Mechanik IA - Institut für Mechanik
Werbung
Vorlesung Mechanik IA Thomas Antretter Institut für Mechanik, Montanuniversität Leoben, 8700 Leoben Mechanik IA Einteilung Mechanik feste Körper starre Körper Fluide (Flüssigkeiten, Gase) deformierbare Körper Mechanik fester Körper Statik Dynamik Kinematik Mechanik IA Kinetik Der Kraftbegriff: Eine Kraft ist ein Vektor, charakterisiert durch Größe, Richtung und Orientierung Bezeichung allgemein: πΉ (auch πΉ , πΉ , F…..) Typische Kräfte: Gewichtskraft πΊ, Seilkraft π, Kontaktkraft πΎ…. Kräfte bewirken: • • • Muskelempfindungen Verformungen fester Körper Beschleunigung von Körpern Einheit der Kraft: Newton, 1 N = 1 kgms-2 (früher: kilopond, 1 kp = 9,80665 N, Normalfallbeschleunigung gn = 9,80665 ms-2) Mechanik IA Andere Vektoren in der Mechanik: Geschwindigkeit π£ Beschleunigung π Ortsvektor π ….. Vektorrechnung πΉ1 = πΉ2 , wenn πΉ1 = πΉ2 und πΉ1 β₯ πΉ2 und gleiche Orientierung, der Angriffspunkt kann unterschiedlich sein πΉ3 = −πΉ1 , wenn πΉ1 = πΉ3 und πΉ1 β₯ πΉ2 und entgegengesetzte Orientierung. Multiplikation mit einem Skalar: Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar verändert die Größe und ggf. die Orientierung des Vektors, die Richtung bleibt hingegen gleich. Mechanik IA Vektoraddition: π = πΉ1 + πΉ2 = πΉ2 + πΉ1 kommutativ! π(πΉ1 + πΉ2 ) = ππΉ1 + ππΉ2 distributiv! Vektordifferenz: π· = πΉ1 − πΉ2 = πΉ1 + (−πΉ2 ) Mechanik IA aber π ≤ πΉ1 + πΉ2 Zerlegung eines Vektors: Zerlegung von πΉ in Komponenten πΉπ und πΉπ Mechanik IA Darstellungsmöglichkeiten von Vektoren: Zerlegung eines Vektors in einem geeigneten Koordinatensystem z.B. kartesisch, 2D: πΉ = πΉπ₯ + πΉπ¦ = πΉπ₯ ππ₯ + πΉπ¦ ππ¦ = πΉπ₯ ππ₯ + πΉπ¦ ππ¦ ππ₯ , ππ¦ …. Einheitsvektoren (Richtungsanzeiger der Länge 1) πΉπ₯ = πΉ cos πΌ πΉπ¦ = πΉ sin πΌ Merke: Mechanik IA kartesisch, 3D: rechtshändiges Koordinatensystem ! +z πΉ = πΉπ₯ ππ₯ + πΉπ¦ ππ¦ + πΉπ§ ππ§ = +y = πΉπ₯ ππ₯ + πΉπ¦ ππ¦ + πΉπ§ ππ§ +x Gegebenenfalls sind andere Koordinatensysteme zielführend, z.B. Polarkoordinaten (Zylinderkoordinaten), natürliche Koordinaten (in der Kinematik) …. Manchmal werden Vektoren in Spaltenform dargestellt: πΉπ₯ π’ z.B. Kraftvektor πΉ = πΉπ¦ , Geschwindigkeitsvektor π£ = π£ , …. π€ πΉπ§ Mechanik IA Rechnerische Addition und Subtraktion von Vektoren: π΄ = π΄π₯ ππ₯ + π΄π¦ ππ¦ + π΄π§ ππ§ π΅ = π΅π₯ ππ₯ + π΅π¦ ππ¦ + π΅π§ ππ§ π = (π΄π₯ + π΅π₯ )ππ₯ + (π΄π¦ + π΅π¦ )ππ¦ + (π΄π§ + π΅π§ )ππ§ Alternative Schreibweise: π π₯ π π¦ π π§ π΄π₯ π΅π₯ = π΄π¦ + π΅π¦ π΅π§ π΄π§ π = Mechanik IA π΄ + π΅ π΄π₯ + π΅π₯ = π΄π¦ + π΅π¦ π΄π§ + π΅π§ analog für Subtraktion Beispiel: Geg.: πΌ, π½, π1 = π1 , π2 = π2 Ges.: Resultierender Kraftvektor π rechnerische Lösung: π1 = π1 cos π½ ππ₯ − π1 sin π½ ππ¦ π2 = π2 cos πΌ ππ₯ + π2 sin πΌ ππ¦ π = π1 + π2 = (π1 cos π½ + π2 cos πΌ) ππ₯ + +(− π1 sin π½ + π2 sin πΌ) ππ¦ graphische Lösung: π = Mechanik IA π1 cos π½ + π2 cos πΌ − π1 sin π½ + π2 sin πΌ Kraftangriffspunkt Der Begriff „Einzelkraft“ ist bereits eine Idealisierung. In der Realität treten zwei Fälle auf: 1.) räumlich verteile Kräfte (Volumskräfte oder Massenkräfte) π = lim ΔπΉ π Δπ→0 Δπ π = N/m³ z.B. Schwerkraft (im Modell Ersatz durch Einzellast im Schwerpunkt) 2.) flächig verteile Kräfte (Oberflächenkräfte) π = lim ΔπΉ π΄ Δπ΄→0 Δπ΄ π = N/m² z.B. Druckverteilung auf einem Autoreifen (Ersatz durch Einzellast) Mechanik IA bei größerer Berührfläche: Kräfte treten paarweise, mit gleichem Betrag, entgegengesetzt auf (3. Newtonsches Axiom) K ….. Kontaktkraft von Unterlage auf Körper Ersatz durch Einzelkraft bei der Berechnung der Verformungen und inneren Beanspruchungen i.a. nicht zulässig Mechanik IA Für 2D Modelle werden häufig linienmäßig verteilte Lasten benötigt: π = lim ΔπΉ π Δπ₯→0 Δπ₯ Mechanik IA π = N/m Ortsvektoren: ππ΅π΄ = ππ΅ - ππ΄ Ziel ππ = π₯ππ₯ + π¦ππ¦ + π§ππ§ oder π₯ ππ = π¦ π§ Ausgangspunkt ππ΅π΄ = (π₯π΅ − π₯π΄ )ππ₯ + (π¦π΅ − π¦π΄ )ππ¦ + (π§π΅ − π§π΄ )ππ§ normierter Richtungsvektor ππ΅π΄ = Mechanik IA ππ΅π΄ ππ΅π΄ ππ΅π΄ = 1 Ist die Wirkungslinie einer Kraft durch 2 Punkte A und B gegeben und kennt man die Größe der Kraft, so kann man den Kraftvektor wie folgt anschreiben: πΉ = πππ΅π΄ = πΉππ΅π΄ = πΉ ππ΅π΄ ππ΅π΄ ⇒π= A Beispiel: πΉ ππ΅π΄ Geg.: π = 350 N, Punkte A, B Ges.: π 0 ππ΄ = 0 , 7.5 B 3 ππ΅ = −2 1.5 ππ΅π΄ 3 = −2 , −6 π= 150 350 3 = −2 −100 7 −6 −300 ππ΅π΄ = 32 + 22 + 62 = 7 oder π = 150ππ₯ − 100ππ¦ − 300ππ§ Mechanik IA Vektorprodukte - Inneres Produkt (Skalarprodukt) zweier Vektoren: "In-Produkt" π΄βπ΅ =π΅βπ΄ Definition: kommutativ! π΄ β π΅ = π΄π΅ cos π Projektion eines Vektors auf den anderen. Wird in der Mechanik z.B. für die Definition von Arbeit, Leistung etc. benötigt. π΄ = π΄π₯ ππ₯ + π΄π¦ ππ¦ + π΄π§ ππ§ π΅ = π΅π₯ ππ₯ + π΅π¦ ππ¦ + π΅π§ ππ§ π΄ β π΅ = (π΄π₯ ππ₯ + π΄π¦ ππ¦ + π΄π§ ππ§ ) β (π΅π₯ ππ₯ + π΅π¦ ππ¦ + π΅π§ ππ§ ) = π΄π₯ π΅π₯ ππ₯ β ππ₯ + π΄π₯ π΅π¦ ππ₯ β ππ¦ + π΄π₯ π΅π§ ππ₯ β ππ§ + π΄π¦ π΅π₯ ππ¦ β ππ₯ + π΄π¦ π΅π¦ ππ¦ β ππ¦ +π΄π¦ π΅π§ ππ¦ β ππ§ + π΄π§ π΅π₯ ππ§ β ππ₯ + π΄π§ π΅π¦ ππ§ β ππ¦ + π΄π§ π΅π§ ππ§ β ππ§ = π΄π₯ π΅π₯ + π΄π¦ π΅π¦ + π΄π§ π΅π§ Mechanik IA Man beachte: ππ β ππ = i,j …x, y, z 1 für π = π 0 für π ≠ π Winkel zwischen 2 Vektoren: cos π = π΄βπ΅ π΄ π΅ z.B. in vorigem Beispiel: Winkel πΎ zwischen S und z-Achse: cos πΎ = Mechanik IA π β ππ§ π ππ§ = ππ§ −300 = ⇒ πΎ = 149°, πΎ′ = 31° π 350 Vektorprodukte - Äußeres Produkt (vektorielles Produkt) zweier Vektoren: „Ex-Produkt" π΄ × π΅ = −π΅ × π΄ Definition: nicht kommutativ! Flächeninhalt π = π΄×π΅ π΄ × π΅ = π΄ π΅ sin πΌ π =π΄×π΅ Rechtsschraubregel π΄ × π΅ = 0, wenn π΄ β₯ π΅ oder π΄ = 0 oder π΅ = 0 π π΄ × π΅ = ππ΄ × π΅ = π΄ × ππ΅ assoziativ für die Multiplikation mit einem Skalar π΄× π΅+πΆ = π΄×π΅ + π΄×πΆ distributiv π΄×π΅+πΆ = π΄×π΅ +πΆ ≠π΄× π΅+πΆ “Punkt vor Strich” Mechanik IA π΄ = π΄π₯ ππ₯ + π΄π¦ ππ¦ + π΄π§ ππ§ π΅ = π΅π₯ ππ₯ + π΅π¦ ππ¦ + π΅π§ ππ§ π΄ × π΅ = (π΄π₯ ππ₯ + π΄π¦ ππ¦ + π΄π§ ππ§ ) × (π΅π₯ ππ₯ + π΅π¦ ππ¦ + π΅π§ ππ§ ) = π΄π₯ π΅π₯ ππ₯ × ππ₯ + π΄π₯ π΅π¦ ππ₯ × ππ¦ +π΄π₯ π΅π§ ππ₯ × ππ§ + π΄π¦ π΅π₯ ππ¦ × ππ₯ + π΄π¦ π΅π¦ ππ¦ × ππ¦ +π΄π¦ π΅π§ ππ¦ × ππ§ + π΄π§ π΅π₯ ππ§ × ππ₯ +π΄π§ π΅π¦ ππ§ × ππ¦ +π΄π§ π΅π§ ππ§ × ππ§ = (π΄π¦ π΅π§ − π΄π§ π΅π¦ )ππ₯ + (π΄π§ π΅π₯ − π΄π₯ π΅π§ )ππ¦ + (π΄π₯ π΅π¦ − π΄π¦ π΅π₯ )ππ§ Man beachte: ππ₯ × ππ₯ = 0 ππ¦ × ππ¦ = 0 ππ§ × ππ§ = 0 ππ₯ × ππ¦ = ππ§ ππ¦ × ππ§ = ππ₯ ππ§ × ππ₯ = ππ¦ ππ¦ × ππ₯ = −ππ§ ππ§ × ππ¦ = −ππ₯ ππ₯ × ππ§ = −ππ¦ andere Schreibweise: ππ₯ π΄ × π΅ = π΄π₯ π΅π₯ Mechanik IA ππ¦ π΄π¦ π΅π¦ ππ§ π΄π§ = ππ₯ (π΄π¦ π΅π§ − π΄π§ π΅π¦ ) − ππ¦ (π΄π₯ π΅π§ − π΄π§ π΅π₯ ) + ππ§ (π΄π₯ π΅π¦ − π΄π¦ π΅π₯ ) π΅π§ Gemischtes Produkt dreier Vektoren: „Spatprodukt" π΄ × π΅ β πΆ ist das Volumen des von A, B und C aufgespannten Parallelepipeds (Spat) π΄ × π΅ β πΆ = π΄ × π΅ πΆ cos π½ π΄×π΅ π΄π₯ π΄ × π΅ β πΆ = π΅π₯ πΆπ₯ π΄π¦ π΅π¦ πΆπ¦ π΄π§ π΅π§ = π΄π₯ (π΅π¦ πΆπ§ − π΅π§ πΆπ¦ ) + π΄π¦ (π΅π§ πΆπ₯ − π΅π₯ πΆπ§ ) + π΄π§ (π΅π₯ πΆπ¦ − π΅π¦ πΆπ§ ) πΆπ§ A, B und C können zyklisch vertauscht werden. Mechanik IA Entwicklungssatz: π΄× π΅×πΆ =π΅ π΄βπΆ −πΆ π΄βπ΅ Man beachte: π΄×π΅ ×πΆ ≠π΄× π΅×πΆ Mechanik IA nicht assoziativ Der Momentenbegriff Das Moment einer Kraft bzgl. eines Bezugspunkts O: Definition: ππ = π × πΉ ππ = π πΉ sin πΌ = πΉ π sin πΌ = = πΉ π ….. “Kraft” mal “Hebelarm” (sinnvoll nur in 2D) Der Momentenvektor steht normal auf die von π und πΉ aufgespannte Ebene. Der Drehsinn ergibt sich aus der Rechtsschraubregel. ππ₯ ππ = π × πΉ = π₯ πΉπ₯ ππ¦ π¦ πΉπ¦ ππ§ π§ = (π¦πΉπ§ − π§πΉπ¦ )ππ₯ − (π₯πΉπ§ − π§πΉπ₯ )ππ¦ + (π₯πΉπ¦ − π¦πΉπ₯ )ππ§ πΉπ§ Offensichtlich ist ππ abhängig von der Wahl des Bezugspunkts. Mechanik IA Resultierender Momentenvektor eines Kraftsystems mit Bezugspunkt O: π (π ) ππ = ππ × πΉπ π=1 Mechanik IA Moment eines Kräftepaars: (π ) ππ = π1 × πΉ + π2 × −πΉ = = π1 × πΉ − π2 × πΉ = (π1 − π2 ) × πΉ = π12 × πΉ π12 ist unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts! Abkürzend setzen wir π12 → π Also π =π×πΉ (man beachte: π hat keinen Index für den Bezugspunkt) Wieder gilt für den Betrag: π = πΉ π Dieser π darf am starren Körper beliebig längs und parallel verschoben werden. Mechanik IA Äquivalente Kräftepaare erzeugen alle den gleichen Momentenvektor π Die Momente von Kräftepaaren können zu einem resultierenden Moment zusammengefasst werden: π π(π ) = ππ × πΉπ π=1 Mechanik IA Kraftsysteme Mechanik IA 2D 3D gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirkungslinien zentrales ebenes Kraftsystem zentrales räumliches Kraftsystem kein gemeinsamer Schnittpunkt aller Wirkungslinien allgemeines ebenes Kraftsystem allgemeines räumliches Kraftsystem Reduktion eines Kraftsystems: Geg.: Kräfte πΉ1 bis πΉπ in den Angriffspunkten A1 bis An Ges.: Durch welches Gebilde im Punkt A läßt sich das Kraftsystem äquivalent ersetzen? Mechanik IA Reduktion eines Kraftsystems: Geg.: Kräfte πΉ1 bis πΉπ in den Angriffspunkten A1 bis An Ges.: Durch welches Gebilde im Punkt A läßt sich das Kraftsystem äquivalent ersetzen? Verschiebt man eine Kraft parallel, so ist das nur durch ein zusätzliches Moment äquivalent möglich. π1 = π1 × πΉ1 … ππ = ππ × πΉπ π π = π πΉπ π=1 ππ΄ = ππ × πΉπ A…..Reduktionspunkt π=1 Reduktionsresultanten Mechanik IA Haben Kraftsystem im gleichen Punkt gleiche Reduktionsergebnisse, nennt man sie äquivalent. Welchen Einfluss hat die Wahl eines anderen Reduktionspunkts A„? Ausgangspunkt: Reduktionsergebnis für den Punkt A: π = für A„ gilt: π = Mechanik IA πΉπ , ππ΄′ = ππ′ × πΉπ πΉπ , ππ΄ = ππ × πΉπ Haben Kraftsystem im gleichen Punkt gleiche Reduktionsergebnisse, nennt man sie äquivalent. Welchen Einfluss hat die Wahl eines anderen Reduktionspunkts A„? Ausgangspunkt: Reduktionsergebnis für den Punkt A: π = für A„ gilt: π = πΉπ , ππ΄′ = πΉπ , ππ΄ = ππ′ × πΉπ ππ × πΉπ ππ′ =ππ − π ππ΄′ = (ππ − π) × πΉπ = ππ΄′ = ππ΄ − (π × π ) (ππ × πΉπ ) − π × ππ΄ πΉπ π ππ΄′ nur dann = ππ΄ , wenn π = 0 oder π β₯ π Wir projizieren nun ππ΄′ auf den normierten π , d.h. auf π = ππ΄′ β π = ππ΄ β π − (π × π ) β π ⇒ ππ΄′ β π = ππ΄ β π = ππ , 0 Mechanik IA π π : ππ = ππ π ππ΄′ = ππ΄ − (π × π ) Mechanik IA Zentralachse Dyname Bei geeigneter Wahl des Reduktionspunkts verschwindet die Normalkomponente von ππ΄0 und es verbleibt die auf der Zentralachse liegende Dyname oder Kraftschraube des Systems. Sie ist charakteristisch für das Kraftsystem. Mechanik IA
