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Polynominterpolation
Das Ziel einer Polynominterpolation ist es, ein Polynom zu finden, welches (oder wessen Ableitungen) an bestimmten Punkten
bestimmte Werte annimmt. So können Wertepaare gebildet werden nach dem Schema
( x i , y i= p(m ) ( x i))
i
, wobei (mi) den Grad der
Ableitung angibt. Damit eine Stützstelle der m-ten Ableitung hinzugenommen werden kann, müssen bereits m Stützstellen mit
niedrigerer Ableitung gegeben sein, nur dann ist p vom Grad ≤ n und eindeutig bestimmt.
Das Polynom hat die Form
p (x ) = an−1⋅x n−1 +...+a0⋅x 0 Als elementarer Lösungsansatz können die X-Werte der Stützstellen in f
bzw. dessen Ableitungen eingesetzt werden, die Koeffizenten a n-1 ... a0 als Vektor herausgezogen und das Ganze gleich dem Ergebnisvektor
gesetzt werden: M⋅⃗
a=⃗
b Durch den Gauss-Algorithmus kann eine Lösung für a gefunden werden. Unter bestimmten Sonderfällen
gibt es schnellere und numerisch genauere Verfahren:
•
Die X-Position jeder Stützstelle ist gleich, es werden nur die Ableitungen variiert → Taylorreihe
•
Es werden nur Stützstellen der eigentlichen Funktion (keine Ableitungen) betrachtet → Lagrange-/Newtoninterpolation
Lagrangeinterpolation
Die Lagrangeinterpolation ist ein leicht verständliches Verfahren, das jedoch rechnerisch nicht sehr schnell ist.
n
n
i=0
j=0
j≠i
p(x ) = ∑ yi⋅Li ,n ( x ) mit Li ,n (x ) = ∏
{
x− x j
1 falls i=k
dabei gilt Li ,n (x k ) = δ i ,k =
0 falls i ≠ k
x i −x j
Kronecker-Symbol
}
Aus dieser Darstellung wird ersichtlich, dass p (oder genauer ai) linear von yi abhängt.
Newtoninterpolation
Für die Newtonsche Interpolationsformel wird p dargestellt als
p (x ) = γ 0 +γ 1⋅( x−x 0 )+ γ 2⋅(x −x 0 )⋅(x −x 1)+...
An der Stelle x0 ist p = γ0 → γ0 = y 0. Die übrigen γ können durch Auswertung an den Stützstellen so ebenfalls iterativ bestimmt
werden:
γ1 =
Man schreibt nun γi = f[x0, x1, ... , xi],
y 2− y 0 y1 − y 0
−
mit f[x0, ... , xi] als i-te dividierte
y 2−γ 0−γ 1⋅( x 2− x 0)
x 2− x 0 x1 −x 0
γ2 =
=
... Differenz zu den Stützstellen x0, ..., x1,
(x 2 −x 1 )⋅( x 2− x 1)
x 2− x 0
wobei f[xk] = yk ist.
y 1−γ 0
y −y
= 1 0
x1 −x 0
x 1−x 0
Die dividierten Differenzen ermöglichen eine besonders effiziente Berechnung der γ:
x 0 f [ x 0 ]= y 0
Innerhalb
der
Newtonschen
Darstellung
koö nnen
jeder
Zeit
f
[
x
,
x
]−f
[
x
,
x
]
zusaö
tzliche
Stuö
tzstellen
hinzugefuö
gt
1
2
0
1
x 1 f [ x 1 ]= y 1
f [ x 0 , x1 , x 2 ]=
werden.
So
erfordert
das
Hinzufuö
gen
x2 −x 0
einer n+1-ten Stuö tzstelle nur die
x 2 f [ x 2 ]= y 2
Berechnung von n+1 neuen, dividierten
Differenzen.
Die Schwierigkeit bei der Newtoninterpolation liegt im Ausmultiplizieren der Newtonschen Darstellung zu einem normalen
Polynom.
f [ x1 ]−f [ x 0 ]
x 1− x0
f [ x 2 ]−f [ x1 ]
f [ x 1 , x 2 ]=
x 2− x 1
f [ x 0 , x1 ]=
Approximation einer Funktion auf einem Intervall
Eine Funktion f : [a, b] → ℝ soll durch ein Polynom an den Stützstellen (x0, y0 = f(x0)), ..., (xn, yn = f(xn)) interpoliert werden.
Sei f n+1 mal stetig differenzierbar, x 0, ..., xn ∈ [a, b] verschiedene Punkte und p das Polynom durch diese Stützstellen, dann existiert zu
n
f (n+1) (ξ x )
jedem x ∈ [a, b] ein ξx ∈ [a, b] mit f (x )− p (x )=
⋅ω( x) mit dem Knotenpolynom ω(x ) = ∏ ( x− xi ) Daraus folgt:
(n+1)!
i=0
max |f (x )− p( x )| ≤ max
x ∈ [a, b]
|f (n+1)( x )|
x ∈ [a ,b]
(n+1)!
⋅ max |ω( x)| ≤ max
x ∈ [a ,b]
Чебышёв-Abszissen
Hierbei werden die Stützstellen auf
Knotenpolynoms minimiert:
x ∈ [a, b]
x ∈ [ a, b]
xi =
max |ω( x )| =
|f (n+1) ( x)|
(
(n+1) !
⋅(b−a)n+1
)
Im Allgemeinen ist nicht sicher, dass
lim f ( x )− p( x) = 0
n→ ∞
b−a
2i+1 π b+a
⋅cos
⋅ +
2
n+1 2
2 gelegt. Dadurch wird der maximale Wert des
( )
b−a
2
n+1
⋅2−n
Approximation einer Umkehrfunktion auf einem Intervall
Sei f : [a, b] → ℝ bijektiv und (x 0, y0 = f(x0)), ..., (xn, yn = f(xn)) verschiedene Stützstellen von f auf [a, b], dann kann f -1 durch Interpolation
der Stützstellen (y0, x0), ..., (yn, xn) approximiert werden.
Splineinterpolation
Da eine Interpolation mit einem (unendlich oft differenzierbaren) Polynom bei mehr als ~5 Punkten zu starkem Überschwingen führt,
versucht man bei der Splineinterpolation das Gesamtintervall in viele kleine Intervalle zu zerlegen, an deren Grenzen (Stützstellen) die
interpolierende Funktion nur endlich oft (stetig) differenzierbar ist. Im Folgenden sind die Stützstellen sortiert, also x i+1 > xi.
Lineare Splines
Bei linearen Splines werden die Punkte mit einfachen Geraden verbunden. Die Funktion
ist also stetig, aber nicht glatt bzw. stetig differenzierbar. Zu einer Menge an
Stützpunkten existiert genau ein interpolierender, linearer Spline s(x).
Fehlerabschätzung:
Seien die Stützpunkte die Funktionswerte einer zwei mal stetig differenzierbaren
Funktion f(x), dann gilt:
1
max |f ( x )−s ( x)| ≤ ⋅ max |f ' ' ( x)|⋅h2max mit hmax = max x i+1 −x i
8 x ∈ [a ,b]
x ∈ [ a, b]
i=0,..., n−1
Kubische C²-Splines
Bei kubischen Splines werden je zwei Punkte durch ein Polynom dritten Grades
verbunden. Bei C²-Splines wird dieses Polynom so gewählt, dass das Spline an den
Stützstellen 2 mal stetig differenzierbar ist. Dadurch wirkt sich die Verschiebung einer
Stützstelle global, auf das gesamte Spline aus.
Berechnung:
Die Teilpolynome werden dargestellt in folgender Form:
s i( x ) =
(
)
3
Diese entsteht durch zweifache Integration einer linearen
( x− xi )3
1 ( xi +1− x)
⋅M i +
⋅M i+1 +c i⋅( x− xi )+d i Funktion (grob gestrichelte Linie im Bild). c i und di ergeben sich
6 x i+1 −x i
x i+1− xi
2
i
h
d i = y i − ⋅M i
6
(
µ0
⋱
λ0
⋱
hi−1
6
aus der Stetigkeit si(xi) = si-1(xi) = yi:
yi +1− y i hi
− ⋅( M i+1− M i ) mit hi = xi+1− x i
hi
6
ci =
) (
b0
⋮
()
⋱
hi−1 +hi
hi
3
6
⋱
⋱
λn
M0
y −y y −y
⋅ ⋮ = i+1 i − i i−1
hi
hi−1
Mn
⋱
⋮
µn
bn
Typische Randbedingungen:
)
Die sg. Momente Mi lassen sich aus folgendem
System berechnen:
| i=1 ...n−1
Diese Matrix ist strikt diagonaldominant und
daher
unter
den
angenommenen
Bedingungen invertierbar (lösbar).
Benötigt werden in der ersten - und letzten
Zeile außerdem die Randbedingungen.
s ' ' (a) = s ' ' (b) = 0 → b0 = b n = λ0 = λn = 0 µ0 = µn = 1
h
y −y
• Hermite-Randbedingungen: s '(a) = f ' (a)
s '(b) = f ' (b) → µ = h0
λ0 = 0
b0 = 1 0 −f '(a)
0
3
6
h0
• Natürliche Randbedingungen:
Minimalitätseigenschaften:
Sei s(x) das kubische Spline (natürliche oder Hemite-RB) durch die
Stützstellen (xi, yi), und g(x) eine beliebige, zwei mal stetig
differenzierbare Funktion durch die selben Stützstellen, dann gilt:
b
b
b
µn =
hn−1
3
λn =
h n−1
6
bn = f ' (b)−
y n − y n−1
hn−1
b
∫ f ' ' ( x) dx = ∫ s ' ' ( x) dx+∫ (f ' '( x )−s ' ' ( x)) dx ≥ ∫ s ' '( x )2 dx
2
a
2
a
2
a
Fehlerabschätzung:
a
|f (k ) (x )−s(k) ( x )| ≤ t⋅ sup |f (4) (ξ )|⋅h 4−k
max
ξ∈ [a, b]
{
2⋅hmax
für k ≠ 0
hmin
hmax
mit k ={ 0,1,2 } , t =
für k=0 und natürliche RB
hmin
5
für k=0 und Hermite-RB
384
Seien die Stützpunkte die Funktionswerte einer vier mal stetig
differenzierbaren Funktion f(x), dann gilt:
}
Newtonverfahren
Das Newtonverfahren dient zur Approximation von Nullstellen. Das Verfahren arbeitet iterativ,
ausgehend von einem Punkt xn wird ein Punkt
x n+1 = x n−
f(x)
f ( xn)
berechnet.
f ' ( x n)
Man könnte auch sagen: Man approximiert f im Punkt x n durch ein Taylorpolynom 1. Grades und
berechnet dessen Nullstelle. So kann das Verfahren verallgemeinert werden: Sei F : ℝⁿ → ℝⁿ stetig
⃗
F ( ⃗x ) = ⃗
0,
differenzierbar
und
dann
existiert
eine
Umgebung
(Kugel)
xn+1
xn
B δ= {⃗x ∈ ℝ n | ‖⃗x − ⃗x‖<δ } mit δ > 0, in der das Newtonverfahren für alle Ausgangspunkte x ∈ B δ gegen ⃗x konvergiert. Innerhalb von
Bδ ist ⃗
x die einzige Nullstelle. Für streng monotone Funktionen lässt sich das Newtonverfahren globalisieren, sodass es für alle x ∈ ℝⁿ
⃗ ( x⃗n ) , mit Jakobimatrix JF. Somit gilt ⃗s = −J −1
⃗ ( x⃗n ) , eine
konvergiert. Ein Newtonschritt s berechnet sich aus J F ( x⃗n)⋅⃗s = − F
⃗n )⋅F
f (x
Lösung mittels Gauss-Algorithmus ist jedoch meist schneller, als die Berechnung der inversen Matrix. Der Iterationsschritt lautet nun
⃗x n+1 = ⃗x n +σ⋅⃗s , wobei für σ nach Schrittweitenwahl nach Amijo im globalisierten Fall der größtmögliche Wert aus der Folge
‖
2
‖ ‖
2
‖
(1, 12 , 14 , ...)
⃗ ( x⃗n +σ⋅⃗s ) ≤ ⃗
gewählt wird, sodass gilt F
F ( x⃗n ) ⋅(1−2 δ σ ) ; δ ∈ (0, 0.5) ist hier ein fest definierter Wert (z.B. 0.001), der
sicherstellt, dass der Betrag der Funktion in jedem Schritt um ein Mindestmaß abnimmt.
Unendlich
viele Sprünge
Sprungstellen
Riemann-Integral
Sei I : [a, b] ein geschlossenes Intervall und f : I → ℝ. Nun ist
a< x 0 <...< x n <b eine Zerlegung Z des Intervalls. Es gilt:
Wesentliche
Unstetigkeit
n
U ( z , f ) = ∑ ( X k −x k−1 )⋅inf {f ( x) ; x ∈ [k k −1 , k k ]}
x1
x2
x3
x4
x5
Riemann-integrierbar auf [x1, x2]; [x3, x4]
Nicht Riemann-integrierbar auf [x2, x4]; [x2, x3); [x4, x5]
k=1
n
O( z , f ) = ∑ ( X k − x k−1 )⋅sup {f ( x ); x ∈ [k k−1 , k k ]}
k=1
Anmerkung: Manche Polstellen sind integrierbar
f heißt nun Riemann-integrierbar auf [a, b], wenn U(z, f) und O(z, f) existieren und:
b
lim U ( z , f ) = lim O (z , f ) := ∫ f ( x) dx Ohne die Angabe von Grenzen F( x ) = ∫ f ( x) dx heißt F eine Stammfunktion von f .
n→ ∞
n→ ∞
a
•
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist auch F(x) + c eine Stammfunktion von f(x).
•
Eine beschränkte Funktion f : [a, b] → ℝ ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0
eine Zerlegung z gibt, sodass O(z, f) - U(z, f) < ε
b
•
Ändert man f in endlich vielen Punkten ab, so bleibt
b
∫ f ( x) dx = ∫
[a, b]
a
a
b
f (x )dx = F( x ) | = F(b)−F (a) = −∫ f (x )dx
a
Existiert der Grenzwert
•
unverändert.
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
•
∫ f ( x) dx
b
b
∞
b→ ∞ a
a
d
∫ f ( x) dx = f ( x)
dx
lim ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx , so heißt dies uneigentliches Integral (Gleiches gilt für untere Grenze).
Nummerische Integration
Die meisten nummerischen Integrationsverfahren basieren auf dem Ansatz, die Funktion (stückweise) durch Polynome zu interpolieren
und diese zu Integrieren.
Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur
b−a
Ein Intervall [a, b] wird dafür in äquidistante Stützstellen x 0, ..., xn mit xi = a + i∙h und Abstand h =
zerlegt.
n
In Lagrangeinterpolation lautet das Integral:
b
b
∫ f ( x) dx ≈ ∫ p[ a , b] ( x) dx =
a
a
a+n⋅h
∫
a
n
∑ f ( xi )⋅Li ,n ( x )dx
x=a +s⋅h
=
i=0
n
n
n
h⋅∫ ∑ f (a+i⋅h)⋅∏
0 i=0
j=0
j≠i
n
(a+ s⋅h)−(a+ j⋅h)
dx = h⋅∑ ai ,n⋅f (a +i⋅h)
(a+i⋅h)−(a+ j⋅h)
i=0
n
n
Durch die Substitution x = a + s*h wird das Integrationsintervall von [a, b] auf [0, n] verschoben, die Werte a i,n a = ∫ ∏ s− j ds
i,n
0 j=0 i− j
(auch Gewichte) mit i = 0, ..., n werden somit von den Grenzen unabhängig und können tabelliert werden:
j≠i
n Stützstellen
1
0 1
2
0
3
1 2
0
1
3 3
1
1
2
ai,n
max. Fehler
Name
3
Trapezregel
5
Simpson- / Keplersche Fassregel
1 1
2 2
−(b−a)
⋅f ' '(ξ )
12
1 4 1
6 6 6
−(b−a) (4)
⋅f (ξ )
2880
1 3 3 1
8 8 8 8
−3⋅(b−a) (4)
⋅f (ξ)
19440
3/8-Regel / Pulcherrima
5
4
0
1 2 3
1
4 4 4
7 32 12 32 7
90 90 90 90 90
−8⋅(b−a)7 (6)
⋅f (ξ)
15482880
Milne-/Boole-Regel
5
0
1 2 3 4
1
5 5 5 5
19 75 50 50 75 19
288 288 288 288 288 288
−275⋅(b−a)7 (6)
⋅f (ξ)
945000000
6-Punkt-Regel
6
1 2 3 4 5
0
1
6 6 6 6 6
41 216 27 272 27 216 41
840 840 840 840 840 840 840
−9⋅(b−a)9 (8)
⋅f (ξ)
14108774400
Weddle-Regel
Es gilt: ai, n = an-i, n
Es existiert ein ξ ∈ [a, b],
sodass:
|
b
b
a
a
|
(n+1)
(ξ)|
(n+2)
⋅(b−a)
∫ f (x)dx−∫ p(x)dx ≤ |f(n+1)!
Der rechte Term ist in der
Tabelle vereinfacht aufgeführt.
Für
obere
Grenze
max |f (n+1) (ξ )| bestimmen!
ξ ∈ [a ,b]
Summierte Newton-Cotes-Quadratur
Die Newton-Cotes-Quadraturen sind nur dann genau, wenn f auf [a, b] nicht zu stark schwingt. Andernfalls ist es besser, [a, b]
zunächst in Teilintervalle zu zerlegen und diese Teilintervalle dann per Newton-Cotes-Quadratur zu integrieren. Man schreibt:
b
m−1
a
j=0 i=0
n
∫ f ( x) dx ≈ h⋅∑ ∑ α 1,n⋅f ( x jn+i)
Integration im ℝⁿ
Sei
⃗x ∈ I x ⊆ ℝn
⃗y ∈ I y ⊆ ℝ m
I = I x × I y ⊆ℝ n+m
- Остроградський
→ Bei oberen oder unteren Dreiecksmatrizen sind
die EW die Diagonalelemente. Achtung: Durch die
Rechenschritte des Gauss-Algorithmus ändern sich
die EW! Dreiecksmatrix kann mit QR-Verf. erzeugt
werden.
Norm
Seien A, B Zahlen, Vektoren oder Matrizen und α ∈ ℂ, dann muss eine Norm ||∙|| definitionsgemaö ß die drei folgenden Eigenschaften
erfuö llen:
Zahlennorm:
1.
aus ‖A‖= 0 folgt A = 0
Die Norm einer Zahl z ∈ ℂ ist stets als der Betrag dieser Zahl
definiert: ‖z‖=|z|
2.
‖α⋅A‖=|α|⋅‖A‖
3.
‖A+ B‖ ≤ ‖A‖+‖B‖ (Dreiecksungleichung)
Vektornorm:
Fuö r Vektoren ist eine p-Norm wie folgt definiert:
‖⃗x‖p =
(
n
∑ |x i|p
i=1
)
1
p
Im Falle von p=1 spricht man von der Summennorm, im
Falle von p=2 von der euklidischen Norm, welche der Standardfall ist. Der Grenzwert p→∞,
‖⃗x‖∞ = max |x i|
ist die
i=1. .n
Maximumsnorm.
Es gilt: Aus 1 ≤ p < q ≤ ∞ folgt
‖⃗x‖q ≤ ‖⃗x‖p
Matrixnorm:
Daraus folgt:
Fuö r Matrizen koö nnen Normen durch Vektornormen wie
folgt induziert werden (Natürliche Matrixnorm):
‖A‖1 = max
‖A‖= max
0
⃗x ≠ ⃗
‖A⋅⃗x‖
= max ‖A⋅x‖
‖⃗x‖
‖⃗
x‖=1
Die induzierten Matrixnormen erfuö llen die beiden
zusaö tzlichen Eigenschaften:
n
∑ |aij|
j=1. .n i=1
(Zeilensummennorm, induziert durch
‖⃗x‖1 )
T
‖A‖2 = √(max EW ( A))⋅A ⋅A (Spektralnorm, induziert durch ‖⃗x‖2 )
n
‖A‖∞ = max ∑ |aij| (Spaltensummennorm, induziert durch ‖⃗x‖∞ )
•
‖A⋅⃗x‖ ≤ ‖A‖⋅‖⃗x‖ (Verträglichkeitsbedingung)
•
‖A⋅B‖ ≤ ‖A‖⋅‖B‖ (Submultiplikativität)
i=1..n j=1
Definitheit
Sei A eine hermitesche Matrix und
⃗x ein beliebiger Vektor, dann ist die Definitheit von A wie folgt definiert:
⃗x H⋅A⋅⃗x > 0
•
A heißt positiv definit, wenn
•
A heißt positiv semidefinit, wenn
•
A heißt negativ definit, wenn
•
A heißt negativ semidefinit, wenn
•
A heißt indefinit, wenn sowohl positive als
auch negative EW existieren.
(
↔ alle EW von A > 0
⃗x H⋅A⋅⃗x ≥ 0 ↔ alle EW von A ≥ 0
⃗x H⋅A⋅⃗x < 0
↔ alle EW von A < 0
)
a11 a12 a13 … Hurwitzkriterium:
A ist positiv (semi)definit, wenn
a21 a 22 a23
die
Determinanten
aller
a31 a32 a33
fuö hrenden Hauptminoren > (≥) 0
⋮
⋱ sind.
⃗x H⋅A⋅⃗x ≤ 0 ↔ alle EW von A ≤ 0 det(A1) > 0, det(A2) > 0, det(A3) > 0, ... → positiv definit
Dieser Vergleich ist möglich,
weil bei hermiteschen
Matrizen alle EW reell sind.
det(A1) < 0, det(A2) > 0, det(A3) < 0, ... → negativ definit
Alternierende Vorzeichen bei
negativer Definitheit.
Wenn A positiv (semi)definit ist, dann ist -A negativ (semi)definit und umgekehrt.
Cholesky-Verfahren:
Wenn A positiv definit ist, dann existiert genau eine untere Dreiecksmatrix L mit L ∙ L T = A und positiven Diagonaleintraö gen lii > 0. Fuö r
L gilt: fuö r j = 1..n {
Es gilt:
j−1
j−1
k=1
k=1
l2jj = a jj−∑ l2jk falls l2jj ≤ 0 STOP: A ist nicht positiv definit! sonst l jj= √l 2jj ; fuö r i = j+1..n { lij = aij−∑ lik⋅l jk }}
|lij|≤ √ aii fuö r i = 1..n; j ≤ i. Das Cholesky-Verfahren ist gleichzeitig der schnellste Test aufpositive Definitheit.
Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem kann als Matrix wie folgt dargestellt werden:
A⋅⃗x = ⃗b . Es ist genau dann eine Loö sung, wenn
rang( A) = rang( A , ⃗
b) . A ist demnach quadratisch, beide Vektoren und A haben die gleiche Dimension.
Gauß-Algorithmus:
Beim Gaußschen Eliminationsverfahren wird eine Loö sung ⃗
x ermittelt. Dafuö r werden A und b
zusammengehaö ngt und eine obere (oder untere) Dreiecksmatrix erzeugt. Fuö r die Erzeugung einer
oberen Dreiecksmatrix werden nach einander die Untermatrizen AA 1, ..., AA n betrachtet. Jede Untermatrix
AA k wird nun durch lineare Rechenoperationen auf dem gesamten System (A,b) so umgewandelt, dass
der erste Spaltenvektor von AA k Null wird, bis auf das erste Element aa k,11 (Pivot-Element). Dafuö r muss ein
Pivot-Element aa k,11 ≠ 0 gewaö hlt werden, indem Zeilen (oder Spalten) des Systems vertauscht werden.
Um
Rundungsfehler
zu
minimieren
sollte
a k ,11 = max a k ,i 1
i=1..m
(Spaltenpivotsuche) bzw.
a k ,11 =
max
i=1..m ; j=1..m
a k ,ij (Vollständige Pivotsuche)
gewaö hlt werden (m = n+1-k ist die Dimension von AA k). Vollstaö ndige Pivotsuche
ist genauer, jedoch muö ssen dafuö r auch Spaltenvektoren vertauscht werden, was
zu einer Umsortierung der Elemente von
⃗x fuö hrt. Ist
x1
a11
0
0
0
x2
a12
a22
a32
a42
x3
a13
a23
a33
a43
x1
a11
a21
a31
a41
x2
a12
a22
a32
a42
x3
a13
a23
a33
a43
A1
A2
A3
x4
a14
a24
a34
a44
x4
a14
a24
a34
a44
b1
b2
b3
b4
b1
b2
l32
b3 | = III - a32/a22 ∙ II
b4 | = IV - a42/a22 ∙ II
l42
aa k,11 = 0 (trotz
Pivotsuche), so existiert keine oder keine eindeutige Loö sung fuö r ⃗
x . Um die uö brigen Elemente Rückwärtssubstitution:
n
des ersten Spaltenvektors von AA k zu nullen, kann wie neben zusehen vorgegangen werden. Die
b ' k−
r ki⋅x ' i
ermittelten Faktoren li,j koö nnen in einer Matrix L oder besser anstelle der entstehenden Nullen
∑
i=k +1
gespeichert werden. Fuö r L und die uö brigbleibende Matrix R := A‘ gilt nun: L⋅R = P⋅A⋅Q . x ' k =
r kk
Hier ist R die berechnete, obere Dreiecksmatrix mit den Pivot-Elementen auf der
Zur Berechnung mit
Hauptdiagonalen, L eine untere Dreiecksmatrix aus den ermittelten Faktoren und Einsen auf beginnen!
der Hauptdiagonalen, P die Permutationsmatrix der Zeilenvektoren und Q die
Permutationsmatrix der Spaltenvektoren (Q = I bei Spaltenpivotsuche). Die Loö sung Vorwärtssubstitution:
k−1
k
=
n
⃗x = Q−1⋅⃗x ' = QT⋅⃗x ' ergibt sich nun aus der Rückwärtssubstitution. Das Speichern von L hat
b k −∑ lki⋅b' i
i=1
⃗
⃗
den Vorteil, dass nun b ' aus b berechnet werden kann, durch Vorwärtssubstitution. Somit b' k =
lkk
kann das System mit wenig Rechenaufwand fuö r eine andere, rechte Seite ⃗
b erneut geloö st Zur Berechnung mit k = 1
werden. Bei Spalten- oder vollstaö ndiger Pivotsuche ist |lij| ≤ 1.
beginnen!
Falls A hermitesch und positiv definit ist, kann die LR-Zerlegung mit Hilfe des Cholesky-Verfahrens durchgefuö hrt werden, welches im
Vergleich zum gaußschen Eliminierungsverfahren nur halb so rechenaufwaö ndig ist.
Stoö rung linearer Gleichungssysteme:
−1
Sei A eine invertierbare nxn-Matrix und ||∙|| eine induzierte Matrixnorm, dann heißt cond ( A) =‖A‖⋅‖A
von A bezuö glich der Matrixnorm. Diese beschreibt die Sensitivitaö t bezuö glich Stoö rungen ΔA, Δb.
‖ die Konditionszahl
Das urspruö ngliche Gleichungssystem wird nun wie folgt gestoö rt:
und beliebiger Matrixnorm, dann gilt:
⃗x −⃗x‖
‖~
≤
‖⃗x‖
(
cond ( A)
‖ΔA‖ ‖Δb‖
⋅
+
‖ΔA‖ ‖A‖ ‖b‖
1−cond ( A)⋅
‖A‖
)
Das Ergebnis der LR-Zerlegung ist in der Praxis fehlerhaft (L̄ , R̄ ),
⃗x = ⃗b+ Δb
⃗ mit b ≠ 0, ‖ΔA‖ <
A⋅⃗x = ⃗b → ( A + ΔA )⋅~
1
‖A −1‖
Maschienengenauigkeit:
Bei der Rechnung mit Floatingpoint-Werten wird die Genauigkeit
−n −1
mit ε = 2 m
angegeben, mit nm als die Anzahl signifikanter
Binärstellen in der Mantisse; -1, weil Fehler höchstens halb so groß
ist, wie die kleinste, darstellbare Differenz.
ε
, ā = max max |~
L̄⋅R̄ = P⋅A⋅Q+ F Dabei ist F die Fehlermatrix mit |f ij| ≤ 2⋅j⋅ā⋅
a k ,ij| wobei k die Nummer
1−ε
k
i, j
der Pivotsuchenwiderholung ist. Umgekehrt laö sst sich fuö r das Naö herungsergebnis x̄ schreiben: ( A + E)⋅x̄ = ⃗
b mit Fehlermatrix E und
sodass gilt:
|eij| ≤
2⋅(n+1)⋅ε ¯
2⋅(n+1)⋅ε
⋅(|lij|⋅|r¯ij|) ≤
⋅n⋅ā Fuö r Spaltenpivotsuche gilt: ā ≤ max 2k⋅max |aij| ,
1−n⋅ε
1−n⋅ε
k
i, j
fuö r vollstaö ndige Pivotsuche (Rote Ungleichung ist unbewiesen):
√
1
1
ā < max (k +1)⋅max |a ij| ≤ max k⋅21⋅3 2⋅...⋅k k−1 ⋅max|a ij|
k
i, j
k
i, j
Tensoralgebra
Ein n-dimensionaler Tensor m-ter Stufe ist ein Tupel aus n m Zahlen. Motivation der Tensoralgebra ist, bestimmte Gleichungen in einer
Form (Hier Indexschreibweise) ausdruö cken zu koö nnen, die vom gewaö hlten Koordinatensystem unabhaö ngig ist. In dieser Form werden
i
statt ganzer Tensoren nur die Referenzen auf die Elemente notiert. So spezifizieren T i wie auch T das i-te Element eines Tensors
erster Stufe. Die Anzahl der Indizes beschreibt die Stufe des Tensors. Innerhalb einer Tensorgleichung muö ssen alle Tensoren die gleiche
Dimension haben.
Multiplikation
A i j⋅B k l = C i j k l
↔
Einstein'sche Summenkonvention
(
)(
)
a 11 a12 b 11 b 12
⋅
a21 a22 b21 b 22
(
a 11 b 11
a b
= 11 21
a12 b 11
a12 b21
a11 b12
a11 b22
a12 b 12
a12 b 22
|
a21 b11
a21 b 21
a22 b11
a22 b 21
a21 b12
a21 b22
a22 b12
a22 b22
)
Feldtheorie
Maxwellgleichungen für ruhende Medien
Integrale Form:
Differentielle Form:
∂⃗
B (⃗x , t )
∫ ⃗E (⃗x ,t )• d ⃗s = −∫ ∂ t • d ⃗n A
∂A
A
∫ H⃗ (⃗x , t )• d ⃗s = ∫
∂A
A
( ∂ D∂(⃗xt , t ) +⃗J (⃗x , t ))•d ⃗n
∂⃗
B (⃗x ,t)
rot ( ⃗
E(⃗x ,t)) = −
∂t
⃗
⃗ (⃗x , t )) = − ∂ D (⃗x , t) + ⃗
rot ( H
J (⃗x , t )
∂t
⃗ (⃗x ,t )) = ρ(⃗x , t )
div ( D
⃗
A
∫ D⃗ (⃗x , t )• d ⃗n ∂V = ∫ ρ(⃗x , t ) dV
∂V
⃗ (⃗x ,t )) = 0
div ( B
V
⃗ x , t )• d ⃗
n ∂V = 0
∫ B(⃗
Fouriertransformierte Form
Im Falle isotroper, linearer Medien können die Gleichungen für
Mit A : einfach zusammenhängende Fläche, d ⃗
n : infinitesimale einzelne Frequenzen auch als Phasoren geschrieben werden:
Flächennormale, d ⃗
s : infinitesimale Wegtangente, V : einfach
⃗ (⃗x ) rot ( H
⃗ (⃗x )) = j ω D(⃗
⃗ x )+ ⃗
rot ( ⃗
E(⃗x )) = − j ω B
J (⃗x )
zusammenhängendes Volumen
∂V
⃗ x )) = ρ (⃗x )
div ( D(⃗
Kontinuitätsgleichung
div ( ⃗
J (⃗x , t )) = −
⃗ x )) = 0
div ( B(⃗
∂ ρ(⃗x ,t )
∂t
Materialbeziehungen
Allgemein:
lineare Medien
⃗ (⃗x ,t ) = ε 0⋅⃗
D
E (⃗x , t )+ ⃗
P (⃗x ,t )
⃗ (⃗x , t) = 1⋅⃗
⃗ (⃗x ,t)
H
B (⃗x ,t )− M
µ
⃗
J (⃗x , t ) = ⃗
κ (⃗x , t )• ⃗
E (⃗x , t )
Mit
lineare, isotrope Medien
⃗ x , t ) = ε 0⋅⃗
D(⃗
ε r (⃗x)• ⃗
E(⃗x , t )
⃗ x , t ) = ε 0⋅ε r (⃗x)⋅⃗
D(⃗
E(⃗x , t )
⃗
⃗ (⃗x , t )
B (⃗x , t) = µ0⋅⃗
µr (⃗x )• H
⃗
⃗ (⃗x , t )
B (⃗x , t) = µ0⋅µr (⃗x )⋅H
⃗
J (⃗x , t ) = ⃗
κ (⃗x )• ⃗
E(⃗x , t )
⃗
J (⃗x , t ) = κ (⃗x)⋅⃗
E(⃗x , t )
Oft werden ε0 und εr bzw. µ0 und µr Im Falle homogener Medien sind εr, µr, k
⃗
⃗ : Magnetisierung zusammengefasst
P : Polarisation, M
zusätzlich von
⃗x unabhängig.
Rand- und Stetigkeitsbedingungen
E1,n
E1
α1
E1,t
E2,t
α2
E2
J1,n
D1
D1,n
τ
J1
D2,t
D1,t
E2,n
⃗
n ×( E⃗2 − E−1)
⃗
=0
E 2t − E 1t = 0
D2
J1,t
D2,n
J2
J2,n
⃗ 2 − D−1)
⃗
n •( D
⃗
=σ
D2n −D 1 n = σ
tan(α 1)
ε1
D 1,t
E 2,n
=
=
=
ε2
D 2,t
E 1,n
tan(α 2)
JF
X X X
H2,n
∂σ
∂t
∂σ
=−
∂t
J-Statik
H2
⃗
n ×( H⃗ 2− H−1)
⃗
= J⃗F
H 2t −H 1 t = J F
tan(α 1)
κ1
J 1 ,t
E 2 ,n
=
=
=
κ2
J 2 ,t
E1 ,n
tan(α 2)
−⃗τ = n⃗0 ( w 2−w 1 +τ en +τ mn ) (vgl. Kraft im Elektromagnetismus)
Energie im Elektromagnetismus
D0
B0
0
0
⃗ (x ))‖dD+∫‖H
⃗ ( B(⃗x ))‖dB
W =∫ ω(⃗x) dV mit ω(⃗x )=ω El (⃗x )+ω M (⃗x )=∫‖⃗
E(D
B1,n
B2,t
H1,t
B1,t
B2,n
B2
n •( B⃗2 − ⃗
⃗
B−1) = 0
B 2n −B 1n = 0
B-Statik
Kraft auf Grenzfläche:
V
β2
B1
H1,n
β1
H2,t
ε2 < ε1 κ2 > κ1 µ2 ≈ µ1
n •( J⃗2 −⃗J −1) = −
⃗
J 2n −J 1 n
Brechungsgesetze:
E-Statik
H1
Qualitativ:
ε1 = κ1 = µ1 = 1
σ
J2,t
- - -
tan( β 1 )
µ1
B 1,t
H 2 ,n
=
=
=
µ2
B 2,t
H 1, n
tan( β 2 )
Wellengleichungen für Felder
Für die Wellengleichung wird
⃗
⃗ (⃗x , t)+ J⃗e (⃗x , t ) , wobei Je eine von E und H unbeeinflusste, durch äußere
J (⃗x , t ) zerlegt in κ⋅E
Kräfte bedingte Größe ist. Umstellen der ersten Maxwellgleichung nach H, einsetzen in die Zweite und ableiten nach t ergibt die
Doppelwirbelgleichung für E:
(
)
Gültig für lineare, relaxationsfreie, isotrope Gebiete; ε
und κ dürfen nicht von der Zeit abhängen.
⃗ (⃗x , t))
⃗ (⃗x , t) ∂ J⃗e (⃗x ,t )
rot ( E
∂2 ⃗
E (⃗x ,t )
∂E
rot
= −ε (⃗x )⋅
− κ (⃗x)⋅
−
2
µ(⃗x ,t )
∂t
∂t
∂t
Durch Umstellen der ersten Maxwellgleichung nach E, einsetzen in die Zweite und anwenden der Rotation erhält man die
Doppelwirbelgleichung für H:
Gültig
für
lineare,
relaxationsfreie,
2
⃗
⃗
⃗ (⃗x ,t ))) =−ε (t )⋅∂ ( µ( ⃗x , t)⋅2H (⃗x ,t )) −κ (t )⋅∂ ( µ(⃗x ,t )⋅H ( ⃗x ,t )) + J⃗e (⃗x ,t ) isotrope Gebiete; ε und κ dürfen hier nicht
rot ( rot ( H
∂t
∂t
vom Ort abhängen.
Unter Annahme weiterer Einschränkungen ergeben sich einfachere Gleichungen für E und H. Typisch sind:
Inhomogene, generalisierte Wellengleichung:
2
⃗
⃗
∂ J⃗ (⃗x , t ) grad ( ρ( ⃗x , t ))
⃗ (⃗x , t) − µ⋅ε⋅∂ E ( ⃗x2 , t) − µ⋅κ⋅∂ E ( ⃗x , t ) = µ⋅ e
∆E
+
∂t
∂t
ε
∂t
Dämpfungsterm
Schwingungsterm
Anregungsterm
2
⃗ (⃗x ,t ) −µ⋅ε⋅∂ H (⃗x2 ,t ) − µ⋅κ⋅∂ H (⃗x ,t ) = −rot ( J⃗e (⃗x ,t ))
∆H
∂t
∂t
Inhomogene, harmonische, generalisierte Wellengleichung:
grad ( ρ(⃗x ))
iκ
mit ε = ε −
ω
ε
⃗ x ) + ω2⋅µ⋅ε⋅E(⃗
⃗ x ) = i ω⋅µ⋅J⃗e (⃗x ) +
∆ E(⃗
√ √√
-γ² : Ausbreitungskonstante
µ, ε, κ = const.
monofrequent
γ = ω⋅
⃗ (⃗x)+ω 2⋅µ⋅ε⋅H
⃗ (⃗x ) = −rot ( J⃗e (⃗x ))
∆H
µε
⋅
2
∂
= iω
∂t
⃗
E(⃗x , t ) = Re ( ⃗
E(⃗x )⋅eiωt )
√ √√
κ
µε
+1−1+i ω⋅
⋅
ωε
2
Re(γ) = α : Dämpfungskonstante
κ
+1+1 = i k
ωε
Im(γ) = β : Phasenkonstante
Homogene, harmonische, generalisierte Wellengleichung:
⃗ (⃗x ) + ω2⋅µ⋅ε⋅⃗
∆E
E (⃗x ) = ⃗0
⃗ (⃗x ) + ω 2⋅µ⋅ε⋅H
⃗ (⃗x ) = ⃗
∆H
0
Typ: Helmholtz-DGL
Homogene, harmonische Wellengleichung:
⃗ (⃗x ) + ω2⋅µ⋅ε⋅⃗
∆E
E (⃗x) = ⃗0
⃗ (⃗x ) + ω 2⋅µ⋅ε⋅H
⃗ (⃗x ) = ⃗
∆H
0
dämpfungsfrei
anregungsfrei
Homogene Wellengleichung:
⃗
⃗ x , t )−µ⋅ε⋅∂ E(⃗x2 , t ) =
∆ E(⃗
∂t
2
Typ: Helmholtz-DGL
mit dem d‘Alembert-Operator
⃗ (⃗x , t ) = ⃗
H
0
⃗
E(⃗x , t ) = ⃗
0
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
= 2 + 2 + 2− 2 2
∂ x ∂ y ∂ z v ∂t
Typ: d‘Alembert-DGL
Daraus folgt direkt die Maxwell-Relation:
v =c =
[ ]
1
m
=
s
√ µ⋅ε
c 02 =
1
µ0⋅ε 0
c=
c0
mit Brechungsindex η = √ µr⋅ε r
η
Inhomogene Wellengleichung:
⃗
E (⃗x , t ) = µ⋅
∂ J⃗e (⃗x ,t ) grad ( ρ( ⃗x ,t ))
+
∂t
ε
⃗ (⃗x ,t ) =−rot ( J⃗e (⃗x , t))
H
*Oft wird dieser
Operator auch mit
umgekehrten
Vorzeichen
geschrieben.
Wellengleichungen für Vektorpotentiale
Aus der vierten Maxwellgleichung folgt, dass B immer eindeutig durch ein Vektorpotential A beschrieben werden kann (Zu Klären: Kann
⃗
B (⃗x , t) = rot ( ⃗
A (⃗x , t)) Anmerkung: Durch bilden der Rotation geht die Informationsmenge
A (⃗x ,t ))) = 0 . Dies muss bei der Bildung einer inversen Rotation
von genau einer Feldkomponente verloren. Das folgt aus div (rot ( ⃗
⃗ ⃗x , t ) = ⃗
A ( ⃗x , t )+ grad (Φ(⃗x , t )) ein gültiges Vektorpotential von
beachtet werden: Ist A ein Vektorpotential von B, so ist auch A‘(
B eine Potentialströmung sein?), sodass
B.
Dadurch schreibt sich der erste Maxwellgleichung als
Mit
⃗ (⃗x , t) =
H
∂⃗
A(⃗x ,t )
⃗
E ( ⃗x ,t ) = −
−grad (Φ( ⃗x , t)) .
∂t
1
rot ( ⃗
A (⃗x , t )) laö sst sich die zweite Maxwellgleichung schreiben als
µ(⃗x , t)
Doppelwirbelgleichung für Potentiale:
rot
(
)
rot ( ⃗
A (⃗x , t))
=−
µ(⃗x , t)
(
∂ ε (⃗x ,t )⋅
)
∂⃗
A (⃗x , t )
+ grad (Φ(⃗x ,t ))
∂t
∂⃗
A(⃗x , t)
−κ (⃗x , t)⋅
+ grad (Φ(⃗x ,t)) + J⃗e (⃗x , t )
∂t
∂t
Sie ist guö ltig in allen isotropen Gebieten, erfasst jedoch nicht den statischen Fall.
(
)
Fuö r µ, ε, κ := const. folgt die
Feldgleichung für Potentiale:
∆⃗
A (⃗x , t)−µ ε⋅
(
)
∂⃗
A (⃗x , t )
∂⃗
A (⃗x , t )
⃗ ( ⃗x , t ))+µ ε⋅∂ Φ(⃗x , t ) +µ κ⋅Φ( ⃗x , t ) −µ⋅J⃗e ( ⃗x , t )
−µk⋅
= grad div ( A
∂t
∂t
∂t
⃗ (⃗x , t )) = 0 ist (Coulombeichung) oder dass
Wie oben erwaö hnt, ist A unterbestimmt. Es ist moö glich, A so zu waö hlen, dass div ( A
ist (Lorenzeichung). Tatsaö chlich ist im dynamischen Fall der Quellenanteil des
⃗ (⃗x ,t )) = −µ ε⋅∂ Φ(⃗x ,t ) −µκ⋅Φ(⃗x ,t)
div ( A
elektrischen Feldes eindeutig uö ber die Kontinuitaö tsgleichung bestimmt.
∂t
Wenn keine Raumladungen vorhanden sind, kann auch E eindeutig durch ein Vektorpotential beschrieben werden, sodass
⃗
E(⃗x , t ) = rot ( A⃗el (⃗x , t )) Durch Umstellen der ersten - und zweiten Maxwellgleichung nach H erhaö lt man:
⃗ (⃗x , t) = − 1 ⋅∫ rot (rot ( A el ))dt
H
µ
∂ A⃗ (⃗x ,t )
⃗ (⃗x ,t)+grad (ΦH (⃗x ,t)) = ε⋅ el
H
+κ⋅A⃗el (⃗x ,t )+rot −1 ( J⃗e (⃗x ,t ))
∂t
Einsetzen der ersten Gleichung in die Zweite, multiplizieren mit µ und Ableiten nach t liefert:
∆ A⃗el (⃗x , t )− grad (div ( A⃗el (⃗x , t )))+µ
∂ grad (Φ H (⃗x , t ))
∂2 A⃗el (⃗x , t )
∂ A⃗el (⃗x , t )
∂ rot −1 ( J⃗e (⃗x , t ))
= µε
+
µκ
+µ
∂t
∂t
∂t
∂ t2
hier kann Coulombeichung verwendet werden
= 0 (durch Lorenzeichung)
So folgen die
inhomogenen, vektoriellen Wellengleichungen:
∂2 ⃗
A (⃗x , t )
∂⃗
A (⃗x ,t )
∆⃗
A (⃗x , t )−µ ε
−µκ
= −µ⋅J⃗e (⃗x , t)
2
∂t
∂t
∂2 A⃗el (⃗x , t )
∂ A⃗el (⃗x ,t )
∂ rot−1 ( J⃗e (⃗x , t ))
⃗
∆ A el (⃗x , t )−µε
−µκ
=µ
∂t
∂t
∂ t2
In solchen linearen Gebieten koö nnen E und H durch Fourier- bzw. Laplacetransformation immer in monofrequente Anteile zerlegt
werden, und es kann fuö r die Wellengleichung komplex gerechnet werden:
∆⃗
A (⃗x )+ k 2⋅⃗
A (⃗x , t ) = − J⃗e (⃗x)
∆ A⃗el (⃗x )+k 2⋅A⃗el (⃗x ,t ) = i ω µ⋅rot −1 ( J⃗e (⃗x ))
Fuö r Je = 0 ist dies vom Typ Helmholz-DGL.
Differentialgleichungen
Poisson-DGL
⃗x ∈ ℝ; f : Ω → ℝ (bekannt); Φ : Ω → ℝ. Nun ist die Poisson-DGL eine elliptische Differentialgleichung der Form
−∆ Φ(⃗x) = f (⃗x) Zur Loö sung muss außerdem ein Randwertproblem bekannt sein. Man unterscheidet zwischen:
Sei Ω ⊆ ℝⁿ;
Dirichlet-Randwertproblem
Φ(∂ Ω) = Φ0 (∂ Ω)
Φ ist auf dem Rand gegeben.
Dirichlet-Randwertproblem
mit schwebendem Potential
Φ(∂ Ω) = const
Φ ist auf dem Rand konstant und das (Volumen)integral von
f über Ω ist bekannt (Dies entspricht der Gesamtladung im
Falle eines elektrostatischen Potentials).
Neumann-Randwertproblem
∂ Φ(∂ Ω)
= Φ' 0 (∂ Ω)
∂ n⃗0 (∂ Ω)
Die Normalenableitung von Φ ist auf dem Rand gegeben.
(n0: Normalenfeld von Ω)
∫ f (∂ Ω) dΩ = Qε
Ω
Eine
Linearkombination
von
Φ
und
∂ Φ(∂ Ω)
A⋅Φ(∂ Ω)+B⋅
= Ψ (∂ Ω) Normalenableitung ist auf dem Rand gegeben.
∂ n⃗0 (∂ Ω)
Im Falle eines Dirichlet-Randwertproblems mit Ω = ℝⁿ und
lim Φ(⃗x ) = 0 spricht man von der Freiraumlösung.
Robin-Randwertproblem
dessen
‖⃗x‖→ ∞
In diesem Fall erhaö lt man eine Fundamentalloö sung, indem man die Fundamentalloö sung Φ f der Laplace-DGL im Freiraum mit f faltet:
Φ(⃗x) = f (⃗x )∗Φ f (⃗x ) = ∫ f (⃗q )⋅Φ f (⃗x−⃗
q )dq Im Falle eines elektrischen Potentials ist dies das Coulomb-Integral.
ℝ
n
Um die Laplace-DGl auf anderen Gebieten, als dem Freiraum zu lösen, kann die Greensche Funktion benutzt werden. Diese setzt sich
G(⃗x , ⃗
q ) = Φ f (⃗x −⃗q )+h (⃗x , ⃗
q ) wobei Φf die Fundamentallösung und h eine Hilfsfunktion ist, welche die Bedingung:
zusammen aus
∆ q h(⃗x , ⃗q ) =
erfüllen muss. Aus der Singularität von Φf im Ursprung folgt
∂2 h (⃗x ,⃗
q)
∂2 h(⃗x , ⃗q )
+...+
=
0
∆ q G(⃗x ,⃗
q ) = −δ (⃗x −⃗q ) . Je nach Randwertproblem muss außerdem gelten:
∂ q21
∂ q 2n
Dirichlet-RWP
h(⃗x ,⃗
q ∈∂ Ω) = −Φ f (⃗q ∈∂ Ω)
G(⃗x ,⃗q ∈∂ Ω) = 0
⟨ ⃗n , grad q (G (⃗x , ⃗q ∈∂ Ω)) ⟩ = c
Neumann-RWP
Nun werden das gesuchte Φ, sowie G in die zweite, greensche Integralformel eingesetzt:
(
)
Es wird immer nach
∂ G( ⃗x , ⃗
q)
∂ Φ(⃗q )
Φ(⃗q )⋅ q
−G(⃗x , ⃗
q )⋅
d (∂ Ω)
q abgeleitet und
∂ ⃗n
∂ ⃗n
Ω
∂Ω
integriert.
∂q G(⃗x , ⃗q )
∂ Φ(⃗
q)
−∫ Φ(⃗
q )⋅∆ q G(⃗x , ⃗
q )dΩ = ∫ (−∆ Φ(⃗
q )⋅G(⃗x , ⃗q )) dΩ+∮ G(⃗x , ⃗q )⋅
−Φ(⃗
q )⋅
d (∂ Ω)
∂⃗
n
∂ ⃗n
Ω
Ω
∂Ω
∫ (Φ(⃗q )⋅∆q G (⃗x , ⃗q)−∆ Φ(⃗q)⋅G(⃗x , ⃗q )) dΩ = ∮
nd ft
le cha
b
s ns
Au ige
e
(
{
)
}
∂q G(⃗x , ⃗
q)
fuö r Dirichlet-RWP
d (∂ Ω)
∂ ⃗n
Ω
∂Ω
Φ(⃗x ) =
∂ Φ(⃗
q)
∫ (−f (⃗q )⋅G (⃗x , ⃗q )) dΩ+∮ G(⃗x , ⃗q )⋅ ∂ ⃗n d (∂ Ω)−∫ Φ(⃗q)⋅c d (∂ Ω) fuö r Neumann-RWP
Ω
∂Ω
∂Ω
∫ (−f (⃗q )⋅G (⃗x , ⃗q )) dΩ−∮ Φ(⃗q )⋅
= const.
Im Falle eines
elektrischen
Potentials heißen
diese Gleichungen
auch
verallgemeinertes
Coulombintegral.
Die Schwierigkeiten bei diesem Verfahren bestehen darin, dass die Integrale oft nicht oder nur schwer loö sbar sind und darin, eine
Greensche Funktion zu finden. Nicht fuö r alle Anordnungen existiert eine solche Funktion.
Daher ist es meist einfacher, Φ zu zerlegen in eine homogene und eine partikuläre Lösung:
Φ(⃗x ) = Φ h (⃗x )+Φ p (⃗x )
Nun soll Φp die Poisson-DGL nur im Freiraum loö sen (Coulomb-Integral) und Φ h soll nur die Laplace-DGL loö sen, mit angepassten
Randbedingungen
Φ h (∂ Ω) = Φ 0 (∂ Ω)−Φ p (∂ Ω)
Helmholtz-DGL
Sei Ω ∈ ℝⁿ, Φ : Ω → ℂ. Die Helmholtz-Differentialgleichung ist eine elliptische Differentialgleichung der Form
∆ Φ(⃗x )+k 2⋅Φ(⃗x ) = 0
Im ℝ³ ist die Helmholtz-DGL in 11 Koordinatensystemenm gemaö ß dem Separationsansatz von Bernoulli separierbar. Dabei ergeben
sich fuö r die einzelnen Ki unterschiedliche Differentialgleichungen. Um diese direkt hinschreiben zu koö nnen, gibt es den StäckelFormalismus. Dabei erhaö lt jedes Koordinatensystem eine Matrix, die Stäckelmatrix. Es kann dabei mehrere guö ltige Staö ckelmatrizen zu
einem System geben.
Eine
Staö ckelmatrix
ist wie folgt
aufgebaut:
(
s11 ( x 1 ) s12 ( x 1) s 13 ( x1 )
S = s21 ( x 2 ) s22 ( x 2) s 23 ( x2 )
s31 ( x 3 ) s32 ( x 3) s33 ( x3 )
)
Außerdem werden
Unterdeterminanten
benoö tigt:
Dabei ist Si,j ein Minor
von S, bei dem die i-te
Zeile und die j-te
Spalte fehlen.
Fuö r die Metrikkoeffizienten
gilt:
det (S )
√
hi =
~
s i , j = (−1)i+ j⋅det (S i , j )
h1⋅h 2⋅h3 Die drei separierten, gewoö hnlichen
Nun werden drei
Hilfsfunktionen gebildet aus: g1 ( x i )⋅g2 ( x 2 )⋅g 3 ( x 3 ) = det ( S) Differentialgleichungen lassen sich dann schreiben als:
3
wobei α1 = k und α2, α3 beliebig gewaö hlt werden.
d φ i ( xi )
1
d
⋅
gi ( x i )⋅
+ ∑ sij ( x i )⋅α i ⋅φi ( xi ) = 0
gi ( x i ) d x i
d xi
j=1
)(
(
~
s i, j
)
Laplace-DGL
Die Laplace-DGl ist je nach Situation ein Spezialfall der Poisson-, Helmholtz-, oder d‘Alembert-DGL: ∆ Φ(⃗
x ) = 0 Auch hier muss
für die Lösung ein Randwertproblem gegeben sein. Funktionen Φ, die die Laplace-DGL erfüllen, heißen harmonische Funktionen.
Die Freiraumlösung/Fundamentallösung für
Ω = ℝⁿ\0 lautet:
Dabei ist ωn die Oberfläche der ndimensionalen Einheitssphäre:
Φ f (⃗x ) =
n/ 2
ωn =
2⋅π
Γ (n /2)
{
ln (‖⃗x‖)
2π
1
(n−2)⋅ωn⋅‖⃗x‖n−2
−
für n=2
für n>2
}
=
1
4 π⋅√ x + x 2 + x 3
für n=3
2
1
2
2
Anmerkung: Die Freiraumlösung Φf besitzt eine Singularität im Ursprung. Falls dieser ∈ Ω ist, entsteht dort ein Dirac-Impuls.
Genau, wie bei der Poisson-DGL kann auch hier die Greensche Funktion benutzt werden, um Lösungen für andere Gebiete, als den
Freiraum zu finden.
Insbesondere, wenn ein orthogonales Koordinatensystem existiert, in dem die Laplace-DGL separierbar ist und dessen
Koordinateneinheitsflächen auf ∂Ω fallen, lässt sich die Laplace-DGL leicht mit dem Separationsansatz von Bernoulli lösen:
Φ(⃗x) = φ 1 ( x 1)⋅...⋅φn (x n ) gesetzt. Die Laplace-DGL schreibt sich dann in kartesischen Koordinaten:
∂2 φ1 ( x 1 )
∂2 φn (x n )
1
1
∂2 φ1
∂2 φ n
⋅
+...+
⋅
=0
2
2
φ 2⋅...⋅φn⋅ 2 +...+φ1⋅...⋅φn−1⋅ 2 = 0 teilen durch Φ: φ ( x )
φ
(x
)
∂
x
∂
x
1
1
n
n
1
n
∂x
∂x
Hierfür wird
1
n
Kn
Die einzelnen Summanden der Formel können nur konstant
K1
sein, damit die Gleichung überall erfüllt werden kann. Für jeden Summanden ergibt sich dann eine gewöhnliche
Differentialgleichung 2. Ordnung. Außerdem gilt die
2
Separationsbedingung
K 1 +...+ K n = 0 Damit diese erfüllt
werden kann, müssen einige K Null oder negativ sein. Dabei
werden folgende Fälle unterschieden:
Ki =
{
ki
0
⇒
⇒
−k 2i
⇒
φi = ( A i⋅cosh (k i xi )+B i⋅sinh(k i x i ) )
φi = ( A i + B i⋅x i )
φi = ( A i⋅cos(k i x i )+ B i⋅sin(k i x i ))
}
Genau, wie die Helmholtz-DGL ist die Laplace-DGL als ein Speziallfall davon mit K = k² = 0 und reellen Funktionen und Konstanten
im ℝ³ in 11 Koordinatensystemen separierbar und es kann der von der Helmholtz-GDl bekannte Stäckelformalismus verwendet
werden.
Vierpolmatrizen
Y-/Attmittanzparameter
I1
y1,2*U2 y *U
2,1
1
Y =Z
Addition bei
Shunt-Shunt
Ya
Y a +Y b = Y c
Yc
Yb
1
g2,2
G-/Inverse Hybridparameter
I1
)( )
Aa
(
Ab
Ac
)( )
Multiplikation bei Verkettung
g 2,2
g 2,1
det (G)
y 2,1
A a⋅A b = A c
I2
h1,1
h1,2*U2 h2,1*I1
Addition bei
Series-Shunt
1
h2,2
Ha
Hb
Hc
B-/Inverse Kettenparameter
( )(
)( )
U2
b
b
U
= 1,1 1,2 ⋅ 1
I2
b 2,1 b2,2 I 1
Achtung: Stromrichtung I2 hier anders als bei regulärem
Vierpol! In vieler Literatur ist dies nicht der Fall.
− y 2,2
−1
1
y 2,1
y 2,1
g
A=
= 2,1
g 1,1
−det (Y ) − y 1,1
y 2,1
y 2,1
g 2,1
)
A = B−1
I1
I2
U2
)( )
I1
U1
( )(
( )(
)( )
H a +H b = H c
U1
a
a
U
= 1,1 1,2 ⋅ 2
I1
a 2,1 a2,2 I 2
U2
U1
I2
Z a+ Zb = Zc
z2,1*I1
h1,2
−b 2,2
−1
h2,2
b 2,1
b 2,1
=
−det (B) −b1,1
1
h2,2
b 2,1
b 2,1
det ( H )
h2,2
Z=
−h 2,1
h2,2
U1
h
h
I
= 1,1 1,2 ⋅ 1
I2
h 2,1 h2,2 U 2
Gc
A-/Kettenparameter
I1
( )(
Ga
Ga +Gb = Gc
Zc
Zb
G = H−1
Gb
z1,2*I2
H-/Hybridparameter
g2,1*U1
Addition bei
Shunt-Series
Addition bei
Series-Series
Za
I2
z2,2
U2
g1,2*I2
z1,1
U1
1
g1,1
a 2,2 −det ( A)
a
a1,2
= 1,2
a1,1
−1
a 1,2
a1,2
I1
g
g
U
= 1,1 1,2 ⋅ 1
U2
g 2,1 g2,2 I 2
U2
U1
( )(
I2
g2,2
I1
−1
( )( )
g1,2
g2,2
det (G)
g 2,2
Y=
−g 2,1
g 2,2
)( )
U1
z
z
I
= 1,1 1,2 ⋅ 1
U2
z 2,1 z 2,2 I 2
U2
( )(
)( )
y 1,2 U 1
⋅
y 2,2 U 2
U1
U1
()(
U2
1
y2,2
1
y1,1
I1
y
= 1,1
I2
y2,1
I2
Z-/Impedanzparameter
Achtung: Stromrichtung I2 hier anders als bei regulärem
Vierpol! In vieler Literatur ist dies nicht der Fall.
( )( )
z2,2
z1,2
−det ( Z)
1
z1,2
h1,2
B=
=
z1,1
−h 2,2
−1
z1,2
z1,2
h1,2
−h1,1
h1,2
det ( H )
h1,2
Ba
Bc
Bb⋅B a = Bc
Multiplikation bei Verkettung
Ie
Ua
Ein Zweitor/Vierpol heißt reziprok, wenn die Ausgangsspannung Ua, die ein Eingangsstrom I e hervorruft, gleich
bleibt, wenn man das Zweitor herum dreht. Daraus folgt: z 1,2 = z2,1 y1,2 = y2,1 h1,2 = -h2,1 p1,2 = -p2,1 det(A) = 1 det(B) =
1 Ein Zweitor, das nur aus passiven Bauteilen besteht ist immer reziprok.
Bb
Ein Zweitor/Vierpol heißt passiv, wenn keine (wirk)Leistung abgegeben wird. Dies schließt insbesondere Verstärker aus, die durch
zusätzliche Stromversorgung Leistung einspeisen.
I1
T-Ersatzschaltbild
I2
Uq
Y2
Z 2 = z2,2 −z 1,2
Z 3 = z1,2
U q = (z 2,1− z 1,2)⋅I 1
π-Ersatzschaltbild
I2
Y3
Jedes lineare Zweitor lässt sich durch ein T-Ersatzschaltbild darstellen mit
Z 1 = z1,1− z1,2
U2
U1
Y1
Z3
Z2
U2
U1
Z1
Jedes lineare Zweitor lässt sich durch ein π-Ersatzschaltbild darstellen mit
Iq
I1
Y 1 = y 1,1 + y 1,2
Y 2 = y 2,2 + y 1,2
Y 3 = − y 1,2
I q = ( y 2,1− y 1,2 )⋅U 1
Projektion von Bauteilen durch ein Zweitor:
Die Kettenparameter-Darstellung kann auch benutzt werden, um ein solches Zweitor mit einem anderen Zweitor zu vertauschen.
A
T
→
=
( )
1
1
Z
T
A*
0
Z
Die Zweitore A und T seien als Kettenparameter gegeben; T sei außerdem invertierbar.
Aus der Forderung, dass das Netzwerk an den äußeren Klemmen das gleiche Verhalten
−1
behält, lässt sich ableiten, dass A* = T ⋅A⋅T
( )
1 Z Im Falle transformatorischer oder gyratorischer Kopplung lassen sich einzelne
= 0 1
Impedanzen auf beiden Seiten von T als eines der nebenstehenden Zweitore
darstellen. Einzelne Spannungs- oder Stromquellen können nach dem Prinzip der
homogenen Koordinaten mit Hilfe von 3x3-Matrizen und um 1 erweiterte Vektoren ebenfalls projiziert werden.
Z
1
Drehstrom
Ein lineares Drehstromsystem lässt sich bezüglich der drei Anschlussklemmen als folgendes Ersatzschaltbild darstellen:
Somit lässt sich folgende Admittanzmatrix aufstellen:
L1
IL1
L2
Y13
IL2
L3
Y23
IL3
I0
GND
()(
Weiterhin gilt:
Y11
Y22
)( )
I L1
Y 11 +Y 12 +Y 13
−Y 12
−Y 13
U L1
⋅ U L2
I L2 =
−Y 12
Y 22 +Y 12 +Y 23
−Y 23
I L3
−Y 13
−Y 23
Y 33 +Y 13 +Y 23 U L 3
Y12
−I 0 = I L 1 + I L 2 + I L 3
Y33
2
i π
1
1
1
1
1 √3
= 1⋅e 3 . Es gilt:
Das System heißt symmetrisch, falls U L 1 = ⋅U L2 = 2⋅U L 3 und I L 1 = ⋅I L 2 = 2⋅I L3 mit a =− +i
a
a
2
2
a
a
1+a+a = 0 a3 =1 U 12 = U 1 −U 2 = U 1⋅√ 3⋅ei 150° . Durch das anmultiplizieren von a kann die Phase um 120° gedreht werden.
2
Symmetrische Komponenten
Für bestimmte Anwendungen ist eine Transformation des Drehstromsystems L1, L2, L3 in ein mathematisches Hilfssystem S1, S2, S3
hilfreich. Die S-Komponenten repräsentieren jeweils eine Komponente eines symmetrischen Systems (Mit-/ Gegen-/ Nullsystem):
Asymmetrischer Drehstrom Mitsystem
Gegensystem Nullsystem Die Phase von L1 liegt definitionsgemäß auf 0°.
S2.3
S1.2
S1.1
+
=
L1
L2
L3
S1.3
S2.2
S2.1
+
S3.2
S3.1
S3.3
Es ergeben sich folgende Transformationsmatrizen:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
1 1 1 S1
L1
L2 = a 2 a 1 ⋅ S 2
2
L3
a a 1 S3
Fortescue-Matrix F
1 a a2 L1
S1
1
S2 = ⋅ 1 a2 a ⋅ L2
3
S3
1 1 1 L3
F-1
Magnetischer Kreis
Der Magnetische Kreis ist ein Netzwerk, das ähnlich wie der elektrische
Kreis berechnet werden kann.
⃗ (⃗x )dl = [ Am ] ≙ U
V m =∫ H
l
⃗ (⃗
x )) = 0 folgt,
Knotengleichung: Aus div ( B
dass die Summe aller magnetischer Flüsse in
einem Knotenpunkt Null ist.
(
Magnetische Spannung
Φ1
[ ]
[ ]
[ ]
Vs
Φ =∫ ⟨ ⃗
B (⃗x ) ,⃗
n ⟩ dA =
≙I
m
A
Vm
Am
=
≙R
Magn. Widerstand / Reluktanz R m =
Φ
Vs
1
Vs
Magnetischer Leitwert Λ =
=
≙G
Rm
Am
Energie W = V m⋅Φ = [ J ] ≙ P
Φ3
Φ2
Magnetischer Fluss
∑Φ= 0
)
⃗
⃗J + ∂ D d ⃗S
∬ ∂t
Maschengleichung: Aus ∮
∂A
A
Vm,1
Θ
Vm,2
folgt dass die Summe aller magnetischer
Spannungen in einer Masche die magnetische
Durchflutung ist. Baut man diese Durchflutung
Vm,3
Vm=Θ
als Spannungsquelle in die Masche ein, so kann
wie im elektrischen Kreis gerechnet werden. In allen Schaltungstopologien anwendbar???
⃗ d ⃗s = Θ =
H
∑
Hopkinsonsches Gesetz:
V m = R m⋅Φ
Spule als Kopplung
Eine Induktivitaö t kann als Kopplung zwischen elektrischem - und magnetischem Kreis aufgefasst
werden. Diese ist durch Kettenparameter beschreibbar:
Φ
I
U
( )( )
0
U =
1
I
N
Θ
()
iωN
⋅Θ
0
Φ
↔
( )( )
0
Θ =
−i
Φ
ωN
()
N
⋅U
0
I
Die
Matrix
folgt
Durchflutungs- und
gesetz: Θ = N⋅I
aus
dem
Induktions-
U =− N
∂Φ
∂t
Bei der Herleitung ist zu beachten, dass innerhalb der gruö nen Spulenmasche die Kirchhoffsche Gleichung nicht gilt, da das elektrische
Feld hier nicht wirbelfrei ist; die induzierte Spannung entlang des gruö nen Weges (Wicklungsrichtung beachten!) zeigt bei steigendem Φ
entgegen der Stromrichtung und U ist in eingezeichneter Richtung positiv!
Gemäß den Gleichungen für Kettenparameter47 können einzelne Bauteile durch das Zweitor hindurch projiziert werden:
Elektrischer Widerstand Magnetischer Widerstand Kapazität
Elektrischer Kreis
XL =iω L= iω
R
Magnetischer Kreis
iωN2
R
N2
Rm
XC =−
Rm
i
ωC
−ω2⋅N 2⋅C
Die Spule ist eine gyratorische Kopplung,
das heißt, ist eine Impedanz Z auf einer
Seite parallel zum Zweitor geschaltet, so Z‘
nach der Projektion auf der anderen Seite
in Reihe geschaltet und umgekehrt.
Ein Kurzschluss auf einer Seite wird zu
offenen Klemmen auf der anderen Seite!
Transformator
( )
Idealer, einphasiger Transformator: Beim idealen Transformator wird angenommen, dass weder in den
ü 0
Wicklungen, noch im Kern Verluste auftreten und dass der gesamte magnetische Fluss durch beide T ideal = 0 1
2
Wicklungen geht. Eine Impedanz kann mit Z* = Z⋅ü von der rechten auf die linke Seite transformiert
werden.
ü
ü=
N1
N2
Realer, einphasiger Transformator:
Rm,h/2
Φh
Φσ1
I1
R1
N1
U1
I2
N1
U1
I1
Φσ2
Φσ1
Rm,h/2
Φh
Rm,σ1
Φσ2
N2
Rm,σ2
R2
I2
U2
Rm,h ist hier halbiert, in der Mitte magnetischer Kreis.
N2
U2
U1
R1
Lσ1
Lh,1
ü
Lh,2
Lσ2
R2
U2
Magn.
Widerstaö nde
werden in den el. Kreis
transformiert, N1 und
N2 verschmelzen.
U1
R1
Lσ1
Lh
RFe
R*2
L*σ2
ü
U2
Rechter, el. Kreis wird
durch uö hindurch
transformiert,
Lh,1
und
L*h,2
verschmelzen.
Im letzten Schaltplan ist RFe hinzugekommen, welcher naö herungsweise die Hystereseverluste im Kern darstellt. R 1 und R2 sind die
Widerstaö nde der Spulenwicklungen, L σ1 und Lσ2 die Streuinduktivitaö ten und L h die Haupt- bzw. Kopplungsinduktivitaö t. Gemaö ß den
Transformationsbedingungen gilt:
N
ü= 1
N2
N 21
Lσ 1 =
R m ,σ 1
N 22
1
Lσ 2 =
= 2⋅L*σ 2
Rm , σ 2 ü
Der Transformator besitzt Selbstinduktivitäten: L1 =
und Gegeninduktivitäten:
M 12 =
2⋅N 21
Lh ,1 =
R m ,h
2⋅N 22
Lh ,2 =
Rm , h
N 1⋅Φ 11 N 1⋅( Λ h + Λ σ 1 )⋅Θ 1
=
= L σ 1 + Lh
I1
I1
L2 =
N 12
Lh =
R m ,h
R* 2 = ü 2⋅R 2
N 2⋅Φ 2
L
= L σ 2 + 2h
I2
ü
N 1⋅Φ 12 N 1⋅k 2⋅Φ 22
N ⋅Θ ⋅Λ
N ⋅Φ
=
= 1 2 h = N 1⋅N 2⋅Λ h = M 21 = 2 21 := M
I2
I2
I2
I1
Dabei ist Φ12 der von Strom I2 hervorgerufene Fluss durch Spule 1 und Φ 22 der durch Strom I2 hervorgerufene Fluss durch Spule 2 (Φ 21
und Φ11 aö quivalent); demnach gilt Φ h = Φ 12 +Φ21 . Man sieht, dass im Falle linearer, magnetischer Leitwerte M 12 und M21 gleich sind.
k1 =
Φ 12
Λh
=
Φ 22
Λh+ Λσ 2
und
k2 =
Φ 21
Λh
=
Φ 11
Λh+ Λ σ 1
2
heißen Flusskoppelfaktoren und es gilt: k 2⋅L1 = N 1⋅Λ h →
Λ 2h = Λ h⋅Λ h =
( )( )
k 2⋅L1
k ⋅L
⋅ 1 22
N 21
N2
M = N 1⋅N 2⋅√ Λ 2h = √ k 1⋅k 2⋅L 1⋅L2 = k⋅√ L1⋅L2 mit gemeinsamen Kopplungsfaktor k = √ k 1⋅k 2 . Wozu Streufaktor σ = 1-k²???
(
Fuö r die Gesamtmatrix des
Z
1+ 1
realen Transformators in
Zh
T real =
Kettenparametern gilt:
1
Zh
)(
Z 2⋅Z 1
ü
Zh
⋅
0
Z
1+ 2
Zh
Z 2 +Z 1 +
0
1
ü
)
mit
Z 1 = R1 +i ω Lσ 1
Z 2 = R*2 +i ω L*σ 2
Zh =
R Fe⋅i ω Lh
R Fe +i ω Lh
→
Informationsübertragung
Netzwerke
Für die meisten Netzwerke existiert eine Zerlegung in unterschiedliche Schichten, von denen jede bestimmte Aufgaben hat. Dabei
existiert für die Verbindung von zwei Teilnehmern der gleichen Schicht ein Protokoll und jede Schicht bietet der Darüberliegenden einen
Service.
7
6
5
4
3
2
1
OSI-Model:
Application Layer
Presentation Layer
Session Layer
Transport Layer
Network Layer
Data Link Layer
Physical Layer
Physical Layer:
4
3
2
1
Der Physical Layer organisiert die prinzipielle Kommunikation zwischen zwei oder
mehr Endpunkten. Im Physical Layer wird geregelt, ob die Kommunikation Halfoder Fullduplex Leitungen verwendet, also ob zum Senden und Empfangen
verschiedene Leitungen/Kanäle zur Verfügung stehen.
DoD-Model:
Process Layer
Host-to-Host Layer
Internet Layer
Mit Hilfe von Autonegotiation können im Physical Layer Duplexverfahren und
Network Access Layer Übertragungsgeschwindigkeit zwischen den Teilnehmern ausgehandelt werden.
Heute ungebräuchliche Halfduplex-Verfahren ermöglichen den Einsatz
sogenannter Hubs, also Verbindungsstellen, die eingehende Signale direkt
verstärken und an alle Teilnehmer weiterleiten. Die dafür notwendige Kollisionserkennung ist nicht Aufgabe des Physical Layers. Er
bietet als Service für höhere Layer lediglich das Senden und Empfangen von Bits und übernimmt die Signalmodulation, sowie erste
Fehlerkorrekturen und -vermeidungsstrategien. Einfache Modulationen sind:
•
Binary Encoding: Auch NRZL (No Return to Zero Level); ein Signal ist
High für 1 und Low für 0, nicht selbstgetaktet / benötigt synchronen
Taktgeber bei Sender und Empfänger; im Falle elektrischer Impulse
muss ein fest definiertes Potential gegeben sein; 1 Bit/Symbol.
•
Return to Zero: Auch RZ; zwischen High und Low existiert ein ZeroZustand, nach jedem Bit wird zu Zero zurückgekehrt; erfordert drei
fest definierte Potentialzustände; 0,5 Bit/Symbol.
•
Manchester Encoding: Jeder Takt besteht aus zwei Teilintervallen I1,
I2; eine 1 wird durch einen Sprung von High auf Low zwischen I1 und
I2 übertragen, eine 0 durch Sprung von Low auf High (Oder genau
umgekehrt bei Ethernetstandard); im Falle elektrischer Impulse muss
ein fest definiertes Potential gegeben sein; 0,5 Bit/Symbol.
•
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
NRZL
RZ
Manchester
Diff.
Manch.
Differential Manchester Encoding: Unterteilung der Symbole wie oben; in jedem Takt findet Sprung zwischen I1 und I2 statt, ein
konstanter Pegel am Beginn des Takts signalisiert 1, ein Sprung am Beginn signalisiert 0 (Oder genau umgekehrt je nach
Standard); eine Übertragung über galvanische Trennung ist möglich; 0,5 Bit/Symbol.
Typische Fehlervermeidungsstrategien sind:
•
Gray Code: Zeitlich oder messtechnisch benachbarte Symbole unterscheiden sich nur um 1 Bit, sodass besonders
wahrscheinliche Fehler weniger stark ins Gewicht fallen
•
Interleaving: In der Realität werden bei einer Störung der Übertragung meist mehrere, aufeinander folgende Symbole gestört
(Burstfehler); durch Interleaving werden die Bits in einem größeren Intervall vor der Übertragung gemischt, sodass trotz
Burstfehler am Ende nur einzelne Bits in einer großen Datenmenge fehlerhaft sind und durch die Fehlerkorrektur korrigiert
werden können.
•
Forwаrd Error Correction: Auch FEC, einfache Verfahren, um Fehler während der Übertragung zu korrigieren, etwa indem jedes
Bit 3x gesendet wird.
Data Link Layer:
Der Data Link Layer ist in zwei Sublayer geteilt, deren genaue Definition jedoch nicht Teil des OSI-Modells ist:
•
Media Acces Control Sublayer: Verhindern, dass mehrere Teilnehmer gleichzeitig einen Kanal benutzen; notwendig bei Halfduplex
oder Token Ring Strukturen.
•
Logical Link Control Sublayer: Fehlererkennung.
Im Data Link Layer werden Daten aufgeteilt in sogenannte Frames mit einer definierten minimalen und maximalen Länge. Ein Frame ist
üblicher Weise wie folgt aufgebaut:
Start DLE Destination MAC
Source MAC
Optional Info z.B. VLAN-Tag / Token Data Length
Data Packet
End DLE Check Seq
Um die gesendeten Daten von den Frame Headern abzugrenzen gibt es folgende Möglichkeiten:
•
Senden einer Längenangabe vor dem Datenblock - Problem: Sender und Empfänger werden im Falle eines Fehlers in der
Längenangabe desynchronisiert
•
•
Senden eines Delimiters (DLE) nach dem Datenblock. Eventuell vorhandene Delimiter im Datenblock müssen kodiert werden:
◦
Charakter Oriented: Vor jedem DLE im Datenblock wird ein zweiter DLE eingefügt
◦
Bit Oriented: Als Delimiter wird eine Folge von z.B. 6 Einsen gewählt, Sender fügt im Datenblock nach 5
zusammenhängenden Einsen eine Null ein, Empfänger entfernt eine Null nach 5 Einsen.
Invalid Charakter im DLE verwenden. Wenn im Physical Layer z.B. Manchester Encoding verwendet wird, kann ein konstanter
Pegel während eines kompletten Taktes benutzt werden, bei Return to Zero kann in einem Takt nicht auf Zero gesprungen
werden. Solche Verfahren stellen eine Verschmelzung von Physical - und Data Link Layer dar und sind somit eine Verletzung des
OSI Modells.
Im Data Link Layer besitzt jeder Teilnehmer eine eindeutige MAC (Im Falle von Ethernet ist dies eine 6 Byte große Zahl, die
Hardwareseitig fest implementiert ist). Anhand der MAC (Die in jedem Frame als Ziel gesendet wird), kann ein Teilnehmer erkennen, ob
der Frame für ihn bestimmt ist. Die MAC-Adresse FF-FF-FF-FF-FF-FF (Alle Bits 1) ist die Broadcast-Adresse.
Access Control Procedures:
Insbesondere bei dezentralen Halfduplex-Verbindungen muss sichergestellt sein, dass nicht zwei Teilnehmer gleichzeitig senden
(Kollisionserkennung). Hierfür gibt es folgende Random Access Konzepte:
•
Aloha (Purge / Slotted)
•
CSMA (1-/ p-/ non-persistent)
•
Binary Exponential Backoff
Alle diese Verfahren haben bezüglich QoS den Nachteil, dass im Worst-Case immer mehrere Stationen versuchen, zu senden. Die
Alternative hierzu sind Coordinated Access Konzepte:
•
Polling
•
TDMA
•
Token