Spektroskopische Untersuchungen an Metamaterialien

Spektroskopische Untersuchungen an
Metamaterialien
Diplomarbeit
Andreas Schneider
Universität Würzburg
Physikalisches Institut
Lehrstuhl für experimentelle Physik IV
Prof. Dr. Ralph Claessen
Arbeitsgruppe Prof. Dr. Andrei Pimenov
Würzburg
Oktober 2009
III
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Was sind Metamaterialien? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vorteile der Untersuchung von Metamaterialien im Terahertzbereich . . . .
1.3 Gliederung der Diplomarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Grundlagen
2.1 Terahertz Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Prinzipieller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Strahlungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Signaldetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elektrodynamische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Stetigkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Berechnung der Spektren für senkrechten Einfall . . . . .
2.3.1 Bestimmung der Dispersionsrelationen . . . . . .
2.3.2 Berechnung der Transfermatrizen . . . . . . . . .
2.3.3 Transmission für Einschichtsysteme . . . . . . . .
2.4 Rechnungen zu allgemeinen anisotropen Proben . . . . .
2.4.1 Einführung in die Problematik . . . . . . . . . . .
2.4.2 Berechnung der Eigenwellen im 4x4 Formalismus
2.4.3 Bestimmung der Transmissionskoeffizienten . . .
2.5 Schwingkreismodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Effektive Materialparameter . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Modellkapazität des Split-Ring-Resonators . . . .
2.5.3 Modellinduktivtät des Split-Ring-Resonators . . .
2.6 Wechselwirkungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Induktive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
3.1 Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ringspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Einfluss der Spaltbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Einfluss der Ringfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Dichtevariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
6
7
8
8
9
9
10
11
11
12
13
13
14
14
15
18
19
20
20
21
.
.
.
.
.
23
24
25
25
28
30
IV
Inhaltsverzeichnis
3.6
3.7
3.8
3.5.1 Symmetrisierte Einheitszelle . . . . . . . . .
3.5.2 Richtungsabhängigkeit der Wechselwirkung .
Behandlung in der Literatur . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven
tern
4.1 3 Geometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Idee von Chen et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Probenherstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Dispersionsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Transfermatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 gekippte Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Idee hinter der Messung und Behandlung in der Literatur .
4.2.2 Verhalten der Transmission im RLC-Schwingkreismodell .
4.2.3 Proben und Messaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Ergebnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Permittivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Bianisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
32
33
35
35
35
Parame.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
37
38
39
40
41
44
46
47
47
47
49
51
56
58
59
59
60
61
64
64
Danksagung
65
Literaturverzeichnis
67
Anhang
69
1
1 Einleitung
1.1 Was sind Metamaterialien?
Metamaterialien sind künstlich hergestellte Strukturen, mit denen man optische Materialparameter beeinflussen möchte. Der Begriff “Metamaterial” wurde 1999 von Rodger M.
Walser eingeführt [1, 2] und gibt insbesondere die Möglichkeit wieder, elektromagnetische
bzw. optische Eigenschaften zu verwirklichen, die in der Natur nicht vorkommen. [3] Diesem
geht die lange Entwicklung künstlicher Dielektrika ab den 1940er Jahren für Antennenanwendungen im Radio- und Mikrowellenbereich voraus. Der Beriff “künstliche Dielektrika”
wurde 1948 von Winston E. Kock eingeführt. Er konnte zeigen, dass Konzepte für natürliche Dielektrika, ebenso für künstliche Dielektrika herangezogen werden können.[4] In
den frühen 60er Jahren wurde von Walter Rotman erstmals ein Stabdraht-Medium vorgeschlagen und untersucht.[5] Diese Idee wurde ein viertel Jahrhundert später von Sir John
Pendry aufgegriffen. Er konnte zeigen, dass sich die effektive Plasmafrequenz in einem Medium aus dünnen Metallstäben senken lässt, so dass gezielt Frequenzbereiche existieren,
bei denen die Permittivität negativ ist, die Absorption aber gering bleibt. [6] Drei Jahre
A
B
C
Abb. 1.1: Eine Übersicht über untersuchte
Struktureinheiten von Metamaterialien. Erste Zeile: (A) Stabdrahtmedium von Rotman (B) Split-Ring-Resonator von Pendry
(C) Single Split-Ring-Resonator, wie er Gegenstand dieser Arbeit ist. Darunter weitere Strukturen, die von diversen Forschergruppen hergestellt und untersucht wurden.
nach dieser Arbeit konnte Pendry eine Struktur präsentieren, die es ermöglichte gezielt
die Permeabilität zu beeinflussen. [7] Dies war der sogenannte Split-Ring-Resonator. Er
bestand aus zwei ineinander liegenden Metallringen, die durch einen Spalt unterbrochen
2
1 Einleitung
waren (siehe Abbildung 1.1). Medien aus diesen Strukturen zeigen ein striktes diamagnetisches Verhalten, wodurch auch negative Permeabilitäten erreicht werden können. Damit
waren alle Bestandteile vorhanden, um die von Viktor Veselago vorgeschlagene Substanz [8]
mit negativer Permittivität und gleichzeitiger negativer Permeabilität zu realisieren. Kurze
Zeit später konnte die Gruppe um Smith und Schultz ein solches Material experimentell
realisieren.[9] Seitdem kam es zu einer regen Forschungsaktivität rund um Metamaterialien. So wurden mit diesen neuen Materialien Tarnkappen [10] und Hyperlinsen [11] gebaut.
Neben dem Stabdraht und ursprünglichen Split-Ring-Resonatoren wurden viele weitere
Strukturen im Bereich von Mikrowellen bis in den nahen optischen Bereich untersucht. So
auch der einzelne Split-Ring-Resonator, der Gegenstand dieser Arbeit ist. [12, 13]
Im Gegensatz zu photonischen Kristallen sind die künstlichen Strukturen, die ein Metamaterial ausmachen, kleiner als die Wellenlänge des Lichts mit denen sie interagieren. Deshalb
beschreibt man Metamaterialien als einen homogenen Kristall. Die lokalen Eigenschaften
der Basis des Kristalls müssen hierfür nicht betrachtet werden. Stattdessen werden effektive
Materialkonstanten definiert und Materialgleichungen zur Beschreibung der makroskopischen Polarisationsfelder verwendet.
Die Einheitszelle des Metamaterials kann eine geringe Symmetrie aufweisen. So kann es,
wie im Fall des Split-Ring-Resonator-Mediums, zu einer intrinsischen magnetoelektrischen
Kopplung kommen. Dieser Kopplungsmechanismus wurde 1968 von Cheng und Kong unter
dem Namen Bianisotropie in die allgemeine lineare Materialgleichung eingeführt.[14] Die
Kopplung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern ist ein wichtiges Thema dieser
Arbeit. Die Stärke dieser Kopplung wird für das untersuchte Split-Ring-Resonator-Medium
bestimmt.
1.2 Vorteile der Untersuchung von Metamaterialien
im Terahertzbereich
Die Skaleninvarianz der Maxwellgleichungen hat zur Folge, dass die grundsätzliche Physik
von Metamaterialien nicht von ihrer Strukturgröße abhängig ist. Damit lassen sich die Ergebnis im Terahertzbereich auf andere Frequenzbereiche übertragen.
Bei diesen Frequenzen sind die erforderlichen Strukturgrößen noch mit kostengünstigen Methoden herstellbar. Zudem können sie in großer Präzision produziert werden. Dies ist bei höheren Frequenzen wesentlich aufwendiger. Im Gegensatz zum Mikrowellenbereich existiert
die Möglichkeit in einem quasioptischen Versuchsaufbau Transmissions- und Phasenspektren aufzunehmen. Dadurch vereinfacht sich die Bestimmung der Transmission deutlich,
da Diffraktionseffekte eine geringere Rolle spielen. Andererseits ist auch die Messung der
Phase mit Hilfe eines Interferometeraufbaus möglich und deutlich einfacher als beispielsweise in Wellenleitern, bei denen neben der Wellenleiterdispersion auch Geometriefaktoren
berücksichtigt werden müssen.
1.3 Gliederung der Diplomarbeit
3
1.3 Gliederung der Diplomarbeit
Die Diplomarbeit gliedert sich in drei Teile:
• Grundlagen
• Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der Split-Ring-Resonatoren
• Charakterisierung der Split-Ringe im Rahmen der effektiven Materialparameter
Im Grundlagenteil wird zunächst der experimentelle Aufbau und die Funktionsweise der
einzelnen Komponenten beschrieben. Dem schließt sich eine Behandlung der für das Verständnis dieser Arbeit unverzichtbaren Elektrodynamik an. Der letzte Teil dieses Kapitels
ist der Beschreibung des Split-Ring-Resonators gewidmet. Dabei werden Modelle zu unterschiedlichen Aspekten der Split-Ringe präsentiert.
Im zweiten Teil der Arbeit werden die Auswirkungen verschiedener Spaltbreiten, der Ringfläche und der lateralen Dichte der Spilt-Ring-Resonatoren untersucht. Die zuvor besprochenen Modelle werden auf ihre Eignung zur Beschreibung der Messergebnisse geprüft.
Darüber hinaus ist mit den Ergebnissen ein zielgerichteter Entwurf der Split-Ringe für
zukünftige Aufgaben möglich.
Der dritte Teil stellt das Kernthema dieser Arbeit da. Es werden zwei Methoden zur Vollcharakterisierung der Split-Ring-Resonator Proben beschrieben und anschließend kombiniert, um zu einer zuverlässigen Bestimmung der effektiven optischen Materialparameter
zu gelangen. Die erste Methode erfordert eine aufwendige Probenherstellung. Diese konnte
effizienter und präziser gestaltet werden. Es sei auch noch auf den Anhang verwiesen, in
dem der Leser Näheres zu einem 4x4 Matrixformalismus zur Berechnung von Spektren
erfährt.
4
1 Einleitung
5
2 Grundlagen
2.1 Terahertz Spektroskopie
2.1.1 Prinzipieller Aufbau
Der prinzipielle Aufbau des verwendeten Spektrometers ist in Abbildung 2.1 gezeigt. Es
besteht aus einem Mach-Zehnder-Interferometer. Bei Sperrung des Referenzarmes kann es
als reines Transmissionsspektrometer verwendet werden. Als Strahlungsquelle kommt ein
“Backward-Wave-Oscillator” (BWO) zum Einsatz. Diverse Linsen, Spiegel und Polarisatoren(Analysatoren) dienen dem Führen und Anpassen des quasi-optischen Strahls. Zum
Detektieren der Strahlung wird eine Golay-Zelle eingesetzt. Der Strahl wird mit einem
Chopper moduliert. Anschließend wird das Signal mit einem Lock-in-Verstärker ausgelesen.
Die Chopper-Modulation wird nur im Transmissionsmodus des Spektrometers verwendet.
Als Interferometer kann die Phasenverschiebung gemessen werden. Dies erfolgt über Än-
10
7
8
tr
pt
11
1
2
3
4 5
6
9
12
Abb. 2.1: Mach-Zehnder-Interferometer. (1) Backward Wave Oscillator, (2) Polyethylenlinsen,
(3) Chopper, (4) Attenuatoren, (5) Polarisator/Analysator, (6) Drahtspiegel, (7) verschiebarer
Steuerspiegel, (8) Probenhalter mit Diaphragma, (9) Beamstopper, (10) Golay-Zelle mit Lock-inVerstärker, (11) Datenaufnahme, (12) elektronischer Steuerblock
derung der optischen Weglänge ∆l. Zusammen mit der bekannten Probendicke d kann die
6
2 Grundlagen
Phase (2.1) frequenzabhängig bestimmt werden.
pt(ω) =
2π
(∆l(ω) + d)
λ(ω)
(2.1)
In der Diplomarbeit wurde sowohl das Interferometer als auch das Transmissionsspektrometer eingesetzt. Letzteres wurde bei allen Untersuchungen verwendet. Das Interferometer
wurde nur in Kapitel 4 zur Charakterisierung der Proben bzgl. ihrer Materialkonstanten
benötigt.
2.1.2 Strahlungsquelle
BWOs gehören zu den klassischen Elektrovakuum-Mikrowellengeneratoren. Allerdings liegen die emittierten Wellenlängen deutlich unter denen herkömmlicher Generatoren. Des
Weitern sind sie über einen großen Frequenzbereich durchstimmbar. Sie erreichen zudem
Ausgangsleistungen, die im Bereich einiger 10 mW liegen. Ihre Strahlung ist nahezu vollständig polarisiert und hoch monochromatisch. Die abgestrahlten Frequenzen sind in guter
Näherung proportional zur Wurzel der angelegten Hochspannung. Sie sind zudem hochreproduzierbar. In Abbildung 2.3 ist diese Charakteristik für die primäre Strahlungsquelle dieser Arbeit gezeigt. Daneben existieren Quellen für einen Frequenzbereich zwischen
38 GHz und 1200 GHz. Abbildung 2.2 zeigt den typischen Aufbau eines Backward-WaveOscillators. In einer Vakuumröhre befindet sich eine beheizte Kathode. Die austretenden
Abb. 2.2: Schematische Zeichnung des Aufbaus eines
Backward Wave Oscillators:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Heizwendel
Kathode
Elektronenstrahl
Kollektor (Hochspannungsanode)
Permanentmagnet
Elektronenbremssystem
Elektromagnetische Strahlung
Wellenleiter und Strahlungsausgang
mögliche Wasserkühlung. Graphik aus [15]
Elektronen werden zu der gegenüber liegenden Kollektoranode, an der eine Hochspannung zwischen 0.4 - 6 kV anliegt, beschleunigt. Zusätzlich werden sie durch ein externes
Magnetfeld gebündelt. Bevor sie die Anode erreichen, laufen sie an einer periodisch beschleunigenden und abbremsenden, kammähnlichen Elektrode vorbei. Dadurch gruppieren
2.1 Terahertz Spektroskopie
7
Frequenzcharakteristik
Backward Wave Oscillator (Quelle BWO 120)
Frequenz [GHz]
120
Abb. 2.3: Frequenz - Spannungscharakteristik der Backward Wave Oscillator Quelle BWO 120. Zwischen
anliegender Hochspannung und Frequenz gilt annähernd
der Zusam√
menhang f ∼ U . Die Quelle arbeitet in einem Frequenzbereich von
62 bis 122 GHz.
100
80
60
500
1000
1500
Spannung [V]
sich die Elektronen periodisch in Haufen und geben einen Teil ihrer kinetischen Energie
an das elektromagnetische Feld ab. Dies geschieht in einer rückwärts laufenden elektromagnetischen Welle und ist mit einer großen Kohärenz verbunden. Über einen Wellenleiter
gelangt diese Strahlung an eine Hornantenne, wo sie gebündelt abgegeben wird. Die Frequenzstabilität ist durch die Qualität der Hochspannungsquelle bestimmt. Die verwendete
Spannungsquelle besitzt eine Toleranz von weniger als 20 mV. [15]
2.1.3 Signaldetektion
Mit der Golay-Zelle kommt ein pneumatischer Strahlungsdetektor zum Einsatz. Die Detektion beruht auf der Wärmeentwicklung bei Absorption der Strahlung. In Abbildung 2.4
wird das Funktionsprinzip erläutert. Die Strahlung fällt durch das transparente Polyety-
Abb. 2.4: Schematischer Aufbau einer GolayZelle:
4
8
2 3
7
1
5
6
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Polyetylenfenster
Absorptionsmembran
verspiegelter Dehnungsmembran
abgeschlossenes Gasvolumen
Fokussieroptik
Photodiode
Spaltpupille
LED Lichtquelle
8
2 Grundlagen
lenfenster und wird anschließend an einer Membran absorbiert. Die entstehende Wärme
hat eine kleine Druckänderung und somit eine Volumenänderung zur Folge, wodurch eine zweite Membran bewegt wird. Diese ist auf der Außenseite verspiegelt. In der oberen
Hälfte wird das Licht einer Leuchtdiode (8) über eine Fokussieroptik (5) auf diese Membran (3) fokussiert. Das rückreflektierte Licht fällt über eine schmale Spaltpupille auf eine
Photodiode. Da zwischen der Ausdehnung der Membran und der einfallenden Intensität
ein bekannter Zusammenhang besteht, kann nach einer Kalibration des optischen Systems
das Messsignal gewonnen werden. Dieses Signal ist zunächst frequenzunabhängig, da nur
Volumenänderungen nachgewiesen werden. Die Frequenzabhängigkeit wird über den BWO
geliefert. Eine Kalibrationsmessung dient dazu die Intensitätscharakteristik der Strahlungsquelle aufzunehmen. Danach wird die eigentliche Messung mit der Probe aufgenommen.
Um das Probensignal zu erhalten, wird diese Messung durch die Kalibrationsmessung geteilt. Die Quellencharakteristik ist damit beseitigt. Dieses Verfahren führt zu einer praktisch
kompletten Temperaturunabhängigkeit. Ein weiterer Vorteil der Golay-Zelle ist, dass sie
ohne Kühlung bei Raumtemperatur betrieben werden kann. Für die Intensität der BWOStrahlung ist ihre Empfindlichkeit ausreichend.
2.2 Elektrodynamische Grundlagen
2.2.1 Maxwellgleichungen
Metamaterialien bestehen aus kleinen, meist metallischen Struktureinheiten, die auf ein
dielektrisches Substrat aufgebracht sind. Zusammen mit diesem können Metamaterialien
als homogenes Medium betrachtet werden. Dies ist auf Grund der geringeren Strukturgröße
verglichen mit den relevanten Wellenlängen gerechtfertigt. Zwischen ihnen liegt ein Faktor
von 10. Da es keine freien Ströme und Ladungen gibt, gelten die Maxwellgleichnungen in
folgender Form.
~
~ ×E
~ = −1 ∂ B
∇
c ∂t
~ ×H
~ = 1∂D
~
∇
c ∂t
~B
~ = 0
∇
~D
~ = 0
∇
Sie bilden die Grundlage aller Spektrenberechnungen in dieser Diplomarbeit.
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
2.2 Elektrodynamische Grundlagen
9
2.2.2 Materialgleichungen
Beschreiben die Maxwellgleichungen die Wechselwirkung und Entwicklung elektromagnetischer Felder, so bestimmen Materialgleichungen die Auswirkung dieser im Medium. Da
die untersuchten Split-Ring-Resonatoren eine Kopplung zwischen elektrischen und magnetischen Feldern aufweisen, wird ein allgemeiner Ausdruck, der diese Kopplung beinhaltet
für die Materialgleichungen erforderlich.[16]
r
µ
0
~
~ = 0 ˆr E
~+
ξˆH
(2.6)
D
0
r
0
~
~ = µ0 µ̂r H
~ +
ζ̂ E
(2.7)
B
µ0
~ ist durch die Dielektrizitätskonstante 0 ˆr - in dieser Arbeit
Die elektrische Flussdichte D
~ verknüpft. Gedankzukünftig als Permittivität bezeichnet - mit dem elektrischen Feld E
lich kann der Einfluss des elektrischen Feldes auch durch die hervorgerufene elektrische
~ = 0 E
~ + P~ , wobei 0 die Permittivität des
Polarisation P~ verstanden werden. Es gilt D
~ im Ringmedium einen BeiVakuums ist. Zusätzlich kann eine magnetische Feldstärke H
~ induziert einen Strom im Ring, der
trag zur elektrischen Flussdichte liefern. Das Feld H
ein elektrisches Feld im Spalt erzeugt. Deshalb muss eine weitere Materialkonstante ξ berücksichtigt werden.
~ führt die magnetische Leitfähigkeit µ0 µ̂r , im Weiteren
Bei der magnetischen Flussdichte B
als Permeabilität bezeichnet, zur Verbindung
mit
der magnetischen Feldstärke. Analog zur
~
~
~
elektrischen Flussdichte gilt B = µ0 H + M , wobei µ0 die Permeablität des Vakuums
ist. Das magnetische Feld erzeugt im Medium eine Magnetisierung. Allerdings muss hier
noch berücksichtigt werden, dass ein elektrisches Feld im Split-Ring-Medium einen Beitrag zur magnetischen Flussdichte liefern kann. Ein elektrisches Feld entlang des Spaltes
erzeugt einen Strom im Ring. Dies hat ein Magnetfeld zur Folge. Deswegen muss eine weitere Materialkonstante ζ eingeführt werden. Die Tatsache, dass diese beiden zusätzlichen
Materialkonstanten zur korrekten Beschreibung der elektromagnetischen Felder notwendig
ist, wird als Bianisotropie bezeichnet.
Es ist anzumerken, dass die Materialkonstanten dispersiv und somit eine Funktion der
Frequenz sind.
2.2.3 Stetigkeitsbedingungen
Die Grenzbedingungen folgen aus der Stetigkeit der elektromagnetischen Felder an der
Grenze zweier unterschiedlicher Medien. Für die normalen Komponeten der magnetischen
10
2 Grundlagen
Flussdichte bzw. elektrischen Flussdichte folgen aus den Gleichungen 2.4 bzw. 2.5 die Bedingungen:
~+ +D
~ − ) − (D
~+ +D
~ − ) ~n = 0
(D
(2.8)
1
1
2
2
~ 2− ) ~n = 0
~ 2+ + B
~ 1− ) − (B
~ 1+ + B
(2.9)
(B
Die Normalkomponenten der Flussdichten müssen demnach auf beiden Seiten der Grenzfläche identisch sein. Analog folgen die Grenzbedingungen für die tangentialen Komponenten
- H2
E2 -k
2
+
E2
k2
+
H2
-
E1
H1
-k 1
ε2 , μ 2
n
+
E1
k1
+
ε1 , μ 1
Abb. 2.5: Skizze zur Veranschaulichung der
verwendeten Bezeichnungen für die elektromagnetischen Felder. Gezeigt sind die Tangentialkomponenten beiderseitig einer ebenen Grenzfläche. Bei den Normalkomponenten erfolgt die gleiche Bezeichnung.
H1
des elektrischen bzw. magnetischen Feldes aus den Gleichungen 2.2 bzw. 2.3.
~+ + E
~ − ) − (E
~+ + E
~ − ) × ~n = 0
(E
1
1
2
2
~ 1+ + H
~ 1− ) − (H
~++H
~ − ) × ~n = 0
(H
2
2
(2.10)
(2.11)
Auch hier müssen die Komponenten auf beiden Seiten identisch sein. Die Bedeutung der
Bezeichnungen ist aus Abbildung 2.5 ersichtlich. Sie zeigt für den senkrechten Einfall die
tangential auftretenden Komponenten. Angemerkt sei, dass der senkrechte Anteil des Wellenvektors nicht erhalten wird.
2.3 Berechnung der Spektren für senkrechten Einfall
Aus den Transmissions- bzw. den Phasespektren, die mit dem Spektrometer gemessen
werden können, soll das untersuchte Split-Ring-Metamaterial in seinen Materialkonstanten
charakterisiert werden. Um aus diesen experimentellen Daten zu den genannten Konstanten
zu gelangen, ist es notwendig die Spektren zu berechnen. Hier werden die Grundlagen
erläutert, die erforderlich sind, um bei einem zur Probenoberfläche senkrechten Einfall der
Strahlung zu Ergebnissen zu gelangen. Die Berechnungen basieren auf der von Abeles und
Jones eingeführten Matrixmethode.[17, 18]
2.3 Berechnung der Spektren für senkrechten Einfall
11
2.3.1 Bestimmung der Dispersionsrelationen
Als Dispersion wird die Frequenzabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit bzw. des Wellenvektors bezeichnet. Mit den Materialgleichungen (siehe 2.7) und den Maxwellgleichungen
(siehe 2.5) kann der Wellenvektor ~k in Abhängigkeit der Frequenz bestimmt werden. Hierfür werden in allen Rechnungen ebene Wellenfronten angenommen. Mit dieser Annahme
folgen die Divergenzgleichungen aus den Rotorgleichungen. Es bleibt:
~k × E
~ = ω µ̂H
~ + 1 ζ̂ E
~
(2.12)
c
c
1
ω
~k × H
~ + ξˆH
~
~ =−
ˆE
(2.13)
c
c
Die Gleichungen 2.12 und 2.13 können auf nachfolgende Gleichung reduziert werden.
c~
~ + 1 ξˆµ̂−1~k × E
~ = − ω ˆE
~+
k × µ̂−1~k × E
ω
c
c
1~
~ − ω ξˆµ̂−1 ζ̂ E
~
k × µ̂−1 ζ̂ E
c
c3
(2.14)
Sie kann zu einer Eigenwertgleichung umgeformt werden. Die Eigenvektoren entsprechen
den Eigenwellen oder Polarisationen. Unter der Annahme eines senkrechten Einfalls gibt es
nur zwei unabhängige Polarisationen. Die zugehörigen Eigenwerte sind die Dispersionsrelationen. Letztere werden für die Propagation der elektromagnetischen Wellen im Medium
benötigt.
2.3.2 Berechnung der Transfermatrizen
Mit den Eigenpolarisationen, den Dispersionsrelationen und den Grenzbedingungen kann
eine Beziehung zwischen den elektromagnetischen Feldern beider Seiten einer ebenen Grenzfläche hergestellt werden und damit das Verhalten, d.h. Reflexion und Transmission beschrieben werden. In Abbildung 2.6 ist die Grenzschicht Luft-Ringmedium gezeigt. Hierfür
sind die auftretenden elektrischen Felder mit der gebräuchlichen Notation gezeigt. Des
Weiteren ist ein Beispiel für das in dieser Diplomarbeit verwendete Koordinatensystem
skizziert. Bei einem senkrechten Einfall reduziert sich die Abbildungsmatrix T auf eine
2x2-Matrix. Magnetische Felder lassen sich durch elektrische ausdrücken.
+
+
E2
E1
=T
(2.15)
−
E2
E1−
E1 bzw. E2 sind hier Komponenten des elektrischen Felds. Das Zerlegen in die unterschiedlichen Richtungen wird in dieser Arbeit als ±-Bild bezeichnet. Andererseits muss auch die
Propagation im Ringmedium beschrieben werden. Dabei sorgt die Propagation durch das
Ringmedium bis zur nächsten Grenzschicht für das Aufsammeln einer Phase. Auch hier
12
2 Grundlagen
Luft
Ringmedium
+
E2
E2
+
E1
E1
E/H
k
x
y
1
2
+'
E2
-'
E2
Abb. 2.6: Elektrische Felder an einer ebenen
Grenzfläche. Mit der Transfermatrix werden
die Felder einer Seite auf die der anderen abgebildet. Der Index “+” bzw. “-” gibt die Propagationsrichtung der Welle an. Für die konkrete Berechnung ist ein Koordinatensystem
nötig. Ein Beispiel ist links unten skizziert.
z
können die Elemente an den Grenzflächen mit einer Matrize P in Beziehung gebracht werden. Da nur Eigenpolarisationen betrachtet werden, gibt es nur diagonale Elemente in der
Propagationsmatrix.
+0 + ik d
+
E2
E2
e 2
0
E2
=P
=
(2.16)
−
−ik2 d
−0
E2
0 e
E2−
E2
Hier ist d die Dicke des Ringmediums und k die Komponente des Wellenvektors in zRichtung. Beide anderen Komponenten sind unter senkrechtem Einfall identisch mit Null.
2.3.3 Transmission für Einschichtsysteme
Als Modell für die Probe wird ein Einschichtsystem bestehend aus der Abfolge LuftRingmedium-Luft verwendet. Die einfallende Welle durchläuft, wie anhand Abbildung 2.7
gezeigt, zwei Grenz- und eine Phase ansammelnde Schicht. Die gesamte Transfermatrix
ergibt sich aus dem Produkt der einzelnen Matrizen.
M = T−1 P · T
(2.17)
Mit der Transfermatrix M können die Transmission- und Reflexionskoeffizienten berechnet
werden. Diese Koeffizienten sind durch das Verhältnis zur von links her einlaufenden Welle
E1+ gegeben und damit auf eins normiert. Die von rechts einlaufende Welle E3− wird auf
Null gesetzt, da die Reflexion von nachfolgenden optischen Elementen und des Detektors
vernachlässigt werden kann.
Es ergibt sich:
t
1
=M·
0
r
(2.18)
2.4 Rechnungen zu allgemeinen anisotropen Proben
Luft
1
Ringmedium
Luft
13
3
2
+
+
E1
E3
E1
E3
-
-
E/H
{
k
T
P
T
-1
Abb. 2.7: Transfermatrix für Einschichtsysteme. Die Transfermatrix setzt sich aus dem Produkt
dreier Matrizen zusammen: (1) T, die Transfermatrix der Grenzschicht Luft - Ringmedium; (2)
P, die Propagationsmatrix für das Ringmedium; (3) T−1 , die Transfermatrix der Grenzschicht
Ringmedium - Luft
Mit Gleichung 2.18 kann der Reflexionskoeffizient r und der Transmissionskoeffizient t berechnet werden.
Alle weiteren Einflüsse auf das vom Detektor gemessene Spektrum werden vernächlässigt.
Systematische Abweichungen sind nicht zu erwarten, da die Rauigkeit der Probe einige Größenordnungen unterhalb der relevanten Wellenlängen liegt. Insbesondere sind auf Grund
einer geringen Dispersion der Split-Ring-Resonatoren keine signifikanten Fehler durch die
Annahme einer ebenen Welle zu befürchten. Die maximale Abweichung der auf die Probe
fallenden Wellenvektoren verglichen mit dem senkrecht einfallenden Wellenvektor beträgt
10 Grad. Die Frequenzverschiebung der Resonanz der Split-Ringe bleibt kleiner als 1 GHz.
Es ist somit keine räumliche Frequenzfilterung notwendig.
2.4 Rechnungen zu allgemeinen anisotropen Proben
2.4.1 Einführung in die Problematik
Da das Split-Ringmedium nicht nur anisotrop, sondern auch noch bianisotrop ist, also ein
optisches Medium geringer Symmetrie darstellt, eignet sich die Methode [18] nicht, um
die Eigenvektoren und Eigenwerte bei nicht verschwindenden kx bzw. ky Komponenten,
also bei einem schräg gegenüber der Probenoberfläche auftreffenden Strahl, zu bestimmen
14
2 Grundlagen
und damit die Spektren berechnen zu können. Im Folgenden wird Teitlers und Henvis
4x4-Matrix Formalismus [19] zur Lösung des Problems dargestellt.
2.4.2 Berechnung der Eigenwellen im 4x4 Formalismus
Ausgangspunkt sind die Materialgleichungen, die in Gleichung 2.19 etwas kompakter formuliert sind. Alle Materialkonstanten entsprechen wie zuvor 3x3-Matrizen. Die gesamten
Parameter sind somit in einer 6x6-Matrix dargestellt, deren nichtdiagonale Elemente für
das Ringmedium durch die Bianisotropie hervorgerufen werden.
~
~
D
ˆr ξˆ
E
=
(2.19)
~
~
ζ̂ µ̂r
B
H
~ = M~Γ abzukürzen. Die elektromagneEs bietet sich an, diese Gleichung in der Form C
~
tischen Felder sind ebene Wellen ~Γ = ~Γ0 ei(k~r−ωt) , wobei sich der Feldvektor ~Γ aus elekT
trischen sowie magnetischen Komponenten Ex Ey Ez Hx Hy Hz zusammensetzt.
Damit können die Maxwellgleichungen in folgender Form (Gl. 2.20) dargestellt werden.
RΓ = −
iω
MΓ
c
(2.20)
R ist ebenfalls eine 6x6-Matrix, in deren Elementen die Komponenten des Wellenvektors
vorkommen. Nun werden die Feldkomponenten Ez und Hz mit Hilfe der Maxwellgleichung
eliminiert, denn sie lassen sich durch die übrigen Komponenten ausdrücken. Die zu lösende
Eigenwertgleichung lautet nun:
 
 
Γ1
Γ1



kz 
Γ
 2
Γ2 
(2.21)
ω Γ  = S Γ 
4
4
c
Γ5
Γ5
Da die normalen Komponenten nicht mehr auftreten, ist die Grenzflächenmatrix in dieser
4x4-Formulierung gerade die Einheitsmatrix, d.h. nur die Progationmatrix ist zu bestimmen. Die Eigenvektoren und Eigenwerte kz der Matrix S werden nun berechnet.
2.4.3 Bestimmung der Transmissionskoeffizienten
Sind die vier Eigenwerte kzj und die zugehörigen vier Eigenpolarisationen V~j bestimmt,
kann die Transfermatrix P des Ringmediums berechnet werden. P hat eine diagonale Form
mit den Elementen eikzj d . Damit diese Transfermatrix auch verwendet werden kann, müssen die elektromagnetischen Feldvektoren auf den Eigenraum des Ringmediums abgebildet
2.5 Schwingkreismodell
15
werden. Dies geschieht durch die invertierte Matrix V−1 .
V = V~1 V~2 V~3 V~4
(2.22)
Die Spalten dieser Matrix bestehen aus den Eigenvektoren der Matrix S. Die neue Transfermatrix lautet nun P∗ = V · P · V−1 .
Als nächstes können die Transmissions- und Reflexionskoeffizienten bestimmt werden. Aus
Gründen der Eindeutigkeit dieser Koeffizienten werden sie nach den Propagationsrichtungen der beteiligten Wellen im Vakuum geordnet. Um die Transferkoeffizienten in diesem
Bezugssytem zu bekommen, muss die Transfermatrix P∗ in dem Eigenraum des Vakuumsystems abgebildet werden. Dies geschieht mit den Eigenvektoren des Vakuums in der
4x4-Formulierung:
Vvac = V~vac1 V~vac2 V~vac3 V~vac4
(2.23)
Die endgültige Transfermatrix P0 ist durch die folgende Transformation gegeben:
−1
P0 = Vvac
· P∗ · Vvac
(2.24)
Im neuen Bezugssytem (±-Bild) sind die Wellenamplituden, d.h. die Transferkoeffizienten,
nach Gleichung 2.25 bestimmt.




txx + txy
1




0
0 rxx + rxy 


(2.25)
tyy + tyx  = P 

1
0
ryy + ryx
Neben den normalen Transmissionen und Reflexionen in x- bzw y-Richtung, sind auch um
90 Grad gedrehte Wellenamplitudenwellen vorhanden. Diese Polarisationsdrehung hat ihren Ursprung in diesem Fall in den nichtdiagonalen Termen der Materialmatrix M und ist
durch die Bianisotropie der Ringe zu erklären. Die Polarisationsdrehung tritt bei kx oder
ky ungleich Null auf. Analytische Rechnungen sind hier nicht mehr möglich. Deshalb werden die Spektren numerisch berechnet. Eine ausführlichere Beschreibung dieser Methode
befindet sich im Anhang bzw. in [20].
2.5 Schwingkreismodell
Die Frequenzabhängigkeit der Materialparameter wird im Rahmen eines RLC-Schwingkreismodells beschrieben. [21] Split-Ring-Resonatoren zeigen elektromagnetische Resonanzen bei strukturabhängigen charakteristischen Frequenzen. Für die Grundmode kann das
Verhalten durch das in Abbildung 2.8 skizzierte Schaltbild wiedergegeben werden. Dabei
16
2 Grundlagen
wird der einzelne Spilt-Ring als Rechteckschleife mit einer Induktivität L betrachtet. Mit
der Spaltöffnung ist eine Kapazität C verknüpft. Der Dämpfung der Resonanz wird mit
einem ohmschen Widerstand Rechnung getragen. Die Maschenregel für die Spannungen
Abb. 2.8: Analogie zum RLC - Schwingkreis. Die Grundmode des SplitRing-Resonators lässt sich mit einem
Schwingkreis verstehen. Der Einfluss
des Spalts wird mit einem Kondensator
C beschrieben. Der Ring kann als einzelne Schleife einer Spule L verstanden
werden und die Dämpfung als ohmscher
Widerstand R.
U = UR + UL + UC ermöglicht die Berechnung des Frequenzverhaltens. U ist die anregende
externe Spannung.
Resonanzfrequenz und Dämpfung
Zur Bestimmung der Resonanzfrequenz kann auf eine externe Anregung verzichtet werden.
Es muss die homogene Differentialgleichung, umgeschrieben auf die zeitabhängige Ladung,
gelöst werden.[22]
Q
LQ̈ + + RQ̇ = 0
(2.26)
C
Hier wurden die üblichen Definitionen für die Impedanz der Kapazität bzw. der Induktivität
verwendet. Als Lösung folgt unmittelbar nach Einsetzen von Q = Q0 e−iωt :
r
R
1
R2
, ω0 =
− 2
(2.27)
ω1/2 = γi ± ω0 mit γ =
2L
LC 4L
Der Realteil der Lösung ist die Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Der Imaginärteil entspricht der Dämpfung.
Resonanzstärke und Form
Im Gegensatz zu den letzten Überlegungen muss eine externe Anregung der Split-Ringe
mit einbezogen werden. Ausgangspunkt ist damit Gleichung 2.28.
1
U = I R + iωL +
(2.28)
iωC
2.5 Schwingkreismodell
17
1
Somit lautet die Impedanz: Z = R + iωL + iωC
. Für den durch die externe SpannungsU
quelle erzeugten Strom gilt I = Z . Nun werden die elektrische, die magnetische sowie die
magnetoelektrische Suszeptibilität berechnet. Mit ihnen sind alle in den Materialgleichungen auftretenden Parameter beschrieben. Die Bedeutung der im Folgenden verwendeten
Strukturparameter ist in Abbildung 2.9 zu erkennen.
Elektrische Anregung am Spalt Die externe Spannung wird im ersten Fall durch eine
elektrische Anregung erzeugt. In guter Näherung ist sie durch die elektrische Feldstärke am
Spalt gegeben U = Eg. Da der Spaltdurchmesser g wesentlich kleiner ist als die Wellenlänge
anregenden Lichts, kann die elektrische Feldstärke räumlich gesehen als konstant betrachtet
werden. Die Stromstärke I ist jetzt noch unbekannt. Zur Berechnung der resultierenden
Stromstärke ist es notwendig, die elektrische bzw. die magnetische Dipolmomentdichte zu
kennen. Zunächst wird die Stromstärke durch die Magnetisierung M ausgedrückt. Dazu
wird angenommen, dass sich der Split-Ring als Leiterschleife betrachten lässt.
I=
M VE
SSR
(2.29)
Der Strom ist gleich dem magnetischen Dipolmoment M VE geteilt durch die Ringfläche
SSR . Damit kann unter Verwendung von Gleichung 2.28 das Verhältnis der Magnetisierung zur elektrischen Feldstärke berechnet werden. Diese ist gerade die in Gleichung 2.7
auftretende Materialkonstante ζ mit einem zusätzlichen Faktor −i:
Eg
M
gSSR
M VE
√
=
⇒ −i 0 µ0 ζ =
=
SSR
Z
E
VE Z
(2.30)
Das Verhältnis beschreibt die Stärke der Magnetisierung bei elektrischer Anregung der
Ringe.
Die Stromstärke wird nun durch die elektrische Dipolmomentdichte berechnet. Über die
Bestimmung dieser Polarisation erhält man die elektrische Suszeptibilität χe und mit ihr
die Permittivität. Da sich die Ladung am Spalt konzentriert, ist die elektrische Dipoldichte
P = VQgE des Rings durch die geladenen Spaltseiten Qg charakterisiert. Der Strom I = iωQ
ermöglicht es das Verhältnis der Polarisation zur elektrischen Feldstärke zu berechnen:
I = iω
P
g2
P VE
⇒ 0 χe =
=
g
E
VE Z
(2.31)
Magnetische Anregung des Rings Im zweiten Fall werden die Split-Ringe durch ein
externes Magnetfeld senkrecht zur Ringebene angeregt. Die Ursache für die Ankopplung an
den Schwingkreises ist die Induktion. Sie hat zur Folge, dass die externe Spannung durch
U = −iωµ0 SSR H gegeben ist. Zusammen mit den weiter oben hergeleiteten Ausdrücken für
18
2 Grundlagen
g
VE
Abb. 2.9: Bezeichnungen für Rechnung zur
Resonanzstärke. Mit g wird die Spaltbreite
des Ringes bezeichnet. Sie wird für Potentialdifferenz im Spalt verwendet. Die Fläche des
Rings SSR wird zur Berechnung der Induktionspannung benötigt. Das Volumen der Einheitszelle VE wird bei Polarisation und Magnetisierung eingesetzt.
SSR
die Stromstärke, einmal durch die Magnetisierung M das andere Mal durch Polarisation P
beschrieben, erhältqman für die magnetische Suszeptibilität χm bzw. die magnetoelektische
Suszeptibilität i0 µ00 ξ, wie sie in der Materialgleichung 2.6 auftritt:
2
−iωµ0 SSR
M
=
H
VE Z
P
−µ0 gSSR
√
i 0 µ0 ξ =
=
H
VE Z
χm =
(2.32)
(2.33)
ξ beschreibt das Verhältnis der Polarisation zur magnetischen Feldstärke. Bei allen auftretenden Feldern werden bei der Rechnung ihre Komponenten verwendet. Mit den Suszeptibilitäten ist das Frequenzverhalten aller Materialkonstanten des Ringmediums bekannt.
2.5.1 Effektive Materialparameter
Die relative Permittivität r ist aus der Summe der frequenzabhängigen elektrischen Suszeptibilität χe und einer statischen Substratpermittivität s gegeben r = s + χe . Gleiches
gilt für die Permeabilität µr = 1 + χm . Hier sind r und µr Komponenten. Die Kreuzsuszeptibilitäten ξ und ζ sind den obigen Überlegungen zur Folge dem Betrag nach gleich
groß. Sie werden ab jetzt nicht mehr unterschieden. Da keine weiteren Effekte zu einer
Kopplung zwischen magnetischem und elektrischem Feld auftreten, ist das in der Materialgleichung 2.7 eingeführte ζ identisch mit −ξ. Wird in der Impedanz die Resonanzfrequenz
und Dämpfung eingesetzt, erhält man:
r r
∆ξω0 ω
µ0 C gSSR
ξ= 2
; ∆ξ =
(2.34)
2
ω0 − iωγ − ω
0 L VE
χe =
∆ω02
1 Cg 2
;
∆
=
ω02 − iωγ − ω 2
0 VE
(2.35)
2.5 Schwingkreismodell
19
χm =
2
∆µω 2
SSR
;
∆µ
=
µ
0
ω02 − iωγ − ω 2
LVE
(2.36)
Die
√ Stärke des Kreuzterms ξ ist im Allgemeinen nach obenhin eingeschränkt, es gilt ∆ξ ≤
∆∆µ. Im besonderen Fall des Split-Rings, beschrieben mit einem RLC-Schwingkreis,
ist der Kreuzterm durch ξ 2 = χe χm gegeben. Er liegt für das Split-Ring-Resonatormedium
viele Größenordnungen über dem Wert in natürlich vorkommenden Materialien. [23]
2.5.2 Modellkapazität des Split-Ring-Resonators
Im Großteil wird die Kapazität der Ringstruktur durch die Spaltöffnung bestimmt. Für
die Leiteranordnung des Spaltes werden zwei Modellgeometrien betrachtet: Einerseits zwei
durch die Spaltbreite g getrennte Metallzylinder, andererseits zwei Metallkugeln - ebenfalls
mit einem Abstand g von einander entfernt. Die Kapazität der Zylinderanordnung ist in
Gleichung 2.37 gegeben, wobei die Zylinder die Länge w und Durchmesser t besitzen.[24]
CZ =
π0 r w
arccosh gt
(2.37)
Für die beiden Kugeln mit einem Durchmesser von D = (t + w)/2 gilt für die Kapazität:
D
CK = 2π0 r D 1 +
(2.38)
g
Für den Durchmesser der beiden Kugeln wurde der Mittelwert aus der Höhe der Split-
a
b
D
D
w
g
c
g
t
Abb. 2.10: Modelle für die Kapazität eines Split-Ring-Resonators. (a) Zwei Kugeln mit einem
Durchmesser von D und einem Abstand von g. (b) Zwei Zylinder der Länge w mit einem Durchmesser von t. Hierbei ist g die Spaltbreite, w die Breite und t die Höhe des Metalls des Split-Rings.
D ist der arithmetische Mittelwert von w und t. (c) Die tatsächliche Kapazität eines Split-Rings
wird durch Hinzufügen einer parallel geschalteten Arm-Kapazität besser beschrieben.
20
2 Grundlagen
Ring-Struktur t und der Metalldicke w gewählt. Die seitlichen Arme des Split-Rings mit
einer Länge l tragen ebenfalls noch zur Kapazität der Struktur bei. Für sie kann auch eine
Zylinderanordnung als Modell herangezogen werden. Die Gesamtkapazität ergibt sich aus
der Summe beider Kapazitäten C = C0 + CK|Z . Es entspricht einer Parallelschaltung des
Spalt- und Armbeitrages, wie sie in Abbildung 2.10 (c) skizziert ist. Die Armkapazität wird
mit C0 bezeichnet. Bei schwacher Dämpfung ist die Resonanzfrequenz des Split-Rings die
Wurzel aus dem Produkt der Kapazität und Induktivität.
ν0 =
1
1
√ p
2π L C0 + CK|Z
(2.39)
2.5.3 Modellinduktivtät des Split-Ring-Resonators
Als Modell zur Bestimmung der Induktivität der Split-Ring-Resonatoren dient eine quadratische Metallschleife, die einen kreisförmigen Querschnitt besitzt. In diesem Fall lässt
sich die Induktivität durch:
√
D
4l2
√
(2.40)
L = 2lµ0 ln
+ −2+ 2
2l
Dl(1 + 2)
beschreiben.[25] Der Durchmesser des Querschnittes D ist die mittlere Länge aus Höhe t
und Breite des Metalls w des Split-Rings. Die Arme der Schleife besitzten die Länge l.
l
l
D
Abb. 2.11: Modell für die Induktivität eines
Split-Ring-Resonators. Die Induktivität eines Split-Rings lässt sich mit einer Rechteckschleife kreisförmigen Querschnitts beschreiben. Diese besitzt Kantenlängen von l. Der
Durchmesser des Querschnitts beträgt D,
dem arithmetischen Mittel der Metallbreite
und Höhe des Split-Rings.
2.6 Wechselwirkungsmodelle
Um die Wechselwirkung der einzelnen Resonatoren untereinander zu berücksichten, sind
zwei Kopplungsmechanismen denkbar. Einerseits ist eine induktive Kopplung möglich, die
die Auswirkungen des magnetischen Feldes eines Ringes auf dessen Nachbarn beschreibt.
2.6 Wechselwirkungsmodelle
21
Andererseits kann eine kapazitive Kopplung vorliegen, welche die Wechselwirkung der elektrischen Felder der Ringe betrachtet. Da sich gezeigt hat, dass eine induktive Kopplung
der Ringe gut in der Lage ist die experimentellen Beobachtungen zu erklären, wird nur
diese Form der Wechselwirkung näher betrachtet. Ähnliche Überlegungen können für eine kapazitive Kopplung durchgeführt werden. Diese sind jedoch um einiges komplizierter
auszuwerten.
2.6.1 Induktive Kopplung
Es wird die Resonanzfrequenz des wechselwirkenden Systems berechnet. Hierfür wird die
Gleichung 2.26 um induktive Kopplungsterme Mα und Mβ der nächsten Nachbarn erweitert. Es wird keine externe Anregung angenommen. [26]
Mα Q̈j−1,k + Mα Q̈j+1,k + Mβ Q̈j,k−1 + Mβ Q̈j,k+1 + LQ̈j,k +
Qj,k
+ RQ̇j,k = 0
C
(2.41)
Die Bedeutung der Bezeichnung ist Abbildung 2.12 zu entnehmen. Das Ringmedium wird
dabei als zweidimensonaler Kristall betrachtet, bei denen die Ringe miteinander wechsel−i(ωt−~
q~
rj,k )
wirken. Dabei wird die zeitabhängige Ladung mit einem Phasenfaktor
Qj,k = Qe
q
versehen, wobei für die Phasenkonstanten (Wellenvektor) ~q = α ebenfalls zwischen den
qβ
beiden Richtungen
in der Ebene der Ringe unterschieden wird. Der Abstand der Ringe ist
jdα
durch ~rj,k =
definiert, wobei dα und dβ die Gitterkonstanten der Ringschicht sind.
kdβ
Die Lösung der Differentialgleichung für die nächsten Nachbarn lautet:
q
iR ± −R2 + C8 (Mα cos(qα dα ) + Mβ cos(qβ dβ )) + 4L
C
(2.42)
ω1/2 =
4(Mα cos(qα dα ) + Mβ cos(qβ dβ )) + 2L
Bei senkrechtem Einfall verschwindet der Wellenvektor. Die Resonanzfrequenz vereinfacht
sich zu:
q
8
4L
2
1 −R + C (Mα + Mβ ) + C
(2.43)
ν0 =
2π
4(Mα + Mβ ) + 2L
Sie lässt sich auch durch die alte Resonanzfrequenz ohne Wechselwirkung νalt ausdrücken:
q
8(Mα +Mβ )
1 + 4L−R
2C
ν0 = νalt
(2.44)
2(Mα +Mβ )
1+
L
Wenn der ohmsche Widerstand vernächlassig werden kann, ist das neue Frequenzverhalten
leicht zu verstehen. Ist die Summe aus Mα und Mβ positiv und gößer als null, so ist die
22
2 Grundlagen
Mβ
Qj, k+1
dβ
L
Mα
C
Qj-1, k
R
Qj, k
dα
M
β
Qj, k-1
Mα
Qj+1, k
Abb. 2.12: Schaltbildskizze für die Berechnung der induktiven Kopplung der
Split-Ring-Resonatoren. Es wird zwischen horizontaler und vertikaler Richtung unterschieden. Die Gegeninduktivitäten der Nachbarringe werden mit
Mα/β , der Abstand der Ringe mit dα/β
bezeichnet. Die Ladungen erhalten einen
Summationsindex, der die Position des
Ringes beschreibt. Die Ringe unterscheiden sich nur durch eine abstandsabhängige Phase, falls der Wellenvektor ungleich null ist.
neue Resonanzfrequenz kleiner als νalt . Umgekehrt wird sie größer als νalt sein, wenn die
Summe der Gegeninduktivitäten negativ ist.
23
3 Untersuchung unterschiedlicher
Strukturparameter der SRRs
Im Folgenden werden die Auswirkungen der Strukturparameter auf die Resonanzeigenschaften untersucht. Mit den Strukturparametern wird die geometrische Form und der
Abstand der Split-Ring-Resonatoren verändert. Ziel ist es prinzipielle Zusammenhänge zwischen Strukturgrößen und der Grundmodenresonanz zu erschließen. Mit diesen Erkenntnissen kann der Entwurf der Split-Ringe zukünftig gezielt erfolgen, so dass sie die gewünschten
Resonanzeigenschaften aufweisen. Da die elektrischen Eigenschaften des Ringmaterials, d.
w
g
l t
l
a
a
Abb. 3.1: Split - Ring - Resonatoren. Links: In dieser Arbeit werden die folgenden Bezeichnungen verwendet g: Spaltbreite, w: Breite des Metalls, l: Länge und Breite des Rings, t: Höhe
der Struktur, a: Abstand der Split-Ringe. Rechts: Lichtmikroskopaufnahme einer Split - Ring Resonatorprobe.
h. die Leitfähigkeit, nicht variabel sind, werden sie als konstant in allen Untersuchungen
angenommen. Dem Lorentz-Drude-Modell zufolge ist die Veränderung der Leitfähigkeit im
betrachteten Frequenzbereich kleiner als 0.03 %. Unter Berücksichtigung des Skin-Effekts
liegt der elektrische Widerstand R für die größte Struktur im Bereich von 1.0 Ω und ist etwa
43 % größer als für die kleinste hergestellte Struktur. Da die Induktivität der Split-Ringe in
24
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
der Größenordnung von 1.0 · 10−8 H oder darunter liegt, ist der Einfluss des ohmschen Widerstands vernächlässigbar. Typischerweise besitzen die untersuchten Ringe eine Kapazität
von 1.0 · 10−14 F . Auch Temperatureinflüsse verursachen keine nennenswerten Veränderungen. Es bleibt also die Kapazität und die Induktivität der Struktur zu berücksichtigen.
Beide sind durch die in Abbildung 3.1 gezeigten Strukturparameter beeinflussbar. Im Folgenden werden die Spaltbreite g sowie die Ringfläche l2 variiert.
3.1 Probenherstellung
Die in dieser Arbeit untersuchten Split-Ring-Resonatoren besitzen typische Abmessungen von 400 µm. In Tabelle 3.1 sind die Strukturparameter der hergestellten Ringe einsehbar. In Abbildung 3.1 sind die verwendeten Strukturgrößen aufgezeigt. Die ResonaTyp
A
B
C
D
E
F
G
l /mm
0.5
0.5
0.5
0.3
0.5
0.4
0.35
w /mm
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
0.05
g /mm
0.1
0.1
0.3
0.1
0.2
0.2
0.17
t /mm
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
a /mm
0.2
0.4
0.4
0.3
0.4
0.4
0.35
ν0 /GHz
60
<60
75.5
129
66
93
107.5
Tabelle 3.1: Übersichtstabelle hergestellter Split - Ring - Resonatoren. Neben diesen wurden noch
weitere Resonatoren hergestellt, die sich an die Typen D, E, F und G anlehnen. Ausgehend von
diesen wurde die Spaltbreite g, Ringfläche l2 oder der Abstand a der Resonatoren variiert. Für
Typ B liegt die Frequenz der Grundmode niedriger als 60 GHz.
toren werden mittels eines photolithographischen Verfahrens in der Elektronikwerkstatt
des physikalischen Instituts hergestellt. Zunächst wird eine Maske mit den gewünschten Strukturen gedruckt. Diese Maske wird zur UV-Belichtung einer Glasfaser - Epoxy
Platte benötigt. Sie weist eine Dicke von 0.5 mm auf und ist mit einer Positiv- Fotolack
bedeckten Kupferschicht beklebt. Die anschließende Entwicklung der belichteten Platte
findet in einem Kaliumhydroxid-Bad statt. Das aufgedeckte Kupfer wird in einer 50 ◦ C
warmen Eisen(III)chlorid Lösung entfernt. Das Substrat besitzt eine Permittivität von
s = 4.8+0.14i. Die dielektrische Konstante wurde aus einem Fit des gemessenen Transmissionsspektrums bestimmt. Dieses ist in Abbildung 3.2 einsehbar. Die Probendicke beträgt
im Mittel 0.523 mm.
3.2 Ringspektrum
25
1
Messdaten
Theoriefit
0.9
Abb. 3.2:
Transmissionspektrum
einer
Glasfaser-Epoxy Platine im Frequenzbereich
zwischen 62 und 260 GHz. Durch Anpassen
der Theorie (rote Linie) wurde die Permittivität zu s = 4.8 + 0.14i bestimmt.
Dieses Material dient als Substrat der
Split-Ring-Resonatoren.
Transmission
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
100
150
200
250
Frequenz [GHz]
3.2 Ringspektrum
Bevor die Ergebnisse der Strukturuntersuchungen präsentiert werden, wird auf eine für
diese Arbeit typische Transmissions- bzw. Phasenmessung hingewiesen. In Abbildung 3.3
und 3.4 ist ein Beispiel solcher Messungen im Frequenzbereich zwischen 60 und 260 GHz
gezeigt. Jeder Messung geht eine Leermessung ohne Probe voraus. Zu sehen sind die ersten elektromagnetischen Moden des Typs G. Die Grundmode liegt bei 107 GHz. Sie ist
die charakteristische Resonanz des Split-Ring-Resonators und wird durch den Spalt hervorgerufen. Da bei ihr ein magnetisches Moment entsteht, wird sie als “magnetisch” bezeichnet. Sie kann allerdings elektrisch wie magnetisch angeregt werden. Im hier gezeigten
Fall (schwarze Punkte) wird sie elektrisch angeregt, indem das einfallende elektrische Feld
parallel zum Spalt steht. Mit den roten Punkten in Abbildung 3.3 ist die Transmission
gezeigt, bei der das elektrische Feld senkrecht zum Spalt steht. Diese Polarisation regt die
erste höhere Mode bei 212 GHz an. Die Phase gibt einen typischen Anstieg vor und nach
der Resonanz wieder. Die Phasenänderung und damit die Änderung des Realteils eines Materialparameters, entweder der Permittivität oder der Permeabilität, ist an der Resonanz
am größten. In diesem Fall fällt die Permittivität stark ab. Die Phasenmessung wird für
die folgenden Untersuchungen keine Rolle spielen. Allerdings wird sie im zweiten Teil der
Diplomarbeit wichtig werden. Des Weitern ist nur die Grundmode interessant. Alle höheren Moden werden u.a. deshalb nicht betrachtet, da Streueffekte dann nicht vernachlässigt
werden können.
3.3 Einfluss der Spaltbreite
Ausgehend vom RLC-Schwingkreismodell in dem der Spalt eine Kapazität darstellt, wird
die Spaltgeometrie durch zwei Kugeln mit Radius (w + t)/2 und Abstand g beschrieben. Damit besitzt der Spalt eine Kapazität, die durch Gleichung 2.38 gegeben ist. Weil
26
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Transmission
Probe: G a = 0.35 mm
1
Transmission
E-Feld senkrecht Spalt
E-Feld parallel Spalt
0.1
100
150
200
250
Frequenz [GHz]
Abb. 3.3: Transmissionspektrum eines Split-Ring-Resonatormediums des Typs G im Frequenzbereich von 60 bis 260 GHz. Der Wellenvektor steht senkrecht auf der Ringebene. In Schwarz
ist das Spektrum bei einer Polarsation des elektrischen Feldes parallel zum Spalt gezeigt. Die
Grundmode wird bei 107.5 GHz angeregt. In Rot ist die Transmission für das elektrische Feld
senkrecht zum Spalt aufgetragen. Die erste höhere Mode liegt bei 212 GHz. Daneben existieren
für den Split-Ring-Resonator viele weitere höhere Moden.
die Gesamtkapazität nur annäherungsweise durch die Spaltkapazität gegeben ist, wird das
Schaltbild des Schwingkreises um eine weitere parallelgeschaltete Kapazität erweitert. (siehe Abb. 2.10 (C)) In Abbildung 3.5 ist das Ergebnis der Untersuchung zusammengefasst.
Bei drei unterschiedlichen Split-Ringen E, F und G wurde die Spaltbreite variiert. Sie unterscheiden sich durch ihre Ringfläche l2 . Die durchgezogenen Linien wurden mit Gleichung
2.39 und einer entsprechenden Anpassung an die Daten erstellt. Es stellt sich heraus, dass
der Durchmesser der Kugeln D größer angenommen werden muss, als von der tatsächlichen
Struktur vorgegeben. Bei den Messungen des Typs G musste der Durchmesser um einen
Faktor von 1.86 vergrößert werden. Deshalb wurden auch Anpassungen mit einer Zylindergeometrie des Spaltes durchgeführt. Für diese Fits musste die Höhe des Split-Rings t um
52 % reduziert werden, die Breite des Metalls sogar um 76 %.
Da die Stärke der Ankopplung des elektrischen Feldes mit kleiner werdender Spaltgrö-
3.3 Einfluss der Spaltbreite
27
Optische Dicke
Probe: G a = 0.35 mm
1.6
elektrisches Feld senkrecht zu Spalt
elektrisches Feld parallel zu Spalt
Optische Dicke [mm]
1.4
1.2
1
0.8
100
150
200
250
Frequenz [GHz]
Abb. 3.4: Phasenspektrum eines Split-Ring-Resonatormediums des Typs G (s. Abb. 3.3) im Frequenzbereich von 60 bis 260 GHz. Die Phase pt ist hier als optische Dicke d = pt
k der Probe mit
k = 2πν
aufgetragen.
c
steht
für
die
Lichtgeschwindigkeit
und
ν
für
die
Frequenz.
An der Resoc
nanz kommt es zu einem starken Abfall der optischen Dicke. Das Rauschen in der Umgebung von
150 GHz ist durch die Strahlungsquelle bedingt.
ße abnimmt und somit auch die Resonanzstärke abnimmt, sind die Resonanzfrequenzen
in diesem Bereich mit größeren Messungenauigkeiten versehen. Zusätzlich ist die Reproduzierbarkeit im Frequenzbereich unterhalb von 75 GHz auf Grund der Strahlungsquelle
geringer. Da die Kapazität mit der Spaltbreite abnimmt, steigt die Resonanzfrequenz an.
Die Frequenzabhängigkeit kann gut wiedergegeben werden, auch wenn ein korrektes Modell der Kapazität weder durch die Kugeln noch die Zylinder gegeben ist. Die Unterschiede
zwischen den Typen E, F und G sind durch verschiedene Induktivitäten und damit auch
unterschiedlicher restlicher Kapazität C0 bedingt. Denn mit einer Vergrößerung der Ringfläche geht auch eine Änderung der Armkapazität einher. Es ist daher zu erwarten, dass
bei größen Ringflächen die Spaltkapazität dominiert. Am besten lässt sich ein Fit für den
größten Strukturtyp E erzeugen. Allerdings wurden hier nur vier verschiedene Spaltbreiten
untersucht.
28
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Spaltbreitenvariation
120
Typ E (l = 0.5 mm)
Typ F (l = 0.4 mm)
Typ G (l = 0.35 mm)
110
ν0 [GHz]
100
90
80
70
60
0.1
0.2
0.3
0.4
Spaltbreite [mm]
Abb. 3.5: Die Resonanzfrequenz ist gegen Spaltbreite aufgetragen. Die Spaltbreite wurde bei
den Ringtypen E, F und G variert. Das Fitten der Daten erfolgte mit der Formel 2.39. Die
verwendete Kapäzität setzt sich aus der des Spaltes und der des Armes zusammen. Es zeigt sich,
dass die Kapazität des Spaltes (zwei Kugeln) größere Durchmesser der Kugeln erfordert, damit
der gemessene Verlauf wiedergegeben werden kann.
3.4 Einfluss der Ringfläche
Indem die Ringfläche variiert wird, kann der Einfluss der Induktivität auf die Resonanzfrequenz untersucht werden. Allerdings ist hier der Einfluss der Kapazität der beiden Arme zu
berücksichtigen, da sich diese mit zunehmender Fläche ebenfalls verändert. Deswegen wird
die Veränderung aufgrund der Induktivität bei großen Ringflächen besser wiedergegeben.
Da mit der Resonanzfrequenz nur das Produkt aus L und C bekannt ist, kann bei Variation
der Spaltbreite bei unterschiedlichen Flächen auf L zurückgeschlossen werden, vorausgesetzt Arm- und Spaltkapazität sind unabhängig. Im Weiteren wurde die Ringfläche bei
unterschiedlichen Dichten variiert. Da die laterale Wechselwirkung der Ringe untereinander berücksichtigt werden muss und diese bei der Flächenvariation nicht konstant bleibt,
wurden die Untersuchungen auch bei geringer Dichte vorgenommen. Des Weiteren wurde
bei einer Messreihe die Dichte entsprechend der Fläche der Ringe verändert, so dass der
3.4 Einfluss der Ringfläche
29
..
Flachenvariation
Typ: G g = 0.15 mm
140
140
120
120
ν0 [GHz]
100
80
100
0.08
80
60
0.12
0.16
0.2
0.7x0.7 mm (II)
1.15x1.15 mm (I)
konst a = 0.35 mm (I)
0.1
0.15
2
..
Ringflache [mm ]
0.2
0.25
Abb. 3.6: Die Resonanzfrequenz ist gegen Ringfläche aufgetragen. Die Spaltbreite ist konstant
und beträgt g = 0.15 mm. Die Messungen wurden bei unterschiedlichen Dichten durchgeführt. In
Rot ist die Variation der Fläche bei l +a = 0.7mm, in Grün bei l +a = 1.15mm und in Orange bei
a = 0.35mm aufgetragen. Für das Fitten wurde die Induktiviät Gl. 2.40 und die Armkapazität
1
Gl. 2.37 in die Formel f0 = √LC
eingesetzt. Ohne Berücksichtigung der Armkapazität, die sich
mit der Ringfläche verändert ist die Übereinstimmung schlechter (gepunktete Kurven). Das Inset
zeigt die Flächenvariation bei kreisförmigen Split-Ring-Resonatoren. Der Fit erfolgte hier mit der
Induktivität einer kreisförmigen Schleife.[27]
Abstand der Ringe konstant bleibt. In Abbildung 3.6 ist das Ergebnis der Untersuchungen gezeigt. Gestrichelt sind Fits ohne Berücksichtigung der Kapazität eingezeichnet. Dem
gegenüber entsprechen die durchgezogenen Linien Fits unter Berücksichtigung der Armkapazität. Sie zeigen eine bessere Übereinstimmung mit den experimentellen Daten. Für die
Induktivität geht Gleichung 2.40 in die Fitformel ein. Die Armkapazität gelangt durch Gleichung 2.37 in den Fit. Am besten wird der Verlauf bei konstantem Abstand der Ringflächen,
d. h. variabler Dichte, wiedergegeben. Damit kann die Induktivität einer Rechteckschleife
als gutes Modell für die Splitring-Resonatoren betrachtet werden, wenngleich die Fitkurven
einen 44% größeren Durchmesser liefern. Das Inset in Abbildung 3.6 zeigt den Verlauf bei
Variation der Fläche für kreisförmige Splitringe. Es wurde kein bedeutsamer Einfluss der
30
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Geometrie auf den Q-Faktor der Resonanz beobachtet. Der mittlere Q-Faktor beträgt 16.5
bei den kreisförmigen Strukturen und 12.3 bei den rechteckigen Strukturen.[27]
3.5 Dichtevariation
Nun wird die Strukturgröße a, der Abstand der Ringe untereinander, variiert. Alle anderen
Resonanzfrequenzverhalten
Typ F g = 0.15 mm
94
92
ν0 [GHz]
90
88
86
84
Probe I
Probe II
Probe III
Probe IV
82
80
0
1
2
3
4
-2
ρ [mm ]
Abb. 3.7: Die Resonanzfrequenz ist gegen die Dichte 1/(l + a)2 aufgetragen, wobei l+a die Länge
der Einheitszelle ist. Auf Grund unterschiedlicher Herstellungsparameter unterscheiden sich die
Proben I und II durch eine geringere Metalldicke von den Proben III und IV. Die Fitkurven
sind mit Hilfe von Gleichung 2.43 entstanden. Die Resonanzfrequenz nimmt bei der skizzierten Einheitszelle mit der Dichte zu, da die effektive Induktivität der Ringe reduziert wird. Der
beobachtete Verlauf lässt sich mit dem Modell der induktiven Kopplung gut erklären.
Parameter werden konstant gelassen. Somit ändert sich die Abmessung der Einheitszelle
und damit die Dichte. Da ohne eine Wechselwirkung der Ringe nur eine Änderung der
Resonanzstärke auftritt, wird mit der Dichteuntersuchung die Wechselwirkung der Ringe
studiert. In systematischer Form ist dies noch nicht in der Literatur zu finden. Deshalb wurden mehrere Dichteserien hergestellt und deren Transmissionsspektren aufgenommen. Für
3.5 Dichtevariation
31
die Wechselwirkung wird eine induktive Kopplung angenommen. Sie kann die gewonnenen
Ergebnisse bis auf eine Ausnahme erklären.
In Schritten von 50 µm wurde die Einheitszelle des Typs F von 550 - 1800 µm vergrößert.
Die Resonanzfrequenz, die Stärke ∆s und die Dämpfung γ wurden bestimmt. Hierfür wurde die Resonanz in den Transmissionspektren mit der Formel CeiLorentz gefittet. Mit der
Konstanten C wird der Einfluss der Permittivität des Substrats berücksichtigt. Die Resonanz wird mit einer Lorentzfunktion, wie sie in Gleichung 2.35 zu finden ist, beschrieben.
Der Frequenzbereich wird für das Fitten auf die Umgebung der Resonanz berschränkt.
..
Starke
..
Dampfung
Typ F g = 0.15 mm
Typ F g = 0.15 mm
10
0.5
B
A
Probe I
Probe II
Probe III
Probe IV
9
8
0.3
7
0.2
γ [GHz]
∆s [wilk. E.]
0.4
6
0.1
0
5
0
1
2
3
-2
ρ [mm ]
4
1
2
3
4
4
-2
ρ [mm ]
Abb. 3.8: Resonanzstärke und Dämpfung bei unterschiedlichen Dichten. (A) Es ist die Stärke
∆s für verschiedene Proben aufgetragen. Sie steigt linear mit der Dichte an. (B) Hier ist die
Dämpfung γ gegen die Dichte aufgetragen. Über einen großen Bereich bleibt die Dämpfung im
Mittel konstant. Bei hohen Dichten ist ein geringer Anstieg zu beobachten. Die Proben I und
II besitzen eine geringere Metalldicke als die Proben III und IV. ∆s und γ wurden über einen
Lorentzfit K1 eiLorentz der Resonanz bestimmt. Die Konstante K1 trägt der von eins verschiedenen
Substratpermittivität Rechnung. Die Einheitszelle ist in Abbildung 3.7 gezeigt.
In Abbildung 3.7 sind die gemessenen Resonanzfrequenzen gegen die Dichte aufgetragen.
Die Einheitszelle ist ebenfalls skizziert. Die unterschiedlichen Proben sind dem Herstellungsverfahren geschuldet. Sie besitzen leicht abweichende Metalldicken w. Mit steigender
32
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Dichte nimmt die Resonanzfrequenz zu. Bei kleinen Dichten läuft sie für Typ F(I) gegen
87 GHz für Typ F(II) gegen 83 GHz. Wie erwartet, wird der Einfluss der Kopplung für
geringe Dichten immer kleiner und ab einer Länge der Einheitszelle von 1.4 mm spielen
die Nachbarn keine Rolle mehr. Durch das magnetische Feld der nächsten Nachbarn wird
die effektive Induktivität des einzelnen Split-Rings reduziert, da es dem Feld im Inneren
des Rings entgegengesetzt ist. Die Abstandsabhängigkeit des magnetischen Feldes einer
Metallschleife [28] innerhalb der Ringebene wurde numerisch berechnet und durch das Potenzgesetzes A1 x−3 +A2 x−6 angenähert. A2 ist lediglich 0.84% von A1 . Dieses Gesetz ist für
sehr kleine Abstände zum Metall nicht gültig. Diese Abstände werden aber nicht untersucht,
da das Herstellungsverfahren hierzu nicht ausgelegt ist. Für die den Messdaten angepassten
Theoriekurven wurde die genannte Abstandsabhängigkeit in die Gegeninduktivität Mα/β
eingesetzt (siehe Gleichung 2.43, Grundlagen). Für diese wechselseitige Induktivität ist ein
negatives Vorzeichen zu wählen. Weiter wurde angenommen, dass Mα = Mβ ist und damit
die induktive Kopplung nicht richtungsabhängig ist. Mit diesen Überlegungen kann das
beobachtete Verhalten erklärt werden.
In Abbildung 3.8 ist die Stärke und die Dämpfung der Resonanzen gezeigt. Da die Anzahl
der beleuchteten Ringe linear mit der Dichte ansteigt, nimmt die Stärke ebenfalls linear
zu. Im Gegensatz dazu oszilliert die Dämpfung stark. Ab einer Dichte von 2.5 mm−2 ist
ein Ansteig zu erkennen. Die Dämpfung ist durch den Resonator gegeben und wird durch
Strahlungsverluste bestimmt. Der mittlere Q-Faktor beträgt 14.
3.5.1 Symmetrisierte Einheitszelle
Nun wird die Einheitszelle der Ringe des Typs F erweitert. Die neue Einheitszelle ist in
Abbildung 3.9 skizziert. Durch ein Paar um 180 Grad gedrehte Ringe ist sie symmetrischer
und beinhaltet nun zwei Split-Ringe. Im Folgenden wurde die Größe dieser neuen Einheitszelle variert und die Transmission bestimmt. Daraus wurde die Resonanzfrequenz bestimmt
und gegen die Dichte aufgetragen. Das Ergebnis ist in Abbildung 3.9 gezeigt. Auch hier
gibt es auf Grund des Herstellungsverfahrens unterschiedlicher Metalldicke w der Proben.
In diesem Fall lässt sich der beobachtete Verlauf ebenfalls durch eine induktive Kopplung
zu den nächsten Nachbarn erklären. Da diese um 180 Grad gedreht sind, fließt der Strom
entgegengesetzt und damit verändert sich auch das Vorzeichen des magnetischen Feldes
gegenüber dem betrachteten Ring. Somit muss das Vorzeichen von Mα/β positiv gewählt
werden. Bei kleiner Einheitszelle, d.h. bei großer Dichte, ist die Resonanzfrequenz am niedrigsten. Sie steigt bis zu einer Einheitszellenlänge von 0.75 mm an und fällt danach wieder
leicht ab, bis sie mit der Resonanzfrequenz des einzelnen nicht wechselwirkenden Ringes
übereinstimmt. Das mittlere magnetische Moment verschwindet bei dieser Anordnung und
somit tritt kein Kreuzterm ξ auf. Dies wird in Kapitel 4 eindrucksvoll nachgewiesen.
3.5 Dichtevariation
33
Resonanzfrequenzverhalten
Typ F (kein Kreuzterm)
87
Probe
Probe II
86
ν0 [GHz]
85
84
83
82
81
0.4
0.6
0.8
1
..
Lange der Einheitszelle [mm]
Abb. 3.9: Resonanzfrequenzverhalten bei einer symmetrisierten Einheitszelle. Die neue Einheitszelle ist rechts zusammen mit ihren beiden Translationsvektoren gezeigt. Hier ist die Resonanzfrequenz gegen die Länge der Einheitszelle aufgetragen. Sie nimmt im Gegensatz zur einfachen
Einheitszelle (siehe Abb. 3.7) mit steigender Länge zu, da die effektive Induktivität reduziert wird.
Dies hat seinen Ursprung darin, dass die Gegeninduktivitäten der Nachbarringe zu der Induktivität beitragen. Der Verlauf lässt sich mit Gl. 2.43 gut erklären. Probe I und II unterscheiden sich
durch ihre Herstellungsparameter.
3.5.2 Richtungsabhängigkeit der Wechselwirkung
Im nächsten Schritt wird die Richtungsabhängigkeit der Kopplung untersucht. Bisher wurde nicht zwischen Mα und Mβ unterschieden. Deshalb wird die Einheitszelle gezielt in einer
Richtung vergrößert und in der anderen konstant behalten. In Abbildung 3.10 ist der beobachtete Verlauf der Resonanzfrequenz für beide Richtungen gegen die Dichte aufgetragen.
Probe I und II unterscheiden sich wieder auf Grund verschiedener Herstellungsparameter.
Es zeigt sich, dass eine Richtungsabhängigkeit existiert. Senkrecht zu der Spaltöffnung in yRichtung (siehe Abb. 3.10) steigt die Resonanzfrequenz über dem gesamten Dichtebereich
an. Demgegenüber bleibt die Resonanzfrequenz in x- Richtung bis 2.1 mm−2 konstant. Zu
höheren Dichten legt die blaue Messreihe einen leichten Abfall der Resonanzfrequenz nahe.
34
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Resonanzfrequenzverhalten
..
Richtungsabhangigkeit
0.8xY
0.8xY II
Xx0.8
Xx0.8 II
92
Y
X
ν0 [GHz]
90
88
86
84
1
2
1.5
2.5
-2
ρ [mm ]
Abb. 3.10: Richtungsabhängigkeit der Wechselwirkung. Der Abstand der Ringe wurde in x- und yRichtung separat variiert. An Hand der schwarzen und roten Kurve zeigt sich, dass die Resonanzfrequenz mit der Dichte ansteigt, wenn der y- Abstand variiert wird. Demgegenüber verändert
sich die Resonanzfrequenz bei der blau und grünen Kurve mit dem x - Abstand der Ringe kaum.
In der Legende ist die Länge der Einheitszelle l+a in Millimetern angegeben. Probe I und II
unterscheiden sich im Herstellungsprozess.
Hiefür müssen weitere Dichten untersucht werden.
Es werden zwei Erklärungsansätze für dieses Verhalten vorgeschlagen. Einerseits wird weiter nur eine induktive Kopplung betrachtet. Dafür muss eine größere Abstandsabhängigkeit
von Mα mit negativen Vorzeichen gegenüber einem Mβ mit positiven Vorzeichen vorliegen.
Damit ist das magnetische Feld einer Metallschleife nicht mehr als Modell anwendbar. Andererseits könnte eine kapazitive Kopplung eine Erklärung bieten. Da sich die Ladungen
im Spalt konzentrieren, ist mit einer stärkeren Kopplung in y-Richtung zu rechnen. Ob die
induktive Kopplung zur Erklärung des Verhaltens alleine in Frage kommt, konnte nicht
abschließend geklärt werden. Hierfür sind komplexere Rechnungen zur Wechselwirkung der
Ringe notwendig.
3.6 Behandlung in der Literatur
35
3.6 Behandlung in der Literatur
In der Literatur wurden Strukturparameter für den Doppel-Split-Ring-Resonator (siehe
Abbildung 1.1 und [7]) untersucht. In [29] wurde der Einfluss der Spaltbreite numerisch
und experimentell untersucht. Zwar ist die Kapazität in den dort untersuchten Strukturen
eine andere, doch stimmt das Verhalten mit dem in dieser Arbeit überein. Mit numerischen
Simulationen wurde in [30] der Q-Faktor für unterschiedliche Split-Ring-Resonatoren Geometrien bestimmt. Kreisförmige Ringe zeigen dabei einen größeren Q-Faktor. Dies wurde
in dieser Arbeit bestätigt. In einem Aufsatz von Penciu et al. [31] wurde die Kopplungsmechanismen der Split-Ringe in der Ringebene untersucht. Mit numerischen Simulationen
haben sie zwischen induktiver und kapazitiver Wechselwirkung unterscheiden können. In
[32] wurden die Dichte sowohl in der Ringebene als auch senkrecht dazu variiert. Es zeigte
sich eine starke Kopplung der Ringe, die zudem abhängig von der Anordungsgeometrie
ist.
3.7 Zusammenfassung
Es wurden die Auswirkungen der Spaltbreite auf die Resonanzfrequenz untersucht. Es hat
sich herausgestellt, dass neben der Spaltkapazität auch noch die Arme als Korrekturterm
berücksichtigt werden müssen. Dieser wird um so größer je kleiner die Ringstruktur bei
fester Spaltbreite ist. Des Weiteren hat sich herausgestellt, dass die Kugel als Modell der
Kapazität eine zu große Abstandsabhängigkeit beschreibt, die Zylinder hingegen eine zu
kleine Abhängigkeit. Auch wurde die Ringfläche variert und die Resonanzfrequenz bestimmt. Hier hat sich das Modell der Rechteckschleife als gute Beschreibungsgrundlage
herausgestellt. Wird der Einfluss der Kopplung über die Dichte kompensiert und die Änderung der Armkapazität berücksichtigt, können die Beobachtungen sehr gut beschrieben
werden. Im dritten Teil der Untersuchungen wurde die Dichte variert und dabei die Resonanzparameter ν0 , ∆s und γ bestimmt. Es zeigte sich, dass ab einer Einheitszellenlänge
von 1.4 mm die Wechselwirkung der Ringe nicht mehr wesentlich ist und vernachlässigt
werden kann. Durch die Dichte hat sich die Resonanzfrequenz von 94 GHz bis 83 GHz
variieren lassen. Die Messungen an Ringproben mit zwei unterschiedlichen Einheitszellen
haben gezeigt, dass die induktive Kopplung eine gute Erklärung für die Wechselwirkung
ist. Zuletzt wurde die Richtungsabhängigkeit der Wechselwirkung untersucht.
3.8 Ausblick
Zwar können die verwendeten Modelle für die Kapazität und Induktivität das Verhalten der Ringe qualitativ beschreiben und ermöglichen die Resonanzeigenschaften von 60
bis 140 GHz beim Entwurf gezielt zu wählen, allerdings haben sich die Modelle für die
36
3 Untersuchung unterschiedlicher Strukturparameter der SRRs
Kapazität als mäßig gut erwiesen. Deshalb bleibt die Berechnung der Kapazität einer realistischeren Spaltgeometrie eine sinnvolle zukünftige Aufgabe. Mit Feldsimulationen lässt
sich die Kapazität der Struktur numerisch berechnen. Dies ist als weiterer Schritt denkbar. Unbeantwort ist die Frage nach der kapazitiven Kopplung der Ringe geblieben. Eine
Rechnung, analog zu der im Grundlagenteil gezeigten, ist möglich, allerdings deutlich komplexer als diese. Mit der Neumann Formel ist es möglich die Gegeninduktiviät exakt zu
berechnen. [28, 33] Da die kapazitive Kopplung der induktiven Kopplung für die einfache
Einheitszelle (s. Abb. 3.7) entgegenwirkt, ist es notwendig, gezielt die Spaltseite bzw. die
gegenüberliegende Seite gegeneinander zu stellen und den Abstand zu variieren.
37
4 Charakterisierung von
Split-Ring-Resonatoren mit
effektiven Parametern
Im ersten Teil wird der Ansatz, der von Chen et al. [34] zur Vollcharakterisierung bianisotroper Medien vorgeschlagen wurde, verfolgt. Nach einer Diskussion der Ergebnisse werden
die Nachteile dieser Methode aufgezeigt. Im zweiten Teil wird die Chiralität des Ringmediums ausgenutzt, um zu einer besseren Charakterisierung bezüglich des Bianisotropieterms
zu gelangen. Dazu wird die Messgeometrie verändert. Am Ende steht die direkte Bestimmung aller relevanten Materialparameter , µ und ξ aus dem Experiment.
4.1 3 Geometrien
4.1.1 Idee von Chen et al.
Ziel ist es, mit verschiedenen Probengeometrien eines Ringmediums eine genügend große
Zahl an Messgrößen zur eindeutigen Charakterisierung bezüglich seiner Permittivität, Permeabilität und Bianisotropie zur Verfügung zu haben. Da jeder der drei genannten Parameter komplex ist, sind sechs experimentelle Messungen für ein Ringmedium erforderlich.
Mit der Phase steht in jeder Geometrie neben der Transmission eine weitere Messgröße
bereit, so dass insgesamt drei unterschiedliche Geometrien untersucht werden müssen. In
[34] wurden hierfür die in Abbildung 4.1 gezeigten Geometrien vorgeschlagen, da mit ihnen
die Berechnung der Spektren innerhalb eines 2x2-Matrixformalismus möglich ist. Aus den
Spektren lassen sich die Materialparameter berechnen. In Geometrie 1 wird die Grundmode
rein elektrisch angeregt. [35] Nach einer Rotation um 90 Grad können die Ringe nicht mehr
angeregt werden. Auch bei den anderen Geometrien ist dies dann der Fall. Daraus lässt
sich das statische Epsilon der jeweiligen Geometrie bestimmen. Im Gegensatz zur ersten
Geometrie, bei der der k-Vektor senkrecht auf der Ringebene steht, ist er in den Geometrien 2 und 3 parallel zur Ringebene ausgerichtet. In Geometrie 3 wird die Grundmode
magnetisch angeregt, wohingegen sie in Geometrie 2 sowohl magnetisch, als auch elektrisch
angeregt werden kann. Die Idee ist nun, dass Geometrie 1 einen Zugang zur Permittivität
sowie dem Kreuzterm des Mediums erlaubt, Geometrie 3 von der Permeabilität und dem
38
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Abb. 4.1: Übersicht über die Proben
Geometrien. Bei Geometrie 1 steht der
einfallende Wellenvektor k senkrecht auf
der Ringebene. In dieser Konfiguration kann das elektrische Feld entweder
parallel (Resonanz aktiv) oder senkrecht
(Resonanz inaktiv) zum Spalt stehen. In
Geometrie 2 liegt der Wellenvektor in
der Ringebene. Die Resonanz wird durch
ein elektrisches Feld parallel des Spaltes und einem magnetischen Feld senkrecht der Ringebene angeregt. Bei Geometrie 3 liegt der Wellenvektor ebenfalls
in der Ringebene. Die Anregung kann
nur durch das magnetische Feld erfolgen.
Kreuzterm bestimmt ist und Geometrie 2 zur Verfügung steht, um die einzelnen Effekte
der drei Materialparameter unterscheiden zu können und somit ohne weitere Annahmen
auf diese schließen zu können.
4.1.2 Probenherstellung
Die hergestellten Strukturen lassen sich in zwei unterschiedliche Gruppen einteilen. Einerseits einzelne bzw. doppelte Reihen von Ringen mit einer typischen Länge von 18 Einheiten. Zur effizienteren Produktion von Stapel dieser Reihen werden vier Löcher gebohrt.
(2)
(1)
Abb. 4.2: Skizze zur Herstellung von Stapelproben. (1) Bohrmarkierungen. Die Löcher werden
anschließend mit Metalstiften verbunden und ermöglichen eine präzise Positionierung der Stapel
übereinander. (2) Sägemarkierungen. Mit einer Diamantdrahtsäge wird entlang dieser Markierungen der Stapel ausgeschnitten.
4.1 3 Geometrien
39
Mit Hilfe von Metallstiften können die Proben in genügender Genauigkeit übereinander
positioniert werden. Mit Kunstharz werden die einzelnen Reihen aufeinander geklebt. Die
geklebten Stapel werden mit Hilfe von Markierungen, wie sie in Abbildung 4.2 gezeigt sind,
an einer Diamantdrahtsäge ausgeschnitten. Leere Substratstücke werden als Abstandshalter zwischen den fertigen Ringreihen geklebt, wie in Abbildung 4.3 gezeigt. Um eine möglichst große Transmission zu erreichen, wird eine einzige Reihe der Ringe ausgeschnitten.
Einzelne Reihen besitzen eine mittlere Dicke von 0.8 mm. Die Reihen können wiederum
A
B
Abb. 4.3: Proben: (A) Aufnahme eines fertigen Stapels. (B) computergenerierte Ansicht eines
Arrays von Spilt-Ring Resonatoren. Nach dem Sägen entlang der schwarzen Markierungen werden
die Reihen der Ringe gestapelt und auf Platzhalter geklebt. Die Platzhalter bestehen aus leerem
Platinenmaterial.
nach Split-Ring-Resonatoren mit der Öffnung senkrecht und parallel zur langen Seite unterschieden werden. Andererseits werden Arrays der Ringe mit einer Länge von 15 bis 25
Einheiten pro Reihe hergestellt. Diese werden für die Verwendung ausgeschnitten. Damit
die dielektrische Umgebung der Stapelprobe mit der flachen Array-Probe übereinstimmt,
wird zwischen den Reihen eine leere Reihe eingefügt, weshalb sich die leeren Substratstücke
nur am Rand der Stapelprobe befinden.
4.1.3 Dispersionsrelationen
Für die genannten Geometrien wurden unter Verwendung der Materialgleichungen 2.7 und
der Maxwellgleichungen 2.5 die Dispersionsrelationen berechnet. In Tabelle 4.1 ist das
Ergebnis zu finden. Dabei wurde das im Grundlagenteil definierte Koordinatensystem verwendet, d.h. der Wellenvektor ist variabel, wohin gegen die Ringe nicht bewegt werden. Ein
40
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Beispiel dafür, wie sich die Materialparameter in Form von Tensoren zweiter Stufe für Geometrie 2 darstellen, ist in Abbildung 4.2 zu sehen. Das Koordinatensystem ist eingezeichnet
und wurde auch für die übrigen Geometrien verwendet. In den anderen Geometrien ist für
die Tensoren ξˆ und ζ̂ eine Rotation vorzunehmen. Für jeden Wellenvektor existieren zwei
Eigenpolarisationen. Bei den Polarisationen, bei denen eine Anregung der Resonanz mög-
Geo 1
Geo 2
Geo 3
~
k 
0
k 
0
 
k
0
0
 
0
0
k
Polarisation
  
Ex
0
 0 ;  0 
 0   Hz 
0
Hx
 0 ; Hy 
Ez   0 
0
0
Ey ;  0 
 0  Hz 
0
0
 0 ; Hy 
Ez   0 
0
Hx
Ey ;  0 
0 0
Ex
0
 0 ; Hy 
Ez
0
Dispersion ~k 2
2
µz x ωc2
µx z −
ξ 2 µµxy
ω2
c2
2
µz y ωc2
2
(µy z − ξ 2 ) ωc2
2
µx y ωc2
µy x − ξ 2 xz
ω2
c2
Tabelle 4.1: Dispersionsrelationen und Eigenpolarisationen der drei Geometrien in aktiver und
passiver Polarisation. In den Geometrien, in denen eine Resonanz angeregt werden kann, tritt der
Bianisotropieterm ξ auf.
lich ist, tritt der Bianisotropieterm ξ auf. Die inaktiven Richtungen im Ringmedium haben
konstante Materialparameter. In Richtung der Anregung wird, falls dies notwendig ist, für
die Materialkonstanten das Frequenzverhalten des Schwingkreismodells hinzugefügt.
4.1.4 Transfermatrizen
Die Stetigkeitsbedingungen an den Grenzflächen des Ringmediums werden benötigt, um die
Transfermatrizen zu berechnen. Das Ergebnis für eine Grenzfläche ist in Tabelle 4.3 zusammengefasst. Im Fall, dass die Split-Ringe elektrisch als auch magnetisch angeregt werden,
tritt der Bianisotropieterm ξ direkt in der Transfermatrix auf. Für die Transfermatrizen
der inaktiven Geometrien sei auf die Literatur verwiesen. [28]
~ ~
h e
k k
4.1 3 Geometrien
41
 
k
~k = 0

 0 
0 0 0
µx
ζ̂ = 0 0 −ξ  µ̂ =  0
0 0 0

 0
0 0 0
x
ξˆ = 0 0 0 ˆ =  0
0 ξ 0
0
x
y z
0
µy
0
0
y
0

0
0
µz
0
0
z
Tabelle 4.2: Beispiel für die Tensoren der Materialparameter µ, und ξ in Geometrie zwei. Links
ist der Split-Ring-Resonator mit dem verwendeten Koordinatensystem skizziert. Rechts sind die
zugehörigen Matrizen geschrieben. µ̂ und ˆ sind diagonal, wohingegen die beiden anderen Matrizen
einen Eintrag außerhalb der Diagonalen besitzen. Desweiteren gilt: ζ̂ = −ξˆT
Geo. 1
Geo. 2
Geo. 3
Transfermatrix
k µ
1 + k12 µxx2 1 −
1
1
2
1
2
1
2
1−
1+
1−
1+
1−
k1 µx2
k2 µx1
k1 µy2
k2 µy1
k1 µy2
k2 µy1
k2 x1
k1 x2
k2 x1
k1 x2
1+
−
+
ξω
ck2
ξω
ck2
1−
1+
k1 µx2
k2 µx1
k1 µx2
k2 µx1
!
1−
k1 µy2
k2 µy1
k1 µy2
k2 µy1
1+
!
k2 x1
k1 x2
k2 x1
k1 x2
−
+
ξω
ck2
ξω
ck2
!
Tabelle 4.3: Transfermatrizen einer Grenzfläche am Übergang Luft - Ringmedium für die Geometrien 1 bis 3. Die Polarisation des elektromagnetischen Feldes ermöglicht eine Anregung der
Resonanzen.
4.1.5 Messung
In Abbildung 4.4 ist die experimentelle und theoretische Transmission gezeigt. In Grün ist
die Geometrie 1 zu sehen, bei der die Ringebene senkrecht zum Wellenvektor steht und die
Resonanz rein elektrisch angeregt wird. Mit ihr lässt sich die Permittivität bestimmen. Die
Permeabilität spielt hier keine Rolle. Anders ist dies bei der in Rot gezeigten Geometrie 3,
bei der die Probe nur durch ein magnetisches Feld senkrecht zur Ringebene angeregt wird.
Bei ihr ist die Permittivität abgesehen vom statischen Hintergrund durch das Substrat
vernachlässigbar und die Permeabilität ist bestimmbar. In Tabelle 4.4 sind √die Fitparameter der Theoriekurven aufgelistet. Die Permeabilität ist hier durch ∆ξ = ∆∆µ kein
unabhängiger Parameter. Er verändert aber sowohl Stärke als auch Form und Position der
Resonanz. Die Theorie kann diese beiden Geometrien gut wiedergeben. Im Gegensatz dazu
wird die zweite Geometrie (Blau), bei der die Ringe elektrisch und magnetisch angeregt
werden können, nicht gut wiedergegeben. Abbildung 4.5 zeigt die zugehörige optische Dicke
42
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
∆
∆µ
∆ξ
ω0
γ
0.090 ± 0.01
0.025 ± 0.003
0.047 ± 0.02
105.6 GHz
7.32 GHz
Tabelle 4.4: Fitparameter zu den Theoriekurven in Abbildung 4.4 und 4.5. Eine Optimierung
gelingt nur in Geometrie 1 und 3. Geometrie 2 kann nicht gleichzeitig mit den anderen Geometrien
gefittet werden ohne große Abweichungen zu erhalten.
Transmissionspektren
Transmission
1
0.1
60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.4: Die Transmissionspektren der Geometrie 1 bis 3 zwischen 62 und 122 GHz. Die Punkte
repräsentieren gemessene Transmissionswerte. Die durchgezogenen Kurven zeigen die dazugehörige Theorie. In grün ist Geometrie 1 gezeigt. Der Wellenvektor steht senkrecht auf der Ringebene.
Die Ringe werden rein elektrisch angeregt. In blau ist Geometrie 2 zu sehen. Bei ihr liegt der Wellenvektor wie in Geometrie 3 in der Ringebene. Der Split-Ring wird elektrisch und magnetisch
angeregt. Die Theorie gibt diese Geometrie schlecht wieder. Rot ist Geometrie 3. Bei ihr wird
der Ring rein magnetisch angeregt. Zusätzlich sind Split-Ring-Resonatoren mit ihren zugehörigen
einfallenden Feldern skizziert.
4.1 3 Geometrien
43
Spektren der Optische Dicke
1.8
Optische Dicke [mm]
1.6
1.4
1.2
1
0.8
60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.5: Die optische Dicke der Geometrien 1 bis 3 im Frequenzbereich 62 bis 122 GHz. Grün:
Geometrie 1. Sie wird rein elektrisch angeregt. Blau: Geometrie 2. Die Anregung der Resonanz
erfolgt elektrisch als auch magnetisch. Rot: Geometrie 3. Sie wird rein magnetisch angeregt. Am
Ort der Resonanz fällt die optische Dicke des Medium stark ab. Damit verknüpft ist ein Abfall
des Realteils der Permittivität (Geometrie 1) bzw. der Permeabilität (Geometrie 3). In Geometrie
2 fallen beide Materialkonstanten an der Resonanzfrequenz ab.
der drei Geometrien. Auch hier ist die Diskrepanz zwischen Theorie und experimenteller
Messung bei Geometrie 2 auffällig. Um einen Vergleich der Geometrie 1 mit den Geometrien 2 und 3 zu ermöglichen, wurde in der Theorie die doppelte Probendicke für die 1.
Geometrie angenommen. Gedanklich wird damit eine Luftschicht hinzugefügt. Dies hat
zur Folge, dass sich die Größe des statischen Hintergrunds auf = 1.8+0.3i halbiert und
die Stärke ∆ = 0.09 reduziert. Bei Geometrie 2 und 3 ist die effektive Permittivität =
2.85+0.16i. Auch mit diesen Korrekturen ist die elektrische Resonanz deutlich ausgeprägter
als die magnetisch angeregte Resonanz.
44
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
4.1.6 Diskussion
Für Geometrie 2 wird eine Stärke und somit Tiefe der Resonanz erwartet, die zwischen den
beiden anderen Geometrien liegt. Gemessen wurde dagegen lediglich eine der rein magnetischen Anregungsgeometrie ähnliche Absorption. Des Weiteren ist eine Abweichung der
Resonanzform verglichen mit den anderen Geometrien auffällig. Beides lässt den Schluss
zu, dass sich elektrische und magnetische Anregungen wechselseitig beeinflussen. Da in der
Resonanz zwischen dem oszillierenden elektrischen und magnetischen Feld ein Phasenunterschied von π/2 besteht und dieser nicht mit den einfallenden Feldern übereinstimmt,
kommt es zu einer Dämpfung der Resonanz. Das externe Feld ist auch in der Resonanz
Transmission bei unterschiedlichem Azimut
1
-45°
-60°
-30°
-75°
Transmission
-15°
-90°
0°
75°
15°
60°
30°
45°
0.1
90
100
110
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.6: Winkelabhängigkeit der Transmission von Geometrie 3. Die Resonanz wird rein magnetisch angeregt. Die Hauptachse ist in der Probenebene um 45 Grad verschoben, so dass eine
maximale Absorption bei diesem Winkel auftritt. Bei minus 45 Grad findet keine Anregung statt.
Der Übersicht wegen sind die Spektren einiger Winkel gestrichelt eingezeichnet.
nicht vollständig in einer Phasenverschiebung von π/2, da die Ringe eine Ausdehnung in
Ausbreitungsrichtung besitzen. Die räumliche Ausdehnung wird in der Theorie nicht berücksichtigt. Gegen eine weitere Auswertung der Messungen sprechen mehrere Gründe, die
nun näher erläutert werden. Einerseits wurden drei unterschiedliche Proben hergestellt, da
4.1 3 Geometrien
45
die Charakterisierungen experimentell bedingt nicht mit einer einzigen Probe möglich sind.
Dies hat auf Grund des Herstellungsverfahrens schon etwas abweichende Ringstrukturen
in den Proben zufolge. Wesentlich bedeutsamer ist allerdings, dass die Beschreibungen im
Rahmen von effektiven Materialparametern einen direkten Vergleich zwischen Stapel und
einfacher Schicht nicht ermöglicht, wenn nicht auch für Geometrie 1 eine solche Schichtkonfiguration eingeführt wird. Damit ist der Qualität der Charakterisierung des Ringmediums eine experimentell bedingte Grenze gesetzt. Zudem hat sich herausgestellt, dass die
Doppelreihe von Geometrie 3
Geometrie 2 bei 45° Neigungswinkel
unterschiedlicher Azimut
unterschiedlicher Azimut
Transmission
1
B
0.1
A
60
1
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
Transmission
Transmission
1
C
80
100
Frequenz [GHz]
120 60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.7: Spektren einer Doppelreihe von Split-Ringen und der Hinweis auf andere Hauptachse
bei Geometrie 2. (A) Für unterschiedliche Azimutwinkel wurden die Transmissionspektren einer
Doppelreihe von Ringen der Geometrie 3 untersucht. Hier existieren ebenfalls Hauptachsen, die
um 45 Grad gegen die Ringebene verschoben sind. Die Breite der Resonanz ist der unterschiedlichen dielektrischen Umgebung der Ringe auf der Probe geschuldet. Diese entstand durch das
Kleben des Stapels. (B)&(C) Die Stapelprobe der Geometrie 3 wurde um 45 Grad gegen die
optische Achse geneigt. Der Wellenvektor steht damit nicht mehr senkrecht auf der Probenoberfläche. Für die P - Polarisation (B, Variation der elektrischen Feldstärke) und S - Polarisation (C,
Variation der magnetischen Feldstärke) wurde der Azimut variiert. Die maximale Absorption ist
zwischen 15 Grad und 30 Grad gegen die Ringebene verschoben.
Hauptachsen der Geometrie 3, der magnetisch angeregten Resonanz, um 45 Grad in der
Probenebene verschoben sind. Dies ist in Abbildung 4.6 gezeigt. Geometrie 2 zeigt dieses
46
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Verhalten nicht. Eine endgültige Erklärung konnte dafür noch nicht gefunden werden. Um
einen herstellungsbedingten Effekt ausschließen zu können, wurde eine weitere Probe der
Geometrie 3 hergestellt.
Die Spektren hierzu sind in Abbildung 4.7 zu finden. Es wurden Doppelreihen der Ringe ausgeschnitten und aufeinandergeklebt. Auch sie zeigen eine um 45 Grad verschobene
Hauptachse. Die breite Form der Resonanz ist Folge eines nicht homogen aufgetragenen Klebers. Unterschiedliche dielektrische Umgebungen haben unterschiedliche Kapazitäten der
Ringe, und damit unterschiedliche Resonanzfrequenzen zur Folge. Dies verdeutlicht auch,
warum bei den anderen Stapeln auf das Kleben der Ringe verzichtet wurde. Des Weiteren
konnten Hinweise gefunden werden, dass Geometrie 2 ebenfalls eine andere Hauptachse
besitzt. Allerdings liegt sie nicht in der Probenebene, sondern zeigt aus dieser heraus. Dafür wurde der Neigungswinkel - hier nicht gezeigt - variiert. Weitere Messungen können
genauere Erkenntnisse liefern. Ebenfalls wurde der bei unterschiedlichen Neigungswinkel
das Verhalten gegenüber dem Azimut untersucht. Bei 45 Grad Neigung (= Rotationsachse
liegt in der Probenebene) ist das Auftreten der maximalen Absorption 22.5 Grad gegen
die Ringebene verschoben. Dies ist anhand der beiden Messgraphen in Abbildung 4.7 gezeigt. Trifft der Wellenvektor nicht senkrecht auf eine Oberfläche, so muss zwischen Sund P-Polarisation unterschieden werden. Wird nun auch der Azimut variiert, so kann die
Amplitude des elektrischen und magnetischen Feldes variiert werden.
Zwar bietet die Methode abgesehen von experimentellen Schwierigkeiten genügend Messgrößen um neben µ und den Kreuzterm ξ formal zu bestimmen. Allerdings ist der Einfluss
ξ‘s auf die gemessenen Spektren gegenüber den anderen Parametern nicht zu unterscheiden und ermöglicht keine klare Identifizierung. Demnach können die bestimmten Werte
noch keine quantitative Aussage über die Bianisotropie liefern. In der Literatur wurde
der Einfluss der Bianisotropie bisher nur qualitativ oder in numerischen Experimenten
diskutiert.[36, 37] Die Vernachlässigung ist für Split-Ring-Resonatoren, wie sie hier untersucht wurden, nicht ohne Abweichung von den tatsächlichen Materialparametern möglich.
In allen bisherigen Veröffentlichungen wurde bei der Bestimmung der Permeabilität bzw.
Permittivität aus dem Experiment keine Bianisotropie betrachtet.[38] Da mit der beschriebenen Methode eine Vollcharakterisierung nicht sinnvoll ist, wurde sie nicht weiter verfolgt.
4.1.7 Zusammenfassung
Es wurden drei Proben der Ringstruktur G hergestellt und deren Transmission- und Phasenspektrum gemessen. Dazu wurden die Spektren berechnet und mit einem RLC - Schwingkreismodell die Resonanzform und Position bestimmt. Durch Anfitten aller drei Geometrien
konnten die Splitringe in ihren drei effektiven Materialparametern charakterisiert werden.
Dabei hat sich herausgestellt, dass die rein magnetisch angeregte Resonanz eine um 45
Grad verschobene Hauptachse besitzt. Dies wurde für eine weitere Probe der selben Geometrie bestätigt. Insgesamt ist die Methode allerdings zu unempfindlich gegenüber einer
Bestimmung des Kreuzterm ξ.
4.2 gekippte Geometrie
47
4.2 gekippte Geometrie
Die Split-Ring-Probe wird nun gegen die optische Achse verkippt. Der Wellenvektor steht
jetzt nicht mehr senkrecht auf der Probenebene. In dieser Konfiguration werden Transmissionsund Phasenspektren in unterschiedlichen Polarisationen gemessen und numerisch berechnet. Sie dienen dazu die Probe insbesondere im Bianisotropieterm ξ zu charakterisieren.
4.2.1 Idee hinter der Messung und Behandlung in der Literatur
Wie gezeigt wurde, konnte die Bianisotropie mit der zuvor untersuchten Methode nur ungenügend genau ermittelt werden. Mit dem Auftreten des Bianisotropieterms ξ in einigen Polarisationen ist eine Chiralität verknüpft, sobald die Probenebene nicht senkrecht auf dem
einfallenden Wellenvektor steht, wodurch es bezüglich dieser Polarisationen keine Drehspiegelachse mehr gibt. Damit folgt unmittelbar die Existenz einer Kreuzpolarisation, also
dem Auftreten einer Transmission mit senkrechter Polarisation gegenüber der einfallenden
Polarisation. Formal zeigt sich dies auch durch das Auftreten einer Kreuzpolarisation in
den Rechnungen für sehr dünne Ringproben, bei der eine quasistatische Näherung angenommen wurde. [39] Die gedrehte Transmission ist hier direkt proportional zu ξ. Durch
Messung dieser Transmission ist es demnach möglich, qualitative wie quantitative Aussagen über die Bianisotropie des untersuchten Ringmediums zu erhalten.
Behandlung in der Literatur
In der Literatur wurde diese Kreuzpolarisation schon gemessen.[36, 40] Allerdings konnte
die Bianisotropie dadurch nur nachgewiesen werden und nicht direkt bestimmt. Weitere
auftretende Effekte, die ihre Existenz der Bianisotropie verdanken, wurden ebenfalls beschrieben. Einfache Split-Ring-Resonatoren, wie sie Gegenstand dieser Arbeit sind wurden
diesbezüglich noch nicht untersucht. Gegenüber anderen Strukturen ist aber gerade bei
diesen mit dem Auftreten eines großen Kreuzterms zu rechnen. Insbesondere wurde auch
noch kein Formalismus zur Bestimmung dieser Materialkonstante aus experimentellen Daten bei nicht senkrechtem Wellenvektor vorgeschlagen. Dieses Problem konnte mit dem im
Grundlagenteil beschriebenen 4x4 Formalismus gelöst werden. Mit ihm kann die theoretisch
erwartete Transmission bei beliebigem Einfallswinkeln berechnet werden. Die Ergebnisse
werden nun beschrieben.[41]
4.2.2 Verhalten der Transmission im RLC-Schwingkreismodell
Zunächst wird das Verhalten der Transmission im RLC-Schwingkreismodell bei einer rein
elektrischen und rein magnetischen Anregung im Fall einer Neigung der Probenoberfläche
von 45 Grad gegen die optische Achse numerisch untersucht. Dafür wurde ein Programm in
48
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
..
Resonanzstarke
Einfluss Bianisotropie
Transmission
1
Transmission
1
elektrisch
magnetisch
0.1
0.1
0.35
0.30
0.25
80
0
0.5
0.8
1.0
}
}
∆ε, ∆µ
100
Frequenz [GHz]
120
80
s
100
Frequenz [GHz]
120
Abb. 4.8: Berechnete Transmission bei einer Neigung der Probe von 45 Grad gegen die optische
Achse. (A) Hier wurde die Resonanzstärke bei magnetischer Anregung ∆µ und bei elektrischer
Anregung ∆ variert für den Fall, dass keine Bianisotropie ∆ξ = 0 vorliegt. Elektrische und
magnetische Resonanz erscheinen getrennt. Die Resonanzfrequenz √
der magnetischen Anregung
ändert sich mit der Stärke. (B) Die Stärke der Bianisotropie ∆ξ = s ∆∆µ wird mit s von 0 bis
1 verändert. Zusätzlich ist in Grün das Auftreten der Kreuzpolarisation gezeigt. Bei elektrischer
Anregung erscheint eine Resonanz bei der Frequenz der magnetischen Anregung.
der objektorientierten Skriptsprache Python geschrieben mit Hilfe dessen die Transmission
bei unterschiedlichen Resonanzparametern berechnet werden konnte. Damit wird der Einfluss der Permittivität, der Permeabilität sowie des Kreuzterms ξ sichtbar. Letzterer wird
im nachfolgenden Experiment durch das Auftreten einer Kreuzpolarisation nachgewiesen
und wird im Wesentlichen in Form und Amplitude mit den Rechnungen im Rahmen des
RLC-Modells übereinstimmen. Nun wird zunächst die Bianisotropie ausgeschaltet, um das
Verhalten der ungekoppelten Resonanzen zu studieren. Hierfür wurde die Transmission bei
Stärken ∆µ und ∆ von 0.25, 0.30 und 0.35 berechnet. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.8
(A) gezeigt.
Elektrische und magnetische Resonanzen erscheinen getrennt. Die magnetische Anregung
liegt bei höheren Frequenzen. Neben der Änderung der Resonanztiefe ist eine Frequenz-
4.2 gekippte Geometrie
49
verschiebung zu beobachten. Die Verschiebung erfolgt mit steigender Stärke zu größeren
Frequenzen hin. Bei kleinen Stärken läuft die Resonanzfrequenz gegen die der elektrischen
Anregung. Bei dieser ist keine solche Verschiebung sichtbar. Im zweiten Schritt, der in 4.8
(B) zu sehen ist, wurde eine Kopplung durch Hinzuschalten der Bianisotropie erlaubt.
√ Dabei wurde die Transmission bei unterschiedlicher Stärke s des Kreuzterms ∆ξ = s ∆∆µ
mit s = 0, 0.5, 0.8 und 1 berechnet. Bei elektrischer Anregung verschwindet mit zunehmender Bianisotropie die Resonanz bei niedrigeren Frequenzen zugunsten einer Resonanz,
deren Frequenz mit der der magnetischen Anregung übereinstimmt. Gleichzeitig wird ein
Teil der Intensität gedreht und erscheint im Diagramm als in Grün gezeigte Kurve. Diese
Kreuzpolarisation ist auch bei magnetischer Anregung zu beobachten. Sie steigt mit der
Stärke der Bianisotropie an. Die Resonanztiefe der magnetischen Anregung nimmt dagegen
ab. Dieses Verhalten verdeutlicht die Möglichkeit über eine Messung der Kreuzpolarisation
die Bianisotropie eines Materials zu bestimmen.
4.2.3 Proben und Messaufbau
Im Grundlagenteil dieser Arbeit wurde der experimentelle Aufbau beschrieben. Dieser muss
nun etwas modifiziert werden, um die genannten Messungen durchzuführen. Erstens wurde
am Probenhalter ein Winkelmesser hinzugefügt, um den Polarwinkel, also die Verkippung
gegen die optische Achse des Interferometers genau einstellen zu können. Zweitens müssen für die Messung der Kreuzpolarisation zusätzliche Polarisatoren eingebaut werden und
drittens ist eine exakte Ausrichtung der Ringproben im Azimut erforderlich, da die Ringprobe in der Resonanz wie ein Polarisationsfilter wirkt. Diese Anisotropie des Split-RingResonatormediums ist bekannt und soll nicht untersucht werden. Zusätzlich wurden auch
Abb. 4.9: Untersuchte Konfigurationen. Steht der Wellenvektor k nicht mehr senkrecht auf der
Probenebene, so muss zwischen S - und P - Polarisation unterschieden werden. Die ersten beiden
Skizzen (von links) zeigen den Fall bei P - Polarisation. Hier werden die Ringe entweder garnicht
angeregt oder rein elektrisch. Der Unterschied ensteht durch Drehung der Probe um 90 Grad in der
Probenebene. Die dritte und vierte Skizze zeigt den Fall für die S - Polarisation. Hier werden die
Ringe elektrisch und magnetisch oder aber nur magnetisch angeregt. Die Bezeichnungen werden
in den folgenden Diagrammlegenden aufgegriffen.
50
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
größere, die Probe tragende Diaphragmen hergestellt, um die Auswirkung der nun elliptischen Form der Öffnung senkrecht zur optischen Achse für alle Polarisationen möglichst
gering zu halten.
In Abbildung 4.9 sind die untersuchten Messanordnungen gezeigt. Die Split-Ringe können
in zwei Ausrichtungen bei zwei unterschiedlichen einfallenden Polarisationen untersucht
werden. Wie in der Untersuchung im Kapitel 4.1 können die Ringe dabei magnetisch, elektrisch, magnetisch und elektrisch sowie nicht angeregt werden. Im Weiteren werden die
gezeigten Konfigurationen auch bzgl. ihrer Kreuzpolarisation studiert. Weit außerhalb der
Resonanz kommt kein Signal mehr am Detektor an. Die Messung ist demnach nur in der
Nähe der Resonanz sinnvoll. Nicht bei allen tritt auch eine Kreuzpolarisation auf. Ist dies
nicht der Fall, so sind Messung in diesen auch nicht notwendig, da sie keine Information
enthalten.
A
Kalibration
Messung
B
Messung
Kalibration
Referenzarm
Abb. 4.10: (A) Messung der Transmission in gekreuzter Polarisation. Die Kalibration wird ohne Analysator durchgeführt. Bei der Messung der Probe
(gelb) sind Polarisator und Analysator
um 90 Grad gegeneinander gerichtet.
(B) Messung der Phase in gekreuzter Polarisation. Der Polarisator steht auf 45
Grad gegenüber dem ersten Drahtspiegel. Im Referenzarm steht ein weiterer
Polarisator, der auch um 45 Grad gegen den Spiegel verdreht ist. Der zweite
Drahtspiegel ist 90 Grad gegen den ersten Drahtspiegel gestellt. In Blau sind
die zwei Glasspiegel des Interferometers
skizziert. Für die Kalibration wird ein
Polarisator mit 45 Grad Einstellung in
den Probenarm gestellt.
Die Messung des Transmissionspektrums der Kreuzpolarisation erfolgt in zwei Schritten.
Zunächst wird eine Leermessung ohne Analysator zur Kalibration durchgeführt. Alternativ
kann der Analysator auch parallel zum Polarisator ausgerichtet werden. Dies ist allerdings
nicht zu empfehlen, da die exakte Ausrichtung auf das Minimum notwendig ist. Der Analysator ist nun der Spiegel, der die beiden Teilstrahlen der Interferometers zusammenführen
würde. In der Transmissionsmessung wird der Referenzarm allerdings mit dem Beamstopper unterbrochen. Der Drahtspiegel wird im zweiten Schritt, der Probenmessung, in den
Strahlengang gestellt und ermöglicht nun die einfallende Intensität mit der Intensität der
Kreuzpolarisation zu vergleichen und somit das Spektrum zu gewinnen.
Die Messung der Phase der gekreutzten Polarisation erfordert zwei zusätzliche Polarisato-
4.2 gekippte Geometrie
51
ren. Der Drahtspiegel ist wie zuvor senkrecht zum ersten Polarisator ausgerichtet. Da dieser
Spiegel nun die Strahlung des Referenzarms nicht mehr reflektiert, wurden ein Polarisator,
dessen Achse 45 Grad gegen die des Eingangspolarisator gestellt ist, in den Referenzarm
gestellt. Auch im Probenarm gelangt keine Strahlung durch den Spiegel, sondern wird reflektiert. Deshalb wird auch in diesem Arm des Interferometers ein zusätzlicher Polarisator
mit einer 45 Grad Einstellung gestellt. Nun kann die Leermessung zur Kalibration der
Phase durchgeführt werden. Für die Probenmessung wird der zusätzliche Polarisator im
Probenarm entfernt. Dieses Verfahren ist möglich, da der Polarisator keinen bedeutsamen
Einfluss auf die Phase nimmt. Des Weiteren ist darauf zu achten, dass alle Polarisationsfilter in die selbe Richtung gedreht werden und dadurch keine Verschiebung um π in den
gemessenen Daten auftritt.
Die Messung der Transmission und Phase der normalen Polarisation erfordert keine Änderung am Versuchsaufbau. Es empfiehlt sich aber bei der Transmissionsmessung, beide
Polarisationen aufeinanderfolgend zu messen und die Ausrichtung des zweiten Drahtspiegels (s. Abb. 4.10 hier Analysator) nicht zu verändern. Einfacher ist es die Position dieses
Spiegels zu markieren und ihn für die Messung zu entfernen. Im Folgenden werden die
Ergebnisse der Messung dieser unterschiedlichen Anordnungen vorgestellt.
4.2.4 Messergebnisse
Es wurden Split-Ringe des Typs G mit Spaltbreiten von 0.15 mm und 0.17 mm untersucht.
In Abbildung 4.11 sind die Transmissionspektren in normaler und gekreuzter Polarisation
für ein Spilt-Ring-Medium mit g = 0.15 mm bei einem Neigungswinkel von 45 Grad gegen die optische Achse zu sehen. In Rot die Anordnung, bei der die Ringe elektrisch als
auch magnetisch angeregt werden können. Die normale Transmission weist die geringste
Transmission von allen nicht gekreuzten Anordnungen auf. Das Licht wird durch die Probe
nicht gedreht, es tritt deshalb in der gekreuzten Polarisation keine Transmission auf. Bei
kleinen Frequenzen wurde nur das Hintergrundrauschen aufgezeichnet. Die Empfindlichkeit
des Spektrometers nimmt mit steigender Frequenz zu, da Streueffekte eine kleiner Rolle
spielen. Da es sich um eine logarithmische Auftragung handelt, wurde davon abgesehen,
die Nulltransmission der Theorie zu zeigen. Wird die Probe im Azimut um 90 Grad gedreht, so können die Ringe, wie in Abbildung 4.9 zu sehen nicht mehr elektrisch angeregt
werden, sondern nur noch magnetisch. Diese Anordnung ist in Grün gezeigt. In der normalen Polarisation tritt keine Resonanz in Erscheinung. Dies hat seine Ursache in der großen
Bianisotropie sowie der geringen Stärke der magnetischen Anregung der Ringe. Die aus den
Theoriekurven ermittelten Resonanzparameter sind in Tabelle 4.5 aufgelistet. In Schwarz
gezeigt ist die Messgeometrie, bei der eine Anregung der Ringe nur elektrisch möglich ist,
da das magnetische Feld in der Probenebene liegt. Auch bei ihr tritt eine Transmission in
gekreuzter Polarisation auf. Hier zeigt sich eine Asymmetrie zwischen ξ und ζ, die mit dem
RLC-Schwingkreismodell nicht zu erklären ist. Dieses Modell sagt für magnetische und elektrische Anregung gleiche Amplituden in der rotierten Polarisation voraus. Im Diagramm
wurde ζ auf −0.65ξ reduziert, um die geringere Transmission wiedergeben zu können. Da
52
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Spektren bei 45° Neigung
Probe G g = 0.15mm parallel&gekreuzt
Transmission
1
0.1
elektrisch magnetisch
magnetisch
elektrisch
keine Anregung
keine Bianisotropie
0.01
60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.11: Experimentelle und theoretische Transmissionspektren bei normaler und Kreuzpolarisation für Ringe des Typs G mit einer Spaltbreite von g = 0.15 mm. Bei rein elektrischer und rein
magnetischer Anregung kommt es zu einer Rotation der Polarisation. Dies zeigt sich in den beiden
Peaks der Transmission. Es wird eine Asymmetrie zwischen ζ und ξ beobachtet. Eine Drehung
ist für die Anregung durch ein elektrisches und magnetisches Feld nicht vorhanden. In oranger
Farbe ist die erwartete normale Transmission für die elektrische bzw. elektrisch und magnetische
Anregung ohne Bianisotropie gezeigt.
sich dies in weiteren Messungen nicht erhärtet hat, wird im folgenden nicht näher darauf
eingegangen. In der letzten untersuchten Geometrie dieser Probe findet keine Anregung
der Split-Ringe statt. Sie ist in Blau gezeigt. Es findet keine Drehung der Polarsation statt.
Die Bianisotropie ist ein unabhängiger Fitparameter.
Eine Abhängigkeit von der elektri√
schen und magnetischen Resonanzstärke ∆ξ = ∆∆µ findet sich nur im idealisierenden
RLC-Modell wieder. Die genannte Beziehung stellt viel mehr aus thermodynamischen Stabilitätsgründen die Obergrenze √
der Bianisotropie dar. In der Theorie wurde deshalb der
Parameter s eingeführt ∆ξ = s ∆∆µ. Er ist auf Werte zwischen 0 und 1 beschränkt.
Die gemessene Kreuztransmission durch die elektrische Anregung liefert allerdings Werte
von s nahe bei 1. Mit 3.5% tritt die größte Transmission bei 104.5 GHz auf. Zusätzlich
ist in Abbildung 4.11 auch die theoretische Vorhersage für die normale Transmission ohne
4.2 gekippte Geometrie
53
Transmission bei 45°
Probe: G g = 0.15 mm parallel&crossed
1
Transmission
el <-> mag
∆f0 = 4.3 GHz
elektrisch
elektrisch magnetisch
magnetisch
keine Anregung
0.01
60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.12: Experimentelle und theoretische Transmissionspektren in normaler und gekreuzter
Polarisation bei einer Einheitszelle, wie sie im Diagramm skizziert wurde. Die Ringe sind vom
Typ G g = 0.15 mm. Es findet keine Drehung der Polarisation statt. Die magnetische Resonanz
tritt deutlicher hervor. Für den theoretischen Fit musste eine größere Stärke ∆µ angenommen
werden. Des Weiteren wurde die Resonanzfrequenz um 4.3 GHz verschoben. Die übrigen Fitparameter stimmen mit denen von Abbildung 4.11 überein. Die elektrische Resonanz ist zudem
symmetrischer als in Abb. 4.11.
Bianisotropie eingezeichnet. Es lässt sich eine Verschiebung der Resonanz von 4 GHz beobachten. Außerhalb der Resonanz unterscheiden sich die normalen Transmissionen durch
S- und P-Polarisation der einfallenden Strahlung.
In Abbildung 4.12 wurden die gleichen Messungen für eine symmetrisierte Probe durchgeführt. Die Einheitszelle ist im Diagramm skizziert. Wichtigste Beobachtung ist, dass es in
diesem Fall keine Transmission bei gekreuzten Polarisatoren gibt und somit die Bianisotropie des einzelnen Split-Ringes im Mittel verschwindet. Möchte man sie vermeiden, ist die
gezeigte Symmetrisierung hierfür geeignet. Daneben ist die magnetische Anregung stärker,
d.h. es musste eine größer Fitparameter ∆µ im Vergleich zur unsymmetrischen Probe angenommen werden, um eine bessere Übereinstimmung mit der Messung zu erzielen. Hier
muss darauf hingewiesen werden, dass allein ∆ξ = 0 zu einer deutlicheren Ausprägung der
54
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Resonanz in den Spektren bei rein magnetischer Anregung führt. In diesem Punkt wurde
die Theorie nochmals vom Experiment bestätigt. Allerdings wird der Dip in der Transmission bei einer 4.3 GHz höheren Frequenz vorhergesagt. Für den Fit im Diagramm wurde
die Resonanzfrequenz um diese Differenz verringert. Die elektrische Anregung besitzt eine
vergleichbare Stärke. Der Fitparameter ∆ ist in Abbildung 4.12 identisch mit dem vorherigem Wert (s. Tabelle 4.5).
Typ
ν0 / GHz γ / GHz ∆ ∆µ ∆ξ
G g 0.15 mm
99.8
6.9
0.33 0.07 0.16
G noxi g 0.15 mm
102.5
6.9
0.33 0.09
0
G g 0.17 mm
103.0
6.7
0.35 0.07 0.15
F a 0.5 mm
85.3
7.6
0.73 0.15 0.33
Tabelle 4.5: Fitparameter der untersuchten Proben. Die Bianisotropie ist u.a. für die Verschiebung
zwischen Fitparameter ν0 und der beobachteten Resonanzfrequenz in den Spektren verantwortlich.
Berücksichtigung des Phasenspektrums
Diente die bisherige Erörterung der Veranschaulichung der auftretenden Transmissionsspektren, wird nun auch die Messung der Phase bei der Bestimmung der Resonanzparameter mit einbezogen. Dadurch lässt sich die Eingrenzung der Fitparameter verbessern.
Dies wurde für eine Probe des Ringtyps G mit einer Spaltbreite von 0.17 mm durchgeführt.
Das Ergebnis ist ebenfalls in Tabelle 4.5 aufgelistet. In Abbildung 4.13 sind die Transmissionspektren der normalen und gekreuzten Polarisation zusammen mit den Theoriefits
bei 45 Grad Neigung geplottet. Die maximale Transmission, 3.8% des gedrehten Lichts,
tritt bei magnetischer Anregung bei 108.3 GHz auf. Für diese Probe ist keine Asymmetrie
des Bianisotropieterms zu erkennen. Die Abweichungen sind nicht signifikant und liegen im
Rahmen der Empfindlichkeit der Golayzelle. Des Weiteren ist eine kleine Frequenzverschiebung zwischen der rein elektrisch angeregten Resonanz und der elektrisch und magnetisch
angeregten Resonanz festzustellen. Dies lässt sich durch eine unterschiedliche Dispersion
in kx bzw ky Richtung erklären.
Abbildung 4.14 zeigt das Ergebnis der Phasenmessung. Da die Phase pt = 2πdν/c mit der
Frequenz zunimmt, steigt die Phase in der Anordnung ohne Anregung, gezeigt in Blau,
bei der normalen Polarisation linear an. In dieser, wie in der Anordnung in der die Ringe elektrisch und magnetisch angeregt werden können, ist in der gekreuzten Polarisation
kein Signal vorhanden, da wie bereits erwähnt keine Drehung erfolgt. Daher macht eine
Messung keinen Sinn. Auf Grund der geringen Stärke der magnetischen Anregung ist eine
Resonanz in der normalen Polarisation bei der in Rot gezeigten Kurve nicht zu beobachten.
Sie zeigt einen typischen monotonen linearen Anstieg mit der Frequenz. Diesem Anstieg
ist in den Phasen der elektrischen (grün) sowie elektrischen und magnetischen (schwarz)
Anregungsgeometrie eine Resonanz überlagert. Mit dreieckigen Symbolen ist die Phase der
4.2 gekippte Geometrie
55
Transmission bei 45°
Probe: G g= 0.17 mm 18mm Diaphragma
Transmission
1
0.1
elektrisch magnetisch
magnetisch
elektrisch
keine Anregung
∆ε=0.33 ∆µ = 0.07 ∆ξ = 0.15
0.01
0.001
60
70
80
90
100
110
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.13: Experimentelle und theoretische Transmissionspektren in Normal- und Kreuzpolarisation bei Split-Ring-Resonatoren des Typs G. Die gezeigten Theoriekurven stammen aus einem
gleichzeitigem Fit der Transmission (hier zu sehen) und der Phasenspektren, die in Abbildung
4.14 zu sehen sind. Das größere Rauschen bei Frequenzen unterhalb von 95 GHz, das bei der
Kreuztransmission der P - Polarisation auftritt (grün und blau), ist durch geringere Intensität
der Strahlung bedingt. Es wird keine Asymmetrie zwischen ξ und ζ beobachtet.
rein elektrischen und rein magnetischen Anregung bei gekreuzter Polarisation gezeigt. Da
ein Signal nur in der Nähe der Resonanz existiert ist die Phase unterhalb einer Frequenz
von 95 GHz nicht relevant. Zwischen der magnetischen und der elektrischen Resonanz besteht eine Phasendifferenz von π. Die Phase ändert sich in beiden Fällen wesentlich stärker
als in den normalen Polarisationen. Um dies zu erklären, muss man das Signal der Probe in
zwei Anteile, wie es in Abbildung 4.15 gezeigt ist, zerlegen. Hier ist der elektrische Feldvektor im Phasenraum dargestellt. Er besteht einerseits aus einem konstanten Anteil, der von
dem Substrat herrührt und andererseits aus einem variablen Teil, der durch die Split-RingResonatoren hervorgerufen wird. In der gekreuzten Polarisation wird nur der resonante Teil
gemessen. Deshalb misst man das Verhalten, welches von der gedämpften harmonischen
Schwingung bekannt ist. Die Fitparameter für Phasen bzw. Transmissionspektren dieser
Probe sind ebenfalls der Tabelle 4.5 zu entnehmen.
56
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Phase bei 45°
Probe: G g = 0.17 mm 18mm Diaphragma
5
elektrisch magnetisch
magnetisch
keine Anregung
elektrisch
Phase [rad]
4
3
2
1
0
60
70
80
90
100
110
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.14: Experimentelle und theoretische Phasen in normaler und gekreuzter Polarisation für
Ringe des Typs G. Bei keiner bzw. magnetischer Anregung in der normalen Polarisation steigt
die Phase linear mit der Frequenz an. Bei den anderen beiden Anregungsarten ist ein typisches
Resonanzverhalten zu beobachten. Die gemessene gekreuzte Phase ist mit dreieckigen Symbolen
dargestellt. Zwischen der Phase der elektrischen und der magnetischen Anregung besteht eine
Phasendifferenz von π. Da unterhalb von 95 GHz kein Signal gemessen werden kann, enthält
dieser Bereich keine Information über die Probe.
4.2.5 Diskussion
Insgesamt gibt die Theorie die gemessenen Transmissionen und Phasen für beide Polarisationen gut wieder. Die größten Abweichungen vom RLC-Schwingkreismodell sind bei
der höheren Frequenzseite der Resonanz zu beobachten. Nähere Untersuchungen haben
ergeben, dass die beobachtete Flanke nicht durch unterschiedliche Resonanzfrequenzen innerhalb der Probe hervorgerufen wird, sondern intrinsischer Natur ist. Des Weiteren wird
sie auch in der Literatur [29] beobachtet. Auffällig ist, dass sie bei der symmetrisierten
Probe weniger stark ausgeprägt ist und die Resonanz insgesamt symmetrischer erscheint.
Daher ist davon auszugehen, dass die Flanke mit der magnetischen Natur der Grundmode
der Ringe zu tun hat. Eine Änderung der Resonanzform zeigt, dass die Frequenzabhängig-
4.2 gekippte Geometrie
57
Eres
E konst
Abb. 4.15: Skizze zur Phase bei gekreuzten
Polarisatoren. Der elektrische Feldvektor ist
im Phasenraum dargestellt. Er setzt sich aus
einem konstanten Anteil des Substrats sowie
einem variablen Anteil der Ring-Resonatoren
zusammen. In der gekreuzten Phase wird nur
der variable Teil gemessen.
2
∆ω
keit der Permittivität besser durch = s + ω2 −iωγ−ω
2 beschrieben werden kann. Vollständig
0
kann die Flanke aber auch mit dieser Funktion nicht beschrieben werden. Nicht wiedergegeben kann die Theorie die beobachte Dispersion, da das verwendete RLC-Modell keine Kopplungen zu Nachbarringen beinhaltet. Hierzu wurden ebenfalls weitere Messungen
durchgeführt, die die Frequenzverschiebung zwischen rein elektrischer sowie elektrischer
und magnetischer Anregung auf Grund unterschiedlicher Disperionsrelationen von kx bzw.
ky Richtung bestätigen. Dieses Verhalten ist auch in Abbildung 4.16 zu sehen. Damit ist
auch die in Kapitel 3.5.2 beobachtete Richtungsabhängigkeit der Kopplung verknüpft. Im
Weiteren hat sich die Dominanz der elektrischen Anregung bestätigt. Eine magnetische Anregung kann in den Spektren kaum beobachtet werden. Wegen dieser geringen Stärke ist die
genaue Bestimmung von ∆µ schwierig. Demgegenüber kann ∆ gut aus der elektrischen
Anregung bestimmt werden. Auch ∆ξ lässt sich gut aus den Messungen bei gekreuzter
Polarisation bestimmen. Denkbar ist eine weiterere Verfeinerung bei der Bestimmung der
Fitparameter durch Messung der beiden Polarisationen bei unterschiedlichen Neigungswinkeln. Ein Beispiel dafür ist in Abbildung 4.16 zu sehen. Die Resonanzfrequenz steigt bei
magnetischer und elektrischer Anregung mit dem Winkel leicht an, wohin gegen sie bei rein
elektrischer Anregung sinkt. Der prinzipelle Trend bei unterscheidlichen Neigungswinkeln
kann wiedergegeben werden. Bei der Transmission der gekreutzen Polarisation ist die Übereinstimmung gut. Lediglich die Polarisationsdrehung unter magnetischer Anregung bei 60
Grad, ist abweichend.
Als Letztes soll noch eine systematische Abweichung zwischen Theorie und Experiment
diskutiert werden, die die Bestimmung von ∆µ schwierig gestaltet. Es hat sich gezeigt, dass
das Fitten der elektrischen Resonanz die Tiefe der elektrischen und magnetischen Resonanz
nicht wiedergibt. Da die rein magnetische Anregungsgeometrie die Stärke ∆µ bestimmt
und diese wesentlich kleiner ist, kann der Beitrag nicht dadurch gedeckt werden und die
Frage bleibt, welcher der Messungen mehr Gewicht eingeräumt werden muss. Es bleibt
die Abweichung, die in den Diagrammen zu finden ist. Sie ist aber nicht größer als 35%.
Letztendlich ist das RLC-Schwingkreismodell als sehr einfaches Modell aber erstaunlich
gut in der Lage die Realität zu beschreiben und ist damit auch zu rechtfertigen.
58
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Transmission bei verschiedenen Neigungswinkeln
Probe: G g = 0.17 mm 18 mm Diaphragma
1
Transmission
Transmission
1
30°
45° elektrisch
60°
0.1
30°
45°elektrisch magnetisch
60°
30°
45° keine Anregung
60°
0.1
30°
45°magnetisch
60°
0.01
0.01
60
0.01
80
100
Frequency [GHz]
120 60
80
100
Frequency [GHz]
120
Abb. 4.16: Experimentelle und theoretische Transmissionspektren bei unterschiedlichen Neigungswinkeln der Ringprobe des Typs G. Linke Seite (P- Polarisation): In Grüntönen ist die elektrische
Anregung für Winkel von 30, 45 und 60 Grad gezeigt. In der normalen Polarisation nimmt die
Resonztiefe mit dem Winkel ab, die Resonanzfrequenz verringert sich etwas. Die Transmission
in gekreuzter Polarisation nimmt hingegen zu. In blauen Tönen ist die Transmission ohne Anregung dargestellt. Rechte Seite (S- Polarisation): Die Spektren bei elektrischer und magnetischer
Anregung sind in Grautönen dargestellt. Die Resonanztiefe in normaler Polarisation nimmt mit
dem Winkel zu. In roten Tönen ist die Transmission der rein magnetischen Anregung gezeigt. Die
Kreuzpolarisation zeigt ein Maximum bei 45 Grad.
4.2.6 Zusammenfassung
Numerisch wurde das Verhalten bei unterschiedlichen Resonanzstärken untersucht. Auch
wurde der Einfluss der Bianisotropie auf die Form der Resonanz studiert. Es stellte sich
heraus, dass die Bianisotropie zu einer Frequenzverschiebung und einem Verschwinden
der Absorption in der elektrischen Resonanz führt, die ohne xi nicht beobachtet wird. Es
wurde ein Verfahren zur Messung der Transmission und Phase bei gekreuzter Polarisation erläutert. Danach wurden Messergebnisse drei verschiedener Ringproben vorgestellt.
Die Bianisotropie verursacht bei einer gegenüber der optischen Achse geneigten Probenoberfläche eine Drehung der Polarisation, die durch Messungen bei gekreuzter Polarisation
4.3 Ergebnis
59
beobachtet werden konnte. Diese Messungen haben es möglich gemacht, die Bianisotropie ξ der Split-Ringe zu bestimmen. Auftretende Diskrepanzen zwischen Theorie (RLCSchwingkreismodell) und Messung wurden diskutiert. Einzig die Bestimmung der Stärke
∆µ hat sich als schwierig herausgestellt. Hierfür eignet sich das zuvor beschriebene Verfahren besser.
4.3 Ergebnis
Im Folgenden werden die beiden erläuterten Verfahren kombiniert, um eine Vollcharakterisierung des Split-Ring-Resonantor Mediums zu erhalten. Wie bereits diskutiert wurde,
konnte die Untersuchung der drei unterschiedlichen Geometrien bei senkrechtem Einfall
des Wellenvektors keine Bestimmung des Bianisotropieterms möglich machen. Wohl aber
kann über die Messung der Kreuzpolarisation diese Materialkonstante bestimmt werden.
Die Permittivität wird aus den Messungen der Transmission und Phase bei rein elektrischer Anregung bestimmt. Hierfür wird auf die Messung bei 0 Grad Neigung ( Wellenvektor
senkrecht zur Probenoberfläche, Geometrie 1 ) zurückgegriffen, da die Resonanz hier am
deutlichsten ausgeprägt ist. Die Permeabilität wird aus den Daten der Geometrie 3 berechnet. Hier wurde die Phase und Transmission der neuen Hauptachse verwendet. Es werden
nur Hauptachsen der unterschiedlichen Materialkonstanten in Betracht gezogen. Für den
Kreuzterm wird die Phase und Transmission bei 45 Grad bei gekreuzten Polarisatoren herangezogen. Dies hat es möglich gemacht die Split-Ringe des Typs G mit einer Spaltbreite
von g = 0.17 mm in allen Materialkonstanten im Frequenzbereich der Grundmode zwischen
62 und 122 GHz zu charakterisieren.
4.3.1 Permittivität
Die Bestimmung der Permittivität wie auch der anderen Materialparameter erfolgt über
die Minimierung der Differenz zwischen der komplexen experimentellen Transmission, die
auch die Phase enthält, und der theoretischen Transmission, die aus der Transfermatrix
stammt. Es wird kein Modell für die Frequenzabhängigkeit des Parameters benötigt. Dieser
√
wird über die Nullstelle von trtm − trexp eiptexp berechnet, wobei trtm die komplexe theoretische Transmission ist, trexp und ptexp die Transmission bzw. Phase aus dem Experiment.
Des Weiteren müssen einige Parameter als bekannt vorausgesetzt werden. Dies sind die
Dicke der Probe d = 0.523 mm, die Permittivität des Substrats = 5.46 + 0.2i und die
Permeabilität des Ringmediums. Die Ringe sind in Geometrie 1 magnetisch inaktiv und
deshalb ist µ = 1 gut erfüllt. Da die Bianisotropie eine Rolle spielt, muss diese für die
Berechnung ebenfalls bekannt sein. Sie wurde aus den Fits bei gekreuzter Polarisation bestimmt und für die Rechnung verwendet. Nun kann für jeden Frequenzpunkt die komplexe
Permittivität bestimmt werden. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.17 gezeigt. Zu sehen ist
eine gute Übereinstimmung zwischen der Fitkurve und den berechneten Werten.
60
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
..
Permittivitat
Typ: G g = 0.17 mm
A
8
Re(ε)
6
4
2
0
6
B
Im(ε)
4
2
0
60
80
100
Frequenz [GHz]
120
Abb. 4.17: Permittivität der
Ringprobe des Typs G. Für
die Rückrechnung aus den
experimentellen Daten wurde
auf die Transmission und
Phase bei rein elektrischer
Anregung der Split-RingResonatoren zurückgegriffen.
Der Wellenvektor steht senkrecht auf der Ringebene. (A)
Zu sehen ist der Realteil der
Permittivität. Er steigt vor
der Resonanz an, fällt bei der
Resonanz stärk ab und steigt
danach wieder langsam an.
Die Theorie (Gl. 2.35) stimmt
gut mit dem berechneten
Verlauf überein. (B) Der
Imaginärteil der Permittivität
zeigt ein Maximum an der
Resonanzsfrequenz. Hier ist
die Absorption am größten.
Die Abweichungen oberhalb
der Resonanzfrequenz gegenüber der Theorie sind
Ausdruck des Unterschieds
in diesem Bereich. Im Transmissionspektrum ist dies die
beobachtete Flanke.
Der große Imaginärteil ist auf den geringen Q-Faktor und damit die große Dämpfung
zurückzuführen. Auch die Flanke oberhalb der Resonanz schlägt sich in der gemessenen
Permittivität wieder. So steigt z.B. der Realteil deutlich langsamer bei hohen Frequenzen
an als die Theorie vorhersagt. Durch die Resonanz kommt es zu einer starken Änderung
der Permittivität um einen Faktor von 3.
4.3.2 Permeabilität
Die Permeabilität wird mit den Messungen aus Geometrie 3 berechnet. Wie zuvor wird
die Probendicke d = 0.8 mm benötigt. Des Weiteren kann die zuvor bestimmte Permittivität und die theoretische Bianisotropie verwendet werden. Das Ergebnis ist in Abbildung
4.18 zu sehen. Auf Grund der geringen Stärke der Resonanz fallen die Änderungen wesentlich kleiner aus. Die in der Literatur [42] beobachtete negative Permeabilität oberhalb
4.3 Ergebnis
61
der Resonanzfrequenz liegt nicht vor. Die Änderung des Permeabilität beträgt 41%. Die
..
Permeabilitat
Typ: G g = 0.17 mm
Re(µ), Im(µ)
1
0.5
Realteil
..
Imaginarteil
0
60
80
100
120
Frequenz [GHz]
Abb. 4.18: Permeabilität des Ringmediums Typ G. Die wurde aus der Transmission und Phase der
Geometrie 3 (rein magnetische Anregung der Resonanz) berechnet. Die experimentell bestimmte
Permittivität sowie die aus den Fitkurven erhaltene Bianisotropie sind ebenfalls mit eingeflossen.
(A) Realteil der Permeabilität. (B) Imaginärteil der Permeabilität. Die Theorie (Gl. 2.36) stimmt
gut mit dem Experiment überein.
Theorie stimmt gut mit den berechneten Werten überein. Auffällig ist lediglich der Bereich
unterhalb der Resonanz. Dort ist das Ringmedium diamagnetisch, was nicht vorhergesagt
wird. Von diesem diamagnetischen Verhalten berichten Economou et al. in einer im letzten
Jahr veröffentlichten Arbeit. [43] Sie erklären das Verhalten mit unterschiedlichen Strömen
zwischen Innen- und Außenseite des Split-Rings.
4.3.3 Bianisotropie
Mit der Permittivität und der Permeabilität sowie der Phase und Transmission bei gekreuzter Polarisation ist es möglich, den Kreuzterm ξ zu berechnen. Das Ergebnis ist in
62
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
Abbildung 4.19 zu sehen. Damit wurde das Ringmedium in seinen effektiven Materialparametern zwischen 62 und 122 GHz vollständig charakterisiert.
A
2
Re(ξ)
Abb. 4.19: Bianisotropieterm der
Probe des Typs G. Mit der experimentellen Permittivität und Permeabilität wird die Bianisotropie
bestimmt. Dafür wird Transmission und Phase in Kreuzpolarisation bei 45 Grad Neigung verwendet. Die Abweichungen zwischen
der Theorie (Gl. 2.34) unterhalb
von 95 GHz sind dem Rauschen der
Golayzelle zu verdanken. (A) Realteil der Bianisotropie. (B) Imaginärteil der Bianisotropie. Für ξ ist
im RLC-Modell Gl. 2.34 eine imaginäre Einheit zufinden. Diese erklärt den prinzipiellen Unterschied
der Form gegenüber den anderen
Parameter.
1
0
B
Im(ξ)
1
0
-1
-2
80
100
Frequenz [GHz]
120
Diskussion
Wie auf Grund der geringen Symmetrie zu erwarten war, ist die Bianisotropie stark ausgeprägt. Sie sorgt dafür, dass der Brechungsindex in der Resonanzfrequenz auf 3.25 ansteigt.pFür die Berechnung des komplexen Brechungsindex wird die modifizierte Formel
n0 = µ + ξ 2 verwendet. [16] In Abbildung 4.20 wurde der Brechungsindex n, der Realteil des komplexen Brechungsindex n0 und die Absorptionkonstante κ, der Imaginärteil des
komplexen Brechungsindex nach Gleichung 4.1 bis Gleichung 4.3 berechnet.
Re(n02 ) = Re()Re(µ) − Im()Im() + Re(ξ)2 − Im(ξ)2
Im(n02 ) = Re()Im(µ) + Re(µ)Im() + 2Re(ξ)Im(ξ)
n2 + 2inκ − κ2 = Re(n02 ) + iIm(n02 )
(4.1)
(4.2)
(4.3)
4.3 Ergebnis
63
Bei entsprechender Stärke der Resonanz ist es möglich, dass n verschwindet. Im Gegenzug
wird die Absorptionskonstante κ erhöht. Der Abfall des Brechnungsindex bei Frequenzen unterhalb der Resonanz ist, ebenso wie die negativen Werte der Absorptionskonstante,
durch die unphysikalischen Daten der Kreuzpolarisationsmessungen in diesem Bereich (kein
Messsignal) bedingt. Einige Proben, die im Rahmen dieser Diplomarbeit untersucht wur-
Probe G g = 0.17 mm
Probe F a = 0.15 mm (hohe Dichte)
B
A
C
κ
n
8
ε
µ
ξ
6
4
2
0
2
-2
D
κ
n
4
1
n, κ
Brechungsindex, Absorption
3
Materialparameter
4
2
0
0
80
100
Frequenz [GHz]
120
80
100
Frequenz [GHz]
120
Abb. 4.20: Brechungsindex n und Absorptionskonstante κ (A) Aus den Materialparametern berechneter Brechungsindex und Absorptionskonstante für die Split-Ringe des Typs G. (B,C) Realund Imaginärteil der Materialparameter für Ringe des Typs F bei einer Einheitszellenlänge von
0.5 mm. Hierfür wurden Transmissionsmessungen in gekreutzer und normaler Polarisation durchgeführt. Die Materialparameter wurden anschließend mit den Fitparametern aus der Theorie berechnet.(s. Tabelle 4.5) (D) Brechungsindex und Absorptionskonstante berechnet mit den Daten
aus (B) und (C).
den, zeigen Hinweise, dass bei ihnen auf Grund ihrer großen Bianisotropie eine deutliche
Asymmetrie im Verlauf von n und κ nahe der Resonanz auftritt. In Abbildung 4.20 wurden
für Ringe des Typs F die Materialparameter mit den Fitparametern aus der Theorie heraus
berechnet und anschließend der Brechungsindex bestimmt. Es zeigt sich, dass n um 96 GHz
kleiner als eins ist. Für diese großen Split-Ring Dichten kann das RLC-Schwingkreismodell
die Frequenzabhängigkeit schlecht beschreiben. Dies kann unter anderem an nichtvernach-
64
4 Charakterisierung von Split-Ring-Resonatoren mit effektiven Parametern
lässigbaren Streueffekten liegen. Die gezeigten Werte sind somit nur Näherungswerte. Wie
in [44] gezeigt wurde, hat die Bianisotropie eine einfachere Bedingung für negative Brechung zu Folge. Insbesondere müssen die Permittivität und Permeabilität nicht mehr zu
gleich negativ sein. Daher bleibt es spannend das Potential der Ringe dahingehend zu
untersuchen.
4.4 Zusammenfassung
Es wurden zwei Ansätze zur Vollcharakterisierung des Split-Ring-Resonator Mediums im
Bereich der Grundmode untersucht. Einerseits wurden drei Proben unterschiedlicher Geometrie hergestellt. Dies ermöglichte es die Proben bei senkrechtem Strahleinfall zu messen,
wodurch sich die theoretische Beschreibung vereinfacht. Die Split-Ringe werden dabei entweder durch ein elektrisches Feld (flache Probe), ein magnetisches Feld oder durch beide
Felder (Stapelproben) angeregt. Die elektrische Anregung hat es ermöglicht, die Permittivität und die magnetische Anregung die Permeabilität zu bestimmen. Für die Bianisotropie
ist die Methode allerdings zu unempfindlich. Daneben wurden mit der Verschiebung der
Hauptachse bei magnetischer Anregung ein neuer Effekt entdeckt. Andererseits wurden
flache Proben bei unterschiedlichen Neigungen gegen die optische Achse gemessen. Dies
ermöglichte es die Bianisotropie zu bestimmen. Wie erwartet zeigen die untersuchten Proben einen großen Bianisotropieterm. Bei einigen Proben wurden Hinweise gefunden, dass
es durch die Bianisotropie Frequenzbereiche gibt, in denen der Brechungsindex verschwindet.
4.5 Ausblick
Bei der Zurückrechnung auf die Materialparameter wurde noch ein Modell verwendet.
Prinzipell sind genügend experimentelle Daten vorhanden um ohne dieses auszukommen.
Es bleibt deshalb eine Aufgabe zu prüfen, ob es Algorithmen gibt, die bei den stark oszillierenden Transmissionfunktionen zuverlässig in das globale Minimum konvergieren und
korrekte Materialparameter liefern. In einem nächsten Schritt ist es denkbar, unter Verwendung von Feldsimulationen und anschließender Berechnung der makroskopischen elektromagnetischen Felder[40], die Materialparameter und insbesondere den Bianisotropieterm
zu bestimmen und mit der in dieser Arbeit beschriebenen Methode zu vergleichen. Diesen
Überlegungen ähnlich ist auch die Idee mit Hilfe einer Elektronenspinresonanzuntersuchung
die Bianisotropie auf experimentellen Weg über die Intensität des erzeugten magnetischen
Wechselfeldes zu messen.
65
Danksagung
In meiner Zeit am Lehrstuhl der Experimentellen Physik 4 habe ich viel für mich mitnehmen
können. Nun bin ich nach einem arbeitsreichen Jahr für das Gelingen meiner Diplomarbeit
und dem Abschluss meines Physikstudiums vielen Menschen Dank schuldig. Insbesondere
geht mein Dank an:
• Herrn Prof. Dr. Andrei Pimenov für die gute Betreuung und die unkomplizierte Art.
• Alexey für die vielen Diskussionen und das geduldige Beantworten zahlreicher Fragen.
• Sebastian für seine konstruktiven Ratschläge.
• Moni und dem Rest des Lehrstuhls für ihre Unterstützung.
• dem gesamten Lehrstuhl für die Möglichkeit meiner Teilnahme an der Frühjahrstagung der DPG.
• meiner Freundin dafür, dass es sie gibt.
Und zu guter letzt meinen Eltern, ohne die ein sorgenfreies erfolgreiches Studium nicht
möglich gewesen wäre.
66
Danksagung
67
Literaturverzeichnis
[1] R. M. Walser, Electromagnetic metamaterials (Complex Mediums II: Beyond Linear
Isotropic Dielectrics) (SPIE, 2001).
[2] A. Sihvola, Helsinki University of Technology, Electromagnetics Laboratory ,
www.hut.fi/asihvola (2002).
[3] D. R. Smith, J. B. Pendry, and M. C. K. Wiltshire, Science 305, 788 (2004).
[4] W. Kock, Bell System Technical Journal 27, 58 (1948).
[5] W. Rotman, IRE Trans. Antennas Propag. vol. AP-10, no. 1, 82 (1962).
[6] J. Pendry, A. Holden, W. Stewart, and I. Youngs, Physical Review Letters 76, 4773
(1996).
[7] J. Pendry, A. Holden, D. Robbins, and W. Stewart, IEEE Transactions on Microwave
Theory and Techniques 47, 2075 (1999).
[8] V. Veselago, Sov. Phys. Usp vol. 10, no. 4, 509 (1968).
[9] D. Smith, W. Padilla, D. Vier, S. Nemat-Nasser, and S. Schultz, Physical Review
Letters 84, 4184 (2000).
[10] D. Schurig et al., Science 314, 977 (2006).
[11] Z. Jacob, L. V. Alekseyev, and E. Narimanov, Optics Express 14, 8247 (2006).
[12] S. Zhang et al., Physical Review Letters 95, 137404(3) (2005).
[13] J. Yao et al., Science 321, 930 (2008), http://www.sciencemag.org/cgi/reprint/321/5891/930.pdf.
[14] D. K. Cheng and J.-A. Kong, Journal of Applied Physics 39, 5792 (1968).
[15] G. Kozlov and A. Volkov, Coherent Source Submillimeter Wave Spectroscopy, Millimeter and Submillimeter Wave Spectroscopy Vol. Vol. 74 (Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, 1998).
[16] M. A. Serdyukov, I. Semchenko, S. A. Tretyakov, and S. A., Electromagnetics of
Bi-anisotropic Materials, Theory and Applications (Gordon and Breach, 2001).
[17] F. Abeles, Ann. Phys (Paris) 5, 596 (1950).
[18] R. C. Jones, J. Opt. Soc. Am. 31, 488 (1941).
[19] S. Teitler and B. Henvis, Journal of the Optical Society of America 60, 830 (1970).
[20] D. Berreman, Journal of the Optical Society of America 62, 502 (1972).
68
Literaturverzeichnis
[21] T. D. Corrigan et al., Optics Express Vol. 16, No. 24, 19850 (2008).
[22] S. Brandt and H. Dahmen, Elektrodynamik: Eine Einführung in Experiment und
Theorie (Springer, 2004).
[23] O’Dell, The Electrodynamics of Magneto-electric Media, Selected Topics in Solid State
Physics Vol. XI (North Holland Publishing Company, 1970).
[24] S. Horst, Taschenbuch der Physik (Verlag Harri Deutsch, 2005).
[25] F. Terman, Radio engineer’s handbook, 1st. ed. (McGraw-Hill Book Company, 1943).
[26] C. Kittel, Einführung in die Festkörperphysik (Oldenbourg-Verlag, 2006).
[27] B. Sauviac, C. R. Simovski, and S. A. Tretyakov, Electromagnetics 24, 317 (2004).
[28] J. Jackson, Klassische Elektrodynamik, 3. ed. (Gruyter, 2002).
[29] K. Aydin et al., New Journal of Physics 7 (2005).
[30] T. Hao, C. Stevens, and D. Edwards, IEEE Electronics Letters 42, 653 (2005).
[31] R. S. Penciu et al., Optics Express 16, 18131 (2008).
[32] P. Gay-Balmaz and O. Martin, Journal of Applied Physics 92, 2929 (2002).
[33] L. Hannakam and E. Nolle, Archiv für Elektrotechnik 64, 21 (1981).
[34] X. Chen, B. Wu, J. Kong, and T. Grzegorczyk, Physical Review E 71 (2005).
[35] N. Katsarakis, T. Koschny, M. Kafesaki, E. N. Economou, and C. M. Soukoulis, Applied Physics Letters 84, 2943 (2004).
[36] R. Marques, F. Medina, and R. Rafii-El-Idrissi, Physical Review B 65 (2002).
[37] X. Cheng et al., Physical Review B (Condensed Matter and Materials Physics) 76,
024402 (2007).
[38] D. R. Smith, D. Vier, T. Koschny, and C. M. Soukoulis, Physical Review E 71, 036617
(2005).
[39] M. I. Oksanen, S. A. Tretyakov, and I. V. Lindell, Journal of Electromagnetic Waves
and Applications Vol.4, No. 7, 613 (1990).
[40] D. R. Smith, J. Gollub, J. J. Mock, W. J. Padilla, and D. Schurig, Journal of Applied
Physics 100, 024507 (2006).
[41] A. Pimenov, A. Shuvaev, S. Engelbrecht, and A. Schneider, (2009).
[42] D. Smith, W. Padilla, D. Vier, S. Nemat-Nasser, and S. Schultz, Negative permeability
from split ring resonator arrays, in Lasers and Electro-Optics Europe, 2000.
[43] E. N. Economou, T. Koschny, and C. M. Soukoulis, Physical Review B 77, 092401
(2008).
[44] S. A. Tretyakov, C. R. Simovski, and M. HudliCka, Physical Review B (Condensed
Matter and Materials Physics) 75, 153104 (2007).
69
Anhang
Rechnung zum 4x4 Formalismus
~
Für ebene Wellen Γ = Γ0 ei(k~r−ωt) beinhaltet die linke Seite der Maxwellgleichung die Matrix
R. Diese lautet:


0
0
0
0
kz −ky
 0
0
0 −kz
0
kx 


 0
0
0
ky −kx 0 


R=

0
−k
k
0
0
0
z
y


 kz
0 −kx 0
0
0 
−ky kx
0
0
0
0
Nun werden die Feldkomponenten Ez und Hz eliminiert. Hiefür lässt sich die Maxwellgleichung für Komponenten umschreiben.
6
ωX
M3j Γj
ky Γ4 − kx Γ5 =
c j=1
−ky Γ1 + kx Γ2 =
6
ωX
M6j Γj
c j=1
=⇒
Γ3 = a31 Γ1 + a32 Γ2 + a34 Γ4 + a35 Γ5
Γ6 = a61 Γ1 + a62 Γ2 + a64 Γ4 + a65 Γ5
Die Koeffizienten ajk sind dabei wie folgt bestimmbar:
a31 =
a32 =
a34 =
a35 =
M36 (M61 +
ky
)
ω/c
− M31 M66
M33 M66 − M36 M63
kx
M36 (M62 − ω/c
) − M32 M66
M33 M66 − M36 M63
ky
M36 M64 − M66 (M34 − ω/c
)
M33 M66 − M36 M63
kx
M36 M65 − M66 (M35 + ω/c
)
M33 M66 − M36 M63
70
Anhang
a61 =
a62 =
a64 =
a65 =
M63 M31 − M33 (M61 +
ky
)
ω/c
M33 M66 − M36 M63
kx
M63 M32 − M33 (M62 − ω/c
)
M33 M66 − M36 M63
ky
M63 (M34 − ω/c
) − M33 M64
M33 M66 − M36 M63
kx
M63 (M35 + ω/c
) − M33 M65
M33 M66 − M36 M63
Bestimmungsmatrix für Eigenwerte und Eigenvektoren
Die 4x4 Matrix S zur Bestimmung der Eigenpolarisationen und Eigenvektoren ist gegeben durch:


M51 + a31 (M53 + kx ) + a61 M56
−M41 − a31 (M43 − ky ) − a61 M46 

Si1 = 
−M21 − a61 (M26 − kx ) − a31 M23 
M11 + a61 (M16 + ky ) + a31 M13


M52 + a32 (M53 + kx ) + a62 M56
−M42 − a32 (M43 − ky ) − a62 M46 

Si2 = 
−M22 − a62 (M26 − kx ) − a32 M23 
M12 + a62 (M16 + ky ) + a32 M13


M54 + a34 (M53 + kx ) + a64 M56
−M44 − a34 (M43 − ky ) − a64 M46 

Si3 = 
−M24 − a64 (M26 − kx ) − a34 M23 
M14 + a64 (M16 + ky ) + a34 M13


M55 + a35 (M53 + kx ) + a65 M56
−M45 − a35 (M43 − ky ) − a65 M46 

Si4 = 
−M25 − a65 (M26 − kx ) − a35 M23 
M15 + a65 (M16 + ky ) + a35 M13
S = Si1 Si2 Si3 Si4
Eigenpolarisationen und Eigenwerte des Vakuums
Die Transformationsmatrix des Vakuums mit reduzierten Komponenten ist durch die nachfolgende Matrix gegeben. Sie setzt sich aus den Eigenwerten und Eigenpolarisationen des
71
Vakuums zusammen.
Vvac = V~vac1 V~vac2 V~vac3 V~vac4
 p 2

− −kx − ky2 + 1
p


0

V~vac1 = 1 − kx2 


kx ky
ky2 − 1
p 2

−kx − ky2 + 1
p


0

V~vac2 = 1 − kx2 


kx ky
2
ky − 1


0
p
q
 −kx2 − ky2 + 1
~

Vvac3 = 1 − ky2 


kx2 − 1
kx ky


0
p
q
− −kx2 − ky2 + 1
2
~


Vvac4 = 1 − ky 

kx2 − 1
kx ky
Transferkoeffizienten
Die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten berechnen sich im Vakuum wie nachfolgend
angeben.
1 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
P22 P41 − P12
P24
P41
− P14
P21
P42
+ P11
P24
P42
+ P12
P21
P44
− P11
P22
P44
)
txx = − (P14
a
1 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
txy =
(P14 P23 P42 − P13
P24
P42
− P14
P22
P43
+ P12
P24
P43
+ P13
P22
P44
− P12
P23
P44
)
a
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
tyx = − −P24
P3,2
P41
+ P22
P34
P41
+ P24
P31
P42
− P21
P34
P42
− P22
P31
P44
+ P21
P32
P44
a
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−P24
P3,3
P42
+ P23
P34
P42
+ P24
P32
P43
− P22
P34
P43
− P23
P32
P44
+ P22
P33
P44
tyy =
a
1
0
0
0
0
P41
+ P21
P44
)
rxx = − (−P24
a
1 0 0
0
0
P42
)
ryx = − (P22
P41 − P21
a
1 0 0
0
0
rxy =
P44
)
(P24 P43 − P23
a
72
Anhang
ryy =
1 0 0
0
0
(P P − P22
P43
)
a 23 42
0
0
0
0
0
sind die Komponenten der Propagationsmatrix nach den
. Pjk
P44
+ P22
P42
mit a = −P24
Transformationen.
73
Erklärung gemäß §33 Absatz 2 der Diplomprüfungsordnung für den Diplomstudiengang
Physik an der Universität Würzburg:
Hiermit erkläre ich, dass ich diese Diplomarbeit selbstständig verfasst und keine anderen
als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.
Würzburg, Oktober 2009
(Andreas Schneider)