Übungsblatt 6 und Ergänzungen Zentrale Theoreme

Mass- und
Integrationstheorie
WS14
http://www-m2.ma.tum.de/bin/view/Allgemeines/MITWS14
Übungsblatt 6 und Ergänzungen
Zentrale Theoreme:
Wie können wir bezüglich dem Produktmaß integrieren?
Satz von Fubini.
Seien (X, A, µ) und (Y, C, ν) σ−endliche Maßräume, und sei f : X × Y → R,
A ⊗ C−messbar. Falls mindestens eines der folgenden Integrale
Z
Z Z
Z Z
|f | d(ν ⊗ µ),
|f (x, y)| dµ(x)dν(y),
|f (x, y)| dν(y)dµ(x)
X×Y
Y
X
X
Y
endlich ist, dann sind auch alle anderen endlich, f ∈ L1 (µ ⊗ ν) und:
i) x 7→ f (x, y) ist in L1 (µ) für ν−fast alle y ∈ Y ;
y 7→ f (x, y) ist in L1 (ν) für µ−fast alle x ∈ X;
R
ii) x 7→ R Y f (x, y) dν(y) ist in L1 (µ),
y 7→ X f (x, y) dµ(x) ist in L1 (ν);
iii)
Z
X×Y
f d(ν ⊗ µ) =
Z Z
Y
f (x, y) dµ(x)dν(y) =
X
Z Z
X
f (x, y) dν(y)dµ(x).
Y
Sei φ = (φ1 , ..., φn ) : Rn → Rn stetig differenzierbar, mit stetig differenzierbares Inversen,
dann heißt φ C 1 −Diffeomorphismus.
Wir schreiben Dφ(x) := ( ∂x∂ j φk (x))j,k=1,...,n (Jacobian in x ∈ Rn ).
Die Transformationsformel von Jacobi:.
Seien X, Y ⊂ Rn Borelmengen und sei φ : X → Y ein C 1 −Diffeomorphismus. Eine
Funktion f : Y → R ist genau dann λn −integrierbar wenn
f ◦ φ | det Dφ(x)|
λn −integrierbar ist. In diesem Fall gilt auch
Z
Z
n
f (y)dλ (y) =
f (φ(x))| det Dφ(x)|dλn (x).
Y
X
Bemerkung: Die Transformationsformel von Jacobi hängt mit dem Satz von RadonNikodým und dem Differentiation Theorem von Lebesgue zusammen:
λn (φ(Br (x))
dφ(λn )
(x)
=
|
det
Dφ(x)|
=
lim
.
r→0+ λn (Br (x))
dλn
Übungen: 18.-19., 24.11.2014
Hausaufgabenabgabe: 24.11.2014
1
Tutoraufgaben:
Aufgabe 34 (Bildmaß und Maß mit Dichte)
2
Gegeben sei die Funktion f : R2 → R+
0 , (x, y) 7→ |x| + |y|, und sei µ = f (λ ) das
zugehörige Bildmaß.
i) Berechnen Sie µ([a, b]) für a, b ∈ R+
0 , a 6 b.
ii) Bestimmen Sie eine Dichte h, so dass hλ1 ([a, b]) = µ([a, b]) für alle a, b ∈ R+
0 , a 6 b.
Aufgabe 35 (Absolute Stetigkeit)
Sei f : [a, b] → R eine absolut stetige Funktion auf [a, b] und g : R → R eine Lipschitz
Funktion. Zeigen Sie, dass (g ◦ f ) auf [a, b] auch absolut stetig ist.
Aufgabe 36 (Satz von Fubini)
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
Z
Z
x2 − y 2
dλ(x)dλ(y) und
2
2 2
(0,1) (0,1) (x + y )
Z
(0,1)
Z
(0,1)
x2 − y 2
dλ(y)dλ(x).
(x2 + y 2 )2
Kommentieren Sie Ihr Ergebnis im Hinblick auf den Satz von Fubini.
Hausaufgaben:
Aufgabe 37 (Alternative Darstellung des Integrals)
Sei Ω ∈ B(Rd ) und f : Ω → R+
0 Borel-messbar. Zeigen Sie für p > 1:
Z
Z
p
d
f dλ =
p tp−1 λd ({x ∈ Ω. f (x) > t})dλ(t).
Ω
[0,∞)
Aufgabe 38 (Satz von Fubini)
Sei µ(A) := #A das Abzählmaß und λ das Lebesgue Maß auf ([0, 1], B([0, 1])). Definiere
U := {(x, y) ∈ [0, 1]2 : x = y} (eine Diagonale in [0, 1]2 ). Berechnen Sie die folgenden
Integrale:
Z
Z
Z
Z
χU (x, y) dλ(x)dµ(y) und
χU (x, y) dµ(y)dλ(x).
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[0,1]
Kommentieren Sie Ihr Ergebnis im Hinblick auf den Satz von Fubini.
Aufgabe 39 (Produktmaß)
Seien (X, A, µ) und (Y, C, ν) zwei σ−endliche Maßräume. Zeigen Sie, dass für A ∈ A und
N ∈ C, wobei ν(N ) = 0, A × N eine µ ⊗ ν−Nullmenge ist.
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Hausaufgabenabgabe: 24.11.2014
2
Fragestundeaufgaben:
Aufgabe 40 (Flächeinhalt eines Kreises)
Berechnen Sie das Lebesgue-Maß
der Kreisscheibe
p
2
2
2
BR (0) := {(x, y) ∈ R ; x + y < R} mit Radius R > 0, indem Sie das Integral
Z
1 dλ2
BR (0)
mithilfe der Transformationsformel berechnen.
Aufgabe 41 (Verschiedene Konvergenzbegriffe)
Betrachten Sie das Lebesgue Maß auf ([0, 1], B([0, 1]) und folgende Funktionsfolgen:
• fn,j := nχ[(j−1)/n,j/n] , n ∈ N, 1 6 j 6 n,
• gn := nχ(0,1/n) , n ∈ N.
Konvergieren die Folgen in Lp , fast überall oder im Maß?
Zusatzaufgaben als Vorbereitung für die Klausur:
(zum Selbststudium, werden nicht korrigiert, bitte nicht abgeben)
Aufgabe 42 (Dominierte Konvergenz und Fubini)
i) Beweisen Sie, dass
Z
e−tx dλ(t) =
(0,∞)
1
x
für alle x > 0.
ii) Verwenden Sie das Ergebnis (i) und den Satz von Fubini und zeigen Sie, dass
Z
sin x
π
lim
dλ(x) = .
n→∞ (0,n) x
2
iii) Berechnen Sie den Grenzwert
lim
n→∞
Z
(1,∞)
n sin(x/n)
dλ(x).
x3
Aufgabe 43 (Lp (X, µ) Inklusion)
Sei (X, A, µ) ein Maßraum und 1 6 p < q < ∞.
i) Zeigen Sie, dass Lq (X) ⊂ Lp (X) für µ(X) < ∞.
ii) Zeigen Sie, dass allgemein Lq (X) 6⊂ Lp (X) für µ(X) = ∞.
Hinweis: Geben Sie ein Beispiel einer Funktion, die in Lq (X) ist, aber nicht in Lp (X)
für 1 6 p < q < ∞ ist.
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Hausaufgabenabgabe: 24.11.2014
3
Aufgabe 44 (L∞ (λ) Darstellung)
Sei f ∈ L∞ (µ) und f ∈ Lp (µ) für eines 1 6 p < ∞. Zeigen Sie, dass kf k∞ = limp→∞ kf kp .
Aufgabe 45 (Etwas für Physiker:
Grundzustand des Elektrons im Wasserstoffatom)
Der Grundzustand des Elektrons im Wasserstoffatom wird durch die Wellenfunktion ψ100
beschrieben∗ :
√2 2 2
1
ψ100 : R3 → R, (x1 , x2 , x3 ) 7→ p 3 e− x1 +x2 +x3 /a0 ,
πa0
wobei a0 ≈ 0, 529Å = 0, 529 · 10−10 m der Bohrsche Atomradius ist.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
eines Elektrons im Zustand ψ100 wird durch das Maß
R
A 7→ A |ψ100 |2 dλ3 beschrieben.
a) Zeigen Sie, dass
Z
R3
|ψ100 |2 dλ3 = 1.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron weiter als a0 vom Ursprung entferntp aufhält, indem Sie die Funktion |ψ100 |2 über die Menge
{(x, y, z) ∈ R3 ; x2 + y 2 + z 2 > a0 } integrieren.
ψ ist die Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für das Wasserstoffproblem mit drei Quantenzahlen. Im Fall des Grundzustands sind die Quantenzahlen n = 1, m = 0, l = 0.
∗
Wer noch nicht genug hat:
Aufgabe 46 (Lp (Ω) für 0 < p < 1)
Zeigen Sie, dass für 0 < p < 1 keine nicht-triviale stetigen linearen Funktionale auf
Lp ((0, 1)) existieren. In anderen Worten: Sei φ ein lineares stetiges Funktional auf Lp ((0, 1)),
dann ist φ(f ) = 0 für alle f ∈ Lp ((0, 1)). Da wir φ wie folgt darstellen können:
Z
1
∀φ ∃g ∈ L ((0, 1)) : φ(f ) =
f g dλ ∀f ∈ Lp ((0, 1)),
(0,1)
ist unser Ziel zu zeigen, dass g = 0 fast überall ist. Dieses Ergebnis impliziert (wie Sie
später in der Funktionalanalysis sehen werden), dass die dualen Räume von Lp , 0 < p < 1,
trivial sind.
Hinweis: Es genügt zu zeigen: λ({|g| 6 m1 }) = 0 ∀m ∈ N.
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Hausaufgabenabgabe: 24.11.2014
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