8. ¨Ubung - Institut für Theoretische Informatik

Institut für Theoretische Informatik
PD Dr. M. Liśkiewicz
Sommersemester 2007
Übungen zu Logik, Semantik und Wissensrepräsentation
8. Übung
Abgabe am 15. Juni 2007 in der Vorlesung
24. Betrachten wir die folgenden geschlossenen prädikatenlogischen Formeln:
φ1
φ2
φ3
def
=
def
=
def
=
∀x P (x, x)
∀x ∀y (P (x, y) → P (y, x))
∀x ∀y ∀z (P (x, y) ∧ P (y, z) → P (x, z))
Die Formel drücken drei Eigenschaften des Prädikats P aus, dass P reflexive, symmetrisch bzw. transitive ist. Beweisen Sie, dass keine der Formeln eine semantische Konsequenz der übrigen Formeln ist.
Das heißt, für jedes Paar φi , φj und für die Formel φk , mit k 6= i und k 6= j, konstruieren Sie ein Modell
Mij , so dass Mij |= φi und Mij |= φj aber Mij 6|= φk . Begründen Sie Ihre Antwort.
25. Beweisen Sie die folgende semantische Konsequenz
∀x P (x) ∨ ∀x Q(x) |= ∀x (P (x) ∨ Q(x))
26. Eine Menge der prädikatenlogischen Formeln Γ heißt konsistent (oder erfüllbar) gdw. es existiert ein
Modell M und eine Belegung ℓ, so dass M |=ℓ φ für alle φ ∈ Γ. Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen
der prädikatenlogischen Formeln konsistent sind.
(a) ∀x ¬S(x, x), ∃x P (x), ∀x ∃y S(x, y), ∀x (P (x) → ∃y S(y, x))
(b) ∀x ¬S(x, x), ∀x ∃y S(x, y), ∀x ∀y ∀z ((S(x, y) ∧ S(y, z) → S(x, z))
(c) ∃x S(x, x), ∀x ∀y (S(x, y) → (x = y))
27. Benutzen Sie die Korrektheit des Kalküls um zu beweisen:
(a) ∀x (P (x) ∨ Q(x)) 6⊢ ∀x P (x) ∨ ∀x Q(x)
(b) ∀x (P (x) → R(x)), ∀x (Q(x) → R(x)) 6⊢ ∃x (P (x) ∧ Q(x))
(c) ∀x ∃y S(x, y) 6⊢ ∃y ∀x S(x, y)