Angewandte Mathematik und Grundlagen der Numerik 10pt

Angewandte Mathematik und
Grundlagen der Numerik
Vorlesung 10
M. Scherfner
Beispiel für die exakte Lösung eines Anfangswertproblems
Betrachte
ÿ (t) + ω 2 y (t) = 0 mit y (0) = 1, ẏ (0) = 0, ω 6= 0.
Ansatz: y (t) = e λt (Bitte sehen Sie die Tafel).
Wir halten fest: λ = ±iω, folglich y (t) = Ae iωt + Be −iωt .
y (0) = Ae iω0 + Be −iω0 = A + B = 1.
ẏ (0) = Aiωe iω0 − Biωe −iω0 = iωA − iωB = 0 ⇔ A − B = 0.
Damit ergibt sich: A = B =
1
2
⇒ y (t) = 12 e iωt + 12 e −iωt = cos(ωt).
Anfangswertprobleme für gewöhnliche
Differentialgleichungen erster Ordnung
Im Folgenden wollen wir uns aus Gründen der Übersichtlichkeit in
dieser Einführung auf den Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen
erster Ordnung beschränken.
Ein Anfangswertproblem hat dann die folgende Gestalt:
ẏ (t) = f (t, y (t)),
Dabei sind t0 , y0 ∈ R und f ist stetig.
y (t0 ) = y0 .
Numerische Behandlung
Gibt es eine andere Möglichkeit der (näherungsweisen) Lösung des
Problems? (Bitte sehen Sie die Tafel.)
Wir halten fest:
tk = t0 + kh
und
yk+1 = yk + hf (tk , yk ),
k = 1, 2, 3, . . .
h: Zeitschritt
f (tk , yk ): Aktuelle Geschwindigkeit (Änderung).
Wir bezeichnen dieses Vorgehen als Euler-Verfahren.
Weiteres Beispiel für die exakte Lösung eines
Anfangswertproblems
Wir betrachten die Wachstumsgleichung für β = 1:
ẏ (t) = y (t),
y (0) = 1.
Hier haben wir also t0 = 0 und y0 = 1. (Bitte überlegen Sie sich
die Lösung.)
Wir halten fest: y (t) = e t .
Skizze (für den positiven Bereich):
20
15
10
5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Numerische Behandlung des Beispiels
Wir erhalten aus t0 = 0:
tk = hk
und
yk+1 = yk + hyk .
(Bitte sehen Sie für Berechnungen die Tafel.)
Veranschaulichung der berechneten Werte:
h = 1 und h = 0, 5
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Veranschaulichung der berechneten Werte:
h = 1 und h = 0, 5
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen:
h = 1 und h = 0, 5
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen
Nachstehend einige Grafiken, für welche die Daten mit dem
Computer berechnet wurden.
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen:
h = 1 und h = 0, 6
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen:
h = 1 und h = 0, 4
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen:
h = 1 und h = 0, 1
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Vergleich der exakten und numerischen Lösungen:
h = 1 und h = 0, 05
30
25
20
15
10
5
1
2
3
4
5
Was steckt dahinter?