 − 2 ) ⋅ ( 4 + 2 ) = 4 2 + 4 ⋅ 2 − 2 ⋅ 4 − 2 2 = 4 2 − 2 2 = 16 − 4 = 12
( 4 − 2 ) ⋅ ( 4 + 2 ) = ( 2 ) ⋅ ( 6 ) = 12
( zx − 4y ) ⋅ ( 4y + zx ) = ( zx − 4y ) ⋅ ( zx + 4y ) = ( zx ) − ( 4y )
2
2
Lösen von Gleichungen
Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4 x + 1) = 2x + 9
Lösung:
6x + ( 4x + 1) = 2x + 9
⇔ 6x + 4x + 1 = 2x + 9 ⇔ 10x + 1 = 2x + 9
Merke:
Wenn vor einem Klammerausdruck
unmittelbar ein Pluszeichen steht
(nicht so beim Minuszeichen), kann
die Klammer einfach weggelassen
werden.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4 x + 1) = 2x + 9
Lösung:
6x + ( 4x + 1) = 2x + 9
⇔ 6x + 4x + 1 = 2x + 9 ⇔ 10x + 1 = 2x + 9
⇔ 10x + 1 − 1 = 2x + 9 − 1 ⇔ 10x = 2x + 8
⇔ 10x − 2x = 2x + 8 − 2x ⇔ 8x = 8
Merke:
Wenn vor einem Klammerausdruck
unmittelbar ein Pluszeichen steht
(nicht so beim Minuszeichen), kann
die Klammer einfach weggelassen
werden.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4 x + 1) = 2x + 9
Lösung:
6x + ( 4x + 1) = 2x + 9
⇔ 6x + 4x + 1 = 2x + 9 ⇔ 10x + 1 = 2x + 9
⇔ 10x + 1 − 1 = 2x + 9 − 1 ⇔ 10x = 2x + 8
⇔ 10x − 2x = 2x + 8 − 2x ⇔ 8x = 8
8x 8
8 8
⇔
=
⇔ x⋅ =
⇔ x ⋅1 = 1
8 8
8 8
⇔ x =1
Damit die obige Gleichung „richtig“ ist, muss die
Variable x den Wert 1 haben. Diese Gleichung hat
also genau eine Lösung - nämlich x = 1.
Merke:
Wenn vor einem Klammerausdruck
unmittelbar ein Pluszeichen steht
(nicht so beim Minuszeichen), kann
die Klammer einfach weggelassen
werden.
Merke:
Wenn eine Zahl im Zähler eines
Bruches steht und dort mit einem
Ausdruck multipliziert wird, dann
kann man sie auch vor den Bruch
schreiben und durch ein Mal-Zeichen
verbinden.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 1: Man löse folgende Gleichung 6x + ( 4 x + 1) = 2x + 9
Probe unserer Rechnung:
6x + ( 4x + 1) = 2x + 9
⇔ 6 ⋅1 + ( 4 ⋅1 + 1) = 2 ⋅1 + 9
⇔ 6 + ( 4 + 1) = 2 + 9
⇔ 6 + (5) = 2 + 9
Merke:
Setzt man den gefundenen Wert der
Variablen in die Gleichung ein, so
kann man direkt überprüfen, ob man
richtig gerechnet hat.
⇔ 11 = 11
✓
Die Probe unserer Rechnung ergibt, dass die rechte Gleichungsseite der linken Seite
entspricht - Wir haben uns also nicht verrechnet.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Lösung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + 2 ⋅ ( -x ) + 2 ⋅ (-3) = -2x - 5
Merke:
Wenn vor einem Klammerausdruck
unmittelbar eine Zahl steht, so muss
jeder Ausdruck in der Klammer mit
dieser Zahl multipliziert werden.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Lösung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + 2 ⋅ ( -x ) + 2 ⋅ (-3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + -2x + -6 = -2x - 5
Merke:
Eine positive Zahl, die man mit einer
negativen Zahl multipliziert, ergibt
ein negatives Produkt.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Lösung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + 2 ⋅ ( -x ) + 2 ⋅ (-3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + -2x + -6 = -2x - 5
⇔ -x -2x + 7 - 6 = -2x - 5
Merke:
Man kann auf den einzelnen Seiten
der Gleichungen die Ausdrücke und
Zahlen beliebig umstellen, die mit
einem Pluszeichen bzw. Minuszeichen voneinander getrennt sind.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Lösung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + 2 ⋅ ( -x ) + 2 ⋅ (-3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + -2x + -6 = -2x - 5
⇔ -x -2x + 7 - 6 = -2x - 5 ⇔ -3x + 1 = -2x - 5
Merke:
Die Addition und Subtraktion eines
Ausdrucks von einem anderen
Ausduck kann man anhand einer
Zahlengerade (Zollstock)
veranschaulichen.
−3x = −x − 2x
-4x
-3x
-2x
-2x
-1x
0
1x
2x
3x
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Lösung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + 2 ⋅ ( -x ) + 2 ⋅ (-3) = -2x - 5
⇔ -x + 7 + -2x + -6 = -2x - 5
⇔ -x -2x + 7 - 6 = -2x - 5 ⇔ -3x + 1 = -2x - 5
⇔ -3x + 1 + 2x = -2x - 5 + 2x ⇔ -x + 1 = - 5
-x
-6
⇔ -x + 1 - 1 = - 5 - 1 ⇔ -x = -6 ⇔
=
−1
−1
−1
-1
⇔ x⋅
= 6⋅
⇔ x =6
−1
−1
Damit die obige Gleichung „richtig“ ist, muss die
Variable x den Wert 6 haben. Diese Gleichung hat
also genau eine Lösung - nämlich x = 6.
Merke:
Wenn vor einem Klammerausdruck
unmittelbar eine Zahl steht, so muss
jeder Ausdruck in der Klammer mit
dieser Zahl multipliziert werden.
Lösen von Gleichungen
Beispiel 2: Man löse folgende Gleichung -x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
Probe unserer Rechnung:
-x + 7 + 2 ⋅ (-x - 3) = -2x - 5
⇔ -6 + 7 + 2 ⋅ (-6 - 3) = -2 ⋅ 6 - 5
⇔ -6 + 7 + 2 ⋅ (-9) = -2 ⋅ 6 - 5
⇔ -6 + 7 - 9 - 9 = -2 ⋅ 6 - 5
⇔ -6 + 7 - 18 = -2 ⋅ 6 - 5
⇔ -6 + 7 - 18 = - 12 - 5
⇔ +1 - 18 = - 17
⇔ - 17 = - 17
Merke:
Eine positive Zahl, die man mit einer
negativen Zahl multipliziert, ergibt
ein negatives Produkt.
Merke:
Beachte - Punktrechnung geht vor
Strichrechnung. Zuerst muss der
Ausdruck berechnet werden, der
durch ein Malzeichen miteinander
verbunden ist.
✓
Die Probe unserer Rechnung ergibt, dass die rechte Gleichungsseite der linken Seite
entspricht - Wir haben uns also nicht verrechnet.
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Klammerterme auf:
1.) (-13 + 57x)(x - 5)
2.) (9 - 7x)² 3.) (12x + 8)(12x - 8)
4.) -4(-3 + 3x)
5.) (3 - 8x)²
6.) (5x + 6)(5x - 6)
7.) (12x + 8)(12x - 8)
8.) (9 + 6x)(6x - 9)
9.) (12 + 4x)(12 - 4x)
10.) (4x - 8)²
11.) (6x + 12)(6x - 12)
12.) (12 + 12x)²
13.) (6 - 12x)²
14.) (9 + 12x)²
15.) (109 - 68x)(1 - 2x)
16.) -(3 - 2x)
17.) (8 + 8x)²
18.) (1 + 12x)(1 - 12x)
19.) (10 + 11x)²
20.) (10 + 10x)²
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Klammerterme auf (Lösungen)
1.) 57x² – 298x + 65 2.) 49x² – 126x + 81 3.) 144x² – 64 4.) –12x + 12 5.) 64x² – 48x + 9 6.) 25x² – 36 7.) 144x² – 64 8.) 36x² – 81 9.) –16x² + 144 10.) 16x² – 64x + 64 11.) 36x² – 144 12.) 144x² + 288x + 144 13.) 144x² – 144x + 36 14.) 144x² + 216x + 81 15.) 136x² – 286x + 109 16.) 2x – 3 17.) 64x² + 128x + 64 18.) –144x² + 1 19.) 121x² + 220x + 100 20.) 100x² + 200x + 100 Übungsaufgaben
Übungsaufgaben - Lösen Sie folgende Gleichungen zur Übung nach x auf:
1.) -(4x + 30) + 2x = -3
6.) 2(-2x + 3) + 3 - x = -2 - 4x
2.) -2x - (2 + 3x) = -5x - 2
7.) x - (8 - 4x) - 2(3x - 8) = -3
3.) 3(x - 1) - 2x + 19 = 3x - 5
8.) 5(3x + 3) + 18 - 4x = 19x + 2
4.) -x - 4(x - 6) + 4(x - 4) = 2
9.) 3x - 1 = (-1 - 7x) + 14x - 50
5.) -(2x - 1) + 2(x - 1) - x = 3
10.) -(3x - 20) - 42 - 4x = -5x - 3
Übungsaufgaben
Übungsaufgaben - Die Lösungsmengen (d.h. der x-Wert, der die Gleichungen erfüllt) der Aufgaben:
1.) L={–13,5}
6.) L={11}
2.) L=R
7.) L={11}
3.) L={10,5}
8.) L={3,875}
4.) L={6}
9.) L={12,5}
5.) L={–4}
10.) L={–9,5}
Neugierig geworden auf viele weitere Infos zum Studium?
Dann besuchen Sie uns unter
http://www.fernstudium-guide.de