Mathematik für Elektrotechniker grosse Übung 0

Mathematik für Elektrotechniker
grosse Übung 0
Prof. Dr. Volker Bach, Dr. Miguel Ballesteros, Dr. Sébastien Breteaux,
Institut für Analysis und Algebra.
Aufgabe 0.1 Summe den Potenzen einer Zahl.
Sei a ∈ R ein reellen Zahl, und n ∈ N ein ganzen Zahl. Sei
Sn (a) :=
n
X
aj = 1 + a + a2 + a3 + a4 + · · · + an−1 + an
j=0
die Summe den n + 1 ersten Potenzen von a.
• Fall a 6= 1:
Wir wollen zeigen, dass Sn (a) =
an+1 −1
a−1 .
1. Erste Methode: Berechne (a − 1) Sn (a).
2. Zweite Methode: Beweise es mit Hilfe einer vollständige Induktion.
Anwendung:
3. Berechne S7 (2) und S10 ( 21 ).
• Fall a = 1:
4. Berechne Sn (1).
Aufgabe 0.2 Grundlage über Mengen
Seien A := {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B := {4, 5, 6, 7, 8, 9} und C := {1, 3, 5, 7, 9} drei Mengen von ganzen
Zahlen.
1. Berechne A ∩ B, A ∪ B, (A ∩ B) ∪ C und (A ∪ B) ∩ C.
Und jetzt mit Mengen
von Mengen.
Seien D := {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {2, 3} und E := {2, 3}, {2}, {1, 2}, {2, 3, 4} .
2. Berechne D ∪ E und D ∩ E.
Seien F := {0}, G := {2} und H := (0, 2].
3. Berechne H ∪ F , H \ G, H ∩ G.
4. Schreibe (3, 7) \ {4, 6} als eine Vereinigung von Intervallen.
Seien I, J und K drei Mengen.
4. Zeige, dass (I ∪ J) ∩ K = (I ∩ K) ∪ (J ∩ K).
1
Aufgabe 0.3 Fakultät
Wir wiederholen, dass, für ein ganzen Zahl n ∈ N, die Fakultät ist durch
n! := 1 · 2 · 3 · 4 · · · · · (n − 1) · n
definiert. Wir definieren auch 0! := 1
1. Berechne 1!, 2!, 3!, 4! und 5!.
Sei n ∈ N, n ≥ 3 ein ganzen Zahl grösser oder gleich 3.
2. Berechne
n!
(n+3)! .
Aufgabe 0.4 Einzige Berechnungen
Mit dem Betrag.
1. Berechne die Menge den reellen Zahlen x ∈ R sodass
| − x2 + x + 1| < 1 .
Mit einem Quotient von Potenzen. Seien x, y, z ∈ R reellen Zahlen ungleich null, und α, β, γ ∈ Z.
2. Kürze
x2α y β−1 z γ
.
xα y −β (z γ )3
2