Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Beispiele

TU Bergakademie Freiberg
Freiberg, 1. November 2016
Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein
Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz
Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure
Beispiele zur 4. Übung
Skizzieren von Mengen in der komplexen Ebene
Die Aufgaben zu diesem Thema lauten meist: Verdeutlichen Sie die Menge der Komplexen
Zahlen z, die die folgende Gleichung/Ungleichung erfüllt, graphisch in der komplexen
Ebene. Machen Sie dabei deutlich wann Begrenzungslinien zur Menge gehören und wann
nicht.
 
≥
>

a) Aufgaben der Form: |z| 
= r
<
≤
Je nach Relationszeichen ist eine Menge gesucht, die etwas mit einem Kreis zu tun
hat:
≥ → gesamte Ebene außer Kreis um (0,0) mit Radius r, Begrenzungslinie gehört
dazu
> → gesamte Ebene außer Kreis um (0,0) mit Radius r, Begrenzungslinie gehört
nicht dazu
= → nur der Kreisbogen um (0,0) mit Radius r
< → Kreisfläche um (0,0) mit Radius r, Begrenzungslinie gehört nicht dazu
≤ → Kreisfläche um (0,0) mit Radius r, Begrenzungslinie gehört dazu
 
≥
>

b) Aufgaben der Form: |z + (a + i · b)| 
= r
<
≤
Hier sind die selben Kreise gesucht wie bei a), jedoch wurden sie verschoben:
Wirkung der Vorzeichen:



a<0





a > 0
b < 0






b > 0
⇒ Mittelpunkt um a auf der Re-Achse nach rechts verschoben
⇒ Mittelpunkt um a auf der Re-Achse nach links verschoben
⇒ Mittelpunkt um b auf der Im-Achse nach oben verschoben
⇒ Mittelpunkt um b auf der Im-Achse nach unten verschoben
 
≥
>

c) Aufgaben der Form: Im(z) + Re(z)
= n und Aufgaben dieser Form, die
<
≤
Potenzen von Im(z) und Re(z) enthalten.
Interpretieren Sie Im(z) als y und Re(z) als x einer „normalen“ Funktionsgleichung
und versuchen Sie die Bedingung die Form y = f (x) zu bringen und anschließend zu
zeichnen.
1
Beispiel 1
Bedingung: |z + 3 − 2i| = 12 .
Entsprechend der Erklärungen von oben, handelt es sich offenbar um einen Kreis mit
Radius r = 12 . Der Kreis ist um 3 Einheiten auf der Re-Achse nach links und um 2 Einheiten
auf der Im-Achse nach oben verschoben. Die gesuchten Zahlen z sind alle Zahlen auf der
Kreislinie.
Im
r=
1
2
2.
−3 + 2i
1.
Re
−3.
−2.
−1.
0
Beispiel 2
Bedingung: |2z − 1 − 2i| ≤ 4.
Zunächst sollten wir hier durch 2 teilen, um die Standard-Form herzustellen. Wir erhalten
die Bedinung
z − 1 − i ≤ 2.
2
Offenbar ist das ein Kreis mit Mittelpunkt
1
2
+ i und Radius r = 2. Die gesuchte Menge
besteht nun aus der Kreislinie und dem Inneren des Kreises.
3.
Im
2.
r=2
1.
1
2
+ 2i
Re
−1.
1.
0
−1.
Beispiel 3
Bedingung: Re(z 2 ) − Re(iz) + Im(z)2 > 3.
2
2.
Hier muss man etwas mehr rechnen. Bei Aufgaben dieser Art kommt man meist zu einer
Lösung, wenn man z = x + iy schreibt und erstmal einsetzt. Das ergibt
Re(z 2 ) = Re((x + iy)2 ) = Re(x2 + 2ixy − y 2 ) = x2 − y 2 ,
Re(iz) = Re(i(x + iy)) = Re(ix − y) = −y,
Im(z)2 = Im(x + iy)2 = y 2 .
Eingesetzt ergibt das die Bedingung
x2 − y 2 − (−y) + y 2 > 3.
Wir stellen nach y um und erhalten
y > 3 − x2 .
Es handelt sich also um eine Parabel. Zur Menge gehören nun alle komplexen Zahlen z,
deren Imaginärteil (y) streng größer als 3 − Re( z)2 ist. Wir zeichnen also zunächst die
Parabel y = 3 − x2 und markieren dann die Fläche, die oberhalb der Parabel liegt. Wichtig:
die Linie der Parabel gehört nicht zur Menge.
Beispiel 4
z+2
Bedingung: Re
= 2.
z
Diese Aufgabe ist etwas trickreich. Wir beginnen wie gewohnt mit z = x + iy und erhalten
Re
z+2
z
= Re 1 +
2
x + iy
= Re 1 +
3
2(x − iy)
x2 + y 2
=1+
x2
2x
.
+ y2
Die umgeformte Bedinung lautet nun also
1+
x2
2x
= 2.
+ y2
Wir vereinfachen und multiplizieren mit x2 + y 2 durch um
2x = x2 + y 2 ,
zu erhalten. An dieser Stelle addieren wir auf beiden Seite eine 1 und stellen weiter um.
Wir erhalten
1 = x2 − 2x + 1 + y 2 .
Das schreit geradezu nach der „binomische Formel“, was uns auf
1 = (x − 1)2 + y 2 ,
führt. Einige erkennen hier schon, dass es sich um eine Kreisgleichung handelt; wer das
noch nicht sieht, erinnert sich, dass x = Re(z) und y = Im(z). Damit erhält man
1 = (Re(z) − 1)2 + Im(z)2 = |z − 1|2 ,
also einen Kreis mit Radius r = 1 um den Punkt mit den Koordinaten (1; 0).
Jetzt müssen wir uns aber nochmal ganz an den Anfang
erinnern, sonst machen wir
z+2
einen Fehler. Ursprünglich lautete die Bedingung Re
= 2. Wichtig ist hier, dass
z
z 6= 0, sonst würden wir ja durch 0 teilen. Diesen Punkt müssen wir beim Zeichnen in
unserem Kreis aussparen.
Wir erhalten also
4