Strahlungsdruck in Laserinterferometern

Strahlungsdruck in Laserinterferometern
Diplomarbeit
angefertigt am
Institut für Atom- und Molekülphysik der Universität Hannover
unter Anleitung von
Prof. Dr. K. Danzmann
von
Frank Hohls
Hannover, Dezember 1995
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1
Der harmonische Oszillator
3
1.1
Antwortfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Dämpfungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Güte des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
Energiedissipation des getriebenen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.5
Luftreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
Kinetische Gasdämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
Kräfte und Fluktuationen
17
2.1
Spektrale Zerlegung für endliche Meßzeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
Spektrale Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Einfluß des Meßapparates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5
Thermische Ausdehnung und Radiometereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.6
Thermische Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7
Restgasinduzierte Ortsfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.8
Vergleich der fluktuierenden Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
iv
INHALTSVERZEICHNIS
3 Nichtklassische Lichtzustände
31
3.1
Beschreibung nichtklassischer Lichtzustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2
Messung der Quadraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2.1
Heterodynmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.2
Homodynmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.3
Homodyn kontra heterodyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3
Erzeugung gequetschter Lichtzustände durch ein Kerrmedium . . . . . . . . . .
39
3.4
Klassische Beschreibung der Amplituden-Phasenkopplung . . . . . . . . . . . .
44
3.5
Der Spiegel als Kerrmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.6
Thermisches Rauschen als Grenze der Zustandsmessung . . . . . . . . . . . . .
47
4 Meßapparat
51
4.1
Michelson-Interferometer zur Differenzlängenmessung . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2
Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2.1
Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.2.2
Verminderung des Rauschuntergrunds – Entwicklungsstadien des Aufbaus
4.3
55
Meßverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.3.1
Schmalbandige automatisierte Messung der Spiegelantwort
. . . . . . .
57
4.3.2
Messung der Güte der Spiegelresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Laser und Frequenzregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.4.1
Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.4.2
Regelschema für den Interferometerarbeitpunkt . . . . . . . . . . . . . .
62
4.5
Der Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.6
Der Spiegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.6.1
66
4.4
Effektive Masse und Anregung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INHALTSVERZEICHNIS
5
v
Anwendung des Meßapparates und Interpretation der Ergebnisse
69
5.1
Anregung durch thermische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
5.2
Spiegelanregung durch Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2.1
Zwei Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.2.2
Güte und effektive Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.2.3
Variation des Anregungsortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.2.4
Interpretation der Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.2.5
Vergleich des Modells mit dem Experiment . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.3
Druckabhängigkeit der Güte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.4
Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.5
Erreichte Ziele und zukünftige Möglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Zusammenfassung und Ausblick
87
Abbildungsverzeichnis
89
Literaturverzeichnis
91
Einleitung
Die Anstrengungen zur Detektion von Gravitationswellen z.B. durch Michelson-Interferometer oder
Zylinderantennen führen zu immer neuen Rekorden in der Präzision der Meßtechnik. Das erste
Gerät, das die nötige Empfindlichkeit für eine direkte Messung von Gravitationswellen erreichen
wird, ist der zur Zeit in Ruthe bei Hannover im Bau befindliche GEO600-Gravitationswellendetektor [5], der auf einem Michelson-Interferometer basiert.
Das Grundprinzip eines solchen Gravitationswellendetektors auf Basis eines Michelson-Interferometers ist der Vergleich von zwei Wegen mittels Licht. Dieses Grundprinzip wurde von Michelson und Morley 1881 entwickelt, um die Theorie des Äthers zu überprüfen. Doch zwischen
der Längenauflösung des damaligen Experiments und den zur Zeit im Bau befindlichen Gravitationswellendetektoren liegen viele Größenordnungen. Für die angestrebte Empfindlichkeit von
p
GEO600 muß das Ortsrauschen der Interferometerspiegel kleiner als 10;19 m= Hz sein.
Ursachen für Ortsfluktuationen sind unter anderem Strahlungsdruck und Wärme. Thermische Fluktuationen verursachen eine der Grenzen, die den zur Zeit geplanten und im Bau befindlichen Detektoren gesetzt sind. Bei großen Leistungen im Interferometer, die aufgrund der anderen aktuellen
Empfindlichkeitsbegrenzung, dem Schrotrauschen, angestrebt werden, ergibt sich eine neue Empfindlichkeitsgrenze, die gelegentlich als Standard Quantum Limit (SQL)“ bezeichnet wird. Diese
”
hat ihre Ursache in durch Strahlungsdruck verursachten Fluktuationen. Der zugrundeliegende Mechanismus dabei ist, daß Licht bei der Reflektion eine zur Intensität proportionale Kraft ausübt, die
aufgrund des Schrotrauschens fluktuiert und damit Ortsrauschen erzeugt.
Eine genauere Untersuchung dieser Rauschquellen ist im Gravitationswellendetektor kaum möglich,
da dieser gerade auf die Verminderung dieser Effekte ausgelegt ist und auch die Parameter des Systems nicht einfach zu variieren sind. Viele der Rauschquellen lassen sich aber an entsprechend
skalierten Systemen im Labor im Tischaufbau untersuchen. Dazu wird insbesondere die Masse
der Spiegel extrem verkleinert, um die so verstärkten Wirkungen der verschiedenen Kräfte auf den
Spiegel zu untersuchen.
Die Spiegel in den Gravitationswellendetektoren werden zur Isolation von Schwingungen und zur
Reduktion thermischer Effekte als aufgehängte Pendel realisiert und entsprechen damit in ihrer Bewegung und ihrer Antwort auf Kräfte einem harmonischen Oszillator hoher Güte. Die Versuchsspiegel im Tischaufbau werden daher ebenfalls als mechanische Oszillatoren realisiert, wobei hier
die Konstruktion eher einer Blattfeder gleicht, wodurch die Resonanzfrequenz in einen der Messung gut zugänglichen Bereich verschoben wird.
Ein Ziel dieser Arbeit ist es, einen Tischaufbau zur Untersuchung der Strahlungsdruckeffekte auf
solche beweglichen Spiegel hoher mechanischer Schwingungsgüte zu entwickeln. Der Meßapparat soll die Frequenzantwort des Spiegels und seine charakteristischen Parameter, die auch die
2
E INLEITUNG
Stärke der Ortsfluktuationen bestimmen, unter Anwendung von Strahlungsdruck als antreibender
Kraft messen können. Außerdem soll ein prinzipieller Aufbau demonstriert werden, mit dem eine
Amplituden-Phasenkopplung des Lichts durch den Spiegel untersucht werden kann.
Um ein Anforderungsprofil für den Aufbau zu gewinnen, wird zunächst ein geeignetes Modell zur
Beschreibung der Kräfte und Fluktuationen und der Antwort des Spiegels entwickelt. Dieses Modell dient auch zur Interpretation der Meßdaten und ermöglicht die Skalierung der Effekte auf z.B.
die im Gravitationswellendetektor verwendeten Spiegel.
Desweiteren wird der Einfluß der Wechselwirkung des Lichtes mit dem Spiegel auf den Zustand des
Lichtes theoretisch untersucht und ein Meßverfahren für einen solchen Einfluß vorgestellt. Diese
Wechselwirkung stellt eine zusätzliche Motivation zur Untersuchung von Strahlungsdruck dar, da
sie die Erzeugung von nichtklassischen (gequetschten) Lichtzusẗanden erwarten läßt. Die Größe
dieser Effekte wird abgeschätzt.
Mit den gewonnenen Anforderungen wird ein Meßaufbau realisiert und exemplarisch auf zwei
Spiegel angewendet. Hieraus werden Schlußfolgerungenüber die Leistungsfähigkeit und die Möglichkeiten der Apparatur gezogen.
Kapitel 1
Der harmonische Oszillator
Das System, an dem im Experiment Strahlungsdruck untersucht werden soll, besteht aus einem
Spiegel, der an einem Pendel oder einer Feder befestigt ist. Wird der Spiegel aus seiner Ruhelage
ausgelenkt, so wirkt eine rücktreibende Kraft. Ein solches System aus Masse und rücktreibender
Kraft wird Oszillator genannt.
Die Kräfte, mit denen der Spiegel bewegt wird und die im Abschnitt 2.4 quantisiert werden, sind
sehr klein. Daher sind auch die Auslenkungen sehr klein, und zwar im Experiment deutlich kleiner
als die Wellenlänge des Lichtes. Für solche kleinen Schwingungen kann die Rückstellkraft linearisiert werden, und die Bewegung des Spiegels entspricht dann der eines angeregten harmonischen
Oszillators. Zunächst sollen daher die Theorie des harmonischen Oszillators und seine charakteristischen Größen vorgestellt werden. Zum Abschluß dieses Kapitels wird die Dämpfung des Oszillators untersucht.
1.1 Antwortfunktion
Die Bewegung einer Masse m, die durch eine Kraft F (t ) angetrieben wird und einer rücktreibenden
Kraft FFeder = ;kx sowie einer in x und ẋ linearen Dämpfung Fdamp (x; ẋ) unterliegt, wird durch die
Bewegungsgleichung
mẍ(t ) + Fdamp (x; ẋ) + kx(t ) = F (t )
(1.1)
beschrieben. Besonders einfach läßt sich die Gleichung in ihrer fouriertransformierten Form lösen.
Die Foruriertransformation und ihre Rücktransformation werden durch
x(ω) =
Z∞
dt e;iωt x(t );
;∞
Z∞
x(t ) =
;∞
dω iωt
e x(ω)
2π
(1.2)
4
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
Amplitude
10.00
1.00
0.10
0.01
Phase
0
-90
-180
-270
0.1
1.0
ω/ω0
10
Abbildung 1.1: Amplitude und Phase von G für m=1, ω0 =1 und kdamp = ω
definiert. Darstellungen einer Größe im Zeit- und Fourierraum werden durch explizite Angabe einer Zeit t oder einer Kreisfrequenz ω unterschieden. Mit den Definitionen
ω20 =
k
m
(1.3)
kdamp (ω; x(ω)) =
Fdamp (ω; x(ω))
ix(ω)
(1.4)
erhält die Bewegungsgleichung ihre fouriertransformierte Form
;mω2 + ikdamp(ω x(ω)) + mω20 )x(ω) = F (ω)
(
;
:
(1.5)
Die Dämpfungsfunktion kdamp ist dabei eine reelle Funktion, da imaginäre Anteile nicht zur Dämpfung beitragen, sondern sich in die Federkonstante k und damit in die Resonanzfrequenz ω0 integrieren lassen. Sie ist so definiert, daß sie als Imaginärteil einer komplexen Federkonstante κ =
k + ikdamp aufgefaßt werden kann. Die Lösung läßt sich dann
x(ω) = G(ω)F (ω)
(1.6)
5
1.1 A NTWORTFUNKTION
10
|G(ω)| [m/N]
10
2
0
-2
10
-4
10
-6
10
10
2
3
4
10
5
10
ω=2πf [Hz]
Abbildung 1.2: Vergleich der Antwortfunktion für m=1g, kdamp
6
10
10
!0 und Resonanzfrequenzen ω
0 = 100; 1000; 10000Hz
schreiben, wobei hier die Antwortfunktion
G(ω) =
m(;
1
(1.7)
ω2 + ω20 ) + ikdamp
benutzt wird, deren Amplitude und Phase beispielhaft in Abb. 1.1 aufgetragen sind. Die Zeitentwicklung des Oszillators ergibt sich im allgemeinen aus der Faltung der Antwortfunktion mit der
einwirkenden Kraft:
x(t ) = G(t ) F (t ) =
Z∞
;∞
dt 0 G(t 0 )F (t ; t 0 )
(1.8)
Die Antwortfunktion ist nichts anderes als die Greensche Funktion des Oszillators. Da x(t ) und
F (t ) reelle Funktionen sind, muß auch G(t ) reell sein. Einsetzen der Rücktransformation aus Gl.(1.2)
ergibt dann
0 Z∞
1 Z∞
G(ω) = @ dt e;iωt G(t )A = dt eiωt G(t ) = G(;ω)
;∞
(1.9)
;∞
Ihre anschauliche Bedeutung zeigt die Antwortfunktion bei einer monochromatischen Anregung.
Mit G(ω) = jG(ω)j exp(iφ) gilt:
F (t )
=
F (ω)
=
x(ω)
=
x(t )
=
F0 cos(ωm t + ψ)
;
2πF0 ei ψ δ(ω ; ωm ) + e;i ψ δ(ω + ωm )
;
G(ω)ei ψ F (ω) = 2πF0 G(ωm )ei ψ δ(ω ; ωm ) + G (ωm )e;i ψ δ(ω + ωm )
F0 jG(ω)j cos(ωt + ψ + φ)
(1.10)
6
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
ω
t>0
ω
t<0
Abbildung 1.3: Integrationspfade für eine Fouriertransformation
Der Oszillator folgt der Kraft also monochromatisch mit einer Amplitude x0 = F0 jG(ω)j und einer
Phasenverschiebung φ = arg(G(ω)). In Abbildung 1.2 ist die Amplitude der Antwortfunktion ur
f̈
Oszillatoren gleicher Masse, aber unterschiedlicher Resonanzfrequenz aufgetragen. Beachtenswert ist, daß die Amplitude der Schwingungen für Frequenzen, die sehr viel größer als die Resonanzfrequenzen sind, für alle diese Oszillatoren gleich ist. Die Energie, die in dieser harmonischen
Schwingung gespeichert ist, ergibt sich mit Ekin = Epot (Virialsatz für harmonischen Oszillator [9])
zu
E = 2Epot = kx2 = kF02 jG(ω)j2 = mω20 F02 jG(ω)j2
(1.11)
Hierbei steht E für die Mittelung von E über eine Schwingungsperiode, was für monochromatische
Prozesse äquivalent zum Mittel über alle Zeiten ist.
Eine weitere Bedingung, die die Antwortfunktion erfüllen muß, ist die Wahrung der Kausalität. Es
darf keine Wirkung, also Auslenkung x(t ), vor der Kraft F (t ) geben. Dies entspricht mit Gl. (1.8)
in der Zeitdomäne
G(t ) = 0
für t < 0:
(1.12)
Daraus läßt sich auch eine Bedingung an G(ω) ableiten. Hierzu soll die Berechnung von G(t ) aus
G(ω) herangezogen werden:
Z∞
G(t ) =
;∞
dω i ωt
e G(ω) =
2π
Z∞
;∞
dω i ωt
1
e
2
2π
m(;ω + ω20 ) + ikdamp
(1.13)
Die Integration läßt sich zu einem geschlossenen Wegintegral in der komplexen ω-Ebene erg̈anzen
(Abb. 1.3) und mit den Mitteln der Funktionentheorie lösen. Dabei wird ein zusätliches Integral
ergänzt, daß sich bei der Rechnung zu Null ergibt. In Abbildung 1.3 entsprechen diese erg̈anzten
7
1.1 A NTWORTFUNKTION
Integrale den Kreisbögen. In der Abbildung ist auch dargestellt, daß der Bogen für negative Zeiten
in der unteren Halbebene und für positive Zeiten in der oberen Halbebene geschlossen werden muß,
damit der Beitrag des Bogens wirklich Null ergibt. Der Residuensatz [3] besagt nun, daß sich das
Integral über einen geschlossenen Weg durch eine Summe von Residuen ausdrücken läßt:
I
dz f (z) = 2πi ∑ Res [ f (z); zi ]
(1.14)
i
Dabei sind die zi die vom Integrationsweg eingeschlossenen Pole der Funktion f (z). Die Pole der
Antwortfunktion G(ω) sind
r
ω1 2 = ;
kdamp (ω1;2 )
ω20 + i
m
i kdamp (ω1 2 )
ω0 +
2
k
;
für
kdamp k;
(1.15)
wobei die Näherung für die im Experiment untersuchten Oszillatoren immer erfüllt ist. Da ein gedämpftes System betrachtet wird, liegen alle Pole in der oberen oder unteren Halbebene, jedoch
keiner auf der reellen Achse, also dem Integrationspfad. Wie Abb. 1.3 zeigt, tragen ur
f̈ positive
Zeiten nur die Pole in der oberen Halbebene bei, für negative Zeiten solche in der unteren Halbebene. Die Bedingung (1.12), daß G(t ) = 0 für t < 0 gelten muß, führt damit für G(ω) zu der
Forderung, daß alle Pole in der oberen Halbebene liegen:
Im(ωi ) > 0;
ωi Pole von G(ω)
(1.16)
Die Pole treten entsprechend Gl. (1.9) immer paarweise auf. Aus den Bedingungen (1.9) und (1.16)
folgt nun
kdamp (ω) = kdamp (;ω)
mit kdamp (ω) > 0 für
ω > 0:
(1.17)
Mit Gl. (1.15) läßt sich nun auch G(t ) bestimmen und ergibt sich zu
G(t )
=
=
=
Θ(t ) ∑ Res ei ωt G(ω); ωi
Θ(t )
i ei ω t
0
+ c.c.
e;
kdamp
2k ω0t
2iω0
1 ; kdamp ω0t
Θ(t )
e 2k
sin ω0t :
mω0
(1.18)
8
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
1.2 Dämpfungsmechanismen
In den meisten Behandlungen zum harmonischen Oszillator wird eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung angesetzt:
Fdamp (t ) = ;γẋ(t )
!
kdamp (ω) = γω
(1.19)
Beispiele für diesen Dämpfungsmechanismus sind die Bewegung in einem viskosen Medium, kinetische Gasdämpfung oder die Wirbelstrombremse. Auf die Dämpfung durch Gase (Luft) wird in
in einem späteren Abschnitt noch näher eingegangen.
Die genannten Dämpfungsmechanismen funktionieren alle durch Einwirkung von außen. Es wird
aber auch im Oszillator selbst Energie durch anelastische Prozesse dissipiert und damit das System
gedämpft. Diese weisen ein anderes Verhalten auf und führen zu neuen Überlegungen zum Rauschen empfindlicher Interferometer. Die hier verwendete Beschreibung ist an [22] angelehnt. Der
Mechanismus, der strukturelle Dämpfung genannt werden soll, kann in ein Modell gefaßt werden,
in dem die Federkraft, die den Oszillator rückstellt, der Kraft hinterherhinkt. Dies läßt sich im Fourierraum durch einen kleinen (reellen) Winkel φ(ω) darstellen, um den die Rückstellkraft gedreht
ist:
!
Fint
=
;k(1 + iφ(ω))x(ω)
kdamp (ω)
=
kφ(ω)
(1.20)
Für die zeitliche Entwicklung der Dämpfungskraft gilt
Z∞
Fdamp (t ) =
;∞
dt 0 ϕ(t 0 )x(t ; t 0 ) mit ϕ(ω) = ;ikφ(ω):
(1.21)
Die Dämpfung wird also durch die Vergangenheit des Oszillators bestimmt. Dies ist auch genau
das, was bei anelastischen Prozessen zu erwarten ist, da sie eine Art Gedächtnis des Materials erzeugen.
Die Funktion φ muß nun auch wieder bestimmte Bedingungen erfüllen. Sowohl aus dem reellen
Charakter der Dämpfungskraft Fdamp als auch aus der Bedingung (1.17) folgt, daß φ ungerade in ω
ist und außerdem positiv für positive ω sein muß. Außerdem ist φ(ω) über weite Frequenzbereiche
konstant.
Bei Vorliegen mehrerer verschiedener Dämpfungsmechanismen können für ein lineares System die
Dämpfungskräfte einfach aufsummiert werden,
Fdamp = ∑ Fdamp i
;
i
(1.22)
9
1.3 G ÜTE DES O SZILLATORS
so daß sich mit der Definition der Dämpfungskonstante in Gl.(1.3) die Gesamtdämpfung durch die
Summe der Dämpfungskonstanten ergibt:
kdamp tot = ∑ kdamp i
;
(1.23)
;
i
1.3 Güte des Oszillators
Die Güte Q wird durch die Energieverlustrate des harmonischen Oszillators definiert. Wird dem
Oszillator zunächst Energie zugeführt und anschließend keine weitere äußere Kraft ausgeübt, so
gilt für die Energie
E (t ) = E0 e;t
τ
=
; ωQ0t :
= E0 e
(1.24)
Die Größe Q=2π gibt anschaulich interpretiert die Anzahl der Schwingungszyklen an, innerhalb
derer die Energie auf 1/e des anfänglichen Wertes gefallen ist.
Für die folgenden Überlegungen geht man von niedriger Dämpfung aus, also
F damp kx
$
kdamp (ω0 ) k:
(1.25)
Dies ist bei allen Systemen, die im Experiment untersucht werden sollen, gegeben.
Der Zusammenhang der Zeitkonstante τ bzw. der Güte Q mit den charakteristischen Größen des
Oszillators, wie sie im Abschnitt 1.1 definiert wurden, läßt sich nun besonders einfach an der Wirkung eines Kraftstoßes auf den Oszillator darstellen. Ein Stoß F = p0 δ(t ) überträgt den Impuls p0
p2
und führt somit dem Oszillator die Energie E0 = 2m0 zu. Die Antwort des Oszillators, wie sie in
Abb. 1.4 zu sehen ist, ergibt sich direkt aus der Antwortfunktion:
Z
x(t )
=
v(t )
=
E (t )
=
Q
=
!
∞
;∞
dt G(t )F (t ; t ) = p0 G(t ) = p0
0
0
0
1 ; kdamp ω0t
e 2k
sin ω0t
mω0
p0 ; kdamp ω0t
e 2k
cos ω0t
m
p2 kdamp
1 2
1
1
kx (t ) + mv2 (t ) = (mω20 x2 (t ) + mv2 (t )) = 0 e; k ω0t
2
2
2
2m
k
kdamp
ẋ(t ) (1.26)
Sind verschiedene Dämpfungsmechanismen am Werk, so besagt Gl.(1.23), daß sich die Güten reziprok addieren:
1
Qtot
=
1
∑ Qi
(1.27)
10
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
1.0
Amplitude
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2τ=39.8s
0
25
50
t [s]
75
Abbildung 1.4: Abklingen eines Oszillators mit Resonanzfrequenz f0
= 0:2Hz
100
und Güte Q = 25
Die Güte Q zeigt auch einen einfachen Zusammenhang mit der Resonanzbreite des Oszillators.
Hierzu wird jG(ω)j2 betrachtet, welches proportional zu der Energie ist, die im Oszillator bei Anregung mit einer monochromatischen Kraft F (t ) = F0 sin ωt gespeichert ist (vgl. Gl.(1.11)):
jG(ω)j2 = m2(ω2 ; ω12)2 + k2
0
(1.28)
damp
jG(ω)j2 hat für geringe Dämpfung nahe der Resonanz annähernd Lorentzform mit der vollen Breite
bei halber Höhe ∆ωFWHM 1 . DieVerwendung von (1.28) ergibt:
∆ωFWHM =
kdamp
mω0
=
kdamp ω0
k
=
Q
ω0
!
Q=
∆ωFWHM
ω0
(1.29)
Mit Gl.(1.19) ergibt sich für geschwindigkeitsproportionale Dämpfung
Q=
mω0
γ
1 F.W.H.M. =
!
Gstruk(ω) =
Full Width at Half Maximum
1
1
mω20 1 ; ω2 =ω20 + i=Q
(1.30)
1.4 E NERGIEDISSIPATION
O SZILLATORS
DES GETRIEBENEN
11
und analog mit Gl.(1.20) für strukturelle Dämpfung
Q=
1
φ
!
1
1
2
2
2
mω0 1 ; ω =ω0 + iω=(ω0 Q)
Gv (ω) =
(1.31)
In Abb. 1.5 ist der Unterschied von Amplitude und Phase dargestellt, der sich bei zwei Oszillatoren mit gleichen Parametern m; ω0 ; Q für verschiedene Dämpfungsmechanismen ergibt. Der Unterschied wird für hohe Güten, bei denen nur strukturelle Dämpfung dominant auftreten kann, sehr
klein. In der Amplitude tritt eine Differenz nur in einem schmalen Intervall der Gr̈oße ω0 =Q um
die Resonanzfrequenz ω0 auf. Und selbst die maximale Amplitudendifferenz ist bezogen auf die
Amplitude deutlich kleiner als 1=Q, so daß anhand der Amplitude die Dämpfungsmechanismen
nicht unterscheidbar sind. Die Phasen können durch tan φ = Im(G)=Re(G) bestimmt werden,
tan φstruk =
1
1
Q 1 ; ω2 =ω20
bzw.
tan φv =
1 ω
1
Q ω0 1 ; ω2 =ω20
(1.32)
so daß außerhalb der Resonanz die Phasendifferenz durch
∆φ = φstruk ; φv 1
1
Q 1 + ω=ω0
für
ω 1
1 ; ( )2 ω0
Q
(1.33)
gegeben ist. Auf der Resonanz verschwindet diese Phasendifferenz. Die Phase kann daher, sofern
sie mit ausreichender Genauigkeit gemessen werden kann, einen Hinweis auf den Dämpfungsmechanismus geben. Da die Meßgröße jedoch reziprok zur Güte ist, wird auch dies für hohe Güten
nicht als Unterscheidungskriterium geeignet sein. In Abbildung 1.5 sind die relative Amplitudendifferenz, also die Amplitudendifferenz bezogen auf die Amplitude eines der Oszillatoren, und der
Betrag der Phasendifferenz aufgetragen. Da die Frequenzskala in Einheiten der Resonanzfrequenz
gewählt ist und diese Funktionen unabhängig von der Masse sind, ist der Verlauf allein durch die
Güte bestimmt.
1.4 Energiedissipation des getriebenen Oszillators
Bisher wurde Energiedissipation nur für den ungestört abklingenden Oszillator betrachtet. Nun soll
die Dissipation für den angeregten Fall bestimmt werden. Wird der Oszillator mit einer monochromatischen Kraft F = F0 cos ωt getrieben, so folgt mit Gl.(1.10):
!
v(t )
=
ẋ(t )
=
ωF0 (Im(G(ω)) cos ωt ; Re(G(ω)) sin ωt )
PDiss
=
dW
dt
=
Fdx
dt
=
Fv
=
ω
Im(G(ω))F02
2
(1.34)
Dabei ist W die mechanische Arbeit, die das System verrichtet, und PDiss die Leistung, die vom Oszillator an die Umgebung dissipiert wird. Da die im Oszillator gespeicherte Energie E beim monochromtisch getriebenen Oszillator konstant ist, ist dies auch die Leistung, die von der anregenden
12
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
∆|G(ω)| / |G(ω)|
2e-6
1e-6
0
5
Q = 10
6
Q = 10
-1e-6
-2e-6
0.99980
0.99990
1.00000
1.00010
1.00020
1.5
2.0
1e-02
∆φ [grad]
5
Q = 10
6
Q = 10
5e-03
0e+00
0.0
0.5
1.0
ω/ω0
Abbildung 1.5: Amplituden- und Phasendifferenz zweier Oszillatoren mit gleichen Parametern m = 1, ω0 = 1, Q = 105
und 105 , aber verschiedener Dämpfungsmechanismen (strukturell/geschwindigkeitsproportional)
Kraft dem Oszillator zugeführt wird. Mit Gl.(1.7) und Gl.(1.11) kann die dissipierte Leistung durch
die gespeicherte Energie ausgedrückt werden:
Im(G(ω))
=
!
=
PDiss
;kdamp jG(ω)j2
;kdamp ω2 F02 jG(ω)j2 = ; kdamp
ωE
k
(1.35)
1.5 Luftreibung
Zur Abschätzung der zu erwartenden Güte soll zunächst der Dämpfungseffekt von Luft unter Atmosphärendruck untersucht werden. Dabei ist zunächst zu klären, ob der Spiegel bei seiner Bewegung laminar oder turbulent umströmt wird. Ein gutes Kennzeichen hierfür gibt die Reynoldsche
Zahl, die wie folgt definiert ist:
R
=
rρv
η
(1.36)
Dabei ist ρ die Dichte, η die Viskosität, r eine typische Abmessung und v die Geschwindigkeit. Für
Luft unter einem Druck von 1bar gilt ρ = 1; 29kg =m3 und η = 0; 0018Ns=m2 . Die typische Größen-
13
1.6 K INETISCHE G ASD ÄMPFUNG
ordnung der im Experiment verwendeten Spiegel ist r = 5mm. Aus dem Gleichverteilungssatz aßt
l̈
sich für die Mittelwerte von Ort und Geschwindigkeit die Beziehung
hv2 i = ω20 hx2 i
(1.37)
ableiten. Die Anregung wird in der Messung auf x < λ=10 beschränkt, um die Messung im linearen
Bereich zu halten. Bei einer Resonanzfrequenz von 1kHz ergibt sich v < 1 mm/s und damit R <
0.01. In diesem Bereich ist die Strömung laminar.
Bei laminarer Strömung ergibt sich nun für die dämpfende Kraft
Fdamp visc = Cηrv = γv
(1.38)
;
mit dem Formfaktor C, der für die meisten Körper einen Wertebereich von 10 bis 30 hat. Hieraus
ergibt sich als Schätzwert für die Güte bei reiner Dämpfung durch Luft die Zahlenwertformel
Qvisc =
ω0 20 m 1mm η( p)
2800 1kHz
C 100mg r η(1bar)
mω0
γ
:
(1.39)
C ist eine Größe, die stark von der Form des Oszillators und der Art seiner Bewegung abhängt.
Ohne eine genaue Untersuchung kann diese Zahlenwertformel nur eine Abscḧatzung der Größenordnung bieten.
1.6 Kinetische Gasdämpfung
Bei niedrigen Drücken muß statt der Strömung eines Gases das stochastische Verhalten der einzelnen Moleküle betrachtet werden, die nicht mehr miteinander wechselwirken. Bewegt sich nun
der Oszillator, so erfährt er keine viskose Reibung, sondern tauscht Impuls mit den einzelnen Molekülen aus. Da in seinem jeweiligen Ruhesystem die Moleküle auf der einen Seite des Körpers im
Mittel eine höhere Geschwindigkeit haben als die auf der anderen Seite, und auch die Stoßrate auf
beiden Seiten verschieden ist, erfährt er eine von seiner Eigengeschwindigkeit abhängige Kraft.
Zur Berechnung der effektiven Kraft auf den Körper wird zunächst die Kraft auf die Vorderseite
(z > 0) einer in der xy-Ebene liegenden Platte mit der Geschwindigkeit vz in z-Richtung berechnet.
Die Masse des Körpers und damit der Fläche ist sehr viel größer als die der Moleküle. Ausßerdem
sei die mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle wesentlich größer als vz , also
jvz j hvmol i
:
(1.40)
hvi bezeichnet hierbei das Ensemblemittel über die Geschwindigkeiten der einzelnen Moleküle.
14
1. D ER HARMONISCHE O SZILLATOR
Zunächst soll der Impuls bestimmt werden, den ein sich mit der Geschwindigkeit ~vmol bewegendes
Molekül auf die Platte überträgt. Die Geschwindigkeit dieses Moleküls relativ zum Körper ist
v
~ rel
= ~vmol + vz~ez :
(1.41)
Beim Stoß wird das Molekül von der Fläche reflektiert und kehrt die Geschwindigkeitskomponente
senkrecht zur Fläche, also die z-Komponente, um. Es überträgt daher einen Impuls
∆p = ;2mmol (~vrel )z
(1.42)
Wird der Winkel zwischen ~vmol und der z-Achse mit θ bezeichnet, so gilt
∆p(vz ; vmol ; θ) = ;2mmol (vmol cos θ + vz ):
(1.43)
Für die weiteren Rechnungen wird zunächst nur ein Flächenelement dA im Ursprung betrachtet.
θj
und hat mit
Ein Molekül am Ort ~r sieht das Flächenlelement unter dem Raumwinkel ∆Ω = dAjrcos
2
der Wahrscheinlichkeit ∆Ω
eine
Richtung,
die
zum
Stoß
führen
kann.
Es
erreicht
dA
in der Zeit
4π
dt, wenn für seinen Abstand r < rmax = j~vrel j dt gilt. Einsetzen ergibt mit den oben eingeführten
Bezeichnungen
!
v2 dt 2
;v2
dt2
2
+ vz + vz vmol cos θ
r2max
=
~ rel
rmax
=
(vmol + vz cos θ + O (vz =vmol )) dt
=
~ mol
(1.44)
Mit der Teilchenzahldichte nmol und der Wahrscheinlichkeitsverteilung ρ(v) erreichen insgesamt
dN (v; cos θ)dv d (cos θ) dt
Z2π Zrmax
∆Ω
nmol ρ(v )d (cos θ) dA dv
dφ dr r2
4π
=
0
0
1
nmol ρ(v)(v + vz cos θ) cos θ dA d (cos θ) dv dt
2
=
(1.45)
Moleküle mit Geschwindigkeit in dv um v und Richtung in d (cos θ) um cos θ in einer Zeit dt das
Flächenelement dA. Dadurch wird eine Kraft
dF (vz )
=
Z∞ Z1
dv d (cos θ) dN (v; cos θ)∆p(vz ; v; cos θ)
0
=
0
;nmol mmol dA
Z∞
dv ρ(v)
=
d (cos θ)(v cos θ + vz )(v + zz cos θ) cos θ
0
=
Z1
0
Z∞
;nmol mmol dA dv ρ(v) 13 v2 + 34 vz v + 13
;nmol mmol
10
3
1
h
v i + hvivz +
3
4
3
2
dA
(1.46)
15
1.6 K INETISCHE G ASD ÄMPFUNG
übertragen. Die Gesamtkraft auf die Vorderseite ergibt sich durch Integration von dFüber die Gesamtfläche, also
1
hv i + 34 hvivz + 13
Ffront (vz ) = ;nmol mmol A
3
2
(1.47)
Die Berechnung der Kräfte auf die Rückseite der Fläche entspricht der obigen Rechnung, wobei
nur die Richtung der Kraft und der Geschwindigkeit vz sich ändert. Diese Kraft ergibt sich daher
direkt zu:
Fback (vz ) = ;Ffront(;vz )
(1.48)
Die Gesamtkraft
F (vz ) = Ffront + Fback = ;nmol mmol hvmol iAvz = ;γvz
(1.49)
ist linear in der mittleren Teilchengeschwindigkeit hvmol i = hj~vmol ji und der Geschwindigkeit vz des
Oszillators und wirkt der Bewegung entgegen. Sie hat den Charakter einer viskosen Dämpfung mit
der Dämpfungskonstante γ.
Die Größen, von denen in Gl.(1.49) die Kraft abhängt, lassen sich für ein ideales Gas durch den
Druck p und die Temperatur T ausdrücken. Die Annahme eines idealen Gases ist für diese Drücke
gerechtfertigt. Mit Hilfe der Maxwell-Boltzmann-Verteilung (s. z.B. [16])
m mol
ρ(v) = 4π
3
2
2πkB T
; 2kmvB2T
v2 e
(1.50)
erhält man für die Molekülgeschwindigkeit
s
hvmol i = 2
2kB T
:
πmmol
(1.51)
Das ideale Gasgesetz besagt nkB T = p. Damit ergibt sich ein neuer Ausdruck für die Reibungskraft
mit v als Geschwindigkeit des Oszillators:
r 2m
Fdamp = ;γv = ;2pA
mol
πkB T
v:
(1.52)
Die Güte Qkin in Luft ist mit mmol = 28u
Qkin = 1; 87 103
ω0 1mbar m 1cm2
:
1kHz p 100mg A
(1.53)
Bei einem Druck von 10;6 mbar, der in den verwendeten Apparaturen für Experimente zum Strahlungsdruck noch unterschritten wird, liegt damit die Gütenbegrenzung durch Restgas weit jenseits
der aufgrund anderer Effekte erreichbaren Güte.
Kapitel 2
Kräfte und Fluktuationen
In diesem Kapitel sollen die Kräfte, die auf den Spiegel wirken, in ihrer Stärke und ihrem Verhalten beschrieben und die von ihnen verursachte Auslenkung untersucht werden. Die Kr̈afte und ihre
Wirkungen können deterministischen oder stochastischen Charakter haben. Im ersten Fall aßt
l̈ sich
eine direkte Beschreibung im Frequenzraum verwenden. Welche Konsequenzen dabei bei endlichen Meßzeiten auftreten, wird im ersten Unterabschnitt gezeigt. Im zweiten Fall, also bei stochastischem Verhalten, wird vom Mechanismus der spektralen Dichte Gebrauch gemacht, der daher als
nächstes eingeführt wird. Danach wird zunächst die Kraft durch Licht auf den Spiegel untersucht.
Außer diesem erwünschten Effekt gibt es natürlich auch noch andere Kräfte, die den Spiegel bewegen und eine Messung behindern oder verfälschen können. Dies sind insbesondere thermische
Fluktuationen, Stöße durch Gasmoleküle, die auch in ihrer Wirkung beschrieben werden. Zusätzlich koppelt auch die Seismik und Akustik der Außenwelt an den Spiegel. Deren Wirkung kann
auch durch eine spektrale Dichte beschrieben werden. Sie sind aber kaum analytisch zug̈anglich
und werden daher erst im experimentellen Teil der Arbeit wieder aufgegriffen.
Eine über den Inhalt dieses Kapitels hinausgehende Beschäftigung mit Fluktuationen in Systemen
hoher Güte ist z.B. in den Arbeiten von V. B. Braginsky [2] nachzulesen.
2.1 Spektrale Zerlegung für endliche Meßzeiten
Gegeben sei das zeitliche Verhalten einer fluktuierenden Größe x(t ). Die spektrale Zerlegung dieser
Größe ist
x(ω) = FTfx(t )g =
Z∞
;∞
dt x(t )e;i ωt :
(2.1)
Dieses Integral existiert jedoch nur für die sogenannten quadratintegrablen Funktionen, die im Unendlichen schnell genug abfallen. Ein Weg, dies zu umgehen, ist die Definition einer Fouriertrans-
18
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
formierten über einem endlichen Zeitbereich:
xT (ω) =
ZT
;T
2
=
dt x(t )e;i ωt
T !∞
;!
x(ω):
(2.2)
2
=
Die formale Transformation zwischen diesen beiden Typen der Fouriertransformation wird durch
eine Rechteckfunktion
(
RT (t )
=
RT (ω)
=
1 für jt j 0 sonst
2
T
sin ω
ω
2
T !∞
;!
T
2
(2.3)
2πδ(ω)
(2.4)
vermittelt. Mit den Regeln zur Faltung gilt
xT (ω) = FTfx(t )RT (t )g = x(ω) RT (ω):
(2.5)
Die Rücktransformation ergibt
Z∞
xT (t ) =
;∞
dω
xT (ω) = x(t ) RT (t ) =
2π
(
x(t ) für jt j 0
sonst
T
2
(2.6)
2.2 Spektrale Dichte
Verhält sich ein System nicht deterministisch, folgt es also keiner durch die Anfangsbedingung
festgelegten Trajektorie im Phasenraum, oder ist es aufgrund der Menge der Größen und damit
der Dimension des Phasenraums nicht sinnvoll, es deterministisch zu beschreiben, kann es immer
noch mit den Mitteln der Statistik behandelt werden. Das System wird dann durch die Angabe
eines Ensembles möglicher Zustände und der Wahrscheinlichkeit, es in den einzelnen Zuständen
zu finden, beschrieben. In der Ableitung der kinetischen Gasdämpfung wurde dieser Weg schon
beschritten.
Statt eines determinierten Wertes kann nun einer Größe ein Mittelwert zugeordnet werden, der sich
bei einer großen Zahl von Messungen ergibt.
hx(t )i = ∑ pixi
(2.7)
Dabei ist pi die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden, und xi der
Meßwert in diesem Zustand. Der Mittelwert ist im allgemeinen zeitabhängig. Als nächstes soll
19
2.2 S PEKTRALE D ICHTE
eine Möglichkeit geschaffen werden, die Abhängigkeit zweier Größen des Systems voneinander
zu bestimmen. Dies ermöglicht die Korrelationsfunktion
Gxy (t1 ; t2 ) = hx(t1 )x(t2 )i:
(2.8)
Insbesondere läßt sich auch das Gedächtnis“ des Systems für eine Größe bestimmen, nämlich die
”
Korrelation einer Größe mit sich selbst, Autokorrelationsfunktion genannt:
Gx (t ; τ) = hx(t )x(t + τ)i
(2.9)
Die Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion
jSx (ω)j
2
fGx (τ)g =
= FT
Z∞
;∞
dτ hx(t )x(t + τ)ie;i ωτ
(2.10)
wird als spektrale Dichte bezeichnet.
Wie man aus der Definition ersieht, ist die auf diese Weise definierte spektrale Dichte symmetrisch,
also jSx (;ω)j = jSx (ω)j. Außerdem erhält man durch Rücktransformation wieder die Korrelationsfunktion und mit hx2 i = Gx (t ; 0) einen Ausdruck für das Schwankungsquadrat:
hx i =
2
Z∞
;∞
dω
jSx (ω)j2 =
2π
Z∞
dω
2 jSx (ω)j2 :
2π
(2.11)
0
Beim Vergleich mit gemessenen spektralen Dichten muß beachtet werden, daß in der Literatur gelegentlich auch 2jSx (ω)j2 als spektrale Dichte bezeichnet wird.
Für eine zusammengesetzte Größe z(t ) = x(t ) + y(t ) ergibt sich für unabhängige, also unkorrelierte
Größen x; y aus hx(t )y(t0 )i = 0 sofort die einfache Rechenregel
jSx (ω)j2 = jSy (ω)j2 + jSz(ω)j2
(2.12)
:
Verschwindet die Korrelationsfunktion von x und y nicht für alle Zeiten, so ergibt sich mit der Definition
2
(Sxy (ω)) =
(Syx (ω))
2
Z∞
=
;∞
dτ hx(t )y(t + τ)ie;i ωτ
(2.13)
die allgemeine Rechenregel für die spektrale Dichte zusammengesetzter Größen:
jSz(ω)j2 = jSx (ω)j2 + jSy(ω)j2 + Re((Sxy(ω))2)
(2.14)
20
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
Nun läßt nicht jedes System eine Ensemblemittelung zu. Um trotzdem Aussagen zu treffen, wird
das Zeitmittel verwendet:
1
x = lim
T !∞ T
ZT
2
=
dt x(t )
;T
(2.15)
2
=
Für stationäre Systeme, in denen sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung nichtändert, gilt die Ergodenhypothese
x = hxi = hx(t )i = hx(t0 )i
8 t t0
;
(2.16)
;
d.h., daß jede Ensemblemittelung durch eine Zeitmittelung ersetzt werden kann. Im Folgenden
wird ein solches stationäres System vorausgesetzt. Dann gilt insbesondere
Gxy (t1 ; t2 )
Gx (t ; τ)
Gxy (τ) = Gxy (;τ) = x(t )y(t + τ)
Gx (τ) = hx(t )x(t + τ)i = x(t )x(t + τ)
=
=
(2.17)
Mit Hilfe dieser Gleichung läßt sich die spektrale Dichte auch durch die Fouriertransformierte der
entsprechenden Größe darstellen. Dabei werden die im vorherigen Abschnitt definierten Fouriertransformierten für endliche Zeiten T benutzt, da es sonst zu Divergenzen und mathematisch nicht
definierten Ausdrücken kommen kann. Es muß für die Rechnung T τ angenommen werden, was
durch den anschließenden Grenzübergang T ! ∞ gesichert ist. Mit dieser Annahme gilt x(t + τ) =
xT (t + τ). Außerdem muß T so groß sein, daß der Grenzübergang RT (ω) ! δ(ω) gemacht werden
kann.
jSx(ω)j
2
Z∞
=
;∞
Z∞
=
=
=
=
;∞
dτ x(t )x(t + τ)ei ωτ
1
dτ lim
T !∞ T
1
lim
T !∞ T
lim
T !∞
1
T
Z∞
ZT
;T
2
=
2
=
ZT =2
dτ
;∞
dω1
2π
Z∞
dt
;∞ ;T
Z∞
dt x(t )x(t + τ)e;i ωτ
2
Z∞
=
;∞
;∞
dω1
2π
Z∞
;∞
dω2
xT (ω1 )xT (ω2 )eit (ω1+ω2) ei τ(ω2 ;ω)
2π
dω2
xT (ω1 )xT (ω2 )2πRT (ω1 + ω2 )2πδ(ω2 ; ω)
2π
1
jxT (ω)j2
xT (ω)xT (;ω) = lim
T !∞ T
T !∞
T
lim
(2.18)
Diese Gleichung ist auch unter dem Namen Wiener-Khintchine Theorem bekannt. In der Darstellung durch die Fouriertransformierte wird auch die Bedeutung der spektralen Dichte eher anschau-
2.3 E INFLUSS
DES
21
M ESSAPPARATES
lich. Ist x eine Amplitude, so ist x2 eine Intensität1 . Damit ist die spektrale Dichte eine Intensitätsdichte im Fourierraum. Messen läßt sich die spektrale Dichte, indem die Intensität I nach durchlaufen eines schmalen Bandfilters der Breite ∆ω und Mittenfrequenz ω gemessen wird. Ist die spektrale Dichte im Intervall ∆ω um ω in guter Näherung konstant, so gilt I = ∆ω jSx (ω)j2 , ansonsten
ergibt sich ein Ausdruck durch Faltung von spektraler Dichte und Filterfunktion. Die Filterbreite
bestimmt also die Auflösung, mit der die spektrale Dichte so gemessen wird.
Die spektrale Dichte ist das Handwerkszeug, mit dem das Frequenzverhalten statistischer Prozesse beschrieben werden kann, für die die spektrale Zerlegung mit Hilfe der Fouriertransformation
keinen Sinn macht. Ein statistischer Prozeß hat keine definierte Phasenlage, jedoch eine spektrale
Verteilung seiner Intensität.
Für einen speziellen statistischen Prozeß, der häufig auftritt, soll hier noch die spektrale Dichte
explizit angebeben werden. Treten individuelle Ereignisse mit der Rate n̄ auf und entspricht jedem
Ereignis ein δ-Puls, ist also die Zeitreihe durch
x(t ) = ∑ δ(t ; ti )
ti
!
x = n̄
(2.19)
gegeben, so gilt für die spektrale Dichte der Fluktuationen [26]
jSx (ω)j = n̄
(2.20)
Alle Berechnungen hier wurden für Kreisfrequenzen ω = 2π f durchgeführt. Die spektrale Umrechnung von spektralen Dichten für Frequenzen und Kreisfrequenzen wird durch
jSx (ω)j2 dω = jSx ( f )j2 d f
(2.21)
vermittelt. Damit gilt
jSx (ω)j2 = 2π jSx ( f )j2
:
(2.22)
2.3 Einfluß des Meßapparates
Gegeben sei eine spektrale Dichte einer beliebigen Größe x(t ). Gemessen werde die Größe x mit
einem geeigneten Meßapparat, der auf die Eingabe x(t ) mit einer Ausgabe y(t ) antwortet. Diese
Antwort läßt sich im linearen Fall durch eine Antwortfunktion g(t ) beschreiben. Der Formalismus
ist völlig analog zu der Beschreibung, wie sie in 1.1 dargestellt wurde. Für die Fouriertransformierte g(ω) gelten die gleichen Bedingungen, wie sie auch schon in dem entsprechenden Abschnitt
abgeleitet wurden. Die Ausgabe, die die Messung liefert, kann eine Spannung am Ausgang einer
1 Je
nach System kann hier der Begriff Intensität z.B. durch Energie oder Leistung ersetzt werden.
22
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
Photodiode, die Auslenkung einer Feder, der Ausschlag eines y-t-Schreibers am Ende einer Meßapparatur oder vieles mehr sein. Das System muß sich nur in jeder seiner Komponenten linear
verhalten.
Die Antwort des Meßapparates sei y(t ). Als weitere Bedingung muß die Meßzeit T lang gegenüber
dem Gedächtnis“ der Meßapparatur sein. Alternativ muß die Meßgröße x(t ) außerhalb der Meß”
zeit identisch Null sein. Formal kann die erste Bedingung daher immer dadurch umgangen werden,
daß die im vorherigen Abschnitt definierte Größe xT (t ) als Meßgröße verwendet wird. Dann gilt:
Z∞
yT (t )
=
yT (ω)
=
;∞
dt 0 xT (t ; t 0 )g(t 0 ) = xT (t ) g(t )
xT (ω)g(ω)
(2.23)
(2.24)
Dabei muß g(t) nicht auf das Meßzeitintervall eingeschränkt werden, da durch Verwendung von xT
die begrenzte Meßzeit schon ausreichend berücksichtigt ist. Nun kann auch der Zusammenhang
zwischen der spektralen Dichte des Meßwertes y und der Größe x mit Hilfe von Gl.(2.18) ermittelt
werden:
jSy(ω)j2
=
=
=
lim
T !∞
jxT (ω)g(ω)j2
T
jxT (ω)j2
jg(ω)j2 Tlim
!∞ T
2
jSx (ω)j jg(ω)j2
(2.25)
Für den Spezialfall von statistisch unabhängigen Ereignissen mit der Rate n̄, die jeweils eine Antwort g(t ; ti ) auslösen, ergibt sich mit der Gl.(2.20)
jSy(ω)j2 = n̄ jg(ω)j2
(2.26)
2.4 Strahlungsdruck
Licht, das von einem Spiegel reflektiert wird, überträgt einen Impuls auf den Spiegel. Dies ist sowohl im Bild der elektromagnetischen Welle, in dem sich der Impuls des elektromagnetischen Feldes aus dem Energie-Impuls-Tensor ablesen läßt, als auch im Teilchenbild, in dem jedes Photon
einen Impuls trägt, einsichtig. Hier soll die Ableitung im Teilchenbild durchgeführt werden.
Ein Photon in einem Laserfeld mit Wellenvektor kL hat den Impuls h̄kL und überträgt bei senkrechtem Einfall seinen doppelten Impuls auf den Spiegel. Dies ist nur für den ruhenden Spiegel exakt,
aber da die weiteren Terme in der Ordnung vc sind und v für z.B. eine Schwingung des Spiegels bei
23
2.4 S TRAHLUNGSDRUCK
1kHz mit einer Amplitude x = 1µm nur 1mm/s beträgt, ist es eine gute Näherung. Die Reflektion
des Photons geschieht augenblicklich, so daß jedes Photon einen Kraftstoß
FPhoton = 2h̄kL δ(t )
(2.27)
ausübt.
Eine Intensität I(t ) entspricht einem Photonenstrom I(t )=h̄ωL , wobei ωL die Kreisfrequenz des Laserlichts ist. Mit dem Implulsübertrag 2h̄k eines Photons ergibt sich die Kraft
F (t ) = I(t )
2h̄kL
h̄ω
=
2
I(t )
c
(2.28)
Bei der Berechnung der spektralen Dichte muß nun berücksichtigt werden, daß die Kraft sich aus
vielen einzelnen Ereignissen zusammensetzt, eben dem Impulsübertrag durch jeweils ein Photon.
Die Ankunftzeiten der einzelnen Photonen sind dabei völlig stochastisch. Die Rate n̄ der auftreffenden Photonen ergibt sich aus der Intensität zu
n̄ =
I
:
h̄ωL
(2.29)
Das stochastische Auftreffen der Photonen führt dann mit Gl.(2.26) zu einer fluktuierenden Kraft
mit der spektralen Dichte
jSF
Schrot
(ω)
j2 = n̄ jFPhotonj2 = c42h̄ωLI
(2.30)
Dies ist der Beitrag des sogenannten Schrotrauschens zur Kraftfluktuation. Außerdem kann die Intensität im klassischen Sinne schwanken, wenn das Licht keine monochromatische Welle ist, sondern die Lichtquelle fluktuiert. Im Photonenbild entspräche dies einer variierenden Wahrscheinlichkeit p(t ) dt, daß ein Photonstoß in einer Zeit dt stattfindet. Ist die spektrale Dichte der Intensiẗat
durch technische Rauschprozesse durch jSI (ω)j2 gegeben, so gilt für die spektrale Dichte der Kraft
jSF (ω)j2 = c42 jSI (ω)j2 + jSF
Schrot
(ω)
;
j2 = c42 jSI (ω)j +h̄ωI
(2.31)
Bei der Bestimmung der Spiegelantwort ist die Verwendung der Kraft (2.28) mit dem Formalismus der Antwortfunktion wie in Abschnitt 1.1 nur für nicht stochastische Anteile sinnvoll. Daher
soll die Intensität I(t ) in einen Modulationsteil IMod , der jede gewollte Zeitabhängigkeit enthält,
und einen Fluktuationsteil IFluk , der alle technischen Rauschprozesse vereinigt, zelegt werden. Mit
diesen ergibt sich dann mit Gl.(2.28) eine modulierte Auslenkung
2
x(ω) = G(ω)FMod = G(ω) IMod (ω)
c
(2.32)
24
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
Dies führt bei einer monochromatischen Modulation mit Kreisfrequenz ωMod bei einer Skalierung
auf sinnvolle experimentelle Parameter zu einer Auslenkung
xrms = 3; 33 10;9 m
100mg (IMod )rms 1kHz2
1
2
2
m
50mW ω0 1 ; (ω=ω0 ) + ikdamp =(mω20 )
(2.33)
Die Anwendung von Gl.(2.31) und Gl.(2.25) führt auf eine spektrale Dichte der durch Licht induzierten Ortsfluktuationen:
jSx
j2 = jG(ω)j2 jSF (ω)j2 = jG(ω)j2 c42 jSI
(ω)
rad
j2 +h̄ωLI
(ω)
Fluk
(2.34)
Für einen Nd:YAG-Laser mit λ = 1064nm ergibt dies für die Ortsfluktuationen durch Schrotrauschen
jSx(ω)j
= 2; 88
10;20 pm
I
1W
Hz
(2.35)
1
2
100mg 1kHz2
1
2
2
m
ω0 1 ; (ω=ω0 ) + ikdamp =(mω20 )
und für den Beitrag des technischen“ Rauschens
”
jSx(ω)j =
m
6 67 10;17 p
jSI
;
Hz
Fluk
(ω)
j
p
(2.36)
2
Hz 100mg 1kHz
1
2
2
µW m
ω0 1 ; (ω=ω0 ) + ikdamp =(mω20 )
2.5 Thermische Ausdehnung und Radiometereffekt
Der Spiegel hat keine ideale Reflektion, sondern besitzt eine gewisse Restabsorption a. Dadurch
erwärmt sich die Vorderseite des Spiegels, und es stellt sich ein Temperaturunterschied zwischen
der Vorderseite und der Rückseite des Spiegels ein. Der Wärmeeintrag in die Vorderseite durch
Licht der Intensität I ist
Q̇ = aI:
(2.37)
Nach einiger Zeit stellt sich ein statischer Wärmegradient zwischen der Vorderseite und der Rückseite ein. Die Wärmeleitungsgleichung ergibt für diesen Fall
Q̇ =
λA
∆T;
d
(2.38)
2.5 T HERMISCHE A USDEHNUNG
UND
R ADIOMETEREFFEKT
25
wobei A die Fläche und d die Dicke des Spiegels und λ die Wärmeleitfähigkeit des Spiegelmaterials
ist. Für Quarzglas, das meist verwendete Material, ist die Wärmeleitfähigkeit λ = 1; 36 W=(K m).
Die Temperaturdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite ist damit
∆T
=
ad
I
λA
(2.39)
Auf die Parameter des Experiments skaliert ergibt dies
∆T
2
= 7mK
d 1cm
0 a01 1mm
A
;
I
:
100mW
(2.40)
Durch diesen Temperaturunterschied sind zwei Mechanismen der Auslenkung des Spiegels denkbar:
Erstens führt die Temperaturdifferenz zu verschiedener Wärmeausdehnung der Vorder- und Rückseite. Dadurch entstehen Spannungen im Material, die zu einer Verformung und damit Auslenkung
des Spiegels führen können. Die genaue Wirkung dieses Effekts hängt jedoch von der speziellen
Realisierung des Spiegels, dem genauen Ort der stärksten Erwärmung, Spannungen im Material
und vielem mehr ab. Es ist daher sinnvoll, diesem Effekt für die realisierten Spiegel im Experiment zu überprüfen.
Der zweite Effekt ist die sogennante radiometrische Kraft. Sie entsteht dadurch, daß Gasmolek̈ule
beim Stoß mit der Oberfläche des Spiegels einen von der Temperatur der Oberfläche abhängigen
Impulsbeitrag aufnehmen. Dadurch wird an die Gasmoleküle auf der wärmeren Vorderseite ein
höherer Impuls übertragen als auf die Rückseite. Dadurch erfährt der Spiegel eine Nettokraft in
Richtung der kälteren Rückseite. Eine obere Abschätzung der Kraft ergibt sich für den Fall, daß
die Gasmoleküle nach dem Stoß eine der Oberflächentemperatur entsprechende Geschwindigkeitsverteilung annehmen. Die Kraft beträgt dann [11] für Drücke im Hochvakuumbereich, also bei
Vernachlässigung der Wechselwirkung zwischen Gasmolekülen,
2 ∆T
F = Ap :
π
T
(2.41)
Dabei ist T die Umgebungstemperatur und p der Restgasdruck. Einsetzen des Temperaturgradienten ergibt die Kraft
F=
2ad p
I:
πλT
(2.42)
Damit Strahlungsdruck die Kraft dominiert, muß
2ad p
πλT
<
2
c
(2.43)
26
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
gelten. Skaliert auf die Dimensionen des im Experiment verwendeten Spiegels wird Strahlungsdruck bei Zimmertemperatur dominieren, wenn
p
a d
;
3
% 1mm 10 mbar
<
4; 4
(2.44)
gilt. Dabei sind der Druck und die Absorption sehr vorsichtig eingeschätzt, so daß im Experiment
sich die Beiträge durch radiometrische Kraft vernachlässigen lassen. Dies gilt insbesondere, da
die Temperatur des Spiegels schnellen Modulationen der Intensiẗat nicht folgen kann und daher
die Effektivität der radiometrischen Kraft für die im Experiment verwendeten Frequenzen noch
geringer ist. Dieser Tiefpaßeffekt wird in Abschnitt 5.1 noch näher untersucht.
2.6 Thermische Fluktuationen
Der Spiegel und seine Umgebung haben eine endliche Temperatur T. Temperatur wirdüber gespeicherte Energie definiert; wenn z.B. von der Temperatur T eines Gases gesprochen wird, so
heißt dies, das in jedem Molekül eine mittlere Energie kB T =2 pro Freiheitsgrad gespeichert ist. In
Festkörpern wird in jedem Schwingungsfreiheitsgrad eine mittlere Energie kB T gespeichert. Genauso enthält jeder eindimensionale Oszillator auch gerade eine mittlere thermische Energie von
kB T. Mit dem Virialsatz hEpot i = hEkin i = 12 E ergibt sich so
kB
hx2i = 2k hEpoti = 1k kB T = mω
2
(2.45)
:
0
Über die spektrale Dichte macht das Fluktuations-Dissipations-Theorem (FDT) eine Aussage [16]:
jSx(ω)j2 = 2KωBT Im(G(ω)) = 2KωBT kdamp jG(ω)j2
(2.46)
Verwendung von Gl.(2.25) mit der antreibenden fluktuierenden Kraft FFluk ergibt
jSx (ω)j2
! jSF (ω)j2
Fluk
=
jG(ω)j2 jSF
=
2kB T
Fluk
(ω)
kdamp (ω)
ω
j2
(2.47)
Dabei ist kdamp die Dämpfungskonstante aus Gl.(1.3). Die spektrale Dichte der Fluktuationen hängt
damit direkt mit dem Dämpfungsmechanismus zusammen und unterscheidet sich qualitativ erheblich für geschwindigkeitsproportionale Dämpfung einerseits und strukturelle Dämpfung andererseits. Bei gleicher Güte Q für beide Fälle, also nahezu identischer Antwort auf eine äußere Anregung, gilt mit den Gleichungen aus 1.3
27
2.6 T HERMISCHE F LUKTUATIONEN
10
|Sx| [m/√Hz]
10
10
10
10
10
-10
-12
-14
-16
v-Reibung
strukturell
-18
-20
2
10
10
3
4
10
ω=2πf [Hz]
10
5
10
6
Abbildung 2.1: Ortsfluktuationen im Vergleich für strukturelle und geschwindigkeitsproportionale Dämpfung. Parameter: m = 100mg, ω0 = 2π f = 10000Hz, Q = 1000
jSx (ω)j2
=
jSx (ω)j2
=
ω0
jG(ω)j2
Q
ω2
2mkB T 0 jG(ω)j2
ωQ
2mkB T
geschwindigkeitsproportionale Dämpfung
(2.48)
strukturelle Dämpfung
(2.49)
Für die Temperatur T = 300K ergibt sich als Zahlenwertgleichung für die Auslenkung eines Spiegels bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung
jSx (ω)j =
m
9; 07 10;14 p
Hz
104 100mg 1
2
Q
m
(2.50)
3
ω0 ; 2
1kHz
j(1 ;
1
j
(ω=ω0 )2 + iω=(ω0 Q)
und bei struktureller Dämpfung
jSx (ω)j =
m
9; 07 10;14 p
Hz
ω0 104 100mg 1
2
ω
Q
m
ω0 ; 23
1kHz
(2.51)
1
j(1 ; (ω=ω0 )2 + i=Qj
In Abb. 2.1 werden die Ortsfluktuationen bei gleichen Parametern, jedoch verschiedenen Dämpfungsmechanismen, verglichen. Es ist recht deutlich zu sehen, daß sich im Regime struktureller
Dämpfung die Ortsfluktuationen für Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz im Vergleich zu
geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung reduzieren.
28
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
2.7 Restgasinduzierte Ortsfluktuationen
In Abschnitt 1.6 wurde die Kraft auf den Spiegel durch Restgasstöße berechnet, um die Dämpfung
durch diese Stöße zu bestimmen. Da es sich um einen statistischen Prozeß handelt, fluktuiert diese
Kraft und induziert Ortsfluktuationen, die in diesem Abschnitt bestimmt werden sollen. Dabei werden die Bezeichnungen und Zwischenergebnisse aus Abschnitt 1.6 vewendet. Für die Berechnung
der Fluktuationen wird der Spiegel als ruhend angenommen. Die Beiträge durch eine Geschwindigkeit vsp 6= 0 des Spiegels sind um einen Faktor vsp =v̄gas kleiner als die in dieser Näherung berechneten Kräfte. Außerdem werden nur die Fluktuationen der Kraft auf die Vorderseite des Spiegels
berechnet. Da die Stöße auf die Vorderseite gänzlich unabhängig von denen auf der Rückseite sind,
addieren sich die spektralen Dichten beider Kräfte, und es gilt aufgrund der Symmetrie von Vorderund Rückseite
S
F
gas (ω)
2 = 2 jS
F
Front
j2
(ω)
(2.52)
:
Mit Gl.(1.45) kann zunächst die Anzahl der Gasmoleküle, die mit Geschwindigkeit in dv um v und
Richtung in d (cos θ) um cos θ pro Zeiteinheit auf die Fläche A auftreffen, bestimmt werden:
1
N̄(v; cos θ) dv d (cos θ) = nmol A cos θ v ρ(v) dv d (cos θ)
2
(2.53)
Das einzelne Ereignis, also die Kraft durch das Auftreffen eines einzelnen Gasmoleküls, kann durch
F (t ) = ;2mmol v cos θ δ(t ) = FEreignis δ(t )
(2.54)
beschrieben werden. Damit ergibt sich mit Gl.(2.26) die spektrale Dichte der durch dieses
Subensemble verursachten Kraftfluktuationen:
dv cosθ jSF (ω)j2
;
=
2
FEreignis
ωn̄ = 4m2mol v2 N̄(v; cos θ) dv d (cos θ)
=
2nmol Am2mol v3 ρ(v) dv cos3 θ d (cos θ)
(2.55)
Jedes Subensemble mit gewissen Geschwindigkeiten und Richtungen ist von jedem anderen Subensemble statistisch unabhängig, da die einzelnen Moleküle alle in ihren Auftreffzeiten unkorreliert
sind. Daher können nach Gl.(2.12) die Beiträge der einzelnen Subensemble zur spektralen Dichte
der Gesamtkraft einfach aufaddiert werden, was hier einer Integration über Gl.(2.55) entspricht.
Ein zusätzlicher Faktor 2 berücksichtigt nach Gl.(2.52) die Rückseite.
jSF
Gas
j
(ω)
2
=
4nmol Am2mol
=
nmol Am2mol
Z1
0
3
Z∞
d (cos θ) cos θ dv v3
hv i
3
0
(2.56)
2.8 V ERGLEICH
DER FLUKTUIERENDEN
29
K R ÄFTE
Mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung aus Gl.(1.50) und dem idealen Gasgesetz nmol kB T = p ergibt sich
hv i
3
Z∞
4
dv v3 = p
π
=
r
0
! jSF
Gas
j
(ω)
2
=
16Anmol kb T
2k T B
3
2
(2.57)
mmol
2mmol
kB T
π
r
= 16pA
2mmol
kB T
π
(2.58)
Für Luft bei Zimmertemperatur ergibt dies die Zahlenwertgleichung
jSF
Gas
(ω)
2
N
p
A
j2 = 1 42 10;31 Hz
1mbar 1cm2
;
(2.59)
:
Die spektrale Dichte der Ortsfluktuationen des Spiegels ist in Zahlen
jSx (ω)j = jSF
Gas
= 3; 77
(ω)
jjG(ω)j
10;18 pm
Hz
p
A
1mbar 1cm2
(2.60)
1
2
100mg 1kHz2
1
m
ω20 1 ; (ω=ω0 )2 + ikdamp =(mω20 )
:
2.8 Vergleich der fluktuierenden Kräfte
Wenn viele verschiedene unabhängige Mechanismen zu Ortsfluktuationen führen, so ergibt sich
die gemessene spektrale Dichte mit Gl.(2.12) aus der Summe der spektralen Dichten der einzelnen
Beiträge
jSx (ω)j2 = ∑ jSx(ω)j2i
:
(2.61)
i
Ob überhaupt eine der beschriebenen fluktuierenden Kräfte sichtbar wird und die gemessenen Ortsfluktuationen des Spiegels bestimmt, hängt sicher von der Empfindlichkeit des Meßapparates und
der Isolierung gegen Störungen von außen wie Seismik und Akustik ab. Diese Beiträge, die sich
auch in einer spektralen Dichte zusammenfassen lassen, sollen hier aber nicht weiter betrachtet
werden. Stattdessen sollen die in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Mechanismen verglichen werden.
Um den Vergleich möglichst allgemein zu halten, werden die Kräfte untersucht, die der Ortsfluktuation entsprechen:
jSx (ω)j = jSF (ω)jjG(ω)j
(2.62)
30
2. K R ÄFTE UND F LUKTUATIONEN
Mit den getroffenen Annahmen eines Lasers mit λ = 1064nm, Luft bzw. Stickstoff als Restgas und
einer Temperatur von 300K ergeben sich die Kräfte
jSF (ω)j =
N
2; 88 10;18 p
I
1W
1
Hz
N
9; 1 10;14 p
Hz
N
9; 1 10;14 p
N
1; 19 10;19 p
ω0 m
Q 1Hz 1g
1 ω
Hz
Hz
1
2
Strahlungsdruckrauschen
1
2
ω0 m
Q ω 1Hz 1g
0
Thermisches Rauschen für Fdamp (t ) v(t )
1
2
Thermisches Rauschen für Fdamp (ω) k=Q
p
A
;
6
10 mbar 10mm2
1
2
Restgasfluktuationen
Nun können Parameter bestimmt werden, für die z.B. Strahlungsdruckfluktuationen der dominierende Mechanismus ist. Im Vergleich zu den Restgasfluktuationen bei einem Druck von 10;6 mbar
und einer Spiegelfläche von 10mm2 ist das Strahlungsdruckrauschen bei einer Leistung von 1W
schon eine Größenordnung stärker. Gleich starke Fluktuationen durch Strahlungsdruck und thermisches Rauschen hingegen erfordern auf der Resonanz
I = 1GW
1 ω0 m
Q 1Hz 1g
(2.63)
Kapitel 3
Nichtklassische Lichtzustände
Eine besonders interessante Eigenschaft des Spiegels ist, daß er den Zustand des Lichts ver̈andern
und insbesondere zu klassisch nicht beschreibbaren Lichtzusẗanden führen kann. Die Beschreibung dieser Zustände bedarf jedoch eines geeigneten Formalismus, der zunächst eingeführt wird.
Außerdem wird ein Instrument benötigt, mit dem diese klassisch nicht beschreibbaren Effekte gemessen werden können. Ein Mechanismus zur Erzeugung nichtklassischer Lichtzusẗande, der Kerreffekt, wird zum Schluß vorgestellt und mit dem Spiegel in Zusammenhang gebracht. Es zeigt
sich, daß auch die Wechselwirkung zwischen Licht und Spiegel zu sogenanntem gequetschen Licht
führen kann.
Die formale Beschreibung macht von einer quantenmechanischen Beschreibung des Lichts Gebrauch, die hier nur ansatzweise eingeführt werden kann. Daher sei hier für eine ausführliche und
genaue Behandlung auf Lehrbücher [24, 18, 25] verwiesen.
3.1 Beschreibung nichtklassischer Lichtzustände
Das elektromagnetische Feld läßt sich analog zum harmonischen Oszillator quantisieren, wobei
jede Feldmode formal einem Oszillator mit einer bestimmten Frequenz ωL entspricht. Eine zentrale
Rolle hierbei haben die Erzeuger a und Vernichter a† zusammen mit ihrer Kommutatorrelation
a a† = 1
;
(3.1)
:
Ihre anschauliche Bedeutung finden sie in der Erzeugung oder Vernichtung eines Feldquants, also eines Photons. Sie entsprechen selber jedoch keiner physikalischen Gr̈oße. Allerdings lassen
sich alle das Licht betreffenden physikalischen Größen durch Kombinationen von Erzeugern und
Vernichtern darstellen. So entspricht der Energie der Hamiltonoperator
Ĥ = h̄ωL (a† a +
1
);
2
(3.2)
32
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
dem elektrischen Feld der Feldoperator
h̄ω ;
LO
Ê = i
ae;i ω t ; a† ei ω t
1
2
L
L
2Vε0
:
(3.3)
V ist das Quantisierungsvolumen. Im weiteren sei h̄ωL =(2Vε0 ) = 1. Bei Bedarf kann diese Ersetzung rückgängig gemacht werden, indem jedem Erzeuger und Vernichter ein entsprechender Term
zugeordnet wird. Nun soll die Analogie zum harmonischen Oszillator noch weiter getrieben werden. Beim harmonischen Oszillator ergeben sich der Orts- und Impulsoperator durch
r
q̂ =
h̄
†
(a + a );
2ω
r
p̂ = i
h̄ω
†
(a ; a )
2
(3.4)
Dies inspiriert zur Definition zweier hermitescher Operatoren
X1 = a + a† ;
X2 =
1
†
(a ; a ):
i
(3.5)
Daß diese so definierten Zustände auch wirklich einer Messung zugänglich sind, wird in Abschnitt
3.2 dargestellt werden. Aus Gl.(3.1) ergibt sich
[X1 ; X2 ] = 2i:
(3.6)
Mit Hilfe dieses Kommutators kann das Analogon zur Heisenbergschen Unschärferelation ∆q∆p h̄=2 für die Quadraturamplituden bestimmt werden:
∆X1∆X2 jh[X1 X2]ij = 1
;
(3.7)
2
Die Bedeutung der Quadraturamplituden erschließt sich am leichtesten durch ihre Verwendung bei
der Beschreibung eines kohärenten Zustands. Ein kohärenter Zustand jαi wird durch den Parameter α = jαj ei θ charakterisiert. Formal definieren läßt er sich als Eigenzustand des Vernichters:
jαi = α jαi
(3.8)
Der kohärente Zustand ist das quantenmechanische Analogon zur monochromatischen Ebenen Welle. Dies zeigt sich bei der Berechnung des Felderwartungswertes:
hE i = 2 jαj sin(kr ; ωt + θ)
~~
:
(3.9)
3.1 B ESCHREIBUNG
NICHTKLASSISCHER
33
L ICHTZUSTÄNDE
X2
Y2
<X2 >
∆ X1
X1
∆ Y1
Y1
Abbildung 3.1: Phasenraumdiagramm eines gequetschten Lichtzustandes mit Unschärfefläche im ursprünglichen Koordinatensystem Xi und im Hauptachsensystem Yi
Für diesen kohärenten Zustand gilt:
hX1i
hX2i
∆X1
=
2 jαj cos θ
=
2 jαj sin θ
=
∆X2 = 1
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Der kohärente Zustand ist also ein Zustand minimalen Unschärfeproduktes. Stellt man den kohärenten Zustand durch einen Punkt α in der komplexen Ebene dar, so entsprechen die Quadraturen X1
und X2 der reellen und imaginären Achse und die Erwartungswerte geben die Projektion des Zustandes auf die Achsen an. Für θ = 0 finden sich die Schwankungen der Quadraturamplituden in
den klassischen Schwankungen von Ampltiude und Phase wieder.
Die Ebene, die durch die Quadraturen aufgespannt wird, ist der Phasenraum des Systems. Ein klassischer Zustand entspräche einem Punkt am Ort α. Quantenmechanisch kann es keinen einzelnen
Punkt geben, da dies einer gleichzeitigen scharfen Messung von X1 und X2 entspräche. Da X1 und
X2 nicht kommutieren, ist dies nicht möglich. Es kann stattdessen nur eine Wahrscheinlichkeit angegeben werden, einen betimmten Meßwert zu erhalten. Eine Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit anzugeben, ist eine Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum. Diese Quasiwahrscheinlichkeitsfunktion ist charakteristisch für einen Zustand. Der Begriff Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung wird verwendet, da die diese Verteilung auch negative Werte annehmen kann, was
ein besonderes Kennzeichen nichtklassischer Zustände ist. Sie widersetzt sich somit der üblichen
Wahrscheinlichkeitsinterpretation Durch Projektion auf einen Schnitt durch den Phasenraum, der
einer beliebigen Quadratur entspricht, gelangt man zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung eben
dieser Quadratur mit der üblichen Normierung und Interpretation. Eine Darstellung dieser Quasiwahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wignerfunktion.
34
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
Eine etwas reduzierte Information über den Zustand enthält die Fehlerfläche, die sich formal als
Höhenlinie der Wignerfunktion ergibt. Sie hat jedoch eine direkte, der Messung zug̈angliche Bedeutung. Die Messung einer beliebigen Quadratur X (φ) = X1 cos φ + X2 sin φ entspricht der Projektion der Fehlerfläche auf eine durch den Winkel φ bestimmte Achse. Der Schwerpunkt entspricht
dem Erwartungswert, und die Gesamtbreite der Projektion, anschaulich der Schattenwurf, gibt das
Schwankungsquadrat ∆X. Die Fehlerfläche könnte also durch die Messung der Schwankung in
allen möglichen Projektionen vermessen werden. Für einen kohärenten Zustand wäre dies aber
wenig ergiebig, da die Fehlerfläche hierfür eine Kreisscheibe ist.
Die Wahl der Quadraturen X1 und X2 als Basis des Phasenraums ist nicht die einzige mögliche Wahl.
Ein ganzer Satz von möglichen Basen kann durch eine lineare Transformation gewonnen werden.
Eine längen- und winkelerhaltende Transformation ist
Y1 + iY2 = (X1 + iX2)e;i φ :
(3.13)
Diese Transformation stellt eine Drehung der Koordinatenachsen dar und erḧalt die Fehlerfläche,
also ∆Y1 ∆Y2 1.
Ein besonders interessantes Ergebnis dieser Betrachtung ist die mögliche Existenz von gequetschtem Licht. Von gequetschtem Licht kann man sprechen, wenn eine der möglichen Quadraturmessungen eine Schwankung ∆Y1 < 1 aufweist, wobei dann zum Ausgleich die hierzu senkrechte Quadratur Y1 entsprechend unscharf wird.1 Zur Erzeugung solcher Zustände kommen alle Mehrphotonenprozesse, klassisch nichtlineare Polarisationen beliebiger Ordnung, in Frage, wobei die Zweiund Dreiphotonenprozesse aufgrund ihrer höheren Wahrscheinlichkeit die bisher größten Unschärfereduktionen ergeben haben. Einphotonenprozesse hingegen können nur reine Drehungen im Phasenraum vermitteln und verändern daher die Fehlerfläche nicht. In Abb. 3.1 ist ein Beispiel für
den Phasenplot eines gequetschten Zustands mit den beschriebenen Projektionen der Fehlerfl̈ache
in verschiedenen Koordinatensystemen.
Entspricht in einem Meßinstrument, z.B. einem Gravitationswellendetektor, eine solche Quadratur verminderter Unschärfe der Meßgröße, so läßt sich die Empfindlichkeit unter die sogenannte
Schrotrauschgrenze drücken. Einige Ideen zur Erhöhung der Empfindlichkeit solcher hochempfindlicher Instrumente setzten daher auf die Erzeugung solcher gequetschten Lichtzusẗande [4, 13,
21].
3.2 Messung der Quadraturen
Die einzige Messung, die an Licht durchgeführt werden kann, ist eine Intensitätsmessung, da alle
bekannten Meßverfahren auf der Wechselwirkung einzelner Photonen mit dem Meßapparat basieren. Daher ist auch die einzige Fluktuation, die direkt zugänglich ist, die Intensitätsfluktuation. Um
1 There
is no free lunch. In den meisten Experimenten zum Squeezing“ ist die Fehlerfläche des gequetschten Zu”
stands deutlich größer als die des kohärenten Zustands
3.2 M ESSUNG
DER
Q UADRATUREN
35
Auskunft über weitere Eigenschaften des Lichtes zu gewinnen, muß ein Verfahren gefunden werden, mit dem sich diese Eigenschaften auf die Intensität des Lichtes übertragen. Eine Möglichkeit,
die sich bei Licht bietet, ist das Mischen des Signallichts mit einer monochromatischen Referenzquelle, dem Lokaloszillator. Für die Erzeugung des Lokaloszillators wird eine idealerweise monochromatische Lichtquelle verwendet, so daß sich der Lokaloszillator durch einen koḧarenten Zustand beschreiben läßt. Die Mischung geschieht durch die Überlagerung der Felder des Signals und
des Lokaloszillators mittels eines Strahlteilers. Als Signal wird hier das Licht bezeichnet, dessen
Zustand vermessen werden soll. Wird nun eine Intensitätsmessung des gemischten Lichts durchgeführt, so ergeben sich Mischterme aus dem Produkt beider Feldamplituden, so daß sich aus dem
Intensitätssignal Informationen über die komplexe Signalamplitude extrahieren lassen.
Die folgende Rechnung verwendet das Heisenbergbild. Die Zeitabhängigkeiten sind also in den
Operatoren enthalten. Beide Felder seien monochromatisch und haben die gleiche Polarisation, so
daß nur jeweils eine Feldmode betrachtet werden muß. Der kohärente Zustand des Lokaloszillators
wird durch den komplexen Amplitudenparameter
αLO = jαLO j ei (φ;π
2)
=
;
aLO jαLO i = αLO jαLO i
(3.14)
beschrieben. Die Bezeichnung der Felder vor und nach dem Strahlteiler wird wie in Abb. 3.3
gewählt. Die Vernichter des Signals heißen aSig und die des Lokaloszillators aLO . Für die Ausgangsfelder lauten die Vernichter entsprechend b1 und b2 . Die Feldoperatoren des einlaufenden
Lichts schreiben sich im allgemeinsten Fall unterschiedlicher Frequenzen
ELO (~r; t )
ESig (~r; t )
=
=
iaLO ei (k r;ωLOt ) + h.c.
~~
iaLO ei k r;ωSigt ) + h.c.:
(~~
(3.15)
(3.16)
Der Erzeugeranteil des Feldoperators E wird mit E(;) und der Vernichteranteil mit E(+) = (E (;) )†
bezeichnet, so daß E = E(+ ) + E (;) = E (+) + h:c: gilt. Den auslaufenden Feldern entsprechen
p
p
für einen Strahlteiler mit der reellen Amplitudenreflektivität r = R und -transmitivität t = T =
p 2
1 ; r die Feldoperatoren
(+)
E1
(+)
E2
(+)
(+)
= tESig + irELO
(+)
(+)
= irESig + tELO
:
(3.17)
(3.18)
Dabei wurde zur Vereinfachung der Rechnung statt eines Phasensprungs von π zweimal π=2 verteilt, positiv für Reflektion und negativ für Transmission. Die Intensität des Lichts wird durch den
Operator
I = ε0 cE (;) E (+)
ausgedrückt. Im weiteren wird auch cε0 = 1 definiert.
(3.19)
36
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
L
A
S
E
R
Referenz
Ω
Phasen
schieber
E LO
r
E Sig
Ι OUT
I
E
PD
Abbildung 3.2: Schema einer Heterodynmessung mit einem phasenstabilisierten Laser als Lokaloszillator
Bei den folgenden Messungen werden die Auswirkungen von Photodioden endlicher Ansprechzeit
und Quanteneffizienzen η < 1 nicht berücksichtigt. Insbesondere eine geringe Quanteneffizienz
beeinflußt die Messung erheblich und führt bei der Messung einer gequetschten Quadratur zu einer
zu hohen gemessenen Varianz.
3.2.1 Heterodynmessung
Von einer Heterodynmessung wird gesprochen, wenn die Frequenzen von Signal und Lokaloszillator sich um eine Frequenz Ω unterscheiden. Sie müssen jedoch über eine feste Phasenbeziehung
aneinandergeknüpft sein. Im Experiment wird dafür der Lokaloszillator durch eine geeignete Regelung auf die Frequenz Ω + ωSig stabilisiert. Die Differenzfrequenz Ω = ωLO ; ωSig wird im allgemeinen im Radiofrequenzbereich gewählt. Hier soll der Fall einer Heterodynmessung mit nur
einem Ausgang des Strahlteilers untersucht werden, wie sie in Abb. 3.2 dargestellt ist. Mit E = E1
gilt für ~r = 0 am Ort der Photodiode:
I = Ta†Sig aSig + Ra†LO aLO ; rt ia†LO aSig ei Ωt + h.c.
(3.20)
Der Intensitätserwartungswert ergibt sich mit der Definition der Quadratur Xζ = ae;i ζ +h.c. und
mit Gl.(3.14) zu
p
hI(t )i = T hISigi + RhILOi; rt hILOihXφ Ωt i
+
(3.21)
Die Meßgröße, also die Quadratur, entspricht einem mit der Frequenz Ω oszillierenden Anteil. Dies
ist leicht zu verstehen: Eine Messung der Quadratur Xφ+Ωt entspricht der Messung der Signalamplitude in einem mit der Frequenz Ω rotierenden Koordinatensystem. Dies istäquivalent zur Messung der Quadratur Xφ in einem festen Koordinatensystem und rotierender Signalamplitude. Da
3.2 M ESSUNG
DER
37
Q UADRATUREN
die Quadraturmessung einer Projektion des Amplitudenvektors auf die Xφ -Achse entspricht, ergibt
sich ein oszillierender Term. Dieser läßt sich durch eine elektronische Mischstufe mit der Radiofrequenz Ω und der Phasenbeziehung ζ weiter abmischen. Das Ausgangssignal ergibt sich aus dem
Erwartungswert der gemischten Intensität Iout = I1 cos(Ωt + ζ) zu
I¯out (t ) = ;rt
p
;
hILOihXφ ζi + T hISigi + RhILOi
+
cos(Ωt + ζ)
(3.22)
Aus diesem Signal läßt sich nun durch Zeitmittelung die Quadratur extrahieren. Die Varianz der
Quadratur ergibt sich aus der Varianz der Intensität. Für den quadratischen Erwartungswert ergibt
sich nach Zeitmittelung der mit Ω oszillierenden Term:
2
hIout
i
=
1 2 †
R haLO aLO + aLO aLO + a†LO aLO i + T 2 ha†Sig a†Sig aSig aSig + aSig aSig i
2
†
†
†
†
+
+RT h2aLO aLO aSig aSig aLO aLO + aSig aSig i
; RT
h(a†LO)2 a2Sige;2iζ ; h c i
4
: :
2
=
2
hIout i2 + R2 nLO + T2 nSig + RTnLO hXφ2 ζi;hXφ ζi2
+
+
(3.23)
Für die Varianz des Ausgangssignals gilt also
∆2 Iout = R2 ∆2 nLO + T 2 ∆2 nSig + RTnLO ∆2 Xφ+ζ
(3.24)
Sie setzt sich aus einem Schrotrauschbeitrag entsprechend der Gesamtintensiẗat auf der Photodiode
und aus der mit der Intensität des Lokaloszillators skalierten Varianz der Quadratur zusammen. Da
sich die Schrotrauschbeiträge kalibrieren lassen, steht so ein Instrument zur Verfügung, um Quadraturerwartungswert und -unschärfe zu messen. Insbesonders läßt sich die Phase der Quadratur
durch die Phase der Referenzfrequenz am Mischer wählen.
Der besondere Vorteil des heterodynen Verfahrens ist, daß die Rauschbeitr̈age des Lokaloszillators beim Mischen von der Frequenz Ω auf Frequenz Null gemischt werden. Daher muß der Laser,
der als Lokaloszillator verwendet wird, nur bei Frequenzen um Ω schrotrauschbegrenzt sein. Dies
ist wesentlich leichter zu realisieren als ein für niedrige Frequenzen schrotrauschbegrenzter Laser.
Außerdem können Störungen im Versuchsaufbau nicht einkoppeln, da fast alle unerwünschten Effekte nur bei niedrigen Frequenzen und nicht im Radiofrequenzmeßfenster stattfinden.
3.2.2 Homodynmessung
Oft ist es einfacher, Licht der gleichen Frequenz als Lokaloszillator zu verwenden. So kann das
Experiment mit nur einem Laser realisiert werden, dessen Licht zu einem Teil als Lokaloszillator verwendet und zu einem anderen Teil einer Wechselwirkung unterworfen wird, deren Resultat
38
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
E LO
r
E Sig
I1
E1
I OUT
PD 1
E2
PD 2
I2
Abbildung 3.3: Schema einer Homodynmessung unter Benutzung beider Ausgänge des Strahlteilers (balanced homodyne detection)
in Form des Signallichts untersucht werden soll. Diese Messung ist prinzipiell auch mit nur einem Ausgang des Strahlteilers möglich. Dabei ergibt eine Rechnung für die Varianz einen Ausdruck, der der Gl.(3.24) aus der Heterodynmessung entspricht. Allerding geht hier die Varianz des
Referenzlasers bei niedrigen Frequenzen ein, und auch alle niederfrequenten Sẗorungen im Versuchsaufbau koppeln durch.
Ein Teil der Störungen kann jedoch eliminiert werden, indem auch der zweite Ausgang eines symp
metrischen Strahlteilers mit r = t = 1= 2 benutzt wird und die Signale zweier idealer Photodioden
voneinander abgezogen werden. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 3.3 schematisch dargestellt. Der
Abstand der Photodioden vom Strahlteiler sei gleich.
Für die Felder in den Ausgängen des Strahlteilers ergibt sich mit ω = ωLO = ωSig der Ausdruck
E1 2 = ia1 2 e;i ωt +
;
;
h.c.;
(3.25)
wobei sich die Vernichter aus den Vernichtern von Lokaloszillator und Signal ergeben:
b1 =
p1
2
(aSig + iaLO );
b1 =
p1
2
(iaSig + aLO )
(3.26)
Für die Intensitäten gilt mit Gl.(3.19)
I1 2 = a†1 2 a1 2
;
;
(3.27)
;
Das Ausgangssignal entspricht der Differenz der Intensitäten
Iout
=
I2 ; I1
3.3 E RZEUGUNG
GEQUETSCHTER
=
!
2
Iout
=
L ICHTZUST ÄNDE DURCH
!
∆2 Iout
K ERRMEDIUM
39
b†2 b2 ; b†1 b1 = i(a†LO aSig ; a†Sig aLO )
;(a†Sig)2 a2LO ; (a†LO)2 a2Sig + 2a†LOaLOa†Sig aSig + a†LOaLO + a†SigaSig
Die Erwartungswerte berechnen sich mit αLO
Xφ = aSig e;i φ +h.c. zu
hIouti
2
hIout
i
EIN
=
=
=
jαLOjhXφ i
jαLOj2 hXφ2i
jαLOj2 ∆2Xφ2
=
jαLOj ei φ;π 2
(
=
)
(3.28)
aus Gl.(3.14) und der Quadratur
(3.29)
(3.30)
:
Das Ausgangssignal ist also direkt proportional zur Quadratur Xφ , die durch die Phasendifferenz
zwischen Lokaloszillator und Signal am Strahlteiler gewählt wird. Insbesondere gilt auch
S (ω) = jα jjS
X
LO
I
out (
φ
ω)j :
(3.31)
3.2.3 Homodyn kontra heterodyn
Der Vorteil der Homodynmessung mit zwei Ausgängen ist, daß das Ausgangssignal direkt die gewünschte Meßgröße ist. Der große Nachteil des Homodynverfahrens ist jedoch der Frequenzbereich, in dem die Messung stattfindet. Die Anforderungen an den als Lokaloszillator verwendeten
Laser werden dadurch wesentlich höher, und auch die Stabilität des Aufbaus ist kritischer als bei
der Heterodynmessung. In vielen Fällen können aber diese Probleme auch bei der Homodynmessung umgangen werden, nämlich immer dann, wenn es genügt, die hochfrequenten Bereiche der
spektralen Dichte SXφ (ω) zu untersuchen, da das Spektrum z.B. über weite Spektralbereiche konstant ist. Dann kann die Messung wieder für Frequenzen durchgeführt werden, bei denen der Laser
schrotrauschbegrenzt ist und der Aufbau keine Störungen einkoppelt.
3.3 Erzeugung gequetschter Lichtzustände durch ein Kerrmedium
Der Kerreffekt ist ein nichtlinearer Effekt 3. Ordnung. Für die induzierte Polarisation gilt in 3.
Ordnung allgemein
(3)
Pi
(3)
(ω1 + ω2 + ω3 )=ε0 = χi jkl (ω1 ; ω2 ; ω3 )E j (ω1 )Ek (ω2 )El (ω3 )
(3.32)
Für den speziellen Fall ω1 = ω2 = ;ω3 = ω und einem isotropen Medium gilt
(3)
Pi
(ω)=ε0 = AEi (ω)
2 1 E(ω) + 2 BEi (;ω)E j (ω)E j (ω)
~
:
(3.33)
40
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
Dies läßt sich als intensitätsabhängiger Brechungsindex für rechts und linkszirkulares Licht schreiben. Ein solches Medium, dessen Brechungsindex von der Intensiẗat abhängt, wird Kerrmedium
genann. Wird zusätzlich B = 0 angenommen, dann ergibt sich eine orientierungsunabhängige Brechunsindexänderung
∆n =
χ(ß)
I
cε0 n0
(3.34)
Dabei ist n0 der Brechungsindex für I = 0 bzw. χ(3) = 0. Durchläuft monochromatisches Licht der
Wellenlänge ωL und Intensität I ein Medium der Länge l, so sammelt es eine zusätzliche Phasenverschiebung
∆φ = ∆n kl l = χ(3)
lkL
kL τc
I = χ(3)
I
cε0 n0
cε0
(3.35)
Eine quantenmechanische Rechnung ergibt, daß kohärentes Licht, wenn es ein Kerrmedium durchläuft, in seiner Statistik verändert wird und unter bestimmten Bedingungen gequetschtes Licht zu
erwarten ist. Dies soll im folgenden dargelegt werden. Der effektive Hamiltonoperator ur
f̈ den
Beitrag des Kerrmediums lautet [24]:
H
χ † 2 2
= h̄ (a ) a :
2
(3.36)
Der Hamiltonoperator zeigt auch, daß es sich beim Kerreffekt um Dreiphotonenprozesse handelt.
Zur Motivation dieses Hamiltonoperators kann die Betrachtung der Energie im klassischen Fall
dienen. Die Energiedichte des elektrischen Feldes in einem χ(3) -Medium lautet
1
1
1
u = ~E~D = (ε0~E 2 + ~E~P) = ε0 (~E 2 + χ(3)~E 2~E 2 ):
2
2
2
(3.37)
Die elektrischen Felder im Zusatzterm können mit der Beziehung
I = cε0~E 2
(3.38)
durch die Intensität ausgedrückt werden. Die Intensität läßt sich ihrerseits durch die Photonenzahl
n̄ ausdrücken:
I=
h̄ωL c
n̄
V
(3.39)
Bezogen auf das gesamte Wechselwirkungsvolumen V ergibt sich durch das Kerrmedium ein Energiebeitrag
W
= uV =
1
h̄2 ω2L (3) 2
(3) 2
χ
I
=
χ n̄
2c2 ε0
2Vε0
(3.40)
3.3 E RZEUGUNG
GEQUETSCHTER
L ICHTZUST ÄNDE DURCH
EIN
K ERRMEDIUM
41
X2
X1
Abbildung 3.4: Drehung und Scherung der Unschärfefläche durch ein Kerrmedium
Nun gilt n̄2 = h: n̂2 :i = ha† a† aai, so daß der Hamiltonian aus Gl.(3.36) die klassisch abgeleitete
Energie als Erwartungswert ergibt, wenn χ geeignet gewählt wird:
χ=
h̄ω2L (3)
χ
ε0V
(3.41)
Aus dem Hamiltonoperator kann die Zeitentwicklung des Vernichters bestimmt werden:
da
dt
=
1
†
[a; H ] = ;i χa aa:
ih̄
(3.42)
Die Lösung der Differentialgleichung ist
a(t ) = e;i χa a a(0):
†
(3.43)
Dabei bleibt der Kommutator von Erzeuger und Vernichter konstant:
a(t ) a† (t ) = 1
(3.44)
;
Für einen kohärenten Anfangszustand α (reell) gilt nach Durchlaufen des Kerrmediums mit der
Wechselwirkungszeit τ und der Bezeichnung θ = χτ [24]
ha(θ)i = αe;α
;cos θ);iα2 sin θ
2 (1
(3.45)
42
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
Der Mittelwert der Feldamplitude wird also für kleine Wechselwirkungen θ um einen Winkel ∆φ =
α2 θ gedreht und gleichzeitig gestaucht. Einsetzen der Gleichungen (3.41) und (3.38) zeigt, daß
diese Phasenverschiebung der klassischen Erwartung in Gl.(3.35) entspricht.
Die Quadratur Xζ , die um den Winkel ζ gegen X1 gedreht ist, kann in den Erzeugern und Vernichtern dargestellt werden:
Xζ = 2Re ae;i ζ
;i ζ + a† ei ζ = ae;i ζ + h.c.
= ae
(3.46)
Der Erwartungswert der Quadratur ist mit Gl.(3.45) und der Bezeichnung ψ = α2 sin θ + ζ
hXζ(θ)i = ha(θ)ie;i ζ + c.c. = 2αe;α
;cos θ) cos(ψ)
2 (1
(3.47)
Für die Varianz der Quadratur gilt
∆2 Xζ (θ) = hXζ2 (θ)i;hXζ (θ)i2 :
(3.48)
Einsetzen der Vernichter und Erzeuger ergibt
hXζ2(θ)i
ha(θ)a(θ)e;2iζ + a†(θ)a(θ) + a(θ)a† (θ) + a† (θ)a† (θ)e2iζ i
ha(θ)a(θ)ie;2iζ + c.c. + 2ha†(θ)a(θ)i + 1
=
=
(3.49)
Der vorletzte Term ist die Photonenzahl. Die 1 entspricht dem Schrotrauschen des koḧarenten Zustands. Die interessante Information steckt im ersten Term. Unter Verwendung von
!
!
a(a† a)
†
n
a(a a)
†
ae;i θa a
;[a a†] + a†a a = (a†a + 1)a
=
;
†
=
(a
a + 1)n a
∞
a∑
=
(
;iθa† a)n
n!
n=0
∞
∑
=
;;iθ(a†a + 1)n !
n=0
e;i θ e;i θa a a
†
=
n!
a
(3.50)
und der Gl.(3.45) kann dieser Term berechnet werden:
ha(θ)a(θ)i
=
=
=
e;2iζ he;i θa a a(0)e;i θa a a(0)i
†
†
α2 e;2i ζ;i θ he;i 2θa
†a
i
2
2
α e;2i ζ;i θ e;α (1;cos 2θ);iα sin 2θ
2
(3.51)
(3.52)
Damit ergibt sich mit der Definition ψ0 = ζ + α2 sin 2θ
hXζ2(θ)i = 2α2 e;α
;cos 2θ) cos 2ψ0 + 2α2 + 1
2 (1
(3.53)
3.3 E RZEUGUNG
GEQUETSCHTER
L ICHTZUST ÄNDE DURCH
EIN
K ERRMEDIUM
43
Die Varianz ist durch
∆2 Xζ = hXζ2 (θ)i;hXζ (θ)i2
(3.54)
definiert und ergibt sich damit für θ 1 und α2 θ 1 zu
∆Xζ
1 ; 2θαe;α
2 θ2
1 ; θα2
2
2 sin 2ψ + 2α2 (1 ; e;α
sin 2ψ + α4 θ2
2 θ2
)
1
2
(3.55)
mit ψ = ζ + α2 θ. Für kleine Wechselwirkungsfrequenzen θ 1 und θα2 1 ist also für ψ = π=4
eine Verminderung der Quadraturunschärfe um θα2 zu erreichen. Dies kann man mit Gl.(3.38) und
(3.41) umschreiben zu:
∆Xmin = 1 ;
ωL (3)
χ τI
cε0
(3.56)
In der gewählten Näherung tritt diese minimale Unschärfe für ζ π=4 auf. Bei der Interpretation
dieser Gleichung ist es aber wichtig, sich immer den Gültigkeitsbereich der Näherungen zu vergegenwärtigen. Insbesondere die Näherung θn̄ = ∆φ 1 muß im Einzelfall überprüft werden. Mit
Gl.(3.47), (3.53) und (3.54) können auch allgemeingültige Ausdrücke abgeleitet und ausgewertet
werden.
Es gibt auch eine anschauliche Möglichkeit, um die Wirkung des Kerrmediums auf die Unschärfe
der Quadraturen einzusehen. Hierfür betrachtet man die Wirkung des Kerrmediums auf die einzelnen Phasenraumzellen. Dazu läßt sich Gl. (3.43) als Abbildung der Phasenraumzellen auffassen.
Parametrisiert man den Phasenraum durch eine komplexe Zahl β, so gilt die Transformation
β0 (β) = βe;i χjβj
2
(3.57)
Mit dieser Gleichung kann die Wirkung auf die Fehlerfläche im Phasenraum untersucht werden.
Zum einen vermittelt Gl.(3.57) eine Drehung der Fläche als ganzes um den Ursprung. Da nun
der Drehwinkel für eine Phasenzelle von ihrem Abstand vom Ursprung abhängt, wird die Fläche
gleichzeitig geschert. Diese Wirkung ist in Abb. 3.4 veranschaulicht. Auf analoge Weise kann
auch die Wignerfunktion transformiert werden. Das Volumen der Phasenzellen bleibt unter der
Transformation invariant. Daher sind Konturlinien vor der Transformation auch nach punktweiser
Transformation wieder Konturlinien der transformierten Wignerfunktion. Die auf diesem Wege
abgeleiteten Ergebnisse sind äquivalent zu der oben beschriebenen Rechnung. In Abb. 3.5 ist die
Entwicklung der Wignerfunktion anhand ihrer Konturlinien dargestellt. Die Verformung der Fehlerfläche, die einer der Konturlinien entspricht, tritt hier deutlich zutage. Es ist zu erkennen, daß
für größere Werte von θα2 auch die Amplitude eine verminderte Unschärfe aufweist, während in
der Näherung θα2 1 diese Quadratur nahezu unbeeinflußt bleibt.
44
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
10
5
0
0
5
10
Abbildung 3.5: Wirkung eines Kerrmediums auf die Konturlinien der Wignerfunktion eines kohärenten Zustands. Gegen den Uhrzeigersinn gelesen: θ = 0; θ = 0; 05; θ = 0; 1; θ = 0; 15
Bei allen Betrachtungen wurde davon ausgegangen, das χ(3) eine Konstante ist. Die Polarisation
folgt also instantan dem Feld. Dadurch wird der poissonsche Charakter des Lichts nicht ver̈andert,
und die spektrale Dichte der Quadraturen ist weiß, also konstantüber den gesamten Frequenzbereich.
3.4 Klassische Beschreibung der Amplituden-Phasenkopplung
Der Spiegel zeige in seinem Ort ein Zeitverhalten x(t ) mit hxi = 0. Die reflektierte Welle wird vor
der Reflektion am Ort x = 0 durch
Ein (t ) = Ēin (t )ei (ωt +φ(t ))
(3.58)
beschrieben. Dabei ist Ē die Amplitude des Lichts, mit der sich die Intensität I Ē 2 ergibt, und
φ(t ) die Phase. Beide Größen seien reell und zeitabhängig. Nach der Reflektion gelte
Eout (t ) = Ēout (t )ei (ωt +φ(t )+∆φ(t )) :
(3.59)
3.4 K LASSISCHE B ESCHREIBUNG
DER
A MPLITUDEN -P HASENKOPPLUNG
45
Die durch den Spiegel verursachte Phasendifferenz ist
∆φ(t ) = 2kL x(t ) = 2
ωL
x(t )
c
(3.60)
Mit den durch das Licht selber verursachten Ortsauslenkungen gilt dann mit Gl. (2.28) und Gl.(1.8)
∆φ(t )
∆φ(ω)
Z∞
dt 0 G(t ; t 0 )I(t 0 )
=
2kL
c
=
2kL
G(ω)I(ω)
c
;∞
(3.61)
Für die Verwandlung von Amplitudenrauschen in Phasenrauschen gilt mit Gl.(2.34)
S (ω) = k jS
L x
∆φ
rad
j
(ω) =
2kL
jG(ω)jjSI (ω)j
c
(3.62)
Die Intensität des Lichts wird auch in einem klassischen Bild beeinflußt, wie die Rechnung in [10]
zeigt, die hier kurz vorgestellt werden soll. Die Rechnung basiert auf relativistischen Effekten:
Dazu muß bei der Betrachtung der Reflexion die Intensität, die einem Photonenstrom bestimmter
Dichte entspricht, zunächst in das Spiegelsystem, daß sich mit einer Geschwindigkeit v = ẋ gegen
das Laborsystem bewegt, transformiert werden. Dort wird instantan der Impuls umgedreht. Eine
anschließende Rücktransformation in das Laborsystem ergibt
Iout (t +
x
1 ; v=c
x
Iin (t ; ):
)=
c
1 + v=c
c
(3.63)
Anschaulich wird ein Volumenelement aus dem Photonenstrom gedehnt oder gestaucht und dadurch die Photonendichte erniedrigt oder erhöht. Aus dieser Argumentation ergibt sich außerdem,
daß der Spiegel eine geschwindigkeitsabhängige Kraft erfährt. Dadurch ergibt sich eine zusätzliche intensitätsabhängige Dämpfungskraft Fdamp = ;γrad v mit γrad = 4h̄ωL I=(mc2 ) , die in der Antwortfunktion berücksichtigt werden muß. Die Dämpfungskonstante des Spiegels ergibt sich durch
Addition γ = γrad + γM , wobei γM die Dämpfungskonstante des Spiegels ohne äußere Kräfte ist.
Wird die Lichtquelle als schrotrauschbegrenzt angenommen, und ist außerdem der Strahlungsdruck
die einzige den Spiegel antreibende Kraft, so ergibt sich [10]
jSI
j2 = 1 ; γrad(2γ ; γrad)m2ω20 jImG(ω)j2 jSI
out (ω)
out (
ω)j2
(3.64)
Die Intensitätsfluktuationen werden also verringert, die Amplitude ist gequetscht! Allerdings ist
dieser Mechanismus sehr ineffizient. Für die Masse wird sicher m >1mg und für die Güte Q < 108
46
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
gelten. Bei einer Intensität I =10kW bei 1µm Wellenlänge ergibt sich γrad 10;31 =m < 10;22 und
γM = mω20 =Q > ω20 10;17 γrad und damit in SI-Einheiten:
γrad (2γ ; γrad )m2 ω20 2 γrad γm2 ω20 10;31
mω20
:
Q
(3.65)
Auf der Resonanz ergibt sich damit
jSI
ω)j (1 ; 10;31 ) jSIin (ω)j :
out (
(3.66)
Da dieser beste erreichbare Wert jenseits allem zur Zeit Meßbaren liegt, ist dieser klassische Mechanismus der Amplitudenquetschung für das Experiment nicht von Interesse. Brauchbare Werte
für die Rauschreduktion sind erst zu erreichen, wenn die Strahlungsdämpfung die Dämfpung dominiert, wie es bei den Parametern in [10] der Fall war. Dies ließe sich durch Spiegelmassen m < 1µg
erreichen, die dann noch bei einer Resonanzfrequenz von einigen Hertz Güten in der Größenordnung 107 aufweisen müßten.
3.5 Der Spiegel als Kerrmedium
Die Wirkung des Spiegels ähnelt der eines Kerrmediums. Durch die intensitätsabhängige Auslenkung des Spiegels wird wie beim Kerrmedium eine intensitätsabhängige Phasenverschiebung verursacht. Es gilt Gl.(3.4)
∆φ(ω) =
2kL
G(ω)I(ω):
c
Ein Vergleich mit Gl.(3.35) ergibt
χ(3) (ω)τ =
2ε0
G(ω):
c
(3.67)
Der Spiegel wirkt also wie ein Kerrmedium mit einer frequenzabhängigen komplexen Polarisierbarkeit. Daher wird er auch, ähnlich wie das ideale Kerrmedium, den Charakter des Lichts beeinflussen.
Allerdings ist die Wirkung auf einen Lichtzustand durch die Frequenzabḧangigkeit der Polarisierbarkeit nicht mehr so einfach wie im vorherigen Abschnitt zu lösen. Die Antwort des Kerrmediums
ist nicht mehr instantan. Stattdessen bekommt das Medium ein Gedächtnis. Dadurch wird auch
die spektrale Dichte der Quadraturen nicht mehr weiß sein, sondern eine mit der Antwortfunktion
G(ω) zusammenhängendes Frequenzverhalten zeigen. Damit ist auch die Zählstatistik bei einer
geeigneten Quadraturmessung nicht mehr poissonartig.
3.6 T HERMISCHES R AUSCHEN
ALS
G RENZE DER Z USTANDSMESSUNG
47
Auf langen Zeitskalen, die Frequenzen ω < ω0 entsprechen, antwortet der Spiegel in guter Nähe1
rung instantan“ mit der Antwortfunktion G(ω) mω
2 . In diesem Frequenzbereich kann daher als
”
0
Abschätzung das Ergebnis des vorherigen Abschnitts benutzt werden. Unter der Vorraussetzung
∆φ =
2kL
I1
cmω20
(3.68)
ergibt sich mit (3.56) und (3.67) die minimale Unschärfe für Xζ mit ζ = π=4 zu
jSX
min
j
(ω) = 1
; 2kcL mω1 2 I = 1 ; ∆φ
für
ω < ω0 :
(3.69)
0
Für eine Wellenlänge von λ = 1064nm ergibt sich die Zahlenwertgleichung
∆φ = 0; 04 100mg 100Hz2
I
:
2
m
ω0 100mW
(3.70)
Mit 100mW im Frequenzbereich von einigen Hertz schrotrauschbegrenzter Laserleistung ließe sich
also an einem Spiegel mit 100mg Masse und 15Hz Resonanzfrequenz bei Frequenzen f < 15Hz
eine um 4% verminderte Unschärfe in einer Quadratur erreichen.
Stärkere Wechselwirkung und damit bessere Werte für die Unschärfe lassen sich nicht in diesen
einfachen Näherungen beschreiben. Für deren Beschreibung muß ein effektiver Hamiltonian unter Berücksichtigung der Frequenzabhängigkeit aufgestellt werden, um die Zeitentwicklung der
Erzeuger und Vernichter zu finden. Aus dieser Zeitentwicklung kann dann wieder die Transformation der Wignerfunktion abgelesen werden, wobei die Transformation zeitabḧangig wird. Alternativ kann aus den fouriertransformierten Erzeugern und Vernichtern die spektrale Dichte der
Quadraturen bestimmt werden.
Eine vollständig quantisierte Beschreibung eines Systems bestehend aus Licht und einem FabryPerot-Resonator mit einem beweglichen Endspiegel ist in [6, 19] nachzulesen. In [17] wird auch
ein etwas allgemeinerer Hamiltonian abgeleitet. Diese Behandlungen machen jedoch alle von einer
Quantisierung der Resonatormoden Gebrauch und sind daher nicht auf die Wechselwirkung bei
einfacher Reflektion anwendbar.
3.6 Thermisches Rauschen als Grenze der Zustandsmessung
Zur Messung eines gequetschten Lichtzustands muß die Unschärfe, oder besser die spektrale Dichte der Quadratur, in der eine Veränderung zu erwarten ist, gemessen werden. Damit die Änderung
sichtbar wird, dürfen alle anderen Quellen von Rauschen wie z.B. thermische Effekte maximal
einen etwa gleich großen Effekt verursachen. In diesem Abschnitt soll untersucht werden, wie der
Einfluß thermischer Effekte ist.
48
3. N ICHTKLASSISCHE L ICHTZUSTÄNDE
Der Effekt von thermischen Fluktuationen ist die Vortäuschung von Phasenrauschen. Das verursachte Phasenrauschen hat für geschwindigkeitsproportionale Dämpfung mit Gl.(2.48) die Größe
S (ω) = k jS (ω)j = k 2mk T ω0 jG(ω)j
φ
L x
L
B
Q
1
2
:
(3.71)
Die Quadraturunschärfe wird durch eine Homodynmessung bestimmt. Bei jeweils gleicher Intensität I von Signal und Lokaloszillator und einer Phasedifferenz φ zwischen beiden Amplituden ergibt sich für kohärentes Licht ein phasenunabhängiges Schrotrauschen von
jSI
OUT
p
j2 =
(ω)
2h̄ωL I:
(3.72)
Für die Differenzintensität gilt
IOUT = 2I cos φ
(3.73)
Fluktuiert nun die Phasenbeziehung zwischen Lokaloszillator und Signal, so ergibt dies mit
cos φ = cos(φ + δφ(t )) = δφ(t )) sin φ + cos φ
(3.74)
für das Differenzsignal eine zusätzliche spektrale Dichte:
jSI
OUT
j2 (φ) = 2I2 Sφ(ω)2 sin2 φ
(ω)
(3.75)
Das Rauschen kann kann nun in Einheiten des Schrotrauschens ausgedrückt werden, was einer Umskalierung in Einheiten der Quadraturamplituden bedeutet. Das durch Phasenfluktuationen vorgetäschte Quadraturrauschen ist dann:
j
j
SX (ω) 2φ;Fluktuationen = I
p 2
2 Sφ (ω) sin2 φ
j
SX (ω)j2schrot
h̄ωL
(3.76)
Dieser Faktor, der sich so ergibt, soll nun kleiner als der Faktor der Quetschung sein, damit ein
Effekt nachweisbar ist. Dabei sind die Quadrate der spektralen Dichte zu vergleichen.
Mit diesem Handwerkszeug kann der Effekt der thermischen Fluktuationen mit der im vorherigen Abschnitt abgeleiteten Reduktion der Unschärfe für φ = π=4 und kleine“ Wechselwirkungen
”
θ 1 verglichen werden. Dort ergab sich für ω ω0 eine reduzierte spektrale Dichte
jSX (ω)j 2
4kL
1;
cmω20
jSX (ω)j2schrot
(3.77)
3.6 T HERMISCHES R AUSCHEN
ALS
G RENZE DER Z USTANDSMESSUNG
49
Sichtbare Reduzierung der Unschärfe ergibt sich in der Näherung ω ω0 bei Berücksichtigung
thermischer Flunktuationen damit für:
p
I 2
2kB T kL2
mω30 Q 2h̄ωL
<
4kL
I
cmω20
!
2kB Tm
ω0 Qh̄
<
1
p
(3.78)
Skaliert auf Zimmertemperatur und sinnvolle Parameter ergibt sich die Gleichung
555 108 T 1kHz
Q 300K ω0
<
1
(3.79)
Diese Bedingung ist durch niedrige Temperaturen und hohe Resonanzfrequenzen zu erf̈ullen. Da
die Effizienz der Unschärfereduktion wiederum mit 1=ω20 skaliert, muß dann jedoch die Intensität
entsprechend erhöht werden.
Die Sichtbarkeitsbedingung kann auch als eine Bedingung für die Ortsauflösung in einem interferometrischen Aufbau umformuliert werden. Die Bedingung der Sichtbarkeit ist dann
I
jSpx(ω)j2 kL2
2h̄ωL
! jSx (ω)j
2
<
4IkL
cmω20
<
4 2h̄
mω20
p
(3.80)
In Zahlenwerten ergibt dies
jSx (ω)j < 2 10;16
10mg m
1
2
100Hz
:
ω0
(3.81)
Diese Grenzen werden für hohe Intesitäten und extrem kleine Spiegel günstiger sein. Dort brechen
jedoch die Näherungen des vorherigen Abschnittes zusammen, so daß im Rahmen dieses einfachen
Modells keine Aussage getroffen werden kann. Insbesondere sagen Rechnungen ur
f̈ den Kerreffekt auch für stärkere Wechselwirkung Amplitudenquetschung voraus. Bei der Messung des Amplitudenrauschens trägt aber Phasenrauschens in erster Ordnung nicht bei. Amplitudenquetschung
sollte daher sichtbar sein.
Eine Möglichkeit, so hohe Intesitäten zu erreichen, ist die Überhöhung in einem Resonator Voraussagen zur Sichtbarkeit in einem solchen System sind in [6] zu finden.
Kapitel 4
Meßapparat
4.1 Michelson-Interferometer zur Differenzlängenmessung
Die präziseste Möglichkeit zur Messung einer Längendifferenz ist eine interferometrische Messung. Zwei Wege werden miteinander verglichen, indem Licht einer Lichtquelle aufgeteilt wird,
jeder Teil einen der Wege durchläuft, und anschließend das Licht wieder vereinigt und zur Interferenz gebracht wird.
Die möglichen Instrumente für diese Messung sind das Michelson- und das Mach-Zehnder-Interferometer, beides Zweistrahlinterferometer, in denen das eingestrahlte Licht auf zwei unterschiedliche Wege gebracht und anschließend wieder überlagert wird. Der Spiegel, dessen Auslenkung aus
seiner Ruheposition gemessen werden soll, wird nun einfach als Endspiegel des Michelson oder
als Umlenkspiegel in einem Mach-Zehnder-Interferometer verwendet.
Das Experiment wurde mit einem Michelson-Interferometer realisiert. Dieses aßt
l̈ sich sehr einfach
mit großen Armlängenunterschieden realisieren, während dies beim Mach-Zehnder einer aufwendigeren Strahlfaltung bedarf. Der Armlängenunterschied ermöglicht es, wie später gezeigt wird,
den Arbeitspunkt des Interferometers durch die Laserfrequenz zu wählen. Die Laserfrequenz läßt
sich bei dem verwendeten Lasersystem sehr einfach stellen. So wird keine mechanische L̈angenänderung der Interferometerarme durch eine Piezokeramik benötigt, was den Aufbau des Interferometers im Vakuum erleichtert.
Eine Forderung an das Michelson ist, daß beide Ausgänge benutzt werden können, da der prinzipielle Aufbau auch für Quadraturmessungen geeignet sein soll und so außerdem auf Modulationsschemen verzichtet werden kann. Prinzipiell stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung: Die eine
ist, den Strahlengang ein wenig zu verkippen, so daß der in Richtung Laser zur̈ucklaufende Strahl
absepariert werden kann. Dies führt jedoch bei unterschiedlich langen Armen zu einer Verminderung des Interferenzkontrasts. Die andere Möglichkeit ist, den in Richtung Laser zurücklaufenden
Strahl zu separieren, was durch einen Faradayisolator möglich ist, der für das einlaufende Licht aus
dem Laser auf Transmission justiert ist. Dieser Aufbau ist in Abbildung 4.1 dargestellt.
52
4. M ESSAPPARAT
x
S2
E I2
Weg2
S1
ST
Weg 1
Faraday
Isolator
ωL
E2
E I1
E1
∆s
PD 2
PD 1
∆I
Signal
Regler
Abbildung 4.1: Michelson-Interferometer mit zwei Ausgängen
Im folgenden soll die Antwort des Interferometers auf Längendifferenzen dargestellt werden. Das
einlaufende Licht hat die Frequenz ωL = 2π fL . Die Reflektion und Transmission der Amplituden
am Strahlteiler seien r und t. Außerdem seien die Verluste in den Armen durch γ1 und γ2 gegeben.
Das einlaufende Licht läßt sich als monochromatische ebene Welle beschreiben:
Ein = E0 ei(kL z;ωLt )
(4.1)
Dabei ist kL = ωL =c die Wellenzahl des Lichts. Die Intensität des Lichtes ist
Iin = ε0 c jE0j2
(4.2)
Der Ort des ersten Strahlteilers wird als z = 0 angenommen. Die Bezeichnungen werden wie in
Abbildung 4.1 verwendet. Für die Felder des in die Arme hineinlaufenden Lichtes gilt direkt nach
dem Strahlteiler
EI1 (!)
EI2 (!)
=
=
tE0 e;iωLt
;rE0 e;iωLt
(4.3)
Dabei wurde angenommen, daß die Reflektion im Strahlteiler an der Eintrittsfl̈ache stattfindet, so
daß bei dieser Reflektion ein Phasensprung von π stattfindet, da dies eine Reflektion am optisch
4.1 M ICHELSON -I NTERFEROMETER ZUR D IFFERENZL ÄNGENMESSUNG
53
dichteren Medium ist. Der Pfeil ! soll das in die Arme laufende Licht verdeutlichen. In den Armen durchläuft das Licht jeweils zweimal die Armlänge und erfährt gewisse Intensitätsverluste γi .
Zurück am Strahlteiler, aber noch vor der Reflektion, gilt
EI1 (
EI2 (
)
=
)
=
pγ tE ei 2k l ;ω t
1 0
;pγ2 rE0ei 2k l ;ω t
(
L )
L 1
(
L 2
(4.4)
L ):
Bei der zweiten Reflektion am Strahlteiler ST erfährt nur das Licht, daß den Weg 2 durchlaufen
hat, bei der Reflektion eine Phasenverschiebung, und es gilt:
E1
E2
=
=
tEI1 (
rEI1 (
; rEI2(
)
) + tEI2 (
)
)
(4.5)
Der Messung zugänglich sind nur die Intensitäten. Mit den Intensitätsreflektionen R = r2 und transmissionen T = t2 und der Längendifferenz ∆l = l2 ; l1 gilt für die Intensitäten
I1
I2
=
=
;
;
p
ε0 c jE1j2 = Iin T 2 γ1 + R2γ2 + RT γ1 γ2 cos(2kL ∆l )
p
ε0 c jE1j2 = Iin TRγ1 + RTγ2 ; RT γ1 γ2 cos(2kL ∆l )
(4.6)
Der Kontrast eines Interferometers wird durch das Verhältnis von minimaler zu maximaler Helligkeit definiert:
k=
Imax ; Imin
Imax + Imin
(4.7)
Für die Ausgänge des Michelson-Interferometers ergibt dies
k1
k2
=
=
pγ γ RT (T 2γ + R2γ )
2
pγ1γ2 (γ + γ )1
=
1 2=
1
(4.8)
2
Der Kontrast im Ausgang 2 ist also unabhängig von der Reflektivität des Strahlteilers, da da für beide möglichen Lichtwege jeweils eine Reflektion und eine Transmission nötig ist. Mit der zusätzlichen Definition I¯i = (Ii max + Ii min)=2 läßt sich die Intensität an den Ausgängen durch
;
;
Ii = I¯i (1 ki cos(kL ∆l ))
(4.9)
ausdrücken. Für den Vergleich beider Ausgänge ist I1 = I2 und k1 = k2 wünschenswert. Diese Forderungen sind in dem hier vorgestellten Modelläquivalent und werden durch R = T = 1=2 erfüllt.
Dies entspricht auch der Forderung, die im vorherigen Kapitel bei der Beschreibung der Homodyndetektion abgeleitet wurde. Für die Intensitätsdifferenz ergibt sich mit ∆l = ∆s + x der Ausdruck
∆I = ∆I0 cos 2kL (∆s + x) = ∆I0 cos(∆φ0 + 2kL x)
(4.10)
54
4. M ESSAPPARAT
Dabei ist ∆φ0 der Arbeitspunkt des Interferometers, der die Antwort des Interferometers auf die
Längenänderung x bestimmt. Der ideale Arbeitspunkt für die Messung von x ist
∆φ0 = kL ∆s = (n +
1
)π:
2
(4.11)
Für kleine Auslenkungen x gilt damit
∆I = ∆I0 cos(∆φ0 + 2kL x) = ∆I0 sin(2kL x) 2∆I0 kL x:
(4.12)
Die Wahl des Arbeitspunktes, also der Phase ∆φ0 geschieht durch die Laserfrequenz.
4.2 Rauschen
Da die Signale sehr klein sind, ist eine Analyse und Reduktion der Rauschquellen wichtig, um ein
akzeptables Signal-Rauschverhältnis (SNR) zu erreichen.
4.2.1 Rauschquellen
Die Quellen für echte oder scheinbare Ortsfluktuationen sind von großer Vielfalt. Sie können zunächst in solche unterteilt werden, die ihre Ursache im zu untersuchenden System haben, und solche, die durch den gewählten Meßaufbau verursacht werden. In die erste Gruppe sollen die im
Kapitel 2 untersuchten Fluktuationen gezählt werden, also Strahlungsdruckrauschen durch Schrotrauschen oder technisches Laserrauschen, thermische Fluktuationen und auch Fluktuationen durch
Restgasatome. All diese Effekte wirken in direkter, vorhersehbarer und in ihren Parametern beeinflußbarer Weise auf den Spiegel. Diese Effekte stellen bei der Untersuchung des Spiegels zun̈achst
auch ein Signal“ dar.
”
Zu der zweiten Gruppe von Fluktuationen sollen all jene Effekte gezählt werden, die von außen
eingekoppelt werden und nicht Teil des zu untersuchenden Systems sind. Dies wären zunächst direkte seismische und akustische Einkopplungen in das Interferometer. Das Spektrum der Seismik,
wobei unter diesen Begriff jegliche über den Boden eingekoppelte Bewegung gefaßt werden soll,
steigt insbesondere zu niedrigen Frequenzen unterhalb von einigen Hertz stark an. Allerdings ist
die Seismik in dem auf einem schwingungsisolierten Tisch aufgebauten Experiment bei den Meßfrequenzen f > 10Hz kein begrenzender Faktor.
Sehr starke Kopplung gerade im Frequenzbereich von 10Hz bis 10kHz, in dem die Messungen
durchgeführt werden, ergibt sich jedoch für die Akustik. Diese greift insbesondere an Schwingungsmoden der Spiegelhalter und anderer Komponenten an, regt aber auch die Tischplattenresonanzen an, wie Tests mit einem Lautsprecher ergaben (Abbildung 4.2). Als besondere Ger̈auschquelle erweist sich dabei die im Labor installierte Vorvakuumpumpe, die außerdem trotz Isolierung
durch Wellschläuche direkt Schwingungen in das Vakuumgefäß und den Tisch einkoppelt.
55
4.2 R AUSCHEN
1
10
0
10
x [nm]
-1
10
-2
10
-3
10
Lautsprecher auf Tisch
Lautsprecher im Raum
-4
10
0
200
400
600
800
1000
f [Hz]
Abbildung 4.2: Antwort eines Interferometers im Tischaufbau auf akustische Einkopplung von Zimmerlautstärke“
”
Vakuumtopf
Transferfunktion der Schwingungen
Interferometer
Seismik
f
Tisch
schwingungsisolierter Tisch
RTV
1/f
Akustik
RTV-Puffer
100 Hz
f
Abbildung 4.3: Isolation des Interferometers gegen seismische und akustische Störungen
Eine weitere potentielle Rauschquelle ist elektronisches Rauschen in der Photodiode, der Nachweiselektronik oder der Regelung, die das Interferometer auf seinem Arbeispunkt stabilisiert.
Zur Beschreibung des Längenrauschens wird die spektrale Dichte verwendet, die im Abschnitt 2.2
eingeführt wurde.
4.2.2 Verminderung des Rauschuntergrunds – Entwicklungsstadien des Aufbaus
Zunächst wurden alle elektronischen Rauschquellen soweit reduziert, daß ihre Effekte die Messung
nicht beeinflussen. Das Eigenrauschen der Photodiode liegt unterhalb des Schrotrauschens, das das
Licht auf der Photodiode verursachen würde, wenn es schrotrauschbegrenzt wäre. Die Nachweiselektronik hat ein Eingangsrauschen von der gleichen Größe. Um Einkopplung von Rauschen
durch die Regelung und die Stellelemente zu verhindern, wird die Regelung auf niedrige Frequenzen ( f < 150 Hz) begrenzt und die hochfrequenten Rauschbeiträge durch einen Tiefpaß 2. Ordnung
56
4. M ESSAPPARAT
gedämpft. Die Summe aller verbleibenden elektronischen Rauschbeiträge liegt deutlich unter dem
verbliebenen Rauschuntergrund durch andere Ursachen.
Das Interferometer muß möglichst gut von der Seismik entkoppelt werden und in sich möglichst
starr sein. Der erste Schritt war daher, ein Interferometer mit sehr kurzen Wegen auf einem schwingungsisolierten optischen Tisch zu realisieren. Zur zusätzlichen Verminderung der Schwingungen
der Spiegel gegeneinander wurden die Komponenten möglichst direkt auf dem Tisch befestigt,
und auf Pfosten, die längere Hebelarme bedeuten, wurde verzichtet. Die mit diesem Aufbau erreichte Ortsempfindlichkeit ist in Abbildung 4.4 durch 1 bezeichnet. Dieser Aufbau entḧalt auch
noch nicht den Testspiegel, der durch akustische Einkopplung auf seiner Resonanzfrequenz einen
Rauschpegel ergibt. Mit dieser Auflösung und vor allem der starken akustischen Einkopplung auf
der Spiegelresonanz ist eine Messung der Spiegelantwort auf Strahlungsdruck nicht zu realisieren.
Im zweiten Schritt wurde das Interferometer in ein Vakuumgefäß eingebaut, so daß direkte akustische Einkopplung in die Komponenten vermieden wird. Dieser Schritt war außerdem nötig, um
die viskose Dämpfung durch Luft zu reduzieren. Das Vakuumgefäß steht zur seismischen Isolation auf einem schwingungsisolierten Tisch. Um die Einkopplung von Seismik und auch indirekte
Einkopplung von Akustik über die Wände des Vakuumgefäßes zu minimieren, ist das Interferometer auf einer 15mm-Aluminiumplatte montiert, die auf drei Gummifüßen aus RTV gelagert wird.
Die Gummifüße bilden zusammen mit der Platte einen überdämpften Oszillator. Überdämpft heißt,
daß die Dämpfung stärker als im aperiodischen Grenzfall ist. Ein solches System zeigt in seiner
Transferfunktion bei Frequenzen f deutlich über der Resonanzfrequenz der Schwingungsisolation
einen Abfall proportional 1= f . Dadurch wird insbesondere die Einkopplung akustischer Frequenzen reduziert. Das Schema dieses Aufbaus und der sich ergebenden Isolation ist in Abbildung 4.3
dargestellt. Die Empfindlichkeit dieses Aufbaus mit eingbautem Probespiegel, dessen Resonanz
bei 1450Hz sich im Rauschen deutlich durchprägt, wird in Abb. 4.4 durch 2 bezeichnet.
Der dritte Schritt zur Reduktion des Rauschens ist das Abschalten der Vakuumpumpen und s̈amtlicher weiterer Geräuschquellen. Das Vakuumgefäß hält ohne Pumpe einen Druck von weniger als
10;3 mbar über eine Stunde und einen Druck von 10;2 mbar über mehrere Stunden. Ein solches
Vakuum, bei dem die mittlere freie Weglänge der Restgasmoleküle noch in der Größenordnung der
Gefäßdimension ist, genügt zur akustischen Isolation. Der so erreichbare Rauschuntergrund ist in
Abb. 4.4 durch 2 gekennzeichnet. Die verbliebene Empfindlichkeit des Aufbaus gegen akustische
Störungen ist gut daran zu erkennen, daß z.B. schon der Lüfter eines in der Nähe des Aufbaus stehenden Gerätes durch seine Geräuschentwicklung das Rauschen nahezu verdoppelt.
Weitere Informationen über Schwingungsisolationssysteme sind in [23] zu finden.
p
Das restliche Ortsrauschen von 10;5 nm= Hz bei Frequenzen ab 2 kHz wird durch eine nicht perfekte Gleichtaktunterdrückung bei der Differenz der Intensitäten aus beiden Ausgängen verursacht.
Die Gleichtaktunterdrückung ist ein Maß dafür, wie empfindlich das Interferometer auf Amplitudenschwankungen des Lichts reagiert. Verändert sich die Intensität des in das Interferometer eingestrahlten Lichts, so sollte dies zu einer gleich hohen Intensiẗatserhöhung in beiden Ausgängen
führen. Bei der Differenzbildung sollten sich im idealen Falle diese Intensiẗatserhöhungen gegenseitig eliminieren. In der Praxis bleibt jedoch ein kleiner Beitragüber, so daß eine Intensitäsänderung ein Differenzsignal verursacht und damit eine Phasenänderung vortäuscht. Dadurch erzeugt
57
4.3 M ESSVERFAHREN
10
0
1
2
3
-1
10
-2
|Sx| [nm/√Hz]
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
0.0
0.5
1.0
1.5
f [kHz]
2.0
2.5
3.0
Abbildung 4.4: Spektrale Dichte des Ortsrauschen in verschiedenen Entwicklungsstadien des Interferometers
technisches Rauschen der Laserintensität am Ausgang des Interferometers ein erhöhtes Phasenrauschen.
4.3 Meßverfahren
4.3.1 Schmalbandige automatisierte Messung der Spiegelantwort
Um ein möglichst hohes Signal-Rauschverhältnis zu erreichen, soll der Spiegel monochromatisch
mit einer Frequenz f = ω=2π angeregt und die resultierende Ortsauslenkung des Spiegels schmalbandig bei dieser Frequenz mit einem Lock-In-Verstärker detektiert werden. Führt man diese Messung für viele Frequenzen durch, erhält man die Antwortfunktion des Spiegels. Das Schema einer
automatisierten Messung der Spiegelantwort ist in Abb. 4.5 dargestellt. Oszillator und Lock-InVerstärker sind dabei in der Praxis in einem Gerät vereinigt. Dieses kann vom Computer mit Hilfe
einer GPIB-Schnittstelle gesteuert und ausgelesen werden. Der Rechner stellt jeweils die Frequenz
und liest anschließend nach einer von der Integrationskonstante des Lock-In-Versẗarker abhängigen Zeit die Antwort des Systems aus. Der Vorgang wird durch ein Programm mit wählbarem Fre-
58
4. M ESSAPPARAT
Dump
0.
Laser
AOM
1.Ordnung
x
I0
Interferometer
Uout = K x
Lock-In
f
x
φ
Computer
Abbildung 4.5: Aufbau zur Messung der Antwortfunktion G(ω) des Spiegels an einem Frequenzpunkt f
= ω=2π
quenzbereich, Meßpunktezahl, linearem oder logarithmischem Stützstellengitter, Integrationskonstante, Anregungsstärke und Dynamikbereich automatisiert.
Das Interferometer, mit dem die Ortsauslenkung gemessen wird, sei zunächst einmal ein nicht weiter differenziertes Meßgerät, das als Ausgangssignal eine Spannung Uout gibt, die den Ort des Spiegels angibt:
Uout (t ) = Kx(t )
(4.13)
Die Anregung des Spiegels soll mit moduliertem Licht der Intensität
I(t ) = IS (1 + cos ωt );
(4.14)
also maximal möglicher Modulation, geschehen. Der Index S steht dabei für den Spitzenwert der
Schwingung und hängt mit ISS , dem Spitze-Spitze Wert, durch IS = ISS =2 zusammen. Entsprechendes gilt auch für die Größen U und x. Dies wird durch einen AOM realisiert, dessen Strahl 1.Ordnung mit der Frequenz f moduliert wird. Die Reaktion des Spiegels ist für diese kleinen Auslenkungen linear, so daß seine Bewegung monochromatisch bei der gleichen Frequenz stattfindet:
x(t ) = xS cos(ωt + φ)
(4.15)
Dabei wurde der Nullpunkt der Ortskoordinate x des Spiegels derart gewählt, daß hxi = 0 gilt.
59
4.3 M ESSVERFAHREN
Die Ausgangsspannung des Interferometers Uout (t ) wird mit Hilfe eines Lock-In-Verstärkers analysiert. Dieser mischt das Signal mit der Modulationsfrequenz und filtert das Signal anschließend
mit einem Tiefpaß, dessen Breite durch die Zeitkonstante des Lock-In-Versẗarkers bestimmt ist.
Für das monochromatische Signal
Uout (t ) = US cos(ωt + φ)
(4.16)
ergibt eine Mischung mit cos ωt bzw. sin ωt die Signale
X
Y
US cos φ
US sin φ
=
=
(4.17)
Nun ist das Signal aus dem Michelson-Interferometer verrauscht und weist eine spektrale Dichte jSUout ( f )j auf. Der Effekt, den dieses Rauschen auf den Ausgangswert des Interferometers hat,
hängt von der Filterbandbreite des Lock-In-Verstärkers ab. Um diese zu beschreiben, wird die
äquivalente Rauschbandbreite (ENBW) ∆ fENBW eingeführt. Sie läßt sich durch die Wirkung bei
weißem Rauschen definieren:
jSU ( f )j = jSU j = konst. !
∆2 X = ∆2Y
= ∆ fENBW
jSU j
(4.18)
Sie ist, anschaulich gesprochen, die Breite einesäquivalenten Rechteck-Filters. Der Fehler bei der
Quadraturmessung ist damit für Rauschbandbreiten, innerhalb derer die spektrale Dichte jSUout ( f )j
nicht wesentlich fluktuiert, durch
∆X = ∆Y
=
p
∆ fENBW jSUout ( f )j
(4.19)
gegeben. Amplitude und Phase des Signals ergeben sich durch
p
US = X 2 + Y 2
φ = arg(X + iY )
(4.20)
Die Fehler in US und φ sind Funktionen von X und Y bzw. φ und US . Der größte absolute Fehler
ergibt sich, wenn X und Y die gleiche Größe haben. Zur Veranschaulichung stelle man sich ein
rechtwinkliges Dreieck vor, dessen zueinander senkrechter Seiten in der Länge variieren. Der Effekt auf die Hypothenuse ist gerade für gleiche Seitenlängen am größten. Damit ergibt sich die
Abschätzung
∆US
∆φ
p
p2∆X
2∆X
US
=
(4.21)
60
4. M ESSAPPARAT
Die Ortsauslenkung und spektrale Dichte der Ortsfluktuationen ergeben sich mit dem gleichen Skalenfaktor
xS
jSx ( f )j
=
=
US =K
jSUout ( f )j =K
(4.22)
Damit ergibt sich der Fehler für die Amplituden- und Phasenmessung:
∆xS
∆φ
p2∆ fENBW jSx ( f )j
∆xS xS
(4.23)
=
Das Signal-Rauschverhältnis (SNR) ist damit für Amplitude und Phase
SNR p∆ f
xS
ENBW
jSx ( f )j
(4.24)
4.3.2 Messung der Güte der Spiegelresonanz
Die Güte der Spiegeloszillation läßt sich durch die Abklingzeit bestimmen. Der Zusammenhang
zwischen Abklingzeit und Güte wurde in Abschnitt 1.3 dargestellt. Zur Messung wird der Spiegel
zunächst auf der Resonanzfrequenz angeregt und dann die Anregung ausgeschaltet. Der Spiegel
schwingt mit einer exponentiell abklingenden Amplitude auf seiner Resonanzfrequenz, wie es in
Abb. 1.4 dargestellt ist. Aus der Zeitkonstanten des Abfalls ergibt sich mit den Bezeichnungen aus
Abschnitt 1.3 die Güte.
Q = 2π f0 τE = π f0 τA
(4.25)
Dabei ist τE die Zeitkonstante der Energie E und τA die Zeitkonstante der Amplitude xS
E (t ) = E (0)e;t
τE
=
bzw. xS (t ) = xS (0)e;t
τA
=
(4.26)
Um die Genauigkeit der Messung zu erhöhen, wird jeweils ein komplettes Abklingen zeitaufgelöst
aufgenommen und die Abfallzeit durch Regression bestimmt. Der Meßaufbau entspricht dem Schema aus Abbildung 4.3.1 mit einer Ergänzung: Die Verbindung zwischen Oszillator und AOM kann
durch einen vom Computer zu bedienenden elektrischen Schalter blockiert werden. Dies ist n̈otig,
um die Anregung auszuschalten. Die Frequenz des Oszillators muß sehr genau auf die Resonanzfrequenz abgestimmt werden, damit bei der Detektion der Schwingungsamplitude mit dem LockIn-Verstärker die Signal- und Referenzfrequenz übereinstimmen. Außerdem muß die Integrationskonstante des Lock-In-Verstärkers sehr viel kleiner sein als die Abklingzeit, damit beide Zeitkonstanten entkoppeln. Durch die Messung mit Hilfe des Lock-In-Versẗarkers wird das SignalRauschverhältnis im Vergleich zu einer vollständig zeitaufgelösten Messung erhöht und außerdem
die aufzunehmende Datenmenge reduziert.
4.4 L ASER
UND
F REQUENZREGELUNG
61
Eine Einzelmessung besteht dann aus einem Anregungszeitraum, der ein mehrfaches der Abklingzeitkonstante τ beträgt, damit der Spiegel seine Maximalamplitude erreicht, und einer vergleichbar
großen Abklingzeit. Dabei wird außer der Amplitude auch die Phase protokolliert, da sich mit ihr
kontrollieren läßt, ob die Referenzfrequenz mit der Eigenfrequenz des Spiegelsübereinstimmt. Die
Phase wandert während des Abklingens proportional zur Frequenzdifferenz:
φ(t ) = φ(0) + t ( fRef ; f0 )
(4.27)
Diese Einzelmessungen sind automatisiert und werden mit einer Rate von zwei bis vier Messungen
pro Sekunde wiederholt. Dadurch ergibt sich eine große Datenbasis zur Bestimmung der Güte, und
außerdem kann die Stabilität der Güte über einen längeren Zeitraum geprüft werden.
4.4 Laser und Frequenzregelung
Der Laser und die Regelung sind hier in einen Zusammenhang gebracht, weil die Frequenz des
Lasers das Stellelement für die Regelung des Interferometers ist. Daher sollen zunächst die Einflußmöglichkeiten am Laser geschildert werden, um anschließend das Konzept der Regelung zu
erläutern.
4.4.1 Laser
Der verwendete Laser ist ein diodengepumpter nichtplanarer Nd:YAG-Ringlaser mit einer Wellenlänge von 1064nm und einer Ausgangsleistung von 660mW. Er wurde am Laserzentrum Hannover auf Grundlage von Ideen von T. J. Kane und R. L. Byer [14] entwickelt und wird in dieser
Form als MISER bezeichnet. Detailierte Informationen über dieses Lasersystem sind in der Dissertation von Dr. I. Freitag [8] nachzulesen.
Hier von Interesse ist die Möglichkeit, die Frequenz des Lasers zu beeinflussen. Der Laserresonator
des Systems ist monolithisch in einem Kristall ausgeführt. Die Temperatur des Kristalls kann durch
ein Peltier-Element beeinflußt werden. Hierdurch wird der Brechungsindex und die geometrische
Abmessung des Kristalls verändert. Da der optische Weg Lopt = nLGeo die Frequenz bestimmt,
führt dies zu einer Frequenzänderung
dωL
dT
=
;2π 3 1 GHz
K
;
(4.28)
Die Temperatur läßt sich auf einem geeignet gewählten Arbeitspunkt über 2,8 Grad modensprungfrei durchstimmen. Die Kristalltemperatur läßt sich allerdings nur relativ langsam stellen und folgt
einer Modulation nur auf Sekundenzeitskalen. Eine Regelung kann an der Temperatur also nur bei
Regelfrequenzen unterhalb von 1Hz angreifen, hat dort aber einen großen Frequenzstellbereich.
62
4. M ESSAPPARAT
Laser
Peltierelement
Kristall
ωL
ωL
Piezokeramik
Interferometer
∆φ = k L ∆ s
∆I
Temperaturkontrolle
1:1000
HV-Verstärker
InterferometerAusgangssignal
0.5Hz
Regler
150Hz
Regler
G=1
Piezo-Sollwert
G=1
Arbeitspunktoffset (optional)
Abbildung 4.6: Regelschema zur Stabilisierung des Interferometers auf den Arbeitspunkt durch Stimmen der Laserfrequenz
Zusätzlich kann der Kristall durch eine aufgeklebte Piezokeramik verformt werden. Auch dies
ändert die Länge des Resonators und stellt so die Frequenz. Da die erste Piezoresonanz erst bei
ca. 95kHz auftritt, ergibt sich für dieses Stellelement eine deutlich höhere Bandbreite, als für das
beschriebene Experiment nötig ist. Die erreichbare Frequenzverschiebung ist durch
dωL
dU
2π 1 MHz
V
;
(4.29)
gegeben, wobei die an der Piezokeramik angelegte Spannung U einen Stellbereich von null bis
fünfhundert Volt hat.
4.4.2 Regelschema für den Interferometerarbeitpunkt
Der im Interferometer realisierte Armlängenunterschied beträgt 2∆s = 15cm. Damit bewirkt eine
Frequenzänderung ∆ωL eine Phasenverschiebung der Lichtfelder von
∆φ = ∆k ∆s =
∆f
∆ωL
∆s = 3:14 10;3 rad
:
c
1MHz
(4.30)
Durch die Piezokeramik auf dem Laser läßt sich somit die Phase um etwa 1rad stellen. Dies genügt,
um das Interferometer über etwa eine Stunde am Arbeitspunkt zu halten. Für die meisten Messungen ist dies ausreichend.
4.5 D ER A UFBAU
63
Allerding sind einige Messungen über mehrere Stunden gelaufen. Aufgrund thermischer Driften
des Interferometers und des Lasers muß der Stellbereich für solche Langzeitmessungen erweitert
werden. Dazu wird auch die Kristalltemperatur in die Regelung einbezogen und gestellt. Für die
Regelung der Temperatur muß dabei beachtet werden, daß sie ein starkes Totzeit- und Tiefpaßverhalten zeigt und daher der Regelkreis nur unterhalb von 0,5 Hz versẗarken darf.
Das vollständige Regelschema ist in Abbildung 4.6 dargestellt. Das Ausgangssignal des MichelsonInterferometers, das zur Wahl des Arbeitspunktes optional mit einem Offset versehen werden kann,
wird über einen PI-Regler und einen Hochspannungsverstärker auf die Piezokeramik gegeben. Aus
der an der Piezokeramik angelegten Spannung wird durch Abziehen eines Offsets ein Fehlersignal
für die Temperaturregelung erzeugt. Die Temperaturregelung sorgt so auf langen Zeitskalen daf̈ur,
daß die Piezokeramik immer auf dem gleichen Arbeitspunkt gehalten wird.
Die Regelung hat einen gesamten Frequenzstellbereich von ca. 1GHz und kannn daher Phasendriften von 3000rad bzw. Wegänderungen von 500µm auf langen Zeitskalen ausgleichen.
4.5 Der Aufbau
In Abbildung 4.7 ist der komplette Aufbau dargestellt und sind die schon beschriebenen einzelnen
Komponenten in ihren Gesamtzusammenhang gebracht worden.
Das linear polarisierte Licht des Lasers durchläuft zunächst einen Faraday-Isolator, der Rückreflexe
durch die Komponenten in den Laser verhindert. Anschließend kann durch ein λ=2-Pl̈attchen die
Polarisation verdreht werden. Damit bestimmt man, wie die Intensität durch den nachfolgenden
Polarisationsstrahlteiler in den Meßzweig und den Anregungszweig aufgeteilt wird.
Der Meßzweig entspricht dem in Abschnitt 4.1 beschriebenen Michelson-Interferometer, allerdings
mit einer Änderung: Der Faraday-Isolator wurde durch einen 50%-Strahlteiler ersetzt. Dadurch
ergeben sich Einbußen an Lichtintensität im Interferometer. Dies stellt für das Experiment jedoch
keine Einschränkung dar, da der begrenzende Faktor die maximal verträgliche Intensität auf der
Photodiode ist, die auch mit diesem Aufbau erreicht wird. Der Aufbau konnte so schneller mit den
vorhandenen Komponenten realisiert werden.
Der Faradayisolator wird erst dann wirklich notwendig, wenn die Quantenstatistik detektiert werden soll, was in zukünftigen Experimenten mit einem solchen Aufbau ein Ziel sein wird. Dann
müssen die Verluste zwischen Erzeugung und Detektion der Lichtzusẗande minimiert werden.
Der Anregungszweig und die Signalverarbeitung mit Lock-In-Verstärker und Computer entsprechen dem in Abschnitt 4.3.1 vorgestellten Schema zur Messung der Spiegelantwort. Die Regelung des Arbeitspunktes, die das Differenzsignal der Photodioden zu einem Stellsignal der Laserfrequenz verarbeitet, ist in Abschnitt 4.4.2 ausführlich vorgestellt.
Regler
Laser ω L
Computer
Isolator
Faraday
λ/2
Abbildung 4.7: Schema des kompletten Aufbaus
φ
x
Pol ST
Lock-In
f
AOM
PD
Dump
I
Anregung
∆I
Offset
PD
50%
ST
x
∆s
Vakuumgefäß
64
4. M ESSAPPARAT
65
4.6 D ER S PIEGEL
Abbildung 4.8: Realisierung des Spiegels, Längenangaben in mm
4.6 Der Spiegel
Die Anforderungen an den Spiegel ergeben sich aus den Parametern der Antwortfunktion. Diese
ist nach Gl. (1.7) durch
G(ω) =
1
m(;ω2 + ω20 ) + ikdamp
(4.31)
gegeben. Der Spiegel sollte also eine möglichst geringe Masse und Dämpfung aufweisen, um eine möglichst große Amplitude der Schwingung zu erreichen. Die Wahl des letzten Parameters,
der Resonanzfrequenz, stellt hingegen einen Kompromiß dar: Mit niedrigen Resonanzfrequenzen
gewinnt man, wie sich gut in Abbildung 1.2 erkennen läßt, eine größere Antwort des Spiegels.
Bei niedrigen Resonanzfrequenzen nimmt jedoch die Einkopplung äußerer Störungen zu, da die
Schwingungsisolation des Interferometers schlechter und der Schwingungsuntergrund gr̈oßer wird.
Abbildung 4.4 zeigt, daß der Rauschuntergrund unterhalb von etwa 700 Hz stark ansteigt.
Die geringe Masse wird realisiert, indem der Spiegel relativ klein und dünn gehalten wird. Dazu
wird der Spiegel aus einem 1mm dicken Suprasilplättchen hergestellt. Suprasil ist ein synthetischer
66
4. M ESSAPPARAT
Quarz mit guten optischen Eigenschaften. Aus diesem Plättchen wird die Spiegelform herausgeschnitten, wie sie in Abbildung 4.9 gezeigt ist. Die rechteckige Fläche bildet die Spiegelfläche,
die Breite und Länge des Stegs bestimmt die Resonanzfrequenz. Das Ende des Stegs wird zur Befestigung des Spiegels an ein 1cm langes 2,54 cm durchmessendes Stück Quarzrohr angeschmolzen. Dadurch fungiert der Steg als eingespannte Blattfeder mit der Spiegelmasse am freien Ende.
Durch die monolithische Verbindung von Feder (Steg) und Spiegel und durch das Verschmelzen
auch Feder und Quarzrohr wird die Energiedissipation und damit die Dämpfung gering gehalten.
Eine Ansicht des so entstandenen Spiegels ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Die eigentliche Spiegelfläche hat mit ihrer Abmessung von 5mm Breite, 10 mm Höhe und 1mm Dicke bei einer Dichte
von 2; 2 g=cm2 ein Gewicht von 110 mg.
Das Quarzrohr wird zur Halterung in einen Spiegelhalter eingespannt, der eine Dreipunktlagerung
realisiert.
4.6.1 Effektive Masse und Anregung
Die Ableitung der Antwortfunktion in Abschnitt 1.1 basierte auf einem idealen System: Die dort
gewählte Beschreibung entspricht einer reinen Translation der Masse und einer am Schwerpunkt
der Masse angreifenden Kraft. Die Bewegung des Spiegels entspricht jedoch zun̈achst der einer
realen, massebehafteten Feder mit einer zusätzlichen freien Masse am Ende. Wird eine Kraft auf
das freie Ende der Feder ausgeübt, so wird die Feder auf ihrer ganzen Länge verbogen. Zur analytischen Berechnung der Auslenkung der Feder durch eine statische Kraft muß das Biegemoment in
Abhängigkeit des Ortes auf der Feder bekannt sein. Für die Dynamik der Bewegung ist ein Wissen
über die Massenverteilung auf der Feder nötig. Die Behandlung einer solchen Kantileverfeder, wie
eine fest eingespannte Blattfeder auch genannt wird, ist z.B. in [7] nachzulesen.
Diese Beschreibung läßt sich auf ein ideales Drehpendel zurückführen, dessen Drehpunkt, Rückstellkraft F = ;kφ φ und Trägheitsmoment sich auf den vollständigen Parametersatz zurückführen
lassen. Für das Beispiel einer langen Feder mit einemüber die gesamte Länge konstanten Biegemoment liegt dieser virtuelle Drehpunkt auf halber Länge. In Abbildung 4.9 ist dieser Fall dargestellt.
Die Differentialgleichung des Drehpendels ist
Iφ̈(t ) + Fdamp (φ; ẋ) + kφ φ(t ) = M(t )
(4.32)
mit dem Drehmoment M und dem Trägheitsmoment I. Die Lösung ergibt sich wie in Abschnitt 1.1
durch Fouriertransformation zu
φ(ω) =
I(ω20
M(ω)
; ω2) + ikφ damp
(4.33)
;
Wird die Kraft in einem Abstand lF vom Drehpunkt ausgeübt, was ein Drehmoment M = FlF ergibt,
und die Auslenkung im Abstand lM vom Drehpunkt gemessen (vgl. auch Bezeichnungen in Abb.
4.9), so gilt für die Auslenkung
x(ω) = lF φ(ω) =
I(ω2
;
F (ω)
ω20 )=(lF lM ) + ikdamp
:
(4.34)
67
4.6 D ER S PIEGEL
φ
lS
lM
lF
x
Meßstrahl
F
F
Anregung
real
ideales Drehpendel
Abbildung 4.9: Idealisierung des verwendeten Spiegels als Drehpendel
Mit der Definition
meff =
I
lF lM
(4.35)
lassen sich nun alle im Kapitel 1 abgeleiteten Ergebnisse auf dieses Systemübertragen. Für den
idealen Fall, daß die Feder masselos ist, ergibt sich mit einer Spiegelmasse m und dem Abstand Sl
des Schwerpunktes vom Drehpunkt das Trägheitsmoment I = mlS2 und die effektive Masse
meff =
lS2
:
lF lM
(4.36)
Die effektive Masse, die sich aus der Antwortfunktion des Spiegels ergibt, hängt also mit einem
Faktor der Größenordnung 1 mit der realen Masse des Spiegels zusammen, wobei dieser Faktor
von der Positions des Messtrahls und des Anregungsstrahls auf dem Spiegel abḧangt. In diesem
einfachen Modell ist die Abhängikeit der effektiven Masse einfach reziprok von dem Anregungsort
abhängig. Damit ergibt sich für die Effektivität der Anregung eine Abhängigkeit
x
1
meff
lF
:
(4.37)
Ist die Feder, also der Steg, mit dem der Spiegel befestigt ist, relativ steif und das Biegemoment
des Spiegels selber nicht mehr vernachlässigbar, ergeben sich auch nichtlineare Terme:
x lF + alF2 + : : :
(4.38)
Die effektive Masse ist, anders als die Resonanzfrequenz und die Güte, kein direkt zugänglicher
Parameter, da die gemessene Anregung immer von der Kraft und der effektiven Masse abḧangt:
x
F
meff
(4.39)
68
4. M ESSAPPARAT
Ist die anregende Kraft bekannt, so kann die effektive Masse aus der durch die Kraft verursachten
Auslenkung bestimmt werden. Dies läßt sich aber auch umkehren, um etwas über die Kraft zu
erfahren und ein Modell für die Kraft, also z.B. Strahlungsdruck, zu überprüfen. Dazu wird die
effektive Masse mit Hilfe des Kraftmodells aus einer Messung gewonnen und außerdem mit dem
Drehpendelmodell berechnet. Stimmen die gewonnenen Ergebnisse ausreichendüberein, ist dies
ein gutes Indiz für das Modell der Kraft. Die Übereinstimmung wird dabei davon abhängen, wie
weit der reale Spiegel von dem Drehpendelmodell abweicht.
Kapitel 5
Anwendung des Meßapparates und
Interpretation der Ergebnisse
Ziel des Meßaufbaus ist die Anregung und Charakterisierung von beweglichen Spiegeln durch Strahlungsdruck. Nun ist Strahlungsdruck nicht der einzig denkbare Mechanismus, durch den eingestrahltes Licht Kräfte auf den Spiegel ausüben kann. Insbesondere thermische Effekte durch Absorption von Licht und daraus folgende Erwärmung des Spiegels sollten auch auf den Spiegel wirken. Um diesen Mechanismus zu verstehen und die Größe dieses Effekts einzuordnen, wird daher zunächst ein Spiegel mit relativ hoher Absorption untersucht. Die so gewonnenen Erkenntnisse wurden anschließend verwendet, um einen durch Strahlungsdruck dominierten Spiegel herzustellen. Dieser wird charakterisiert. Anhand der Messungen können thermische Effekte für diesen Spiegel ausgeschlossen und die Modelle für die Antwort des Strahlungsdrucks überprüft und
bestätigt werden. An diesem Spiegel können auch die theoretischen Vorhersagen für Dämpfung
durch Restgas überprüft werden. Abschließend wird der erreichte Meßaufbau charakterisiert, die
zu erwartenden prinzipiellen Rauschquellen und Effekte in ihrer Größe eingeordnet und ein Ausblick auf mögliche weitere Anwendungen einer verbesserten Apparatur gegeben.
5.1 Anregung durch thermische Effekte
Der erste Spiegel zum Einsatz im Experiment erhielt eine Spiegelschicht aus Gold. Diese zeigt
eine Absorption von 7% und ist so das geeignete Mittel, um thermische Effekte durch Absorption
von Licht zu untersuchen. Der erwartete Mechanismus zur Anregung ist, daß durch die einseitige
Erwärmung der Vorderseite ein Temperaturgradient zwischen der Vorderseite und der Rückseite
des Spiegels entsteht. Da sich die Ausdehnung des Materials mit der Temperaturändert, ergibt
sich ein ähnlicher Effekt wie beim Bimetall, nur hier durch verschiedene Temperaturen in einem
Material: Die Vorder- und die Rückseite streben eine unterschiedliche Länge an und der Spiegel
krümmt sich, was durch die geringe Dicke des Spiegels von 1 mm unterstützt wird.
70
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
XRMS[nm]
2.0
1.5
1.0
0.5
φ [grad]
0.0
1440
0.0
1442
1444
1442
1444
1446
1448
1450
1446
1448
1450
-90.0
-180.0
-270.0
1440
f [Hz]
Abbildung 5.1: Spiegelantwort des goldbeschichteten Spiegels in der Nähe der Resonanz bei Anregung mit 5,2 mWrms
Die Goldschicht hat gegenüber einer Aluminiumschicht, die noch größere Absorption zeigen würde,
den Vorteil, daß die Wärme vom Fleck des Strahls aus besser verteilt wird und so der Effekt sich
stärker ausprägen kann.
Die mechanischen Daten des Spiegels sind
Resonanzfrequenz f0 = 1446 Hz
Güte Q = 5000,
wobei die Güte durch die im vorherigen Kapitel beschriebene Abklingmessung gewonnen wurde.
Bei der Anregung auf der Resonanz für die Abklingmessung fällt die eine große Amplitude auf.
Durch sie konnte Strahlungsdruck als Anregungsmechanismus sofort ausgeschlossen werden, da
der Spiegel hierfür eine effektive Masse meff = 2 mg aufweisen müßte, während sich aus den Überlegungen in Abschnitt 4.6.1 mit der schweren Masse m = 110 mg des Spiegels eine effektive Masse
meff 50 mg ergibt. Die Effektivität der Anregung konnte sogar noch vergrößert werden, indem
der Anregungsstrahl auf den Steg, der den Spiegel mit dem Quarzring verbindet, fokussiert wurde.
Auch die in Abschnitt 2.5 beschriebenen Radiometrischen Effekte können damit ausgeschlossen
werden, da diese Kraft für die realisierten Parameter einen noch geringeren Effekt als der Strahlungsdruck verursacht.
Daß Licht die Ursache ist, steht außer Zweifel, da der Spiegel auf der Modulationsfrequenz des
Lichts schwingt und seine Amplitude bei einer Veränderung der Modulation linear folgt.
Ein weiterer Einwand könnte sein, daß Streulicht die Anregung nur vorgetäuscht haben könnte.
Dies ist jedoch aus mehreren Gründen ausgeschlossen: Streulicht zeigt kein Nachklingen nach Ab-
5.1 A NREGUNG
DURCH THERMISCHE
71
E FFEKTE
70.0
60.0
50.0
-x [nm]
40.0
Auslenkung
Fit
Anregung
30.0
20.0
10.0
0.0
-10.0
-0.1
0.0
0.1
0.2
t [s]
0.3
0.4
0.5
Abbildung 5.2: Sprungantwort des Spiegels auf das Anschalten der Anregungsintensität
schaltung der Anregung. Es kann keine Phasenverschiebung ungleich 0 oder 180 Grad verursachen. Und es skaliert nicht mit der Intensität im Interferometer. Da alle drei Effekte nachgewiesen
wurden, kann Streulicht als Signalquelle ausgeschlossen werden.
Nach Ausschluß aller anderen Möglichkeiten muß die Ursache der Bewegung in der Absorption
von Licht und damit Erwärmung des Spiegels liegen. Dieser Effekt soll nun näher untersucht und
charakterisiert werden.
Der nächste Schritt ist die Untersuchung der Antwortfunktion des Spiegels auf Licht. Eine Messung im Frequenzbereich der Resonanz ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Es f̈allt auf, daß die Phase
der Antwort vor der Resonanz um -90 Grad gegen die Anregung und nach der Resonanz um -270
Grad verschoben ist. Der Phasenverlauf ist also gegenüber dem für einen Oszillator erwarteten
Verauf, wie er in Abbildung 1.1 dargestellt ist, um -90 Grad phasenverschoben. Dies bedeutet, daß
die angreifende Kraft der Intensität um 90 Grad nachläuft, ein Verhalten, das dem eines Tiefpasses
gleicht.
Die Zeitskala, auf der sich die Wärme im Material ausgleicht, liegt für einen ausgedehnten Spiegel
auf der Basis eines Substrats mit 1 Zoll Durchmesser im Bereich von Sekunden [20]. Bei gleicher
Wärmeleitfähigkeit, aber gleichzeitiger Verkleinerung der linearen Dimensionen um eine Gr̈oßenordnung, ist daher für den hier untersuchten Spiegel eine Zeitskala in der Größenordnung von 100
ms zu erwarten. Wird nun durch eine statische Lichtintensität eine konstante Wärmeleistung in die
Vorderseite des Spiegels eingetragen, stellt sich auf dieser Zeitskala ein statisches Temperaturfeld
im Spiegel ein und verkrümmt dadurch den Spiegel durch die unterschiedlichen thermischen Ausdehnungen auf beiden Seiten. Die maximale Krümmung findet dabei am Ort des Wärmeeintrags
statt. Daher ist eine Anregung am Steg am effektivsten, weil zum einen an diesem Punkt die Wärme
72
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
10
Amplitude [nm]
10
10
10
10
10
10
10
2
1
0
-1
-2
-3
Messung
Modell
-4
-5
1
10
100
1000
10000
1
10
100
1000
10000
φ [grad]
0.0
-90.0
-180.0
-270.0
-360.0
f [Hz]
Abbildung 5.3: Antwort des goldbeschichteten Spiegels auf eine Anregung von 35 mW und Vergleich mit dem Modell
thermischer Anregung eines harmonischen Oszillators
am schlechtesten abfließt und sich dadurch der höchste Temperaturgradient einstellt, und zum anderen eine Verkrümmung an dieser Stelle durch den langen Hebelarm“ die größte Auslenkung des
”
Spiegels bewirken kann. Im statischen Fall gleichen sich Wärmeeintrag in die Oberfläche, Transport in die Rückseite und die Befestigung und Abstrahlung genau aus. Das dynamische Verhalten
zur Erreichung des Gleichgewichts kann durch die Sprungantwort des Spiegels gemessen werden.
Die Sprungantwort ist die Auslenkung des Spiegels nach plötzlichem Einschalten des Lichts. Die
Messung der Sprungantwort ist in Abbildung 5.2 dargestellt. Die Schwingung mit einer Periode
von 2 ms, die auf der Antwort liegt, stammt von einer durch die Vorpumpe angeregten Resonanz
einer optischen Komponente. Entscheidend ist das exponentielle Erreichen einer Gleichgewichtslage, die hier als Nullpunkt gewählt wurde. Dies entspricht dem für Wärmeleitung erwarteten Zeitverhalten. Die durch Regression bestimmte Zeitkonstante des Systems ist τ = 75 ms. Wird eine
Änderung der Intensität auf langsamen Zeitskalen gegenüber der Zeitkonstante τ durchgeführt, so
folgt das System der Änderung ohne Verzögerung. Bei schnellen Änderungen der Intensität hingegen kann sich die Erwärmung nicht mehr schnell genug ausbreiten, um die maximale Auslenkung
zu erreichen. Dies ist besonders einfach bei einer sinusförmigen Intensitätsmodulation einzusehen.
Dort kann nur die Energie einer Halbwelle in thermische Ausdehnung verwandelt werden, bevor
die Intensität wieder abnimmt und damit auch die Temperaturdifferenz wieder abnehmen muß. Daher ist für schnelle Modulationen die Ausdehnung proportional zur Periodendauer bzw. reziprok
zur Frequenz.
5.2 S PIEGELANREGUNG
DURCH
S TRAHLUNGSDRUCK
73
Das beschriebene Zeitverhalten der Kopplung von Intensität und Kraft entspricht dem eines Tiefpasses. Dieser zeigt auch die gleiche Sprungantwort. Daher kann die Abhängigkeit der Kraft von
der Intensität durch einen Tiefpaß der Zeitkonstante τ und damit Grenzfrequenz fG = 1=(2πτ) =
2;1 Hz modelliert werden:
Ftherm (ω) =
K
I(ω)
1 + iω=ωG
(5.1)
Mit der nun bekannten Kraft und der in Kapitel 1 eingeführten Antwortfunktion G(ω) kann die
Antwort des Systems auf eine monochromatische Anregung mit der Frequenz f = ω=(2π) und
Intensität I(ω) beschrieben werden:
x(ω) = G(ω)Ftherm (ω) =
A
1
I(ω):
1 + i ω=ωG 1 ; (ω=ω0 )2 + i=Q
(5.2)
Die Parameter A = K =(mω20 ), ωG , ω0 und Q können dabei aus der Sprungantwort und der Abklingmessung abgeleitet werden.
Abbildung 5.3 zeigt den Vergleich des Modells mit der gemessenen Antwortfunktion des Spiegels.
Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung. Auch die gemessenen Phasen werden durch die Phasenverschiebung des Tiefpasses erklärt, und der Abfall der Anregung x 1=ω3 für ω ω0 ergibt sich
durch die reziproke Abhängigkeit der Kraft von der Frequenz.
Mit diesem Modell ist nun auch das Handwerkszeug gegeben, um thermische Effekte in anderen
Messungen zu identifizieren. Besonders empfindliches Kennzeichen ist, wenn die Phase von der
für Strahlungsdruck erwarteten Phase (0 Grad vor der Resonanz und -180 Grad nach der Resonanz)
abweicht. Bei Dominanz von thermischen Effekten ist die Abweichung -90 Grad, bei gleicher Kraft
durch beide Effekte 45 Grad.
5.2 Spiegelanregung durch Strahlungsdruck
Der nächste Schritt ist die Untersuchung eines durch Strahlungsdruck dominierten Systems. Um
thermische Effekte zu verhindern, werden die Erfahrungen des vorherigen Kapitels bei der Herstellung des Spiegels verwendet: Die thermischen Effekte sind proportional zur Absorption, also wird
eine dielektrische Schicht geringer Absorption verwendet. Die dielektrische Schicht hat außerdem
eine sehr viel geringere Wärmeleitfähigkeit als Gold, so daß weniger Wärme in den Steg geleitet
wird, der bei Erwärmung die maximale Auslenkung produzieren würde. Durch diese Maßnahmen
ist eine Reduktion thermischer Effekte um mehr als drei Größenordnungen zu erwarten, so daß die
thermischen Kräfte sehr viel kleiner als die erwarteten Strahlungsdruckkräfte sein sollten.
Die Positionierung von Anregungs- und Teststrahl für die Messung ist in Abbildung 5.4 dargestellt. Die Flecken sind räumlich getrennt, um Streuung des anregenden Lichts in den Strahlweg
des Interferometers und damit in die Ausgänge des Interferometers zu verhindern. Das Streulicht
74
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
5mm
6.5mm
9mm
10mm
Teststrahl
Anregung
Abbildung 5.4: Position von Anregungsstrahl und Meßstrahl
der Anregung ist auf der Anregungsfrequenz moduliert und würde damit, wenn es auf die Photodioden in den Ausgängen des Interferometers gelangt, ein Ausgangssignal des Interferometers mit
der Anregungsfrequenz erzeugen. Dies simuliert eine durch das anregende Licht induzierte Ortsauslenkung des Spiegels, da auch die Ortsauslenkung zu einem Signal auf der Anregungsfrequenz
führt. Da jedoch die Ortsauslenkung in Phase und Amplitude von der Anregungsfrequenz abḧangt,
das Streulicht jedoch immer die gleiche Amplitude und Phase φ = 0 im Ausgangssignal erzeugt,
können die Effekte unterschieden werden.
5.2.1 Zwei Resonanzen
Auffällig ist zunächst, daß der Spiegel zwei nahe beieinander liegende Resonanzen zeigt, wie in
Abbildung 5.5 dargestellt ist. Die Resonanzen liegen bei f1 = 1360; 7 Hz und f2 = 1388; 0 Hz.
Beide Resonanzen zeigen einen Phasensprung von jeweils 0 Grad vor der Resonanz auf -180 Grad
nach der Resonanz.
Dies deutet auf zwei nicht gekoppelte Oszillatoren hin. Bei gekoppelten Oszillationen, bei denen
die Auslenkung des ersten Oszillators die Anregung des zweiten Oszillators darstellt, ergibt sich die
totale Transferfunktion durch Multiplikation der einzelnen Antwortfunktionen, so daß ur
f̈ die zweite Resonanz ein Sprung von -180 Grad auf -360 Grad beobachtet werden würde. Für unabhängige
Oszillatoren ergibt sich hingegen die totale Antwortfunktion durch Addition der einzelnen Antwortfunktionen.
Auch der Einbruch der Spiegelantwort zwischen den Resonanzen ist Beweis für die Unabhängigkeit, da dort destruktive Interferenz der um 180 Grad gegeneinander verschobenen Antworten der
Resonanzen zu beobachten ist, was sich durch ein additives Verhalten zweier Oszillatorantworten
erklären läßt. Ein dritter Beweis für die Unabhängigkeit ist ein beobachteter 1= f2 -Abfall ( f ist
die Anregungsfrequenz) der Spiegelantwort nach der zweiten Resonanz, während für gekoppelte
Oszillatoren das Produkt der Antwortfunktionen einen 1= f4 -Abfall erwarten läßt.
Die analytische Beschreibung dieses Systems zweier unabhängiger Oszillatoren geschieht mit ei-
5.2 S PIEGELANREGUNG
DURCH
75
S TRAHLUNGSDRUCK
-1
Amplitude [nm]
10
-2
10
-3
10
Spiegelantwort
Rauschuntergrund
-4
10
-5
Phase [grad]
10
1350
1360
1370
1380
1390
1400
1360
1370
1380
1390
1400
0
-90
-180
1350
f [Hz]
Abbildung 5.5: Antwort des zweiten Spiegels bei 25 mW Anregung sowie der Rauschuntergrund ohne Anregung
ner Gesamtantwortfunktion
G(ω) = G1 (ω) + G2(ω);
(5.3)
wobei G1 (ω) und G2 (ω) die Antwortfunktionen der einzelnen Oszillatoren sind und sich mit dem
in Kapitel 1 eingeführten Formalismus behandeln lassen.
5.2.2 Güte und effektive Masse
Die Güte und die effektive Masse werden mit Hilfe der automatisierten Abklingmessung, die in Abschnitt 4.3.2 beschrieben wurde, gewonnen. Diese Messung liefert sowohl die Amplitude auf der
Resonanz als auch die Güte. Das Protokoll einer solchen Messung ist in Abbildung 5.6 abgebildet.
Die Phase ist mitprotokolliert, da sie ein gutes Kennzeichen dafür ist, ob sich die Resonanzfrequenz
während der Messung verschiebt. Als Nullpunkt wurde hier die Phase genau im Zentrum der Resonanz gewählt. Die beobachtete Drift entspricht einer Drift der Resonanzfrequenz von weniger
als 1 mHz während der Messung.
Der zeitliche Verlauf einer einzelnen Abklingmessung ist in Abbildung 5.7 aufgetragen.
76
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
Q
8500
8000
7500
0
10
20
30
0
10
20
30
0
10
20
30
x [nm]
0.50
0.25
0.00
φ [grad]
2.0
1.0
0.0
t [min]
Abbildung 5.6: Ergebnisse einer Abklingmessreihe für Spiegel 2 auf der Resonanz bei 1388Hz, Anregung durch 50mW
Weitere bekannte Größen sind die Anregungsintensität und die Resonanzfrequenz. Die Antwort
des Spiegels auf Strahlungsdruck ist auf der Resonanz
x=
Q 2I
:
meff ω20 c
(5.4)
Mit den gemessenen Größen x, ω0 , Q und I läßt sich so die effektive Masse bei Anregung durch
Strahlungsdruck bestimmen. Damit ergeben sich die charakteristischen Größen der Resonanzen:
1. Resonanz
Resonanzfrequenz f1 = 1360; 7 Hz
Güte Q = 1000
Effektive Masse meff = 50 mg
2. Resonanz
Resonanzfrequenz f2 = 1388; 0 Hz
Güte Q = 7800
Effektive Masse meff = 150 mg
5.2 S PIEGELANREGUNG
DURCH
77
S TRAHLUNGSDRUCK
relative Amplitude
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
t [s]
Abbildung 5.7: Abklingen der Resonanz f2 = 1388Hz: Messung und Theorie mit Q = 7450
Die gemessenen Güten sind durch die Halterung des Quarzrohres im Spiegelhalter begrenzt. Neue
Experimente mit verbesserten Spiegelhaltern [1] haben eine erhebliche Steigerung der Güte ergeben. Die Begrenzung bei der hier verwendeten Dreipunkthalterung erkl̈art sich dadurch, daß der
Quarzring nicht völlig starr fixiert ist. Bei höherem Druck der Auflagepunkte bricht das Rohr jedoch. Durch die Schwingung des Spiegels wird ein Drehmoment auf den Ring ausgeübt, das zu
kleinen Verschiebungen des Spiegels in seinen Auflagepunkten führt. Diese Verschiebung ist mit
Reibung verbunden und dissipiert so Energie.
Mit Hilfe der effektiven Massen kann nun auch das Modell von Strahlungsdruck als Kraftmechanismus überprüft werden. Mit den Betrachtungen aus Abschnitt 4.6.1 ergibt sich für das idealisierte
Drehpendel mit den Längen aus Abbildung 5.4 und der schweren Spiegelmasse m = 110 mg eine
effektive Masse von
meff ideal =
;
m ls
lM lF
=m
(7; 5)2
11; 5 9
= 60
mg:
(5.5)
Dies zeigt insbesondere für die erste Resonanz eine gute Übereinstimmung mit der für Strahlungsdruck gemessenen effektiven Masse.
Die Unterschiede in Güte und effektiver Masse zwischen den beiden Resonanzen sind in der unterschiedlichen Kopplung der beiden Schwingungsmoden an den Spiegelhalter begr̈undet. Die Interpretation der zwei Resonanzen bedarf jedoch zunächst weiterer Meßdaten zur Anregungseffizienz
und wird in Abschnitt 5.2.4 durchgeführt.
78
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
normierte Amplitude
1.0
y
Anregung
0.8
1. Resonanz
2. Resonanz
Teststrahl
0.6
z
0.4
0.2
0.0
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Z [cm]
Abbildung 5.8: Ortsabhängigkeit der Anregung
5.2.3 Variation des Anregungsortes
Ein Kennzeichen dafür, welche der denkbaren Schwingungsmoden angeregt wird, gibt die Abhängigkeit der gemessenen Amplitude vom Anregungsort, also vom Ort, an dem die Kraft angreift. In
Abbildung 5.8 ist ein Koordinatensystem zur Beschreibung des Anregungsortes dargestellt. F̈ur
die einfachste mögliche Mode, die einfache Biegeschwingung, wurde in Abschnitt 4.6.1 das Modell eines Drehpendels eingeführt. Es sagt eine lineare Abhängigkeit der Anregungseffizienz, also der reziproken Masse, vom Abstand zum Drehpunkt voraus. Diesem entspricht eine lineare zAbhängigkeit. Für eine reale Schwingung werden sich Korrekturterme höherer Ordnung ergeben.
Höhere Moden der Biegeschwingung besitzen Schwingungsknoten, so daß es Orte verschwindender Anregung gibt. Eine Torsionsschwingung wird eine y-Abhängigkeit aufweisen, hingegen gegen Veränderung von z relativ unempfindlich sein.
Das Experiment ergibt, daß Variation der y-Koordinate praktisch keinen Einfluß auf die Anregung
hat. Die z-Abhängigkeit der Anregung ist in Abbildung 5.8 dargestellt. Sie zeigt für beide Resonanzen die für die einfache Biegeschwingung erwartete Abhängigkeit.
5.2.4 Interpretation der Resonanzen
Die Untersuchung der Anregungseffizienz in Abhängigkeit vom Ort der Anregung auf dem Spiegel in Abschnitt 5.2.3 zeigt für beide Resonanzen gleiches Verhalten. Dies bedeutet, das die Form
der Schwingung, also die Bewegung der einzelnen Spiegelpunkte, sich sehrähnlich sein muß. Insbesondere deutet die Messung für beide auf eine einfache Biegeschwingung des Spiegels hin. Die
Vermutung einer verwandten Form der Schwingungsmoden wird auch durch die geringe Differenz
der Resonanzfrequenzen unterstützt.
5.2 S PIEGELANREGUNG
DURCH
S TRAHLUNGSDRUCK
79
Große Unterschiede zeigen die beiden Resonanzen jedoch in ihren Güten, wie in Abschnitt 5.2.2
quantifiziert wird. Da diese durch die Verluste in der Halterung des Quarzringes dominiert werden,
müssen sich die beiden Resonanzen in der Kopplung an den Quarzring unterscheiden. Die Masse
des Quarzrings und seine Steifheit ist groß im Vergleich zum eigentlichen Spiegel, so daß die sich
ergebende Frequenzverstimmung klein ist. Dies stimmt auch mit der gemessenen Aufspaltung, die
28 Hz groß ist und damit etwa 2,5% der Resonanzfrequenz entspricht, qualitativüberein.
Hieraus ergibt sich das Bild einer Schwingungsmode des eigentlichen Oszillators, also der eingespannten Feder mit dem Spiegel am Ende, die durch Kopplung an den Quarzring aufgespalten wird.
Die Größe der Aufspaltung wird durch die Beweglichkeit des Anschmelzpunktes und des Quarzringes bestimmt. Die entstehenden zwei Normalmoden des Systems führen zu unterschiedlichen
Bewegungen des Quarzringes und damit verschieden starker Reibung an den Auflagepunkten. Je
stärker die Bewegung gegen die Auflagepunkte, desto größer ist die Reibung und damit die Energiedissipation und desto schlechter die Güte. Für eine starre Befestigung wird eine solche Aufspaltung nicht auftreten.
Der erste Spiegel hat die Aufspaltung nicht gezeigt. Dies zeigt, wie empfindlich die Aufspaltung
von der genauen Position der Auflagepunkte, dem Anpreßdruck und auch der Oberfl̈ache des Quarzrohres am Auflagepunkt abhängt.
5.2.5 Vergleich des Modells mit dem Experiment
Die in den vorherigen Abschnitten entwickelte Modellvorstellung soll noch einmal zusammengefaßt werden: Die Antwort des Spiegels auf eine äußere Kraft läßt sich durch zwei unabhängige
Oszillatoren beschreiben, deren Antworten sich summieren. Diese Oszillatoren entsprechen der
einfachen Biegeschwingungsmode (vgl. Abschnitt 4.6.1), die durch Ankopplung an die Befestigung des Spiegels aufgespalten ist.
In diesem Modell gilt für die Antwort des Spiegels
2
x(ω) = (G1 (ω) + G2 (ω)) I(ω);
c
(5.6)
wobei die Antwortfunktionen Gi durch die Parameter der Oszillation bestimmt werden:
Gi =
1
mi;eff ω2i
1
1 ; (ω=ωi )2 + i=Qi
(5.7)
Die Antwort des Modells bei Parametern, wie sie aus den Abklingmessungen gewonnen wurden,
wird in Abbildung 5.9 mit der gemessenen Antwort verglichen. Modell und Messung zeigen eine
Abweichung beim Übergang von der ersten zur zweiten Resonanz. Diese Abweichung entsteht
durch einen Fehler im Verhältnis der effektiven Massen, die aus den Abklingmessungen gewonnen
wurden. Ansonsten zeigt sich eine gute Übereinstimmung.
80
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
0
10
Amplitude [nm]
10
10
10
10
10
10
Phase [grad]
10
-1
-2
-3
-4
-5
Messung
Modell
-6
-7
200
500
1000
2000
5000
1000
2000
5000
0
-90
-180
-270
200
500
f [Hz]
Amplitude [nm]
10
10
10
-1
-2
Messung
Modell
-3
-4
Phase [grad]
10
1320.0
1340.0
1360.0
1340.0
1360.0
1380.0
1400.0
1420.0
1380.0
1400.0
1420.0
0
-90
-180
-270
1320.0
f [Hz]
Abbildung 5.9: Modell und Messung der Antwort des zweiten Spiegels auf 50 mW Anregung
Die Störungen bei Frequenzen f < 1kHz entstehen durch nicht vollständig unterdrückte akustische
Anregung der Komponenten des Interferometers. Der Abfall bei Frequenzen f > 2kHz entsteht
durch Streulicht: Die Auslenkung des Spiegels verursacht eine Modulation der Intensiẗat auf der
Photodiode. Das Streulicht der Anregung, das in die Ausgänge des Interferometers gelangt, verursacht ebenfalls eine solche Modulation, wenn es nicht völlig gleichmäßig auf beide Photodioden
gelangt. Durch ungleichmäßige Verteilung des Streulichts auf die Photodioden ergibt sich ein eine
Ortsauslenkung vortäuschendes Differenzsignal. Je nachdem, in welchen Ausgang mehr Licht gestreut wird, ist das vorgetäuschte Signal in Phase oder um 180 Grad phasenverschoben gegen die
Anregung. Dieses Signal interferiert nun mit dem echten Ortssignal und führt je nach Phasenbezie-
5.3 D RUCKABH ÄNGIGKEIT
DER
81
G ÜTE
kinetisches Verhalten
viskoses Verhalten
1/Q = γ/mΩ
2e-05
Messung
Fit
kin. Theorie
1e-05
0e+00
-1e-05 -4
10
-3
10
10
-2
-1
10
0
10
1
10
2
10
p [mbar]
Abbildung 5.10: Dämpfung durch Restgas nach Abzug der druckunabhängigen Beiträge, Fit für kinetische Gasdämpfung im Bereich p < 0; 1 mbar
hung zu einer zu starken oder zu schwachen gemessenen Auslenkung. Um den gemessenen Effekt
zu verursachen, muß etwa 1ppm der Anregungsleistung in einen einzelnen Ausgang gestreut worden sein. Bei aufeinanderliegenden Flecken von Test- und Anregungsstrahl wäre der Effekt noch
größer gewesen, da die verwendete Schicht noch relativ große Streuverluste zeigt.
5.3 Druckabhängigkeit der Güte
In Abschnitt 1.6 wurde die Dämpfung durch das Restgas vorhergesagt. Als Begrenzung der Güte
durch diesen Dämpfungsmechanismus wird durch diese Theorie für die zweite Resonanz bei einem
Druck von z.B. 0,01 mbar ein Wert von Q = 5 106 vorhergesagt. Das System ist also noch sehr
weit von der Begrenzung durch Gasdämpfung entfernt. Bei einer ausreichend genauen Messung
der Güte in Abhängigkeit vom Druck sollte es trotzdem möglich sein, den Einfluß des Restgases
zu messen. Mit Gl.(1.23) im Abschnitt 1.2 gilt für die Dämpfung
γ = γ0 + γ p ( p)
!
1
Q
=
1
1
+
:
Q0 Q p ( p)
(5.8)
Mit dieser Gleichung kann der Effekt durch Gasdämpfung aus den Messungen der gesamten Güte
bestimmt werden. Da die einzelne Gütemessung mit einem zu großen Fehler behaftet ist, muß
eine große Zahl von Messungen herangezogen werden, um durch Mittelung die Fehler zu reduzieren. Statt einer Mittelung vor der Auswertung kann auch eine Regression mit den Rohdaten
durchgeführt werden. In Abbildung 5.10 ist das Ergebnis dieser Messung an der zweiten Resonanz des zweiten Spiegels dargestellt. Der Offset 1=Q0 wurde durch lineare Regression der gemessenen 1=Q-Werte bestimmt und zur Darstellung abgezogen. Die dargestellte reziproke Güte
82
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
ist damit der Wert für reine Gasdämpfung. Die negativen Werte ergeben sich durch das Abziehen
des großen statischen Offsets, der die Grafik um 1=Q0 = 1; 3 10;4 nach oben verschieben würde.
Die Dämpfung durch Gas läßt sich in zwei verschiedene Mechanismen zerlegen: Dämpfung durch
viskose Reibung (vgl. Abschnitt 1.5) und Dämpfung durch dopplerverschobenen“ Impulsüber”
trag von einzelnen Restgasmolekülen (vgl. Abschnitt 1.6). Der erste Mechanismus ist bei hohen
Drücken p > 1 mbar und damit hohen Dichten dominant, da er durch die Kräfte zwischen den
Molekülen bestimmt wird. Diese Kräfte (van-der-Waals-Kräfte) bestimmen das viskose Verhalten. Der zweite Mechanismus wird dominant, wenn das Verhalten der einzelnen Moleküle nicht
mehr durch Wechselwirkungen mit den anderen Molekülen, sondern durch Stöße mit den Wänden
und dem Inhalt des Vakuumgefäßes bestimmt wird. Dies ist bei Drücken p < 0; 1 mbar der Fall.
Zwischen diesen Druckbereichen gibt es einen Übergang, in dem beide Mechanismen etwa gleich
stark wirken.
Die Dämpfung im kinetischen Regime kann gut berechnet werden (Abschnitt 1.6) und mit der gemessenen Abhängigkeit in diesem Druckbereich verglichen werden:
Experiment: Qp p = 68000 mbar
Theorie: Qp p = 50000mbar
Die Übereinstimmung ist in Anbetracht der Streuung der Meßwerte gut. Diese Messung zeigt auch,
daß für die Messungen der Transferfunktionen und der Güte von Spiegeln durch Strahlungsdruck
der Restgasdruck p < 10;3 mbar keinen wesentlichen Einfluß auf das Meßergebnis hat. Für die
zweite Resonanz mit einer Güte von 7800 beträgt der verursachte relative Fehler 10 ppm. Da der
Fehler außerdem systematisch und bei bekanntem Druck vorhersehbar ist, kann auch dieser Fehler noch reduziert werden, so daß auch bei Spiegeln mit sehr hohen Güten eine präzise Messung
möglich ist.
5.4 Fluktuationen
In Kapitel 2 wurden die erwarteten Ortsfluktuationen durch thermische Anregung, Restgas und
Strahlungsdruckrauschen dargestellt. Beim Strahlungsdruckrauschen ist zu beachten, daß der Laser ein im untersuchten Bereich weißes technisches Rauschen mit der spektralen Dichte
jSI (ω)j = 6 10;7 I
(5.9)
aufweist (vgl. Abbildung 5.12). Das größte Signal“ durch diese Fluktuationen ist auf der Reso”
nanz zu erwarten. Ein Vergleich der vorhergesagten Fluktuationen mit den gemessenen Ortsfluktuationen zeigt jedoch, daß die durch andere Störungen (hauptsächlich Akustik) verursachten Ortsfluktuationen diese Effekte überdecken (Abbildug 5.11). Die Auflösung ist also noch nicht durch
diese Effekte limitiert, sondern wird durch die Apparatur bestimmt.
5.5 E RREICHTE Z IELE UND
10
ZUK ÜNFTIGE
83
M ÖGLICHKEITEN
aktuelles Ortsrauschen
technisches Laserrauschen
thermisches Rauschen
Schrotrauschen, I=100mW
Restgasfluktuationen
0
-3
|Sx| [nm/√Hz]
10
-6
10
-9
10
10
10
-12
-15
0.5
1.0
1.5
f [kHz]
2.0
2.5
Abbildung 5.11: Vergleich der erreichten Auflösung mit den vorhergesagten Ortsfluktuationen durch thermische Effekte, Restgas, technisches Laserrauschen des unstabilisierten Lasers (200mW im Interferometer) und Schrotrauschen
5.5 Erreichte Ziele und zukünftige Möglichkeiten
Es ist gelungen, einen Meßapparat aufzubauen, mit dem die Antwort eines Spiegels auf Anregung
durch Licht über einen weiten Frequenzbereich der Anregung gemessen werden kann. Der Rauschuntergrund der Apparatur wurde soweit reduziert, daß sich bei Strahlungsdruckmessungen ein dynamischer Meßbereich für die Amplitude von fast vier Dekaden ergibt. Für thermische Effekte
konnte sogar ein dynamischer Bereich von mehr als 5 Größenordnungen in der Amplitude erreicht
werden.
Die nun noch dominierenden Rauschquellen sind in ihrer Ursache erkannt und in ihrer Wirkung
charakterisiert. Der Einfluß des Restgasdruckes konnte experimentell betimmt werden und stimmt
mit der theroretischen Vorhersage überein, so daß der Einfluß des Meßapparates auch für Proben
hoher Güte bestimmt und separiert werden kann.
Die möglichen Mechanismen zur Anregung der Spiegel durch Licht, also Strahlungsdruck und
thermische Effekte verschiederner Art, können durch die Messung der Antwortfunktion unterschieden und charakterisiert werde und sind in ihrem Verhalten verstanden.
Gleichzeitig ist der realisierte Aufbau als Option für die Zukunft auf die homodyne Messung von
Quadraturen und ihre Unschärfe ausgelegt.
84
5. A NWENDUNG DES M ESSAPPARATES UND I NTERPRETATION DER E RGEBNISSE
rel. Schwankung [dB/√Hz]
-100
-110
-120
-130
0
500
1000
f [Hz]
1500
2000
p
Abbildung 5.12: Technisches Rauschen des Lasers, Quantenrauschgrenze für 500mW ist -184dB/ Hz
Zukünftige Anwendungen neben der Charakterisierung von Spiegeln und ihren Anregungsmechanismen kann die Untersuchung von thermischem Rauschen und von Quanteneffekten sein. Abbildung 5.11 zeigt, welche Verbesserung der Ortsauflösung hierfür noch nötig ist. Um diese Ortsauflösung zu erreichen, kann an drei Stellen angegriffen werden:
Eine Grenze ist das technische Rauschen der Lichtquellen, das in das Phasensignal einkoppelt. Diese Einkopplung wird zur Zeit durch die nicht perfekte Gleichtaktunterdrückung verursacht. Diese
läßt sich durch zusätzliche Abstimmöglichkeiten bei der Detektionselektronik verbessern, da so
die Streuung der Widerstände und Photodioden ausgeglichen werden kann. Um thermisches Driften der verwendeten Präzisionsmeßwiderstände zu verhindern, kann eine zusätzliche thermische
Stabilisierung der Meßelektronik eingeführt werden.
Die Einkopplung von Schwingungen, die die Empfindlichkeit im niederfrequenten Bereich und
auf den Spiegelresonanzen begrenzen, kann durch ein mehrstufiges Isolationssystem mit niedrigen
Resonanzen reduziert werden. Solche Isolationssysteme werden in Gravitationswellendetektoren
[5] oder bei der Untersuchung interner Spiegelschwingungen für ausgedehnte Spiegel [23] schon
eingesetzt.
Eine weitere Ursache von Fluktuationen bildet die Lichtquelle, die zur Zeit für Frequenzen f <
20 kHz durch technisches Rauschen begrenzt wird, das noch 60dB über der Schrotrauschgrenze bei der verwendeten Intensität von 500mW liegt (Abb. 5.12). Zum einen gibt es keine perfekte Gleichtaktunterdrückung, so daß auch nach Verbesserung der Gleichtaktunterdrückung tech-
5.5 E RREICHTE Z IELE UND
ZUK ÜNFTIGE
M ÖGLICHKEITEN
85
nisches Rauschen die Phasenempfindlichkeit begrenzt. Zum anderen können nur mit Hilfe einer
schrotrauschbegrenzten Lichtquelle die Quanteneffekte wie Strahlungsdruckrauschen durch Schrotrauschen und nichtklassische Lichtzustände untersucht werden.
Die Untersuchung und Erzeugung von nichtklassischen Lichtzusẗanden wird in einem so verbesserten Experiment durch eine resonante Überhöhung der Lichtintensität auf dem Spiegel möglich sein.
Der nötige Schritt in diese Richtung ist die Realisierung des verwendeten Michelson-Interferometers
mit Fabry-Perot-Resonatoren in den Armen.
Zusammenfassung und Ausblick
Im Rahmen der Diplomarbeit wurde ein Modell entwickelt, mit dem sich die Bewegungen eines
als mechanischer Oszillator ausgeführten Spiegels vorhersagen und charakterisieren läßt. Außerdem wurden die sich durch Restgas und Wärme ergebenden Kräfte und Fluktuationen sowie der
Einfluß der Apparatur auf die gemessenen Parameter bestimmt.
Der realisierte Meßaufbau erfüllt die an ihn gestellten Anforderungen: Durch geeignete Unterdrückung der Rauschquellen erlangte er die nötige Empfindlichkeit, um die Anregung des Spiegels
durch Strahlungsdruck über einen weiten Frequenzbereich zu messen. Diese Empfindlichkeit wurde durch seismische und akustische Isolation und Minimierung der elektronischen Rauschbeitr̈age
erreicht.
Bei der Messung konnte Strahlungsdruck demonstriert werden. Alle weiteren möglichen erwünschten oder unerwünschten Kräfte durch Licht sind analysiert und in ihrer Größenordnung bestimmt
worden. Insbesondere thermische Ursachen wurden untersucht und durch ein Modell beschrieben.
Für die Untersuchung von Strahlungsdruck können mit den so gewonnenen Erkenntnissen gezielt
Spiegel konstruiert werden, für die thermische Effekte vernachlässigbar sind. Mit dem Phasenverlauf der Antwortfunktion wurde insbesondere ein empfindliches Kennzeichen aufgezeigt, um
thermische Effekte aufzuspüren oder auszuschließen.
Die Messung der Antwort eines Spiegels auf Strahlungsdruck wurde mit dem aufgestellten Modell
verglichen, wobei sich eine gute Übereinstimmung zeigte. Dabei konnte die Antwort des Spiegels
im Frequenzbereich über mehr als eine Dekade bestimmt werden. Die nötigen Parameter für den
Vergleich wurden ebenfalls mittels Strahlungsdruck – aber unabhängig von der Transferfunktion –
durch Abklingmessungen bestimmt.
Im Experiment konnten auch die Vorhersagen für den Einfluß des Restgases bestätigt werden. Da
somit der Einfluß des Meßapparates auf die Messung der Güte bekannt ist, können auch Systeme
sehr hoher Güte oder niedriger Resonanzfrequenz in ihren Parametern mit hoher Genauigkeit bestimmt werden.
Die Ursachen für das verbliebene Ortsrauschen bei der Detektion des Spiegelortes, das bei Frep
quenzen f > 1 kHz unter 10;14 m= Hz liegt, sind bekannt. Wird die Empfindlichkeit des Aufbaus durch eine mehrstufige Schwingungsisolation, eine noch präzisere Detektionselektronik und
eine quantenrauschbegrenzte Lichtquelle noch weiter verbessert, aßt
l̈ sich in zukünftigen Experimenten mit dem demonstrierten Aufbau auch thermisches Rauschen untersuchen. Wird zus̈atzlich
noch die Intensität auf dem Spiegel durch Überhöhung in einem Resonator deutlich vergrößert, so
kann mit diesem Experiment in das Regime der Quanteneffekte vorgestoßen und die Ver̈anderung
von Lichtzuständen gezeigt werden.
Abbildungsverzeichnis
1.1
Anwortfunktion des Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Vergleich von Antwortfunktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Integrationspfad für komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Abklingen eines Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.5
Vergleich unterschiedlicher Dämpfungsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1
Thermische Ortsfluktuationen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1
Unschärfefläche eines Zustands im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2
Heterodyndetektor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.3
Homodyndetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.4
Wirkung eines Kerrmediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.5
Entwicklung der Wignerfunktion im Kerrmedium . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.1
Michelson-Interferometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.2
Akustische Einkopplung beim Tischaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.3
Schwingungsisolation des Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.4
Rauschuntergrund des Interferometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5
Messung der Antwortfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.6
Regelschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.7
Schema des kompletten Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
90
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.8
Realisierung des Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.9
Der Spiegel als Drehpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.1
Resonanz des ersten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.2
Sprungantwort bei thermischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.3
Antwort des ersten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.4
Strahlpositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
5.5
Resonanzen des zweiten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.6
Güte- und Amplitudenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.7
Abklingen der Oszillation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5.8
Einfluß des Anregunsortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
5.9
Transferfunktion des zweiten Spiegels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.10 Messung der Dämpfung durch Restgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.11 Vergleich erwarteter Fluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.12 Technisches Rauschen des Lasers
84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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[26] A. VAN DER Z IEL: Noise. Prentice-Hall, 1970.
Danksagung
Zunächst möchte ich allen Menschen meinen Dank ausrichten, die mich in den Jahren meines Studiums begleitet und diesen Zeitraum so lebenswert gemacht haben.
Für die Möglichkeit, mein Studium mit der Arbeit in dieser speziellen Arbeitsgruppe zu beenden, und für die Begeisterung für die verschiedensten Bereiche der Physik, die er immer wieder
zu wecken vermag, möchte ich ganz besonders Herrn Prof. Karsten Danzmann danken.
Mit Rat und Tat standen mir während des letzten Jahres besonder Olliver Jennrich und Benno Willke zur Seite: Vielen Dank hierfür.
Für die Versorgung mit zerbrechlichen Versuchsobjekten haben Stefan Tr̈ager und Andreas Bock
Sorge getragen, denen ich auf diesem Wege noch einmal danken möchte. Entschuldigt die Strecke
an zersprungenem Glas, die ich hinterlassen habe.
Für das gute Klima im Institut, das mir sehr behagte, sind alle Angehörige diese Institus und natürlich
auch der Außenstelle zusammen verantwortlich, und ich möchte allen für dieses Jahr herzlich danken.
Meinen Eltern verdanke ich, daß mir dieses Studium überhaupt möglich war. Ihnen gehört meine
besondere Dankbarkeit.
Danken möchte ich auch den Freunden, die mich in der letzten Zeit oft mit viel Geduld ertragen
mußten. Und ganz besonderen Dank für die Aufmunterung und Geduld in der letzten Zeit schulde
ich Sonja Weinbrecht.
Hannover im Dezember 1995
Selbständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbständig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln erstellt zu haben.
Hannover, den 14. Dezember 1996
(Frank Hohls)