V2-14.04.2008

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Größenordnungen von Funktionen
Notation:
Algorithmen und Datenstrukturen
2. Vorlesung
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
N+ = {n ∈ N | n > 0} = {1, 2, 3, . . .}
R+
0 = {x ∈ R | x ≥ 0}
Martin Dietzfelbinger
R+ = {x ∈ R | x > 0}
14. April 2008
Uns interessieren meistens (als Rechenaufwand oder
Abschätzungen hierfür) nur Funktionen, die schließlich“ po”
sitiv oder nichtnegativ sind. – Abkürzung:
F + := {f | f : N → R, ∃n0∀n ≥ n0 : f (n) > 0}.
F0+ := {f | f : N → R, ∃n0∀n ≥ n0 : f (n) ≥ 0}.
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AuD – 14.04.2008
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• Ignorieren von konstanten Faktoren. – Idee: Unterdrücke
Abhängigkeit von Programmiersprache, Prozessor, usw.
• Ignorieren von konstanten Faktoren und Termen kleinerer
Ordnung. – Ziel: Vereinfachung.
1
O-Notation
Informal: g ist von der Ordnung f“ (Notation O(f )), wenn:
”
• Asymptotische Sichtweise“: Werte für kleine“ n
”
”
ignorieren. – Erfahrungstatsache: Verhalten für große Eingabegrößen n häufig schon entscheidend bei normalen“
”
n.
2f
g
Funktionen mit unterschiedlich schnellem Wachstum bilden
Hierarchie. – Ausschnitt (vgl. Übung!):
log n,
√
n,
n
, n, nlog n, n(log n)2, n2, n3, 2n, en, 3n
log n
n0
Für genügend große n ist 0 ≤ g(n) ≤ c · f (n), für c > 0 konstant.
Bem.: In dieser Vorlesung: log x bedeutet log2 x.
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f
2
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3
O-Notation
O-Notation
Formal:
Beispiele:
Definition
(a) Wenn g(n) = 2n − 7 und f (n) = n, dann ist g ∈ O(f ).
Sei f ∈ F +.
(b) Wenn g(n) = 2n − 7 und f (n) = n2, dann ist g ∈ O(f ).
O(f ) := { g ∈ F0+ | ∃n0 ∈ N ∃c > 0
(c) Wenn g(n) = 4n3 − 13n2 + 10 und f (n) = n3 log n,
dann ist g ∈ O(f ).
∀n ≥ n0 : g(n) ≤ c · f (n)}
(d) Wenn g(n) = 3+2 sin(n) und f (n) ≡ 1, dann ist g ∈ O(f ).
Intuition I:
g ∈ O(f ) heißt, dass g asymptotisch (für genügend große n)
und unter Vernachlässigung konstanter Faktoren höchstens so schnell wächst wie f .
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4
(e) Wenn g(n) = 2n für gerade n und g(n) = 2/n für ungerade
n, und f (n) = n, dann ist g ∈ O(f ).
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O(f (n))-Notation
O(f (n))-Notation
Beispiele:
Schreib- und Sprechweisen:
(i) g(n) = O(f (n)) als Abkürzung für g ∈ O(f ).
(a) 2n − 7 = O(n).
(ii) g(n) ist O(f (n))“. Sprich: g(n) ist Groß-Oh von f (n)“
”
”
Warnung: Das =“ bedeutet nicht Gleichheit, ist nicht
”
symmetrisch.
(b) Jede Funktion g mit 2n log n ≤ g(n) ≤ 4n2/ log n
für alle n ≥ 10 erfüllt g(n) = O(n2).
Intuition II:
(d) 4 · 2n + 3 · n2 = O(2n).
O(f (n)) steht für ein beliebiges Element von O(f ).
F0+,
(Eine anonyme Funktion g ∈
von der man nur weiß, dass
sie für genügend große n durch c · f (n) beschränkt ist.)
Damit z. B. sinnvoll: 3n3 + 2n2 − 5n + 4 = 3n3 + O(n2).
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5
6
(c) 2n2 − 30n + 3 = O(n2).
(e) 4n2 log n + 2n(log n)3 = O(n3).
(e) 4n2 log n + 2n(log n)3 = O(n2 log n).
(f) 3 + 2 sin(n) = O(1).
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7
Konvention:
o-Notation
Möglichst kleine und möglichst einfache Funktionen
innerhalb des O(. . .)-Terms.
17n2/(log n)3 + 13n3/2 = O(n2/(log n)3)
17n2/(log n)3 + 13n3/2 = O(n2)
(klein)
g(n) wächst asymptotisch streng langsamer als f (n).“
”
oder
f
(einfach)
g
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Ω-Notation
o-Notation
Definition
g(n) ist asymptotisch und bis auf einen konstanten Faktor
”
durch f nach unten beschränkt.“
+
Für f ∈ F :
g(n)
= 0}
n→∞ f (n)
o(f ) := {g ∈ F0+ | lim
f
Schreibe g(n) = o(f (n))“ für g ∈ o(f ).
”
(Sprich: g(n) ist klein-oh von f (n)“.)
”
Beispiele:
(a) n/ log n = o(n).
g
f /2
(b) 5n2 log n + 7n2.1 = o(n5/2).
(c) n10 = o(2n).
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n0
10
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Manchmal benutzt: Für f ∈ F +:
Ω-Notation
ω(f ) := {g ∈ F + | limn→∞ fg(n)
(n) = ∞}
Definition
Ω(f ) := {g ∈ F + |
g(n) wächst asymptotisch echt schneller als f .“
”
Schreibe g(n) = ω(f (n))“ für g ∈ ω(f ).
”
(Sprich: g(n) ist klein-omega von f (n)“.)
”
∃n0 ∈ N ∃d > 0
∀n ≥ n0 : g(n) ≥ d · f (n)}
Klar: Für f, g ∈ F + gilt: g ∈ ω(f ) ⇔ f ∈ o(g).
Schreibe g(n) = Ω(f (n))“ für g ∈ Ω(f ).
”
(Sprich: g(n) ist Groß-Omega von f (n)“.)
”
Beispiele: (a) 0.3n log n − 20n = Ω(n log n).
(b)
1 2
10 n
− 20n + 1 = Ω(n2).
(c) n10 log n = Ω(n10).
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Θ-Notation
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Θ-Notation
g(n) ist asymptotisch und bis auf konstante Faktoren von
”
derselben Größenordnung wie f (n).“
Für f ∈ F + definiere:
Θ(f ) := O(f ) ∩ Ω(f ) ,
d.h.
Θ(f ) = {g ∈ F + | ∃n0 ∈ N ∃c, d > 0
∀n ≥ n0 : d · f (n) ≤ g(n) ≤ c · f (n)}
2f
Beobachtung: g ∈ Θ(f ) ⇔ O(g) = O(f ).
Schreibe g(n) = Θ(f (n))“ für g ∈ Θ(f ).
”
(Sprich: g(n) ist Theta von f (n)“.)
”
f
g
f /2
n0
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Rechenregeln
Rechenregeln
Lemma 1 (Grenzwertregel)
+
F0+
Falls f ∈ F , g ∈
ist g(n) = O(f (n)).
und
limn→∞ fg(n)
(n)
Folgerung aus der Grenzwertregel:
= c für ein c ≥ 0, so
Wenn g ein Polynom ist:
g(n) = ak nk + ak−1nk−1 + · · · + a1n + a0
Spezialfälle:
für ak , . . . , a1, a0 ∈ R, wobei ak > 0, und f (n) = nk , dann
c = 0: Voraussetzung bedeutet: g(n) = o(f (n)).
Also: g(n) = o(f (n)) ⇒ g(n) = O(f (n))
c > 0:
g(n)
ak−1
a0 a1
lim
= lim ak +
+ · · · + k−1 + k = ak ,
n→∞ f (n)
n→∞
n
n
n
limn→∞ fg(n)
(n) = c impliziert:
Es gibt n0, so dass für n ≥ n0 gilt: c/2 <
g(n)
f (n)
damit: ak nk + ak−1nk−1 + · · · + a1n + a0 = O(nk ).
< 2c.
Sogar: . . . = Θ(nk ).
Also: g(n) = Θ(f (n)), also g(n) = O(f (n)).
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Rechenregeln
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Rechenregeln
Lemma 2 (Transitivität)
Lemma 3 ( Konstante Faktoren weglassen“)
”
Ist g(n) = O(d · f (n)) und d > 0 beliebig,
dann gilt g(n) = O(f (n)).
Es seien f, g ∈ F +. Dann gilt für jedes h ∈ F0+:
Wenn g(n) = O(f (n)) und h(n) = O(g(n)),
dann folgt h(n) = O(f (n)).
D.h.: Wenn d > 0, dann ist O(d · f ) = O(f ).
D.h.: Wenn g ∈ O(f ), dann ist O(g) ⊆ O(f ).
Beispiele:
Kurz: h(n) = O(g(n)) = O(f (n)).
Nicht g(n) = O(3n log2.8 n), sondern g(n) = O(n log n);
nicht g(n) = O(n/3), sondern g(n) = O(n);
nicht g(n) = O(2.5), sondern g(n) = O(1).
Achtung: In der O(f (n))-Notation bedeutet =“ keine Gleich”
heit, die Relation ist nicht symmetrisch.
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Analog bei o(·), Ω(·), ω(·), Θ(·).
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Beispiele:
Rechenregeln
10n log n + 5n2 = O(n log n) + O(n2) = O(n2).
Lemma 4 (Linearität und Maximumsregel)
10n log n + 5n2 = Θ(n log n) + Θ(n2) = Θ(n2).
Ist g1(n) = O(f1(n)) und g2(n) = O(f2(n)), so folgt
10n log n + 5n2 = Ω(n log n) + Ω(n2) = Ω(n2).
g1(n) + g2(n) = O(f1(n) + f2(n))
= O(max{f1(n), f2(n)}).
Anwendung: Hintereinanderausführung von Algorithmen:
Rechenzeiten addieren sich, auch in der O-Abschätzung.
Analog bei o(·), Ω(·), ω(·), Θ(·).
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Rechenregeln
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Rechenregeln
Lemma 5 (Weglassen von Termen kleinerer Ordnung“)
”
Ist f ∈ F + und |g(n)| = o(f (n)),
und ist h(n) = O(f (n) + g(n)), so ist h(n) = O(f (n)).
Lemma 6 (Multiplikationsregel)
Ist g1(n) = O(f1(n)) und g2(n) = O(f2(n)),
so folgt g1(n)g2(n) = O(f1(n)f2(n)).
Analog bei o(·), Ω(·), ω(·), Θ(·).
Analog bei o(·), Ω(·), ω(·), Θ(·).
Bei o(·) genügt sogar: g1(n) = O(f1(n)) und g2(n) = o(f2(n)).
Fazit:
In Summen suche den dominierenden Term“;
”
lasse die anderen weg.
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Anwendung: Sei g1(n) = O(f1(n)) und g2(n) = O(f2(n)).
Wird eine Schleife g1(n)-mal ausgeführt,
wobei die Kosten für die einmalige Ausführung höchstens g2(n)
betragen, dann sind die Gesamtkosten O(f1(n)f2(n)).
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Rechenregeln
Rechenregeln
Lemma 7 (O-Notation in Summen)
O-Notation in Summen
Beispiel: Unterschiedliche Kosten für Schleifenrumpf bei verschiedenen Durchläufen.
n Durchläufe, Kosten beim i-ten Durchlauf: O(n · 2i).
Sei g : N × N → R+
0.
Für jedes n ∈ N sei an,1, . . . , an,t(n) Zahlenfolge mit
∃c > 0∃n0∀n ≥ n0∀1 ≤ i ≤ t(n) : 0 ≤ an,i ≤ c · g(n, i).
( an,i ist uniform durch ein Vielfaches von g(n, i) be”
schränkt“; man schreibt kurz: an,i = O(g(n, i)))
Maximum: O(n · 2n).
Multiplikationsregel liefert: O(n · (n · 2n)) = O(n2 · 2n).
Dann gilt (die Variable ist n):
⎛
an,i = O ⎝
Aber: 2 + 22 + 23 + · · · + 2n−1 + 2n = 2n+1 − 2 = O(2n).
n
Vermutung: Gesamtkosten sind nur O(n · 2 ).
1≤i≤t(n)
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Achtung!
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Beispiel:
Algorithmus Straight Insertion Sort (Pseudocode)
(1) for i from 2 to n do
(2)
x ← A[i] ;
(3)
j ← i-1 ;
(4)
while j ≥ 1 and x.key < A[j].key do
(5)
A[j+1] ← A[j] ;
(6)
j ← j-1 ;
(7)
A[j+1] ← x.
⎞
g(n, i)⎠
1≤i≤t(n)
ist.
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1≤i≤t(n)
Gegeben: Algorithmus A für Inputmenge I.
∀1 ≤ i ≤ t(n) : 0 ≤ an,i ≤ cn · g(n, i),
1≤i≤t(n)
g(n, i)⎠
Anwendung: Kosten“ — Rechenzeiten“
”
”
Wenn es für jedes n ≥ n0 ein cn gibt mit
(an,i nicht-uniform beschränkt),
dann kann man nicht folgern, dass
⎛
an,i = O ⎝
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⎞
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Kosten“ – Rechenzeiten
”
Kosten“ – Rechenzeiten
”
Kosten, Aufwand, Rechenzeit“, wenn Algorithmus A auf
”
Eingabe x abläuft.
Jede Elementaroperation op ist mit einer Konstanten cop
bewertet.
Eingabegröße: n = |x| = size(x).
Idee: op benötigt höchstens Zeit cop (Takte oder μs)
In = {x ∈ I | size(x) = n} – Größenklasse
Technische Unterschiede (Prozessoren, Speicher usw.) können
bei der Festlegung der Konstanten berücksichtigt werden.
Beim Sortierproblem: size((a1, . . . , an)) = n
Die Konstanten cop werden nie explizit genannt.
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Kosten
Kosten
kop(x) sei die Anzahl der Ausführungen der Elementaroperation op bei der Ausführung von A auf x. Dann:
Beispiel: Im S.I.S.-Algorithmus wird auf der Eingabe (1, 2, 3, 4)
der Zeilenendetest j ≥ 1“ in Zeile (4) genau dreimal durch”
geführt,
tA(x) :=
kop(x) · cop.
auf Eingabe (2, 1, 4, 3) wird er fünfmal durchgeführt.
op Operation
Analog für die anderen Operationen: jeder Input liefert ein
anderes Bild.
Wir nennen tA(x) die Kosten von A auf x.
Die Kosten stellen ein ungefähres Maß für die Rechenzeit dar.
Wir sagen daher oft Rechenzeit“ anstatt Kosten“.
”
”
Um die Kosten genau zu bestimmen, müsste man die Konstanten für alle ausgeführten Operationen addieren, für jedes
x ∈ I!
Zu kompliziert! Details haben keine Aussagekraft!
→ O-Notation.
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O-Notation bei Kosten
O-Notation bei Kosten
Beispiel: S.I.S.-Algorithmus.
Mit Multiplikationsregel:
Wir beobachten: jeder Durchlauf durch die innere Schleife in
Zeilen (4)–(6) erfordert eine konstante (unabhängig von n)
Anzahl an Operationen,
Der i-te Durchlauf durch die äußere Schleife hat Kosten O(1)+
ki · O(ki) = O(1 + ki),
wobei ki = #{j < i | key(aj ) > key(ai)} (abhängig von x!).
hat also Kosten O(1).
Mit Summationsregel:
Der gesamte Ablauf hat Kosten
tS.I.S(x) = O(n +
ki).
2≤i≤n
Sogar: tS.I.S(x) = Θ(n +
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2≤i≤n ki).
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Worst-case-Kosten
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Worst-case-Kosten
worst-case-Kosten oder Kosten im schlechtesten Fall:
Beispiel S.I.S.:
Sei A Algorithmus für Inputs aus I.
Für den Input x = (n, n − 1, . . . , 1) gilt
Erinnerung: In = {x ∈ I | size(x) = n}
n+
worst-case-Kosten:
ki = n +
2≤i≤n
TA(n) = max{tA(x) | x ∈ In}
Für jeden Input gilt n +
n + n(n−1)
.
2
(i − 1) = n +
2≤i≤n
2≤i≤n ki
≤ n+
n(n − 1)
.
2
2≤i≤n(i
− 1) =
Wenn man betonen will, dass es um die worst-case Kosten
geht: TA,worst(n).
Also: TS.I.S.,worst(n) = O(n + n2) = O(n2), sogar = Θ(n2).
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Best-case-Kosten
Average-case Kosten
best-case-Kosten oder Kosten im besten Fall:
average-case-Kosten oder durchschnittliche Kosten:
Gegeben sei, für jedes n ∈ N,
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Prn auf In.
TA,best(n) = min{tA(x) | x ∈ In}
D.h.: Für jedes x ∈ In ist eine Wahrscheinlichkeit Prn(x)
festgelegt. (Empirisch, oder per Festlegung.)
Beispiel S.I.S.:
Für den Input (1, 2, . . . , n) gilt
n+
2≤i≤n
für jeden Input gilt n +
ki = n +
0 = n;
TA,av(n) = E(tA) =
2≤i≤n
2≤i≤n ki
Prn(x) · tA(x).
x∈In
(Erwartungswert, berechnet mit Prn; Mittelwert“)
”
≥ n.
Also: TS.I.S.,best(n) = O(n), sogar = Θ(n).
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Average-case Kosten
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Average-case Kosten
Beispiel S.I.S.:
Bilde Mittelwert/Erwartungswert für Fx =
Vereinfachung:
Für alle i = j: key(ai) < key(aj ) oder key(ai) > key(aj ).
Fx := #{(j, i) | 1 ≤ j < i ≤ n, key(aj ) > key(ai)}
Wahrscheinlichkeitsannahme
(Standard für das Sortierproblem):
Jede Anordnung der Eingabezahlen
Wahrscheinlichkeit.
hat
2≤i≤n ki.
Anzahl der Fehlstände“ in x = (a1, . . . , an).
”
Z. B. gibt es in (3, 7, 2) zwei Fehlstände.
dieselbe
D. h.: jede Anordnung der Schlüssel (a1, . . . , an) tritt mit
Wahrscheinlichkeit 1/n! auf.
(Beispiel bei Schlüsseln 2, 3, 7:
(2, 3, 7), (2, 7, 3), (3, 2, 7), (3, 7, 2), (7, 2, 3), (7, 3, 2): je 16 )
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Average-case Kosten
Analyse von Kosten – Fazit
Kann Erwartungswert (Mittelwert) berechnen:
E(Fx) = 12 · n2 = 14 n(n − 1)
(Grob: Jedes der n2 Paare (j, i) weist mit Wahrscheinlichkeit
1
1
2 einen Fehlstand auf, trägt also 2 zur mittleren Anzahl der
Fehlstände bei.)
Aufwand von Straight Insertion Sort im mittleren Fall, auf
Inputs der Länge n,
unter der Gleichverteilungsannahme:
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Selbst für feste Implementierung eines Algorithmus A auf
fester Maschine und feste
Eingabegröße“ n = size(x) = |x|
”
kann der Berechnungsaufwand auf verschiedenen Inputs höchst
unterschiedlich sein.
Begriff Die Laufzeit von Algorithmus A auf Eingaben x vom
”
Umfang n = size(x)“
ist meist sinnlos.
1
TS.I.S,av(n) = Θ(n + n(n − 1)) = Θ(n2).
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Fazit:
Sinnvoll: Schlechtester und bester Fall, eventuell durchschnittlicher Fall.
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Ignorieren konstanter Faktoren – Beispiel:
Analyse von Kosten – Fazit
Alternativer Sortieralgorithmus: Mergesort. (1. Sem.)
In allen drei Situationen:
Rechenzeit/Kosten: O(n log n).
Obere Schranken → O-Notation.
Mergesort wird für genügend große Inputs“ schneller sein als
”
Straight Insertion Sort, auch wenn wir die Konstanten nicht
kennen.
Untere Schranken → Ω-Notation .
Asymptotisches Verhalten, präzise: Θ-Notation.
Konstante Faktoren ignorieren!
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Ein Vergleich: 10n log n versus n2/5
Ein Vergleich: 10n log n versus n2/5
n log n versus n*n,
bis n=500
n log n versus n*n,
bis n=3000
50000
1.8e+06
1.6e+06
40000
1.4e+06
1.2e+06
30000
1e+06
800000
20000
600000
400000
10000
200000
0
100
200
x
300
400
0
500
500
1000
1500
10*n*log n
n*n/5
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2000
x
2500
3000
10*n*log n
n*n/5
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Ein Vergleich: 10n log n versus n2/5
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45
Ein Vergleich: 10n log n versus n2/5
n log n versus n*n,
bis n=10000
n log n versus n*n,
bis n=1000000
1e+11
2e+07
8e+10
1.5e+07
6e+10
1e+07
4e+10
5e+06
2e+10
0
2000
4000
x
6000
8000
0
10000
200000
10*n*log n
n*n/5
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400000
x
600000
800000
1e+06
10*n*log n
n*n/5
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47
Vergleich einiger Wachstumsordnungen
Hilft ein schnellerer Rechner?
Zeit für eine (Elementar-)Operation: 10 ns.
tA(n)
10
100
1000
log
√n
n
n
n log n
n3/2
n2
n3
1.1n
2n
n!
nn
33ns
32ns
100ns
0.3μs
0.3μs
1μs
10μs
26ns
10μs
36ms
1.7m
66ns
0.1μs
1μs
6.6μs
10μs
0.1ms
10ms
0.1ms
4.0·1014y
3.0·10142y
3.2·10184y
0.1μs
0.3μs
10μs
0.1ms
0.3ms
10ms
10s
7.8·1025y
FG KTuEA, TU Ilmenau
Wie wächst die maximal behandelbare Eingabegröße, wenn der Rechner
n
104
105
106
107
108
0.1μs
1μs
0.1ms
1.3ms
10ms
1s
2.8h
0.2μs
3.1μs
1ms
16ms
0.3s
1.7m
115d
0.2μs
10μs
10ms
0.2s
10s
2.8h
317y
0.2μs
31μs
0.1s
2.3s
5.2m
11d
3.2·105y
0.3μs
0.1ms
1s
27s
2.7h
3.2y
AuD – 14.04.2008
48
Hilft ein schnellerer Rechner?
Angetrieben durch die höheren Rechengeschwindigkeiten
und die noch rascher wachsenden Speicherkapazitäten
wächst in vielen Bereichen die Menge der zu bewältigenden
Daten noch schneller als die Rechnergeschwindigkeit.
Beispiele:
Indizes der Internet-Suchmaschinen.
Routenplaner, Fahrplan-, Ticketsysteme der Bahn.
Computergraphik
(Szenen aus zig Milliarden von Elementen!)
Effizienz der benutzten Algorithmen ist wichtiger denn je!
FG KTuEA, TU Ilmenau
AuD – 14.04.2008
50
um den Faktor 10 schneller wird?
tA(n) Maxalt
MaxNEU
log
n
n
n10
√
n
n
100n
n
n
10n
log n
n log n
n
10n · log n+log
10
n3/2
n
4.64n
n2
n
3.16n
n3
n
2.15n
nk
n
101/k n
cn
n
n + logc 10
n!
um von n auf n + 1 zu kommen,
nn
braucht man einen um den Faktor n
schnelleren Rechner
FG KTuEA, TU Ilmenau
AuD – 14.04.2008
49
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