Leseprobe Robert Galata, Sandro Scheid Deskriptive

Leseprobe
Robert Galata, Sandro Scheid
Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL
Methoden - Beispiele - Anwendungen
Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler
ISBN (Buch): 978-3-446-43255-0
ISBN (E-Book): 978-3-446-43376-2
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43255-0
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
5
Das Rechnen mit
Wahrscheinlichkeiten
In nahezu allen Anwendungsgebieten der Wirtschaftswissenschaften werden häufig Vorgänge
beobachtet oder Versuche durchgeführt, die zufallsabhängig sind. Beispiele sind etwa Staus
im Straßenverkehr, Warteschlangen vor Bedienschaltern, das Zustandekommen der Aktienkurse, die Durchführung einer Meinungsumfrage sowie die die Qualitätskontrolle einer laufenden Produktion. Von besonderer Bedeutung für die Statistik ist das Experiment der zufälligen Ziehung einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit. Mit derartigen Zufallssituationen
werden wir uns in diesem Kapitel auseinandersetzen. Da das Verständnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung anhand realer Entscheidungssituationen aus dem Wirtschaftsleben jedoch oft
schwer fällt, erläutern wir die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung häufig an einfacheren
Zufallsvorgängen aus dem Bereich der Glücksspiele, wie etwa Würfel- oder Kartenspiele.
5.1
Zufallsvorgänge und deren
Beschreibung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt sich mit der Beschreibung von Vorgängen, deren
Ergebnis ungewiss ist.
■
■
■
Wirft man einen Würfel, so weiß man zwar vorab, dass er eine Augenzahl zwischen eins und
sechs zeigen wird. Welche Augenzahl dies aber ist, ist erst nach dem Wurf bekannt.
Ein Versicherer für Kraftfahrzeuge kann zu Beginn des Jahres nicht sagen, wie viele Schadensmeldungen im anstehenden Jahr auf ihn zukommen, es wird aber in jedem Fall eine
endliche, ganze Zahl sein.
Einem Anleger, der in Aktien investiert, ist seine Rendite im nächsten Monat unbekannt. Die
möglichen Ergebnisse sind nach unten durch -100% beschränkt und nach oben hin offen.
Zufallsvorgang
Ein Zufallsvorgang führt zu einem von mehreren sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen. Es ist vor der Durchführung ungewiss, welches Ergebnis eintreten wird.
Beispiel 5.1 Würfeln mit einem Würfel
Es ist naheliegend, diesen Zufallsvorgang oder Versuch durch die überhaupt möglichen
Versuchsergebnisse – die 6 verschiedenen Augenzahlen – modellmäßig zu kennzeich■
nen, also etwa durch die 6 verschiedenen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5.1 Zufallsvorgänge und deren Beschreibung
165
Die Menge dieser möglichen Versuchsergebnisse wird im Folgenden immer mit dem griechischen Buchstaben Ω bezeichnet; sie dient als Ausgangspunkt für die mathematische Erfassung
eines zufälligen Geschehens. Die Elemente von Ω stellen also die möglichen Versuchsausgänge dar und werden kurz als Elementarereignisse bezeichnet.
Elementarereignis
Die einzelnen – nicht weiter zerlegbaren – möglichen Ergebnisse eines Zufallsvorgangs, die
sich gegenseitig ausschließen, werden als Elementarereignisse ω bezeichnet.
Ergebnisraum
Die Menge Ω aller Elementarereignisse eines Zufallsvorgangs nennen wir Ergebnisraum.
Beispiel 5.2 Münzwurf
Bezeichnen wir das Elementarereignis, dass die Münze nach dem Wurf „Kopf“ zeigt mit
K, und dass sie „Zahl“ zeigt mit Z, ergibt sich der Ergebnisraum
Ω = {K , Z }.
■
Beispiel 5.3 Zweimaliger Münzwurf
Hier sind die Elementarereignisse geordnete Paare (i , j ), wobei i das Ergebnis des ersten Wurfes und j das Ergebnis des zweiten Wurfes darstellt. Der Ergebnisraum ist damit
Ω = {(K , K ), (K , Z ), (Z , K ), (Z , Z )} bzw. kürzer Ω = {K K , K Z , Z K , Z Z }.
■
Beispiel 5.4 Zweimaliger Wurf eines Würfels
Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen. Jedes Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes besteht aus einem Zahlenpaar (i , j ), wobei i und j jeweils eine der 6 Augenzahlen sind. Bei i = 1, ... , 6 und j = 1, ... , 6 ergeben sich 6 · 6 = 36 Elementarereignisse
und der folgende Ergebnisraum:
Ω = { (1,1),
(2,1),
(3,1),
(4,1),
(5,1),
(6,1),
(1,2),
(2,2),
(3,2),
(4,2),
(5,2),
(6,2),
(1,3),
(2,3),
(3,3),
(4,3),
(5,3),
(6,3),
(1,4),
(2,4),
(3,4),
(4,4),
(5,4),
(6,4),
(1,5),
(2,5),
(3,5),
(4,5),
(5,5),
(6,5),
(1,6),
(2,6),
(3,6),
(4,6),
(5,6),
(6,6), }.
Allgemein: Das Zufallsexperiment „n-maliger Wurf eines Würfels“ besitzt einen Ergebnisraum, der aus 6n Elementarereignissen besteht. Jedes Elementarereignis ist ein nTupel von Augenzahlen.
■
166
5 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 5.5 Abzählbar unendliche Anzahl von Münzwürfen
Eine Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal „Zahl“ erscheint. Man kann die
Anzahl der Elementarereignisse in Ω durch keine noch so große Zahl n beschränken,
denn es ist möglich, dass n mal hintereinander „Kopf“ erscheint. Im Unterschied zu
den bisherigen Beispielen besteht hier Ω aus unendlich vielen Elementarereignissen,
die man jedoch noch abzählen kann.
Ω = {Z , K Z , K K Z , K K K Z , K K K K Z , .... }
■
Beispiel 5.6 Bedienschalter
Ein Kunde will bei der Post ein Paket versenden. Er interessiert sich für die Wartezeit,
die er vor dem Schalter bis zu seiner Bedienung verbringen muss. Seine Wartezeit kann
zwischen 0 (falls keine Kunde vor dem Schalter steht) und einer maximalen Zeit T (z. B.
Schalterschluss) schwanken. Misst er seine Wartezeit in Minuten, so lautet der Ergebnisraum dieses Zufallsexperiments Ω = {0, 1, ..., T }. Lässt man Fragen der Messgenauigkeit außer Acht und betrachtet man die Zeit als stetige Größe, so ergibt sich als Ergebnisraum
Ω = {x|0 ≤ x ≤ T , x reell}.
■
Neben den einzelnen möglichen Elementarereignissen eines Zufallsexperimentes betrachtet
man vor allem gewisse Ereignisse, die aus einer Menge von Elementarereignissen bestehen.
Wir bezeichnen solche Ereignisse mit großen lateinischen Buchstaben.
Ereignis
Ein zufälliges Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. Man sagt, das Ereignis A tritt ein, wenn das
Zufallsexperiment ein Ergebnis ω liefert, das zu A gehört.
Beispiel 5.7 Ereignisse
Beim Zufallsexperiment „Würfeln mit einem Würfel“ mit Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sind folgende Ereignisse denkbar:
–
–
A 1 : „Die geworfene Augenzahl ist gerade“, d. h. A 1 = {2, 4, 6}
A 2 : „Die 1 wird gewürfelt“, d. h. A 2 = {1}
Mögliche Ereignisse beim Zufallsexperiment „Zweimaliger Wurf eines Würfels“ (siehe Beispiel 5.4):
–
–
–
A 1 : „Die Summe der Augenzahlen ist mindestens 11“, d. h. A 1 = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)}
A 2 : „Es wird zweimal die 6 gewürfelt“, d. h. A 2 = {(6, 6)}
A 1 : „Die zuerst gewürfelte Zahl ist eine 1“,
d. h. A 1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}
Im Zufallsexperiment „Abzählbar unendliche Anzahl von Münzwürfen“ (siehe Beispiel 5.5) lässt sich folgendes Ereignis betrachten:
5.2 Die Verknüpfung von Ereignissen
–
167
A: „Die Münze wird mindestens zweimal und höchstens fünfmal geworfen“,
d. h. A = {K Z , K K Z , K K K Z , K K K K Z }
Im Beispiel 5.6 „Bedienschalter“interessiert man sich für folgendes Ereignis:
–
–
A 1 : „Die Wartezeit beträgt zwischen 2 und 4 Minuten“,
d. h. A 1 = {x|2 ≤ x ≤ 4, x reell}
A 2 : „Die Wartezeit liegt unter 3 Minuten“, d. h. A 2 = {x|0 ≤ x < 3, x reell}
■
Sicheres Ereignis
Ein Ereignis wird als sicheres Ereignis bezeichnet, wenn das Ereignis mit dem Ergebnisraum
Ω identisch ist. Da Ω alle Elementarereignisse ω enthält, tritt es bei jedem Ausführen des
Zufallsvorgangs immer ein.
Unmögliches Ereignis
Ein Ereignis tritt sicher nie ein und gilt als unmöglich, wenn es gleich der sog. leeren Menge
; ist. Da ; = { } kein Element enthält, tritt dieses Ereignis niemals ein.
5.2
Die Verknüpfung von Ereignissen
Im Zusammenhang mit Ereignissen stehen Fragen wie „Treten zwei bestimmte Ereignisse
ein?“ oder „Tritt zumindest eines von mehreren Ereignissen ein?“. Solche Fragen werden
durch die Verknüpfung von Ereignissen behandelt. Betrachtet man die Mengen der Elementarereignisse, die die Ereignisse repräsentieren, so entspricht die Verknüpfung den Mengenoperationen.
Ereignisse und Ergebnisraum sowie die Verknüpfung von Ereignissen lassen sich im sog.
Venn-Diagramm anschaulich darstellen. Die Ereignisse werden dabei als Flächen dargestellt,
die sich überlappen können.
Vereinigung
Die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ist definiert als die Menge der Elementarereignisse ω, die entweder zu A allein oder zu B allein oder sowohl zu A und zu B gemeinsam
gehören.
A ∪ B = {ω|ω ∈ A oder ω ∈ B}
Das Ereignis A ∪ B tritt somit genau dann ein, wenn A oder B allein oder gemeinsam eintreten. Wir sagen kurz „A oder B “ treten ein.
5 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
168
Durchschnitt
Der Durchschnitt zweier Ereignisse A und B ist definiert als die Menge der Elementarereignisse ω, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
A ∩ B = {ω|ω ∈ A und ω ∈ B}
Das Ereignis A ∩ B tritt somit genau dann ein, wenn Ereignis A und Ereignis B gemeinsam
eintreten. Wir sagen kurz „A und B “ treten ein.
A ∪B
A ∩B
Ω
Ω
A
B
A
B
Bild 5.1 Venn-Diagramm Vereinigung und Durchschnitt
Differenz
Ein Ereignis, welches sich dadurch ergibt, dass die Elemente, die die Ereignisse A und B gemeinsam haben, von den Elementen des Ereignisses A abgezogen werden, heißt Differenz
von A und B .
A \ B = {ω|ω ∈ A und ω ∉ B}
Das Ereignis A \ B tritt somit genau dann ein, wenn zwar A, aber nicht B eintritt.
Komplement
Ein Ereignis, dass genau dann eintritt, wenn sich ein ω ergibt, das nicht zu dem Ereignis A
gehört, heißt Komplement von A.
A = Ω \ A = {ω|ω ∈ Ω und ω ∉ A}
Wir sagen kurz, das Ereignis nicht A tritt ein.
5.2 Die Verknüpfung von Ereignissen
169
Disjunkte Ereignisse
Zwei Ereignisse heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn gilt
A ∩ B = ;.
Bemerkung:
Zwei Mengen sind also disjunkt, wenn sie keine Elementarereignisse gemeinsam haben. Damit
gilt speziell, dass Elementarereignisse paarweise disjunkt sind, d. h. {ωi } ∩ {ω j } = ; für i ̸= j .
Die Vereinigung und der Durchschnitt von abzählbar unendlich vielen Ereignissen A 1 , A 2 , A 3 ,
A 4 , .... werden analog wie oben definiert.
∞
[
A i = A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ....
i =1
besteht aus genau den Elementarereignissen von Ω, die zumindestens zu einem der Ereignisse
A i gehören und
∞
\
A i = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ....
i =1
aus genau den Elementarereignissen von Ω, die zu jedem dieser Ereignisse A i gehören.
A \B
A
Ω
Ω
A
B
A
Bild 5.2 Venn-Diagramm Differenz und Komplement
Beispiel 5.8 Zweimaliger Wurf eines Würfels (Fortsetzung)
Wir betrachten in Beispiel 5.4 (siehe auch Beispiel 5.7) die Ereignisse
A 1 : „Die Summe der Augenzahlen ist mindestens 11“
A 2 : „Es wird zweimal die 6 gewürfelt“
A 3 : „Die zuerst gewürfelte Zahl ist eine 1“
A 2 und A 3 sind unvereinbare Ereignisse, d. h. es gilt A 1 ∩ A 3 = ; . Weiter gilt:
A 1 ∩ A 1 = {(6, 6)}
A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
A 1 \ A 2 = {(5, 6), (6, 5)}
■
170
5 Das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel 5.9 Roulette
Ein Roulettespieler setzt stets auf die Farbe rot (Ereignis A) und auf den Zahltyp „gerade“ (Ereignis B ). Er interessiert sich für das Ereignis, dass die Kugel auf einem roten Feld mit gerader Zahl zum Stehen kommt. Dies entspricht dem Ereignis A ∩ B .
Weiter interessiert er sich für das Ereignis, dass rot oder eine gerade Zahl kommt,
also für A ∪ B und schließlich für den Fall, dass weder rot noch eine gerade Zahl
kommt. Das entspricht dem Ereignis, dass A oder B nicht eintritt, also A ∪ B . ■
Jedem Ereignis A eines Zufallsvorganges oder Zufallsexperimentes soll nun eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, welche die Chance für das Eintreten von A beschreibt.
Dazu wird zu jedem Zufallsexperiment stets eine Ereignisalgebra angegeben. Eine Ereignisalgebra ist ein Mengensystem bzw. ein System von Ereignissen. Man verlangt, dass alle Ereignisse, die in praktischen Anwendungen auftreten können, in der Ereignisalgebra enthalten
sind. Darüber hinaus sollen die vorher genannten Verknüpfungen innerhalb des Mengensystems durchführbar sein, d. h. genauer: Mit dem Ereignis A soll auch sein Komplement A und
mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Ereignissen sollen stets auch alle daraus herstellbaren Durchschnitte und Vereinigungen zur Ereignisalgebra gehören.
Im Falle von endlich oder abzählbar vielen Elementarereignissen verwendet man die Menge
aller Teilmengen des Ergebnisraums Ω, die Potenzmenge P(Ω) von Ω. Auch für überabzählbare Ergebnismengen Ω lassen sich Ereignisalgebren konstruieren. Sie sind in der Regel kleiner
als die Potenzmenge von Ω, pathologische Teilmengen werden entfernt, aber doch groß genug, um alle in Theorie und Praxis benötigten Ereignisse zu enthalten. Ist Ω z. B. die Menge
der reellen Zahlen, so bildet die Menge aller denkbaren Zahlenintervalle eine Ereignisalgebra.
Beispiel 5.10 Ereignisalgebra Münzwurf
Der Ergebnisraum beim Münzwurf besteht aus den zwei Elementarereignissen „Kopf“
und „Zahl“, d. h. Ω = {K , Z }. Die dem Münzwurf zugeordnete Ereignisalgebra ist die
Potenzmenge von Ω
P(Ω) = {{K }, {Z }, Ω, ;}.
Die Ereignisalgebra besteht hier aus vier Ereignissen.
■
Bemerkung:
Besteht eine Menge aus n Elementen, so schreiben wir dafür kurz: |A| = n. Enthält der Ergebnisraum Ω n Elementarereignisse, d. h. |Ω| = n, so besteht die Ereignisalgebra von Ω aus 2n
Ereignissen, d. h. |P(Ω)| = 2n .
Beispiel 5.11 Ereignisalgebra beim Würfeln mit einem Würfel
Der Ergebnisraum beim Würfeln besteht aus 6 Elementarereignissen : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Da Ω endlich ist, ist die Ω zugeordnete Ereignisalgebra die Potenzmenge von Ω.
|P(Ω)| = 26 = 64, d. h. die Ereignisalgebra besteht aus 64 Ereignissen. Die ein- und zweielementigen Ereignisse sind nachfolgend vollständig aufgelistet. Das Ereignis {1,3,5}
bedeutet eine 1 oder eine 3 oder eine 5 zu werfen.
5.3 Die Axiome von Kolmogoroff
P(Ω) = { {1},
{1,2},
{2,4},
{4,5},
{1,2,3},
{1,3,6},
{2},
{1,3},
{2,5},
{4,6},
{1,2,4},
...
{3},
{1,4},
{2,6},
{5,6},
{1,2,5},
...
{4},
{1,5},
{3,4},
{5},
{1,6},
{3,5},
{6},
{2,3},
{3,6},
{1,2,6},
...
{1,3,4},
Ω,
{1,3,5},
;
171
}
■
Wir setzen im Folgenden voraus, dass einem Zufallsexperiment mit seiner Ergebnismenge
auch stets eine geeignete Ereignisalgebra zugeordnet ist, ohne dies eigens zu erwähnen.
5.3
Die Axiome von Kolmogoroff
Das Ergebnis eines Zufallsexperimentes ist nicht vorhersehbar. Es ist höchstens möglich, den
Ereignissen gewisse Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Während es sich bei den Ereignissen
um Mengen handelt, sind Wahrscheinlichkeiten reelle Zahlen. Eine Wahrscheinlichkeit ist also
nichts anderes als ein Maß zur Quantifizierung des Grades der Sicherheit oder Unsicherheit
des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperimentes.
Jede Funktion P , die einem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P (A) zuordnet, wird als Wahrscheinlichkeitsfunktion und P (A) als Wahrscheinlichkeit von A bezeichnet, wenn sie die drei
folgenden, von A. N. Kolmogoroff 1933 formulierten Axiome erfüllt:
Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Axiom 1 Jedem Ereignis A wird eine nichtnegative reelle Zahl P (A),
genannt die Wahrscheinlichkeit von A, zugeordnet mit der Eigenschaft:
P (A) ≥ 0.
Axiom 2 Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses Ω ist gleich eins:
P (Ω) = 1.
Axiom 3 Additivität: Für abzählbar unendlich viele, paarweise disjunkte
Ereignisse A 1 , A 2 , A 3 , .... gilt stets:
P (A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ... ) = P (A)1 + P (A 2 ) + P (A 3 ) + ...
Das Axiom 3 in der obigen Gestalt ist nur für unendliche Ergebnismengen von Bedeutung. Für
endliche Ω reduziert sich das Axiom 3 auf die Form
P (A 1 ∪ A 2 ∪ .... ∪ A n ) = P (A)1 + P (A 2 ) + ... + P (A n ),
falls
A i ∪ A j = ; für alle i ̸= j mit i , j = 1, 2, 3, ..., n.
Stichwortverzeichnis
Robert Galata, Sandro Scheid
Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL
Methoden - Beispiele - Anwendungen
Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler
ISBN (Buch): 978-3-446-43255-0
ISBN (E-Book): 978-3-446-43376-2
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43255-0
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
Sachwortverzeichnis
χ2 -Koeffizient, 99
– Wertebereich, 99
χ2 -Verteilung, 274
Aggregatsform
– Preisindex nach Laspeyres, 141
– Preisindex nach Paasche, 143
Alternativhypothese, 328
arithmetisches Mittel, 51
– bei klassierten Daten, 53
Balkendiagramm, 30
Bayes
– Satz von, 194, 196
bedingte Dichte, 285
Bernoulli-Experiment, 208
Bernoulli-Variable, 208
Bernoulli-Verteilung, 208
– Erwartungswert, 221
– Varianz, 227
Bestimmtheitsmaß, 127
Bias, 297
Binomialkoeffizient, 185
Binomialverteilung, 234
– Additivität, 233
– Erwartungswert, 233
– Varianz, 233
– Wahrscheinlichkeitsfunktion, 230
Box-Plot, 68
– modifizierter, 69
Dichte
– Normalverteilung, 259
Dichtefunktion, 247
– gemeinsame, 284
Differenz, 168
Durchschnitt, 168
Elementarereignis, 165
empirische Dichte, 38
empirische Verteilungsfunktion, 39
– Eigenschaften, 40
Ereignis, 166
– sicheres, 167
– unmögliches, 167
Ereignisalgebra, 170
Ereignisse
– disjunkte, 169
– unabhängige, 191
– unvereinbare, 169
Ergebnisraum, 165
Erwartungstreue, 296, 299
– asymptotische, 304
– beste Schätzung (UMVU), 303
Erwartungswert
– Bernoulli-Verteilung, 221
– diskrete Zufallsvariable, 220
– geometrische Verteilung, 224
– Gleichverteilung, 255
– Rechenregeln, 222, 256
– stetige Zufallsvariable, 255
Exponentialverteilung, 266
– Erwartungswert, 267
– Varianz, 267
– Verteilungsfunktion, 267
F-Verteilung, 276
Fakultät, 182
Fortschreibungsfaktor, 153
Fundamentalprinzip des Abzählens, 180
Geometrische Verteilung
– Erwartungswert, 224
– Varianz, 227
geometrisches Mittel, 56
Gesamtindex, 148
Gesetz der großen Zahlen, 177, 271
Gini-Koeffizient, 77
– normiert, 78
Gleichverteilung
400
Sachwortverzeichnis
– diskrete, 207
– stetige, 250
Grundgesamtheit, 16
Gütefunktion, 339
Häufigkeiten
– absolute, 27, 32
– bedingte, 95
– gemeinsame, 83
– relative, 27, 32
Häufigkeitsinterpretation, 311
Histogramm, 36
– zweidimensionales, 92
hypergeometrische Verteilung, 239
– Erwartungswert, 242
– Varianz, 242
Intervallschätzung, 310
Intervallskala, 20
Irrtumswahrscheinlichkeit, 310
Kaufkraftparität
– nach Laspeyres, 156
– nach Paasche, 156
Klasse, 32
Klassenbreite, 32
Klassengrenzen, 32
Kleinste-Quadrate-Schätzer, 122
Kodierung, 23
Kombinationen, 183
Komplement, 168
Konfidenzgrenze, 310
Konfidenzintervall
– µ bei bekanntem σ2 , 313
– µ bei unbekanntem σ2 , 315
– σ2 bei unbekanntem µ2 , 318
– Anteilswert, 320, 323
– approximatives, 317
– einseitiges, 321, 322
– zweiseitiges, 310
Konfidenzniveau, 310
Konsistenz
– quadratisches Mittel, 305
– schwache, 304
Kontingenzkoeffizient
– korrigierter nach Pearson, 102
– nach Pearson, 102
Kontingenzmaß
– nach Cramer, 101
Kontingenztabelle, 84, 85
Konzentration
– absolute, 71
– relative, 71
Korrelationskoeffizient, 288
– nach Bravais-Pearson, 108
– nach Spearman, 114
Kovarianz, 104, 287
– Eigenschaften, 287
Kreisdiagramm, 30
Lorenzkurve, 72
Mean Square Error (MSE), 299, 302
Median, 47
– bei klassierten Daten, 48
– bei Urliste, 47
Mengenindex
– nach Laspeyres, 145
– nach Paasche, 145
Merkmal, 17
– diskretes, 18
– qualitatives, 18
– quantitatives, 18
– quasi-stetiges, 19
– stetiges, 18
Merkmalsausprägung, 17
Merkmalsraum, 17
Messzahl, 139
Modus, 44
Multiplikationssatz, 190
– für unabhängige Ereignisse, 191
Nominalskala, 19
Normalengleichungen, 122
Normalverteilung, 259
– Erwartungswert, 261
– lineare Transformation, 261
– Quantile, 264
– Symmetrie, 261
– Varianz, 261
– zweidimensionale, 289
– Standardisierung, 263
Nullhypothese, 328
Odds Ratio, 89
Ordinalskala, 19
Sachwortverzeichnis
Parameter, 294
Parameterraum, 294
Permutation, 181
Perzentile, 49
Poisson
– Grenzwertsatz, 235
Poisson-Verteilung
– Additionssatz, 238
– Erwartungswert, 237
– Varianz, 237
– Wahrscheinlichkeitsfunktion, 234
Potenzmenge, 170
Preisbereinigung, 154
Preisindex
– nach Paasche, 142
– nach Laspeyres, 141
Prognose, 125
Quantile, 49, 50, 258
Quartile, 49
Quartilsabstand, 62
Rückrechnungsfaktor, 153
Randdichten, 284
Randhäufigkeiten
– absolute, 83
Randverteilung, 282
– absolute, 84
– relativ, 85
Rang, 113
Realisierungen, 203
Rechenregeln
– stetige Zufallsvariable, 252
Regression
– lineare Einfach-, 120
Residualplot, 130
Säulendiagramm, 29
Satz von Bernoulli, 272
Satz von Gosset, 275
Schätzfolge, 303
Schätzfunktion, 295
Schätzung, 295
– Anteilswerte, 306
– Mittelwerte, 306
– Varianz, 307
Schiefe, 67
401
Signifikanztest, 330
Skalenniveau
– metrisches, 19
– nominales, 19
– ordinales, 19
Spannweite, 61
Stabdiagramm, 29
Stamm-Blatt-Diagramm, 34
Standardabweichung
– diskrete Zufallsvariable, 225
– empirische, 63
Standardfehler, 300
Standardnormalverteilung, 263
Stichprobe, 16, 295
Stichprobenvarianz, 275
– Verteilung, 275
Streudiagramm, 90
Streuungszerlegung, 126
Subindex, 148
t-Verteilung, 275
Test
– Ablehnungsbereich, 329
– Annahmebereich, 329
– Anpassungstest χ2 , 365
– Anteilswert, 355
– auf Wahrscheinlichkeit, 356
– Binomial, 326
– doppelter t -Test, 347
– einfacher t -Test, 345
– einseitiger, 331
– Fehlentscheidung, 336
– Gauß, 331, 336
– Gleichheit mehrerer Erwartungswerte, 353
– Gütefunktion, 339
– Interpretation Ergebnisse, 331
– Konfidenzintervall, 337
– kritischer Bereich, 329
– Modellannahmen, 328
– parametrischer, 328
– Prüfgröße, 329
– Unabhängigkeitstest χ2 , 367
– verbundene Stichprobe, 349, 350
– Vergleich Wahrscheinlichkeiten, 358
– Vorzeichen für eine Stichprobe, 360
– Vorzeichen für verbundene Stichprobe, 362
– zweiseitiger, 331
402
Sachwortverzeichnis
Umbasierung, 150
Unabhängigkeit
– diskrete Zufallsvariable, 216, 217
– empirische, 97
– stetige Zufallsvariable, 253
– stetiger Zufallsvariabler, 286
Ungleichung von Tschebycheff, 270
Untersuchungseinheit, 16
Urnenmodell, 174, 179
Varianz
– Bernoulli-Verteilung, 227
– diskrete Zufallsvariable, 225
– empirische, 63
– externe, 65
– geometrische Verteilung, 227
– Gleichverteilung, 257
– interne, 65
– Rechenregeln, 228, 257
– stetiger Zufallsvariablen, 256
– Verschiebesatz, 64, 227
Variationskoeffizient, 66
Venn-Diagramm
– Additionssatz, 188
– Differenz, 169
– Durchschnitt, 168
– Komplement, 169
– Vereinigung, 168
Vereinigung, 167
Verhältnisskala, 20
Verknüpfung, 153
Verteilung
– geometrische, 209
Verteilungsannahme
– parametrische, 294
Verteilungsfunktion
– Bernoulli-Variable, 213
– Binomialverteilung, 231
– Eigenschaften, 211
– einer diskreten Zufallsvariablen, 211
– empirische, 39
– Exponentialverteilung, 267
– gemeinsame, 284, 285
– geometrische Verteilung, 213
– Normalverteilung, 260
– Poisson-Verteilung, 235
Veteilungsfunktion
– stetige Zufallsvariable, 251
Vierfeldertafel, 87
Wölbung, 67
Wahrscheinlichkeit
– a-posteriori, 197
– a-priori, 197
– bedingte, 189
– nach Laplace, 174
– statistische, 177
– subjektive, 178
– totale, 194
Wahrscheinlichkeitsfunktion, 204
– bedingte, 283
– gemeinsame, 281
Wahrscheinlichkeitsrechnung
– Additionssatz, 186, 187
– Axiome, 171
– Multiplikationssatz, 190
– Rechenregeln, 186
Wert
– fehlender, 23
Wertindex, 147
Zentraler Grenzwertsatz, 273
Zerlegung
– disjunkte, 192
Zufallsgröße, 295
Zufallsstichprobe, 179
Zufallsvariable
– Dichtefunktion, 247
– diskrete, 203
– Erwartungswert, 255
– stetige, 249, 250
Zufallsvorgang, 164
Vorwort
Robert Galata, Sandro Scheid
Deskriptive und Induktive Statistik für Studierende der BWL
Methoden - Beispiele - Anwendungen
Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler
ISBN (Buch): 978-3-446-43255-0
ISBN (E-Book): 978-3-446-43376-2
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43255-0
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
Vorwort
In diesem Buch, das aus einer Vorlesung für Studierende der Betriebswirtschaftslehre entstanden ist, werden die wichtigsten Methoden der deskriptiven und induktiven Statistik vorgestellt.
Statistische Verfahren werden stets dann benötigt und eingesetzt, wenn im Rahmen empirischer Fragestellungen Daten erhoben, dargestellt und analysiert werden sollen. In allen empirischen Wissenschaften – wir nennen beispielhaft die Wirtschaftswissenschaften – hat die
Statistik daher eine große praktische Bedeutung. Zum Studium dieser Wissenschaften gehört
deshalb auch eine intensive Beschäftigung mit Statistik.
Dieses Buch wendet sich vor allem an Studierende der Betriebswirtschaftslehre. Es ist ein idealer Begleiter zu den Statistikvorlesungen des Bachelor-Studiums an Hochschulen und Universitäten und für das Nacharbeiten statistischer Themen im Masterstudium. Für Praktiker bietet
es die Gelegenheit, sich im Selbststudium mit statistischen Fragestellungen zu befassen.
Das Buch setzt keine besonderen mathematischen Kenntnisse voraus. Der Leser benötigt die
üblichen Grundkenntnisse der Elementarmathematik, wie sie an Fachoberschulen und Gymnasien unterrichtet wird. Die darüber hinausgehenden Anforderungen beschränken sich im
Wesentlichen auf das Rechnen mit dem Summenzeichen.
Das Buch bietet insgesamt eine Einführung sowohl in die deskriptive Statistik (Teil I, Kapitel 1
bis 4) als auch in die induktive Statistik (Teil III, Kapitel 9 bis 12). Eingeschlossen ist dabei eine ausführliche Beschreibung der Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie (Teil II, Kapitel
5 bis 8), die die Basis für die induktive Statistik bildet. Die deskriptive Statistik ist besonders
ausführlich dargestellt und anhand vieler einfacher Beispiele erläutert. Im Teil Wahrscheinlichkeitstheorie wird versucht, die für die induktive Statistik wichtigen Inhalte so zu vermitteln, dass dem Leser ein intuitiver Zugang eröffnet wird. Auf komplizierte Beweise statistischer
Sätze wird bewusst verzichtet, es sei denn, die Herleitungen sind mit einfachen Mitteln zu bewerkstelligen und fördern das Verständnis der statistischen Theorie. Im Rahmen der induktiven Statistik werden Schätzungen und statistische Tests behandelt. Die Schätztheorie umfasst
Punkt- und Intervallschätzungen. Hier folgt die Darstellung dem üblichen Aufbau. Die Kapitel über das Testen befassen sich mit der Grundidee eines statistischen Tests und speziellen
Parametertests. Im letzten Kapitel wird auch auf nichtparametrische Testverfahren sowie die
einfaktorielle Varianzanalyse eingegangen.
Allgemein lässt sich über sämtliche Abschnitte sagen, dass der Aufbau in dem Sinne traditionell ist, als er dem Standardprogramm folgt, wie es an Hochschulen und Universitäten für
betriebswirtschaftliche Bachelorstudiengänge üblich ist. Andererseits wird versucht, Theorie
und Praxis einander näherzubringen. Bei der Aufbereitung der Themenbereiche wird daher
nicht nur auf Verständlichkeit der Darstellung geachtet, sondern auch darauf, dass die statistischen Methoden durch relevante Beispiele aus der Praxis unterlegt werden. Jedes Kapitel enthält zahlreiche Graphiken und Beispiele, die ausführlich erläutert werden und somit abstrakte
Zusammenhänge veranschaulichen.
Am Ende eines jeden Kapitels findet man eine Vielzahl von Übungsaufgaben, um das Gelernte
zu überprüfen und zu festigen. Dabei handelt es sich zum Teil um Aufgaben zur Vertiefung des
6
Vorwort
jeweiligen Stoffes als auch um typische Klausuraufgaben. Die Beschäftigung mit den Aufgaben
ist für das (Selbst-)Studium und die Prüfungsvorbereitung besonders wichtig. Lösungen zu
den Aufgaben finden sich auf der Website des Buchs (www.hanser-fachbuch.de/).
Es bleibt uns noch übrig Dank zu sagen. Unser Dank gilt zunächst den Studierenden der Fakultät für Betriebswirtschaft der Hochschule München, die durch zahlreiche Fragen und Anmerkungen zur Gestaltung des Lehrtextes beigetragen haben. Weiter danken wir Frau Dipl. Stat.
Rita Augustin, Lehrbeauftragte für Statistik, für ihre Korrekturvorschläge und hilfreiche Anregungen und Frau Dipl.-Psych. Isabel Galata und dem Mediziner Herrn Christian Galata, für die
Durchsicht von Teilen des Textes und ihre kritischen Anmerkungen sowie ihre konstruktiven
Verbesserungsvorschläge. Dem Studierenden Michael Haslinger danken wir für das Korrekturlesen von Teil III des Manuskripts, ebenso den Eltern des zweitgenannten Autors, Ekkehard
und Ingried Scheid, für die aufmerksame Durchsicht von Teilen des Textes.
Herzlich bedanken möchten sich die Autoren bei ihren Frauen, für die Geduld, die sie während
der Zeit, in der der Text entstanden ist, aufgebracht haben.
Unser besonderer Dank gilt Frau Cristine Fritzsch, Lektorin beim Hanser Verlag, und Frau Katrin Wulst für die verständnisvolle Zusammenarbeit und ihren tatkräftigen Einsatz bei der Verwirklichung des Buchprojektes.
München im Sommer 2012
Robert Galata
Sandro Scheid