Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, SS 2012 Übungsblatt 10 Bei reinen Verifikationsaufgaben mit Vektoren/Matrizen gilt (auch für die Klausur): Es reicht, die Probe anhand von zwei Einträgen durchzuführen. Aufgabe 73: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die Inverse der Matrix A: 1 0 b) A = 1 0 0 1 −1 2 a) A = −1 −4 1 2 −1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 Aufgabe 74: Die Matrix A ∈ R4×4 sei darstellbar als A = L L> mit 1 1 L = 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 . 0 1 a) Bestimmen Sie A−1 auf folgende Art: 1) Bestimmen Sie L−1 . −1 2) Wie lautet (L>) ? −1 3) Bestimmen Sie A−1 aus L−1 und (L>) . b) Berechnen Sie A und führen Sie die Probe durch, dass die in a) ermittelte Matrix die Inverse von A ist. (Dies wird nur dann in den Tutorien besprochen, falls die Zeit reicht) Aufgabe 75: Gegeben sind die folgenden Vektoren: 2 a1 = 1 , 0 −2 a2 = 4 , 5 1 a3 = −2 . 2 a) Verifizieren Sie, dass diese Vektoren eine Orthogonalbasis des R3 bilden. b) Normieren Sie die Vektoren zu einer Orthonormalbasis b1 , b2 , b3 . c) Wie lautet die Inverse der Matrix B := b1 , b2 , b3 ? Aufgabe 76: Die Matrix A ∈ R3×3 sei darstellbar als A = U D U −1 mit 2 2 1 U = 31 2 −1 −2 , −1 2 −2 1 0 0 D = 0 21 0 . 0 0 13 a) Verifizieren Sie, dass U eine orthogonale Matrix ist. b) Wie lautet U −1 ? c) Wie lautet D−1 ? d) Bestimmen Sie A−1 aus U , D−1 und U −1 . Zur weiteren Übung empfohlen (Aufgaben werden nicht in den Tutorien besprochen): Aufgabe 77: Gegeben eine Matrix A ∈ Rn×n , deren Inverse A−1 bekannt ist, kann man mit recht geringem Aufwand die Inverse einer Matrix B, die sich von A nur um eine Rang-1-Matrix uv> unterscheidet, berechnen: Wenn B = A + uv> mit zwei Vektoren u, v ∈ Rn , so ergibt sich die Inverse von B als B −1 = A−1 − λ1 ũ ṽ> mit ũ := A−1 u, ṽ := v A−1 und λ := 1 + v ũ > > > sofern λ 6= 0. (Im Fall λ = 0 ist die Matrix B singulär.) a) Beweisen Sie die angegebene Formel für die Inverse von B = A + uv>. b) Wir betrachten nun speziell die Matrizen bzw. Vektoren: 1 2 3 4 0 1 2 3 −1 1 0 0 2 2 3 4 1 1 2 3 1 −2 1 0 A= 3 3 3 4 , B = 2 2 2 3 , X = 0 1 −2 1 0 0 1 − 34 4 4 4 4 3 3 3 3 , 1 1 u= 1 = −v. 1 1) Verifizieren Sie, dass A−1 = X ist. 2) Verifizieren Sie, dass B = A + uv> ist. 3) Ermitteln Sie die Inverse von B (mit der obigen Formel). Aufgabe 78: a) Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = B >B mit einer beliebigen Matrix B ∈ Rm×n . Zeigen Sie, dass A symmetrisch (A> = A) u. positiv semi-definit (x>Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn ) ist. b) Die Matrix A ∈ Rn×n sei darstellbar als A = U DU −1 mit einer orthogonalen Matrix U ∈ Rn×n und einer Diagonalmatrix D ∈ Rn×n , deren Diagonaleinträge alle positiv sind. Zeigen Sie, dass A symmetrisch (A> = A) u. positiv semi-definit (x>Ax ≥ 0 ∀x ∈ Rn ) ist. c) Zeigen Sie, dass die Inverse einer symmetr. Matrix – sofern sie existiert – symmetr. ist. Aufgabe 79: Gegeben seien k Spaltenvektoren u1 , . . . , uk des Rn , die senkrecht zueinander stehen und auf eine Länge von 1 normiert sind (d.h. u> i uj = δi,j für i, j = 1, . . . , k). Aus diesen Vektoren werden folgende Matrizen gebildet: > U := u1 , . . . , uk ∈ Rn×k , P := U U ∈ Rn×n , Q := I − P ∈ Rn×n . Zeigen Sie: a) P und Q sind symmetrisch (d.h. P > = P und Q> = Q); b) P und Q sind idempotent (d.h. P 2 = P und Q2 = Q); Hinweis: Verifizieren Sie zunächst U >U = I (= k × k-Einheitsmatrix). c) Für jeden Vektor u, der Linearkombination von u1 , . . . , uk ist, gilt: P u = u und Qu = 0; d) Für jeden Vektor v ∈ Rn , der senkrecht zu u1 , . . . , uk steht, gilt: P v = 0 und Qv = v; 2 2 −1 e) Es sei nun speziell n = 3, k = 2 und u1 = 31 2, u2 = 13 −1, v = 13 2 . 1 −2 −2 Bestimmen Sie die Matrizen P und Q aus u1 und u2 ; verifizieren Sie anschließend, dass Q = vv> gilt. 2