Serie 3 - Universität Basel
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Numerik der partiellen Differentialgleichungen I
Prof. M. Grote / M. Mehlin
Mathematik, HS 2012
Universität Basel
Serie 3
zur 41. KW (08.10. - 14.10.2012)
Aufgabe 3.1: Zeigen Sie für den Fünf-Punkte-Finite-Differenzen-Stern ∆h , dass für h → 0
O(h2 ), u ∈ C 4 (Ω) ,
O(h), u ∈ C 3 (Ω) ,
∆u(x, y) − ∆h u(x, y) =
o(1),
u ∈ C 2 (Ω) ,
gilt.
Aufgabe 3.2: Betrachten Sie die partielle Differentialgleichung
−4uxx (x, y) + 2uxy (x, y) − uyy (x, y) + ux (x, y) = f (x, y) in Ω = (0, 1)2 .
Führen Sie Gitterpunkte (xi , yj ), 0 ≤ i, j ≤ N + 1, mit xi = ih, yj = jh und h = 1/(N + 1)
ein. Leiten Sie eine Finite-Differenzen-Approximation zweiter Ordnung her.
Für N = 3, bestimmen Sie die Matrix A und den Vektor b des entsprechenden Gleichungssystems A · U = b, wobei Sie die folgenden Randbedingungen betrachten:
uy (x, 0) = 0 ,
u(0, y) = 0 ,
uy (x, 1) = 0 ,
u(1, y) = 0 .
Aufgabe 3.3: Betrachten Sie die Poisson-Gleichung
−∆u = f
in Ω = (0, 1)2
mit den Randbedingungen
u(0, y) = 0,
uy (x, 0) = 0,
u(1, y) = 0 für y ∈ [0, 1],
uy (x, 1) = 0 für x ∈ (0, 1).
Führen Sie Gitterpunkte (xi , yj ), 0 ≤ i, j ≤ N + 1, mit xi = ih, yj = jh und h =
1/(N + 1) ein. Zur Diskretisierung der Gleichung nehmen Sie den Fünf-Punkte-FiniteDifferenzen-Stern. Die Neumann-Randbedingungen approximieren Sie durch den zentralen
Differenzenquotienten. Mit der lexikographischen Nummerierung berechnen Sie die Matrix
A und den Vektor b des linearen Gleichungssystems A · U = b für N = 3.
Aufgabe 3.4: (Programmieraufgabe)
Schreiben Sie einen MATLAB-Code FD Poisson2D DNR.m zur Lösung der Poisson-Gleichung
−∆u = f
in Ω = (1, 4) × (0, 2)
1
mit den Randbedingungen
u(1, y) = 0,
uy (x, 0) = 0,
u(4, y) = 0 für y ∈ [0, 2],
uy (x, 2) = 0 für x ∈ (1, 4).
Zur Diskretisierung der Gleichung nehmen Sie den Fünf-Punkte-Finite-Differenzen-Stern.
Die Neumann-Randbedingungen approximieren Sie durch den zentralen Differenzenquotienten. Das Gitter Ωh := {(1 + ihx , jhy ) , 0 ≤ i, j ≤ N + 1 , hx = 3/(N + 1) , hy = 2/(N + 1)}
nummerieren Sie lexikographisch. Die Matrix soll im sparse-Format gespeichert werden.
Als Testproblem wählen Sie die vorgegebene Lösung
u(x) = sin(πx) cos(πy).
Für N = 10, 20, 40, 80 berechnen Sie den numerischen Fehler bezüglich der Maximumnorm und zeichnen Sie die numerische bzw. exakte Lösung. Welches Verhalten des Fehlers
beobachten Sie für verschiedene Werte von N ?
Aufgabe 3.5: Sei Ω ⊂ R2 ein beschränktes Gebiet mit Rand ∂Ω stückweise C 1 . Beweisen
Sie den Gaussschen Integralsatz
Z Z
Z
div Fdx dy =
F · n ds,
Ω
∂Ω
wobei F : Ω → R2 stetig differenzierbar ist und div F :=
∂
∂
F1 (x, y) +
F2 (x, y), für den
∂x
∂y
Spezialfall Ω = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x < 1, 0 < y < 1 − x}.
Abgabe: Mittwoch, 10. Oktober 2012, bis 10 Uhr im Fach
Allgemeine Informationen zur Vorlesung und Übungsblätter befinden sich auf der Webseite
http://tinyurl.com/NumPDE1
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