Ubungen zur Theoretischen Physik F SS 14 Blatt 10

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theorie
der Kondensierten Materie
Übungen zur Theoretischen Physik F
Prof. Dr. Jörg Schmalian
Dr. Peter Orth and Dr. Una Karahasanovic
SS 14
Blatt 10
Besprechung 27.06.2014
1. Phasenübergang 2. Ordnung:
(a) Gegeben ist folgender Ausdruck für die Zustandssumme Z1 :
S
X
sinh r 2S+1
zJ
(β zJ m) m
2
Z1 =
e
,
r
=
m
=
1
kT
sinh
r
2
m=−S
Wir müssen also entwickeln:
sinh(x) = x +
⇒
x3 x5
+
+ O(x7 )
3!
5!
x2 x4
ln(sinh(x)) = ln x + ln 1 +
+
+ O(x6 )
3!
5!
2
z
ln(1 + z) = z −
+ O(z 3 )
2
⇒
ln(sinh(x)) = ln(x) +
x2 x4
2
1 x2 x4
+
+ O(x6 ) −
+
+ O(x6 ) +
3!
5!
2 3!
5!
O(z 3 )
| {z }
= O(x6 )
x2 x4
1 x4 +
+ O(x6 ) −
+ O(x6 )
3!
5!
2 3! 3!
x2
1
1 = ln(x) +
+ x4
−
3!
5! 2 3! 3!
= ln(x) +
⇒
x2
x4
ln(sinh(x)) = ln(x) +
−
+ O(x6 )
6
180
Damit ergibt sich
2S + 1 1 ) − ln sinh(r )
2
2
2 2 4 4 2
r
2S + 1
1
r4
2S + 1
1
= ln(2S + 1) +
−
−
−
6
2
2
180
2
2
|
{z
}
= S(S + 1)
ln(Z1 ) = ln sinh(r
Die zweite Klammer läßt sich noch umschreiben:
4 4 2 2 2 2 2S + 1
1
2S + 1
1
2S + 1
1
−
=
−
+
2
2
2
2
2
2
= S(S + 1) [ S(S + 1) + 1/2 ]
Die freie Energie sieht damit so aus, r =
zJ
m
kT
wieder eingesetzt:
1 2
m −
2
1
= N zJ m2 −
2
F (m) = N zJ
kT
ln(Z1 )
zJ
zJ S(S + 1)
kT
1
ln(2S + 1) − m2
+
zJ
2 kT
3
(zJ)3 S(S + 1)
1
[
S(S
+
1)
+
1/2
]
+ m4
4 (kT )3
45
Der Term ∼ m2 :
1 2
zJ S(S + 1)
1
m 1−
= m2
2
kT
3
2
T−
zJ S(S+1)
k
3
!
T
1
= m2
2
T − TN
T
mit
kTN = zJ
S(S + 1)
3
Für T ' TN kann überall, wo T nur als Vorfaktor eingeht, T = TN ersetzt werden,
also überall, außer in (T − TN ) . Damit wird auch
⇒
kTN
S(S + 1)
kT
→
=
zJ
zJ
3
1 T − TN
1
S(S + 1)
F (m) = N zJ
m2 + bm4 −
ln(2S + 1)
2
TN
4
3
mit
b=
(zJ)3 S(S + 1)
[ S(S + 1) + 1/2 ]
(kTN )3
45
⇒
b=
1 S(S + 1) + 1/2
5 S 2 (S + 1)2
Die Entwicklung bis zur Ordnung ∼ m4 ist nötig, damit das System auch für T < TN
stabil bleibt, wenn der Vorfaktor vor m2 negativ wird. Dafür ist es auch notwendig,
alle Terme ∼ m4 bzw. ∼ x4 in der Entwicklung von ln(sinh(x)) mitzunehmen, da
sonst das Vorzeichen von b > 0 nicht richtig rauskommt.
Abbildung 1: Zu Aufgabe 1 (b): Das freie Energie-Funktional F als Funktion von m. Die
Kurve, die nur ein Minimum besitzt, korrespondiert zu T > Tc , die Kurve mit 2 Minima
korrespondiert zu T < Tc .
(b) Minimum der freien Energie:
T − TN
∂F (m)
= 0 = N zJ
m + bm3
∂m
TN
T
Es gibt also zwei Lösungen: m = 0 und
bm2 =
TN − T
TN
falls T < TN
Für T < TN ist offenbar F kleiner, wenn m endlich ist, also:
(
⇒
m(T ) =
T > TN :
0
T < TN :
±
TN −T
b TN
1/2
Der Ordnungsparameter zeigt am√Phasenübergang das für Molekularfeldtheorien
√
typische
-Verhalten, m(T ) ∝ TN − T . Aufgrund der in a) gemachten Entwicklung gilt dieses Ergebnis nur für T ' TN .
2. Phasenübergang 1. Ordnung:
(a) Gleichgewichtswert von γ (Gleichgewicht eigentlich nur, wenn auch η bestimmt und
eingesetzt wird ...):
∂F
= 0 = dη + gγ ,
∂γ
d
γ=− η ,
g
Qualitativer Verlauf von F (η) :
d2
F (η) = a(T − T0 )η − [
− b ] η 2 + cη 3
2g
| {z }
=: b̃
50
40
T= gross
30
20
10
T~Tc
0
−10
T= klein
−20
−30
0
1
2
3
4
5
(Beachte: nach Definition ist η = |P|2 ≥ 0 .)
Man sieht: für große Temperatur gibt es ein Minimum bei η = 0 , für kleine T eines
bei einem endlichen η0 > 0 , und bei einer bestimmten Temperatur Tc dazwischen
entarten gerade die Minima, F (η0 ) = F (0) . Von T > Tc kommend wird also der
Ordnungsparameter η von η = 0 zu η = η0 springen ⇔ Phasenübergang 1. Ordnung
bei Tc .
(b) Für Tc brauchen wir den Wert η0 des Ordnungsparameters, also die Position des
Minimums bei η > 0 :
"
#
r
b̃
∂F
3ac
= 0 = a(T − T0 ) − 2b̃η + 3cη 2 ⇒ η± =
1± 1−
(T − T0 )
∂η
3c
b̃2
Zweite Ableitung:
∂ 2 F √
= (−2b̃ + 6cη± ) = ±2b̃ . . .
2
∂ η η±
D.h., η0 = η+ ist das Minimum, und η0 = η+ ist der Gleichgewichtswert, den η für
T < Tc annimmt.
Tc folgt nun aus der Bedingung, daß die beiden Minima bei η = 0 und η = η+
entarten, d.h.,
h
i
2
0 = F (0) = F (η+ ) = a(T − T0 ) − b̃η+ + cη+
η+
Jetzt muß man η+ einsetzen, oder z.B. (T − T0 ) durch η+ ausdrücken →
h
i
2
2
2
) − b̃η+ + cη+
η+ = [ b̃ − 2cη+ ]η+
= 0 → b̃ = 2c η+ (Tc )
F (η+ ) = (2b̃η+ − 3cη+
Einsetzen von η+ :
⇒
⇒
b̃ = 2c
b̃ √ 1 + ...
3c
1
√
=
...
2
1
3ac
= 1−
(Tc − T0 )
4
b̃2
b̃2
(Tc − T0 ) =
4ac
⇒
Tc = T0 +
b̃2
4ac
Verlauf von η(T ) :
T = Tc − δ : η(T ) = η+ (Tc )
T = Tc + δ : η(T ) = 0
η(T )|T 'Tc = η+ (Tc ) Θ(Tc − T ) =
→
b̃
Θ(Tc − T )
2c
Verlauf von γ(T ) :
d
γ=− η
g
→
γ(T )|T 'Tc = −
db̃
Θ(Tc − T )
2cg
(c) Latente Wärme:
Ql = T ∆S , ∆S = S(T = Tc + δ) − S(T = Tc − δ) ≡ S> − S<
Entropie: Die T -Abhängigkeit von η muß mitgenommen werden, denn aus dem
freie Energiefunktional F (T, η) wird die physikalische freie Energie F (T, η(T )) im
Gleichgewicht erst durch Einsetzen des Gleichgewichtswertes η(T ) .
∂F
∂F
∂η
∂F
S=−
=−
−
∂T
∂η T ∂T
∂T η
η(T ) = 0 für alle T > Tc → F (T ) ≡ 0 → S> = 0
∂F
∂F ∂F
∂F η(T ) = η+ (T ) ,
=
=0 ,
=
= aη+
∂η T
∂η η+
∂T η
∂T η+
T = Tc + δ :
T = Tc −δ :
Damit folgt
T = Tc − δ :
S< = −aη+ (Tc ) ,
η+ (Tc ) =
b̃
von oben
2c
⇒
Ql = Tc
ab̃
2c
3. Molekularfeld-Näherung für das Ising-Modell:
In der Molekularfeld-Näherung sieht jeder Spin ein Molekularfeld:
Beff = B +
zJ
hSi.
µ
Der Mittelwert von Sj kann nun leicht wie beim Paramagnetismus bestimmt werden:
hSi = tanh [β(µB + J0 hSi)] ,
J0 = zJ,
wo z die Zahl der nächsten Nachbarn ist.
Die Gibbs’sche freie Energie wird nun (in Molekularfeld-Näherung)
1
F (T, B) = −kB T ln Z = N kB T {− ln 2 − ln cosh[β(B + J0 hSi)]} + N 2 J0 hSi2 .
2
(1)
Von (1):
1
cosh[β(B + J0 hSi)] = p
.
1 − hSi2
Damit gilt
F (T, B) = N kB T
1
1
2
+ N kB Tc hSi2 ,
− ln 2 + ln 1 − hSi
2
2
kB Tc = J0 .
Die Wärmekapazität bei festem Feld ist
CB = −T
∂ 2 F (T, B)
∂T 2
.
B
Für T > Tc
⇒
T > Tc
hSi = 0
⇒
CB = 0.
Für T < Tc one gets that
CB
"
#
2
2
N kB T
∂
∂
1
T
1
∂
=
hSi2 +
hSi2 + T
hSi2
1 − hSi2 ∂T
2 1 − hSi2 ∂T
2 ∂T 2
−
∂2
1
N kB Tc2 2 hSi2 .
2
∂T
(2)
Die Ableitung ∂hσi/∂T bekommen wir von der Selbstkonsistenzgleichung:
hSi =
tanh(βµB) + tanh(βJ0 hSi)
1 + tanh(βµB) tanh(βJ0 hSi)
⇒
tanh(βµB) =
hSi − tanh(βJ0 hSi)
.
1 − hSi tanh(βJ0 hSi)
Verwenden wir jetzt die Relation:
x=
1 1 + tanh x
ln
.
2 1 − tanh x
Dann
βµB =
1 1 + tanh(βµB)
1 1 + hSi 1 1 − tanh(βJ0 hSi)
ln
= ln
+ ln
2 1 − tanh(βµB)
2 1 − hSi 2 1 + tanh(βJ0 hSi)
=
1 1 + hSi Tc
ln
− hSi.
2 1 − hSi
T
In der Nähe des Phasenübergangs entwickeln wir die Relation zwischen B und hSi für
kleine hSi:
Tc
1
βµB ≈ hSi 1 −
+ hSi3 + . . . .
T
3
We set βµB = 0 and deduce the value of hSi from this condition:
hSi2 = −3,
We see that hSi scales like . Therefore
of third and fourth term in (2).
=
T − Tc
T − Tc
≈
.
T
Tc
1
1−hSi2
≈ 1+O(2 ). This leads to the cancellation
Dann:
∂
3
hSi2 = − ,
∂T
Tc
Letztendlich (hier T ≈ Tc + O())
CB = 3
0,
T > Tc ,
.
N kB + O(), T < Tc
2
Die Wärmekapazität hat einen Sprung bei Tc . Wir haben hier kein Potenzgesetz und
zwar die kritische Exponente:
α = α0 = 0.
4. Magnetischer Phasenübergang
Benutzen wir die Relation zwischen der Wärmekapazität und der Entropie:
C=T
dS
.
dT
Die Änderung der Entropie als man die Temperatur von T = 0 bis T > T0 erhöht:
ZT
∆S =
dT
C
= Cmax (1 − ln 2).
T
0
Benutzen wir jetzt die Boltzmannsche Formel
S = kB ln W,
wo W das statistische Gewicht (oder die Zahl der Zustände) ist, und bestimmen ∆S.
Bei T = 0 ist das System ferromagnetisch und die Symmetrie ist zerbrochen. Es gibt
nur einen einzigen Zustand und
T =0
⇒
⇒
W =1
S(T = 0) = 0.
Bei T > T0 haben wir C = 0. Das heißt, unser System nimmt keine Wärme auf,
deswegen die Entropie maximal ist:
T < T0
⇒
W = 2N
⇒
S(T > T0 ) = N kB ln 2.
Jetzt bestimmen wir
∆S = N kB ln 2,
und letztendlich
Cmax =
N kB ln 2
1 − ln 2