Thermische Ausdehnung von Festkörpern

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
16. Vorlesung:
Streuung:
Diffusion:
Wärmeleitung:
Kontinuitätsgleichung:
Bernoulli-Gleichung:
Experimentalphysik I SS 2010
Mittlere freie Weglänge ⇒
Λ=
j = − D ⋅ grad n
1
σ ⋅ nB
[Λ] = m
dW
= κ (T1 − T2 ) κ ≡ Wärmeübergangszahl
dt
dW
dT
=λ⋅
λ ≡ Wärmeleitfähigkeit
dt
dx
∂ρ
+ div( ρ ⋅ u) = 0
∂t
⇒
1
1
p1 + ρ ⋅ u12 = p2 + ρ ⋅ u22
2
2
u1 A2
=
u2 A1
⇒
I = const.
1
p + ρ ⋅ u 2 = p0
2
17-1
Viskosität und laminare Strömung
Einfluss der
„Zähigkeit“ (innere
Reibung) auf den
Strömungsvorgang:
Erinnerung:
Diffusion ↔ Teilchentransport
Wärmeleitung ↔ Energietransport
Viskosität ↔ Impulstransport
Flüssigkeitsschicht haftet an Oberfläche, Moleküle der
Randschicht wechselwirken mit Molekülen in der
Nachbarschaft
→ benachbarte Schicht wird mitgezogen
→ usw. ( → Geschwindigkeitsprofil)
Experimentalphysik I SS 2010
17-2
Viskosität und laminare Strömung
Ebene Fläche mit uo durch viskoses („zähes“) Medium
ziehen - erforderliche Kraft (nicht zur Beschleunigung,
sondern zur Überwindung der Reibung):
F =η ⋅ A⋅
η
∂u
∂x
⇒ FR = −η ⋅ A ⋅
∂u
∂x
Dynamische Zähigkeit (Viskosität)
[η ] = N 2s = Pa s
m
[alte Einheit: Poise = 0.1 Pa s]
„Bremsung“ ist proportional zur
Differenzgeschwindigkeit zwischen den
Schichten:
du = u ( x + dx) − u ( x)
du = u ( x) +
du =
Experimentalphysik I SS 2010
∂u
dx − u ( x)
∂x
∂u
dx
∂x
17-3
Viskosität und laminare Strömung
Typische Beispiele:
Experimentalphysik I SS 2010
17-4
Viskosität und laminare Strömung
Kugel-FallViskosimeter:
Kugel von der Oberfläche aus mit der Anfangsgeschwindigkeit u = 0 in eine Flüssigkeit fallen lassen.
Beschleunigende Kraft:
4
Fg = meff g = ( ρ K − ρ Fl ) ⋅ π ⋅ R 3K ⋅ g
3
Reibungskraft:
Schwerkraft - Auftrieb
Stokessches Gesetz
FR = −6 ⋅ π ⋅η ⋅ RK ⋅ u0
Beachte: FR ∝ u0
Gleichgewicht:
FR + Fg = 0
⇒
Konstante Sinkgeschwindigkeit u0
6π ⋅η ⋅ RK ⋅ u0 = ( ρ K − ρ Fl ) ⋅ π ⋅ RK3 ⋅ g
2
1
u0 = ( ρ K − ρ Fl ) ⋅ ⋅ RK2 ⋅ g ⋅
9
η
Experimentalphysik I SS 2010
∝ η −1 ⇒
Bestimmung
von η
17-5
Reibungskraft und Viskosität
Geschwindigkeitsgradient quer zur Strömungsrichtung
Reibungskraft:
∂u
grad u z = ( ,0,0), u z ( x0 − dx) < u z ( x0 ) < u z ( x0 + dx)
∂z
du
⇒ dFR , z = η ⋅ dy ⋅ dz ⋅ z , (dA = dy ⋅ dz )
dx
mittleres Element:
bei x = xo bremsende Kraft
bei x = xo + dx beschleunigende Kraft
Experimentalphysik I SS 2010
17-6
Reibungskraft und Viskosität
Nettokraft:
δFR = dFR ( x0 + dx) − dFR ( x0 )
Taylorentwicklung:
 ∂u z
∂u z 


−
δFR = η ⋅ dy ⋅ dz ⋅ 

 ∂x x0 + dx ∂x x0 
∂
δFR = η ⋅ dy ⋅ dz ⋅ [u z ( x0 + dx) − u z ( x0 )]
∂x
∂u
2. Ableitung
u z ( x0 + dx) = u z ( x0 ) + z dx
∂x
∂ 2u z
dx dy dz = dV
δFR , z = η ⋅ dy ⋅ dz ⋅ 2 ⋅ dx,
∂x
∂ 2u z
⇒ δFR , z = η ⋅ dV ⋅ 2
∂x
Eindimensionaler Strömungsgradient!!
Experimentalphysik I SS 2010
17-7
Reibungskraft und Viskosität
Verallgemeinerung auf
3 Dimensionen:
falls (∂uz /∂y) ≠ 0 und (∂uz /∂z) ≠ 0
Strömungsgradient in alle drei Raumrichtungen:
dFR , z = η ⋅ dV ⋅ ∆u z
mit Laplace-Operator
∂2
∂2
∂2
∆= 2 + 2 + 2
∂x ∂y ∂z
Integration über Volumen
FR , z = η ⋅ ∫ ∆u z ⋅ dV
verallgemeinert für alle Komponenten:
FR = η ⋅ ∫ ∆u ⋅ dV
Experimentalphysik I SS 2010
17-8
Laminare Strömung zwischen Platten
Stationäre Strömung eines viskosen Mediums
Erforderliche Kraft F =
∆p
A
Ziel: Bestimmung des Strömungsprofils
Es sei:
u = (0,0, u z ),
∂p ∂p
=
=0
∂x ∂y
Druck hängt nicht von
x oder y ab.
Kraft auf Massenelement dm:
Kraft am Ort z2=z1+dz – Kraft am Ort z1
F1 = b ⋅ dx ⋅ p ( z1 ), F2 = b ⋅ dx ⋅ p ( z 2 ) = b ⋅ dx ⋅ ( p ( z1 ) −
∂p
dz
∂z
d 2u z
dFR = η ⋅ dV ⋅ ∆u = η ⋅ b ⋅ dx ⋅ dz ⋅ 2
dx
∂p
⋅ dz )
∂z
⇒ ∆F = −b ⋅ dx ⋅ dp = −b ⋅ dx ⋅
Reibungskraft:
Experimentalphysik I SS 2010
17-9
Laminare Strömung zwischen Platten
Stationärer Fall:
d 2u z
η ⋅ b ⋅ dx ⋅ dz ⋅ 2 = −b ⋅ dx ⋅ dp
dFR = dFz ,
dx
1 dp
d 2u z
⇒
=
−
⋅
2
dx
η dz
2-fache Integration:
1 x 2 dp
du z
x dp
= − ⋅ + C1 , ⇒ u z ( x) = −
⋅ + x ⋅ C1 + C2
η dz
2 η dz
dx
Randbedingungen:
du z
dx
= 0 ⇒ C1 = 0,
x =0
1 d 2 dp
u z ( x = d ) = 0 ⇒ C2 = −
⋅
2 η dz
Geschwindigkeitsprofil:
Experimentalphysik I SS 2010
⇒ u z ( x) =
dp
1
⋅ (d 2 − x 2 )⋅
dz
2η
17-10
Laminare Strömung durch Rohre
Δp zeitlich konstant → stationäre Strömung, p = p(z)
Symmetrie erfordert u = u(r) (Zylindersymmetrie)
A

du
FR , z = η ⋅ 2πrL ⋅ z
dr
Fz = πr 2 ⋅ ( p1 − p2 )
Reibungskraft
Druckkraft
du z
= πr 2 ⋅ ( p1 − p2 )
dr
du z r ⋅ ( p1 − p2 )
=
η ⋅2⋅ L
dr
( p − p2 )
⋅ ∫ r dr
⇒ u z (r ) = 1
η ⋅2⋅ L
∆p
⇒ u z (r ) = (R 2 − r 2 )⋅
4η ⋅ L
⇒ η ⋅ 2πrL ⋅
Parabelförmiger Verlauf
Experimentalphysik I SS 2010
17-11
Laminare Strömung durch Rohre
Gesetz von HagenPoiseuille:
Durchsatz eines viskosen Mediums:
u z (r ) = (R 2 − r 2 )⋅
∆p
,
4η ⋅ L
dV
dM
=ρ⋅
dt
dt
dVdr (r , t )
∆p
= 2π rdr ⋅ ( R 2 − r 2 )
dt
4η L
dV 2π ∆p
⋅ ∫ r dr ⋅ ( R 2 − r 2 )
=
4η L
dt
π ∆p 4
⇒ V (t ) =
⋅ R ⋅t
8η L
Pro Zeiteinheit durchströmende Flüssigkeit:
⇒ M=
ρ ⋅V
t
=ρ⋅
π ∂p 4
⋅ ⋅R
8η ∂z
Starke Variation von M mit Rohrradius R
Experimentalphysik I SS 2010
17-12
Gleichungen der Strömungslehre
Kontinuitätsgleichung:
Bernoulli-Gleichung:
Euler-Gleichung:
∂ρ
+ div( ρ ⋅ u) = 0
∂t
Massenerhaltung
1
p + ρ ⋅ u 2 = p0
2
Energieerhaltung
Ideale Flüssigkeiten,
Nicht stationär
Navier-StokesGleichungen:
Dynamik viskoser Flüssigkeiten,
Euler-Gleichungen, ergänzt um Reibungskraft
⇒
Wirbelbildung!
s. De und theoretische Ergänzung
Experimentalphysik I SS 2010
17-13
10. Wärmelehre
Temperatur:
aus mikroskopischer Theorie:
3
1
Ekin = kT = m ⋅ v 2
2
2
⇒ Ekin = 0 ⇒ T = 0
→ quantitative Messung von T ? Nutzbares Maß ?
grundsätzlich Mittel über große Zahl von Teilchen
thermisches Gleichgewicht (Verteilungsfunktionen)
„Körpersensorik“ gibt nur relatives Maß
Messtechnik:
Experimentalphysik I SS 2010
alle (reproduzierbar und reversibel) mit T veränderliche
Eigenschaften nutzbar:
Ausdehnung (i.d.R. Flüssigkeiten)
elektrischer Widerstand
Kontaktspannung
Wärmestrahlung
u.v.a.m.
17-14
Temperaturskalen
reproduzierbare Fixpunkte suchen, dann Unterteilung:
Celsius:
Def.:
0°C Schmelzpunkt von Eis
(genauer: Tripelpunkt H20: 0.01°C)
Def:
100°C Siedepunkt von H20 bei Normaldruck
Unterteilung in 100 Skalenteile
Fahrenheit:
„normale“ Körpertemperatur: 100°F
100°F = 37.7°C
Schmelzpunkt Eis/Salzgemisch: 0°F, 0°F = -17.8°C
Unterteilung in 100 Skalenteile
absolute Temperatur:
T = 0 K ≡ <Ekin> = 0
T von Tripelpunkt H20 festlegen
Unterteilung in Intervalle wie bei Celsius-Skala
Experimentalphysik I SS 2010
17-15
Temperaturskalen
Fahrenheit:
Experimentalphysik I SS 2010
17-16
Temperaturmessung
Flüssigkeitsthermometer:
Ausdehnung von Flüssigkeiten bei steigender Temperatur
Problem: Wärmeausdehnung i.d.R. nicht linear
ΔL = ß ΔT wobei ß = ß(T) ist
Eichung durch Fix-Punkte
0° C und 100° C
Ausdehnung des Gefäßvolumens
klein (oder bei Eichung
berücksichtigt)
ß(T) führt bei verschiedener
Substanz zu unterschiedlicher
relativer Ausdehnung
Experimentalphysik I SS 2010
17-17
Temperaturmessung
Widerstandsthermometer:
Variation elektrischer Größen mit der Temperatur (i.w.
Temperatur-Differenz zwischen zwei Punkten)
im Bild: Thermospannung (z.B. thermisch induzierter
Strom), wenn T1 ≠ T2
auch oft genutzt: Temperatur-Abhängigkeit des
elektrischen Widerstandes (insbesondere bei so
genannten Halbleitern)
Experimentalphysik I SS 2010
17-18
Temperaturmessung
Thermische
Ausdehnung fester
Körper:
Rohr bei A fixiert, bei B beweglich
Rohr wird mittels Wasserdampf (durchströmend) erwärmt
Zeiger wird mechanisch durch thermische Ausdehnung
bewegt
Experimentalphysik I SS 2010
17-19
Temperaturmessung
Bimetall-Thermometer:
Feste Verbindung von zwei Materialien mit
unterschiedlichem Ausdehnungskoeffizienten α
bei (z.B. T0 = 0°C) gerade
bei T > To Biegung zu einer Seite
bei T < To Biegung zur anderen Seite
Experimentalphysik I SS 2010
17-20
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Mikroskopische“
Betrachtung:
T
⇔
1
kT
2
Pro Atom und Freiheitsgrad,
hier: Schwingung der Atome um
Ruhelage
für E pot ,i = β ⋅ (ri − ri , 0 )
(Parabel-Potential) wird
2
ri (t ) t = ri , 0
Parabel-Potential ist gute Näherung
nur für
ri − ri , 0 << ri , 0
Schwingung unter Wirkung von Parabelpotential:
⇒ keine Änderung des mittleren Abstandes,
da ri (t ) t = ri , 0 ⇒ keine Ausdehnung (T)
⇒ thermische Ausdehnung beruht auf Abweichung
vom Parabelpotential
Experimentalphysik I SS 2010
17-21
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
„Morse-Potential:
bessere Näherung für
Epot(ri)
(unsymmetrisch,
anharmonisch)
(
E pot (ri ) = E D 1 − e
ri
t
> ri , 0 ,
)
−α ⋅( ri − ri , 0 ) 2
ri − ri , 0 = ∆ri << ri , 0
In der Regel:
d (∆ri (T ) )
>0 ⇒
dT
Experimentalphysik I SS 2010
ri
steigt mit T
17-22
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Linear:
T gemessen in °C (TC)
L(TC ) = L(T0 = 0°C ) ⋅ (1 + α ⋅ TC )
α = linearer Ausdehnungskoeffizient
α ⋅ TC =
∆L
L(T0 )
α nur näherungsweise konstant
α = α 0 + β ⋅ TC ,
β ⋅ TC << α 0
spezielle Materialen: α < 0 möglich
besondere Anwendungen: α ≡ 0 erwünscht
Volumenausdehnung:
isotropes Material:
V (TC ) = V0 ⋅ (1 + α ⋅ TC ) 3
⇒ V (TC ) = V0 ⋅ (1 + 3α ⋅ TC ),
anisotropes Material:
Experimentalphysik I SS 2010
3α
α ⋅ TC << 1
⇒ αx +αy +αz
17-23
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Abhängigkeit des
Ausdehnungskoeffizienten von der
Temperatur:
Variation von α mit T durch Änderung des Einflusses der
Anharmonizität des Potentials mit E
Experimentalphysik I SS 2010
ΔL/L = α [K-1] ΔT
für Cu (280 K), ΔT = 80 K , L = 1000 mm
ΔL = α [K-1] ⋅ ΔT ⋅ L = 16.5 10-6 ⋅ 80 ⋅ 103 [mm]
ΔL = = 1.3 ⋅ 10-3 ⋅ 103 mm = 1.3 mm
17-24
Thermische Ausdehnung
Thermische
Ausdehnung von
Festkörpern und
Flüssigkeiten:
Experimentalphysik I SS 2010
17-25
Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Bolzensprenger:
Stab: Länge L,
Querschnitt q,
Elastizitätsmodul E
(z.B. für Eisen)
Kraft für Dehnung oder Stauchung um ΔL
F = E ⋅q⋅
∆L
L
thermische Dehnung
∆L
= α ⋅ ∆T
L
Verhinderung der thermischen Ausdehnung oder
Schrumpfung durch Kraft:
F = E ⋅ q ⋅ α ⋅ ∆T
Experimentalphysik I SS 2010
z.B. Eisen: α ΔT = 10-5 [1/K] 100 [K] = 10-3
(q = π R2; R = 3 mm, ΔL/L = 10-3)
F = 1011 [N/m2] ⋅ 3 ⋅ 10-5 [m2] ⋅ 10-3 = 3 ⋅ 103 [N]
17-26
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gase: Ausdehnung isotrop
ideales Gas: Wechselwirkungsenergie (WWE) der
Teilchen für r > ro
WWE << kT
Eigenvolumen N VTeilchen << V
Gesetz von GayLussac:
V (TC ) = V0 ⋅ (1 + γ V ⋅ TC ),
p (TC ) = p0 ⋅ (1 + γ p ⋅ TC ), V0 = const.
γ p = γV =
Experimentalphysik I SS 2010
p0 = const.
1
°C −1
273,15
17-27
Thermische Ausdehnung von Gasen
Gasthermometer:
p (TC ) = p0 ⋅ (1 + γ p ⋅ TC ), V0 = const.
TC =
1
γp
⋅
( p(TC ) − p0 )
p0
=
1 ∆p
⋅
γ p p0
⇒
TC = 273,15 ⋅
Experimentalphysik I SS 2010
∆p (T0 )
p0
[°C ]
17-28
Absolute Temperaturskala
Experimentell:
Kinetische Gastheorie:
Normalbedingungen:
p (TC ) = p0 (1 + γ pTC )
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
p0 ⋅ V0 = N ⋅ k ⋅ T0,abs
p0 =105 Pa, T0,abs entspricht 0 °C
⇒
p Tabs
=
= (1 + γ pTC )
p0 T0,abs
1


⇒ Tabs = T0,abs ⋅ 1 +
⋅ TC 
 273,15

⇒ TC = −273,15 °C für Tabs = 0 K
⇒ T0,abs = 273,15 K weil T0,abs = 273,15 K bei TC = 0 °C
Dabei ist: ∆TC = ∆Tabs
Experimentalphysik I SS 2010
17-29
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Stoffmenge:
1 Mol
(Anzahl der „Einheiten“: Atome oder Moleküle)
1 mol = Stoffmenge eines Systems, das aus
ebensoviel Teilchen (NA) besteht, wie 12 g des
Kohlenstoffnukleids 12C.
auf 12C bezogen: NA m12C = 12 [g] = NA 12 m*
m* = (1/12) m(12C) = mittlere Masse eines Nukleons im
12C – Kern
Avogadro-Konstante
oder Loschmidt-Zahl:
Allgemein:
NA = m*-1 = 6.022·1023 mol-1
Die Masse der Stoffmenge 1 mol ist gleich dem
„Atomgewicht in Gramm“
NA mTeilchen = ATeilchen [g]
ATeilchen = „Atomgewicht“ = mTeilchen/m*
Experimentalphysik I SS 2010
17-30
Avogadro-Konstante und Molvolumen
Avogadro-Konstante:
Bestimmung von NA:
12 g 12C durch Massenvergleich mit Massennormal
„Abzählen“ der Zahl der Teilchen, z.B. durch Methoden
der Röntgen-Strukturanalyse
1 mol Wasserstoff H2 : 2 g
1 mol Helium 4He : 4 g
1 mol Kohlenstoff 12C : 12 g
1 mol Stickstoff 14N2: 28 g
Experimentalphysik I SS 2010
17-31
Wärmemenge und spezifische Wärme
(genauer: spezifische Wärmekapazität)
Zufuhr Wärmemenge ΔQ (Energie) an Masse M
→ ΔT(ΔQ, M)
ΔQ = c M ΔT → c = ΔQ / (M ΔT)
c = spezifische Wärme (-kapazität)
c = ΔQ für M = 1 kg und ΔT = 1 K
c von Struktur des Materials abhängig
(z.B.: Zahl der Freiheitsgrade bei Gas)
alte Einheit Wärmemenge „cal“ oder „kcal“:
ΔQ = 1 kcal → 1 kg H20, 14.5 °C → 15.5 °C
Experimentalphysik I SS 2010
17-32
Allgemeine Gasgleichung für ideale Gase
Ziel:
Spezifische Molwärme(kapazität) idealer Gase
VM = Volumen der Stoffmenge 1 mol bei 1 bar und 0 °C
p V = N k T (bekannt)
für V = VM → p VM = NA k T mit NA k = R = 8.31 J /(K mol)
p VM = R T
oder für Stoffmenge ν Mol
pV=νRT
V/VM = ν
Experimentalphysik I SS 2010
17-33
Spezifische Molwärme idealer Gase
Mmol = Masse eines Mol [kg]
∆Q = c ⋅ M mol ⋅ ∆T = C ⋅ ∆T
Spezifische Molwärme:
∆Q
= c ⋅ M mol = C
∆T
[C ] =
J
mol K
C = Energie (Wärmemenge) für ΔT = 1 K
allgemein: ν = Zahl der Mol
∆Q
= ν ⋅ c ⋅ M mol = ν ⋅ C
∆T
Wärmekapazität zu unterscheiden:
ΔQ → ΔT bei V = const. → C ⇒ CV
ΔQ → ΔT bei p = const. → C ⇒ CP
Experimentalphysik I SS 2010
17-34