Blatt 5 - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl IV
Langzeitabhängige stochastische Prozesse
SS 2017, Blatt 5
Dehling/Woerner/Mentemeier
Übungen
Abgabetermin: Montag, 26.06.2017, bis 15:00 im Postfach vor Raum 623
THEMEN: Riemann-Stieltjes-Integral, Power-Variation
• Eine Funktion F : [0, T ] →
var1 (F, [0, T ]) := sup {
n
X
R hat beschränkte Variation, falls
|F (ti )−F (ti−1 )| : n ∈
i=1
N, 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T } < ∞.
R
Eine Funktion F : [0, ∞) →
hat lokal beschränkte Variation, kurz: F ∈ LBV ,
falls für jedes T > 0 gilt: F , eingeschränkt auf [0, T ], hat beschränkte Variation.
F ∈ LBV genau dann, wenn F = F+ − F− für monoton wachsende Funktionen
F+ , F− .
• Für F ∈ LBV definieren wir |F |(t) := var1 (F, [0, t]).
• Es sei f stetig, g R∈ LBV und rechtsseitig stetig. Dann ist für T > 0 das RiemannStieltjes Integral 0T f dg definiert als
Z T
0
f dg = n→∞
lim
n
X
f (ti−1 ) g(ti ) − g(ti−1 ) ,
mit ti = iT /n.
i=1
• Es gilt: Seien f und g stetig, sei ϕ stetig differenzierbar. Dann
Z T
0
f d(ϕ ◦ g) =
Z T
f · ϕ0 (g) dg
(1)
0
Aufgabe 1 (6 Punkte)
Entscheiden Sie für folgenden Funktionen m : [0, ∞[ → R, ob sie rechtsstetig sind und
in LBV liegen.
R
R
Im positiven Fall bestimme man 01 1dm und 01 1|dm|.
a) m(x) = −x
b) m(x) = x3
c) m(x) = cos x
d) m(x) =
e) m(x) =

x sin 1 ,
x > 0,
0,
x = 0.
x

1,
x
0,
x > 0,
x = 0.
Bitte wenden.
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2017Sommer/LongRangeDependence
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Riemann-Stieltjes-Integrale:
a)
Z 1
2
2
x dx ,
b)
Z 1
x
−x
e d(e ),
c)
Z 1
0
0
2
1 d x sin
0
1
x
.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
(i) Es sei m : [0, ∞[ → R monoton wachsend, rechtsstetig und beschränkt. Zeigen Sie,
dass genau ein Maß µm auf ([0, ∞[, B([0, ∞[) existiert mit µm ({0}) = 0 und
µm (]a, b]) = m(b) − m(a) (0 ≤ a < b).
(ii) Zeigen Sie, dass für jede stetige Funktion f und T > 0 gilt, dass
Z T
f dm =
Z
[0,T ]
0
f dµm ,
wobei links ein Riemann-Stieltjes-Integral, rechts ein Lebesgue-Integral steht.
Aufgabe 4 (6 Punkte)
Es sei (Xt )t≥0 ein stochastischer Prozess. Für (festes) t > 0 sei Π = {t0 , t1 , . . . , tm } eine
Zerlegung des Intervalls [0, t], d.h. 0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm = t. Definiere die p-Variation
von X (über die Zerlegung Π)
(p)
Vt (Π) :=
m X
Xtk
p
− Xtk−1 k=1
sowie kΠk := max1≤k≤m |tk − tk−1 |.
Nun sei vorausgesetzt, dass (Xt )t≥0 stetige Pfade besitzt.
(i) Sei t > 0. Es gebe ein p > 0, sodass
(p)
lim Vt (Π) = Lt
in Wahrscheinlichkeit
kΠk→0
für eine f.s. endliche Zufallsvariable Lt . Zeigen Sie, dass
(q)
(a) für jedes q > p limkΠk→0 Vt (Π) = 0 in Wahrscheinlichkeit.
(q)
(b) für jedes 0 < q < p gilt limkΠk→0 Vt (Π) = ∞ in Wahrscheinlichkeit auf der
Menge {Lt > 0}.
(ii) Folgern Sie, dass die Totalvariation der Brownschen Bewegung in jedem t > 0
unendlich ist.