Übungsblatt 3 zur Vorlesung Einführung in die Statistik

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Übungsblatt 3 zur Vorlesung Einführung in die
Statistik
Olivier Warin
2. Oktober 2012
Aufgabe 16 [Unabhängigkeit von Ereignissen]
Zwei Ereignisse
A, B
seien derart, dass
P [A ∩ B] = P [A]P [B],
d.h. die Ereignisse
A
und
B
seien unab-
hängig voneinander.
Behauptung:
Ac
und
B
sind auch unabhängig, d.h.
P [Ac ∩ B] = P [Ac ]P [B].
Beweis: Nach Lemma 1.3 gilt:
Lem
Lem
q
P [Ac ∩B] = P [B \(A∩B)] = P [B]−P [A∩B] = P [B]−P [A]P [B] = (1−P [A])P [B] = P [Ac ]P [B].
1.3 c)
1.3 a)
Bemerkung: Natürlich folgt aus Symmetriegründen, dass unter denselben Voraussetzungen
A
und
Bc
voneinander unabhängig sind.
Aufgabe 17 [Unabhängigkeit von Ereignissen]
Von den 240 HörerInnen einer Vorlesung studieren 127 Biologie, 66 Geographie und 47 andere Fächer.
Eine Person
p
wird zufällig ausgewählt.
Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass diese Person
p
Biologie studiert und ein Son-
ntagskind ist.
Um dies zu tun, machen wir die folgenden zwei Annahmen: Erstens nehmen wir an, dass das Ereignis
p studiert Biologie (=:
B) unabhängig vom Ereignis p ist ein Sonntagskind (=: S) ist. Zweitens nehmen
wir an, dass alle Wochentage als Geburtstag gleich wahrscheinlich sind.
Nun erhalten wir:
P [B ∩ S]
unab-
=
hängig
127 1
127
· =
=
˙ 0.075595.
240 7
1680
P [B]P [S] =
Aufgabe 18 [bedingte Wahrscheinlichkeiten]
A, B
und
C
P [A] > 0
seien 3 Ereignisse mit
Behauptung: Es gilt:
und
P [A ∩ B] > 0.
P [A ∩ B ∩ C] = P [A]P [B|A]P [C|A ∩ B].
Beweis: Durch Einsetzen der Denition der bedingten Wahrscheinlichkeit (Denition 1.5) erhalten wir:
Def
Def
1.5
1.5
P [A ∩ B ∩ C] = P [A ∩ B]P [C|A ∩ B] = P [A]P [B|A]P [C|A ∩ B].
Behauptung: Wir können die obige Formel wie folgt verallgemeinern: Seien
derart dass
P [A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ] > 0.
P[
Tn
A1 , A2 , . . . , An
i=1
Ai ] =
n
Q
i=1
î T
ó
P Ai i−1
j=1 Aj .
Beweis: Zunächst bemerken wir, dass mit Lemma 1.3 d) sofort folgt, dass für alle
gilt:
P
îT
Ereignisse,
Dann gilt:
k
j=1
k ∈ N mit 1 6 k 6 n−1
ó
îT
ó
n−1
Aj > P
j=1 Aj > 0.
Somit macht die Gleichung in der Behauptung Sinn.
Herbstsemester 2012
Olivier Warin
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Für
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n = 1 ist die Behauptung klar. Also können wir annehmen, dass n > 2. Wir machen eine Induktion
und nehmen daher an, dass gilt:
P
îT
n−1
i=1
ó
n−1
Q î Ti−1 ó
P Ai
Ai =
j=1 Aj .
(∗)
i=1
Es folgt:
P[
Tn
i=1
Ai ]
ó Def
î
î T
ó
îT
ó
T
n−1
P An ∩ n−1
= P An n−1
i=1 Ai
i=1 Ai · P
i=1 Ai
=
1.5
î
ó n−1
î T
ó
n
T
Q î Ti−1 ó
Q
i−1
P Ai
=
P Ai j=1
Aj .
P An n−1
i=1 Ai ·
j=1 Aj
( ∗)
=
i=1
i=1
Bemerkung: Ein entsprechender Wahrscheinlichkeitsbaum liefert genau dieselbe Formel. Siehe dazu
Mittelschule (Gymnasium).
Aufgabe 19 [bedingte Wahrscheinlichkeiten]
Aus der Menge der Zahlen
genden Ereignisse:
A:
{31, 32, . . . , 50}
wird eine Zahl zufällig ausgewählt. Wir betrachten die fol-
die Zahl ist ungerade,
B:
die Zahl ist durch 7 teilbar,
C:
die Zahl ist eine
Primzahl.
a) Es gilt:
Def
P [A|B] =
1.5
2/20
P [{35, 49}]
2
P [A ∩ B]
=
= 3
˙ 0.66667.
= =
P [B]
P [{35, 42, 49}]
3
/20
b) Es gilt:
Def
P [B|Ac ] =
1.5
1/20
P [B ∩ Ac ]
1
P [{42}]
=
= 1 =
= 0.1.
c
/2
P [A ]
P [{32, 34, 36, 38, . . . , 50}]
10
c) Es gilt:
Def
P [C|A] =
1.5
5/20
P [C ∩ A]
P [{31, 37, 41, 43, 47}]
1
=
= 1 =
= 0.5.
P [A]
P [{31, 33, 35, . . . , 49}]
2
/2
d) Es gilt:
Def
P [A|C] =
1.5
P [A ∩ C]
P [{31, 37, 41, 43, 47}]
=
= 1.
P [C]
P [{31, 37, 41, 43, 47}]
Dieses Resultat ist in einem gewissen Sinn speziell, da
P [A∩C]
P [C]
=
P [C]
P [C]
A ⊃ C.
Denn damit folgt schon:
P [A|C] =
= 1.
Aufgabe 20 [FTW]
An einer Hochschule ndet eine schriftliche Prüfung statt. Nur die Hälfte der Prüinge beachten dabei
die Lösungshinweise. Nach der Korrektur werden die Geprüften in vier Kategorien eingeteilt: I: sehr gut;
II: gut; III: genügend; IV: ungenügend. Es sind 1/8 der Personen in Gruppe I, 1/8 in Gruppe II, 1/2 in
Gruppe III und 1/4 in Gruppe IV. Von den Personen, die die Lösungshinweise nicht beachtet haben, sind
1/10 der Personen in Gruppe I, 1/5 in Gruppe II, 2/5 in Gruppe III und 3/10 in Gruppe IV. Eine Person
wird nun zufällig ausgewählt.
Wir führen nun 5 Ereignisse ein: (f
A := {Die
= I,
II, III, IV)
Person hat die Lösungshinweise beachtet},
Person ist in Gruppe
P [A] = 1/2, P [GII ] = 1/8
P [Ac ] = 1 − P [A] = 1/2.
Obige Angaben liefern uns nun (unter Anderem):
Mit Lemma 1.3 a) schliessen wir gleich noch:
Gf := {Die
und
f }.
P [GII |Ac ] = 1/5.
a) Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass diese Person in Kategorie II klassiert ist,
A ∪ Ac = Ω
P [GII ] = P [GII |A]P [A] + P [GII |Ac ]P [Ac ].
wenn sie angibt, die Lösungshinweise beachtet zu haben. Dazu bemerken wir, dass
eine
Partition ist. Damit folgt mit Lemma 1.7 (FTW):
Wir
schliessen:
P [GII |A] =
Herbstsemester 2012
1/8 − 1/5 · 1/2
1
P [GII ] − P [GII |Ac ]P [Ac ]
=
=
= 0.05.
1
/2
P [A]
20
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b) Nun wollen wir noch die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Person die Lösungshinweise beachtet
hat, wenn sie in Kategorie II klassiert ist. Dazu nutzen wir die Formel von Bayes (siehe 1.4.7):
1/20 · 1/2
1
P [GII |A]P [A]
a)
= 1
=
= 0.2.
c
c
1
1
1
/20 · /2 + /5 · /2
P [GII |A]P [A] + P [GII |A ]P [A ]
5
P [A|GII ] =
Aufgabe 21 [FTW mit bedingten Wahrscheinlichkeiten: bFTW]
(Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei B1 , B2 , . . . eine Partition (bestehend aus EreignisΩ (d.h. die Bi 's sind disjunkt und ∪∞
i=1 Bi = Ω). Weiter haben wir ein Ereignis C ⊂ Ω und es
für alle i > 1: P [C ∩ Bi ] > 0.
Es sei
sen) von
gelte
Behauptung: Für jedes
A∈A
gilt:
P [A|C] =
∞
X
P [A|C ∩ Bi ]P [Bi |C].
i=1
Beweis: Es gilt:
P [C]P [A|C]
Def
=
P [A ∩ C] = P [A ∩ C ∩ Ω] = P [A ∩ C ∩
Def
∞
X
1.5
=
1.2c)
Aufg.
P [C ∩ Bi ∩ A] =
18
i=1
=
P [C]
∞
X
∞
X
S∞
i=1
Bi ]
Distribu-
=
tivität
P[
S∞
i=1 (C
∩ Bi ∩ A)]
P [C]P [Bi |C]P [A|C ∩ Bi ]
i=1
P [A|C ∩ Bi ]P [Bi |C].
i=1
P [C] > P [C ∩ B1 ] > 0.
Damit folgt die Behauptung sofort, da
Aufgabe 22 [Lemma 1.8, 2. Teil]
Es sei
B1 , B2 , . . . eine absteigende Folge von Ereignissen, d.h. B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ . . .. Wir denieren in dem
Fall:
B := lim Bi :=
T
i→∞
Behauptung: In dieser Situation gilt:
Beweis: Da
B1 , B2 , . . .
i>1
Bi .
P [B] = limi→∞ P [Bi ].
eine absteigende Folge ist, ist
B1c , B2c , . . .
eine aufsteigende Folge. Damit können
wir im Folgenden den ersten Teil von Lemma 1.8 auf diese aufsteigende Folge anwenden:
P [B]
=
=
T
P [ i>1 Bi ]
lim (1 −
i→∞
Lem
=
1.3 a)
P [Bic ])
T
1 − P [( i>1 Bi )c ]
Lem
=
1.3a)
n∈N
Morgan
1 − P[
S
Lem
i>1
Bic ] = 1 − lim P [Bic ]
1.8
i→∞
lim P [Bi ].
i→∞
Aufgabe 23 [Ereignisse, ohne Bezug zu
Für
de
=
sei
®
An :=
P]
{1},
∅,
falls
falls
n
n
gerade
ungerade.
Nun gilt:
[ \
n∈N i>n
Herbstsemester 2012
Ai =
[
n∈N
∅ = ∅
und
\ [
Ai =
n∈N i>n
Olivier Warin
\
{1} = {1} 6= ∅.
n∈N
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