Praeliminarien 1

Ausgewählte Literatur
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Tensor Analysis and Applications. Addison Wesley, 1983
Abraham/Robbin
Transversal Mappings and Flows. Benjamin, 1967
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Geometry of Manifolds. Academic Press, 1964
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General Topology. Part I and II
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Topological Vector Spaces. Chapter 1 – 5, Springer, 1987
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Variétés Differentielles et Analytiques. Hermann, 1982
Bröcker/Jänich
Einführung in die Differentialtopologie. Springer, 1973
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Differentialrechnung. BI Verlag, 1973
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Differentialformen. BI Verlag, 1973
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Géométrie différentielle et systèmes extérieure. 1968
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Analysis, Manifolds and Physics. North Holland, 1977
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Grundzüge der modernen Analysis. Band I, II und IV, Vieweg
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Riemannian Geometry. Springer, 1987
Greub/Halperin/Vanstone Connections, Curvature and Cohomology. Academic Press
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Differential Topology. Prentice-Hall, Inc. 1974
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Geometry, Physics and Systems. M. Dekker, 1973
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Alternierende Differentialformen. BI Verlag, 1972
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Riemannian Geometry. de Gruyter, 1982
Kobayashi/Nomitzu
Foundation of Differential Geometry. Band I und II, John Wiley, 1969
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Differential Manifolds. Addison Wesley, 1972
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Tensors, Differential Forms and Variational Principels. John Wiley, 1975
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Differential Manifolds. M. Dekker, 1972
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Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, 1983
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Vector-Bundles. Vol I, Academic Press, 1982
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Variétés Différentielle. Hermann, 1969
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1979/80
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Allgemeine Relativitätstheorie und Kosmologie. In Lecture Notes in Physics.
Triebel
Analysis und mathematische Physik. Hauser, 1981
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Cohomology and Differential Forms. M. Dekker, 1975
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Raum, Zeit Materie. Allgemeine Relativitätstheorie. Springer
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Integral Formulas in Riemannian Geometries. M. Dekker, 1970
Yano/Ishihara
Tangent and Cotangent Bundles, Differential Geometries. M. Dekker, 1973
0.1.
TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE
Definition 0.1.1
1. Es seien X eine Menge und 2 X := {Y Y ⊆ X } die Potenzmenge von X . Eine Teilmenge τ ⊆ 2 X
heißt TOPOLOGIE auf X und das Paar ( X , τ ) ein
TOPOLOGISCHER
RAUM, wenn folgende Bedingungen
erfüllt sind:
a)
Ø ∈ τ und X ∈ τ .
b)
Für jede Teilmenge ω ⊆ τ ist
∪ S ∈τ .
S ∈ω
c)
Für jede endliche Teilmenge θ ⊆ τ ist
∩T ∈τ .
T ∈θ
Die Elemente von τ heißen OFFENE Mengen.
2. Es sei ( X , τ ) ein topologischer Raum. Es sei τ ∗ := τ \ Ø .
a) Für x ∈ X heißt U ( x) := {U ∈ τ x ∈ U } UMGEBUNGSSYSTEM aller offenen Mengen um x.
b) ( X , τ ) heißt HAUSDORFF-RAUM, wenn für je zwei verschiedene Elemente x und y ein U ∈ U ( x)
und ein V ∈ V ( y) existiert mit U ∩ V = Ø .
c) B ⊆ τ heißt BASIS der Topologie τ , wenn zu jeder offenen Menge U ∈ τ eine Teilmenge
C ⊆ B existiert, so dass U =
∪C.
C ∈C
d) ( X , τ ) hat eine ABZÄHLBARE BASIS, wenn die Basis B abzählbar ist.
e) B heißt SUBBASIS, wenn B ∗ := { B B = ∩ U , I ⊆ B ist endlich } Basis dieser Topologie ist.
U ∈I
f)
Cov ( X ) := { W ⊆ τ
OFFENE
W
} heißt ÜBERDECKUNGSSYSTEM von X und V ∈ Cov ( X )
ÜBERDECKUNG. Beachte:
g) ( X , τ ) heißt
X=
∪
W ∈W
KOMPAKT,
heißt eine
{ X } ∈ Cov ( X ) .
wenn für jedes U ∈ Cov ( X ) ein endliches V ⊆ U
existiert mit
∪V .
V ∈V
h) ( X , τ ) heißt
ZUSAMMENHÄNGEND,
wenn je zwei nichtleere offene Mengen U , V ∈ τ mit
U ∪ V = X einen nichtleeren Durchschnitt haben.
i)
Ein Punkt x ∈ X heißt HÄUFUNGSPUNKT (HP) von Y ⊆ X , wenn jede offene Umgebung U von x
mindestens einen von x verschiedenen Punkt mit Y gemeinsam hat.
j) Eine Teilmenge A ⊆ X heißt ABGESCHLOSSEN, wenn X \ A ∈ τ ist.
k) Für eine Menge B ⊆ X heißt B =
∩
A der TOPOLOGISCHE ABSCHLUSS der Menge B.
A⊇ B
X \ A∈τ
l)
Es sei Y ⊆ X eine Menge. Das System τ Y := {U ∩ Y U ∈ τ } heißt
INDUZIERTE
oder
RELATIVE
Topologie. Achtung! Es ist τ X = τ .
1
m) Seien ( X , τ ) ein topologischer Raum, Y eine Menge und f : X → Y eine surjektive Abbildung.
Das System τ f := { A ⊆ Y f −1 ( A) ∈ τ } heißt die durch f induzierte FAKTORTOPOLOGIE auf Y .
Achtung! für l) betrachte j : Y → X mit j ( y) = y .
n) ( X , τ ) heißt
LOKALKOMPAKT,
wenn jeder Punkt x eine offene Umgebung besitzt, deren Abschluss
kompakt ist.
o) Eine offene Überdeckung U ∈ Cov ( X ) heißt
LOKAL-ENDLICH,
wenn es zu jedem Punkt x eine
Menge U ⊆ X gibt, die nur endlich viele V ∈ U trifft, die x enthalten.
p) Es seien U , V ∈ Cov ( X ) heißt eine VERFEINERUNG von V , wenn für jede offene Umgebung
U ∈ U eine offene Umgebung V ∈ V mit U ⊆ V existiert.
q) X ∈ τ heißt
besitzt.
PARAKOMPAKT,
wenn jede offene Überdeckung eine lokal-endliche Verfeinerung
r) Es sei ( X , τ ) ein topologischer Raum. Es sei
f : X → ℝ eine Abbildung. Die Menge
supp ( f ) := { x ∈ X f ( x) ≠ 0} heißt der TRÄGER von f.
3. Es sei f : X → Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es sei x ∈ X .
a)
f heißt
STETIG IN
x, wenn es zu jeder offenen Umgebung V von f ( x ) eine offene Umgebung
U von x gibt, so dass f (U ) ⊆ V ist.
b) f heißt STETIG, wenn f in allen Punkten x stetig ist.
c) f heißt HOMÖOMORPHISMUS, wenn f stetig und bijektiv sowie f −1 stetig ist.
Satz 0.1.2
Es sei ( X , τ ) ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge.
a)
Ist X kompakt und Y abgeschlossen, so ist Y kompakt.
b)
Ist X ein Hausdorff-Raum und Y kompakt, dann ist Y abgeschlossen.
Beweis
a) Es sei U ∈ Cov ( X ) . Zu U ∈ U
gibt es ein VU ∈ τ mit U = VU ∩ Y , da Y
die
= {VU U ∈ U } ∪ { X \ Y } ∈ Cov ( X ) , da X \ Y offen. Nach
Relativtopologie trägt. Es ist V 
Voraussetzung ist X kompakt. Folglich finden wir endlich viele VU ∈ τ die X überdecken.
= {U ∈ U VU endlich} ∈ Cov (Y ) . Also ist Y kompakt.
Dies liefert U ′ 
b) Nach Voraussetzung ist Y kompakt. Folglich gibt es U 1 ,… ,U r , die Y überdecken. Da X ein
Hausdorff-Raum ist, gibt es zu jedem p ∈ X \ Y und i ∈ {1,…, r } eine offene Umgebung
Vi ∈ U ( p )
r
mit Vi ∩ U i = Ø . Dann ist V p := ∩ i=1Vi
Konstruktion V p ∩ Y = Ø . Wir erhalten X \ Y =
∪
p ∈ X \Y
abgeschlossen.
2
offen mit
p ∈Vp
sowie nach
V p ∈ τ ist offen und damit Y
Satz 0.1.3
Es seien ( X , τ X ), (Y , τ X ) topologische Räume. Es sei f : X → Y eine Abbildung.
a) f ist genau dann stetig, wenn für jede offene Menge V in Y das Urbild f −1 (V ) eine offene
Menge ist.
Es sei f stetig.
b) Mit X ist auch f ( X ) kompakt.
c) Mit X ist auch f ( X ) zusammenhängend.
Beweis
a) f ist stetig: Es sei V ∈ V ( f ( x )) eine offene Menge in Y . Da f stetig, gibt es eine offene
Menge U x ∈ U ( x ) in X mit f (U x ) ⊆ V . Folglich ist U x ⊆ f −1 (V ) und f −1 (V ) = ∪ x∈ f −1(V )U x
offen. (D 0.1.1 (1.b))
Für jede offene Menge V in Y ist das Urbild f −1 (V ) eine offene Menge: Da f ( f −1 (V )) ⊆ V
immer gilt, ist f stetig.
b) Es sei V ∈ Cov (Y ) . Wir setzen V f ( X ) = {V ∈ V V ∩ f ( X ) ≠ Ø } . Dann ist V f ( X ) ∈ Cov ( f ( X ))
(
)
und f −1 V f ( X ) ∈ Cov ( X ) , da f stetig ist. Nach Voraussetzung ist X kompakt. Folglich gibt es
(
)
endliches W ⊆ f −1 V f ( X ) mit W ∈ Cov ( X ) . Damit ist f (W ) ∈ Cov ( f ( X )) .
c) Es seien V ,W offene Mengen in Y mit f ( X ) ⊆ V ∪ W . Wir erhalten X = f −1 (V ) ∪ f −1 (W ) mit
offenen Mengen f −1 (V ) und f −1 (W ) , da f stetig ist. Nach Voraussetzung ( X ist HausdorffRaum) gilt f −1 (V ) ∩ f −1 (W ) ≠ Ø . Daraus folgt sofort V ∩ W ≠ Ø , was zu zeigen war.
Satz 0.1.4
Es seien ( X , τ X ) , (Y , τ X ) topologische Räume. X sei kompakt und Y ein Hausdorff-Raum.
Dann ist jede stetige, bijektive Abbildung f : X → Y ein Homöomorphismus.
Beweis
Wir haben zu zeigen, dass f −1 stetig ist. Nach 0.0.1 3a) genügt: Ist U offen in X , so ist
−1
( f −1 )
(U ) = f (U ) offen in Y . Sei also U offen in X . Wegen X \ ( X \ U ) = U ist X \ U
abgeschlossen und damit nach 0.1.2 a) kompakt. Nach 0.1.3 b) ist dann auch f ( X \ U ) = Y \ f (U )
kompakt und mit 0.1.2 b) ( Y
f (U ) = ( f
−1 −1
)
ist Hausdorff-Raum) auch abgeschlossen. Folglich ist
(U ) offen.
Satz 0.1.5 (Lindelöf)
Es sei ( X , τ ) ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis B . Dann enthält jede offene
Überdeckung von X eine abzählbare offene Überdeckung von X.
Beweis als Übungsaufgabe
3
Bemerkung:
Es seien ( X , τ X ), (Y , τ X ) topologische Räume. Ist X 0 ⊆ X eine Teilmenge, so ist f : X 0 → Y
genau dann stetig, wenn für jede offene Menge V in Y auch f −1 (V ) offen in der Relativtopologie,
also f −1 (V ) ∈ (τ X ) X ist.
0
Übungen:
1.
Zeigen Sie: Je zwei Normen auf ℝ n sind äquivalent.
2.
Es sei f : E → F eine lineare Abbildung zweier normierter Vektorräume. Zeigen Sie: f ist
genau dann stetig, wenn es eine Konstante c ∈ ℝ, c ≥ 0 gibt mit f ( x ) ≤ c ⋅ x für alle x ∈ E .
3.
Jede lineare Abbildung f : ℝ n → ℝ m ist stetig bzgl. jeder Norm.
4.
Es sei f : E → F eine stetige lineare Abbildung zweier Banachräume. Dann gilt:
a)
f ( x) ≤ f ⋅ x
b)
x =1
5.
Zeigen Sie: (C ( I , ℝ ),
6.
Ist K ∈ {ℝ, ℂ} , so gilt die Isometrie L (K, F ) ≅ F .
7.
Beweisen Sie Korollar 0.2.19.
4
f = sup f ( x ) = sup f ( x ) ≤ sup
∞
) ist vollständig, aber (C ( I , ℝ),
x ≤1
1
) nicht.
x ≠0
f ( x)
x
0.2.
NORMIERTE VEKTORRÄUME ÜBER EINEM BELIEBIGEN KOMMUTATIVEN
KÖRPER K
Definition 0.2.1
: E → ℝ mit folgenden
Es sei E ein K -Vektorraum. Eine NORM auf E ist eine Abbildung
Eigenschaften.
∧ x ≥0
∧ x =0⇒ x=0
∧∧ kx = k ⋅ x
∧ x+ y ≤ x + y
(i)
x ∈E
(ii)
x ∈E
(iii)
x ∈E k ∈K
(iv)
x , y ∈E
Sind diese Bedingungen erfüllt, so heißt das Paar (E,
) ein NORMIERTER K -VEKTORRAUM.
Definition 0.2.2
Eine Folge ( x n )n∈ℕ in (E,
) heißt genau dann CAUCHY-FOLGE, kurz CF, wenn
∧∨ ∧
xn − xm < ε .
ε>0 S ∈ℕ n , m≥S
Der normierte K -Vektorraum heißt genau dann vollständig, wenn jede CF in (E,
) konvergiert.
Vollständig normierte K -Vektorräume heißen BANACHRÄUME.
Definition 0.2.3
Es sei f eine Abbildung von (E,
(i)
E
) in (F,
).
f heißt genau dann STETIG in a ∈ E , wenn
∧∨
x −a
ε>0 δ ( a )> 0
(ii)
F
E
< δ ( a ) ⇒ f ( x ) − f (a )
F
<ε .
f heißt genau dann GLEICHMÄßIG STETIG in a ∈ E , wenn
∧∨ x − a
ε>0 δ > 0
E
< δ ⇒ f ( x ) − f (a )
F
<ε .
Korollar 0.2.4
Die Abbildung
Beweis
Wir setzen
E
:=
aus x = x − a + a
: (E,
E
E
) → (ℝ, ) ist stetig.
. Aus a = a − x + x
≤
0.2.1.(iv )
≤
0.2.1.( iv )
a − x + x folgt a − x ≤ a − x . Ferner
x − a + a = a − x + a auch x − a ≤ a − x , also a − x ≤ a − x .
Aus 0.2.3 folgt die Behauptung für ε = δ .
5
Definition 0.2.5
Es seien (E i ,
normierte
i)
n
K -Vektorräume. Dann ist durch ( x1 ,… , x n ) := ∑ x i
i=1
Ei
eine Norm
n
auf E := ∏ E i definiert. Der normierte K -Vektorraum heißt NORMIERTER PRODUKTRAUM.
i=1
Weisen Sie nach, dass hierdurch eine Norm definiert wird.
Bemerkung 0.2.6
Jede Norm auf einem auf einem K -Vektorraum definiert eine Topologie. Zeigen Sie, dass durch
d ( x , y ) := x − y eine Metrik definiert wird.
K E (a , r ) := { x ∈ E d ( x , a ) < r } , r > 0 heißt
OFFENE
KUGEL und K E′ (a , r ) := { x ∈ E d ( x , a ) ≤ r } ,
r > 0 heißt ABGESCHLOSSENE KUGEL vom Radius r .
Zeigen Sie auch: Die offenen Kugeln bilden eine Basis für eine Topologie, die Hausdorff ist.
Beispiele 0.2.7
1.
ℝ n versehen mit den Normen x 1 = ∑ i=1 xi
2
n
2
, x 2 = ∑ i=1 xi , x 3 = sup xi .
n
1≤ i ≤ n


2. Es sei X ein topologischer Raum und CB ( X , ℝ) =  f : X → ℝ f stetig, sup f ( x) < ∞ .


x∈ X
Durch f sup := sup f ( x) ist eine Norm der gleichmäßigen Konvergenz auf CB ( X , ℝ ) definiert.
x∈ X
(
Folglich ist CB ( X , ℝ ),
3. Ersetzen
f
wir
ℝ
sup
durch
) ein Banachraum.
einen
(
normierten
:= sup f ( x) , so ist auch CB ( X , F ),
sup
x∈ X
sup
Banachraum
(F ,
F
)
und
definieren
) ein Banachraum.


ein topologischer Raum und B ( X , ℝ) :=  f : X → ℝ sup f ( x) < ∞ Durch


x∈ X
:= sup f ( x) ist eine Norm auf B ( X , ℝ ) definiert. Folglich gilt: CB ( X , ℝ ) ⊆ B ( X , ℝ ) ist
4. Es sei X
f
B
x∈ X
ein K -Teilraum.
Satz 0.2.8
Für eine lineare Abbildung
f : E → F zwischen normierten K -Vektorräumen sind folgende
Aussagen äquivalent.
a) f ist stetig in allen Punkten von E .
b) f ist stetig in 0 ∈ E .
c) f ( x )
F
ist beschränkt in K ′ (0,1) .
Beweis: Übung!
6
Definition 0.2.9
Es seien normierte K -Vektorräume. Mit L K (E, F ) sei die Menge aller
STETIGEN
LINEAREN
ABBILDUNGEN von E → F bezeichnet. Es ist folglich L K (E, F ) ⊆ Hom K (E, F ) ein Teilraum aller
linearen Abbildungen. Dieser Raum wird immer mit der Norm (vgl. 0.2.8) f = sup f ( x ) versehen,
x ≤1
wenn nichts anderes gesagt wird. Es gilt somit (vgl. 0.2.7 3.) f ( x ) ≤ f ⋅ x für jedes x ∈ E .
Im Folgenden schreiben wir nur noch L (E, F ) statt L K (E, F ) .
Satz 0.2.10
Es sei E ein Banachraum. Mit F ist auch L (E, F ) ein Banachraum.
Definition 0.2.11
Es sei E ein K -Vektorraum. Zwei NORMEN
1
,
2
auf E heißen
ÄQUIVALENT,
wenn die
identische Abbildung 1 E : E → E bezüglich der Normen stetig ist. 1 E : E → E ist folglich bezüglich
der verschiedenen Normen ein Homöomorphismus, d.h.
x 1 = 1 E ( x) 1 ≤ 1 E ⋅ x 2 = a ⋅ x
2
und x
2
= 1 E ( x ) 2 ≤ 1 E ⋅ x 1 = b ⋅ x 1 , a, b ∈ ℝ .
Hierdurch wird eine Äquivalenzrelation für die verschiedenen Normen auf E definiert.
Satz 0.2.12
Es seien
1
,
2
zwei Normen auf E .
1
,
2
sind genau dann äquivalent, wenn es zwei
konstante reelle Zahlen a, b ∈ ℝ , a > 0 , b > 0 gibt, so dass
∧ a⋅ x
x ∈E
1
≤ x 2 ≤b⋅ x 1.
Satz 0.2.13
1. Auf einem endlichdimensionalen K -Vektorraum sind alle Normen äquivalent.
2.
Jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen K -Vektorräumen ist stetig.
Definition 0.2.15
Es seien E und E normierte K -Vektorräume. Eine Abbildung f : E → F heißt genau dann
ISOMORPHISMUS, wenn f
ein stetiger Homomorphismus ist und ein stetiger Homomorphismus
g : F → E existiert mit g f = 1 E sowie f g = 1 F . f
ist
also ein Homomorphismus und
Homöomorphismus.
Beispiele 0.2.14
1.
Es seien
sup (
E
,
(E,
F
),
E
)
(F ,
und
E
+
F
und
F
)
zwei normierte K -Vektorräume. Auf E × F
2
E
+
2
F
sind
äquivalent.
7
2.
Es sei I ⊆ ℝ ein abgeschlossenes Intervall. Auf C ( I , ℝ ) seien die Normen
definiert durch
f
denn (C ( I , ℝ ),
∞
∞
:= sup f (t ) und
f
t ∈I
int
und
∞
int
:= ∫ f (t )dt . Diese Normen sind nicht äquivalent,
I
) ist vollständig, (C ( I , ℝ),
int
) aber nicht.
Satz 0.2.16 (Banach)
Sind E und E Banachräume, so ist jede stetige lineare bijektive Abbildung f : E → F ein
Isomorphismus.
Definition 0.2.17
Eine Abbildung f : E → F heißt genau dann Isometrie, wenn f
f ( x)
F
= x
E
ist. Wegen
f = sup f ( x )
x
E
≤1
F
= sup x
x
E
≤1
E
eine lineare Bijektion mit
≤ 1 ist f stetig nach 0.2.8, also ein
Isomorphismus.
Beispiele 0.2.18
1. L (K , F )
2.
L (E, K ) =: E ′ ist der topologische Dualraum.
3. Ist E endlichdimensional, so ist L (E, K ) = HomK (E, K ) also E′ = E ∗ . Der topologische
und der algebraische Dualraum stimmen überein.
4. Sind E und F endlichdimensional, so auch L (E, F ) .
Definition 0.2.19
n
Es sei E = ∏ E i der Produktraum von K -Vektorräumen (E i )1≤i ≤n . Dies ist ein K -Vektorraum
i=1
bzgl. der kanonischen Verknüpfungen.
1. Es sei ι i : E i → E definiert durch ιi ( x ) := (0,…,0,
ι i ( x + y ) = ι i ( x ) + ι i ( y ) und ι i (α x ) = αι i ( x ) für
,0,…,0) für jedes 1 ≤ i ≤ n . Wegen
x
i−te Stelle
x, y ∈ E heißt ιi : E i → E
i-TE
LINEARE
1≤ i ≤ n .
Wegen
INJEKTION.
2. Es
sei
πi : E → E i
definiert
durch
π i ( x1 , … , x n ) = x i
πi ( x + y ) = πi ( x ) + πi ( y ) und πi (α x ) = απi ( x ) für x, y ∈ E
für
jedes
heißt π i : E → E i
i-TE LINEARE
PROJEKTION.
3. Es gilt πi ι j = δ ij ⋅ 1 E j und (ι j πi )( x1 , …, x n ) = (0,… ,0,
n
xi
,0,… ,0) . Ferner 1 E = ∑ πi ιi .
j −te Stelle
4. Für jedes a ∈ E sei κia : E i → E definiert durch κia ( xi ) := a + ιi ( xi − πi (a )) = (a1 ,…,
i=1
xi
,…, a n ) .
i−te Stelle
5. Eine Abbildung f : E → F heißt genau dann n-LINEAR (kurz MULTILINEAR), wenn für jedes a ∈ E und
jedes 1≤ i ≤ n die Komposition f κia : E i → F linear ist.
8
Satz 0.2.20
n
Es sei E = ∏ E i der Produktraum von normierten K -Vektorräumen (E i )1≤i ≤n . Es sei F ein
i=1
normierter K -Vektorraum.
Für eine n-lineare Abbildung f : E → F sind folgende Aussagen äquivalent.
a) f ist stetig in allen Punkten von E .
b) f ist stetig in 0 ∈ E .
c) f ( x ) F ist beschränkt im Produkt der Einheitskugeln
n
∏ K E′ (0,1) .
i=1
i
Bezeichnung 0.2.21
n



Es sei L (E1 ,… , E n ; F ) :=  f : ∏ E i → F f ist stetig und n − linear . Versehen mit der Norm
 i=1


f := sup f ( x1 ,… , x n )
xi ≤1
1≤ i ≤ n
ist L (E1 ,…, E n ; F ) genau dann ein Banachraum, wenn F
ein
n
Banachraum ist. Es gilt f ( x1 ,…, x n ) ≤ f ⋅ ∏ x i .
i=1
Satz 0.2.22
Es seien E , F und G normierte K -Vektorräume. Dann gelten die Isometrien
L (K,F ) ≅ F
L (E; L (F; G )) ≅ L (E, F; G )
Allgemein gilt für normierte K -Vektorräume E1 ,…, E n , F die Isometrie
L (E1 ; L (E 2 ;… , L (E n ; F ))⋯) ≅ L (E1 ,… , E n ; F )
9
0.3.
Differentialrechnung in vollständig normierten Vektorräumen
Definition 0.3.1
Es seien E und F Banachräume. Es sei U ⊆ E offen und f : U → F eine Abbildung.
f heißt genau dann DIFFERENZIERBAR IN a ∈ U , wenn es ein g ∈ L (E, F ) und ein r : E → F gibt, so
dass für alle x ≠ a in V ⊆ U , V offen, gilt:
f ( x ) = f (a ) + g ( x − a ) + r ( x − a ) mit lim
x →a
r( x − a)
x −a
F
=0.
E
Im endlichdimensionalen ist die Abbildung g immer stetig.
Für
lim
x →a
r( x − a)
x −a
F
=0
f ( x ) − f (a ) − g ( x − a ) ∈ o ( x − a
schreiben wir
E
).
E
Wir sagen auch für die Restfunktion mod o ( x − a
) statt ∈ o( x − a E ) .
Korollar 0.3.2
a) Die Abbildung g ∈ L (E, F ) ist eindeutig bestimmt. Sie wird, da sie von f und dem Punkt a ∈ U
abhängt mit f ′(a ) bezeichnet.
b) Ist f in a ∈ U differenzierbar, so ist f stetig in a ∈ U .
Mithin ist f differenzierbar in a ∈ U , so hat f die Darstellung
f ( x ) − f (a ) − f ′(a )( x − a ) mod o ( x − a ) .
Soll die Definition etwas weiter gefasst werden, so ist vorher zu definieren, wann sich Funktionen
berühren. Dies geschieht über den Kontakt.
Definition 0.3.3
Es seien f1 : U → F und f 2 : U → F zwei stetige Funktionen. f1 und f 2
(
der Ordnung m , wenn f1 ( x ) − f 2 ( x ) ∈ o x − a
m
KONTAKTIEREN IN
a ∈ U von
).
Sie KONTAKTIEREN TRANSVERSAL, wenn 0 = m ≠ 1 und sie KONTAKTIEREN TANGENTIAL, wenn m ≥ 1 .
In beiden Fällen gilt folglich f1 (a ) = f 2 (a ) . Für m = 1 gilt zusätzlich f1′(a ) = f 2′ (a ) . Wir können
daher auch für differenzierbare Abbildungen sagen: f ( x ) − f (a ) und f ′ (a )( x − a ) kontaktieren von
1. Ordnung.
In manchen Fällen ist auch gefragt von welcher Ordnung die stetigen Funktionen f1 : U → F und
f 2 : U → F kontaktieren. Für welches m gilt die Aussage
∧ f ( x ) − f ( x ) ∈ o( x − a ) ?
n
n≤m
1
2
Definition 0.3.4
Es seien E und F Banachräume. Es sei U ⊆ E offen und f : U → F eine Abbildung.
10
Die Abbildung f heißt genau dann
DIFFERENZIERBAR IN
U wenn f in jedem Punkt von U
differenzierbar ist. Folglich existiert zu a ∈ U ein f ′(a ) ∈ L (E, F ) .
Es gibt daher eine Abbildung
U → L (E, F )

h : 


 a ֏ f ′(a ).
Da keine Verwechselungen auftreten können, wird f ′ := h definiert.
Die Abbildung f heißt genau dann
STETIG DIFFERENZIERBAR IN
U oder
AUS/VON DER
KLASSE C 1 ,
wenn
a) f in U differenzierbar,
b) f ′ : U → L (E, F ) stetig ist.
Korollar 0.3.5
Äquivalente Normen ergeben dieselben Ableitungen.
Rechenregel 0.3.6
Es seien E , F und G Banachräume sowie U ⊆ E und V ⊆ F offen. Es seien f : U → F und
g : V → G Abbildungen. Für a ∈ U sei f (a ) ∈ V . Mit U ′ := f −1 (V ) ist g f : U ′ → G definiert.
1.
Ist f in a und g in f (a ) differenzierbar, so ist g f in a differenzierbar und es gilt
( g f )′ (a ) = g ′ ( f (a )) i f ′(a ) .
i steht für die Komposition von linearen Abbildungen.
2.
Ist h : U → F eine weitere Abbildung, die in a ∈ U differenzierbar ist, so gilt
(h + f )′ (a ) = h ′(a ) + f ′(a )
3.
Ist k ∈ K und ist f in a differenzierbar, so ist k ⋅ f in a differenzierbar und es gilt
(k ⋅ f )′ (a ) = k ⋅ f ′(a )
4.
Ist j : U → E definiert durch j ( x ) = x , so ist j in a differenzierbar und es gilt j ′(a ) = 1 E .
5.
Ist λ ∈ L (E, F ) , so ist λ in a differenzierbar und es gilt λ ′(a ) = λ .
6.
Ist E = ∏ E i und Φ ∈ L (E1 ,…, E n ; F ) , so ist Φ in a = (a1 , … , a n ) ∈ U differenzierbar. Es gilt
n
i=1
n
n
i=1
i=1
Φ ′ (a )( x ) = ∑ Φ (a + ιiE πiE ( x − a )) = ∑ Φ (a1 ,… , a i−1 , x i , a i+1 ,…, a n ) ,
wobei ιiE : E i → E die kanonischen Injektionen und πiE : E → E i die kanonischen Projektionen sind
(0.2.19).
11
7.
f :U → V
Es sei nun
ein Homöomorphismus und
in a ∈ U differenzierbar. Ist dann
f
′
f ′(a ) ∈ L (E, F ) ein Isomorphismus, so ist f −1 in f (a ) differenzierbar und ( f −1 ) ( f (a )) ist die
zu f ′(a ) inverse Abbildung. Es gilt folglich
( f −1 )′ ( f (a)) = ( f ′(a))
−1
.
n
Es sei F = ∏ Fi und U ⊆ E offen. Es sei f : U → F eine Abbildung. Es seien ιiF : Fi → F die
8.
i=1
kanonischen Injektionen und πiF : F → Fi die kanonischen Projektionen. Diese sind nach 0.2.9 stetig.
Mit f i = πiF
f folgt
n
n
 n

f = ∑ ιiF π iF  f = ∑ (ιiF π iF ) f = ∑ ιiF
 i=1

i =1
i =1
(πiF
n
f ) = ∑ ιiF
fi .
i=1
Ist f in a ∈ U (stetig) differenzierbar, so sind auch alle f i in a ∈ U (stetig) differenzierbar und
umgekehrt. Es gilt
n
f ′(a ) = ∑ ιiF
f i′(a )
oder als Matrix
f ′(a ) = ( f1′(a ) ⋯
f n′(a )) .
i=1
n
Es sei F = ∏ Fi der Produktraum von Banachräumen. Es sei Φ : F → G n-linear. Es sei U ⊆ E
9.
i=1
offen. Es sei g : U → F eine in a ∈ U differenzierbare Abbildung.
Durch ϑ = Φ g ist eine Abbildung ϑ : U → G definiert, die in a ∈ U differenzierbar ist. Es gilt
n
ϑ ′(a ) = Φ ′ ( g (a )) i g ′(a ) = ∑ Φ ( g (a ) + ιiE π iE ( g ′(a ) − g (a ))) .
i=1
In der Produktschreibweise erhalten wir
n
n
i =1
i =1
(ϑ ′(a )) e = Φ ′ ( g (a )) i g ′(a )e = ∑ Φ ( g (a ) + ιiE πiE ( g ′(a )e − g (a ))) = ∑ Φ ( g1 (a ) , … ,
g i′ (a )e , … , g n (a )) .
i− te Stelle
10. Sind insbesondere Φ : U → L (E1 ,… , E n ; F ) und g : U → F in a ∈ U ⊆ E differenzierbar und
η (Φ ( x ), g ( x )) := Φ ( x ) ( g ( x )) , also
η
(n+1)-linear, dann ist
ϑ :U → G
definiert durch
ϑ( x ) := η (Φ ( x ), g ( x )) in a ∈ U differenzierbar. Es gilt
n
ϑ ′(a )e = Φ ′(a )e ( g (a )) + ∑ Φ (a ) ( g1 (a ), … , g i′ (a )e, … , g n (a )) .
i=1
Definition 0.3.7
n
Es seien E = ∏ E i , U ⊆ E offen. Es sei f : U → F eine Abbildung. Für a ∈ U , x ∈ E seien
i=1
(
κia
f
12
)( x ) := a + ιiE (πiE ( x − a )) , 1 ≤ i ≤ n . Ferner seien die PARTIELLEN ABBILDUNGEN
κia : πiE (U ) → F durch ( f κia )(π iE ( x )) := f (a + ιiE (π iE ( x − a ))) für jedes 1 ≤ i ≤ n definiert.
πiE
′
′
Nun gilt: κ ia ist in πiE ( x ) differenzierbar, also (κia ) (πiE ( x )) = (ιiE ) (πiE ( x − a )) = ιiE . Ist f in
a ∈ U differenzierbar, so sind alle f κia in πiE (a ) ∈ πiE (U ) , 1 ≤ i ≤ n differenzierbar und es gilt:
(f
′
κia ) (πiE (a )) = f ′ (a ) iιiE .
Die Ableitungen der partiellen Abbildungen heißen PARTIELLE ABLEITUNGEN. Wir bezeichnen sie mit
′
Di f = ( f κia ) πiE .
∗
∗
Definieren wir die stetige lineare Abbildung (ιiE ) : L (E, F ) → L (E i , F ) durch (ιiE ) (γ ) = γ iιiE , so
n
∗
∗
gilt Di f = (ιiE ) f ′ . Insbesondere ist f ′ = ∑ (π iE ) D i f .
i=1
Zeigen Sie: Ist f differenzierbar in a so gilt
Di f (a ) := lim
f (a + te i ) − f (a )
t →0
t
.
Wird ei durch einen beliebigen Vektor v ersetzt, so sprechen wir von der RICHTUNGSABLEITUNG VON
f
IN
RICHTUNG v .
Dv f (a ) := lim
f (a + tv ) − f (a )
t →0
t
Existieren alle partiellen Ableitungen Di f in a ∈ U und sind n −1 der Di f stetig in U , so ist f in
a ∈ U differenzierbar.
Die Abbildung f ist genau dann in U stetig differenzierbar, wenn alle Di f : U → L (E, F ) stetig
sind.
Auch hier kann die Matrixschreibweise hilfreich sein. In endlichdimensionalen Räumen wird
transponiert.
f ′ (a ) = ( D1 f (a ) ⋯ Dn f (a ))
Korollar 0.3.8
n
m
Es seien E = ∏ E i , F = ∏ Fi , U ⊆ E offen. Es sei f : U → F eine in a ∈ U differenzierbare
i=1
i=1
π iE
Abbildung. Ferner seien
: E → E i die kanonischen Projektionen und ιiF : Fi → F die kanonischen
Injektionen.
m
n
∗
f j′ (0.3.6 8.) und f j′ = ∑ (π iE ) Di f j′ (0.3.7) die Gleichung
Dann gilt mit f ′ = ∑ ι Fj
j =1
i=1
m
f ′ = ∑ ι Fj
j =1
m
f j′ = ∑ ι Fj
j =1
n
∗
m
n
∑ (πiE ) Di f j = ∑∑ ι Fj
i=1
j =1 i=1
∗
(πiE )
Di f j
oder
m
n
f ′ (a ) = ∑∑ ι Fj i Di f j (a ) i π iE .
j =1 i=1
13
In Matrixschreibweise lautet es
 D1 f1 (a ) ⋯ Dn f1 (a ) 


 .
′
f (a ) = 
⋮
⋱
⋮


 D1 f m (a ) ⋯ Dn f m (a )
p
Ist g : V → G eine weitere in f (a ) ∈ V differenzierbare Abbildung und G = ∏ G k , so gilt nach der
k =1
Kettenregel (0.3.6 1.)
m
Di ( g f )k (a ) = ∑ D j g k ( f (a )) i Di f j (a )
j =1
Als Matrixmerkregel


 D1 g1 ( f (a )) ⋯ Dn g1 ( f (a ))   D1 f1 (a ) ⋯ Dn f1 (a ) 



 • 
 .
⋮
⋱
⋮
⋮
⋱
⋮
( g f )′ (a ) = 
 



 D g f a
 1 p ( ( )) ⋯ Dn g p ( f (a ))  D1 f m (a ) ⋯ Dn f m (a )
Dies
folgt
aus
p
Darstellungen πi ι j = δ ij ⋅ 1 E j ,
den
m
n
f ′ (a ) = ∑∑ ι Fj i Di f j (a ) i π iE und
j =1 i=1
m
g ′ ( f (a )) = ∑∑ ι kG i D j g k ( f (a )) i π Fj .
k =1 j =1
( g f )′ (a ) = g ′ ( f (a )) i f ′(a )
p
m
m
n
= ∑∑ ι kG i D j g k ( f (a )) i π Fj i ∑∑ ι Fj i Di f j (a ) i πiE
k =1 j =1
p
m
j =1 i=1
n
= ∑∑∑ ι kG i D j g k ( f (a )) i Di f j (a ) i πiE
k =1 j =1 i =1
p
n
m
= ∑∑∑ ι kG i D j g k ( f (a )) i Di f j (a ) i πiE
k =1 i=1 j =1
Andererseits ist
p
n
( g f )′ (a ) = ∑∑ ι kG i Di ( g f )k (a ) i πiE .
k =1 i =1
Daraus folgt die Behauptung.
14
Definition 0.3.9
Es seien E, F Banachräume sowie U ⊆ E offen. Es sei f :U → F in U differenzierbar. f heißt
genau dann
ZWEIMAL DIFFERENZIERBAR IN
a ∈ U , wenn f ′ : U → L (E, F ) in a ∈ U differenzierbar
ist. Statt ( f ′)′ (a ) schreiben wir f ′′ (a ) . Ferner ist
f ′′ (a ) ∈ L (E, L (E; F )) ≅ L (E, E; F )
Zur Abkürzung setzen wir
L 2 (E; F ) := L (E, E; F ) .
Theorem 0.3.10
Es seien E, F Banachräume sowie U ⊆ E offen. Es sei f :U → F eine Abbildung, die in a ∈ U
zweimal differenzierbar ist.
Dann ist f ′′ (a ) eine BILINEARE SYMMETRISCHE ABBILDUNG.
f ′′ (a )( s, t ) = f ′′ (a )(t , s )
Einen Beweis findet man in H. Cartan, Differentialrechnung, Seite 86.
Es seien E, F Banachräume sowie U ⊆ E offen. Es sei f :U → F eine Abbildung, es seien für alle
0 ≤ i ≤ r − 2 f ( i ) : U → L i (E, F) in a ∈ U differenzierbar.
f heißt genau dann r-MAL
DIFFERENZIERBAR IN
a ∈ U , wenn f ( r −1) : U → L r−1 (E, F ) in a ∈ U
differenzierbar ist. f ( r ) (a ) ist folglich eine r-LINEARE SYMMETRISCHE ABBILDUNG!
15
0.4
Lokales Umkehr-, implizites Funktionen- und Rangtheorem
Erinnern wir zuvor einige Definitionen.
f heißt HOMÖOMORPHISMUS, wenn f stetig und bijektiv sowie f −1 stetig ist. Die Abbildung
f : U → F heißt genau dann STETIG DIFFERENZIERBAR IN U oder AUS DER KLASSE C 1 , wenn
a) f in U differenzierbar,
b) f ′ : U → L (E, F ) stetig ist.
Definition 0.4.1
Es seien E und F Banachräume. Es seien U ⊆ E , V ⊆ F offen und f :U → F eine Abbildung.
Die Abbildung f heißt genau dann ein C 1 -DIFFEOMORPHISMUS, wenn f : U → V ein Homöomorphismus ist und f ∈C 1 (U ,V ) sowie f −1 ∈C 1 (V ,U ) . Für diese Klasse schreiben wir f ∈ D 1 (U ,V ) .
Die Bedingung f −1 ∈C 1 (V ,U ) ist notwendig, denn f ( x) = x 3 zeigt, dass darauf nicht verzichtet
werden kann.
Satz 0.4.2
Es seien E und F Banachräume. Es seien U ⊆ E , V ⊆ F offen. Es sei f : U → V ein Homöomorphismus mit f (a ) = b und f ∈C 1 (U ,V ) .
f
ist genau dann ein C 1 -Diffeomorphismus, wenn
f ′ (a ) ∈ Iso K (E, F )
für jedes a ∈ U .
−1
′
Insbesondere gilt dann ( f −1 ) ( f (a )) = ( f ′(a )) .
Satz 0.4.3
Ist f ein C 1 -Diffeomorphismus und ist f aus der Klasse C r , so ist f −1 ebenfalls aus der Klasse
Cr .
Satz 0.4.4 (LOKALER UMKEHRSATZ)
Es seien E und F Banachräume. Es seien U ⊆ E offen und f ∈C 1 (U , F) . Für a ∈ U sei
f ′ (a ) ∈ Iso K (E, F ) .
Dann existiert eine offene Umgebung V von a mit V ⊆ U und eine offene Umgebung W von f (a ) ,
so dass f ∈ D 1 (U ,V ) .
Bezeichnung 0.4.5
Aufgrund des lokalen Umkehrsatzes sprechen wir auch von lokalen C 1 -Diffeomorphismen.
Korollar 0.4.6
Es seien E und F = F1 × F2 Banachräume. Es sei U ⊆ E offen und f ∈C 1 (U , F) . Für a ∈ U sei
f (a )= (0, 0) und f ′ (a ) ∈ Iso K (E, F1 ×{0}) . Dann existiert ein g ∈ D 1 (V1 ×V2 ,V1 ×V2 ) , wobei
(0, 0) ∈ V1 ×V2 , so dass g f : U ′ → F1 ×{0} , U ′ ⊆ U offen, ein h ∈ D 1 (U ′,W1 ) , W1 ⊆ F1 offen mit
h (a )= 0 , a ∈ U ′ , 0 ∈ W1 induziert.
16
Theorem 0.4.7 (SATZ VON DEN IMPLIZITEN ABBILDUNGEN)
Es seien E , F und G Banachräume sowie U ⊆ E × F offen und f ∈C 1 (U , G ) . Es sei (a , b) ∈ U
mit
f (a , b) = 0 , D2 f (a , b) ∈ Iso K (F, G ) . Dann existiert eine offene Umgebung V ⊆ U
mit
(a, b) ∈ V und eine offene Umgebung W ⊆ E mit a ∈ W sowie ein g ∈C 1 (W , F) , so dass gilt
( x, y ) ∈ V und f ( x, y ) = 0 ⇔ x ∈ W und g ( x ) = y .
Insbesondere gilt g ′ (a ) = −( D2 f (a, b)) −1 i D1 f (a, b) .
Korollar 0.4.8 (RANGTHEOREM)
Die Voraussetzungen seien wie in 0.4.7. Dann existiert ein lokaler C 1 -Diffeomorphismus
h : V1 ×V2 → U ′ ⊆ U mit (a , b) ∈ U ′ , so dass ( f h)( x , z ) = z . Mit anderen Worten f h ist die
Projektion auf die zweite Koordinate.
Bemerkung 0.4.9
Für endlichdimensionale
Räume
zeigt
das
Rangtheorem,
−1
Koordinaten die Abbildung f h eine Projektion bzw. ( f h)
dass
nach
Permutierung
der
eine Injektion darstellt. Mit anderen
Worten: Der Rang der Funktionalmatrix ist gleich der Dimension von G .
17
0.5
Richtungsableitung und Differenzierbarkeit
Statt der partiellen Ableitungen, können allgemeinere Ableitungen definiert werden.
Definition 0.5.1
Es seien E und F zwei Banachräume. Es sei U ⊆ E eine offene Menge. Es sei f : U → F eine
Abbildung und e ∈ E ein Vektor. Der Grenzwert
De f (a ) := lim
f ( a + te ) − f ( a )
t →0
heißt RICHTUNGSABLEITUNG VON f
Es ist folglich
AN DER
STELLE a ∈ U
t
IN
RICHTUNG DES VEKTORS e .
∂f
= Di f = Dei f die partielle Ableitung.
∂x i
Wir wissen schon, dass die Existenz der Richtungsableitungen nicht die Differenzierbarkeit impliziert.
Es sollte daher ein Kriterium gefunden werden, wann auf die Differenzierbarkeit geschlossen werden
kann. Dazu definieren wir zuerst die Schwache Ableitung. Andere Bezeichnungen hierfür sind
Gateaux-Ableitung oder Strikte Ableitung.
Definition 0.5.2
Eine Abbildung f : U → F , wobei U ⊆ E offen und E , F zwei Banachräume sind, heißt
DIFFERENZIERBAR AN DER
SCHWACH
STELLE a ∈ U , wenn die Abbildung
e ∈ E ֏ ( De f )(a ) ∈ F
linear und stetig auf E ist. Diese Abbildung bezeichnen wir mit Df (a ) . Es gilt folglich
Df (a ) ∈ L (E, F ) mit ( Df (a ))(e ) = De f (a ) .
Folgerung 0.5.3
Ist f : U → F differenzierbar an der Stelle a ∈ U , so auch schwach differenzierbar.
Beweis:
Wir setzen x = a + et und erhalten mit f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + r ( x − a ) nach Definition 0.3.1
die Gleichung f (a + et ) − f (a ) = f ′(a )(et ) + r (et ) , also
f (a+et ) − f (a )
f
= lim
( Df (a ))(e ) = De f (a ) = lim
t
t →0
t →0
Aus
e.
18
r (et )
r (et )
0 folgt
t = et ⋅ e t→
→0
′(a )(et )+r (et )
r (et )
= f ′(a )(e ) + lim t .
t
t →0
( f ′ (a ))(e ) = ( Df (a ))(e ) , also
f ′ (a ) = Df (a ) für ein beliebiges
0.6 Differentialformen in Banachräumen
DEFINITION 0.6.1
Es seien E und F zwei Banachräume. Eine p-lineare Abbildung α ∈ Lp (E; F ), p ≥ 2 heißt
ALTERNIEREND,
wenn
∨ ∨
∧ (e i = e j ⇒ α(e1 ,…, e i ,…, e j ,…, e p ) = 0) .
1<i< p 1< j < p e i ,e j ∈E
In Worten: Stimmen zwei der Vektoren in der F -wertigen p -Linearform überein, so ist der
zugeordnete Vektor stets null. Aus einer p-lineare Abbildung α ∈ Lp (E; F ) kann durch
Antisymmetrisierung eine alternierende p-lineare Abbildung erstellt werden, die für α ∈ A p (E; F )
wie die Identität wirkt. Konstruieren Sie diese! Beginnen Sie mit p = 2,3, 4,...
Die Menge der F -wertigen alternierenden p -Linearformen werden mit A p (E; F ), p ≥ 2 bezeichnet.
Wir setzen noch A0 (E; F ) := F und A1 (E; F ) := L (E; F ) , um Fallunterscheidungen zu vermeiden.
Insbesondere ist A p (E; F ) ein Teilvektorraum von Lp (E; F) .
Es sei nun U ⊆ E offen. Eine Abbildung ω : U → A p (E; F) heißt
eine
F-WERTIGE
p-
DIFFERENTIALFORM
der Klasse C 1 , wenn ω in U differenzierbar und stetig ist. Mithin sprechen wir kurz von einer
vektorwertigen Differentialform. Den zugehörigen VEKTORRAUM DER F -WERTIGEN pDIFFERENTIALFORMEN
DER
KLASSE C , r ≥ 1 , bezeichnen wir mit Ωp (U ; F ) . Wir setzen noch für den
r
r
GRAD deg(ω) := p .
DEFINITION 0.6.2
Es sei nun Φ ∈ L (F, G; H ) eine Bilinearform mit Werten im Banachraum H . Es sei U ⊆ E offen.
Das
ÄUßERE
PRODUKT
VON
α ∈ Ωpr (U ; F )
UND
β ∈ Ωqr (U ; G )
BEZÜGLICH
Φ : F × G → H ist die H-
wertige ( p + q ) -Differentialform α ∧ β ∈ Ωpr+q (U ; H ) definiert durch
Φ
((α
∧ β )( x )
Φ
)(e ,…, e
1
p +q
) :=
∑
σ∈S p+q
σ (1) < ⋯ < σ ( p )
σ ( p +1) < ⋯ < σ ( p +q )
(
)
sgn(σ )Φ α( x ) (e σ (1) ,… , e σ ( p ) ) , β ( x) (e σ ( p+1) ,… , e σ ( p +q ) )
Da (α ∧ β )( x ) offensichtlich eine p-lineare H-wertige Form der Klasse C r ist, bleibt zu verifizieren,
Φ
dass (α ∧ β )( x ) auch alternierend ist. Dazu sei e i = e j , i < j und τ ∈ S p+q die Transposition mit
Φ
τ (i ) = j und τ (k ) = k für alle k ∈ {1,… , i −1, i + 1,… , j −1, j + 1,… p + q} . Es ist sgn(τ ) = −1 . Ist
σ (1) < σ (i) < σ ( j ) < σ ( p) oder σ ( p +1) < σ (i) < σ ( j ) < σ ( p + q) , so ist nach Voraussetzung nichts zu
zeigen. Sei daher nach einer Permutation und Umbenennung ohne Einschränkung j = i + 1 sowie
σ (1) < σ (i ) < σ ( p) und σ ( p + 1) < σ (i + 1) < σ ( p + q) , dann gilt für jedes dieser σ :
(
)
(
)
sgn(σ ) Φ α( x ) (e σ (1) ,… , e σ ( p ) ) , β ( x ) (e σ ( p +1) ,… , e σ ( p + q ) ) + sgn(σ )sgn(τ ) Φ α( x ) (e στ (1) ,… , e στ ( p ) ), β ( x ) (e στ ( p +1) ,… , e στ ( p + q ) ) = 0
19
(
)
und folglich für e i = e i+1 die Differentialform (α ∧ β )( x ) (e1 ,… , e p+q ) = 0 damit alternierend.
Φ
DEFINITION 1.3
Wir definieren nun für α ∈ Ωpr (U ; F ) eine Differentialform d α ∈ Ωpr+−11 (U ; F) , DIFFERENTIAL genannt.
p
d α( x ) (e 0 ,…, e p ) := ∑ (−1) (α′( x ) (e i ))(e 0 ,…, eˆ i ,…, e p )
i
i =0
oder äquivalent dazu
d α( x ) (e 0 ,…, e p ) :=
∑
γ ∈S p+1
γ (1) < ⋯ < γ ( p )
(
)
sgn(γ ) α′( x ) (e γ (0) ) (e γ (1) ,…, e γ ( p ) ) .
Verifizieren Sie wie oben, dass dα( x ) wirklich alternierend ist.
KOROLLAR 0.6.4
Für α ∈ Ωpr (U ; F ), r ≥ 2 ist d (d α) = 0 .
BEWEIS

p +1
i
Nach Definition ist d (d α) ( x ) (e 0 ,… , e p+1 ) = ∑ i=0 (−1) (d α)′ ( x ) (e i )(e 0 ,…, eˆ i ,…, e p+1 ) mit


i−1


(dα)′ ( x ) (e i )(e 0 ,… , eˆ i ,… , e p+1 ) = ∑ (−1)i α′′( x ) (e i , e j ) (e 0 ,…, eˆ j ,… , eˆ i ,… , e p+1 )


j =0
(
p +1
)
(
)
− ∑ (−1) α′′( x ) (e i , e j ) (e 0 ,…, eˆ i ,… , eˆ j ,… , e p+1 )
i
j =i +1
Folglich ist


i
j
(−1) (d α)′ ( x )(e i )(e 0 ,…, eˆ i ,…, e p+1) + (−1) (d α)′ ( x )(e j )(e 0 ,…, eˆ j ,…, e p +1)

i −1

i+ j
= ∑ (−1)
j=0
p +1


p +1
(α′′( x)(e i , e j ))(e 0 ,…, eˆ j ,…, eˆ i ,…, e p+1) + ∑ (−1)i+ j+1 (α′′( x)(e i , e j ))(e 0 ,…, eˆ i ,…, eˆ j ,…, e p+1)
j =i +1
+ ∑ (−1)
i + j +1
i = j +1
j −1
(α′′( x)(e j , e i ))(e 0 ,…, eˆ j ,…, eˆ i ,…, e p+1) + ∑(−1)i+ j (α′′( x )(e j , e i ))(e 0 ,…, eˆ i ,…, eˆ j ,…, e p+1)
i =0
Zu jedem 0 ≤ j ≤ i −1 finden wir genau ein j + 1 ≤ i ≤ p + 1 mit α′′( x )(e i , e j ) − α′′( x )(e j , e i ) = 0 .
LEMMA 0.6.5
n
Es seien F = ∏ Fi der Produktraum von Banachräumen (Fi )1 ≤ i ≤ n und Φ : F → G n-linear. Es sei
i=1
g : U → F eine Abbildung, die in x ∈ U , U ⊆ E offen, differenzierbar ist. Durch ω := Φ g ist eine
Abbildung ω : U → G definiert, die in x ∈ U differenzierbar ist. Dann gilt
n
ω ′ ( x )e = Φ ′ ( g ( x )) i g ′( x )e = ∑ Φ ( g1 ( x ),… , g i′ ( x )e,….g n ( x )) .
i=1
20
(L1)
Ist sogar Φ : U → L (F1 , …, Fn ; G ) von der Klasse C 1 , so gilt darüber hinaus
n
ω ′( x )e = (Φ ′( x )e)( g ( x )) + ∑ Φ ( x ) ( g1 ( x ),… , g i′ ( x )e,… , g n ( x )) .
(L2)
i=1
Im Folgenden lassen wir die Stelle x der Einfachheit halber weg.
SATZ 0.6.6
Mit DEFINITION 1.2 und LEMMA 1.5 (L1) gilt mit α ∈ Ωpr (U ; F ) und β ∈ Ωqr (U ; G ) sowie
Φ ∈ L (F, G; H ) die Gleichung
deg( α)
d (α ∧ β ) = d α ∧ β + (−1)
Φ
α ∧ dβ .
Φ
Φ
BEWEIS
Es ist nach LEMMA 1.5 (L1)
(α ∧ β ) ′i e = α′i e ∧ β + α ∧ β ′i e
Φ
Φ
Φ
deg( α )⋅deg( β )
= α′i e ∧ β + (−1)
β ′i e ∧ α
Φ
Φ
Mit DEFINITION 1.3 folgt
deg( α )⋅deg( β )
d (α ∧ β ) = d α ∧ β + (−1)
Φ
dβ ∧ α
Φ
Φ
deg( α )⋅deg( β )+deg( α )⋅(deg( β )+1)
= d α ∧ β + (−1)
Φ
α ∧ dβ
Φ
deg( α )
= d α ∧ β + (−1)
Φ
α ∧ dβ
Φ
Damit ist alles gezeigt.
KOROLLAR 0.6.7
Es sei nun Φ : U → L (F, G; H ) von der Klasse C 1 . Dann gilt nach LEMMA 1.4 (L2)
n
ω ′( x )e = (Φ ′( x )e)( g ( x )) + ∑ Φ( x ) ( g1 ( x ),… , g i′ ( x )e,… , g n ( x )) .
i=1
Folglich ist dann (α ∧ β ) ′ i e = α
Φ
∧ β + α′ i e ∧ β + α ∧ β ′ i e
Φ′ i e
Φ
Φ
zu verwenden. Damit korrigiert sich
im SATZ 1.6 zusätzlich
∑
χ∈S p+q+1
χ (1) < ⋯χ ( p +q )


sgn χ α ∧ β (eχ (1) , …, eχ ( p+q ) ) .
 Φ ′ i e χ(0) 
Beachten wir noch, dass dΦ eine 1-Differenialform mit Werten in L (F, G; H ) ist, so folgt
grad( α )
d (α ∧ β ) = d α ∧ β + (−1)
Φ
Φ
α ∧ dβ + α
Φ
∧ β
dΦ
.
21
DEFINITION 0.6.8
Es sei Φ ∈ L (F1 ,… , Fk ; G ) eine stetige k-Linearform mit Werten im Banachraum G . Es seien
αi ∈ Ω rpi (U ; Fi ), 1 ≤ i ≤ k Differentialformen. Durch
((α1 ∧ ⋯ ∧ αk )( x )) (e1 ,…, e p1 +⋯+ pk ) :=
Φ
Φ
∑
σ ∈S p1+⋯ pk
(
)
sgn σ Φ (α1 ( x ))(e σ (1) ,…, e σ ( p1 ) ), …, (αk ( x))(e σ ( p1 +⋯+ pk−1 +1) ,…, e σ ( p1 +⋯+ pk ) )
wobei σ (1) < ⋯ < σ ( p1 ) , … , σ ( p1 + ⋯ + pk −1 + 1) < ⋯ < σ ( p1 + ⋯ + p k ) , wird eine ( p1 + ⋯ + p k ) − Differentialform mit Werten in G definiert.
Sind Fi = K , 1 ≤ i ≤ k und ist K der Körper der reellen bzw. komplexen Zahlen, so ist Φ einfach
das k-fache Produkt. In diesem Fall schreiben wir kurz
α1 ∧ ⋯ ∧ αk .
Der Beweis ist genauso zu führen wie in Definition 0.4.2.
Sind Fi = G , 1 ≤ i ≤ k , so kann α1 ∧ ⋯ ∧ αk wie folgt definiert werden. Hier für k = 3 .
Φ
Φ
(α1 ∧ α2 ∧ α3 )( x ) := ((α1 ∧ α2 )( x ) ∧ α3 ( x ))
Φ
Φ
Φ
Φ
Vermöge dieser Definition erhalten wir eine Algebra. Zeigen Sie dafür
(α1 ∧ α2 )( x ) ∧ α3 ( x ) := α1 ( x ) ∧(α2 ∧ α3 )( x ) .
Φ
Φ
Φ
Φ
Für die sogenannten Differentiale defineren wir spezielle Differentialformen.
DEFINITION 0.6.9
Es sei U ⊆ E offen und ω : U → A p (E; F) eine F -wertige p-Differentialform der Klasse C 1 . Es sei
E = G 1 ×⋯× G k und ιU : U → E die kanonische Einbettung. Für jedes i ∈ ℕ, 1 ≤ i ≤ k sei π i die
kanonische Projektion, also π i ιU : U → G i definiert durch π i ( x ) := xi mit x = ( x1 ,… , x k ) . Dann
′
ist d πi :U → A (G1 ×⋯×G k ; Gi ) nichts anderes als d πi ( x)(g1, …, g k ) := g i , denn (πi ιU ) ( x) = πi .
Es sei nun Φ ∈ L (G 1 ,⋯, G p ; F) eine stetige nicht ausgeartete vektorwertige p-Linearform und
d π j1 ∧ … ∧ d π
Φ
jp
Φ
: U → A p (E; F ) , wobei E = G 1 ×⋯× G k ist, dann
d π j1 ∧ … ∧ d π p ( x )(e1 , …, e p ) :=
j
Φ
Φ
∑ sgn (λ )Φ (d π j ( x )(eλ (1) ),…, d π
1
jp
λ ∈S p
( x )(eλ ( p ) )) .
Dann gibt es eindeutig bestimmte w j1 ,…, j p : U → F der Klasse C r , r ≥ 1 , so dass
ω=
∑
j1 <…< j p
w j1 ,…, j p i d π j1 ∧ … ∧ d π
Φ
jp
.
Φ
Diese Darstellung nennen wir kanonische Darstellung der F -wertige p-Differentialform. Sind
E1 = E 2 = ⋯ = E k = K und K ∈ {ℝ, ℂ} der Körper der reellen bzw. komplexen Zahlen, so ist Φ das
gewöhnliche Produkt von p Zahlen.
Diese Darstellung nennen wir die kanonische Darstellung der Differentialform.
22
Ist E k-dimensional, so darf jedes E i ≃ K angesehen werden. Dann ist Φ das gewöhnliche Produkt
und wir schreiben dx j := d π j . Mit 0.6.6 ist nun
d π j1 ∧ … ∧ d π p ( x )(e1 , …, e p ) :=
j
Φ
Φ
∑ sgn (λ)Φ (d π j ( x )(eλ (1) ),…, d π
1
λ ∈S p
jp
( x )(eλ ( p ) )),
also
ω ( x )(e1 , …, e p ) =
=
(
)(e , …, e )
∑
w j1 ,…, j p ( x ) d π j1 ∧ … ∧ d π
∑
w j1 ,…, j p ( x ) ∑ sgn (λ )Φ d π j1 ( x )(e λ (1) ),… , d π p ( x )(e λ ( p ) )
j1 <…< j p
j1 <…< j p
Φ
jp
Φ
1
p
(
λ ∈S p
Wegen e i = (e i ,1 ,…, e i ,k ) setzen wir e ijl := (0,…,0, ei , jl
)
j
,0,… ,0) . Dann ist
jl −te Stelle
(
)
ω ( x ) e1i1 , …, e pp =
i
( )
(
(1)
w j1 ,…, j p ( x ) ∑ sgn (λ )Φ d π j1 ( x ) e λλ(1)
,… , d π p ( x ) e λλ(( pp))
∑
w j1 ,…, j p ( x )Φ e1, j1 δi j ,… , e p , j p δ pj
j1 <…< j p
=
(
∑
j1 <…< j p
λ ∈S p
i
(
(
= wi1 ,…, i p ( x )Φ e1,i1 ,… , e p ,i p
j
i
))
)
)
Definieren wir w j1 ,…, j p : U → F durch
( (
w j1 ,…, j p ( x ) := Φ e1, j1 ,…, e p , j p
))
−1
(
)
ω ( x ) e1, j1 , … , e p , j p ,
so ist alles gezeigt.
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit Abbildungen zwischen Banachräumen.
DEFINITION 0.6.10
Es seien E, F, G Banachräume. Es sei U ⊆ E offen und f : U → V ⊆ F eine Abbildung der Klasse
C r +1 . Für eine Differentialform α ∈ Ω rp (V , G ) mit Werten in G sei f ∗α definiert durch
( f ∗α)( x) (e1 ,…, e p ) := α( f ( x))( f ′( x)e1 ,…, f ′( x )e p ) .
Dann ist f ∗α ∈ Ω rp (U , G ) . f ∗α heißt PULL BACK von α durch f . Es gilt
(i)
f ∗ (α ∧ β ) = f ∗ α ∧ f ∗ β
Φ
(ii)
(iii)
Φ
f ∗ (d α) = d ( f ∗α)
∗
( f g ) = g ∗ f ∗ für eine weitere Abbildung g : W → U der Klasse C r +1 , W ⊆ H
offen im Banachraum H .
BEWEIS
Wir haben zu zeigen, dass f ∗α von der Klasse C r ist. Zunächst ist f ′( x ) ∈ L (E; F ) nach 0.3.3.
Also sind α f : U → A p (F; G ) und f ′ von der Klasse C r .
23
Wir
setzen
in
1.5
(L1)
für
die
Ableitung
g :U → F
einfach
g :U → F p
mit
g ( x ) := ( g1 ( x ), … , g p ( x )) und g i ( x ) = f ′( x )e i . Folglich stimmt nun ω( x ) := Φ ((α f )( x ), g ( x ))
mit ( f ∗α)( x ) (e1 ,…, e p ) := α( f ( x ))( f ′( x )e1 ,… , f ′( x )e p ) überein. Wir erhalten also
p
ω ′( x )e = (Φ ′( x )e)( g ( x )) + ∑ Φ ( x ) ( g1 ( x ),…, g i′ ( x )e,… , g n ( x ))
i =1
p
= α′ ( f ( x )) i f ′( x )e ( f ′( x )e1 ,…, f ′( x )e p ) + ∑ (α f )( x ) ( f ′( x )e1 , …, f ′′( x )(e i , e), …, f ′( x )e p )
(#)
i =1
p
= α′ ( f ( x )) i f ′( x )e ( f ′( x )e1 ,…, f ′( x )e p ) + ∑ (−1)
i−1
α( f ( x ))( f ′′( x )(e i , e), f ′( x )e1 , …, f ′( x )e p )
i=1
Damit ist alles gezeigt.
Wir beweisen (i) f ∗ (α ∧ β ) = f ∗α ∧ f ∗ β .
Φ
Φ
( f ∗ (α ∧ β ))( x )(e1 ,…, e p +q ) = ((α ∧ β )( f ( x )))( f ′( x )e1 ,…, f ′( x )e p +q )
Φ
Φ
=
=
(
)
∑
sgn σ Φ α( f ( x ))( f ′( x )e σ (1) ,…, f ′( x )e σ ( p ) ), β ( f ( x ))( f ′( x )e σ ( p +1) ,…, f ′( x )e σ ( p + q ) )
∑
sgn σ Φ f ∗α( x ) (e σ (1) ,…, e σ ( p ) ), f ∗β ( x )(e σ ( p +1) ,…, e σ ( p +q ) )
σ ∈ S p+q
σ (1) < ⋯ < σ ( p )
σ ( p +1) < ⋯ < σ ( p + q )
σ ∈ S p+q
σ (1) < ⋯ < σ ( p )
σ ( p +1) < ⋯ < σ ( p + q )
(
)
= (( f ∗α ∧ f ∗β )( x ))(e1 ,…, e p +q )
Φ
Wir beweisen (ii) f ∗ (d α) = d ( f ∗α) .
Es ist
p
∧


i
d ( f ∗α)( x )(e 0 ,…, e p ) = ∑ (−1) ( f ∗α)′ ( x )(e i )e 0 ,… , e i ,…, e p 







i=0
p
∧


i
= ∑ (−1) (α′ ( f ( x )) i f ′( x ) (e i )) f ′( x )e 0 ,…, f ′( x )e i ,…, f ′( x )e p 


i=0
+
∑
0≤ k <i ≤ p


∧



(−1) α( f ( x )) f ′( x )e 0 ,…, f ′′( x )(e i , e k ),…, f ′( x )e i ,…, f ′( x )e p 
i

k −te Stelle


∧

i
+ ∑ (−1) α( f ( x )) f ′( x )e 0 ,…, f ′( x )e i ,…, f ′′( x )(e i , e k ),…, f ′( x )e p 


0≤i < k ≤ p


k − te Stelle
p
∧


i
= ∑ (−1) (α′ ( f ( x )) i f ′( x ) (e i )) f ′( x )e 0 ,…, f ′( x )e i ,…, f ′( x )e p 



i=0
= d α( f ( x ))( f ′( x )e 0 ,…, f ′( x )e p )
= ( f ∗d α) ( x )(e 0 ,…, e p ),
denn f ′′( x )(e i , e k ) = f ′′( x )(e k , e i ) und damit
∧
∧




α( f ( x )) f ′( x )e 0 ,… , f ′′( x )(e k , e i ),…, f ′( x )e k ,… , f ′( x )e p  + (−1) α( f ( x )) f ′( x )e 0 ,… , f ′( x )e i ,…, f ′′( x )(e i , e k ),… , f ′( x )e p  = 0 .




(iii) bleibt als Übung.
24
Wir kommen zu den
BASISABHÄNGIGEN
DARSTELLUNGEN. Es sei K ∈ {ℝ, ℂ} der Körper der rellen
oder komplexen Zahlen. Es sei nun ω : U → A p (K n ; K m ) von der Klasse C r . Für ein Vektorfeld
s ∈ U → K m der Klasse C r schreiben wir s ∈ Γ v (K m ) und für ein Tangentialfeld t ∈ U → K n der
Klasse C r entsprechend t ∈ Γ t (K n ) . An jeder Stelle x ∈ U existiert folglch eine Basis für Γ v (K m )
und Γ t (K n ) , so dass diese auch begleitendes m-Bein bzw. n-Bein verstanden werden kann. Es seien
d τ 1 , …, d τ n ∈ Γ t∗ (K n ) die zu t1 , … , t n ∈ Γ t (K n ) dualen Basisformen, also d τ j ( t i ) = δi j für alle
1 ≤ i, j ≤ n .
Die
kanonischen
( )
∂ , …, ∂ ∈ Γ K n
t
∂x1
∂x n
Basisvektoren
und
Basisformen
bezeichnen
wir
mit
dx1 , …, dx n ∈ Γ t∗ (K n ) . Für die alternierende vektorwertige p-
und
Differentialform schreiben wir
(
)
(
)
ω ∈ Ω rp Γ t (K n ); Γ v (K m ) =: Γ tv Ω rp (K n ; K m ) ,
so dass wir den Punkt x ∈ U ⊆ K n wieder weg lassen können.
SATZ 2.1
(
)
Es sei ω ∈ Γ tv Ω rp (K n ; K m ) . Dann hat ω die Darstellung
m
ω = ∑ ω i ⋅ si ,
i=1
(
)
ω i ∈ Γ t Ω rp (K n ; K )
wobei
(
si ∈ Γ v (K m )
und
ein
Vektorfeld
sind.
Ferner
hat
)
ω i ∈ Γ t Ω rp (K n ; K ) die Darstellung
ωi =
∑
i
1≤i1 <⋯<i p ≤n
ω ii1⋯i p dx i1 ∧ ⋯ ∧ dx p , ω ii1⋯i p ∈ K ,
wobei das Produkt induktiv nach DEFINITION 0.6.8 definiert ist. Insbesondere gilt
∧ dx ∧ dx = 0 .
i
i
1≤i≤n
BEWEIS
Nach Voraussetzung existiert eine Basis von Vektorfeldern s1 , … , s m ∈ Γ v (K m ) und eine Basis von
Tangentialfeldern t1 , … , t n ∈ Γ t (K n ) . Folglich kann
(
m
)
(
)
ω t i1 , …, t i p = ∑ ω i t i1 , … , t i p ⋅ si ∈ Γ (K m )
i=1
und
(
)
ω i t i1 , … , t i p ∈ Γ (K ) .
angesehen werden. Da ω alternierend ist, hat auch ω i für jedes 1 ≤ i ≤ m diese Eigenschaft. Es sei
(
)
(
)
nun ω i ∈ Γ t Ω rp (K n ; K ) . Wir setzen ω ii1⋯ir := ω i t i1 , … , t i p ∈ Γ (K ) . Es folgt
ωi =
∑
1≤ i1 <⋯< ir ≤n
ω ii1⋯ir d τ i1 ∧ ⋯ ∧ d τ ir ,
25
wobei
 d τ i1 ∧ ⋯ ∧ d τ ir−1 ∧ d τ ir  ( t , … , t ) =
)
jr
(
 j1
∑
σ∈S r
σ ( j1 ) <⋯< σ ( jr−1 )
sgn σ ⋅ (d τ i1 ∧ ⋯ ∧ d τ ir−1 )(t j1 , … , t jr−1 ) ⋅ d τ ir (t σ ( jr ) )


Induktiv mit DEFINITION 1.16 4. Eigenschaft definiert ist. Insbesondere gilt mit β ∈ S n
d τ β (i1 ) ∧ ⋯ ∧ d τ β (ir ) = sgn β ⋅ d τ i1 ∧ ⋯ ∧ d τ ir und
∧ dτ ∧ dτ
i
i
=0.
1≤i≤n
Damit ist der Satz bewiesen.
SATZ 2.2
(
m
)
Es sei ω ∈ Γ tv Ω rp (K n ; K m ) mit ω = ∑ ω i ⋅ si . Dann ist
i=1
m
d ω = ∑ (d ω i ⋅ si + ω i ∧ d si )
i=1
Insbesondere finden wir im Banachraum mit dem kanonischen Zusammenhang die Formel
p
d ω ( X 1 ,… , X p ) = ∑ (−1)
i +1
i =1
ω ′ i X i i ( X 1 ,… , Xˆ i ,… , X p ) .
BEWEIS
p
dω ( X 1 ,… , X p ) = ∑ (−1)
i +1
(ω ( X ,…, Xˆ ,…, X ))′ i X
1
i =1
+∑ (−1)
i+ j
i< j
p
i +1
= ∑ (−1)
i =1
p
i
p
i
ω ( X ′j X i − X i′X j , X 1 ,…, Xˆ i ,…, Xˆ j ,… , X p )
ω ′ i X i ⋅ ( X 1 ,…, Xˆ i ,… , X p )
p
+∑ (−1)
∑ ω ( X 1 ,…, X ′j ⋅ X i ,…, Xˆ i ,…, X p )
+∑ (−1)
ω ( X ′j X i − X i′X j , X 1 ,…, Xˆ i ,…, Xˆ j ,… , X p )
i +1
i=1
j =1
i+ j
i< j
p
i +1
= ∑ (−1)
i =1
ω ′ i X i ⋅ ( X 1 ,…, Xˆ i ,… , X p )
Setzen wir jetzt die lokale Darstellung ein und beachten, dass
ω j ⋅ s j ( X 1 ,…, Xˆ i ,…, X p ) = ω j ( X 1 ,… , Xˆ i ,… , X p )⋅ s j
gilt, so folgt nach Definition
r
d ω ( X 1 ,… , X p ) = ∑ (−1)
i =1
i +1
p

j =1
p


i +1
= ∑ d ω j ( X 1 ,… , X p ) ⋅ s j + ∑ (−1) ω j ( X 1 ,… , Xˆ i ,… , X p )⋅ d s j ( X i )


j =1 
i=1
p
m
= ∑ (d ω i ⋅ si + ω i ∧ d si )( X 1 ,… , X p )
i =1
26

∑ (ω j )′ i X i i ( X 1 ,…, Xˆ i ,…, X p ) + ω j ( X 1 ,…, Xˆ i ,…, X p )⋅ s ′j ⋅ X i 
KOROLLAR 2.3
(
)
Es sei ω ∈ Γ t Ω rp (K n ; K ) , ω =
∑
i
ω i1⋯i p dx i1 ∧⋯ ∧ dx p . Dann ist
i1 ≤⋯≤ir ≤n
∑
dω =
i1 ≤⋯≤ir ≤n
d ω i1⋯i p
i
∧ dx 1 ∧ ⋯ ∧ dx
ip
,
wobei
n
n
j =1
j =1
(
)
d ω i1⋯i p = ∑ D j ω i1⋯i p dx j = ∑ ∂ j ω i1⋯i p dx j .
∂x
BEWEIS:
Da d als Differential K - linear ist, genügt es die Aussage für ω = f dx i1 ∧ ⋯ ∧ dx
ip
zu beweisen.
Nach Satz 1.4 ist
(
d ω = d f dx i1 ∧ ⋯ ∧ dx
ip
) = df ∧ (dx
i1
∧ ⋯ ∧ dx
ip
) + f ⋅ d (dx
( )
n
Es sei nun X ∈ Γ t (K n ) , X = ∑ i=1 hi ∂ i ,
∂ , …, ∂ ∈ Γ K n
t
∂x1
∂x n
∂x
i1
∧ ⋯ ∧ dx
ip
)
die zu dx1 ,… , dx n ∈ Γ t∗ (K n )
dualen Basisfelder. Wir erhalten:
n
df ( X ) = ∑ hi df
i=1
n
( )
∂ =
∂x i
n
∑ hi ∂∂xi ( f )
i=1
( ∂x )
n
= ∑∑ hi ∂ i ( f ) dx j ∂ i
∂x
j =1 i =1
n
= ∑ ∂ j ( f ) dx j ( X )
j =1
Offenbar gilt
(
df
d dx i1 ∧ ⋯ ∧ dx
∧
(dx
i1
∧ ⋯ ∧ dx
ip
∂x
) = df ∧ dx
i1
∧ ⋯ ∧ dx
ip
. Es bleibt daher zu zeigen, dass
) = 0 . Dies geschieht durch Induktion nach
ip
p.
Für p = 1 ist d (dx i1 ) = 0 nach KOROLLAR 1.9. Sei nun die Aussage für p −1 bewiesen. Wir finden
(
und damit d (dx
) = dx ∧ ⋯ ∧ dx + x ⋅ d (dx ∧ ⋯ ∧ dx ) = dx ∧ ⋯ ∧ dx
) = dd ( x ⋅ dx ∧ ⋯ ∧ dx ) = 0 nach KOROLLAR 1.9.
d x i1 ⋅ dx i2 ∧ ⋯ ∧ dx
i1
∧ ⋯ ∧ dx
ip
ip
ip
i1
i1
i1
i2
ip
i1
ip
ip
i2
KOROLLAR 2.4
(
)
Es sei ω ∈ Γ tv Ω rp (K n ; K m ) . Es sei f ∈C
r
(K n ; K m ) . Es seien
X 1 ,…, X p ∈ Γ t (K n ) . Zu jedem
X ∈ Γ t (K n ) existiere ein Y ∈ Γ t (K m ) mit f ′ ( X ( x ))) = Y ( f ( x )) . Dann gilt:
1.
f ∗d τ i = d ( f ∗ τ i ) = d (τ i
∂f i
dy j , wenn d τ 1 ,…, d τ n die zu t1 ,…, t n dualen
j
∂
y
j =1
n
f ) = df i = ∑
Basisfelder sind.
m
2.
(
)
f ∗ d ω = ∑ d ( f ∗ω)⋅ f ∗ si + f ∗ω i ∧ d f ∗ si , wenn f ∗ s1 ,…, f ∗ s m die zurückgeholten Basisfelder
i=1
sind.
.
27