Funktionen - Fakultät für Mathematik

Vorkurs Mathematik B
Dr. Thorsten Camps
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
8. September 2011
Abbildungen und Funktionen
Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen.
Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden.
Definition (Abbildung)
Eine Abbildung f besteht aus
1
einer Definitionsmenge D,
2
einem Wertebereich W und
3
einer Abbildungsvorschrift, die jedem x ∈ D genau ein y ∈ W
zuordnet.
Schreibweise: f : D → W mit Angabe der Abbildungsvorschrift in der
Form f (x) = y oder x 7→ y oder x 7→ f (x).
Die Angabe von Definitionsmenge und Wertebereich ist für eine Abbildung
notwendig!
Der Wertebereich wird auch Bildbereich genannt. Ein Element f (x) des
Bildbereiches wird auch als Bild (von x) bezeichnet.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
2 / 11
Abbildungen und Funktionen
Definition (Funktion)
Ist f eine Abbildung, die als Wertebereich eine Teilmenge von R besitzt, so
nennen wir f eine Funktion.
Beispiel
1
2
3
D = {Teilnehmer des Vorkurses},
W = {Studienfächer an der TU Dortmund}
Abbildungsvorschrift: Für x ∈ D sei f (x) das Studienfach, für das x
eingeschrieben ist. Die Abbildung f ordnet also jedem Studenten
sein“ Studienfach zu.
”
lineare Funktion: D = W = R, f (x) = ax + b.
Wurzelfunktion: D = R+
0 := {x ∈ R | x ≥ 0}, W = R,
√
f (x) = x.
Weitere Beispiele folgen im Verlauf des Vorkurses.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
3 / 11
Abbildungen und Funktionen
Funktionen stellt man gerne grafisch dar. Dazu bildet man
Gf := {(x, y ) ∈ D × W | f (x) = y } = {(x, f (x)) | x ∈ D}.
Für die Darstellung im Koordinatensystem trägt man D auf der x–Achse
ab und W auf der y –Achse. Ein Punkt (x, y ) wird markiert, wenn er zur
Menge Gf gehört, d.h. wenn f (x) = y .
Die Menge aller so markierten Punkte heißt dann der Graph von f . Sie ist
genau die Menge Gf oben.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
4 / 11
Abbildungen und Funktionen
Definition (injektiv, surjektiv, bijektiv)
Sei f eine Abbildung (oder Funktion). Dann heißt f
1
injektiv, falls zwei verschiedene Elemente aus D auch zwei
verschiedene Bilder haben. In Formeln:
x1 , x2 ∈ D und x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ),
2
surjektiv, falls jedes Element des Wertebereiches von f erreicht
wird. In Formeln:
y ∈ W =⇒ ∃ x ∈ D mit f (x) = y .
3
bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
5 / 11
Abbildungen und Funktionen
Definition (Monotonie)
Eine Funktion f heißt
1
streng monoton steigend (oder wachsend), wenn gilt:
x, y ∈ D und x < y =⇒ f (x) < f (y ).
2
monoton steigend (oder wachsend), wenn gilt:
x, y ∈ D und x < y =⇒ f (x) ≤ f (y ).
3
streng monoton fallend, wenn gilt:
x, y ∈ D und x < y =⇒ f (x) > f (y ).
4
monoton fallend, wenn gilt:
x, y ∈ D und x < y =⇒ f (x) ≥ f (y ).
Diese Eigenschaften werden immer bezüglich des Definitionsbereiches D
(oder Teilen von D) betrachtet.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
6 / 11
Abbildungen und Funktionen
Beispiel
1
2
Die lineare Funktion f (x) = −2x + 8 mit D = W = R ist streng
monoton fallend auf ganz D.
Die Funktion f (x) = x 2 mit D = W = R erfüllt auf ganz D keine
Monotonieeigenschaft.
Allerdings ist f (x) = x 2 streng monoton fallend auf ] − ∞; 0] und
streng monoton steigend auf [0; ∞[.
Wir werden mit Hilfe der Differentialrechnung Kriterien entwickeln, mit
denen man prüfen kann, auf welchen Bereichen eine Funktion (streng)
monoton wächst oder fällt.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
7 / 11
Abbildungen und Funktionen
Definition (Komposition von Abbildungen)
Sind f : Df → Wf und g : Dg → Wg Abbildungen, und ist der
Wertebereich von f enthalten im Definitionsbereich von g (d.h.
Wf ⊆ Dg ), dann kann man f und g hintereinander ausführen, d.h. man
bildet ein Element von Df erst mit f ab und danach mit g .
Man spricht dann von der Komposition, Verkettung oder
Hintereinanderausführung von f und g .
Schreibweise: g ◦ f : Df → Wg .
Für die Abbildungsvorschrift: (g ◦ f )(x) := g (f (x)).
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
8 / 11
Abbildungen und Funktionen
Beispiel
Es seien f (x) = x 2 + 1 und g (x) = 2x − 1. Dann sind beide Abbildungen
definiert auf ganz R, man kann also D = W = R wählen. Man erhält:
g (f (x)) = 2 · f (x) − 1 = 2 · (x 2 + 1) − 1 = 2x 2 + 2 − 1 = 2x 2 + 1.
Die Komposition ist hier aber auch andersrum möglich:
f (g (x)) = (g (x))2 + 1 = (2x − 1)2 + 1 = 4x 2 − 4x + 1 + 1 = 4x 2 − 4x + 2.
Die Reihenfolge spielt also bei der Verkettung eine wichtige Rolle!
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
9 / 11
Abbildungen und Funktionen
Definition (Umkehrabbildung)
Sei f : D → W eine Abbildung. Gibt es eine Abbildung g : W → D mit
g (f (x)) = x für alle x ∈ D
und
f (g (y )) = y für alle y ∈ W ,
dann heißt g Umkehrabbildung zu f . Wir nennen f dann
umkehrbar.
Statt mit g bezeichnet man die Umkehrabbildung häufig auch mit f −1 .
Beispiel
1
2
Seien D = W = R und f (x) = 5x − 3. Dann ist g (x) = 51 x + 35 eine
Umkehrfunktion zu f .
√
Für f (x) = x 2 ist g (x) = x ein Kandidat für eine Umkehrfunktion.
Problem: Für x < 0 ist g (f (x)) 6= x.
Lösung: Schränke D und W passend ein: D = W = R+
0.
In der Tat ist g nun eine Umkehrfunktion von f .
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
10 / 11
Abbildungen und Funktionen
Satz
1
Falls eine Umkehrabbildung existiert, ist sie eindeutig.
2
Eine Abbildung ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv ist.
3
Eine streng monotone Abbildung ist injektiv.
4
Eine injektive Abbildung f kann man umkehren, wenn man den
Wertebereich verkleinert und alle Elemente entfernt, die von f nicht
erreicht werden.
Satz (Graph und Umkehrabbildung)
Sei f eine Funktion und f −1 ihre Umkehrfunktion. Dann erhält man den
Graphen von f −1 , indem man den Graphen von f an der 1.
Winkelhalbierenden spiegelt.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
8. September 2011
11 / 11