Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis

Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
Institut für Angewandte Mathematik
Prof. Dr. A. Marciniak-Czochra
Wintersemester 2014/2015
17.12.2014
Wiederholungsblatt
Übungen zur Vorlesung
Funktionalanalysis
Dieses Blatt dient der Wiederholung einiger Inhalte, die bis Mitte Dezember in der Vorlesung gezeigt wurden. Es dient dem Selbststudium und wird nicht abgegeben und nicht
korrigiert.
Aufgabe X.1.
a) Was besagt die Cauchy-Schwarz Ungleichung?
b) Besitzt jeder Raum mit einem Skalarprodukt eine Vervollständigung?
c) Was bedeutet es, wenn ein metrischer Raum vollständig ist?
d) Wie lautet die Parallelogrammidentität?
e) Was änders sich, wenn man die Vorraussetzung ’konvex’ an die Untermenge beim
Satz über die Projektionsabbildung nicht fordert?
f) Sind endlichdimensionale Unterräume normierter Räume abgeschlossen?
g) Was bedeutet die Antwort auf vorherige Frage für die Existenz von Projektionsabbildungen?
h) Welche Ungleichung, die sich explizit auf Orthonormalsysteme bezieht, kennen Sie
aus der Vorlesung? Gilt diese für alle Orthonormalsystem?
i) Es sei H ein Hilbertraum und M ein endlichdimensionaler Unterraum. Gibt es ein
orthogonales Komplement von M ?
Aufgabe X.2
a) Geben Sie ein Beispiel für eine Unteralgebra von C 0 (R), die Punkte trennt. Was ist
der Abschluss der Unteralgebra, wenn diese Unteralgebra Konstanten enthält?
b) Geben Sie einen separablen unendlich-dimensionalen Hilbertraum und seinen Bidualraum an.
c) Geben Sie ein Beispiel einer Norm an, mit der versehen C 0 (0, 1)
• vollständig ist.
• nicht vollständig ist.
d) Definieren Sie Separabilität.
e) Was versteht man unter dem Träger einer Funktion?
1
f) Wann ist {x ∈ X | kxk ≤ 1} in einem Banachraum X kompakt bezüglich k.k? Wann
nicht?
g) Was ist eine σ-Algebra?
h) Kennen Sie ein Erzeugendensystem der Borelschen σ-Algebra B(Rn )?
i) Was besagt der Satz über dominierte Konvergenz?
j) Für welche p, q gilt Lq ⊂ Lp für µ(Ω) < ∞?
k) Gilt das auch für Lp (R) und Lq (R)?
l) Was besagt die Höldersche Ungleichung?
m) Was versteht man unter einer Faltung, was unter einer Glättung?
n) Gibt es nicht-Lebesgue-messbare Mengen in Rn ?
o) Geben Sie die Vervollständigung von L2 (Ω) bezüglich folgender Norm an:
Z
2
1/2
|u| dx
Ω
p) Sei Ω offen und beschränkt. Ist {u ∈ L2 (Ω) | kukL∞ < ∞} versehen mit k.kL∞
• vollständig?
• reflexiv?
q) Was ist eine schwache Ableitung?
r) Was ist eine Abschneidefunktion? Was eine Partition der Eins?
s) Warum beweist man im ersten Schritt des Beweises vieler Sachverhalte diesen oft
erst für C ∞ -Funktionen, wenn man ihn für H m,p zeigen möchte?
Aufgabe X.3
a) Ist die Funktion id : (H 1,2 (Ω), k.kH 1,2 ) → (L2 (Ω), k.kL2 ) stetig?
b) Geben Sie drei Charakterisierungen für Stetigkeit eines linearen Operators L : X →
Y , wobei X, Y normierte Räume sind.
c) Kennen Sie eine Topologie, bezüglich derer die abgeschlossene Einheitskugel von Lp
mit 1 < p < ∞ kompakt ist? Ist diese Topologie von einer Norm induziert?
d) Was besagt der Satz von Hahn-Banach?
2