A v - Max-Planck-Institut für Plasmaphysik

Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
1
Magnetohydrodynamische (MHD-) Beschreibung
Fast
Fast
´
Alfven
Slow
´
Alfven
Slow
B
Wolfgang Suttrop, Max-Planck-Institut für Plasmaphysik, Garching
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Inhalt
1. Flüssigkeitsbild vs.Teilchenbild
2. MHD Einflüssigkeits-Modell
• Kraftgleichung
• Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz
• Magnetischer Drucktensor, Plasma-Beta
3. Anwendungen der MHD
• Heute: Schallwellen, Akustische Ionenwellen, MHD-Wellen
• Erhaltung des magn. Flusses bei unendlicher Leitfähigkeit
elektrische Leitfähigkeit ⊥ ~B
Magnetfeld-Diffusion/-Konvektion
2
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
3
(Mehr-) Flüssigkeitsgleichungen
Haben (aus den Momentengleichungen für die Verteilungsfunktion) separat für jede Spezies s
(Elektronen und Ionen bzw. mehrere Ionenspezies):
Kontinuitätsgleichung:
∂ns
+ ∇ · (ns us ) = 0
∂t
Kraftgleichung:
h
i
∂
δc ps
~
~
(ms ns ~us ) + ∇ · (ms ns ~us~us ) = ns qs E +~us × B − ∇ · Ps +
∂t
δt
Neutralität:
ρ = ∑ qs ns = 0
s
• Massenströmung: Im wesentlichen durch Ionen.
• Elektrischer Strom: Relativbewegung (i.w. getragen durch Elektronen).
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Diamagnetische Drift
Wie unterscheiden sich Flüssigkeitsbild und Teilchenbild?
B
∆
j
d
∆
p
p
B
d
j
d
Betrachte stationären Fall, m dtd (n ~u) = 0,
Ann.: isotroper kinetischer Druck
Kraftgleichung für Spezies s:
h
i
ns qs ~E +~us × ~B = ∇ps
Multipliziere ×~B/B2 , und auflösen nach us :
~E × ~B
1 ~
B × ∇p
+
~us =
2
2
B
q
n
B
| {z } | s s {z
}
~E×~B−Drift
Diamagnetische Drift:
diamagnetische Drift
• Keine Entsprechung in Teilchen-Bewegungsgleichung (kein Druck, Druckgradient)
• Unterschiedliche Driftrichtung für Elektronen und Ionen
→ Diamagnetischer Strom (senkt ~B ab).
4
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
5
Ursache der diamagnetischen Drift
Beispiel: Ruhende Gyrozentren — dennoch endliche Flüssigkeitsgeschwindigkeit
(bei nicht-verschwindendem Druckgradienten)
Dichtegradient
T = const., ∇n 6= 0
Temperaturgradient
n = const., ∇T 6= 0
B
n
B
T
∆
∆
jd
jd
Keine Einzelteilchendrift — “Drift” entsteht durch Summierung über Teilchenverteilung
Flüssigkeitsströmung 6= Gyrozentrumsbewegung !
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Widerspruch zwischen Teilchen- und Flüssigkeitsbild?
Flüssigkeitsbild
— Diamagnetische Drift:
1 ~
~ud =
B × ∇p
2
qs ns B
→ Tritt bei endlichem Druckgradienten auf.
Teilchenbild
— ∇B-Drift:
mv2⊥ ~
~v∇B =
B × ∇B
2qs B3
→ Tritt bei endlichem Magnetfeld-Gradienten auf.
Außerdem: Krümmungsdrift (vk )
6
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
7
∇B-Drift im Flüssigkeitsbild ?
n, T = const., B = Bz < 0, ∇B 6= 0, q > 0
Sei yGz : Ort des Gyrozentrums,
vx : Teilchengeschwindigkeit in x-Richtung.
Teilchenort während Gyrationsperiode:
y
B
B
y = yGz −
vx
vx m
= yGz −
ωc
q B(y)
∆
v=0
v
B
∆
ux, Vgc=0
x
vx m dB(y)
vx
1 dB(y)
dyGz
= 1−
≈
1−
dy
q B2 (y) dy
ωc B(yGz ) dy
Erhaltung der Teilchenzahl:
Z
f (y, v)dy =
Z
fGz (yGz , v)dyGz
Gilt für beliebige Wahl der Integrationsgrenzen, d.h. Integranden sind gleich:
vx
vx 1 dB(y)
dyGz
= fGz (y + , v) 1 −
f (y, v) = fGz (yGz , v)
dy
ωc
ωc B dy
|
{z
}
Unterschiedliche v-Abhängigkeit der Verteilungsfunktionen in Driftrichtung
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Magnetohydrodynamik
8
Keine ∇B-Drift im Flüssigkeitsbild
Mittlere Geschwindigkeit: vx = vx f (~r,~v)d3 v
R
Sei die Gyrozentrumsdichte räumlich konstant: fGz (y + ωvxc , v) = fGz (y, v)
Flüssigkeitsgeschwindigkeit für vd = 0 ( fGz symmetrisch in v), f (~r,~v) einsetzen wie vor:
2
Z
Z
Z
1
vx dB(y) 3
vx dB(y) 3
1
1
3
ux,(vGz =0) =
vx f (y, v)d v =
vx fGz 1 −
d v=−
fGz
d v
n
n
ωc B dy
n
ωc B dy
Überlagere mittlere Gyrozentrumsdrift:
1
vd,x =
n
Z
1
3
vd fGz d v =
n
Z
mv2⊥ dB(y)
1
3
fGz d v =
2qB2 dy
n
Z
m(v2x + v2y ) dB(y)
3
f
d
v
Gz
2qB2
dy
Langsame Drift: vd ≪ vx , vy : vx ≈ vy
1
vd,x =
n
Z
1
mv2x dB(y) 3
d v=
fGz 2
qB dy
n
Summe:
Z
v2x dB(y) 3
d v = −ux,(vGz =0)
fGz
ωc B dy
ux = ux,(vGz =0) + vd,x = 0
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Magnetohydrodynamik
9
Ein-Flüssigkeits-Modell
Masse m, Massendichte ρm , Teilchendichte n = ρm /m:
m = ∑ ms ,
s
ρm = ∑ ρm,s ,
s
n=
1
ms ns
∑
m s
Flüssigkeitsgeschwindigkeit (gewichtet, wg. mi ≫ me i.w. Ionengeschwindigkeit):
1
1
~u =
ρm,s~us =
∑ ms ns~us
ρm ∑
mn
s
s
⇒ Kontinuitätsgleichung (Summe über Spezies, jeweils ×ms /m):
∂ns
1
1
∂ 1
∂
+ ∇ · (ns ~us ) =
0 = ∑ ms
ns ms + ∇ ·
∑ ns ms~us = ∂t n + ∇ · (n~u)
m s
∂t
∂t m ∑
m
s
s
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Magnetohydrodynamik
Kraftgleichung
Betrachte Elektronen und eine Ionenspezies (Z = 1). Neutralität: ni = ne = n.
Wechselwirkung durch Coulomb-Stösse. Impulserhaltung: δc pi /δt = −δc pe /δt
h
i
δc pe
∂
(me n~ue ) + ∇ · (me n ~ue~ue ) = −ne e ~E +~ue × ~B − ∇ · Pe +
∂t
δt
h
i
δc pe
∂
~
~
(mi n~ui ) + ∇ · (mi n ~ui~ui ) = ni e E +~ui × B − ∇ · Pi −
∂t
δt
Beide Gleichungen addieren. Rechte Seite:
e (ni − ne ) ~E + e (ni~ui − ne~ue ) ×~B − ∇ · Pi + Pe
| {z }
{z
}
|
| {z }
ρ
~j
P
10
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
11
Kraftgleichung (2)
L.S., 1. Term:
∂
∂
(me n~ue + mi n~ui ) = (nm~u)
∂t
∂t
Definiere neuen Drucktensor (bezogen auf Einflüssigkeitsgeschwindigkeit)!
P0,s ≡ ms
Z
(~v −~u) (~v −~u) fs d3 v = ms
v
|
Z
(~v −~us ) (~v −~us ) fs d3 v + ms n (~us −~u) (~us −~u)
| {z }
v
{z
}
~
Ps
≡Ws
2. Term L.S. + 2. Term R.S., mit P0 ≡ P0,i + P0,e :
∇ · n (mi~ui~ui + me~ue~ue ) + ∇ · Pi + Pe = −∇ · n (mi + me )~u~u + 2∇ · [n~u (mi~ui + me~ue )] + ∇ · P0
= ∇ · n m ~u ~u + ∇ · P0
Kraftgleichung, zusammengefasst:
∂~u
∂
(n m ~u) + ∇ · (m n ~u ~u) = m n + mn (~u · ∇)~u = ρ~E + ~j × ~B − ∇ · P0
∂t
∂t
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (1)
Haben ~u und ~j als unabhängige Grössen. Benötigen weitere Gleichung:
Differenz der Kraftgleichungen für Elektronen und Ionen.
Zunächst: Stossterm näher spezifizieren - Reibung zwischen Spezies (u ≪ vth ):
δe~pe
= −ne me νei (~ue −~ui ) ,
δt
δi~pi
= −ni mi νie (~ui −~ue ) ,
δt
Impulserhaltung (Elektronen und Ionen stossen aneinander,
Reibung am Neutralgas vernachlässigbar) ⇒ mi νie = me νei .
Differenz der Stossterme:
δi~pi δe~pe
−
= −nmi νie (~ui −~ue ) + nme νei (~ue −~ui ) = −n (me + mi ) me νei (~ui −~ue )
δt
δt
m ν e ei ~
j
= −e m n
2
{z }
| ne
≡1/σ0 =η0
12
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Magnetohydrodynamik
13
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (2)
h
i
∂
(me n~ue ) + ∇ · (me n ~ue~ue ) = −ne e ~E +~ue × ~B − ∇ · Pe + δcδtpe
∂t
h
i
∂
(mi n~ui ) + ∇ · (mi n ~ui~ui )
= ni e ~E +~ui × ~B − ∇ · Pi − δcδtpe
∂t
×mi , me und Differenz (Ionen-Elektronen):
me mi
∂
[n (~ui −~ue )] +me mi ∇ · [n (~ui~ui −~ue~ue )] =
∂t | {z }
1 ~j
e
= en (mi + me ) ~E + en
| {z }
m
(me~ui + mi~ue )
{z
}
|
(me +mi )~u−(mi −me )~j/en
L.S., 2. Term, Ann. ~ui −~ue ≪ ~ui ,~ue :
×~B − me ∇ · Pi + mi ∇ · Pe − e n m η0 ~j
| {z }
≪mi ∇·Pe
1 ~ ~ ~ui~ui −~ue~ue = ~ui (~ui −~ue ) + (~ui −~ue )~ue = ~ui (~ui −~ue ) + (~ui −~ue )~ui − (~ui −~ue ) (~ui −~ue ) ≈
~u j + j~u
en
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
14
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (3)
Alles zusammenfassen, mit m ≈ mi , me ≪ mi :
~E +~u × ~B − η0~j = 1 ~j × ~B − 1 ∇ · Pe + me
en
en
ne2
"
∂~j
+ ∇ · ~u~j + ~j~u
∂t
• Terme auf der L.S. aus Teilchenbild bekannt
• ~j × ~B - Term verschwindet bei hohem spez. Widerstand
• Letzter Terme auf der R.S. wichtig bei hoher Stromdichte und hoher
Strömungsgeschwindigkeit, z.B. in resistiven Grenzschichten
#
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Zusammenfassung: MHD-Gleichungen
Kontinuitätsgleichung:
∂
n + ∇ · (n~u) = 0
∂t
Kraftgleichung:
d
∂~u
m (n ~u) = m n + mn (~u · ∇)~u = ρ~E + ~j × ~B − ∇ · P0
dt
∂t
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (einfachste Näherung):
~E +~u × ~B = η0~j
Zustandsgleichung, z.B. adiabatisch mit z Freiheitsgraden:
z+2
d p
=
0,
γ
=
dt nγ
z
Maxwell-Gleichungen (~E statisch, Ladungsneutralität):
ρ !
~
~
∇·E =
= 0,
∇ × ~E = − ∂∂tB ,
ε0
~
∇ · ~B = 0, ∇ × ~B = µ0~j + ε0 µ0 ∂∂tE ≈ µ0~j
15
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Magnetischer Drucktensor
Betrachte ~j × ~B-Term. Benutze:
1. Ampère’sches Gesetz: µ0~j = ∇ × ~B
~ = (~F · ∇G)
~ + ~F × (∇ × G)
~ + (G
~ · ∇)~
~ × (∇ × ~F)
2. Vektoridentität: ∇(~F · G)
F +G
2
B
1
1
~B · ∇ ~B ≡ −∇ · T
~j × ~B = − ~B × ∇ × ~B
= −∇
+
µ0
2µ0
µ0
Magnetischer Drucktensor:
T≡
B2
2µ0
| {z }
1 −
isotroper Magnetfelddruck
Komponenten (~Bkz-Richtung):
 2
B /2µ0
T ≡ 0
0
0
B2 /2µ0
0
!
~B~B
µ0
| {z }
Zugspannung in ~B−Richtung
 

0
0 0
0
0 +0 0
0 
B2 /2µ0
0 0 −B2 /µ0
16
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Plasma-“Beta”
Betrachte stationären Fall, m dtd (n ~u) = 0, E = 0, isotroper kinetischer Druck p
Kraftgleichung:
1
0 = ~j × ~B − ∇p = −∇
+ p + ∇ · ~B~B
2µ0
µ0
Def.:
B2
p
β≡ 2
B /2µ0
Grenzfälle:
• β ≪ 1: Magnetfelddruck bestimmt Plasmabewegung
• β ≈ 1 (und höher): kinetischer Druck bestimmt Plasmabewegung
17
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Einige Anwendungen der MHD-Gleichungen
• Ströme ⊥ ~B: Pedersen- und Hall-Leitfähigkeiten
• Magnetfeld-Diffusion, magnetische Reynolds-Zahl
• Unendliche Leitfähigkeit (η = 0):
“Eingefrorener” magnetischer Fluss dΦ/dt = 0
• Schallwelle, Akustische Ionenwelle → MHD-Welle
Beachte: MHD-Gleichungen beschreiben Flüssigkeitsgeschwindigkeit (~u)
18
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Schallgeschwindigkeit (neutrales Gas)
Navier-Stokes- und Kontinuitäts-Gleichung
∂~v
γp
dv
+ (~v · ∇)~v = −∇p = − ∇ρ,
ρ =ρ
dt
∂t
ρ
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v) = 0
∂t
γ = c p /cv = ( f + 2)/ f : Adiabatenkoeffizient
h
i
Stationärer Fall (∂/∂t = 0), Ansatz ~v =~v0 +~v1 exp i~k ·~r − iωt ,
p0 , ρ0 konstant, v0 = 0:
−iωρ0~v1 = −
γp0 ~
ikρ1 ,
ρ0
−iωρ1 + ρ0 i~k ·~v1 = 0
Ebene Welle (1D), Phasengeschwindigkeit:
1/2
1/2 γp0
γkB T
ω
=
cs ≡ =
k
ρ0
M
19
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
“Akustische” Ionenwelle
Kraftgleichung auf Plasmavolumen (B = 0 bzw. k~B, n = ne )
∂~u
du
mi n = mi n
+ (~u · ∇)~u = en~E − ∇p = −en∇φ − γi kB Ti ∇n
dt
∂t
Linearisierung, ebene Welle, etc. (vie vor)
−iωmi n0 ui,1 = −en0 ikφ1 − γkB Ti ikn1
Boltzmann-Relation für Elektronen
eφ1
eφ1
= n0 1 +
+...
ne = n0 exp
kB Te
kB Te
⇒
Mit Kontinuitätsgleichung → Phasengeschwindigkeit:
1/2
kB Te + γkB Ti
ω
cs ≡ =
k
mi
eφ1
n1 = n0
kB Te
20
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
MHD-Wellen
Schallwelle — Rückstellkraft Druckgradient −∇p; Phasengeschwindigkeit:
1/2
1/2 ω
γp0
γkB T
cs ≡ =
=
k
ρ0
M
Akustische Ionenwelle — Druckgradient + Coulomb-Kraft −∇p − en∇φ;
Phasengeschwindigkeit:
ω
Cs ≡ =
k
MHD-Welle: dto. + Magnetfeld-Störung
kB Te + γkB Ti
mi
1/2
21
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
22
Hannes Alfvén (1908-1995)
1933
Ursprung der kosmischen Strahlung (“Nature”)
1940
Professor für Elektrodynamik an der KTH Stockholm
1942
MHD-Wellen (“Nature”)
1950
Buch “Cosmical Electrodynamics” (Oxford University Press)
1967
Ausserordentl. Professor UC San Diego
1970
Nobel-Preis für Physik
(Einige) wichtige Beiträge zur Plasmaphysik:
• Drift-Näherung zur Berechnung von Teilchenbahnen
• Erste adiabatische Invariante
• “Eingefrorener”magnetischer Fluss
• MHD-Wellen
• Konvektives ~E-Feld (⊥ ~B)
• ~E-Feld k~B (Alfvén-Schicht)
• Ionisation oberhalb kritischer Geschwindigkeit
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Vereinfachende Annahmen
Linearisierung:
n(~x,t) = n0 (~x) + n1 (~x,t) ~u(~x,t) = ~u0 (~x) +~u1 (~x,t),
~B(~x,t) = ~B0 (~x) + ~B1 (~x,t),
p(~x,t) = p0 (~x) + p1 (~x,t)
• ~u0 = 0 - keine stationäre Flüssigkeits-Strömung ⇒ (~u · ∇)~u-Terme fallen weg!
• ∇ × B0 = 0 - keine stationären elektrischen Ströme
23
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Linearisierte MHD-Gleichungen
Betrachte MHD-Gleichungen in 1. Ordnung der zeitabhängigen Grössen
(0. Ordnung bereits abgezogen), unter den vorherigen Annahmen.
Kontinuitätsgleichung:
Kraftgleichung:
∂
n1 + n0 (∇ ·~u1 ) = 0
∂t
∂
1 mn0 ~u1 =
∇ × ~B1 × ~B0 − ∇p1
∂t
µ0
Verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz (η = 0)
~B
∂
~E +~u × ~B = 0 ⇒ −∇ × ~E =
= ∇ × ~u × ~B
⇒
∂t
∂~B1
= ∇ × ~u1 × ~B0
∂t
Zustandsgleichung → Schallgeschwindigkeit (im 1-Flüssigkeits-Modell):
p0
p0
γ kB T
p1 = γ
n1 ,
v2s = γ
=
n0
mn0
m
24
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
25
Ansatz: Ebene Welle
X1 ≡ X̃ exp i~k~x − iωt
In linearisierte Gleichungen einsetzen:
⇒
∇ → i~k,
∂
→ −iω
∂t
−i ω m ñ + i m n0~k ·~ũ = 0
1
~k ×~B̃ × ~B0 − i~k p̃
−i ω m n0~ũ =
µ0
−i ω ~B = i~k × ~ũ × ~B0
p̃
(1) in (4) ⇒ Druck
v2s mn0 ~ ~ k · ũ ,
p̃ =
ω
= v2s m ñ
in (2), ·iω/(mn0 )
ω
~k ×~B̃ × ~B0 + v2s ~k ~k ·~ũ
ω2~ũ = −
µ0 m n0
Einsetzen von (3) eliminiert ~B̃ ⇒ Gleichung für ~ũ:
1
~k × ~k × ~ũ × ~B0
ω2~ũ =
+ v2s ~k ~k ·~ũ
µ0 mn0
(1)
(2)
(3)
(4)
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
26
Koordinatensystem für die Lösung
O.B.d.A.: ausgerichtetes Koordinatensystem
~B0 kz, ~k in x, z-Ebene, Winkel θ zur z-Achse
z
B0
k
√
Alfvén-Geschwindigkeit: vA = B0 / µ0 mn0
θ
y




2 θ + ũ sin θ cos θ 
ũ
ũ
sin
ũ
x
x
z
x
ω 2
 ũy  = v2A  ũy cos2 θ  + v2s 

0
k
0
ũz
ũx sin θ cos θ + ũz cos2 θ

x
Matrixschreibweise, mit Phasengeschwindigkeit v p = ω/k:
 
 2
ũx
v p − v2s sin2 θ
0
−v2s sin2 cos2
  ũy  = 0.

0
v2p − v2A cos2 θ
0
−v2s sin θ cos θ
0
v2p − v2s cos2 θ
ũz
Gleichungssystem — hat Lösungen, wenn Determinante der Koeffizientenmatrix = 0.
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Dispersionsrelation
Determinante der Koeffizientenmatrix = 0 → Dispersionsrelation:
h
i
2
D(~k, ω) = v2p − v2A cos2 θ v4p − v2p v2A + v2s + v2A v2s cos2 θ = 0
3 Lösungen:
Transversale (Scher-) Alfvén-Welle (transverse / shear Alfvén mode)
v2p = v2A cos2 θ
Langsame Magnetoschallwelle (slow magnetosonic mode)
h
i1/2
1
1
2
v2A − v2s + 4v2AVs2 sin2 θ
v2A + v2s −
v2p =
2
2
Schnelle Magnetoschallwelle (fast magnetosonic mode)
h
i1/2
1
1
2
v2A + v2s +
v2A − v2s + 4v2AVs2 sin2 θ
v2p =
2
2
27
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Transversale Alfvén-Welle
Phasengeschwindigkeit
z
ω
B0
v p = = vA cos θ = √
cos θ
k
µ0 mn0
B0
~
u
k
θ
~
B
~
E
x
y
~u˜ = (0, ũy , 0)
~B˜ = 0, B̃y , 0 B̃y = −B0 (ũy /VA )Sgn cos θ
~E˜ = Ẽ , 0, 0
Ẽ = −B ũ
x
x
0 y
ñ = 0
˜
Poynting-Fluss S = ~E˜ × ~B/µ
B0 (unabhängig von θ, d.h. Richtung des k-Vektors)!
0 immer k~
Gruppengeschwindigkeit:
~vg = ∇k ω = vA~ez
Analogie: Welle einer gezupften Saite; Fluid → Masse, ~B-Feld → Saitenspannung
28
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
Magnetoschallwelle
~kk~B0
θ=0
2
v p − v2A
0
v2p
=
1
2
~k ⊥ ~B0
0
v2p − v2s
v2A + v2s
θ = π/2
2
2
2
v p − (vs + vA ) 0
ũx
ũx
=0
=0
0
v2p
ũz
ũz
Lösungsbedingung:
1 2
1
2
2
2
2
2
2
vA − vs
v p = 2 vA + vs ± 2 vA + vs
± 12
Lösungen:
vp
~u˜
~B˜
vA
vs
(ũx , 0, 0)
(0, 0, u˜z )
p
v2a + v2s
(B̃x , 0, 0)
(0, 0, 0)
(0, 0, B̃z )
~E˜
(0, Ẽy , 0)
(0, 0, 0)
(0, Ẽy , 0)
ñ
0
n0 ũz /v p
n0 ũx /v p
Typ
Scherwelle
Kompressionswelle
0
(u˜x , 0, 0)
triviale Lösung.
gemischt
29
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
30
Phasengeschwindigkeits-Diagramme
v
A
> vs
2
(vA
+
2 1/2
v )
s
v
Fast
A
2
(vA
< vs
+
2 1/2
v )
s
Fast
Alfven´
Alfven´
Slow
Slow
B
vs vA
B
0
vA vs
0
Einführung in die Plasmaphysik und Fusionsforschung I
Magnetohydrodynamik
31
Zusammenfassung (1)
• Im Flüssigkeitsbild ergibt sich eine Driftgeschwindigkeit u∗ ∝ ~B × ∇p
(“diamagnetische Drift”), anschaulich durch Gradienten in der Teilchendichte und/oder der
Temperatur (v⊥ in der Gyrationsbewegung)
• Die ∇B- und Krümmungsdrift im Teilchenbild hat keine Entsprechung im Flüssigkeitsbild,
anschaulich weil sich die mittlere Flüssigkeitsgeschwindigkeit durch ∇B 6= 0 (bei ruhenden
Gyrozentren) und die überlagerte Gyrozentrendrift genau auslöschen.
• Das MHD-Einflüssigkeitsmodell beschreibt ein Plasma durch die Summe der spez.
Massendichte, eine (gewichtete) Strömungsgeschwindigkeit (≈~vi ) und die Stromdichte
~j = en(~vi −~ve ). Es lassen sich Kontinuitäts- und Kraftgleichungen sowie ein
verallgemeinertes Ohm’sches Gesetz ableiten.
Zusammen mit den Maxwell-Gleichungen (vereinfachend ρ = 0, ∂~E/∂t = 0) ergibt sich
das einfachste Modell der Magnetohydrodynamik (MHD).
• Je nach spez. Widerstand unterscheidet man resistive (η 6= 0) und ideale (η = 0) MHD.
• (Bereits behandelte) Anwendungen der MHD umfassen die akustische Ionenwelle,
elektrische Leitfähigkeit ⊥ ~B, Magnetfeld-Diffusion/-Konvektion (resistive MHD), die
Erhaltung des magn. Flusses (ideale MHD).
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Magnetohydrodynamik
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Zusammenfassung (2)
• Das Magnetfeld übt einen isotropen Druck (Energiedichte im ~B-Feld) sowie eine anisotrope
Zugspannung entlang ~B aus.
• Die Magnetfeldspannung koppelt an die Schallausbreitung (Schallwellen) im Plasma an:
MHD-Wellen.
• MHD-Wellenausbreitung kann durch Linearisierung der MHD-Gleichungen beschrieben
werden.
• Es existieren drei Zweige in der Dispersionsrelation: Die (transversale) Alfvén-Welle
(vg = vA ) und die “langsame” und “schnelle” Magnetoschallwelle. Je nachdem, ob vs < vA
oder vs > vA ergibt sich eine unterschiedliche Abhängigkeit der
Ausbreitungsgeschwindigkeit vom Winkel zum ~B-Feld.