F-Praktikum Seminar WS 2008/09 Melanie Wolff, Luca Capuana 11

CQED
F-Praktikum Seminar WS 2008/09
Melanie Wol, Luca Capuana
11. März 2009
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
Worum geht es?
3
Die Theorie zum Versuch
4
2.1
Das Atom als Spin-1/2-System
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Das Photon und der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Die Atom-Feld-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Der Jaynes-Cummings Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5
Wie misst man ein Photon nicht-destruktiv? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Das Experiment
3.1
10
Realisierung der theoretischen Annahmen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.1
Zirkulare Rydberg Atome
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.1.2
Die Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Der Versuchsaufbau
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Durchführung des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3.1
1. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3.2
2. Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2
1 Worum geht es?
CQED ist eine Abkürzung und steht für Cavity Quantum Electrodynamics, zu deutsch Hohlraum Quantenelektrodynamik. In der CQED geht es grob gesagt um die Untersuchung der
Wechselwirkung zwischen Atomen und Photonen in Hohlräumen. Wir wollen einen ganz speziellen Versuch behandeln, nämlich eine Single-Photon-Quantum-Non-Demoliton Messung, kurz
SP-QND Messung. Hierbei wird ein Photon nicht-destruktiv detektiet. Eine solche Messung
unterscheidet sich grundlegend von sonstigen Messungen von Photonen wie z.B. die Detektion von Photonen mit einer Photodiode. Bei diesen wird das Photon absorbiert und in einen
elektrischen Impuls umgewandelt und somit zerstört.
3
2 Die Theorie zum Versuch
Wenn wir den in der zweiten Hälfte dieser Ausarbeitung vorgestellten Versuch verstehen wollen, müssen wir uns mit den entsprechenden theoretischen Grundlagen auseinandersetzen.
Dies bedeutet, dass wir das Atom und das Photon im Hohlraum sowie die Wechselwirkung
zwischen Atomen und Photonen in einem Hohlraum zu behandeln haben. Wir werden die
folgenden Punkte dazu abarbeiten:
1. Das Atom als Spin-1/2-System
2. Das Photon und der harmonische Oszillator
3. Die Atom-Feld-Wechselwirkung
4. Der Jaynes-Cummings-Hamiltonoperator
5. Wie misst man ein Photon nicht-destruktiv?
2.1 Das Atom als Spin-1/2-System
Wir betrachten der Einfachheit halber ein Atom mit zwei Zuständen
jei ; jgi. Das Energie-
schema dieses Atoms ist in Abb. (2.1) zu sehen. Der Hamiltonoperator ergibt sich damit zu:
1
H^ A = ~!eg ^z ; wobei ^z =
2
1
0
0 ; jei = 1 ; jgi = 0
1
0
1
2.2 Das Photon und der harmonische Oszillator
Das Photon im Hohlraumresonator lässt sich mit Hilfe des Formalismus des harmonischen Oszillators beschreiben. Der Grund hierfür ist der folgende Sachverhalt: Das elektromagnetische
Feld im Hohlraum lässt sich nach den Eigenmoden entwickeln. Setzt man diese Entwicklung in
die Wellengleichung ein, so erhält man für die Entwicklungskoezienten Dierentialgleichungen, welche mit der DGL eines harmonischen Oszillators übereinstimmen. Deswegen lassen
Abbildung 2.1: Energieschema
4
sich die Moden formal als Ensemble harmonischer Oszillatoren betrachten deren elementare
Anregungen man als Photonen bezeichnet. Für den Hamiltonoperator einer einzelnen Resonatormode folgt dann:
1
H^ c = ~!c N^ +
;
2
^ der Photonenanzahloperator.
wobei !c die Hohlraummodenkreisfrequenz ist und N
2.3 Die Atom-Feld-Wechselwirkung
In der elektrischen Dipolnäherung gilt für den Hamiltonoperator der Wechselwirkung:
~^ E
~^ =
D
H^ AC =
~^ E
~^ :
qR
Wir müssen noch die beiden Faktoren angeben. Der Dipoloperator
Operatoren
^+ := jei hg j
wie folgt ausdrücken:
wobei
~^ = d E~A ^ + E~A ^+
D
~^ jei
dE~A = q hg j R
gilt und
d
lässt sich mittels der
:= ^+ y = jgi hej
^
und
~^
D
;
das Dipolmatrixelement darstellt.
E~A ist die Polarisati-
on. Das elektrische Feld kann als Linearkombination des Vernichtungsoperators
Erzeugungsoperators
a^y
h
~^c = iE0 E~c f (~r) a^
E
Die normierte Funktion
a^
und des
geschrieben werden als
E~c f (~r) a^y
i
:
f (~r) beschreibt die räumlicheqStruktur der Feldmode, E~c
ist der Ein-
E = "0V ist ein Normalisierungsfaktor und
R
hat die Einheit eines elektrischen Feldes, wobei V =
jf (~r)j d ~r das eektive Modenvolumen
heitsvektor zur Beschreibung der Polarisation.
0
~ !c
2
2
3
ist.
Fügen wir nun alles zusammen, dann folgt unter folgenden Annahmen
ˆ
Atom bendet sich im Zentrum des Hohlraumes
ˆ f (~rA ) = 1
ˆ !c
= !eg
resonanter Fall
mit Hilfe der Rotating-Wave-Approximation (Drehwellennäherung) für die Atom-Feld-Wechselwirkung:
H^ AC =
i~
0 h
a^ ^+
2
a^y ^
i
;
0 := ~2 dE0 E~A E~c die Vakuum-Rabi-Frequenz ist. Sie ist eine Maÿzahl für die Stärke
der Kopplung zwischen Atom und Feldmode. Die Operatoren a
^ ^+ und a^y ^ stellen folgende
physikalische Prozesse dar. Der Operator a
^ ^+ steht für die Vernichtung eines Photons und die
Anregung des Atoms. Der Umgekehrte Vorgang wird vom Operator a
^y ^ wiedergespiegelt.
wobei
5
2.4 Der Jaynes-Cummings Hamiltonoperator
Der Hamiltonoperator für den ganzen Versuch ist gegeben durch die Summe der oben genannten Hamiltonoperatoren. Dieser Hamiltanoperator heiÿt Jaynes-Cummings Hamiltonoperator
und lautet in unserem Fall
H^ JC
= H^ A + H^ C + H^ AC
~
= ~!c 1 + 0 ^y
2
Die Eigenzustände lauten
j+i = p1 (je; 0i + i jg; 1i)
j i = p1 ( je; 0i + i jg; 1i)
2
2
mit dazugehörigen Eigenwerten
E =
1
~!
2 c
~2 0
:
Damit lässt sich für den zeitlichen Verlauf des Systems mit Anfangszustand
je; 0i folgende
Zustandsfunktion herleiten
je;0i (t)
Für den Anfangszustand
= cos
jg; 1i ergibt sich
jg;1i(t)
=
sin
0 t
je; 0i + sin 20t jg; 1i :
2
0 t
t
j
e; 0i + cos 0 jg; 1i :
2
2
2.5 Wie misst man ein Photon nicht-destruktiv?
Um die Frage zu klären betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeit das System im Zustand
je; 0i zu nden. Sie ergibt sich zu:
0 t
Pje;0i (t) = cos
2
Der Verlauf von
Pje;0i (t)
2
=
1
[1 + cos (
0 t)] :
2
ist in Abb. (2.2) zu sehen. Wir sehen, dass es sich hier um einen
periodischen Verlauf handelt. Die physikalische Deutung des Graphen lautet wie folgt: Zum
Zeitpunkt
0 t = 0
bendet sich das Atom in einem angeregten Zustand und es ist kein
Photon im Hohlraumresonator. Zum Zeitpunkt
0 t = ist das Atom im Grundzustand und
es bendet sich ein Photon im Hohlraum. Nach einer zeitlichen Entwicklung von
0 t = 2
benden wir uns anscheinend wieder im Anfangszustand. Doch der Graph trügt. Man rechnet
6
Abbildung 2.2: Wahrscheinlichkeit das System in
je; 0i zu nden
leicht nach, dass gilt:
0 t =
0 t =
2
je; 0i ! p1 (je; 0i + jg; 1i)
:
jg; 1i !
je; 0i !
jg; 1i !
je; 0i !
jg; 1i !
:
0 t = 2 :
2
1
p ( je; 0i + jg; 1i)
2
jg; 1i
je; 0i
je; 0i
jg; 1i
0 t = 2, den sogenannten 2-Puls, dass unser Systemzustand eine zusätzliche
Phase von erhalten hat. Dies gilt auch für ein System mit Anfangszustand jg; 1i, d.h. wenn
Wir sehen für
das Atom am Anfang im Grundzustand ist und sich ein Photon im Hohlraum bendet. Setzen
wir in diesem Fall die Flugzeit des Atoms durch den Hohlraum so an, dass das Atom einen
2-Puls
vollführt, so ist die Phase
,
welche wir in dem -1 wiedererkennen, ein Indiz dafür,
dass ein Photon im Hohlraum war. Wir müssten nur noch die Phase messen. Nun handelt es
sich hier um eine globale Phase, folglich lässt sich diese nicht messen.
Wir geben uns damit nicht zufrieden und verfolgen die folgende Strategie: Da es möglich ist
relative Phasen zu messen, wollen wir die durch einen
2-Puls entstandene globale Phase in
eine relative Phase umwandeln. Dazu benötigen wir zwei Dinge:
1. einen weiteren Atomzustand
jii und
2. ein Instrument zur Messung der relativen Phase.
jii soll hier lediglich als Phasenreferenz dienen, deswegen sollen die
!ie und !ig stark verstimmt sein zur Hohlraummodenfrequenz. Dadurch
Der dritte Atomzustand
Übergangsfrequenzen
ist gewährleistet, dass keine Wechselwirkung zwischen Hohlraumfeld und Atom stattndet.
7
Abbildung 2.3: Schema eines Ramsey-Interferometers
ji; 1i und ji; 0i beim Durchqueren des Resonators:
ji; 1i ! ji; 1i ji; 0i ! ji; 0i :
Dann gilt für die Systemzustände
Das Instrument zur Phasenmessung ist ein Ramsey-Interferometer. In Abbildung (2.3) ist ein
solche Apparatur schematisch zu sehen. R1 und R2 sind zwei elektromagnetische Felder die
jeweils
-Pulse
2
zuständen
durchführen und
' ist eine steuerbare relative Phase die zwischen den Atom-
jgi und jii eingeführt wird. Passiert nun unser Atom das Ramsey-Interferometer,
jgi und jii erzeugt, d.h.
so wird in R1 eine kohärente Überlagerung der Zustände
jgi ! p1 (jgi + jii)
2
Anschlieÿend wird die relative Phase um
:
' verschoben, wir erhalten den Zustand
p1 jgi + ei' jii
2
:
Nachdem R2 durchlaufen ist, landen wir im Zustand
1
(1 ei' ) jgi + (1 + ei' ) jii :
2
Betrachten wir nun die Wahrscheinlichkeiten der Endzustände, so ergibt sich der in Abb. (2.4)
Pijg , dass wir unser Atom im Endzustand jii nden
jgi, lautet Pijg = 12 (1+cos ') . Entsprechend
1
lautet die Wahrscheinlichkeit Pg jg : Pg jg = (1
cos ').
2
zu sehende Verlauf. Die Wahrscheinlichkeit
unter der Voraussetzung der Anfangszustand war
Nun wollen wir endlich zum Ablesen derjenigen Phase kommen, die durch das Photon im Hohlraum entsteht. Dazu stellen wir die Phase
ein Atom im Grundzustand
' am Ramsey-Interferometer auf ' = 0 und lassen
jgi den Hohlraum durchqueren, so dass ein 2-Puls durchgeführt
wird, falls ein Photon im Hohlraum enthalten ist. Wir messen nun die Endzustände. Finden
wir unser Atom im Endzustand
jii so wissen wir, dass kein Photon im Hohlraum gewesen sein
kann. Bendet sich jedoch ein Photon im Resonator, so wird Phase von
erzeugt und das
Atom wird im Grundzustand detektiert. Denn wir hatten die Ramsey-Interferometer-Phase
auf Null eingestellt und ein schneller Blick in Abb. (2.4) zeigt, dass wir dann im Zustand
ji i
sein müssten. Die auftrettende Phasenverschiebung ist unser Indiz dafür, dass ein Photon im
Hohlraum ist. Desweiteren wurde das Photon laut Theorie nicht-destruktiv gemessen. Wie
man dies alles in der Praxis realisiert werden wir nun im zweiten Teil behandeln.
8
Abbildung 2.4: Wahrscheinlichkeitsverlauf der Endzustände im Ramsey-Interferometer
9
3 Das Experiment
3.1 Realisierung der theoretischen Annahmen
Bevor wir uns mit dem eigentlichen Experiment befassen können, müssen wir zunächst überlegen, wie wir die Voraussetzungen, die wir in der Theorie angenommen haben, realisieren
können. Für die Atome, die später die Cavity passieren sollen, wurde angenommen, dass sie
nur zwei bzw. drei Zustände besitzen. Auÿerdem sollen sie relativ zur Versuchsdauer eine möglichst lange Lebensdauer haben.
Weiter wurde angenommen, dass das Atom mit den Feldern in der Cavity stark gekoppelt ist.
Die Annahmen für das Atom können durch sogenannte zirkulare Rydberg Atome realisiert
werden. Für die starke Kopplung wird die Cavity so konstruiert, dass sie die gewünschten
Eigenschaften besitzt. Beides wird anschlieÿend erläutert.
3.1.1 Zirkulare Rydberg Atome
Bei Rydberg Atomen handelt es sich um hochangeregte Alkali-Atome, in unserem Versuch
Rubidium (Rb)- Atome. Die Hauptquantenzahl n nimmt dann Werte um die 50 an. Als zirkulare Rydberg Atome gelten solche, für die die Drehimpulsquantenzahl l und der Betrag der
magnetischen Quantenzahl m maximale Werte annehmen. Also
nung zirkular kommt daher, dass die Verteilung der
50%-igen
l = jmj = n
1. Die Bezeich-
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
des Elektrons im Raum die Form eines Torus annimmt, dessen Radius dem klassischen Bohr-
r = a0 n2 , mit a0 = 0; 53
Radius entspricht (
Å Bohr-Radius). Je gröÿer n ist, desto enger liegt
der Torus um den klassischen Radius. Die Energiezustände eine Rydberg Atoms sind gegeben
durch die Energie eines Rydberg Zustandes. Sie ist gegeben durch:
En =
n2 RRb ,
1
wobei
RRb
die Rydbergkonstante von Rubidium ist. Im Versuch werden zirkulare Rydberg Zustände mit
n = 51, 50 und 49 verwendet. Die verschiedenen Übergangsfrequenzen sind in Abb. (3.2) zu
Abbildung 3.1:
50%
Aufenthalswahrscheinlichkeit des Elektrons bei einem zirkularen Ryd-
berg Atom (n= 50)
10
Abbildung 3.2: Übergange zwischen den, für den Versuch, relevanten Zuständen des zirkularen
Rydberg Atoms
sehen. Auf deren Bedeutung wird später, nach der Betrachtung der Eigenschaften der Cavity,
eingegangen.
Die Zirkularität der Zustände ist für den Versuch sehr wichtig, da diese für eine hohe Stabilität der Zustände sorgen. Die Lebensdauer eines zirkularen Rydberg Atoms z.B. für
beträgt
Ta;51 = 36 ms.
n = 51
Für die Erzeugung von Rydberg Atomen ist ein zweistuger Prozess notwendig. Zuerst werden
die Atome mit Hilfe von drei Laserdioden in das Niveau mit der gewünschten Hauptquantenzahl
n angehoben. Die Atome benden sich jetzt in hochangeregten Rydberg Zuständen nahe
der Ionisationsgrenze, sind aber nicht zirkular. Anders ausgedrückt: Die Drehimpulsquantenzahl
l
und die magnetische Quantenzahl
m haben aber noch sehr kleine Werte. Diese werden
nun, im zweiten Schritt, mit Hilfe eines Radiowellenfeldes angehoben. Dazu wird eine adiabatische Passage verwendet.
3.1.2 Die Cavity
Als nächstes werden die Eigenschaften der Cavity betrachtet. Diese setzt sich aus zwei hochpolierten sphärischen Niob-Spiegeln zusammen, deren Krümmungsradius
ren Durchmesser
d = 50 mm
Kreisfrequenz
einer solchen Cavity beträgt
!c
und deren Abstand
!c
2
r = 40 mm,
de-
L = 27 mm beträgt. Die Cavity-Moden= 51 GHz. Vergleichen wir diese Frequenz
mit den Übergangsfrequenzen des verwendeten zirkularen Rydberg Atoms, so stellen wir fest,
dass die Übergangsfrequenz zwischen den Zuständen
jei und jgi mit ! = 51; 1 GHz zu ! näeg
2
2
c
herungsweise resonant ist. Damit können wir zur Beschreibung des Systems den im Theorieteil
hergeleiteten Jaynes-Cummings-Hamiltonian verwenden, bei dessen Aufstellung die Resonanz
der beiden Frequenzen explizit gefordert wurde. Das Atom und das Feld der Cavity sind
dementsprechend gekoppelt, und wir können das Verhalten von Atom und Photon mit der
oben behandelten Theorie beschreiben.
Andererseits ist die Übergangsfrequenz zwischen den Zuständen
zu
!c
2
jgi und jii
!gi
2
= 54; 3 GHz
stark verstimmt. In diesem Fall sind Atom und Feld der Cavity nicht gekoppelt; ein
Atom wird die Felder der Cavity unbeeinusst passieren.
Die Cavity und die drei ausgewählten Zustände
sind demnach gut aufeinander abgestimmt.
11
jei, jgi und jii des zirkularen Rydberg Atoms
Abbildung 3.3: Die Cavity
Bildquelle:
S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Ca-
vities, and Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
Der Normierungsfaktor
E , der die Amplitude des E-Feldes pro Photon in der Cavity bestimmt,
E = 1; 5 mV
m und ist von makroskopischer Gröÿenord0
der hier verwendeten Cavity beträgt
0
nung. Dies spielt für die Kopplung insofern eine Rolle, da dieser Faktor proportional zur
Rabi-Vakuum-Frequenz
0
ist, die ein Maÿ für die Kopplung ist. Je gröÿer also das Feld ist,
desto stärker ist die Kopplung.
Nun wollen wir uns überlegen, ob die zirkularen Rydberg Atome das Experiment überhaupt
überleben. Im Verlauf des Experiments werden die Atome verschiedene Rabi-Pulse durchlaufen. Die Dauer eines
2-Rabi-Pulses T0
Ebenso entspricht die Lebensdauer
Tn
entspricht dem Kehrwert der Rabi-Frequenz
eines zirkularen Rydberg Atoms im Zustand
n.
freien Raum, dem Kehrwert der spontanen Emissionsrate
Tn
T0
=
0
n
10
0 .
jni im
Der Vergleich ergibt dann:
4
104 -mal so lang wie die Dauer eines 2-Rabi-Pulses.
Vergleicht man analog die Lebensdauer eines Photons in der Cavity mit der Dauer eines 2 d.h. die Lebensdauer des Atoms ist etwa
Rabi-Pulses, so stellt man fest, dass die Lebensdauer des Photons um das 50-fache länger ist
als die Dauer des
2-Rabi-Pulses.
Wir stellen fest, dass die Voraussetzung, die wir in der Theorie getroen haben, im Experiment
realisiert werden können.
3.2 Der Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau ist in Abb. (3.4) dargestellt. Aus dem Ofen O werden Rubidiumatome
in einem Atomstrahl emittiert, welche mit Hilfe von Laser
L1
und
L01
einer Geschwindig-
keitsselektion unterzogen werden. Dies ist wichtig, da über die Geschwindigkeit später die
Aufenthaltsdauer der Atome in der Cavity bestimmt wird. Die Cavity C ist zwischen den
zwei elektrischen Feldern,
R1
und
R2 , eines Ramsey-Interferometers angeordnet. Der Zustand
der Atome, die sowohl das Interferometer als auch die Cavity passieren, wird mit Hilfe des
12
Abbildung 3.4: Versuchsaufbau
Bildquelle:
S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Ca-
vities, and Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
Detektors D festgestellt. Auf desses Funktionsweise wird hier nicht eingegangen werden.
Was passiert nun, wenn kein bzw. ein Photon in der Cavity ist? Im Falle, dass sich kein Photon in der Cavity bendet, benden sich auch keine Felder in der Cavity. Ein Atom, dass im
Zustand
jgi die Cavity passiert, ändert seinen Zustand also nicht.
jg; 0i
! jg; 0i
Im Zusammenhang mit dem Ramsey Interferometer passiert also folgendes: Ein zirkulares
jgi in das erste Feld R1 des Ramsey Interferometers. Es erfährt
Es kommt zur kohärenten Überlagerung der Zustände jg i und jii.
Rydberg Atom tritt im Zustand
dorch einen
-Rabi-Puls.
2
Als nächstes passiert es die Cavity. Da sich keine Felder in der Cavity benden wird das Atom
nicht weiter beeinusst. Es tritt nun in das zweite Feld
-Rabi-Puls.
R2
des Ramsey Interferometers und
Ändert man nun die Phasenverschiebung ' zwischen den
2
R2 , so erhält man die Wahrscheinlichkeit das Atom im Zustand jg i zu nden,
unter der Bedingung, dass sich kein Photon in der Cavity bendet, in Abhängigkeit von '
erfährt einen weitern
Feldern
R1
und
Pgj0
=
1
(1 cos ')
2
(3.1)
Im Falle, dass sich ein Photon in der Cavity bendet, wir ein Atom, dass die Cavity im Zustand
jgi passiert, mit den Feldern der Cavity wechselwirken. Die Geschwindigkeit des Atoms wird
so ausgewählt, dass es einen kompletten
2-Rabi-Puls erfährt. D.h.
jg; 1i
!
jg; 1i
Im Zusammenhang mit dem Interferometer wirkt sich dies wie folgt aus: Wieder schicken wir
ein zirkulares Rydberg Atom im Zustand
jgi durch das Feld R
1 und erhalten die kohärente
13
Überlagerung der beiden Zustände
jgi und jii. Der Anteil, der sich in jgi bendet erhält in der
. Der Anteil der sich in jii bendet bleibt unbeeinusst,
Cavity eine Phasenverschiebung von
da dieser Zustand, wie im vorherigen besprochen, nicht mit den Feldern der Cavity koppelt.
Nach dem zweiten
-Rabi-Puls
2
des Feldes R2 wird das Atom wie im ersten Fall detektiert.
Mit der Veränderung der Phasenverschiebung
lichkeit, das Atom in
' stellt man nun fest, dass sich die Wahrschein-
jgi zu detektieren, unter der Bedingung, dass sich ein Photon in der
Cavity bendet, verändert hat.
Pgj1
=
1
(1 + cos ')
2
(3.2)
Will man diese Methode später zur Detektion eines Photons verwenden, so wird man die Phase
'
zwischen den Feldern
R1
und
R2
konstant halten und anhand der detektierten Zustände
des Atoms entscheiden, ob sich ein Photon in der Cavity bendet oder nicht. Untersuchen
wir also genauer, welche Ergebnisse wir für
Cavity, so ist
Pgj0 = 0,
'=0
erhalten. Bendet sich kein Photon in der
d.h. wir werden mit 100%iger Wahrscheinlichkeit das Atom in
detektieren. Andererseits ist
Pgj1 = 1,
ji i
im Falle dass ein Photon in der Cavity ist. Für die
weiteren Betrachtungen stellen wir also fest:
Detektieren wir ein Atom, das ursprünglich
jgi in die Apparatur getreten ist, im Zustand jii, so bendet sich kein Photon
in der Cavity. Detektieren wir es aber im Zustand jg i, so hat sich ein Photon in der Cavity
im Zustand
befunden. Diese Ergebnisse sind nochmals in Abb. (3.5) veranschaulicht.
3.3 Durchführung des Versuches
Theoretisch haben wir nun einen Weg gefunden mit dem wir Photonen detektieren können
ohne sie zu zerstören. Praktisch müsssen wir nun noch nachweisen, dass unsere Apparatur dies
auch wirklich tut. Dies wird anhand zweier Experimente überprüft.
1. Experiment Kann unsere Apparatur Photonen messen?
Wenn wir die Cavity mit einem Photon präparieren, können wir dies mit unserem Versuchsaufbau bestätigen?
2. Experiment Messen wir das Photon nicht-destruktiv?
Ist das Photon nach der Messung immer noch da?
3.3.1 Erstes Experiment
Für eine Messung werden zwei zirkulare Rydberg Atome verwendet. Diese werden unter verschiedenen Bedingungen durch den Versuchsaufbau geschickt. Das erste Atom dient dazu, den
Zustand zu präparieren, der durch das zweite Atom bestätigt werden soll. Dazu wird zunächst
das Interferometer ausgeschaltet. Das Atom wird im Zustand
jei präpariert. Die Geschwindig-
keit des Atoms wird so gewählt, dass das Atom in der Cavity einen
D.h.
-Rabi-Puls
2
durchläuft.
1
!
(je; 0i + jg; 1i)
2
Wenn wir nun das Atom im Zustand jei detektieren, wissen wir, dass kein Photon in der
je; 0i
Cavity ist. Andererseits wissen wir, dass sich ein Photon in der Cavity bendet, wenn wir es
in
jgi detektieren.
Mit dem zweiten Atom wird nun die Messung durchgeführt, wie wir sie im vorangegangenen
14
Abbildung 3.5: Quantenpfade des Rydberg Atoms und zugehörige Wahrscheinlichkeit das
Atom im Grundzustand zu messen
Bildquelle:
S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Ca-
vities, and Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
15
Abbildung 3.6: Versuchsergebnisse des ersten Experiments
Bildquelle:
S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Ca-
vities, and Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
Abschnitt besprochen haben.
In Abb. (3.6) sind die Ergebnisse eines solchen Experimentes dargestellt. Die schwarzen
Quadrate geben die Wahrscheinlichkeit
Pgexp
j0 .
Pgexp
j1
an, die oenen Rauten die Wahrscheinlichkeit
Die Wahrschienlichkeiten sind im Experiment durch folgende Formeln gegeben:
1
(1 C cos ')
2
1
= (1 + C cos ')
2
Pgexp
j0 =
(3.3)
Pgexp
j1
(3.4)
Vergleicht man diese Formeln mit denen aus der Theorie (Formel (3.1) und (3.2)) so unterscheiden sie sich um den Faktor
C . In diesem Experiment beträgt er C = 0; 6. Er ergibt sich
durch Imperfekionen der Messung. Im Rahmen dieser Imperfektionen kann man sagen: Die
Ergebnisse stimmen mit der Theorie überein.
D.h.:
Mit unserer Methode können wir Photonen messen. Bleibt zu zeigen, dass das
Photon nach der Messung immer noch da ist.
3.3.2 Zweites Experiment
Wieder werden für eine Messung zwei verschiedene Atome verwendet. Im Gegensatz zu vorher
erzeugen wir in der Cavity ein unbestimmtes thermisches Feld. Wir wissen nun, dass mit
ˆ p0 =0; 77
sich kein Photon in der Cavity bendet
ˆ p1 =0; 18
sich ein Photon in der Cavity bendet
ˆ p>1 =0; 05
p >1
sich mehr als ein Photon in der Cavity bendet
können wir in den weiteren Betrachtungen vernachlässigen. Wir schicken nun das erste
Atom nach dem vorgestellten Prinzip durch die Apparatur und halten das Ergebnis des Detektors fest. Für das zweite Atom wird das Ramsey-Interferomenter ausgeschaltet, es wird
16
Abbildung 3.7: Versuchsergebnisse des zweiten Experiments
Bildquelle:
S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Ca-
vities, and Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
wieder auf den Zustand
jgi präpariert. Allerdings wird die Geschwindigkeit nun so gewählt,
dass es sich für die Zeit eines
-Rabi-Pulses in der Cavity bendet. Ist in der Cavity ein bzw.
kein Photon enthalten passiert folgendes:
jg; 0i
jg; 1i
! jg; 0i
! je; 0i
jgi, so wissen wir, dass kein Photon in der Cavity
jei, so ist ein Photon in der Cavity gewesen. In beiden Fällen
Detektieren wir das zweite Atom also in
gewesen ist. Detektieren wir es in
können wir sagen, dass kein Photon mehr in der Cavity vorhanden ist, nachdem das zweite
Atom die Cavity passiert hat. Die Ergebnisse eines solchen Experiments sind in Abb.(3.7)
dargestellt. Die oenen Dreiecke stehen für die Wahrscheinlichkeit
p1 , dass sich ein Photon in
' der beiden Felder des
der Cavity aufhält. Es ist klar: Sie ist nicht von der Phasenverschiebung
Ramsey Interferometers abhängig. Die oenen Rauten geben die bedingte Wahrscheinlichkeit
Pe2ji1 an. Sie besagt, dass das zweite Atom im Zustand jei gemessen wird, unter der Bedingung,
jii gemessen wird. Anders ausgedrückt: Die zweite Messung
dass das erste Atom im Zustand
gibt an, dass ein Photon in der Cavity ist, mit der Voraussetzung, dass die erste Messung
angibt, dass sich kein Photon in der Cavity bendet. Da wir davon ausgehen, dass das 2. Atom
ein Photon mit 100%iger Wahscheinlichkeit misst, würden wir mit einem solchen Ergebniss
sagen: Unsere Apparatur entspricht nicht unseren Anforderungen.Die schwarzen Quadrate
geben die bedingte Wahrscheinlichlkeit
Pe2jg1 .
Sie besagt, dass das zweite Atom im Zustand
jei gemessen wird, unter der Bedingung, dass das erste Atom im Zustand jgi gemessen wird.
D.h.: Die zweite Messung bestätigt das Ergebnis der ersten, dass ein Photon in der Cavity
vorhanden ist. In diesem Fall können wir sagen: Unsere Apparatur misst ein Photon nicht-
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destruktiv.
Betrachten wir die Ergebnisse des Experiments nun für
Pe2jg1
wird für
'=0
' =0 genauer. Die Wahrscheinlichkeit
maximal, auÿerdem kann man feststellen, dass sie wesentlich höher ist
als die Wahrscheinlichkeit
p1 . Desweiteren ist die Wahrscheinlichkeit Pe2ji1 minimal und sehr
p1 . Insgesamt kann man also sagen: Wenn ein Photon
viel geringer als die Wahrscheinlichlkeit
in der Cavity ist, können wir dies, mit Hilfe des ersten Atoms, des Messatoms, mit sehr hoher
Wahrscheinlichkeit feststellen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Atom nicht sensitiv genug
ist um das Photon zu messen, ist sehr gering. Das zweite Experiment bestätigt zudem: Mit
unserem Verfahren können wir Photonen nicht-destruktiv messen.
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Literaturverzeichnis
e
[1] C. Cohen Tannoudji, B. Diu, F- Lalo , Quantenmechanik Teil 1, 2. Auage,
1999 Berlin New York, de Gryter
[2] S. Haroche, J.-M. Raimond, Exploring the Quantum, Atoms, Cavities, and
Photons, 2006 Oxford Graduate Texts
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