Geostationärer Satellit

Prof. Liedl
13.11.2012
Lösung zu Blatt 5
Übungen zur Vorlesung PN1
Lösung zu Blatt 5
Aufgabe 1: Geostationärer Satellit
Ein geostationärer Satellit zeichnet sich dadurch aus, dass er eine Umlaufdauer von
einem Tag besitzt und sich folglich seine relative Position über dem Boden nicht ändert.
a) Berechnen Sie die Höhe über der Erdoberäche, in der sich diese Satelliten benden. Welche Bahngeschwindigkeit haben sie?
Zentripetalkraft: FZ = mS ω 2 r
Gravitationskraft:FG = GmrE2mS
rE = 6, 371 · 106 m
2
G = 6, 674228 · 10−11 Nkgm2
2π
1
= 72, 7 · 10−6
T
s
1
GmE mS
GmE 3
2
FZ = FG ⇒ mS ω r =
⇒r=
= 42, 2 · 106 m
2
2
r
ω
ω=
Höhe: h = r − rE = 35, 8 · 106 m
Geschwindigkeit: v = rω = 3, 07 · 103 ms
b) Wie groÿ ist die minimal mögliche Zeit, mit der ein Satellit (nicht geostationär)
die Erde umrunden kann? Welche Geschwindigkeit hat er dann? Vernachlässigen
Sie hierbei Reibungseekte zwischen Satellit und Atmosphäre.
r = rE
s
GmE
1
= 1, 24 · 10−3
3
rE
s
m
v = rE ωE = 7, 9 · 10−3
s
2π
T =
= 1, 4h
ωE
⇒ ωE =
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Lösung zu Blatt 5
cos(ωt)
c) Die gleichförmige Rotation lässt sich beschreiben durch den Ortsvektor ~r = sin(ωt)
.
Zeigen sie allgemein mit Hilfe des Skalarprodukts, dass der Geschwindigkeitsvektor
r
~v = d~
immer senkrecht zum Radius steht.
dt
d
~v (t) = ~r(t) =
dt
−r sin(ωt)ω
− sin(ωt)
= rω
r cos(ωt)ω
cos(ωt)
~r(t) · ~v (t) = r2 ω[cos(ωt) sin(ωt) − sin(ωt) cos(ωt)] = 0
Aufgabe 2: Senkrechter Wurf
Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen.
a) Leiten sie aus den Bewegungsgleichungen einen allgemeinen Ausdruck für die maximale Steighöhe des Balls h in Abhängigkeit der Abwurfgeschwindigkeit v0 und der
Erdbeschleunigung g her. (Tipp: Welche Geschwindigkeit hat der Ball am höchsten
Punkt?)
Am höchsten Punkt gilt: v = 0
v = at + v0
0 = −gt + v0 ⇒ gt = v0 ⇒ t =
v0
g
1 v2
v2 v2
2v 2 − v02
1 v02
1
v0
=
h = − gt2 + v0 t + h0 = − g 02 + v0 = − 0 + 0 = 0
2
2 g
g
2g
g
2g
2 g
b) Der Ball iegt 8 m hoch. Mit welcher Geschwindigkeit wurde er abgeworfen? Wie
lang braucht er bis zum obersten Punkt?
r
p
v02
m
m
h=
⇒ v0 = 2hg = 2 · 8m · 9, 81 2 ≈ 12, 53
g
s
s
m
12, 53 s
v0
t=
=
= 1, 28s
g
9, 81 sm2
c) Wie lange braucht der Ball zum Herunterfallen auf den Boden und mit welcher
Geschwindigkeit schlägt er auf, wenn der Werfer 1,5 m groÿ ist?
1
1
h = − gt2 + v0 t + h0 ⇒ 0 = − gt2 + h0 ⇒ t =
2
2
s
2h0
=
g
s
2 · 9, 5m
= 1, 39s
9, 81 sm2
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v = −gt = −13, 64
m
s
Aufgabe 3: Corioliskraft
Der allgemeine Ausdruck für die Corioliskraft in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
~ rotierenden System ist
F~C = 2m(~v × ω
~ ) ⇒ |F~C | = 2m|~v ||~ω | sin α = 2mvω sin α
Dabei ist ~v die Geschwindigkeit im rotierenden System, ω
~ =
Umdrehung und α der Winkel zwischen ~v und ω
~
2π
T
, T die Dauer einer
Ein Zug (Masse 10.000 t) fährt mit 180 km/h in Mainz (50◦ nördliche Breite) von Norden
nach Süden
a) Fertigen sie eine Skizze ( Erde, ω
~ , Breitengrad, ~v und α.
b) Wie groÿ ist der Betrag der Corioliskraft?
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|F~ | = 2mvω sin α = 2 · 10 · 106 kg ·
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180 m 2π
·
· sin 50◦ ≈ 5, 6 · 104 N
3, 6 s 24h
c) In welche Himmelsrichtung wirkt die Corioliskraft, d.h. in welche Richtung würde
der Zug ohne Gegenkraft der Schienen ausgelenkt? (Tipp: Rechte-Hand-Regel)
Rechte-Hand-Regel (Kreuzprodukt): Daumen in Richtung ~v bzw v~⊥ , Zeigenger in Richtung ω
~ ⇒ F~C Richtung Westen.
d) In welche Richtung wird ein Ball abgelenkt, den man am Äquator fallen lässt? Was
passiert am Nordpol?
Äquator: Ablenkung nach Osten
Nordpol: Keine Ablenkung (~v parallel zu ω
~ ⇒ Kreuzprodukt verschwindet)
Aufgabe 4: Haft-und Gleitreibung
Ein Block der Masse m1 = 4 kg liegt auf einer Rampe, welche einen Winkel von 30◦
gegen die Horizontale aufweist. Der Block ist mit einem Seil (Masse soll vernachlässigt
werden) über eine Umlenkrolle mit einem weiteren Block der Masse m2 verbunden.
a) Zunächst werde die Reibung vernachlässigt. Berechnen Sie die Kraft, mit der der
auf der Rampe liegende Block tangential zur schiefen Ebene hinunter beschleunigt
wird, wenn m2 = 0 ist.
Nach welcher Zeit hat der Block einen Weg von 1m zurückgelegt?
Wir groÿ müsste m2 sein, damit sich der Block nicht mehr bewegt?
Prof. Liedl
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Hangabtriebskraft:FG1 x = m1 ax = FG1 sin(α) = m1 g sin(α) = 19, 6N
m1 g sin(α)
m
F G1 x
=
= g sin(α) ≈ 4, 9
m1
m1
s
r
1
2x
x = at2 ⇒ t =
≈ 0, 63s
2
a
= FG2 ⇒ m1 g sin α = m2 g ⇒ m2 = m1 sin α = 2kg
ax =
F G1 x
b) Wie groÿ muss der Haftreibungskoezient µH sein, damit ein auf die Rampe gelegter Block unter der Bedingung m2 = 0 nicht von selbst hinabgleitet?
Haftreibungskraft:FRH = µRH FN = µRH FGy = µRN FG cos α = µRH mg cos α
FGx = FRN
mg sin α = µRH mg cos α ⇒ µRH =
sin α
= tan α ≈ 0, 58
cos α
c) Der Gleitreibungskoezient µG betrage nun 0, 1 . Wie groÿ darf m2 höchstens sein,
damit der Block nach kurzem Anstoÿen die Rampe noch hinuntergleitet?
Hangabtriebskraft=Reibungskraft+Gewichtskraft von m2
FG1 x = µG FN + FG2
m1 g sin α = µG m1 g cos α + m2 g
m2 = m1 sin α − µG m1 cos α = m1 (sin α − µG cos α) ≈ 1, 65kg