NACHTEST : UE Statistische Physik SS08

NACHTEST : UE Statistische Physik SS08
17.10.2008, 16:00 Uhr, FH HS5
1. Ein klassisches Gas besteht aus N Teilchen und befindet sich in einem
Kasten mit Volumen V in Kontakt mit einem Wärmebad der Temperatur T . Die Hamiltonfunktion dieses Gases lautet
H=
N
X
p2x,i + p2y,i + p2z,i
i=1
2m
.
(a) (7 Pkte) Berechnen Sie die Helmholtzsche freie Energie F (V, T, N ).
(b) (4 Pkte) Berechnen Sie den Mittelwert der inneren Energie E des
Systems.
(c) (4 Pkte) Berechnen Sie die Entropie S des Systems.
(d) (4 Pkte) Berechnen Sie den Druck P und zeigen Sie die Zustandsgleichung P V = N kB T .
(e) (7 Pkte) Dem Gas wird Wärme zugeführt wobei der Zustand des
Systems von (P1 , V1 ) zu (P2 , V2 ) bei konstantem Verhältnis X =
P/V geändert wird. Berechnen Sie die Wärme, die bei diesem Prozess zugeführt werden muss (in Abhängigkeit von P1 , V1 , P2 , V2 ).
N wird konstant gehalten.
2. (7 Pkte) Gegeben sei ein Ensemble von Teilchen. Die Hamiltonfunktion
jedes Teilchens ist gegeben durch
H=
p2x + p2y 1
+ mω 2 x2 + y 2 .
2m
2
Berechnen Sie die Anzahl der Zustände in der Energieschale E − ∆ <
H < E (im µ-Raum).
3. Gegeben sei ein ideales Bosegas in einer zweidimensionalen harmonischen Falle. Die Bosonen im Gas sind ununterscheidbar und die Hamiltonfunktion jedes Bosons ist gegeben durch
H=
p2x + p2y 1
+ mω 2 (x2 + y 2 ) .
2m
2
(a) (4 Pkte) Schreiben Sie die Eigenenergie ǫnx ,ny eines Bosons und
das großkanonische Potential J an.
Q
Hinweis: ZGK = nx ,ny (1 − exp[−β(ǫnx ,ny − µ)])−1
(b) (4 Pkte) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Teilchenzahl
hN i und der Erwartungswert der Energie des gesamten Gases hEi
gegeben sind durch
hN i =
X
1
nx ,ny
β (ǫnx ,ny −µ)
e
−1
,
hEi =
ǫnx ,ny
X
nx ,ny
β (ǫnx ,ny −µ)
e
−1
.
(c) (9 Pkte) Schreiben Sie das kritische chemische Potential an und
zeigen Sie, dass es die Bose-Einstein-Kondensation für dieses Gas
gibt.
Hinweis: Zeigen Sie
1
hNnx ,ny >0 i →
6
πkB T
h̄ω
!2
.
Hinweis
•
R∞
−∞
2
e−x dx =
√
π
• Grundgleichung der Thermodynamik
dE = T dS − P dV + µdN,
dF = −SdT − P dV + µdN
• Volumen einer 4-dimensionalen Kugel mit Radius R:
V =
•
Z
0
∞
dx
π 2 R4
2
π2
x
=
ex − 1
6