ExPhys 1, Vorlesung 15, 10.06.2011

Zur Erinnerung
Stichworte aus der
14. Vorlesung:
Hydrostatisches
Paradoxon:
Auftrieb:
kommunizierende Röhren: alle Elemente eines Rohrsystems
sind bis zur gleichen Höhe gefüllt
Reduktion der Kraft für gegebene Arbeit (Isotropie des
Druckes, F1= F2 (A1/ A2), F1s1 = F2 s2)
Druck hängt (nur) von maximaler Höhe der Wassersäule ab,
unabhängig von deren Durchmesser (Volumen)
Differenz zwischen Schwerkraft und Kraft durch
hydrostatischem Druckunterschied
Auftrieb auch in Luft (gering, wg. geringer Dichte)
(Stabilität von Schwimmkörpern)
Experimentalphysik I SS 2011
15-1
Zur Erinnerung
Stichworte aus der
14. Vorlesung:
Grenzflächen:
Oberflächenspannung
Grenzflächenspannung
Kapillarität
σ1,3 : Grenze fest-gasförmig
σ2,3 : Grenze flüssig-gasförmig
σ1,2 : Grenze fest-flüssig
Experimentalphysik I SS 2011
15-2
7. Physik der Gase
Elementare
Thermodynamik :
Individuelle Teilchen (Atome, Moleküle)
Ekin(T) > Epot (gegeben durch gegenseitige Wechselwirkung)
keinerlei Nah- oder Fernordnung
Eigenschaften bestimmt durch Mittel über Bewegung (und
Stöße) vieler Teilchen
Makroskopisch:
wesentliche Größen sind
Druck (p),
Volumen (V) und
Temperatur (T)
sowie deren Zusammenhänge bei langsamen oder
schnellen Veränderungen (z.B. p oder V)
Mikroskopisch:
kinetische Gastheorie
Gase:
Experimentalphysik I SS 2011
stark („beliebig“) komprimierbar
beliebig expandierbar
15-3
Temperatur
Gasthermometer:
Gas in abgeschlossenem Volumen, Druck z.B. wie Luftdruck
außen, gemessen über Flüssigkeitssäulen
Erwärmung des Gases (z.B. durch Hand)
 Expansion, V(T)
Volumen konstant gehalten
 Druckerhöhung p(T)
V(T) oder p(T) als (qualitatives) Maß für T
T steigt/sinkt
 V steigt/sinkt bei p = const. oder
 p steigt/sinkt, bei V = const.
Qualitatives Maß für die Temperatur T
Experimentalphysik I SS 2011
15-4
Druck und Volumen
Boyle-Mariottsches
Gesetz:
2
 1   dV   m 
         
 V   dp   N 
Experimentalphysik I SS 2011
15-5
Druck und Dichte
Druckeinheiten:
Luftdruck unter
Normalbedingungen:
Experimentalphysik I SS 2011
15-6
Druckmaß nach Torricelli
Druckmessung in “mm-Hg-Säule” nicht mehr gebräuchliche
Einheit:
Δp = „1 mm – Hg – Säule“ = 1 torr
(im „Geschäftsverkehr“ nicht mehr erlaubt)
Experimentalphysik I SS 2011
15-7
Kompressibilität und hydrostatischer Druck
Vergleich Wassersäule
und Luftsäule:
Wasser: „inkompressibel“
Dichte unabhängig vom Druck
 p variiert linear mit h
Luft: kompressibel
Dichte abhängig vom Druck
 p variiert exponentiell mit h
Experimentalphysik I SS 2011
15-8
Barometrische Höhenformel
Variation des
Luftdruckes mit der
Höhe:
Druck p (siehe Hydrostatik) auf Fläche A
p

Barometrische
Höhenformel:
Experimentalphysik I SS 2011

p0
0
p  p0  e
ρ
 0
p0
gh
15-9
Barometrische Höhenformel
später:
pV  RT
M
p  RT
V = Molvolumen
M = Masse von 1 Mol

p

0
p0


RT
M

gh 
Mgh
RT

p
p  p0  e

Mgh
RT

M
RT
Potentielle Energie
Thermische Energie
M / L = m (L = Avogardo-Konstante, (m = Masse eines
Teilchens)
R/L = k (k = Boltzmann-Konstante)

Experimentalphysik I SS 2011
p  p0  e

mgh
kT
15-10
Barometrische Höhenformel
Isotherme Luftsäule:
p  p0  e
ρ
 0
p0
gh
Zahlenwerte:
ρo (Luft, h = 0) = 1,24 kg/m3 (bei po)
po (Normaldruck) = 1013 hPa = 1.013 105 N/m2
p = po e-h/8330 (h in [m])
h1 = 8330 m Druck sinkt auf p(h1) = po/e
h2 = 5770 m Druck sinkt auf p(h2) = ½ po
Experimentalphysik I SS 2011
15-11
Wirkung des Luftdruckes (1)
Magdeburger
Halbkugeln:
historisch früher Nachweis des Luftdruckes
Experimentalphysik I SS 2011
15-12
Wirkung des Luftdruckes (2)
Luftballon im Vakuum:
Experimentalphysik I SS 2011
15-13
Kinetische Gastheorie
Zurückführung der makroskopischen Zusammenhänge:
p(V,T) auf mikroskopische Ursachen.
Atomistische Natur der Gase lange umstritten,
Akzeptanz Ende 19. Jahrhundert, Boltzmann.
Modell des idealen
Gases:
harte Kugeln
gerade Flugbahnen
Zusammenstöße  Richtungsänderung
Energie und Impulsaustausch
mittlerer Abstand groß gegen Durchmesser
 „Eigenvolumen“ klein gegen verfügbares Volumen
Wechselwirkung für a > 2r0 vernachlässigt
elastische Stöße  Energieumverteilung
elastische Stöße mit der Wand  Druck
Experimentalphysik I SS 2011
15-14
Kinetische Gastheorie
Wechselwirkungspotential:
Idealisierung 1:
Idealisierung 2:
Experimentalphysik I SS 2011
typischer Verlauf Epot(r)
für Wechselwirkungsenergie
zwischen Atomen
hier: EBindung << <Ekin>
(„harte Kugel“)
gut, wenn: Epot(rmin) << <Ekin>
(„Teilchenvolumen“ → 0)
gut, wenn Dichte gering: N VTeilchen << VBehälter
N = Gesamtzahl der Teilchen in VBehälter
aber: Impuls- und Energieaustausch
zwischen Teilchen möglich
15-15
Kinetische Gastheorie
Wechselwirkungspotential:
Wechselwirkung bei Abstand r = 2r0
Wann sind Eigenvolumen und Wechselwirkungen
nicht mehr vernachlässigbar?

Experimentalphysik I SS 2011
mittlerer Abstand zwischen zwei
Molekülen in einem Gas.
15-16
Mittlerer Abstand und Dichte in einem Gas
Dichte bei 1 bar:
ρ = 3·1019 Teilchen/cm3 = 3·1025 Teilchen/m3
(Kugel mit Radius r = ½ mittlerer Abstand <a>)
4
3
 r  N  1 m3
3
N = Teilchenzahl in 1 m3
1 3
m  8 10 27 m3
4N
r  2 10 9 m  2 nm
r 
3
ro(He) ≈ 0.05 nm
Reales Gas <>
ideales Gas:

r  r0
(Abschätzung)
wenn mittlerer Abstand <a> = 2 <r> ≈ ro
 Wechselwirkung und „Eigenvolumen“ nicht
vernachlässigbar (hoher Druck), dann:
 Eigenschaften „realer“ Gase
Experimentalphysik I SS 2011
15-17
Druck in einem Gas (1)
Annahme: Moleküle als Massenpunkte, nur Translation,
keine rotierenden oder schwingenden Moleküle
Druck p = Kraft/ Fläche, hier:
p
dFdA( N ,v )
dA
(p = Druck)
Impuls
􀀅
dFdA
dp

dt
 N  2  m  v
Für
N
dFdA 
Impulsübertrag:

pro Zeiteinheit übertragener Impuls
(Δp = Impulsübertrag)
N  N Stöße pro Sekunde
Stöße mit v  dA :
2  N  mv
p
dA
(p = Druck)
d.h. Druck durch Impulsübertrag
Experimentalphysik I SS 2011
15-18
Druck in einem Gas (2)
Druck durch
Impulsübertrag:
dl
dA
vx
dl = vx·dt
N=nV=n·dl·dA=n·vxdt·dA
dFdA ( N , v)

dA
1
p   2  nx  mv x2
2
p
Experimentalphysik I SS 2011
d (p x
dt
dA
15-19
Druck in einem Gas (3)
Impulsübertrag
auf eine
elastische Wand:
p  nx  mv x2
nicht nur Teilchen mit v  dA (also vy = vz = 0) tragen
zum Impulsübertrag (und Druck) bei, sondern auch
schräg zur Wand fliegende Teilchen übertragen Impuls
Δp = 2 mvx
Problem: Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas?
Experimentalphysik I SS 2011
15-20
Druck in einem Gas (4)
Geschwindigkeitsverteilung:
v x2
2
ersetzt durch v x
v 2x 
Isotropie des Druckes:
1
2
N
(
v
)

v
dvx
x
x

N
Impulsübertrag auf Flächen  dA
v 2x  v 2y  v 2z


2
1
p   n  m v2
3
2 

v 2x 
mit
gleich:
1 2
v
3
n
N
V
Ekin
2
1
pV  N  m v 2
3
2

Experimentalphysik I SS 2011
1
Ekin  m v 2
2
(= const. für T = const.)
ist abhängig von der Temperatur
15-21
Absolute Temperatur und allgemeine Gasgleichung
Einführung einer Temperaturskala, proportional zur
kinetischen Energie!
Absolute Temperatur:

1
3
m v 2  kT
2
2
Gemessen in Kelvin: [T] = K
k= 1,38054·10-23 J/K

Allgemeine
Gasgleichung:
Boltzmann-Konstante
absoluter Nullpunkt für
v2  0
p V  N  k  T
Für 1 Mol mit der Teilchenzahl N = NA = 6,022·1023
(NA = Avogadro-Konstante oder Loschmidt-Zahl)
p Vmol  R  T
Experimentalphysik I SS 2011
R = allgemeine Gaskonstante
15-22
Gleichverteilungssatz
Bisher nur Betrachtung von „Kugeln“ mit drei
Freiheitsgraden der Translation.
Verallgemeinerung auf
beliebige
Freiheitsgrade:
Bei einem Gas, das genügend lange bei einer
Temperatur T gehalten wird, verteilt sich die Energie
der einzelnen Atome oder Moleküle durch Stöße
gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade.
Im Mittel hat jedes Teilchchen die Energie:
Mittlere Energie pro
Freiheitsgrad:
1
Ekin  f  kT
2
f = Anzahl der Freiheitsgrade (Translation,
Schwingung, Rotation)
Mittelwerte bisher für viele Teichen N zu einer festen Zeit t
Wie verhält sich ein einzelnes Teilchen über eine lange
Zeit?
Experimentalphysik I SS 2011
15-23
Gleichverteilungssatz
Thermodynamische
Freiheitsgrade:
Translation - Rotation – Vibration
Aufnahme der Energie in Form von kinetischer
Energie der Translation
kinetischer Energie der Rotation
Energie (kinetische und potentielle) der
Vibration
Austausch der Energie zwischen den „Freiheitsgraden“
durch Stöße.
Experimentalphysik I SS 2011
15-24
Gleichverteilungssatz
Bei thermischem Gleichgewicht und im EnsembleMittelwert gilt:
Energie pro Freiheitsgrad: <EFreiheitgrad> = ½ kT
Atome:
2-atomiges Molekül:
3-atomiges Molekül:
<ETeilchen> = f ½ kT
f=3
f=3+2+2=7
f = 3 + 3 + 6 = 12
T
R
V
<EFreiheitgrad> = ½ kT gibt quantitativen Zusammenhang
E ↔ T via statischem Mittel über viele Teilchen und/oder
lange Zeiten.
„Temperatur“ ist nur dann physikalisch sinnvolle Größe,
wenn „Verteilungsfunktionen“, z. B. fT(v), die Verteilungen
im thermischen Gleichgewicht angeben.
Experimentalphysik I SS 2011
15-25
Ergodenhypothese
Betrachtung einer physikalischen Größe in einem
Ensemble von N Teilchen:
Scharmittel:
Zeitmittel:
(a) Momentaufnahme aller N Teilchen
Bestimmung von |v| = v für alle Teilchen
daraus ermitteln :
→ Verteilungsfunktion f<N>(v)
→ „Scharmittel“
(b) Verfolgung der „Geschichte“ eines einzelnen der N
Teilchen. Viele [z]
Messungen in kurzen Zeitabständen:
→ Verteilungsfunktion f<t>(v)
→ „Zeitmittel“
Ergoden-Hypothese: Wenn sowohl N als auch t (und z)
hinreichend groß ist, gilt
f<N> = f<t>
„Scharmittel“ = „Zeitmittel“
Experimentalphysik I SS 2011
15-26
Thermodynamik
Thermodynamik = „statistische“ Physik
Phänomene begründet durch das Wirken sehr vieler
Teilchen (typisch N > 1020)
Verhalten einzelner Teilchen kann nur „in Gedanken“
verfolgt werden. Experimente mit einzelnen Atomen oder
Molekülen heutzutage jedoch möglich
Phänomene durch Mittelwerte, genommen über sehr
viele Teilchen, erklären
individuelle Eigenschaften, z.B. Geschwindigkeit,
charakterisiert durch Verteilungsfunktionen
Experimentalphysik I SS 2011
15-27
Verteilungsfunktionen (1)
Zur Erinnerung:
vx2 
1
2
N
(
v
)

v
x
x dv x

N

v 2x   vx2  f (vx )  dvx

f (vx )  dvx 
N (vx )dvx
N
Normierung:
N   N (vx )  dvx

mit f(v) = Verteilungsfunktion
Bruchteil aller Teichchen im
Geschwindigkeitsintervall
zwischen vx und vx + dvx

1
  f (vx )dv   N (vx )dvx 1
N 

Zahl der Teilchen im Intervall zwischen vx und vx + dvx:
N (vx )dvx  N  f (vx )dvx
Zahl der Teilchen mit Geschwindigkeiten v >u:

N (v x  u )  N
 f (v )dv
x
x
v x u
Experimentalphysik I SS 2011
15-28
Verteilungsfunktionen (2)
Interessiert nur der Betrag der Geschwindigkeit und nicht
die Richtung, dann gilt:

v v

 f (v)dv  1
0
Die Form der Verteilungsfunktion ist noch zu bestimmen
Geschwindigkeitsverteilung in einem Gasensemble
Maxwell-BoltzmannVerteilung:
vollständige Herleitung der GeschwindigkeitsVerteilungsfunktion fMB(|v|) (Maxwell-Boltzmann Verteilung)
 siehe Bücher über statistische Mechanik
(resp. Theorievorlesung)
Experimentalphysik I SS 2011
15-29
Verteilungsfunktionen (3)
Maxwell-BoltzmannVerteilung:
im De-Buch (S. 202 und ff.) Zusammenhang mit
Barometrischer Höhenformel hergestellt
(Beispiel von physikalischer Argumentation)
aus Überlegungen der Hydrostatik:

 0 gh
-(ρop0/po) g h
pp =ppo0e e

mgh
kT- m g h / (kT)
 p=0 peo e
Barometrische Formel für isotherme Atmosphäre
im Thermodynamischen Gleichgewicht
(Zustandsgrößen p, ρ, T ändern sich zeitlich nicht):
Konsistenz zwischen fMB,T(|v|) und Dichte-Verteilung
ρT(h) bei isothermer Atmosphäre (T ist fest) legt fest, wie
fMB,T(|v|) aussehen muss, damit sich die korrekte n(h)
oder ρ(h) einstellen kann
Experimentalphysik I SS 2011
15-30
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (1)
Alternative Herleitung:
allgemeine Aussage aus der Thermodynamik:
System kann Zustände mit Energien Ei annehmen
(i = 1, 2, ....)
Zahl der Zustände i mit Energie Ei: gi
gi = „statistisches Gewicht des Zustandes Ei“
Wahrscheinlichkeit Wi, das System im Zustand Ei zu
finden ist:
E
E4
Wi  g i  e
E
 i
kT
E
 i
kT
(Boltzmann-Verteilung)
E3
E2
e
E1
Gilt für diskrete Zustände.
Experimentalphysik I SS 2011
= „Boltzmann-Faktor“
15-31
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (2)
Kontinuierliche
Verteilung:
Geschwindigkeitsverteilung: Zustände nicht durch
„diskrete“ Variable i gekennzeichnet, sondern durch
„kontinuierliche“ Variable v
 Wi  W (v)  f (v)
gi  g (v)
1
Ei  E (v)  m v 2
2
und
noch zu bestimmen

sowie Normierung
 f (v)dv  1
sicher stellen.
0
(hier jeweils |v| gemeint)
Wi  W (v)  f (v)  g (v)  C  e
1 m v2
 2
kT
Normierungsfaktor
Experimentalphysik I SS 2011
15-32
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (3)
Statistisches Gewicht:
Wie oft treten Geschwindigkeiten im Intervall v und v + dv
auf?
Nur der Betrag der Geschwindigkeit wird betrachtet.
Schnitt durch eine Kugel im Raum (vx, vy, vz) mit Radius
r = |v|.
Betrachte:
Kugelschale mit Radius v und Dicke dv
Häufigkeit des Wertes u mit v ≤ u ≤ v + dv ist proportional
zu V = 4π v2 dv (Kugelschale)
Damit wird g(v):
Experimentalphysik I SS 2011
g (v)  4 v 2
15-33
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (4)
f ( v )dv  4 v 2  C  e

Normierung:

4 v 2  C  e
1 m v2
 2
kT
dv
dv  1
0

1 m v2
 2
kT
 C 1   4 v 2  e
1 m v2
 2
kT
0
 2 kT 
dv  

m


3
2
Damit erhält man die Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

3
2
1 m v2
 2
kT
 m 
f ( v )  4 v 2  
  e

  2 kT  


Statistisches Gewicht
Boltzmann-Faktor
Normierung
f(v)dv = Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit einer
Geschwindigkeit im Intervall dv um v zu finden.
Experimentalphysik I SS 2011
15-34
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (5)
Verteilungsfunktion
f(vz) für die
Geschwindigkeitskomponente vz:

symmetrische Gausverteilung
andere Konstante (s. De)
beachte:
im thermodynamischen
Gleichgewicht muss
gelten
f(vz) = f(-vz)
Gas betrachtet im Volumen mit Höhe dh, derart, dass
1
mg  dh  mv z2
2
 dann keine Richtung ausgezeichnet, also
f(vx) = f(vy) = f(vz)
Experimentalphysik I SS 2011
15-35
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (6)
3
2
Geschwindigkeitsverteilung und
charakteristiche
Geschwindigkeiten:
1 m v2
 2
kT
 m 
n(v)  n  f ( v )  n  4 v 2  
  e

  2 kT  


 v2
Verteilung |v| erstreckt sich von 0 bis ∞
 asymmetrische Verteilung, nicht symmetrisch zu v = 0
Experimentalphysik I SS 2011
15-36
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (7)
Wahrscheinlichste
Geschwindigkeit:
Mittlere
Geschwindigkeit:
2kT
m
vw 
Maximum der Verteilungskurve

v   v f (v)dv 
0
v 
8kT
1
 2  vw 2
m
f=3

Mittleres v2
v
2
  v 2 f (v)dv 
0
Experimentalphysik I SS 2011
v2 
3kT
m

1
3kT
m v2 
2
2
15-37
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Variation von f(v) mit T:
Experimentalphysik I SS 2011
15-38
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
100 K
T = 300
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 242 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-39
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
T = 100 K
T = 300 K
Vmax = 242 m/s
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 424 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-40
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
N2
Vmax = 242 m/s
T = 100 K
T = 300 K
T = 1000 K
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 424 m/s
Vmax = 758 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v[m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-41
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
Xe: xm= 131
T = 300 K
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 197 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-42
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
T = 300 K
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 197 m/s
Vmax = 364 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-43
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
T = 300 K
Vmax = 197 m/s
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
N2 :
xm= 28
f (|v|) [a.u.]
Vmax = 364 m/s
Vmax = 424 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-44
Maxwell-Boltzmann-Verteilung (8)
Masse = xm u
f (|v|) [a.u.]
T = 300 K
Xe: xm= 131
CO2: xm= 38
Vmax = 197 m/s
N2 :
Vmax = 364 m/s
Vmax = 424 m/s
He2: xm= 4
xm= 28
Vmax = 1121 m/s
0
200 400 600 800 1000 1200 1400
v [m/s]
Experimentalphysik I SS 2011
15-45