Ubungen zur Garbentheorie

Mathematisches Institut
der Universität zu Köln
Prof. I. Burban and Dr. L. Galinat
SoSe 2017
Mittwoch, 12.07.2017
Blatt 11
Übungen zur Garbentheorie
Aufgabe 40. Sei X ein topologischer Raum und sei Y ⊆ X eine lokal abgeschlossene Teilmenge. Sei Z ⊆ Y eine Teilmenge. Zeigen Sie, dass Z ⊆ X genau
dann lokal abgeschlossen ist, wenn Z ⊆ Y (in der induzierten Topologie) lokal
abgeschlossen ist.
Aufgabe 41. Sei X ein topologischer Raum und {Ui }i∈I eine offene Überdeckung
von X. Zeigen Sie, dass eine Teilmenge Y ⊆ X genau dann lokal abgeschlossen
ist, wenn alle Schnitte Y ∩ Ui ⊆ Ui lokal abgeschlossen sind.
Aufgabe 42. Sei f : Y → T eine eigentliche Abbildung mit T lokal kompakt. Sei
g : X → T eine stetige Abbildung mit X lokal kompakt und sei f˜ : X ×T Y → X
der Basiswechsel von f entlang g. Zeigen Sie, dass f˜ ebenfalls eigentlich ist.
Aufgabe 43. Zeigen Sie:
(1) Das Produkt lokal kompakter Räume ist wieder lokal kompakt.
(2) Die Kategorie von lokal kompakten Räumen besitzt Faserprodukte.
Aufgabe 44. Seien f : X → Y und g : Y → Z stetige Abbildungen zwischen
lokal kompakten Räumen. Zeigen Sie die Gleichheit von Funktoren
(g ◦ f )! = g! ◦ f! .
Abgabe: Mittwoch, 19.07.2017