wipf`sche formelsammlung
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WIPF‘SCHE FORMELSAMMLUNG Verfasser: Wipf Mario Fachbereich: Maschinen-Ingenieurwesen Fach: Elektrotechnik Umfang: Grundstudium Fassung vom: 04.10.13 Seite 1 Elektrotechnik Seite 2 Fachbereich: Physik/ET Thema: Formelsammlung: M.Wipf F : Kraft [ N ] Kraft zwischen Ladungen q1 ⋅ q2 ⋅ er q : Ladung [ As ] 1 q ⋅q r 1 F= ⋅ 1 22⋅ = ⋅ r : Abs tan d der Ladungen [m] 4 ⋅π ⋅ ε 0 r r 4 ⋅π ⋅ ε 0 r2 F m er : Einheitsvektor in Richtung der Ladungen ε 0 : Dielektrizitätzkons tan te = 8,86 ⋅10 −12 [ ] q = N ⋅e + e,−e : Elementarladung = 1,602 ⋅10 −19 [C ];[ As ] ; [Ws] N : Anzahl Elementarladungen Ladung des Protons: +e Ladung des Elektrons: -e Hinweis: Ordnungszahl Z entspricht der Anzahl vorhandener Protonen in einem Atomkern Hinweis: Obwohl ein Proton ungefähr die 2000fache Masse eines Elektrons besitzt, haben beide exakt die selbe Ladung, allerdings mit entgegengesetzten Vorzeichen Spannung (Energie zur Bewegung von unter Kraftwirung stehenden Ladungen) ΔW = F ⋅ Δx x2 ΔW = ∫ F ( x) dx x1 ϕ1 = 5V ϕ2 = 10V ϕ 3 = 15V + 1Volt = 1 UP1-P2 J Energie = C Ladung - U P1−P 2 = ϕ2 − ϕ1 = +10V U P 2−P1 = ϕ1 − ϕ2 = −10V Merke: Potentialdifferenz und Arbeit haben entgegengesetzte Vorzeichen Hinweis: Spannung ist die Differenz der Potentiale. Sie entsteht durch trennen von Ladungen Strom i= dq dt 1 Ampère = 6,24 ⋅1018 Elektronen Sekunde Merke: klein i kann zeitlich konstanter Storm sein. Gross I hingegen ist zeitlich konstanter Strom (DC)à daher immer klein i verwenden Hinweis: Strom i durch die Fläche A ist gleich der pro Zeiteinheit durch A tretenden Ladungsmenge. (Nur wenn Potentialverteilung vorhanden) 04.10.13 Seite 3 Fachbereich: Physik/ET Thema: Grundlagen Formelsammlung: M.Wipf Quellen und Widerstände bei konstanten Strömen und Spannungen i Ideale Spannungsquelle U u U=konstant Ideale Stromquelle i=konstant i U U i elektrischer Widerstand i U i R2 > R1 U R1 Hinweis: Die Steigung der Geraden gibt den Widerstand an U R = = tan ϕ I R Hinweis: Eine konstante Stromquelle kann z.B. durch einen Regelkreis erzielt werden, in welchem stets die Spannung angepasst wird. ϕ i Bauelemente Uq, iq und R sind Zweipole Merke: Zweipole haben zwei Klemmen Charakteristische Gleichungen des Zweipols: U q :Quellenspannung U = R ⋅i iq : Quellenstrom U q = kons tan t iq = kons tan t Strom-Spannungszusammenhänge aufgrund der Eigenschaften eines elektrischen Feldes 1. Kirchhoff‘scher Satz: (Knotenregel) n Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme eines Knotenpunktes ist gleich Null, wenn ich Knoten keine Ladungen gespeichert werden. Ladungserhaltung ∑ I i = 0 i =1 I4 I3 i1 Iq i3 I1 i2 I2 I 2 + I 3 = I1 + I 4 − I1 + I 2 + I 3 − I 4 = 0 04.10.13 iq − i1 − i2 − i3 = 0 Seite 4 Fachbereich: Physik/ET Thema: Grundlagen Formelsammlung: M.Wipf 2. Kirchhoff‘scher Satz: (Maschenregel) Beim Umlauf einer Masche ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen in einer Masche gleich Null: n ∑U i =1 i =0 U1 Uq U2 U q − U1 − U 2 − U 3 = 0 U3 Reale Quellen Definition: Quellen sind im Allgemeinen komplizierte Leistung abgebende Zweipole, die verlustbehaftet sind. è Modellierung mit realen Quellen d.h., das u bzw. i lastabhängig werden Reale Spannungsquelle: Ri U Uq Innenwiederstand Ideale Spannungsquelle Grenzfall: U = U q − Ri ⋅ i U Leerlaufspannung Uq i Kurzschluss Reale Stromquelle: i = iq − iq = 04.10.13 Uq U Ri i Ri iq U Innenwiederstand Ideale Stromquelle Ri Seite 5 Fachbereich: Physik/ET Thema: Grundlagen Spannungsteiler Widerstandsschaltung beim Ampère-Meter Ri i1 i R1 R2 R3 i1 R1 + R2 + R3 + ... + Rn = i2 Ri Rn Formelsammlung: M.Wipf i1 : imax für Messwerk [ A] i1...in :Teilströme [ A] im1 : Messbereichsstrom[ A] n : Anz.Widerständ e bzw. Messbereiche i2 i1...in = imn −i1 i1 Ri Rn i R1 R3 R2 i1 R1 = in Ri + R2 + R3 + ... + Rn in Merke: Der Abgriff kann zwischen jedem Widerstand erfolgen à es sind n Gleichungssysteme für n zu bestimmende Widerstände aufzustellen. Merke: Die untere Situation erlaubt einen hohen Ampère-Messwert. 04.10.13 Seite 6 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse Brückenschaltung Berechnung durch Gleichungssysteme i Charakteristische Gleichungen R1 U1 U2 R2 U1 = R1 ⋅ i1 R5 Rtotal=? ↓ U5 U n = Rn ⋅ in R3 U R U3 4 4 U = R ⋅i Formelsammlung: M.Wipf ∑i ∑U Knoten Maschen =0 i = i1 + i2 U = U1 + U 3 i1 + i5 − i3 = 0 U1 − U 2 − U 5 = 0 ↓ ↓ tot Sonderfälle: R5 = 0 R5 → ∞ ; U 5 = 0 Brückenschaltung Stern-Dreieck-Stern-Umwandlung R1 Rtotal=? 1 R12 R2 R13 R3 2 R5 R23 2 Rtotal=? 1 R4 R3 R4 Dreieck à Stern Transformation R12 = R1 ⋅ R2 R1 + R2 + R3 R23 = R2 ⋅ R3 R1 + R2 + R3 R13 = R1 ⋅ R3 R1 + R2 + R3 Stern àDreieck Transformation R1 = R13 R23 + R23 R12 + R13 R12 R23 R2 = R13 R23 + R23 R12 + R13 R12 R13 R3 = R13 R23 + R23 R12 + R13 R12 R12 Achtung: Spannungen und Ströme dürfen nicht in die umgewandelte Situation übernommen werden Lediglich die Spannung zwischen den Knoten 1 und 2 bleibt gleich 04.10.13 Seite 7 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse Spezifischer Widerstand und Leitwert eines Leiters Rspez G= l = ρ⋅ A γ ⋅A l l: Leiterlänge [m] A: Querschnitt [mm2] l 1 = = γ ⋅A G = Formelsammlung: M.Wipf G: Leitwert [S] R: Widerstand [Ohm] γ : Leitfähigkeit [S m/mm2] ρ : spez. Widerstand [Ohm mm2/m] A 1 = ρ ⋅l R Temperatureinfluss auf den Widerstand R1 ' = R1 ⋅ (1 + α ⋅ Δϑ) α Cu = 3,93 ⋅10 −3 α Al = 3,77 ⋅10 −3 α Fe = 6,57 ⋅10 −3 1 °C 1 °C 1 °C R1: Widerstand vor Erwärmung R1‘: Widerstand nach Erwärmung α : Temp.Koeffizient [1/°C];[1/K] Elektrische Leistung P =U ⋅ I = I 2 ⋅ R = P : Leistung [W ] U2 R Energieumwandlungen Wel = Wth 1J = 1Ws = 1Nm = 1kg ⋅ m2 ⋅ s −2 U ⋅ I ⋅ t = c ⋅ m ⋅ Δϑ 04.10.13 Seite 8 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse Formelsammlung: M.Wipf Graphentheorie 1.Reale Schaltung: Reale Bauelemente i1 2.Lineare Ersatzschaltung R1 UR1 iq R2 Uq i3 R3 3. Graph der Schaltung Strompfeile 4 Gerichteter Graph iq 1 2 3 I(uq) 4. Knoten und Maschengleichungen Elemente des Graphen Zweig Zweig: Verbindungslinie zwischen zwei Punkten Knoten: Verbindungspunkt von mindestens zwei Zweigen Kreis: Geschlossene Kette von Zweigen ohne Überschneidung Baum: Teil eines Graphen, der alle Knoten, aber keine Kreise enthält Ast: Zweig eines Baumes Sehne: Zweig, der nicht zum Baum gehört Basiskreis: Kreis, der nur eine Sehne enthält (siehe nächste Seite) è Für jeden Graphen lassen sich verschiedene Bäume bestimmen, Kreis Baum (best.aus Ästen) Sehnen die Zahl der Äste ist konstant oder Knoten oder Basiskreise gibt es soviele, wie es Sehnen gibt 04.10.13 Seite 9 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (intuitive Methoden) Sätze der Graphentheorie 1. Die verschiedenen Bäume eines zusammenhängenden Graphen mit k Punkten enthalten: Alpha= Anzahl Äste α = k −1 Formelsammlung: M.Wipf α : Anz. Äste β : Anz. Sehnen Anz.Basiskreise k : Anz. Knoten 2. Ein zusammenhängender Graph mit k Punkten und n Zweigen enthält: Beta = Anzahl Sehnen β = n −α = n − k +1 3. Jeder Basiskreis enthält jeweils eine andere Sehne, jeder zusammenhängende Graph enthält: Beta=Anzahl Basiskreise 4. Die Basiskreisgleichungen sind ein System von Beta linear unabhängigen Gleichungen Konzept: Zur Lösung eines Gl.Systems mit n Unbekannten sind n linear unabhängige Gleichungen notwendig. Wir suchen n unbekannte Zweigströme è Beta Basiskreisgleichungen und ergänzen das Gl.System mit alpha beliebig gewählten Knotengleichungen 04.10.13 Seite 10 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (intuitive Methoden) Formelsammlung: M.Wipf Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle iq = Ri Uq i Ri Ri U iq Uq U Uq = Ri ⋅ iq Parallelschaltung von Spannungsquellen Ri1 Ri1 Ri2 ... Uq1 Ri2 Rin iq1 Uq2 iq2 Rin ... iqn Uqn Iqers Ri1 iq1 iq2 Ri ers Rin Ri2 ... iqn ... Iq ers Uq ers Spannungsquellen-Ersatzschaltung (Iq überführen in Uq) I= U q ers U= Ri ers + Ra ers Ra ers Ri ers + Ra ers ⋅ U q ers U q ers = U l Stromquellen-Ersatzschaltung (Uq überführen in Iq) I= Ri ers Ri ers + Ra ers 04.10.13 ⋅ I q ers Ri ers U= Ri ers ⋅ Ra ers Ri ers + Ra ers ⋅ I q ers I q ers = I k U q ers : Ersatzquellspannung I q ers : Ersatz − Quellstrom Ri ers : Ersatz − Innenwiders tan d Ra ers : Ersatz − Aussenwiders tan d Ul : Leerlaufspannung Ik : Kurzschlusstrom Seite 11 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (intuitive Methoden) Stromquellen-Ersatzschaltung Formelsammlung: M.Wipf i=? 40 1.Grundschaltung 2A 2. Trennstelle suchen (aktiv/passiv Zweipol) 10 i2 i 4. Kurzschlussstrom an den Klemmen bestimmen 50 ik i1 ik Aufgrund der ermittelten Werte Ri und ik kann nun folgende reale Ersatzstromquelle skizziert werden, die natürlich auch in eine äquivalente reale Spannungsquelle überführ werden kann Rers oder Ri Rers = Ri = (10 + 40) || 50 40 10 Die Klemmen werden als überbrückt (kurzgeschlossen) betrachtet 50 Ri i = i1 + i2 1 i1 40 ik = i2 = i = 0.4 A = 5 i2 10 Verbraucher „anschliessen“ Die Stromquelle(n) wird als ausgeschaltet betrachtet, der Strom im entsprechenden Pfad ist =0 04.10.13 25 40 3. Innenwiderstand Ri des aktiven Zweipols bestimmen 5. Ersatzstromquelle erstellen 50 10 25 Seite 12 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (intuitive Methoden) Formelsammlung: M.Wipf Zweipoltheorie Konzept: 1. Aufteilung des Netzwerkes in einen aktiven und einen passiven Zweipol Die Trennung in einen aktiven und einen passiven Zweipol muss so erfolgen, dass die gesuchte Spannung bzw. der gesuchte Strom an den offenen Klemmen liegt 2. Berechnung der Ersatzschaltung des aktiven Zweipols Ersatzspannungsquelle Uq ers=Ul und Ri ers oder mit der Ersatzstromquelle Iq ers=Ik und Ri ers 3. Berechnung der Ersatzschaltung des passiven Zweipols Ersatz-Aussenwiederstand Ra ers 4. Ermittlung des gesuchten Stroms oder der gesuchten Spannung mit Hilfe der Ersatzschaltung (Grundstromkreis) Zweigstromanalyse (Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoff‘schen Sätze) Ausgangslage: Netzwerk mit n Zweigen und k Knoten Grobkonzept: n-k+1 Basisgleichungen und k-1 Knotengleichungen sind aufzustellen 1. Kennzeichnung der Richtung der Zweigströme Ist die Stromrichtung nicht vorauszusagen, ist sie beliebig anzunehmen 2. Aufstellen der k-1 Knotenpunktgleichungen I2 Es sind k-1 linear unabhängige Knotenpunktgleichungen aufzustellen. Stromquellen sind als Ein und Ausfliessender Strom in jeweils zwei Knoten berücksichtigt. Sie sind also keine Zweige, denn R= unendlich 3. Willkürliche Festlegung der Maschen-Umlaufrichtungen und Aufstellen der unabhängigen Maschengleichungen I1 I2 I1 Iq Iq Iq I4 I3 I4 I3 Iq=I1+I2 I3=Iq+I4 Es sind z Maschengleichungen aufzustellen mit z unbekannten Zweigströmen. (Methode mit trennen der bereits durchlaufenen Zweige) 4. Auflösen des Gleichungssystems nach den gesuchten Strömen und Spannungen Bei grösseren Netzwerken anerbietet es sich den Gauss‘schen Algorithmus zu verwenden. 04.10.13 Seite 13 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (systematische Methoden) Formelsammlung: M.Wipf Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz) Definition: In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den Ursachen abhängen, lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von nur einer Ursache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller Ursachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen. Konzept: 1. Kennzeichnung der Richtung der Zweitgströme 2. Nullsetzen und Kurzschliessen aller Quellspannungen und Quellströme, bis auf eine Quellspannung oder einen Quellstrom 3. Berechnen des von der einen Quelle verursachten Teilstroms in dem Zweig, in dem der Zweigstrom ermittelt werden soll 4. Wieder alle Quellen kurzschliessen und mit der nächsten Quelle den verursachten Teilstrom des zu bestimmenden Zweigstroms bestimmen à mit allen Quellen... 5. Aufsummieren der Teilströme unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Teilströme R2 Uq1 R4 Uq2 R5 R1 R3 I5 R2 R2 R4 Uq1 R5 R1 R4 Uq2 I3 uq2 R1 R3 R5 R3 I5 uq2 I5 uq1 I1 uq1 I 5Uq1 I1Uq1 U q1 R3 = ; I1Uq1 = R3 + R4 + R5 Rg 1 ⇒ I 5Uq1 = ... I 5Uq 2 I 3Uq 2 = R1 + R2 ; R1 + R2 + R4 + R5 I 3Uq 2 = U q2 Rg 2 ⇒ I 5Uq 2 = ... I 5 = I 5Uq1 − I 5Uq 2 04.10.13 Seite 14 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (systematische Methoden) Formelsammlung: M.Wipf Maschenstromverfahren Konzept: Reale Stromquellen sind in äquivalente reale Spannungsquellen überzuführen Bei idealen Stromquellen, kann ein zur Stromquelle parallel geschalteter Widerstand angenommen werden, der dann im Endergebnis unendlich gesetzt wird. iq Ri Ri Uq=iq*Ri In einem Netzwerk mit n Zweigen und k Knoten sind n-k+1 Maschen zu bestimmen Jeder linear unabhängigen Masche wird ein geschlossener Maschenstrom zugeordnet. Zur Bestimmung der Zweigströme werden bei überlagerten Maschenströmen diese vorzeichenbehaftet aufsummiert Es muss eine Matrix aufgestellt werden, mit (n-k+1)Zeilen und (n-k+1) Spalten (Siehe ganz unten) ⎡ U 0i ⎤ ⎡ R11 R12 … R1m ⎤ ⎡ I M 1 ⎤ ⎢∑ ⎥ M1 ⎢R ⎥ ⎢I ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎥⋅⎢ M2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Rm1 … … Rmm ⎦ ⎣ I Mm ⎦ ⎢⎢∑ U 0i ⎥⎥ ⎣ Mm ⎦ Rii: Summe aller Widerstände in Masche i Rij: Summe der gemeinsamen Widerstände von Masche i und Masche j dabei gilt: I M i ↑ ↑ I M j : Vorzeichen positiv I M i ↑ ↓ I M j : Vorzeichen negativ ∑U 0i : Summe der Quellspann ungen in Masche m Mm U 0 i ↑ ↑ I M i : Vorzeichen negativ (!) U 0 i ↑ ↓ I M i : Vorzeichen positiv (!) Interpretation der Matrix: In den Diagonalelementen steht die Summe der Widerstände, der zu diesem Index gehörenden Masche An den anderen Positionen (neben den Diagonalen) steht die Summe der Widerstände, die sich zwei Maschen teilen M1 M1 M2 Mm 04.10.13 M2 … Mm ⎡ R11 R12 … R1m ⎤ ⎢R ⎥ 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ R … … R mm ⎦ ⎣ m1 R12: Summe der gemeinsamen Widerstände von M1 und M2 !!!Symmetrisch zur Matrix-Diagonale!!! Seite 15 Fachbereich: Physik/ET Thema: Netzwerk-Analyse (systematische Methoden) Formelsammlung: M.Wipf Knotenpunktpotentialverfahren Konzept: Reale Spannungsquellen sind in äquivalente reale Stromquellen überzuführen Ri Uq=iq*Ri . Ri iq Bezeichnung aller Knotenpotentiale und Auswahl des Bezugspotentials merke ist eine Stromquelle in Serie zu einem Widersand, so ist dazwischen ein Knotenpunkt zu wählen Muss nun ein Strom berechnet werden so kann die Spannungsdifferenz der angrenzenden Knotenpotentiale gebildet werden, diese wiederum entspricht dem Spannungsabfall über dem Widerstand, an dem der Strom gesucht ist !!!Knotenspannungspfeile sind stets zum Nullpunkt hin zu zeichnen!!! ⎡ I qi ⎤ − G12 … − G1m ⎤ ⎡U A 0 ⎤ ⎢∑ ⎡G11 ⎥ K1 ⎢− G ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⋅ ⎢U B 0 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ … − Gmm ⎦ ⎣U m 0 ⎦ ⎢∑ I qi ⎥ ⎣− Gm1 … ⎢⎣ Km ⎥⎦ B A C UB0 UA0 UC0 Gii: Summe aller Leitwerte, die auf den Knoten zulaufen Gij: Summe aller Leitwerte im Zweig zwischen Knoten i und J mit negativem Vorzeichen ∑ I : Summe aller Quellströme, die in den Knoten fliessen qi Km Iq Iq positiv negativ iq Leitwert und Quelle sind relevant für Knoten Ri Interpretation der Matrix: Auf der Hauptdiagonalen stehen jeweils die Summen der, an den entsprechenden Knoten angrenzenden Leitwerte Auf den anderen Positionen (neben den Hauptdiagonalen) stehen jeweils die negativen Leitwerte, die sich zwischen den entsprechenden Knoten befinden bzw. die Summe der zw. zwei Knoten stehenden Leitwerte, falls diese parallel geschaltet sind A B … X − G12 … − G1m ⎤ A ⎡G11 ⎥ B ⎢⎢− G21 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ … Gmm ⎦ X ⎣− Gm1 … R12: Summe der gemeinsamen,parallelen Leitwerte zwischen A und B !!! Symmetrisch zur Matrix-Diagonale und negativ !!! Ideale Spannungsquelle kann nicht in eine Stromquelle überführt werden Kann eine ideale Spannungsquelle nicht in eine Stromquelle gewandelt werden, so muss eine Ast der Knotenspannungspotentiale so gewählt werden, dass diese Spannungsquelle auf einem solchen zu liegen kommt und somit als gegebene Grösse betrachtet werden kann. 04.10.13 Seite 16 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf S : Stromdichtevektor Elektrisches Strömungsfeld n : Anz. freie e +/ − pro Volumeneinheit A dQ S= = n ⋅ e +/ − ⋅ v dt e+ Elektrischer Strom i = ∫ S dA A : durchflossene Fläche S : Stromdicht evektor A A S ( A) v Wenn S homogen und dA orthogonal zu S: i =S ⋅ A Satz von Coulomb z Q1 ⋅ Q2 r12 F= ⋅ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ ε r12 2 r12 1 Q1 ⋅ Q2 ⋅ er12 =k⋅ 2 r12 x Q1 y Q2 F : Kraft [ N ] q : Ladung [ As ] r : Abs tan d der Ladungen [m] 10 −9 F = 8,86 ⋅10 −12 [ ] 36π m er : Einheitsvektor in Richtung der Ladungen Nm 2 k : Kons tan te 8,988 ⋅109 2 C ε = ε 0 (imVaku.) := Für Kräfte zwischen Ladungen gilt das Superpositionsprinzip F (Q1) = n Q Q1 ⋅ ∑ k 2 ⋅ e1k 4 ⋅ π ⋅ ε 0 k =1 r1k F (Q1 ) : Kraft auf Q1 2 r : qadrierter Betrag von r Q1 ⋅ Q3 Q1 ⋅ Qn Q1 ⋅ Q2 2 ⋅ e12 + 2 ⋅ e13 + ... + 2 ⋅ e1n 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r12 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r13 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ r1n Elektrisches Feld aus Coulomb z E F (Q1) = F E= Q1 = 2 ⋅ e21 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ r21 Q2 Probeladung Q1 x Q2 y Definition: Richtung und Betrag des E-Feldes ist gleich Richtung und Betrag der Kraft auf die Probeladung dividiert durch die betragliche Grösse der Probeladung: 04.10.13 Seite 17 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Kraft auf Ladung im Raum Es seien gegeben drei Ladungen von 20 mCb an dem Punkten: Q1 : (4 / 0 / 0); Q2 : (0 / 4 / 0); Q3 : (0 / − 4 / 0) Gesucht sei die hieraus entstehende resultierende Kraft auf Q4 (100 mCb) : Q4 : (0 / 0 / 3) Formelsammlung: M.Wipf F : Kraft [ N ] Q : Ladung [ As ] r : Abs tan d der Ladungen [m] 10 −9 F ε = ε 0 (imVaku.) := = 8,86 ⋅10 −12 [ ] 36π m 1. Es sollen die Richtungsvektoren zwischen Q1,Q4 und Q2, Q4 und Q3, Q4 gebildet werden: Q3 ⎛ 4⎞ ⎛0⎞ ⎛ − 4⎞ ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r14 = Q1Q 4 = −Q1 + Q4 = −⎜ 0 ⎟ + ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ = ⎜ y ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ rn 4 = QnQ 4 = −Qn + Q4 = ... Q4 2. Von jedem Vektor muss zusätzlich noch der Betrag bestimmt werden: x z Q2 y Q1 rn 4 = x 2 + y 2 + z 2 3. Gemäss Satz von Coulomb könnten nun die Einzelkräfte auf Q4 bestimmt werden. Da diese aufgrund des Superpositionssatzes aufsummiert werden, lässt sich dieser Schritt durch geschicktes Ausklammern vereinfachen: F (Q1) = F (Q 4) = n Q Q1 ⋅ ∑ k 2 ⋅ e1k 4 ⋅ π ⋅ ε 0 k =1 r1k ⎛ Q Q ⎞ Q4 Q ⋅ ⎜ 13 ⋅ r14 + 2 3 ⋅ r24 + 33 ⋅ r34 ⎟ ⎟ 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⎜⎝ r14 r24 r34 ⎠ Merke: Q ... + 2 3 ⋅ r24 + ... !!!Achtung !!! r24 Q ⋅ Q ⋅ er Die Grundformel gemäss Coulomb lautet: F = k ⋅ 1 2 2 12 Da jetzt aber r3 bzw. |rn4|3 im Formelausdruck r12 verwendet worden ist, muss nicht mehr der Einheitsvektor verwendet werden, sonder es kann direkt der entsprechende nicht normierte Richtungsvektor verrechnet werden. Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter von unbestimmter Länge ⎛i ⎞ ⎛ B ⎞ ⎜ x⎟ ⎜ x⎟ F = i × B = ⎜ i y ⎟ × ⎜ By ⎟ ⎜i ⎟ ⎜ B ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ z⎠ 04.10.13 i : Richtungsbehafteter Strom [ A] B : Magnetfeld [T ] N F : Kraftwirkung auf Leiter [ ] m Seite 18 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Elektrischer Strom berechnen aus Stromdichteverteilung und Fläche Es sei gegeben eine Stromdichteverteilung im Raum und eine begrenzende Fläche innerhalb welcher der Strom berechnet werden soll. A A S Idee: Bei der Stromdichteverteilung handelt es sich im Grunde genommen um nichts Anderes, als um ein Vektorfeld. Daher wird das Problem umformuliert in eine mathematisches Modell Mit dem Oberflächenintegral kann ein Fluss durch eine parametrisierte Fläche berechnet werden: K ∫ (r (u, v)) n (u, v) du dv v2 u 2 ∫ v1 u1 Konzept: 1. Es soll die Fläche A (in welcher der Strom zu ermitteln ist) durch Parameterdarstellung formuliert werden. Hier ist zu beachten, dass der Laufbereich der Parameter klar definiert ist, denn dieser ist für die Flächenbegrenzung verantwortlich. 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ r ( s, t ) = A + s ⋅ AB + t ⋅ CD = ⎜ − π + s ⋅ π ⎟ 4 2 ⎜ 0.1 − 0.2t ⎟ ⎝ ⎠ 2. Nun soll das Vektorfeld, dass meist wie unten dargestellt gegeben ist in eine mathematisch ersichtlichere Schreibweise übernommen werden: S = 100 ⋅ cos(2 y )⋅ ex 3. ⎧0 ≤ s ≤ 1 wobei : ⎨ ⎩0 ≤ t ≤ 1 ⇒ ⎛ 1 ⎞ ⎛100 ⋅ cos(2 y )⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ S = 100 ⋅ cos(2 y )⋅ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Die einzelnen Komponenten der parametrisierten Fläche müssen nun in den Term des Vektorfeldes eingefügt werden: ( (− π 4 + s ⋅ π 2 ))⎞⎟ ⎛100 ⋅ cos(2 y )⎞ ⎛⎜100 ⋅ cos 2 ⋅ ⎜ ⎟ S =⎜ 0 ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4. Es muss zusätzlich der Normalenvektor gemäss untenstehendem Vorschrift formuliert werden: ⎛π ⎞ Achtung: Es muss die Ortskurve ∂r ( s, t ) ∂r ( s, t ) ⎜ 10 ⎟ abgeleitet werden und nicht das n= × =⎜ 0 ⎟ ∂s ∂t ⎜ ⎟ Vektorfeld !!! (Normalenvektor entsteht ⎜ 0 ⎟ aus Kreuzprodukt der Tangentenvektoren) ⎝ ⎠ 5. Zuletzt müssen nun nur noch die einzelnen Teilergebnisse in die Grundformel des Oberflächenintegrals eingetragen werden: i=∫ 0 04.10.13 ( (− π 4 + s ⋅ π 2 ))⎞⎟ ⎛100 ⋅ cos 2 ⋅ 1 1⎜ ∫0 K (r (u, v)) n(u, v) ds dt = ∫0 ∫0 ⎜⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 0 ⎛π ⎞ ⎜ 10 ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ds dt = 20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ Seite 19 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf ϕ : Elektrisches Potential Elektrisches Potential / Spannung P2 1 ϕ = ∫ E ds = ⋅ ∫ F ds Q P1 ϕ2 ϕ1 F2 - F1 U = ∫ E ds P2 P1 U : Elektrische Spannung Δϕ ΔW = ∫ F ds P1 0 + P1 U = Δϕ = ϕ 2 − ϕ1 = ∫ E ds − ∫ E ds P2 0 0 Ohm‘sches Gesetz in Elementarform E = ρ⋅S E S Elektrischer Widerstand (gerader Leiter) U ∫ E ds R= = i ∫ S dA U ∫ E ds E ⋅l ρ ⋅l R= = = = i ∫ S dA S⋅A A E , S = konst A l Homogener Fall: Langer, gerader Leiter mit konstantem Querschnitt und gleich bleibendem Rho ρ :Spezifischer Widerstand [Ohm / m] E = ρ ⋅S Elektrischer Widerstand (zylindrisches Rohr) Widerstand eines infinitesimal dünnen Rohres mit der Wandstärke dr: dR = l ρ ⋅ dr ρ ⋅ dr = A 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l r2 r1 Gesamtwiderstand (Summe aller Rohre): r2 R = ∫ dR = r1 ρ ⋅ r2 1 ρ⋅ r ⋅ ∫ dr = ⋅ ln 2 2 ⋅ π ⋅ l r1 r 2 ⋅π ⋅ l r1 l Elektrischer Widerstand (dünnwandige Metallhohlkugeln) Widerstand einer infinitesimal dünnen Kugel: dR = ρ ⋅ dr A = r2 r1 ρ ⋅ dr 4 ⋅π ⋅ r 2 Aufsummieren aller in Reihe liegenden Widerstände: ρ ⋅ r2 1 R = ∫ dR = dr 4 ⋅ π ⋅ r∫1 r 2 r1 r2 04.10.13 R= ρ⋅ ⎛1 1 ⎞ ⎜ − ⎟ 4 ⋅ π ⋅ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ Seite 20 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Elektrische Flussdichte (Materialunabhängige Grösse für die Wirkung einer Ladung) 10 −9 F [ ] 36 π m ε r : Relative Dielektrizitätskonstante D : D ↑↑ E Kraftfeld D = ε0 ⋅εr ⋅ E ε 0 : Naturkonstante Zusammenhang D-Feld und verursachender Ladung E-Feld verursacht durch Punktladung E= E Q ⋅ ⋅ er 4πε 0ε r r 2 Durch Hüllfläche A tretendes E-Feld ∫ E dA 1 A + Für konzentrische Kugel gilt: dA ⊥ E E = konst. 1 Q ∫ E dA = 4πε 0ε r ⋅ r 2 ⋅ ∫ er dA ∫ dA = 4π r ∫ E dA = ε 2 (Kugeloberfläche) Q 1 Q = ⋅ ∫ D dA = ε 0ε r ε 0ε r 0 ⋅εr E= D ∫ dA = Q ⇒ Gilt für alle Hüllflächen und Ladungsverteilungen D ε0 ⋅εr Berechnung von D (Bsp. Koaxialkabel) Qeingeschlossen = ∫ D dA A E , D : konst. auf konzentrischen Zylindern und E , D ⊥ dA E , D ↑↑ dA ( Deckel und Boden) Hüllfläche geschlossen: ∫ D dA = D ⋅ ∫ dA Mantel: D =konstant auf konzentrischen Zylindern D ⊥ dA Deckel, Boden: ∫ D dA = 0 D ↑↑ dA ∫ D dA = ∫ D dA + ∫ D dA + ∫ D dA Mantel Deckel D ⋅ AMantel Mantelfläche: 0 Boden 0 AMantel = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h ∫ D dA = D ⋅ A Mantel Mantel 04.10.13 = D ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h = Qeingeschlossen D= Q ⋅ er ( zwischen 0 und h) 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h Seite 21 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Berechnung von C (Plattenkondensator) Q ∫ D dA C= = U ∫ E ds Q ∫ E ds = E ⋅ d ∫ D dA = D ⋅ A Platte E ↑↑ ds D E= = konst. ε0 ⋅εr D=konst. und homogen Q ∫ D dA D ⋅ APlatte ε 0 ⋅ ε r ⋅ E ⋅ APlatte ⇒ C= = = = ⇒ U ∫ E ds E ⋅d E ⋅d ⇒ C= -Q ε 0 ⋅ ε r ⋅ APlatte d Berechnung von C (Koaxialkabel) Konzept: Um C zu berechnen , sollte im Allgemeinen von der Definition ausgegangen werden, die da lautet: C *U=Q Isolation ε r Betrachten dünnen, konzentrischen Zylinder als kapazitives Element: 2 ⋅π ⋅ r ⋅ h dc = ε r ⋅ ε 0 ⋅ dr -Auf konzentrischem Zylinder sind E und D konstant -konzentrische Flächen sind Äquipotentialflächen -Gesamtkapazität ist eine Serieschaltung von den konzentrischen Zylindern r2 1 1 =∑ Ctot dC = → r2 1 dr 1 1 =∫ = ⋅ ∫ dr Ctot r1 ε 0ε r ⋅ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h ε 0ε r ⋅ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ h r1 r 1 ⋅ (ln(r2 ) − ln(r1 ) ) ⇒ ε 0ε r ⋅ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ h Ctot = Berechnung von C Zweidrahtleitung Q C= auf konzentrischem Zylinder U Q = ∫ D dA = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ E ⇒E = r2 U1 = ∫ E ds = ∫ E dr = r1 U 2 = ∫ − E dr = − r1 r2 U tot = U1 + U 2 = C= r ε 0ε r ⋅ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ h ⎛r ⎞ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ r1 ⎠ +Q -Q r1 r2 Q 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l ⋅ ε 0 ⋅ ε r 2 Q 1 Q r ⋅ ∫ dr = ⋅ ln 2 2 ⋅ π ⋅ l ⋅ ε 0 ⋅ ε r r1 r 2 ⋅π ⋅ l ⋅ ε 0 ⋅ ε r r1 z a x −Q r ⋅ ln 2 2 ⋅π ⋅ l ⋅ ε 0 ⋅ ε r r1 Q r ⋅ ln 2 π ⋅l ⋅ε0 ⋅εr r1 Q π ⋅l ⋅ε0 ⋅εr = r U tot ln 2 r1 04.10.13 Seite 22 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Berechnung von C (Kugelkondensator) r2 Q E= 4 ⋅π ⋅ε ⋅ r 2 r2 U = ∫ E dr = r1 C= r1 r2 Q Q 1 Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ dr = ⋅ = 2 ∫r1 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ r 2 ∫ 4 ⋅ π ⋅ ε r1 r 4 ⋅ π ⋅ ε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ r2 Q -Q Q rr = 4 ⋅π ⋅ε 1 2 U r2 − r1 Berechnung von C (Zylinderkondensator) E= Q 2 ⋅π ⋅ε ⋅ r ⋅ l r2 r2 r1 r1 U = ∫ E dr = r2 Q Q r2 ∫ 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ r ⋅ l = 2 ⋅ π ⋅ ε ⋅ l ln r r1 1 +Q l -Q Q 2 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ε r ⋅ l C= = r U ln 2 r1 Parallelschaltungen von Kondensatoren n C Ersatz = ∑ Ck U k =1 Serieschaltungen von Kondensatoren 1 CErsatz 04.10.13 n 1 k =1 Ck =∑ U Seite 23 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Teilspannungen am Plattenkondensator (an Spannung) U1 = ? (Spannung in Isolierplatte) d1 U = U1 + U 2 = E1d1 + E2 (d − d1 ) d U 2 = ? (Spannung in Luft) U Flussdichte D ist in Luft und Isolierplatte gleich gross: D = ε 0ε r E1 = ε 0 E2 εr wobei ε r Luft = 1 ⇒ E2 = E1ε r Einsetzen in der ganz zu Beginn aufgestellten Beziehung: U = U1 + U 2 = E1d1 + E1ε r (d − d1 ) Es ergibt sich die in der Isolierplatte vorhandene Feldstärke als: E1 = U d1 + ε r (d − d1 ) Hieraus errechnet sich wiederum U1 gemäss der obersten Beziehung: U d1 d1 + ε r (d − d1 ) U1 = E1d1 = Teilspannungen am Plattenkondensator (mit Ladung) Ψ =Q Ψ A D= ⇒D= Q A Der El.Fluss Y ist gleich der Ladung Q. Daher ist die Flussdichte D in beiden Dielektrika gleich gross Daraus ergeben sich folgende Feldstärken: E2 = ε 0ε r 1 = D2 ε 0ε r 2 = Q U1 ε 0ε r 1 A U2 Q ε 0ε r 2 A Die Spannungen, mit welchen die Isolierplatten beansprucht werden lauten demnach: U1 = E1d1 = ε 0ε r 1 U 2 = E2 d 2 = 04.10.13 D1 D2 ε r1; D1; E1 d2 D1 Q d1 Q D1 = D2 = A E1 = A : Fläche[m 2 ] d : Dicke [m] Q : Ladung[ As ];[C ] d1 = ε 0ε r 2 Q ε 0ε r 1 A d2 = -Q ε r 2 ; D2 ; E2 d1 Q ε 0ε r 2 A d2 Seite 24 Fachbereich: Physik/ET Lorentzgleichung Thema: FL = q ⋅ E + q ⋅ v × B ( ) Magnetismus Formelsammlung: M.Wipf wenn : v ↑↑ B ⇒ F = 0 Im B-Feld bewegter Leiter (Generator) v Kraft F wirkt in Folge bewegter Ladung im B-Feld Fmagn = q ⋅ v × B ( ) Der Einfluss der Kraft F bewirkt eine Ladungstrennung im Leiter bis sich ein stationärer Zustand (Kräftegleichgewicht) einstellt Fmagn B Fmagn -- -- + +++ Fel Fmagn = Fel q ⋅ v × B = −q ⋅ E v × B = −E ( ) Als Wirkung von B auftretende elektrische Feldstärke E ist: E = v×B Spannung entlang dem Leiter: U = ∫ E ds = ∫ v × B ds Für ein homogenes B-Feld ergibt sich hieraus:: U = B ⋅v ⋅l (B ⊥ v ) Durchflutungssatz (Zusammenhang i à B) 1 ∫µ 0 ⋅ 1 B ds = ∫ S dA µr H d s = S ∫ ∫ dA A B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H d dΦ i = ∫ S dA ←→ ∫ S dA = ∫ Hds ←→ µ0 ⋅ µ r ⋅ H = B ←→ ∫ B dA = 0 ←→ ∫ B dA = =U dt dt i = ∫ S dA ←→ ρ ⋅ S = E ←→ ∫ E ds = U 04.10.13 Seite 25 Fachbereich: Physik/ET Thema: Magnetismus Formelsammlung: M.Wipf H-Feld erzeugt durch dünnen stromdurchflossenen Leiter r: Abstand von Leiter [m] i: elektrischer Strom [A] i H (r ) = i H: magn.Feldstärke [A/m] da Θ = i 2 ⋅π ⋅ r α r H (r ) α Merke: Mehrere H-Felder können durch superponiert werden (allerdings ist dabei zwingend die Richtung der Jeweiligen H-Felder z.B. durch das Vorzeichen zu berücksichtigen) Merke: Der H-Feldvektor steht tangential zu zum Leiter konzentrischen Kreisen, ausgehend von dem Punkt, an welchem das H-Feld von Interesse ist (2D-Skizze) H-Feld im stromdurchflossenen Leiter H (r ) = S⋅A 1 i = ⋅ ⋅ A(r ) l 2 ⋅ π ⋅ r A0 r: Abstand von Leiterzentrum [m] i: elektrischer Strom [A] r0 r0: Leiterradius [m] i H: magn.Feldstärke [A/m] Wenn Stromdichteverteilung homogen H(r) r2 1 i⋅r H (r ) = i ⋅ 2 ⋅ = 2 r0 2 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ π ⋅ r0 r H (r ) Wenn Leiter Zylinder ist: r2 r1 H (r ) = Θ 2 ⋅π ⋅ r = 2 r − r1 2 ⋅ π ⋅ r r2 2 − r12 i ⋅ 2 H ~r H~ 1 r r0 r r1: Innenradius [m] r2: Aussenradius [m] r: Laufvariable [m] i: elektrischer Strom [A] H: magn.Feldstärke [A/m] 04.10.13 Seite 26 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Berechnung einer Induktivität 1. Der Grundsatz für die Berechnung einer Induktivität wird aus der unten stehenden Beziehung hergeleitet ψ = L ⋅i L= ψ i 2. Da der Strom als eine gegebene Grösse angesehen werden kann, muss der Ansatz beim Spulenfluss liegen: ψ = n⋅Φ 3. Aufgrund der obenstehenden Beziehung ist ersichtlich, dass es äusserst notwendig sein wird, den magnetischen Fluss F zu berechnen Dieser errechnet sich gemäss der untenstehenden Beziehung. Φ mag = B ∫ ⋅ dA = cos Θ ⋅ B ⋅ ∫ dA durchLeiter aufgespannte Fläche ↑ wenn B const . 4. Das B-Feld steht in einer direkten Abhängigkeit zum H-Feld. Daher ist es sinnvoll, das H-Feld zu ermitteln, um danach über die unten gezeigt Formel auf das B-Feld schliessen zu können B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H (r ) 5. Für das H-Feld um einen Leiter gilt: H ∫ ds = i ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅ r 04.10.13 H= i⋅n wenn gilt : ( H = const ; H ↑↑ ds ) 2 ⋅π ⋅ r Seite 27 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Berechnung der Induktivität L Φ: n: i: ( H = const ; H Grundidee zur Berechnung von L muss sein: ψ = L ⋅i ψ = n⋅Φ H,B ∫ H ds = i ⋅ n = 2 ⋅ π ⋅ r H= ↑↑ ds ) Φ=? i⋅n 2 ⋅π ⋅ r H,B µ ⋅ µ ⋅i ⋅ n B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H = 0 r 2 ⋅π ⋅ r Φ = ∫ B dA ( B = fkt (r ) ) Φ = ∫ B(r ) dA = ∫ B(r ) ⋅ b ⋅ dr = Magnetischer Flluss [Vs];[Wb];[T*m2] Windungszahl Strom [A] b dr µ0 ⋅ µ r ⋅ i ⋅ n ⋅ b ra 1 µ ⋅ µ ⋅ i ⋅ n ⋅ b ⎛ ra ⎞ ⋅ ∫ dr = 0 r ⋅ ln⎜ ⎟ 2 ⋅π r 2 ⋅ π ⎝ ri ⎠ ri µ0 ⋅ µ r ⋅ i ⋅ n 2 ⋅ b ⎛ ra ⎞ ψ = n⋅Φ = ⋅ ln⎜ ⎟ 2 ⋅π ⎝ ri ⎠ µ0 ⋅ µ r ⋅ n 2 ⋅ b ⎛ ra ⎞ L= = ⋅ ln⎜ ⎟ i 2 ⋅π ⎝ ri ⎠ ψ Berechnung der Induktivität L im Innern eines Leiters H-Feld im Innern des Leiters: H (r ) = i ⋅ r2 1 i⋅r ⋅ = 2 2 r0 2 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ π ⋅ r0 L=? Energiedichte des Leiters: ⎛ i⋅r ⎞ 1 1 ⎟ wi = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H 2 = µ 0 ⋅ µ r ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⋅ π ⋅ r0 ⎠ 2 Einführung eines Volumenelementes: dV = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅ dr Die in diesem Element enthaltene Energie beträgt demzufolge: 2 ⎛ i⋅r ⎞ µ0 ⋅ µr ⋅ i 2 ⋅ l 3 1 ⎟ dWi = wi ⋅ dv = µ 0 ⋅ µ r ⋅ ⎜⎜ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l ⋅ dr = ⋅ r dr 2 ⎟ 4 2 2 ⋅ π ⋅ r 4 ⋅ π ⋅ r 0 ⎠ 0 ⎝ Die gesamte Energie in einem Leiter beträgt demnach: µ0 ⋅ µ r ⋅ i 2 ⋅ l 3 µ0 ⋅ µ r ⋅ i 2 ⋅ l r 0 3 µ0 ⋅ µ r ⋅ i 2 ⋅ l ⋅ r dr = ⋅ r dr = 4 ∫0 4 ⋅π ⋅ r0 4 ∫0 16π ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r0 r0 Wi = Zur Bestimmung der Induktivität wird nun folgende Formel miteinbezogen: W= L ⋅i2 2 Hieraus folgt nun für die Induktivität L: L= 04.10.13 2 ⋅Wi µ 0 ⋅ µ r ⋅ l = i2 8π ⋅ Seite 28 Fachbereich: Physik/ET Thema: Magnetismus Formelsammlung: M.Wipf i Berechnung der Induktivität L eines Doppelleiters i r0 Induktivität zwischen den Leitern: i1 = i2 = i z i1 i2 i ⎛ 1 1 ⎞ H= + = ⋅⎜ + ⎟ 2 ⋅ π ⋅ (a + x) 2 ⋅ π ⋅ (a − x) 2 ⋅ π ⎝ a + x a − x ⎠ µ ⋅ µ ⋅i ⎛ 1 1 ⎞ B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H = 0 r ⋅ ⎜ + ⎟ 2 ⋅π ⎝a+x a−x⎠ dA = l ⋅ dx a x a r0: Leiterradius [m] i: elektrischer Strom [A] µ0 ⋅ µr ⋅ i ⎛ 1 1 ⎞ ⋅⎜ + ⎟ ⋅ l ⋅ dx 2 ⋅π ⎝a+x a−x⎠ dΦ a = B ⋅ dA = 0 H: magn.Feldstärke [A/m] + ( a − r0 ) µ ⋅ µ ⋅i ⋅l µ ⋅ µ ⋅ i ⋅ l ⎛ 2a − r0 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ Φ a = ∫ B ⋅ dA = 0 r ⋅ ∫ ⎜ + ⋅ ln⎜⎜ ⎟dx = 0 r 2 ⋅π a+x a−x⎠ π ⎝ r0 ⎠ A −( a − r ) ⎝ 0 Φ a µ 0 ⋅ µ r ⋅ l ⎛ 2a − r0 ⎞ ⎟⎟ = ⋅ ln⎜⎜ i π ⎝ r0 ⎠ La = Induktivität im Innern eines Leiters (gemäss Herleitung auf vorheriger Seite): Li = 2 ⋅Wi µ0 ⋅ µ r ⋅ l = i2 8π ⋅ Gesamtinduktivität: L = La + 2 ⋅ Li = µ0 ⋅ µ r ⋅ l ⎛ 2a − r0 ⎞ µ ⋅ µ ⋅ l µ ⋅ µ ⋅ l ⎛ 2a − r0 1 ⎞ ⎟⎟ + 2 ⋅ 0 r = 0 r ⋅ ⎜⎜ ln ⋅ ln⎜⎜ + ⎟⎟ π r 8 π π r 4⎠ 0 ⎝ 0 ⎠ ⎝ Berechnung der Induktivität L eines Koaxialkabels ra S d A = H ∫ ∫ ds dr ri i = H ⋅ 2 ⋅π ⋅ r H= i 2 ⋅π ⋅ r µ0 ⋅ µ r ⋅ i 2 ⋅π ⋅ r ⇒ B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H = ψ = n ⋅ Φ = 1⋅ ∫ B dA = l i ra µ0 ⋅ µ r ⋅ i ⋅ l 1 ∫r r dr // dA = l ⋅ dr 2 ⋅π i i µ0 ⋅ µr ⋅ i ⋅ l r ⋅ ln a 2 ⋅π ri r ψ µ ⋅ µ ⋅l L = = 0 r ⋅ ln a i 2 ⋅π ri ψ= 04.10.13 Seite 29 Fachbereich: Physik/ET Thema: Magnetismus Formelsammlung: M.Wipf Gegeninduktivität d i1 di + M 21 ⋅ 2 dt dt di di U 2 = L2 ⋅ 2 + M 12 ⋅ 1 dt dt U1 = L1 ⋅ ψ 2 = M 12 ⋅ i1 ψ 1 = M 21 ⋅ i2 i1 i2 U1 U2 Fluss in Spule 2 verursacht durch Strom in Spule 1 Fluss in Spule 1 verursacht durch Strom in Spule2 Merke: Wenn der Spulenfluss eins die selbe Richtung hat wie der Spulenfluss zwei, so ist M > 0 M Max = L1 ⋅ L2 Berechnung der Gegeninduktivität einer Zwei mal Zweidrahtleitung Φ1 = Φ 2 = i Φ tot 2 r1 i Φ1 = ∫ B dA // dA = l ⋅ dr ∫ H ds = ∫ S dA z H ⋅ 2 ⋅π ⋅ r = i r2 µ0 ⋅ µ r ⋅ i 2 ⋅π ⋅ r r r µ0 ⋅ µr ⋅ i µ0 ⋅ µr ⋅ i ⋅ l 1 µ ⋅ µ ⋅ i ⋅ l ⎛ r2 ⎞ Φ1 = ∫ dA = ⋅ ∫ dr = 0 r ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⋅π ⋅ r 2 ⋅π r 2 ⋅π ⎝ r1 ⎠ r r 0 x B(r ) = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H = 2 2 1 1 Φ tot = ψ tot = 2 ⋅ Φ1 = M= ψ i 04.10.13 = x µ 0 ⋅ µ r ⋅ i ⋅ l ⎛ r2 ⎞ ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ π ⎝ r1 ⎠ µ 0 ⋅ µ r ⋅ l ⎛ r2 ⎞ ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ π ⎝ r1 ⎠ Seite 30 Fachbereich: Physik/ET Thema: Magnetismus Formelsammlung: M.Wipf Magnetischer Kreis Merke: Es gelten die Selben Rechengesetze, die im elektrischen Kreis Gültigkeit haben Durchflutung (magnetische Spannung): Θ = ∫ Hds = N ⋅ I Θ: N: I: Φ: B: H: l: Rm : µ0 : A: Magnetischer Fluss (magnetischer Strom): Φ mag = ∫ B ⋅ dA = cos Θ ⋅ B ⋅ A durchLeiter aufgespannte Fläche Magnetische Feldstärke H: Θ l H= = I ⋅N l Magnetischer Widerstand Rm: Rm = Durchflutung [A] (magn.Spannung) Windungszahl Strom [A] Magnetischer Flluss [Vs];[Wb];[T*m2] Magnetfeld; magn. Induktion [T];[Vs/m2] Magnetische Feldstärke [A/m] Mittlere Feldlinienlänge [m] Magnetischer Widerstand [A/Vs];[1/H];[1/Ohm*s] Permeabilität von Vakuum [H/m] = 4π ⋅10 −7 = 1,25 ⋅10 −6 Fläche des Eisenkernquerschnitts [m2] L : Induktivität [H] //Henry H ⋅l 1 l Θ = = ⋅ Φ µ0 ⋅ µr A Φ Φ1 = Φ 2 + Φ3 Φ1 Magnetfeld / Magnetische Induktion: Φ 3 = B ⋅ A = H ⋅ µ0 ⋅ µ r ⋅ A Φ3 B = µ0 ⋅ µ r ⋅ H L= Φ2 N2 Rm Adaptierte Kirchhoff‘sche Sätze: Σ H K ⋅ lK = i ⋅ n Rm1 R ⋅ i = U i*n Rm3 ⋅ lK Rm tot = Rm1 +2*Rm2 Φ3 Φ2 i*n H ⋅ l = Rm ⋅ Φ = U m K Um1 Rm5 Rm2 ∑H Φ1 Rm4 Rm2 Σ Φ Knoten = 0 Φ1 = H m Rm4 Rm3 Rm5 +2*Rm4 Um2 i⋅n Rm tot U m1 = Φ1 ⋅ ( Rm1 + 2 ⋅ Rm 2 ) (U m3 = Φ 2 ⋅ Rm3 = Φ 3 ⋅ (2 ⋅ Rm 4 + Rm5 ) ) U m 3 = ∑ H K ⋅ l K − U m1 = i ⋅ n − U m1 04.10.13 Seite 31 Fachbereich: Physik/ET Thema: Feldtheorie Formelsammlung: M.Wipf Energiedichte Im Magnetfeld: w= W Volumen = µ0 ⋅ µ r ⋅ H 2 2 = B⋅H B2 = 2 2 ⋅ µ0 ⋅ µ r Im E-Feld: w= W= ∫ w dV Volumen W Volumen = ε0 ⋅εr ⋅ E2 2 = D⋅E D2 = 2 2 ⋅ε0 ⋅εr Energie im Magnetfeld t t −∞ −∞ i W = ∫ P(t ) dt = ∫ U (t ) ⋅ i (t ) dt U L t d i (t ) = L⋅ ∫ ⋅ i(t ) dt dt −∞ W= L ⋅i2 2 Energie im Kondensator 2 UC Q ⋅U C Q2 W =C⋅ = = 2 2 2⋅C Grundformeln i = ∫ S dA ψ = n⋅Φ ( A) ψ 2 = M 12 ⋅ i1 ψ 1 = M 21 ⋅ i2 Q = ∫ D dA ( A) U = ∫ E ds H d s = S ∫ ∫ dA = i ⋅ n R-C-L Elemente Widerstand (R) U = R ⋅i 04.10.13 Kapazität (C) S 1 i dt C∫ du i =C⋅ dt U= Induktivität (L) E U = L⋅ i= di dt H,B 1 U dt L∫ Seite 32 Fachbereich: Physik/ET Thema: Allgemeine Lösungsansätze Formelsammlung: M.Wipf Spannung zwischen zwei Halbkugeln A = 2 ⋅π ⋅ r Halbkugeloberfläche 04.10.13 2 ⇒ I I S= = A 2 ⋅π ⋅ r 2 S r1 I I ⇒ E= = ⇒ U = ∫ E dr = 2 κ 2 ⋅π ⋅ r ⋅κ 2 ⋅π ⋅κ r0 r1 1 ∫r 2 dr r0 Seite 33 Fachbereich: Physik/ET Thema: Wechselstromlehre Formelsammlung: M.Wipf Grundbegriffe u(t ) = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕu ) ω ⋅T = 2 ⋅π T= ω = 2 ⋅π ⋅ f = 2 ⋅π ⋅ û: Scheitelwert der Spannung [V] f: Frequenz [Hertz];[Hz];[1/s] 2 ⋅π ω 1 ω f = = T 2 ⋅π w: Winkelgeschwindigkeit [1/s] j:Phasenverschiebungswinkel [rad];[Grad] 1 T Effektivwert Erzeugt ein periodisch zeitabhängiger Strom in einem Widerstand im Mittel die gleiche Wärmeleistung wie ein Gleichstrom, so ist der Effektivwert des Stromes gleich dem Wert des Gleichstromes. p = i2 ⋅ R Die in einer Periode erzeugte Wärmeenergie beträgt bei der Periodendauer T: T T 0 0 W = ∫ p dt = ∫ i 2 R dt Hieraus ergibt sich die mittlere erzeugt Wärmeleistung als: T W 1 P = = ⋅ ∫ i 2 R dt T T 0 P stellt den zeitlichen Mittelwert der Augenblicksleistung p dar. Ein Gleichstrom I erzeugt im gleichen Widerstand R die Wärmeleistung: T 1 P' = I R = ⋅ ∫ i 2 R dt T 0 2 Auflösen der obigen Gleichung nach I ergibt gemäss Definition den Effektivwert des periodisch zeitabhängigen Stromes als: T I= 1 ⋅ ∫ i 2 dt T 0 Für den Effektivwert einer periodisch zeitabhängigen Spannung gilt entsprechend: T 1 U= ⋅ u 2 dt T ∫0 Es ergibt sich hieraus für folgende Fälle der untenstehende Sachverhalt: I= 04.10.13 iˆ wobei i = iˆ ⋅ sin(ωt ) 2 U= uˆ wobei u = uˆ ⋅ sin(ωt ) 2 Seite 34 Fachbereich: Physik/ET Thema: Wechselstromlehre Formelsammlung: M.Wipf Komplexe Rechnung in der Wechselstromtechnik Aus Verwechslungsgründen wird das i für imaginär als j geschrieben u(t ) = uˆ ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕu ) Notation in Polarform: U = U ⋅ e j (ω⋅t +ϕu ) Notation in Komponentenform: U = U ⋅ (cos(ω ⋅ t + ϕu ) + j ⋅ sin(ω ⋅ t + ϕu )) Komplexe Netzwerkanalyse 1.Vor der Berechnung ist sicherzustellen, mit welchen Werten gerechnet werden muss: iˆ 2 I eff = U eff = û 2 2.Von sämtlichen Induktivitäten und Kapazitäten sind die Impedanzen zu berechnen, sind diese bereits gegeben, weiter zu Punkt 3: j ⋅ X L = RC = j ⋅ ω ⋅ L j ⋅ X c = RC = 1 i ⋅ω ⋅ C =− i ω ⋅C 3.Nun ist das gesamte Netzwerk gleich zu behandeln, als ob es sich um den Gleichstromfall handeln würde. - Ist nun eine Spannung gegeben mit folgender Notation 10V/45° so ist gemeint, dass über dem entsprechendem Eleent eine Spannung von 10 Volt unter 45° zur reellen Achse liegt in komplexer Schreibweise bedeutet das: U = U ⋅ e j (ϕu ) = 10V ⋅ e j⋅45° - Unter Zuhilfenahme des TI-89 kann folgende Eingabe getätigt werden, um eine direkte Ausgabe in kartesicher Schreibweise zu erhalten: In: Out: (10∠45°) 5⋅ 2 + 5⋅ 2 ⋅i Achtung: Wenn der TI-89 in Radiant rechnet, muss der Winkel ebenfalls in Radiant übergeben π werden, oder wie oben gezeigt durch ein angehängtes ° : 4 oder 45° - Um mittels dem TI-89 aus der kartesischen Form wieder zurückzugelangen in die Exponentialform, muss folgende Syntax eingegeben werden: In: ! Out: 5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 2 ⋅ i Polar e i ⋅π 4 ⋅10 = e 0.785398⋅i ⋅10 Achtung: Gleichungssysteme in der komplexen Zahlenebene müssen mit dem speziellen Befehl: csolve() gelöst werden, da sich der solve() Befehl lediglich auf die reellen Lösungen beschränkt 04.10.13 Seite ! 35