( ) ( )r ( ) ( )r ( )

3. Felder
3.1. Allgemeines zu Felder
Jede Größe, die an jedem Ort eines betimmten Gebietes im Raum definiert ist, ist ein Feld:
Skalare Felder: eindimensionale Felder, z.B.:
r
n(r )
Teilchendichte
r
ρ (r )
Massendichte
r
T (r )
Temperaturfeld
r
ϕ (r )
elektrisches Potenzial, Gravitationspotenzial
r r
v (r )
Geschwindigkeitsfeld
r r
r r
r r r
1
j (r ) = n(r ) ⋅ v (r )
Teilchenstromdichte, j (r ) =
m² s
r r
elektrisches Feld
E (r )
r r
magnetisches Feld
B (r )
r r
Feld der Gravitationsbeschleunigung
a g (r )
[ ]
Darstellung von Feldern:
Skalare Felder: durch Höhenlinien
Vektorfelder: Durch Pfeilgraphen
Steilheit eines skalaren Feldes: Der Gradient
r
r
r
⎛ ∂h(r ) ∂h(r ) ∂h(r ) ⎞
r
⎟
grad (h(r )) = ⎜⎜
,
,
∂y
∂z ⎟⎠
⎝ ∂x
Gibt Betrag und Richtung der größten Steigung des skalaren Feldes an.
3.2. Strömungsfelder
Teilchenstrom durch eine Fläche dA ist die Anzahl der Teilchen dN, die in der Zeit dt durch
die Fläche A strömen:
r
r
dN
dV
= n⋅
= n ⋅ v ⋅ dA ⋅ cos α = n ⋅ v o dA = j o dA
dt
dt
Dabei is dV das Volumen, das in der Zeit dt durch die Fläche dA strömt. dA ist der
Flächenverktor, der senkrecht auf dem Flächenelement dA steht und dessen Länge sie Fläche
von dA ist:
Es gilt der Gauß´sche Satz:
r
dN
∫∫Oberfläche j o dA = Q = dt
Die Summe aller Teilchen, die in ein Volumen durch dessen Oberfläche hinein- oder
hinausströmen, ist gegeben durch die Teilchen, die in dem Volumen erzeugt oder vernichtet
werden, also durch die Quellen und Senken des Strömungsfeldes. Das Integral bezeichnet
dabei die Integration auf einer geschlossenen Oberfläche, die das Volumen einschließt.
1
Falls es keine Quellen und Senken gibt, also Q = 0
Ö Kontinuitätsgleichung
r
∫∫Oberfläche j o dA = 0
Falls die Strömung senkrecht zu einer Oberfläche A1 mit der Geschwindigkeit v1 hineinströmt
und an der Oberfläche A2 mit der Geschwindigkeit v2 wieder herausströmt, gilt:
v1A1 = v 2 A 2
Einfache Fälle für Felder mit Quellen oder Senken:
3.2.1. Strömungsfeld einer Punktquelle:
r
Stömungsfeld ist Kugelsymmetrisch => j hat an jeder Stelle mit Abstand r vom
Quellpunkt den gleichen Betrag und zeigt radial nach außen
r
r
r
dN
= Q = ∫∫Oberfläche j o dA = j ⋅ ∫∫Oberfläche dA = j ⋅ 4πr 2
dt
r
r
r
Q r
Q
j=
j =
,
und
r
4πr 2
4πr 2 r
3.2.2. Feld einer linearen Quelle der Länge L: Strömung fliesst mit gleicher Strömungsdichte
durch die Mantelfläche eines Zylinders mit der Länge L
r
j =
Q
2πr ⋅ L
3.2.3. Feld einer ebenen Quelle: homogenes Feld:
r Q
j =
= const .
2A
3.3.
Freie Strömung: Bernoulli Gleichung
Strömung durch Rohrstück mit Energiebetrachtung:
Von außen verrichtete mechanische Arbeit:
dE = F ⋅ dx = P1 ⋅ A1 ⋅ dx1 = P1 ⋅ dV1
Kinetische Energie im Volumenelement dV:
ρ ⋅ dV1 2
m
E kin = v12 = m
v1
2
2
Potenzielle Energie:
E pot = mgh = ρ m ⋅ dV1 gh1
2
Energieerhaltung:
ρm
P1dV1 +
=> P1 +
2
ρm
2
dV1v12 + ρ m dV1 gh1 = P2 dV2 +
v12 + ρ m gh1 = P2 +
ρm
2
ρm
2
dV2 v22 + ρ m dV2 gh2
v22 + ρ m gh2
Bernoulli Gleichung
Insbesondere, wenn h1 = h2
P1 +
ρm
2
v12 = P2 +
Versuche:
3.4.
ρm
2
v22
hydrodynamisches Paradoxon
Bunsenbrenner
Tischtennisball im Luftstrom
Magnuseffekt
Reibungsbegrenzte Strömung
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit v durch Reibung begrenzt wird, stellt sich bei einem
Druckabfall -dP über die Strecke dx die Strömungsgeschwindigkeit vx ein:
dP
, wobei σ = 1/ρ die Strömungsleitfähigkeit ist, ρ der Strömungswiderstand,
v x = −σ
dx
r r
r
v (r ) = −σ ⋅ grad ( P(r ))
allgemein: r
r r r
r
r ,
j = n(r )v (r ) = −n(r )σ ⋅ grad ( P (r ))
[σ ] =
m³s
kg
r
dN
mit Gauß´schem Satz: ∫∫ j o dA = Q =
dt
für ebenen Rohrquerschnitt, der senkrecht in x-Richtung durchströmt wird:
dP
Q = j ⋅ A = − nσ ⋅
⋅A
dx
Q
=> P ( x) = P0 −
⋅x
nσA
3.5.
Strahlung
r
j L ist der Energiestrom, der vom Licht transportiert wird:
[rj L ] = s ⋅Jm² = W
= kg
m² s
3
r
dE
∫∫ j L o dA = dt
geschl.Oberfläche
3
Für punktförmige Lichtquelle:
r
dE dt
jL =
4πr 2
Für Flächenlichtquelle:
r
dE dt
jL =
= const .
2A
3.6.
Diffusion
Dichtegradient verursacht einen Teilchenstrom zum Ausgleich der Konzentrationen
r
j = − D ⋅ grad (n) ,
wobei D die Diffusionskonstante ist ([D] = m²/sec)
3.7.
Temperaturfelder
Temperaturunterschied erzeugt Energiefluss jE. ([jE] = W/m²)
r
j E = −λ ⋅ grad (T )
und
r
dE
∫∫ j E o dA = dt
r
r
dE / dt
dT r
und
Punktförmige Wärmequelle: j E =
= −λ
dr r
4πr 2
dE / dt
T = Ta +
4πλr
Flächenwärmequelle, deren Leistung nur nach einer Seite fließen kann:
r
dT
dE / dt
= −λ
j E=
A
dx
dE / dt ⋅ x
=> T = T2 −
λ⋅A
Und
dE / dt ⋅ L
=> T2 = T1 +
λ⋅A
4
3.8.
Schwerefeld/Gravitationsfeld
Beobachtung (Kepler, Cavendish):
F = −γ
m⋅M r
⋅ = m⋅a
r2 r
, mit γ = 6,67·10-11 m³/(kg·sec): Gravitationskonstante
Gleichheit von träger und schwerer Masse!
Quellen des Gravitationsfeldes sind Massen
a = −γ
Ö Feld der Schwerebeschleunigung:
M r
⋅
r2 r
∫∫ a o dA = −4πγM
Ö Gauß´scher Satz:
geschl.Oberfläche
Ö Feld außerhalb der Erde so, als wäre Gesamtmasse im Mittelpunkt der Erde vereinigt
M
m
Ö Erdbeschleunigung g: g = a = γ 2Erde = 9,81 2
rErde
s
a = − grad (ϕ )
Schwerepotenzial ϕ:
γ ⋅M
=> ϕ = −
r
=> Potenzielle Energie eines Körpers im Schwerefeld: E Pot = −γ ⋅
m⋅M
= mϕ
r
Fluchtgeschwindikeit, wenn: Ekin > Epot
3.9.
Das elektrische Feld
F aufgrund eines elektrischen Feldes E
[ E ] = V/m, [ F ] = N = kg · m/s² = J/m = VAs/m
a) Auf jede Ladung q wirkt Kraft
F = q⋅E
[q] = As,
b) Ladungen erzeugen elektrische Felder: Gauß´scher Satz der Elektrodynamik
∫∫ E o dA =
geschlosseneFläche
∫∫
E ⋅ cos α ⋅ dA =
geschlosseneFläche
Q
ε0
Mit Dielektrizitätskonstante ε0 = 8,85 · 10-12 As/(Vm)
Ö elektrische Ladungen verursachen Kraft untereinander
Ö
Ö Es gibt Potenzial ϕ mit E = − gradϕ
Ö
Q
Q
Additionstheorem: ∫∫ E1 o dA = 1 , ∫∫ E 2 o dA = 2
ε0 A
ε0
A
Q Q
=> ∫∫ E o dA = ∫∫ E1 o dA + ∫∫ E 2 o dA = 1 + 2
A
A
A
ε0
5
ε0
Punktförmige oder kugelförmige Ladungsverteilung mit Gesamtladung Q erzeugt im
Außenraum ein elektrisches Feld
F = q⋅E =
q ⋅Q
4πε 0 r
2
⋅
r
r
E
und damit eine Kraft auf die Ladung q:
Coulomb´sches Gesetz
Für unendlich langen, geraden Draht mit Radius r0 und der Ladung Q auf der Länge L gilt
außerhalb des Drahtes:
Q
r
Q
r
⋅ , ϕ = ϕ r0 −
=> E =
⋅ ln
2πε 0 L
r0
2πε 0 r r
Für unendlich ausgedehnte ebene Platte in y-z-Ebene mit Ladungsflächendichte Q/A:
E-Feld in Richtung x-Achse mit:
⎛ Ex ⎞
⎜ ⎟
Q
E = ⎜ 0 ⎟, E x =
2ε 0 A
⎜ 0 ⎟
⎝ ⎠
Plattenkondensator: 2 Platten mit Flächenladungsdichten Q/A und –Q/A:
Im Außenraum ist E = 0
x
x
Q
Q
,ϕ = − ∫ E o dx = − ∫ E x dx = ϕ (0) −
⋅d ,
Zwischen den Platten: E x =
A
ε0 A
ε
0
0
0
Die Spannung U zwischen den Platten ist definiert als der Potenzialunterschied zwischen den
Platten:
U = ϕ (d ) − ϕ (0 ) = −
Q
⋅d ,
ε0 ⋅ A
[U ] = A ⋅ s ⋅V ⋅ 2m ⋅ m = V
A⋅ s ⋅ m
Q ε ⋅A
Kapazität eines Plattenkondensators: C = = 0
U
d
Elektrische Felder im Medium durch Polarisation des Mediums reduziert
=> ersetze in allen Gleichungen ε0 durch ε0ε mit der relativen Dielektrizitätskonstante ε
6
3.9.1 Ladungsbewegung bei Reibung
Stromdichte j = −σ ⋅ gradϕ = σ ⋅ E =
1
ρ
E,
Mit σ: spezifische elektrische Leitfähigkeit
Mit ρ: spezifischer elektrischer Widerstand
Der gesamte fließende Strom ergibt sich zu I = ∫∫ j o dA = j ⋅ A (falls Stromdichte konstant auf
der Fläche A und senkrecht zur Oberflächennormalen:
=> I =
σ ⋅A
⋅ ΔU =
d
ρ⋅A
Mit R =
d
A
ΔU
⋅ ΔU =
ρ ⋅d
R
=> R =
ΔU
I
Ohm´sches Gesetz
elektrischer Widerstand, [R] = V/A = Ω
Beschreibung der Stromdichte:
j = q ⋅ n ⋅ v mit q :Ladung eines Teilchens
n : Teilchendichte
v : mittlere Geschwindigkeit der Teilchen
Im Gleichgewicht stellt sich v gerade so ein, dass sich die beschleunigende Kraft des EFeldes mit der Reibungskraft die Waage hält. Bei Geschwindigkeits-proportionaler Reibung:
σ ⋅E
σ
j
v = μ⋅E =
=
, => μ =
ist Beweglichkeit (Materialkonstante)
q⋅n q⋅n
q⋅n
3.9.2. freie bewegte Ladungen
Energiesatz:
=>
1 2
1
1
mv + ∫∫∫ F o dx = mv 2 + q ⋅ ∫∫∫ E o dx = mv 2 − q ⋅ ϕ ( x) + q ⋅ ϕ (0) = const
2
2
2
ΔEkin = q ⋅ Δϕ = q ⋅ U
Leistung: P = dE kin = dq ⋅ U = I ⋅ U
dt
dt
7
3.10. Das Magnetfeld
Kraft auf bewegte Ladungen: F ⊥ v , F ⊥ B
=> F = q ⋅ v × B
Lorentzkraft
=> Kreisbahn , bzw. Spiralbahn im homogenen Magnetfeld:
Lorentzkraft = Zentripedalkraft:
m⋅v2
= e⋅v⋅ B ,
r
=> r = m ⋅ v ,
e⋅B
oder Zyklotronfrquenz: ω = v = e ⋅ B
r
m
3.10.1 Erzeugung von Magnetfeldern B
Es gibt keine „magnetische Ladungen“ (Monopole)
Also
gilt immer
∫∫ B o dA =0
geschlosseneFläche
Ö immer geschlossene Feldlinien
Wirbelbildung ist einzige Möglichkeit, B -Feld zu erzeugen
B -Feld erzeugt durch Ströme (bewegte Ladungen)
B -Feld ⊥ auf Stromrichtung
B -Feld „zirkuliert“ um I
∫ B o ds = μ0 ⋅ I
geschlosseneBahn
µ0 = 1,26 · 10-6 Vs/(Am) magnetische Induktionskonstante
z.B. Kreisförmiges
B -Feld um unendlich langen, geraden stromdurchflossenen Leiter:
B·2πr = m0·I => B =
µ0 ⋅ I
2πr
Magnetfeld einer Spule der Länge l mit N Windungen:
∫ B o ds = N ⋅ μ0 ⋅ I
=> B =
geschlosseneBahn
µ0 ⋅ N ⋅ I
l
zur Berechnung von magnetischen Feldern bei beliegen Stromverteilungen:
Biot-Savarsches Gesetz: dB =
µ0 ⋅ I
2πr 3
(dl × r )
8
Allgemein: Es gibt genau zwei Möglichkeiten, Felder zu erzeugen:
Q
1. Quellen und Senken
∫∫ E o dA =
geschlosseneFläche
2. zirkulierende Felder
ε0
∫ B o ds = μ0 ⋅ I
geschlosseneBahn
Permanentmagnete : permanente Mikroströme:
- “kreisende Elektronen in Atomen” (mit Drehimpuls ungleich Null)
- Eigendrehimpuls (Spin) der Elektronen
Ferromagnetismus: Materialien, in denen die einzelnen magnetischen Momente der Atome
ausgerichtet werden (solange Temperaturbewegung bei T < TCurie die Ausrichtung nicht
zerstört)
3.10.2 Kräfte auf Stromdurchflossenen Leiter
F = I ⋅l × B
Drehspulmessinstrument und Motor: N Leiterschleifen der Fläche A im Magnetfeld
Drehmoment M = N ⋅ I ⋅ A × B
3.10.3. Faraday-Effekt
In Kondensator gibt es Elektrisches Feld E der Stärke
U
Q
I ⋅t
E= =
=
d C ⋅ d ε0 ⋅ A
Ö um Kondensator gibt´s Magnetfeld
dE
B o ds = μ0 ⋅ I = μo ⋅ ε 0 ⋅ A ⋅
∫
dt
geschlosseneBahn
Ö B=
μo ⋅ ε 0 ⋅ A dE
dt
2πr
dE &
=E
dt
Ö Zeitlich veränderliches E-Feld erzeugt B-Feld
B∝
9
3.10.4. Induktion
E ∝ B&
zeitlich veränderliches B-Feld erzeugt E-Feld
E o ds = U ind = −
∫
geschlosseneBahn
d
(B ⋅ A) = −φ&
dt
Ö Generator: Rotierende Spule im Magnetfeld
φ = N ⋅ A ⋅ B ⋅ cos ωt
=> U ind = − N ⋅ A ⋅ B ⋅ sin ωt
Auch Wirbelstrombremse (Magnet durch Kupferrohr)
3.10.5. Selbstinduktion
Strom I in Spule mit N Windungen und Fläche A:
N ⋅I
φ = A ⋅ B = A ⋅ µ0 ⋅
l
A⋅ N 2 &
&
=> U ind = − Nφ = − µ0 ⋅ µ ⋅
⋅I
l
=> angelegte Spannung U muss gerade die induzierte Spannung kompensieren
A⋅ N 2 &
=> U = −U ind = µ0 ⋅ µ ⋅
⋅ I = L ⋅ I&
l
A⋅ N 2
Mit der Selbstinduktion L = µ0 ⋅ µ ⋅
l
z.B. Ausschalten einer Induktivität:
UL + UR = 0
L ⋅ I& + R ⋅ I = 0
=> I = I 0 ⋅ e
−
L
R
=> U R = R ⋅ I (t )
3.10.6 Elektromagnetische Wellen
B ∝ E&
E ∝ B&
=> E ∝ E&&
=> E&& − ω02 ⋅ E = 0
&& − ω 2 ⋅ B = 0
=> B
0
elektromagnetische Schwingung / elektromagnetische Wellen ausgehend von Antennen
10