Mathcad 7 - Differenzieren - mt-load

Hochschule Bremerhaven
Medizintechnik
Mathcad
Kapitel 7
7.
Differenzieren mit MATHCAD
7.1.
Analytisches Differentiation einer Funktion mit einer Variablen
1. Weg:
Mit dem Button Differenzieren und Integrieren (siehe Bild 43) in der
Rechnerpalette (siehe Kapitel 1 Bild 1) erscheint Bild 43.
Bild 43
Mit linkem Mausklick erhält man Bild 44.
Bild 44
Mit einem weiteren linken Mausklick erscheint Bild 45 im Mathcaddokument.
: Eingabe des abzuleitenden Ausdrucks.
: Eingabe der Variable, nach der abgeleitet werden soll.
Bild 45
Ausgewertet wird wie in Kapitel 2 beschrieben (siehe Bild 4 und 6) entweder mit
Umschalt F9 oder auf Auswerten gehen und dann im Untermenü Symbolisch,
Gleitkomma.. , oder Komplex wählen (siehe Bild 6)
1. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 1 die erste Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
2. Weg:
Der zu differenzierende Ausdruck wird in das Dokument geschrieben und die
Variable, nach der abgeleitet werden soll, wird markiert. Mit Symbolik,
Variable, Differenzieren wird das Ergebnis berechnet (siehe Bild 46)
Bild 46
Seite 1
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Kapitel 7
2. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 2 die erste Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
3. Weg:
Wie im Weg 1 wird zunächst der zu differenzierende Ausdruck erstellt. Mit der
Rechnerpalette und in dem Untermenü Auswertung → (siehe Bild 47) wird
das Ergebnis berechnet. Mit Strg und + ergibt sich das gleiche Ergebnis.
Bild 47
3. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 3 die erste Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
4. Weg:
Zunächst wird die Funktion definiert im Sinne von f ( x ) := x 2 ⋅ sin x definiert
und mit dem 3. Weg abgleitet.
4. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 4 die erste Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
Aber: Warum geht der 4. Weg nicht mit Hilfe des 1. und 2. Weges?
7.2.
Analytisches
Variablen
1. Weg:
Differentiation
höherer
Ordnung
einer
Funktion
mit
einer
Vergleiche 7.1.: 2.Weg
Lediglich der Button N-te Ableitung wird neu gewählt und für n die
entsprechende Ordnung der Ableitung eingegeben.
Bild 48
5. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 1 die dritte Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
2. Weg:
Vergleiche 7.1.: 3.Weg
Lediglich der Button N-te Ableitung wird neu gewählt und für n die
entsprechende Ordnung der Ableitung eingegeben.
Seite 2
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Kapitel 7
6. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 2 die dritte Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
3. Weg:
Vergleiche 7.1.: 4.Weg
Lediglich der Button N-te Ableitung wird neu gewählt und für n die
entsprechende Ordnung der Ableitung eingegeben.
7. Übung: Berechnen Sie mit dem Weg 3 die dritte Ableitung von f ( x ) = x 2 ⋅ sin x
8. Übung: Betrachten Sie noch einmal alle Übungen unter 7.1. und 7.2.. Ändern Sie
f ( x ) = x 2 ⋅ sin x ab, zum Beispiel in f ( x ) = x 3 ⋅ sin x oder in f ( x ) = x 2 ⋅ cos x , und
untersuchen Sie bei welchem Weg das Ergebnis automatisch neu berechnet wird
und bei welchem Weg nicht. Notieren Sie Ihre Erkenntnis unter diese Aufgabe und
entscheiden Sie sich dann, welchem Weg Sie bevorzugen. Sie sollten nicht alle
Wege im Kopf behalten.
7.3.
Analytisches Differentiation einer Funktion mit mehreren Variablen, partielle
Ableitungen
Die unter 7.1. beschriebenen Wege können genau so verwandt werden, lediglich die Variable,
nach der differenziert werden soll muß angegeben oder markiert werden.
9. Übung: Berechnen Sie mit den unter 7.1. beschriebenen Wegen die partiellen 1.
g ⋅ x2
Ableitungen von f (α , v, x ) = x ⋅ tan α −
nach α , v , x. Setzten Sie sich
2v ⋅ cos 2 α
mit dem Kopieren und Einfügen wie Sie es aus Word oder Excel gewohnt sind
auseinander.
Überprüfen Sie sorgfältig Ihre Ergebnisse; Sie kennen diese Aufgabe aus der 2.
Übung!! Notieren Sie sich Ihre Erkenntnisse. Vorsicht: Diese Aufgabe ist schwerer,
als sie aussieht!
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7.4.
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Kapitel 7
Ableitungen an einer Stelle.
x2
1 −2
Betrachten Sie die Funktion f ( x ) =
e
[Es ist die Gaußfunktion!] An der Stelle x=0
2π
soll nun der Funktionswert von f(x) und der Wert der Ableitung von f(x) an der Stelle x=0
berechnet werden. Dazu geben Sie folgendes ein und erhalten die entsprechenden Ergebnisse.
x := 0
f( x) := 
−x
⋅e

 2⋅ π
1
2
2
f( x) = 0.399
2
d 
 ⋅e


dx 2 ⋅ π 
1
−x
2
oder
=0
d
f ( x) = 0
dx
10. Übung: Berechnen Sie wie oben angegeben die gesuchten Werte. Ändern Sie
den Wert x ab und bewerten das Ergebnis.
Als nächstes sollen Tabellen von Werten einer Funktion und Ihren Ableitungen erstellt
werden und einzelne Funktionswerte berechnet werden. Dazu werden zunächst ein
Laufbereich, dann die Funktionen und deren Ableitungen definiert und mit f(x)= , g(x)= ,
usw. die Tabellen berechnet. Einzelwerte können mit f(-1) berechnet werden. (siehe unten
stehendes Beispiel)
x := −1, 0.. 4
2
f( x) := x − 2 ⋅ x + 1
g( x) :=
d
f (x)
dx
2
h( x) := d f ( x)
dx2
f( x) =
g( x) =
h( x) =
4
-4
2
1
-2
2
0
0
2
1
2
2
4
4
2
9
6
2
f( −1) = 4
g( 1.6) = 1.2
h (16) = 2
11. Übung: Berechnen Sie wie oben angegeben die gesuchten Werte.
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Kapitel 7
Mittelpunkte der Krümmungskreise einer Ellipse (Evolute der Ellipse) und Konstruktion
der Hauptscheitelkrümmungskreise.
(für jede Kurve neu zu
berechnen)
Symbolische Bestimmung der Zeitableitungen:
d
x( t) → −2 ⋅ sin ( t)
dt
xpp ( t) :=
t := 0, 0.01.. 2 ⋅ π
x( t) := a ⋅ cos( t)
Parameterdarstellung der Ellipse:
xp ( t) :=
Τ
a := 2 b := 1
Halbachsenlängen der Ellipse:
yp( t) :=
d
xp( t) → −2 ⋅ cos ( t)
dt
y( t) := b ⋅ sin( t)
d
y( t) → cos ( t)
dt
ypp( t ) :=
d
yp( t ) → −sin ( t)
dt
(für beliebige Kurven gleich)
Krümmungsradius und Evolutengleichung:
Ableitungen nach x in Abhängigkeit vom Parameter t:
y´( t) :=
y´´ ( t) :=
yp( t )
xp( t )
−1
→
2
⋅
cos( t)
sin ( t )
xp( t) ⋅ ypp ( t) − xpp( t) ⋅ y p( t)
xp( t)
1
vereinfachen , trig →
3
 4 ⋅ sin ( t ) ⋅ (− 1 + cos ( t) 2)
Evolutengleichung:
x-Koordinate des Krümmungsmittelpunkts
xM ( t) :=  x( t) −

y´( t)
y´´ ( t)
(
⋅ 1 + y´( t)
) vereinfachen, trig
2
→

3
2
⋅ cos( t)
3
y-Koordinate des Krümmungsmittelpunkts
y M( t) :=  y ( t) +

(
)  vereinfachen, trig
1
2
⋅ 1 + y´( t)
y´´( t )

Grafische Darstellungen.
Für die Krümmungskreise im
Haupt- und Nebenscheitel:
Das Halbachsenrechteck:
Hauptscheitelkrümmungskreis:
a
⋅t
2⋅π
x2( t) := a
t
2⋅ π
π π
π
t1 := − , − + 0.02..
2 2
2
t2 :=
2
a −b
a
2
x6(t2) := r2 ⋅ cos(t2)
b
2⋅ π
⋅t
y3 ( t) := b ⋅  1 −

y4 ( t) :=
r1 :=
b
1
b
(


t
2⋅ π
)
2
2


⋅ b − a ⋅ 1−
 +b⋅ t

2⋅ π
2⋅ π
t
2
a
+ r 1 ⋅ cos(t1)
π π
π
, + 0.02.. 2 ⋅
3 3
3
)
2
y1 ( t) := b
y2 ( t) :=
x4( t) := x3( t)
x5(t1) :=
Nebenscheitelkrümmungskreis:
x1( t) :=
x3( t) := a ⋅
Die Diagonale im
Halbachsenrechteck und
die Normale darauf:
(
→ 3 ⋅ sin ( t ) ⋅ − 1 + cos ( t)
y5(t1) := r1 ⋅ sin(t1)
2
r2 :=
a
b
y 6(t2) :=
2
b −a
b
2
+ r2 ⋅ sin( t2)
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Kapitel 7
3
2.512
2
y( t)
1
y M( t)
y 1( t)
y 2( t)
y 3( t)
2
1
0
1
2
y 4( t)
y
y
( t 1)
5
1
( t 2)
6
2
− 2.512
3
−2
x( t) , x M( t) , x 1( t) , x 2 ( t ) , x 3( t) , x 4 ( t) , x
5
( t 1) , x 6( t 2)
2
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