Mathematik für Physiker

Inst. für Mathematik
Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik und Algebra
Univ.-Prof. Dr. M. Stiebitz (Curiebau C 219)
Dr. H. Pohlmann (Curiebau C 221)
Sommersemster 2017
Mathematik für Physiker
Serie 18: Differentialrechnung 4
Aufgabe 1 Zur approximativen Bestimmung der Lösung der Gleichung
cos x = 2x − 1
benutze man den Fixpunktsatz von Banach.
a) Man überlege sich, dass die Gleichung im Interval [0,1] genau eine Lösung hat,
und leite eine geeignete Fixpunktgleichung her. Man zeige auch, dass sich die Fixpunktgleichung g(x) = x mit g(x) := cos(x) − x + 1 nicht für die Anwendung des
Banachschen Fixpunktsatzes eignet.
b) Mit dem Startwert x0 = 1/2 gebe man die Iterationen bis x7 von (xn ) mit
xn+1 = f (xn ) an.
c) Man führe für die Näherung x7 jeweils eine a priori- und eine a posterioriFehlerabschätzung durch.
d) Wie viele Iterationen sind durchzuführen, um |xn − x∗ | ≤ 10−4 zu erreichen?
Aufgabe 2 Man zeige mithilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass die Funktion f mit
f (x) := 3 + arctan x
im Intervall [3,5] genau einen Fixpunkt x∗ besitzt. Man gebe für |xn − x∗ | mit
xn+1 = f (xn ), x0 ∈ [3, 5] eine Abschätzung (nach oben) an, die unabhängig von x0 ist.
Der Satz über implizite Funktionen.
Aufgabe 3 Man ermittle die Gleichung der Tangente an die Kurve
2x3 − x2 y 2 − 3x + y + 7 = 0 im Punkt P0 (1; −2) .
Aufgabe 4 Man bestätige, dass durch die implizit gegebene Funktion
F (x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 − 2xz − 25 = 0
(1)
in einer Umgebung des Punktes P0 (4; 3; 0) eine Funktion z = f (x, y) in impliziter Form
gegeben ist. Die Gleichung (1) ist nicht „von Hand“ nach z aufzulösen! Man berechne die
partiellen Ableitungen 1. Ordnung von z = f (x, y) an der Stelle (4; 3) und ermittle die
Gleichung der Tangentialebene an die Fläche von f im Punkt P0 .
1
Aufgabe 5 Gegeben ist das nichtlineare Gleichungssystem
p
2
0
x + y 2 + z 2 − 6 x2 + y 2 + 8
=
.
g (x, y, z) :=
2
2
2
0
x + y + z − 2x − 6y + 8
Man zeige, dass g (0, 3, 1) = (0, 0)T gilt. Man überprüfe mithilfe des Satzes über implizite
Funktionen, ob sich die Gleichung g (x, y, z) = (0, 0)T im Punkt (0, 3, 1) lokal nach x
und y oder nach x und z oder nach y und z auflösen lässt und führe gegebenenfalls diese
Auflösung durch. Wie lauten die Ausdrücke für die entsprechenden partiellen Ableitungen
1. Ordnung?
Aufgabe 6 Der Punkt P0
1 2
e ,2
2
ist ein Punkt der implizit gegebenen Kurve
g (x, y) := y 3 + ey − 6x + 2x ln (2x) − 8 = 0.
a) Man bestätige, dass durch g (x, y) = 0 in einer Umgebung von P0 eine Funktion f in
der Form y = f (x) in impliziter Form gegeben ist.
b) Man zeige, dass diese Kurve in P0 eine horizontale Tangente hat.
c) Man untersuche, ob die Kurve in P0 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum
hat oder P0 ein Wendepunkt ist.
Aufgabe 7 Man betrachte folgendes Gleichungssystem:
xu + yv 2 = 0,
xv 3 + y 3 u6 = 0.
Existieren eindeutige Lösungen für u, v in Termen von x, y in einer Umgebung von
(x, y, u, v) = (1, −1, 1, 1) bzw. von (x, y, u, v) = (0, 1, 0, 0)? Man berechne ∂u
in
∂x
(x, y) = (1, −1) und in (x, y) = (0, 1), falls diese existieren.
Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion f mit
f (x, y) := x2 + xy 3 − 3xy + 1.
a) Man bestätige, dass P0 = (1, 1) ein stationärer Punkt von f ist.
b) Man bestimme alle stationären Punkte von f .
c) Man untersuche, ob in (1, 1) ein lokales Extremum vorliegt und gebe gegebenenfalls
die Art des Extremums an.
Zur Übung am 5. 5. 2017, 11.00 Uhr, C 108
sind die Aufgaben 1, 4 und 6 als Hausaufgaben abzugeben.
2