Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, SS 2012 ¨Ubungsblatt 10

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, SS 2012
Übungsblatt 10
Bei reinen Verifikationsaufgaben mit Vektoren/Matrizen gilt (auch für die Klausur):
Es reicht, die Probe anhand von zwei Einträgen durchzuführen.
Aufgabe 73: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die Inverse der Matrix A:


1
0
b) A = 
1
0

0
1 −1

2 
a) A = −1 −4
1
2 −1
0
1
0
1
1
0
1
1

0
1

1
1
Aufgabe 74: Die Matrix A ∈ R4×4 sei darstellbar als A = L L> mit

1
1
L = 
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1

0
0
 .
0
1
a) Bestimmen Sie A−1 auf folgende Art:
1) Bestimmen Sie L−1 .
−1
2) Wie lautet (L>) ?
−1
3) Bestimmen Sie A−1 aus L−1 und (L>) .
b) Berechnen Sie A und führen Sie die Probe durch, dass die in a) ermittelte Matrix die
Inverse von A ist. (Dies wird nur dann in den Tutorien besprochen, falls die Zeit reicht)
Aufgabe 75: Gegeben sind die folgenden Vektoren:
 
2
a1 =  1 ,
0


−2
a2 =  4  ,
5


1
a3 = −2 .
2
a) Verifizieren Sie, dass diese Vektoren eine Orthogonalbasis des R3 bilden.
b) Normieren Sie die Vektoren zu einer Orthonormalbasis
b1 , b2 , b3 .
c) Wie lautet die Inverse der Matrix B := b1 , b2 , b3 ?
Aufgabe 76: Die Matrix A ∈ R3×3 sei darstellbar als A = U D U −1 mit


2
2
1
U = 31  2 −1 −2 ,
−1
2 −2

1 0 0
D = 0 21 0  .
0 0 13
a) Verifizieren Sie, dass U eine orthogonale Matrix ist.
b) Wie lautet U −1 ?
c) Wie lautet D−1 ?
d) Bestimmen Sie A−1 aus U , D−1 und U −1 .

Zur weiteren Übung empfohlen (Aufgaben werden nicht in den Tutorien besprochen):
Aufgabe 77: Gegeben eine Matrix A ∈ Rn×n , deren Inverse A−1 bekannt ist, kann man mit
recht geringem Aufwand die Inverse einer Matrix B, die sich von A nur um eine Rang-1-Matrix
uv> unterscheidet, berechnen: Wenn
B = A + uv>
mit zwei Vektoren u, v ∈ Rn , so ergibt sich die Inverse von B als
B −1 = A−1 − λ1 ũ ṽ>
mit ũ := A−1 u, ṽ := v A−1 und λ := 1 + v ũ
>
>
>
sofern λ 6= 0. (Im Fall λ = 0 ist die Matrix B singulär.)
a) Beweisen Sie die angegebene Formel für die Inverse von B = A + uv>.
b) Wir betrachten nun speziell die Matrizen bzw. Vektoren:





1 2 3 4
0 1 2 3
−1 1 0 0
 2 2 3 4 
 1 1 2 3 
 1 −2 1 0




A=
 3 3 3 4 , B =  2 2 2 3 , X =  0 1 −2 1
0 0 1 − 34
4 4 4 4
3 3 3 3


,

 
1
1

u=
1 = −v.
1
1) Verifizieren Sie, dass A−1 = X ist.
2) Verifizieren Sie, dass B = A + uv> ist.
3) Ermitteln Sie die Inverse von B (mit der obigen Formel).
Aufgabe 78:
a) Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = B >B mit einer beliebigen Matrix B ∈ Rm×n .
Zeigen Sie, dass A symmetrisch (A> = A) u. positiv semi-definit (x>Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn ) ist.
b) Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = U DU −1 mit einer orthogonalen Matrix
U ∈ Rn×n und einer Diagonalmatrix D ∈ Rn×n , deren Diagonaleinträge alle positiv sind.
Zeigen Sie, dass A symmetrisch (A> = A) u. positiv semi-definit (x>Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn ) ist.
c) Zeigen Sie, dass die Inverse einer symmetr. Matrix – sofern sie existiert – symmetr. ist.
Aufgabe 79: Gegeben seien k Spaltenvektoren u1 , . . . , uk des Rn , die senkrecht zueinander
stehen und auf eine Länge von 1 normiert sind (d.h. u>
i uj = δi,j für i, j = 1, . . . , k).
Aus diesen Vektoren werden folgende Matrizen gebildet:
>
U := u1 , . . . , uk ∈ Rn×k ,
P := U U ∈ Rn×n ,
Q := I − P ∈ Rn×n .
Zeigen Sie:
a) P und Q sind symmetrisch (d.h. P > = P und Q> = Q);
b) P und Q sind idempotent (d.h. P 2 = P und Q2 = Q);
Hinweis: Verifizieren Sie zunächst U >U = I (= k × k-Einheitsmatrix).
c) Für jeden Vektor u, der Linearkombination von u1 , . . . , uk ist, gilt: P u = u und Qu = 0;
d) Für jeden Vektor v ∈ Rn , der senkrecht zu u1 , . . . , uk steht, gilt: P v = 0 und Qv = v;
 
 
 
2
2
−1
e) Es sei nun speziell n = 3, k = 2 und u1 = 31 2, u2 = 13 −1, v = 13  2 .
1
−2
−2
Bestimmen Sie die Matrizen P und Q aus u1 und u2 ;
verifizieren Sie anschließend, dass Q = vv> gilt.
2