7. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

7. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik
Vorlesung: Eduard Jorswieck
Übung: Rami Mochaourab
Sommersemester 2010
6. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik
Eduard Jorswieck
Wiederholung - kooperative Spieltheorie
➮ Kooperative Spiele haben die Möglichkeit verbindlicher Abmachungen,
d.h.
➠ Kommunikation und
➠ exogene Durchsetzung.
➮ Axiomatische Verhandlungstheorie: (axiomatic bargaining theory)
Theorem 1. [Nash 1950] Die Funktion F erfüllt die vier Axiome
(N 1), (N 2), (N 3), (N 4) genau dann wenn sie das Optimierungsproblem
F (P, c) = arg max (u1 − c1)(u2 − c2)
u∈P
löst.
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Eduard Jorswieck
Axiomatische Verhandlungsspiele
➮ Die Nash-Lösung ist nicht monoton.
(N6) Eine Lösung ist monoton, wenn für jeden Spiele i gilt fi(R, c) ≥
fi(P, c) falls P eine Teilmenge von R ist.
➮ Inhaltlich ist es durch Vorstellungen über Fairneß begründet: Wenn
den Spielern in einem Spiel (R, c) Auszahlungsvektoren zur Verfügung
stehen, die in allen Komponenten einen höheren Wert implizieren als im
ursprünglichen Auszahlungsraum P, so soll das Verhandlungsergebnis für
alle Beteiligten besser werden.
➮ Ein weiterer Kritikpunkt an der Nash-Lösung ist, dass sie nicht Unterschiede im Verhandlungsgeschick berücksichtigt.
➠ Dieser Unterschied im Verhandlungsgeschick wird bei Kalai (1977)
durch die asymmetrische Nash-Lösung berücksichtigt.
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Eduard Jorswieck
➮ Mit Parameter a, 0 ≤ a ≤ 1 erhält man als asymmetrische Nash-Lösung:
N P ∗ = (u∗1 − c1)a(u∗2 − c2)1−a.
➠ Für n Spieler, a1, ..., an mit
P
i ai
= 1.
➮ Beispiel kanonisches Spiel mit c = 0 und
P
i ui
= n =⇒ Tafel
➮ Verhandlungsgeschick versus Verhandlungsmacht
➮ In der Theorie wird die asymmetrische Nash-Lösung häufig zur Modellierung von Verhandlungsergebnissen auf dem Arbeitsmarkt, insbesondere
auf die Beziehung Gewerkschaften und Arbeitnehmer (Verbände) angewandt.
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Kalai-Smorodinsky-Lösung
(N7) Individuelle Monotonie: Gilt für zwei Verhandlungsspiele (P, c)
und (R, c) die Gleichung mi(P) = mi(R) für Spieler i, dann folgt für
die Lösung
fj (R, c) ≥ fj (P, c)
für den Spieler j 6= i falls P eine echte Teilmenge von R ist.
➠ Dabei ist mi(P) = max(ui|u ∈ P).
➮ Der Punkt (m1(P), m2(P)) heißt Idealpunkt des Spiels (P, c).
(N8) Beschränkte Monotonie: Sind (R, c) und (P, c) Spiele, so daß
P eine echte Teilmenge von R und m(P) = m(R) ist, dann gilt
fi(R, c) ≥ fi(P, c) für alle Spieler i.
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➮ Die Axiomatik der KS-Lösung ersetzt das Axiom (N3), Unabhängigkeit
von irrelevanten Alternativen durch das Axiom (N7).
➠ Für zwei Spieler gilt für alle u ∈ P und v ∈ P:
u2 − c2 m2 − c2
=
,
u1 − c1 m1 − c1
v2 − c2 m2 − c2
ui ≥ vi und
=
.
v1 − c1 m1 − c1
➠ Das Verhandlungsergebnis ist der Schnittpunkt der Geraden L(c, m)
und der Nutzengrenze H(P).
➮ Ein Gegenbeispiel zeigt, dass die KS-Lösung nicht das Monotonie-Axiom
erfüllt.
➮ Roth bewies 1979, dass es für beliebige Spiele (P, c) mit mehr als zwei
Spielern keine Lösung gibt, die stets die Bedingungen Symmetrie (N2),
PO (N4) und individuelle Rationalität (N7) erfüllt.
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(N5) Teilbarkeit: Sind (P, c) und (R, c) zwei Verhandlungsspiele mit
R ⊆ P, dann ist eine Lösung f teilbar, wenn f (P, f (R, c)) = f (P, c)
und (P, f (R, c)) ebenfalls ein Verhandlungsspiel ist.
➮ Die Nash-Lösung ist nicht teilbar, denn u∗ wird durch Anwendung von
F auf (R, c) nur dann erreicht, wenn f (R, c) = u′ der Bedingung
u′2 − c2 u∗2 − c2
du∗2
= ∗
=− ∗
′
u1 − c1 u1 − c1
du1
genügt.
➮ Die KS-Lösung ist ebenfalls nicht teilbar nach (N5).
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Proportionale und egalitäre Lösung
➮ Die PR-Lösung soll bei einem Übergang von einem Verhandlungsspiel zu
einem anderen mit gleichem Konfliktpunkt aber größerem Auszahlungsraum, allen Spielern Auszahlungszuwächse bieten, die in einem festen
Verhältnis zueinander stehen.
➠ Axiom (N5) und Fairneß (N6) soll sichergestellt werden, damit kann
PO (N4) nicht immer erfüllt werden.
➮ PR-Lösung
P R(P, c) = T p + c
mit T = T (P, c) ist die reelle Zahl, die t für pt + c in P maximiert.
➠ Der Vektor p bestimmt das Verhältnis. Solange pi > 0 ist individuelle
Rationalität gewährleistet solange T ≥ 0.
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➮ Ein Sonderfall der PR-Lösung stellt damit die egalitäre Lösung dar.
u2
T p2 + c2
P R(P, c)
E(P, c)
p2 + c2
c2
u1
c1 p1 + c1 T p1 + c1
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Behavioristische Verhandlungsmodelle
➮ In den axiomatischen Verhandlungsspielen wurde der Verhandlungsprozeß und dessen institutionelle und verhaltenstheoretische Annahmen
nicht analysiert.
➮ In behavioristischen Verhandlungsmodellen geht man von einem bestimmten Verhalten der Spieler aus, das auf dem Weg zum Verhandlungsergebnis hin relevant sein soll.
➠ Phänomene wie Verhandlungsangebote und Konzessionen werden
bedeutsam und beschreibbar.
➠ Es kann zum Beispiel entscheidend werden, wer als erster ein Verhandlungsangebot machen kann (oder muß).
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➮ Der Verhandlungsvorschlag des Spielers 1 wird mit x = (x1, x2) und der
des Spielers 2 mit y = (y1, y2) bezeichnet.
➠ x und y sind machbar, wenn x ∈ P und y ∈ P.
➠ Ein Vorschlag x ist effizient falls x ∈ H(P).
➠ Die Vorschläge x und y sind individuell rational wenn gilt:
x1 ≥ y1 ≥ c1
und y2 ≥ x2 ≥ c2.
➮ Die Vorschläge x′ und y ′ sind brauchbare Konzessionen, wenn - ausgehend von x und y in der Vorperiode - gilt
x′2 > x2
und y1′ > y1 .
(1)
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➠ Spieler i macht eine volle Konzession, wenn er den Vorschlag des
Mitspielers aus der Vorperiode aufgreift.
➠ Eine Konzession ist partiell, wenn sie (1) erfüllt und nicht voll ist.
➮ Die Vorschläge x und y im Spiel (P, c) sind kompatibel, wenn
x2 ≥ y2
und y1 ≥ x1
und (x2, y1) ∈ P.
(2)
➠ Für kompatible Vorschläge x und y ist das Verhandlungsergebnis
durch den Vektor (x1, y2 ) beschrieben.
➠ Ein Abbruch entsteht, wenn die Vorschläge nicht kompatibel sind und
keine Konzession gemacht wird.
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➮ Das Zeuthen-Harsanyi-Spiel (ZHS) geht auf das Lohnverhandlungsmodell
in Zeuthen 1930 und die Ausarbeitung von Harsanyi 1956-1977 zurück.
➮ Wenn die Vorschläge in Periode 0 nicht kompatibel sind, stehen drei
Alternativen den Spielern zur Verfügung:
i) Wiederholung des Vorschlags x′ = x
ii) Volle Konzession x′2 = y2 und Sicherstellung von Kompatibilität
iii) Partielle Konzession, damit das Spiel weitergeht
i
ii
iii
i
(c1, c2)
(y1 , y2)
(weiter)
ii
(x1, x2)
(y1, x2)
(x′1, x2)
iii
(weiter)
(y1, y2′ )
(weiter oder Einigung)
➮ Um die Fälle (i,iii), (iii,i) und (iii,iii) näher zu bestimmen, muß der
Verhandlungsprozeß weiter spezifiziert werden.
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➮ Harsanyi geht basierend auf Zeuthen davon aus, dass
➠ jener Spieler in der nächsten Periode eine Konzession macht, dessen
Risikogrenze bzw. Kampfneigung niedriger ist, und
➠ beide Spieler Konzessionen machen, wenn Risikogrenzen gleich groß.
➮ Die Risikogrenzen r1, r2 sind gegeben durch
r1 =
x1 − y1
x1 − c1
und
r2 =
y2 − x2
.
y2 − c2
➮ Das Zeuthen-Prinzip ist formuliert als
(1) Ist ri > rj dann macht Spieler j eine Konzession.
(2) Ist r1 = r2 dann machen beide eine Konzession falls x 6= y.
(3) Sind x, y kompatibel, dann ist Einigung erzielt.
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➮ Die Zeuthen-Nash-Analogie zeigt, dass aus r1 > r2 folgt
(x1 − c1)(x2 − c2) > (y1 − c1)(y2 − c2).
Anwendung des Zeuthen-Prinzips impliziert die Maximierung des NashProduktes.
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Strategische Verhandlungsspiele
➮ Verhandlungsspiele ohne verbindliche Abmachungen (strategische Verhandlungsspiele) werden zur Modellierung und Analyse von Verhandlungsprozessen ohne Möglichkeit der bindenden Abmachungen oder Institutionen (Regelsysteme, Gesetze), die unter nicht-kooperativen Verhandlungsbedingungen zu Ergbenissen führen, die sich aus der axiomatischen
Theorie ableiten.
➮ Das Modell konvergenter Erwartungen geht auf Anbar und Kalai (1978)
zurück.
➠ Nash-Lösung ergibt sich als Nash-Gleichgewicht, wenn jeder Spieler
seinen Erwartungsnutzen unter der Annahme maximiert, dass die Entscheidung des Gegenspielers i durch eine Gleichverteilung über [ci, h(cj )]
beschrieben wird.
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➮ Prinzip des unzureichenden Grundes: Hat Spieler i keine Vorstellung wie
die Entscheidungen des Gegenspielers auf dem Intervall verteilt sind, so
ist die Gleichverteilungsannahme eine gängige Annahme (Borch 1969).
➮ Annahmen zum Spielablauf:
➠ Der Konfliktpunkt c resultiert, falls die Forderungen nicht kompatibel
sind.
➠ Die Forderungen werden simultan präsentiert und beruhen nicht auf
Absprachen (keine Kommunikation)
➮ Macht Spieler 1 den Vorschlag x so ist der erwartete Nutzen gleich
E(x) = x1P r[(x1, y2) ∈ P] + c1(1 − P r[(x1, y2) ∈ P])
= x1P r[y2 ≤ h(x1)] + c1P r[y2 > h(x1)].
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➮ Unter der Annahme der Gleichverteilung folgt
h(x1 ) − c2
h(x1) − c2
E(x) = x1
+ c1 1 −
u2,max − c2
u2,max − c2
=
(x1 − c1)(h(x1) − c2)
+ c1 .
u2,max − c2
➮ Die Maximierung von E(x) entspricht der Nash-Lösung und es gilt
x∗ = u∗.
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Das Kuchenteilungsspiel
➮ Ein beliebig teilbarer Kuchen soll zwischen zwei Spielern aufgeteilt werden.
➮ Die Kuchenteilungsregel wird als verbindliche institutionelle Bedingung
eingeführt:
➠ Einer der beiden Spieler teilt den Kuchen und der andere hat die Wahl
zwischen den Teilen.
➮ Ergebnis: Kuchen wird fair aufgeteilt.
➠ Das Ergebnis ist sowohl eine Maximinlösung als auch ein NashGleichgewicht.
➠ Tafel: Entscheidungsbaum.
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