Physik für Informatiker

2
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Nothing can be more fatal than too confident reliance on mathematical sym”
bols: for the student is only too apt to take the easier course, and consider the
formula and not the fact to be the physical reality“,
William Thomson (Lord Kelvin).
Physik für Informatiker
Vorlesung gehalten an der ETH Zürich
SS 2007
120
Physik, FS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
z
A
h
v=0
2R
B
N
mg
mg
N
N
Danksagung:
mg
N
x
mg
Abbildung 4.8: Bei der Bewegung in einer Schleife auftretende Kräfte.
schwindigkeit, während er sich abwärts bewegt, und verliert Geschwindigkeit,
wenn er sich aufwärts bewegt.
In jedem Punkt der Bahn wirken zwei Kräfte auf den Ball (siehe Abb. 4.8):
Prof. Dr. André Rubbia
1. Die Gravitationskraft mg, die stets nach unten zeigt.
22. März 2007
2. Die von der Bahn ausgeübte Normalkraft N , deren Richtung von der
Position des Balls abhängt.
Wir bemerken:
Am höchsten Punkt der Schleife zeigen die Gravitationskraft und die Normalkraft in dieselbe Richtung und nach unten“.
”
Die Kreisbewegungsgleichung (Siehe Kap. 2.7.1) besagt, dass die Beschleunigung des Balls, der sich mit der Geschwindigkeit v auf einem Kreis bewegt, die
folgende sein muss:
v2
a=
(4.48)
R
wobei R der Radius der Kreisschleife ist. Damit ist die resultierende Kraft, die
auf den Ball wirkt, gleich
N + mg = ma = m
v2
r
(4.49)
Dr. A. Badertscher hat durch die mit ihm geführten Diskussionen über Physik
zum Inhalt der Vorlesung beigetragen, und ich möchte ihm herzlich danken für
das kritische Lesen des ganzen Vorlesungsskripts. Herr G. Natterer hat mir mit
den Demonstrationsexperimenten viel geholfen. Ich möchte mich auch bei den
Herren R. Epprecht und G. Wetzel herzlich bedanken für die Vorbereitung der
Demonstrationsexperimente und für ihre Hilfsbereitschaft bei der Anpassung
der Experimente an meine Wünsche. ETH Zürich, Juli 2005.
Tit. Prof. W. Fetscher hat die Übersetzung des Skripts von Framemaker-Form
ins Latex durchgeführt, und ich möchte ihm für diese formidable Arbeit danken.
Die Diskussionen über die Physik haben auch zur Verbesserung der Vorlesung
beigetragen. Wie immer bin ich glücklich die Hilfe von Dr. A. Badertscher zu
haben, für das kritische Lesen des ganzen Vorlesungsskripts und die Wirkung
als Übungschef. Bei den Herren G. Natterer und R. Epprecht bedanke ich mich
für die kompetente Hilfe zur erfolgreichen Demonstration der Experimente.
ETH Zürich, März 2007.
4
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
2.2.3
2.3
2.3.1
Inhaltsverzeichnis
Einige spezielle Bewegungsvorgänge . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1.1
Gleichförmige, geradlinige Bewegung . . . . . . 34
2.3.1.2
Gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4
Beschleunigung durch die Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5
Bewegung in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
2.5.1
Der Ortsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Warum Physik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.5.2
Der Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.1.1
4
2.5.3
Der Beschleunigungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1 Einleitung
1.1
Der Begriff der Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 32
Integration der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ziel der Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Zerlegung und Integration der Bewegung . . . . . . . . . . . . . 45
1.2 Die experimentelle Methode und die Einheiten . . . . . . . . . .
5
1.3 Der Raum und die Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6.1
Demonstrationsexperiment: Wurf im bewegten System . 46
7
2.6.2
Demonstrationsexperiment: Schuss auf fallende Platte . . 49
1.3.1
1.3.2
Der Raum = Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Zeit = Dauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7
2.7.1
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Dynamik
55
1.4 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1
Die kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2
Die Kugelkoordinaten
1.4.3
Übergang zwischen Koordinatensystemen . . . . . . . . . 15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Die Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1
Die Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2
Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3
Das Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4
Gleichungen für die Ableitung von Vektoren . . . . . . . 21
1.5.5
Die kartesischen Basisvektoren und die Vektorkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.6
Lokales System in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . 24
2 Kinematik
2.1
Die gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1
Die Definition der Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2
Träge und schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2
Der Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3
Die Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4
Das erste Newtonsche Gesetz: Trägheit . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5
Das zweite Newtonsche Gesetz: Aktionsprinzip . . . . . . . . . . 63
3.2.1
3.3.1
29
Die Definition des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Das allgemeine Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.1
Die Definition der Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5.2
Beziehung zwischen Kraft und Beschleunigung . . . . . . 64
Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6
Das dritte Newtonsche Gesetz: Aktion = Reaktion . . . . . . . . 65
2.1.1
3.7
Anwendungen: Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . 66
Massenpunkte oder Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7.1
Ein freier Körper im Weltraum . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.1
Der Begriff der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7.2
Der Rückstoss von Eiskunstläufern . . . . . . . . . . . . 66
2.2.2
Die momentane Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7.3
Raketenantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3
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5
3.8 Anwendungen: Kontaktkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
4.5
Die relativistische Beziehung zwischen Energie und Impuls . . . 118
3.8.1
Körper, die sich aufeinander befinden . . . . . . . . . . . 70
4.6
Potentielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.8.2
Ein hängendes Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7
Anwendung: Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.3
Die schiefe Ebene: statischer Fall . . . . . . . . . . . . . 74
3.8.4
Eine Rückstellkraft: Die Federkraft . . . . . . . . . . . . 75
4.8
Die Arbeit, die eine Kraft leistet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.8.5
Die Spannung: Fadenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8.1
Bewegung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.9 Anwendung: Berechnung der Bewegungen . . . . . . . . . . . . 79
4.8.2
Bewegung in mehreren Dimensionen . . . . . . . . . . . 127
4.8.3
Arbeit der Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8.4
Arbeit der Federkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.9.1
Die reibungsfreie schiefe Ebene: dynamischer Fall . . . . 80
3.9.2
Bewegung mit Rollen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.9.3
Die Atwoodsche Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7.1
4.9
Allgemeine potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9.1
3.10 Eine fundamentale Kraft: Das Newtonsche Gravitationsgesetz . 84
Bewegung eines Balles in einer Kreisschleife . . . . . . . 125
Konservative und nicht-konservative Kräfte . . . . . . . . 131
3.10.1 Die Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10 Das Arbeit-Energie-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.11 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.11 Die mechanische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.11.1 Der Drehimpuls eines Teilchens . . . . . . . . . . . . . . 88
4.12 Anwendung: Arbeit-Energie-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.11.2 Das Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.12.1 Die Fluchtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.11.3 Erhaltung des Drehimpulses . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.13 Beziehung zwischen Kraft und potentieller Energie: Der Gradient 138
3.12 Zentrale Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.13.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.12.1 Anwendung: das Flächengesetz . . . . . . . . . . . . . . 93
4.13.2 Die Kraft als Gradient der potentiellen Energie . . . . . 139
3.13 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.13.3 Die geometrische Interpretation des Gradienten . . . . . 142
3.13.1 Eine sinusförmige Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.14 Allgemeine potentielle Energie der Gravitationskraft . . . . . . . 143
3.13.2 Die Periode der Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.13.3 Auslenkung, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . 100
145
5.1 Was sind Wellen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.13.4 Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.1
Beispiel: Seilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.13.5 Die Kraft bei der harmonischen Bewegung . . . . . . . . 104
5.1.2
Beispiel: Wellenausbreitung im Masse-Feder-System . . . 147
3.13.6 Differentialgleichung der harmonischen Bewegung . . . . 104
5.1.3
Beispiel: Wellenausbreitung in einem Gas . . . . . . . . . 148
4 Energie
4.1
5 Mechanische Wellen
107
Definition der Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2 Die relativistischen Grössen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2
Beschreibung der eindimensionalen Wellenausbreitung . . . . . . 149
5.3
Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4
Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . 152
5.4.1
Beziehung zwischen Ausbreitungsgeschwindigkeit und
Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Der Geschwindigkeitsparameter . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.2
Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Der relativistische Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.3
Anwendung: Ausbreitungsgeschwindigkeit transversaler
elastischer Seilwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.1
Die Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit . . . . 109
4.2.2
4.2.3
4.3 Die Masse-Energie-Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.5
Wellen im Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
5.5.1
7
Longitudinale elastische Welle im Festkörper . . . . . . . 159
5.6 Prinzip der Superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.6.1
8
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
7 Temperatur, Gase und das Konzept der Wärme
7.1
Anwendung: Superposition harmonischer Wellen . . . . . 161
5.7 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7.1
Eigenschwingungen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.7.2
Wellenfunktionen stehender Wellen . . . . . . . . . . . . 166
6 Materie, Atome und Moleküle
169
205
Die Temperatur und das Gasthermometer . . . . . . . . . . . . 205
7.1.1
Das Gasthermometer und die Definition des Druckes . . 206
7.1.2
Gesetz von Gay-Lussac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.1.3
Gesetz von Boyle und Mariotte . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2
Die absolute Temperatur und die Kelvin-Skala . . . . . . . . . . 208
7.3
Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.2.1
Definition der Kelvin-Skala . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.3.1
Eigenschaften der Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . 212
7.3.2
Gesetze der Wärmestrahlung
6.2 Moleküle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.3
Das Spektrum der Wärmestrahlung . . . . . . . . . . . . 216
6.3 Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.4
Bedeutung der Planckschen Konstanten
7.3.5
Anwendung: die Thermographie . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1
Die Phasen der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
. . . . . . . . . . . . . . . 212
. . . . . . . . . 219
6.3.1
Protonen, Neutronen und Elektronen . . . . . . . . . . . 172
6.3.2
Das Elektronvolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3.3
Das Atom und die Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.4
Struktur der Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.5.1
Definition der Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . 225
6.3.5
Die Isotope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5.2
Wärmekapazität eines (einatomigen, idealen) Gases . . . 226
6.4 Die Avogadro-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.5.3
Wärmekapazität eines Festkörpers . . . . . . . . . . . . . 227
6.5 Die elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4
Ideale Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.5
Wärmeenergie und Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.4.1
7.6
Die Zustandsgleichung für ideale Gase . . . . . . . . . . 222
Latente Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.5.1
Elektrische Ladung der elementaren Teilchen . . . . . . . 179
6.5.2
Leiter und Nichtleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.5.3
Elektrostatische Aufladung von Körpern . . . . . . . . . 181
8.1.1
Definition der inneren Energie . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.6 Das Coulombsche Gesetz: die elektrostatische Kraft . . . . . . . 184
8.1.2
Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
8 Thermodynamik
231
8.1 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . 231
6.6.1
Gravitation versus elektrische Kraft . . . . . . . . . . . . 188
8.2
Mechanische Arbeit eines expandierenden Gases . . . . . . . . . 234
6.6.2
Die elektrische potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . 189
8.3
Thermische Prozesse des idealen Gases . . . . . . . . . . . . . . 235
6.7 Das klassische Atom-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3.1
Isobare Zustandsänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3.2
Isotherme Ausdehnung und Umwandlung von Wärme in
mechanische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3.3
Adiabatische Ausdehnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.7.1
Die experimentelle Entdeckung des Kerns der Atome
(1910) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.7.2
Spektroskopie von isolierten Atomen . . . . . . . . . . . 191
8.4
Wärmemaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.7.3
Spektroskopie des atomaren Wasserstoffs . . . . . . . . . 193
8.5
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . 243
6.7.4
Die Bohrsche Theorie des Wasserstoffatoms (1913)
. . . 197
8.5.1
Der Carnotsche Kreisprozess . . . . . . . . . . . . . . . . 244
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9
10
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
8.5.2
Der Wirkungsgrad der Carnotschen Wärmemaschine . . 248
8.5.3
Wärmemaschine mit maximalem Wirkungsgrad . . . . . 249
10.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.5.4
Das Konzept der Irreversilibität . . . . . . . . . . . . . . 250
10.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.5.5
Thermische Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
8.5.6
Mechanische Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.5.7
Freie und isotherme Expansion des Gases . . . . . . . . . 254
8.6 Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10 Elektromagnetismus
291
10.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
10.2.2 Elektrische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.2.3 Elektrische potentielle Energie und elektrisches Potential 293
10.2.4 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.3 Das magnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.6.1
Die Definition der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.3.1 Der Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.6.2
Entropie und Irreversibilität . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.3.2 Elektrische Ladung und magnetisches Feld . . . . . . . . 297
10.3.3 Magnetische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
9 Relativität
9.1
259
10.3.4 Magnetisches Feld eines Stroms durch einen langen Draht 298
Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10.3.5 Magnetisches Feld eines Stroms durch einen Ring . . . . 299
9.1.1
10.3.6 Magnetisches Feld eines Solenoids . . . . . . . . . . . . . 299
Transformation von einem Bezugssystem ins andere . . . 259
9.2 Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
10.3.7 Magnetisches Feld eines Torus . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.3 Die Galileische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.4 Elektrische Ladung in elektrischen und magnetischen Feldern . . 301
9.3.1
Komponentendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.4 Das Ereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.5 Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle . . . . 266
9.6 Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.4.1 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.4.2 Beschleunigung durch ein elektrisches Potential . . . . . 302
10.4.3 Bewegung einer Punktladung in einem elektrischen Feld . 303
10.4.4 Bewegung einer Punktladung in einem magnetischen Feld 303
10.5 Der elektrische Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.6.1
Das Michelson-Morley Experiment . . . . . . . . . . . . 270
10.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
9.6.2
Das Postulat der konstanten Lichtgeschwindigkeit . . . . 273
10.5.2 Mikroskopische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . 306
9.7 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.5.3 Kraft auf einen elektrischen Strom . . . . . . . . . . . . 307
9.8 Die spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.5.4 Kraft zwischen zwei parallelen Leitern . . . . . . . . . . 307
9.8.1
Prinzip der Relativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.6 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.8.2
Die Einsteinschen Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . 278
10.6.1 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
9.8.3
Invarianz des Raumzeit-Intervalls . . . . . . . . . . . . . 278
9.8.4
Eigenzeit und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . 280
9.8.5
Der ganze Weltraum gehört uns . . . . . . . . . . . . . . 283
9.8.6
Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.7 Die Ladungs- und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.8.7
Die Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . . . . . . 285
10.7.1 Die Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.8.8
Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.7.2 Die vektorielle Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.6.2 Der Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.6.3 Die Definition des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
10.6.4 Das Theorem von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.6.5 Das Theorem von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11
12
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
10.8 Die Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.4.3 Erklärung des photoelektrischen Effekts . . . . . . . . . . 350
10.9 Das Gausssche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.4.4 Masse des Photons: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.9.1 Der elektrische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
11.4.5 Spin des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.9.2 Elektrischer Fluss durch eine geschlossene Oberfläche,
die eine Punktladung umfasst . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.5 Die Wellennatur der Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.9.3 Gausssches Gesetz für das elektrische Feld . . . . . . . . 324
11.5.2 Elektron durch Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.9.4 Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe des
Gaussschen Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.6 Röntgenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.10Divergenz des Magnetfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.11Das Ampèresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.11.1 Das Ampèresche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.12Gesetz von Faraday (Induktionsgesetz) . . . . . . . . . . . . . . 328
10.12.1 Die induzierte Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
10.12.2 Das Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
10.12.3 Induktion durch Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.13Die elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.13.1 Harmonische ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
10.13.2 Das elektromagnetische Spektrum . . . . . . . . . . . . . 339
10.14Die Polarisation des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.14.1 Polarisationsfilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.14.2 Polarisator und Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11 Quantenmechanik
349
11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2 Die Beugung einer Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2.1 Das Prinzip von Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2.3 Position des ersten Minimums . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.2.4 Beugung am Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.3 Licht als Welle
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.3.1 Youngsches Experiment: Interferenz der elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.4 Die Quantisierung des Lichts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.4.1 Der photoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.4.2 Definition des Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.5.1 Die Hypothese von de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.6.1 Elektronenbeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.7 Die Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.7.1 Ein Elektron in einem Kasten . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.8 Die Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.9 Der Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.10Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.11Eigendrehimpuls des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.11.1 Spin des Protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.11.2 Spin und Mehrelektronenatome . . . . . . . . . . . . . . 350
11.11.3 Die Fluchtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.12Das EPR-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
11.13Eine weitere Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
14
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.21 Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.22 Zerlegung eines Vektors in seine kartesischen Komponenten. . . 27
Abbildungsverzeichnis
1.1
Computersimulation des Falls eines Zylinders. . . . . . . . . . .
2.1
Koordinatensystem mit Ursprung O für die Beschreibung der
Bewegung in einer Dimension. Die positive Richtung wurde nach
rechts gewählt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2
Gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung: die Lage
x(t), die Geschwindigkeit v(t) und die (konstante) Beschleunigung a(t) wurden im Plot aufgetragen. . . . . . . . . . . . . . 36
2.3
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: erwartete Fallzeit als
Funktion der Höhe für (a) g=9,81 m/s2 (b) g=2 × 9, 81 m/s2
(c) g = gM ond = 1,67 m/s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4
Darstellung der Verschiebungsvektoren si und der Ortsvektoren
r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
1.2 Computersimulation
der
Raumverteilung
von
Atomen
in
SiliziumNanokristallen
(http://www.cscs.ch/about/RGP/Research/) für zwei bestimmte externe Drücke (links: kein externer Druck, rechts:
externer Druck gleich 22 Gigapascal). . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Der Prototyp des Kilogramms beim BIPM bei Paris, Frankreich.
8
2.5
Definition der momentanen Geschwindigkeit v(t). . . . . . . . . 40
1.4 Ein Gitter im Raum: der Punkt P wird bezüglich des Ursprungs
O definiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6
a) Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, b) lineare und c)
Kreisbeschleunigung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5 Definition des kartesischen Koordinatensystems mit drei zueinander senkrechten Achsen und entsprechendem Gitter. . . . . . 12
2.7
Wurf im bewegten System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.8
Schuss mit Kanone auf fallende Platte. . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9
Koordinatensystem beim Schuss mit der Kanone. . . . . . . . . 50
1.8 Kugelkoordinaten in drei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1
Demonstrationsexperiment: Wagen auf einer Luftkissenbahn. . . 57
1.9
Übergang zwischen Kugel- und kartesischen Koordinaten. . . . . 15
3.2
Ein Rückstossversuch: a) Anfangszustand b) Faden zerschnitten. 57
1.10 Ein Vektor stellt eine Verschiebung im Raum dar. . . . . . . . . 16
3.3
Waage. Wenn die zwei Massen gleich sind, wird der Stab stillstehen. Der Stab ist im Gleichgewicht. . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4
Die Beschleunigung des Balles ist zum Zentrum des Kreises hin
gerichtet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5
1.16 Projektion von a auf b und Projektion von b auf a zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . 19
Rückstoss der Eiskunstläufer. Das Gesamtimpuls wird erhalten.
Da die Masse des Mannes doppelt so gross ist wie die des Jungen, beträgt seine Geschwindigkeit nur die Hälfte derjenigen des
Jungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6
Prinzip des Raketenantriebs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.17 Das Vektorprodukt und die Rechte-Hand-Regel. . . . . . . . . . 20
3.7
Rückstossexperiment: Durch den Rückstoss wird der Wagen und
der Mensch nach vorne getrieben. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8
Aufeinander befindliche Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9
Aufeinander befindliche Körper mit markierten Schwerpunkten
und Kräftediagramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.6 Kartesische Koordinaten in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . 13
1.7 Kartesische Koordinaten in drei Dimensionen. . . . . . . . . . . 13
1.11 Kommutativität der Vektoraddition. . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.12 Assoziativität der Vektoraddition. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.13 Entgegengesetzter Vektor −a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14 Subtraktion von Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.15 Skalarprodukt zweier Vektoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.18 Definition der kartesischen Einheitsvektoren. . . . . . . . . . . . 22
1.19 Geometrische Definition der lokalen Einheitsvektoren im Kugelkoordinatensystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.20 Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
13
3.10 Hängendes Gewicht und dazugehörige Kräfte. . . . . . . . . . . 73
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
15
3.11 Die schiefe Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
16
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
4.1
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Das Lichtsignal breitet sich
durch den Hörsaal nach links aus, und kommt wieder nach rechts
zurück, nachdem es von einem Spiegel reflektiert wurde. . . . . . 110
4.2
Im elektrischen Feld beschleunigtes Elektron. . . . . . . . . . . . 112
4.3
Abhängigkeit des klassischen und des relativistischen Impulses
von der Geschwindigkeit v/c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4
Die Sonne. Wir wissen, dass die Sonne mit derselben Rate
während ungefähr 5 Milliarden Jahren gebrannt hat. . . . . . . 115
3.17 Messung der Beschleunigung mit Wagen. . . . . . . . . . . . . . 81
4.5
Freier Fall eines Wassersackes. Was passiert energetisch? . . . . 119
3.18 Kräftediagramm zur Messung der Beschleunigung mit Wagen. . 82
4.6
3.19 Eine Atwoodsche Maschine mit einem masselosen Faden und
einer reibungsfreien Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Freier Fall eines Wassersackes. Wenn der Sack frei fällt, wird
seine kinetische Energie zunehmen. . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7
Bewegung in einer Schleife von Punkt A zum Punkt B. . . . . . 123
3.20 Die Definition des Vektors r 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8
Bei der Bewegung in einer Schleife auftretende Kräfte. . . . . . 124
3.21 Die Gravitationskraft ist immer anziehend, und beide Körper
spüren dieselbe Anziehungskraft, aber mit entgegengesetztem
Vorzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.9
Arbeit, die eine Kraft an einem Körper leistet. . . . . . . . . . . 126
3.12 Demonstrationsexperiment: Wagen auf einer Luftkissenbahn. . . 76
3.13 An einer Feder aufgehängte Massen. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.14 Federkraft-Diagramm. Weil die Federkraft versucht, die Feder in
ihren ursprünglichen Zustand zurückzuführen, spricht man von
Rückstellkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.15 Fadenkraft. Zwei Menschen ziehen am Faden. . . . . . . . . . . 78
3.16 Beschleunigte Bewegung auf schiefer Ebene. . . . . . . . . . . . 80
3.22 Eine Galaxie. Die Sterne werden durch die Gravitationskraft
zusammengehalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.23 Die Gravitationskraft der Erde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10 Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Bahn in zwei Dimensionen, die zwei Punkte 1 und 2 verbindet. Die Kraft wird als eine
Funktion des Ortsvektors definiert. Die Arbeit wird berechnet
entlang der Bahn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.24 Die Definition des Vektors r 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.11 Zur Berechnung des Linienintegrals zwischen zwei Punkten r 1
und r 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.25 Die Rechte-Hand-Regel für das Vektorprodukt. . . . . . . . . . . 89
4.12 Zur Wegunabhängigkeit der Arbeit im Gravitationsfeld. . . . . . 132
3.26 Zur Definition des Vektorprodukts L = r × p: L = r⊥ p = r p⊥ . . 90
4.13 Arbeit bei der Gravitationskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.27 Drehimpuls in z-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.28 Zum Unterschied zwischen Kraft und Drehmoment. . . . . . . . 92
3.29 Flächengesetz: Vom Ortsvektor r in der Zeit dt überstrichene
Fläche dA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.30 Schwingwagen: Der Wagen ist mit zwei Federn verbunden. . . . 96
3.31 Das Pendel bewegt sich sinusförmig: Die Bewegung der aufgehängten Masse (Pendel) und die Projektion der Kugel auf die
Wand werden verglichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.32 Die Pendelbewegung ist gleich der Projektion einer Kreisbewegung. Ein Punkt bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
auf dem Kreis. Der Radius ist gleich 1. . . . . . . . . . . . . . . 98
5.1
Seilwelle: Ein Seil wird durch den Hörsaal gespannt. . . . . . . . 146
5.2
Ausbreitung einer transversalen Seilwelle. Der Wellenberg wandert mit konstanter Geschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3
Ein Feder-Masse-System. Die erste Masse wurde transversal ausgelenkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.4
Longitudinale Wellen im Masse-Feder-System. Die zweite und
dritte Masse von rechts sind aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. . . . 147
5.5
Transversale Wellen im Masse-Feder-System. . . . . . . . . . . . 148
5.6
Wellen in einem Gas (Schall). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.7
Translation eines Wellenbergs um a nach links (oberes Bild) bzw.
um a nach rechts (unteres Bild). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.8
Harmonische Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.9
Kräfte, die auf das Massenelement dm wirken. . . . . . . . . . . 155
3.33 Die graphische Darstellung der ursprünglichen Phase. . . . . . . 99
3.34 Beziehung zwischen Sinus- und Kosinus-Funktionen. Die angegebene Phase δ entspricht der Phasenkonstante, die eine Sinusfunktion sin(ωt+δ) haben muss, um die entsprechende Funktion
zu liefern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.10 Seilwelle: Die Seilspannung wird mit Gewichten erzeugt. . . . . 158
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17
18
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5.11 Welle im Messingstab. Die Welle wird mit zwei Tonabnehmern
an den zwei Enden des Stabes gemessen. . . . . . . . . . . . . . 160
6.17 Emissionsspektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.12 Lineare Verformung eines Stabes unter Normalbelastung. . . . . 161
6.19 Das in der Vorlesung beobachtete Spektrum im Natrium- Demonstrationsexperiment. Der Pfeil zeigt die Absorptionslinie. . . 193
5.13 Zwei Wellen begegnen sich. In c) ist die resultierende Amplitude
gleich der Summe der Amplituden der beiden einlaufenden Wellen.162
5.14 Prinzip der Superposition. Die resultierende Welle wird durch
Addition beider Wellen gefunden. . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.15 Gangunterschied. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.16 Eigenschwingung einer Saite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.18 Absorptionsspektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.20 Das in der Vorlesung beobachtete Spektrum im ZinkDemonstrationsexperiment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.21 Sichtbare Emissionslinien des Wasserstoffatoms (Balmer-Serie). . 196
6.22 Klassisches Modell des Wasserstoffatoms. Das Elektron bewegt
sich um das Proton wie ein Planet um die Sonne. . . . . . . . . 197
5.17 Eigenschwingungen einer Gitarrensaite. . . . . . . . . . . . . . . 167
6.23 Angenommene Kreisbahn des Elektrons um das Proton. Die
Kraft, die Beschleunigung und die Geschwindigkeit sind gezeigt. 198
6.1 Illustration der Wassermoleküle im Eis. . . . . . . . . . . . . . . 170
6.24 Emission von Licht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2 Illustration der Wassermoleküle im Wasser. . . . . . . . . . . . . 170
6.25 Graphische Darstellung der Übergänge von atomarem Wasserstoff. Die Zahl m entspricht dem Endzustandsniveau des Elektrons.202
6.3 Illustration der Wassermoleküle im Dampf. . . . . . . . . . . . . 171
6.4 Das Periodensystem der Elemente. . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.5 (Helium, Neon, Argon und Krypton). Da die Elektronen nicht
wohldefinierten Bahnen folgen, zeigen die dunklen Bereiche diejenigen Zonen an, die mit grösserer Wahrscheinlichkeit mit Elektronen besetzt sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.26 Erlaubte Energieniveaus (d.h. Energie der stationären Zustände)
und Übergänge im Wasserstoffatom. . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.1
Eine Version des Gasthermometers mit konstantem Druck. . . . 206
7.2
6.6 Kerne von Wasserstoff- und Heliumisotopen. Die Protonen und
Neutronen werden als kleine Kugeln dargestellt. . . . . . . . . . 177
Der Druck eines Gases ist zur Temperatur des Gases proportional. Der Ballon wird auf flüssigen Stickstoff gestellt. . . . . . . . 207
7.3
Anordnung für die Bestimmung des absoluten Nullpunkts. . . . 209
6.7 Positiv und negativ geladene Körper. . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4
Der gemessene Druck als Funktion der Temperatur. . . . . . . . 210
6.8 Anordnung für die Demonstration der Existenz der positiven
und negativen elektrischen Ladungen. . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.5
Intensitätsverteilung. Das vom Lichtbogen emittierte Licht wird
mit einem Prisma zerlegt. Das zerlegte Licht wurde an die Wand
projiziert. Man misst die Intensität als Funktion der Wellenlänge
mit Hilfe eines Photodetektors, der sich in der horizontalen Richtung bewegen kann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.6
Die Wärmestrahlung hängt vom Material und von der Oberfläche des Körpers ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.7
Die vom warmen Glas emittierte Wärmestrahlung wird mit einem Parabolspiegel und einem Photodetektor gemessen. . . . . 214
7.8
Hohlraumstrahlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.9
Vergleich zwischen Rayleigh-Jeans-Verteilung und PlanckscherVerteilung (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu). . . . . . . . . 217
6.9 Das in der Vorlesung verwendete Elektroskop. Der Zeiger zeigt,
ob die Kugel geladen ist oder nicht. . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.10 Prinzip des Elektroskops. Auslenkung des Zeigers unabhängig
vom Vorzeichen der Ladung. Gleichnamige Ladungen stossen
sich ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.11 Die verwendete Kelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.12 Zwei Kugeln werden geladen. Man misst die Auslenkung der vertikalen Achse als Funktion des Abstands der Kugeln. Die Auslenkung ist zur Stärke der Abstossung proportional. . . . . . . . 185
6.13 Zur Definition des Vektors r 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.14 Die elektrische Wechselwirkung zwischen den geladenen Elementarteilchen, Elektron und Proton. . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.15 Plot der elektrischen potentiellen Energie. . . . . . . . . . . . . 190
6.16 Kontinuierliches Spektrum (weisses Licht). . . . . . . . . . . . . 191
7.10 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T =
373 K und T = 310 K (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu). . 218
7.11 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen T =
3000 K, 2500 K, 2000 K und 1500 K (http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
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19
7.12 Die Spektralverteilungsfunktion für die Temperaturen
T =3000K, 4000K, 5000K und 6000K (http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.13 Ein praktisches Beispiel: die korrekte Installation einer Pumpe
kann mit Hilfe einer Thermographie kontrolliert werden. Das
Bild hier lässt vermuten, dass das untere Lager zu warm ist
(http:// www.infraredmechanical.com). . . . . . . . . . . . . 221
7.14 Thermische Anomalie bei Hochspannungs-Anschlüssen. . . . . . 221
20
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
8.15 Die (irreversible) freie Expansion eines Gases im Vakuum. Die
Klappe wird zu einer bestimmten Zeit geöffnet und das Gas
expandiert. Die Temperatur des Gases ändert sich nicht während
der Expansion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
8.16 Die reversible (d.h., langsame) isotherme Expansion des idealen
Gases. Um die Temperatur konstant zu halten, muss während
der Expansion Wärme zugeführt werden. . . . . . . . . . . . . . 255
9.1
Definition des Beobachters und seines Bezugssystems. . . . . . . 260
7.15 pV = konst. bei konstanter Temperatur. . . . . . . . . . . . . . 223
9.2
7.16 Vergleich von verschiedenen Temperaturskalen. Der Siedepunkt
und der Gefrierpunkt von Wasser bei 1 atm sind angegeben.
Das erste Thermometer zeigt die zu der Temperatur korrespondierende Energie (1 zJ = 1 Zeptojoule = 10−21 J). . . . . . . . . 224
Definition von zwei Beobachtern, die die Bewegung eines
Körpers messen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.3
Beobachter O und O" mit der Relativgeschwindigkeit V . . . . . 264
9.4
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. Die Zeit,
die die Welle benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen.
Beide Beobachter sind relativ zur Feder in Ruhe. . . . . . . . . . 267
9.5
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. In diesem
Fall bewegt sich der Beobachter relativ zur Feder nach rechts. . 268
9.6
Messung der Ausbreitungsgeschwindigkeit einer longitudinalen
Federwelle, die sich von links nach rechts ausbreitet. In diesem
Fall bewegt sich der Beobachter relativ zur Feder nach links
relativ zur Feder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.7
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um den Stab zu passieren, wird gemessen. . . . . . . . 269
9.8
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um der Stab zu passieren, wird gemessen. Der Beobachter, der den Stab hält, bewegt sich in Richtung des Beobachters, der den Laser hält. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.9
Messung der Lichtgeschwindigkeit. Die Zeit, die der Laserpuls
benötigt, um der Stab zu passieren, wird gemessen. Der Beobachter, der den Stab hält, entfernt sich vom Beobachter, der den
Laser hält. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
7.17 Bestimmung der Wärmekapazitäten von Blei und Aluminium. . 229
8.1 Das Hämmern von Blei erzeugt Wärme. . . . . . . . . . . . . . 233
8.2 Eine fallende Kugel erzeugt Wärme. . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.3 Die von einem Gas geleistete Arbeit während der Expansion um
dV . Der Druck des Gases ist als p bezeichnet. . . . . . . . . . . 234
8.4 Isotherme Expansion eines Gases. Um die Temperatur des Gases während der Expansion konstant zu halten, muss Wärme
zugeführt werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.5
pV -Diagramm der isothermen Expansion. Der Betrag der geleisteten Arbeit ist gleich der getönten Fläche. . . . . . . . . . . . 238
8.6
pV -Diagramm der adiabatischen Expansion des idealen Gases. . 239
8.7 Vergleich der isothermen und adiabatischen Expansion des idealen Gases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
8.8 Prinzip der Wärmemaschine und Wärmepumpe. Es gilt TW > TK .241
8.9 Demonstrationsexperiment: die Stirling-Maschine . . . . . . . . 242
8.10 Illustration des Kreislaufs der Wärmemaschine von Stirling. . . 243
8.11 Die Stirling-Maschine kann auch umgekehrt laufen. . . . . . . . 244
8.12 Das während der Vorlesung gemessenen pV -Diagramm der
Stirling-Wärmemaschine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.13 Das pV -Diagramm des Carnotschen Kreisprozesses. . . . . . . . 246
8.14 Geordneter Anfangszustand der Kugeln. Das Papier wird weggenommen und der Behälter wird geschüttelt. . . . . . . . . . . 251
9.10 Das Michelson-Morley-Interferometer. . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.11 Eine Lichtquelle und ein Spiegel, die sich mit konstanter Geschwindigkeit V bewegen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.12 Eine ruhende Lichtquelle S, ein ruhender Beobachter O1 und
ein sich mit der Geschwindigkeit V in Richtung der Quelle bewegender Beobachter O2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
9.13 Bewegung des Flugzeugs oder der Erde. . . . . . . . . . . . . . . 277
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21
9.14 Das Raketenbezugssystem bewegt sich ohne Antrieb und frei
durch den Weltraum (es wirkt keine Gravitationskraft). Ein Beobachter O misst die Schwingungsperiode T der Masse, die an
der Feder angebunden ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
"
9.15 Die Rakete bewegt sich relativ zum Beobachter O mit einer Geschwindigkeit βc in die x" -Richtung. Der Beobachter O" misst die
Schwingungsperiode T " der an der Feder aufgehängten Masse. . 281
9.16 Eine Anordnung, um die Gleichzeitigkeit von Ereignissen zu
prüfen. Da der Laserpuls sich in beide Richtungen mit der Geschwindigkeit c ausbreitet, werden die grüne und rote Lampe
gleichzeitig eingeschaltet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.17 Der Tisch, wie er vom Beobachter O" gesehen wird. Der Beobachter sieht, dass die rote Lampe sich vom Lichtstrahl entfernt,
und dass die grüne Lampe sich dem Lichtstrahl nähert. . . . . . 289
22
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10.15Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
. . . . . . . . . . . . . . 308
10.16Stromwaage: Die Kraft zwischen zwei Strömen wird gemessen. . 309
10.17Graphische Darstellung eines Vektorfeldes. In jedem Punkt des
Raums wird ein Vektor definiert. In der Abbildung werden die
Vektoren in verschiedenen Punkten des Raums mit Pfeilen gezeichnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.18Graphische Darstellung einer Funktion f (x, y). . . . . . . . . . . 311
10.19Graphische Darstellung des Gradienten der in Abb. 10.18 dargestellten Funktion f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.20Definition des Flusses durch eine infinitesimale Fläche dA. . . . 313
10.21Eine endliche Fläche wird in infinitesimale ebene Flächenelemente unterteilt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.22Eine geschlossene Fläche. Die Flächen dA zeigen nach aussen. . 314
10.1 Die Beziehung zwischen der Kraft und dem elektrischen Feld. . . 292
10.23Ein infinitesimales Volumenelement. . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.2 Das elektrische Feld einer positiven und einer negativen Punktladung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.24Linienintegral über die Kurve C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.3 Die Beziehung zwischen dem elektrischen Feld und den Feldlinien. Die Feldlinien folgen in jedem Punkt des Raumes der
Richtung des Feldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
10.25Eine Fläche A kann immer von einer geschlossenen Kurve C
eingeschlossen werden. Die Richtung der Fläche ist durch die
Rechte-Hand-Regel gegeben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
10.4 Elektrische Feldlinien eines Dipols. Die Linien gehen von der
positiven zur negativen Ladung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.26Stromdichte in einem Leiter. Ein Strom der Stromstärke dI
fliesst durch den Leiter. Die Stromstärke durch die Fläche dA
wird als das Skalarprodukt der Stromdichte j und des Flächenvektors dA definiert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.5 Ein Voltmeter misst den Potentialunterschied zwischen zwei
Punkten. Die Kreise sind die Äquipotentiallinien, d.h. die Linien gleichen Potentials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10.6 Quelle der Felder: (Links) Magnetfeld eines Stabmagnets.
(Rechts) Elektrische Feldlinien einer Punktladung. . . . . . . . . 297
10.7 Feldlinien eines Stroms durch einen vertikalen Draht. . . . . . . 299
10.8 Feldlinien eines Stroms durch einen Ring. . . . . . . . . . . . . . 299
10.9 Magnetfeld eines Stroms durch ein Solenoid. . . . . . . . . . . . 300
10.10Magnetfeld eines Stroms durch einen Torus. . . . . . . . . . . . 300
10.11Die magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Ebene, die durch die
Geschwindigkeit und das Feld definiert ist. . . . . . . . . . . . . 302
10.12Die Ablenkung eines Elektrons in einem homogenen magnetischen Feld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.13Krümmung der Elektronenbahn im Magnetfeld. Die magnetische
Feldstärke beträgt ungefähr 27 Gauss. . . . . . . . . . . . . . . 305
10.14In einem Leiter wandern die Elektronen entgegengesetzt zur
Richtung des elektrischen Feldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.27Die elektrischen Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und
enden bei negativen Ladungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.28Der elektrische Fluss. Der Fluss ist proportional zur Zahl der
Linien, die die Oberfläche verlassen, minus der Zahl der Linien,
die in die Oberfläche eindringen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
10.29Fluss durch zwei kugelförmige Oberflächen, die eine Punktladung umfassen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.30Das Magnetfeld eines Solenoids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.31Induktion in Drahtschleife durch bewegten Stabmagnet. . . . . . 329
10.32Induktion im Erdmagnetfeld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
10.33Die in der Schleife induzierte Spannung ist gleich dem Linienintegral des elektrischen Feldes über die Schleife. . . . . . . . . . . 331
10.34Die Richtung der induzierten Stromes (in Richtung des EFelds). Das Magnetfeld zeigt nach oben und nimmt mit der Zeit
zu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
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23
10.35Richtung der induzierten Spannung. Ein nach unten gerichtetes magnetisches Feld nimmt mit der Zeit ab. Seine zeitliche
Ableitung zeigt daher nach oben. Wegen des negativen Vorzeichens zeigt das induzierte elektrische Feld im Uhrzeigersinn. Im
Fall des Gesetzes von Ampère erzeugt ein nach oben gerichteter
Strom ein magnetisches Feld, das gegen den Uhrzeigersinn zeigt. 333
10.36Induktion durch Bewegung im Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . 333
10.37Induktion durch Bewegung: Wenn sich das Achse-Räder-System
im Magnetfeld bewegt, beobachten wir eine induzierte Spannung. 334
10.38Ein Stab bewegt sich in einem senkrecht in die Blattebene hinein
zeigenden Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10.39Linkes Bild: Permanentmagnet mit leitendem Stab. Rechtes
Bild: Zeitabhängigkeit der induzierten Spannung . . . . . . . . . 336
10.40Ebene, harmonische elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . 339
10.41Das elektromagnetische Spektrum in Funktion der Wellenlänge
λ, der Frequenz ν und der Energie E. . . . . . . . . . . . . . . . 340
10.42Die horizontale und vertikale Polarisation der elektromagnetischen Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.43Definition der Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.44Eine Polarisationsfolie erzeugt linear polarisiertes Licht aus unpolarisiertem: Z.B. eine vertikale Polarisation (oberes Bild) oder
eine horizontale Polarisation (unteres Bild). . . . . . . . . . . . 345
10.45Zwei Polarisationsfolien: Die erste wirkt als Polarisator, die zweite als Analysator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.46Zwei Polaroidfolien (Polarisator-Analysator-System). . . . . . . 346
10.47Polarisation von Mikrowellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
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2
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
5. usw.
Auch die Spezialisierung der Physiker/innen ist hoch. Die Experimentalphysiker und die Theoretiker haben sich getrennt. Deshalb gibt es auch ein Institut
für theoretische Physik an der ETHZ.
Kapitel 1
Wir bemerken, dass wissenschaftliche Entwicklungen, unabhängig vom Bereich, äusserst wichtig für die Entwicklung der Menschheit sind.
Einleitung
1.1
Der Mensch will etwas machen“, d.h. er will erfinden und bauen, für ihn
”
selbst und für die anderen Menschen. Um etwas Neues zu bauen, muss man
wissen und voraussagen! Hier ist die fundamentale Beziehung zwischen Wissen
und Erfindung. Hier ist die Beziehung zwischen Wissenschaft und Technologie.
Warum Physik?
Es ist heute schon sichtbar, dass
Die Forschung und das daraus resultierende Wissen sind das konkrete Ergebnis
eines der fundamentalsten Instinkte des Menschen: die Neugier.
Die Neugier fördert die wissenschaftliche Entwicklung. Jede frühere Zivilisation
hat seine Wissenschaft“ gehabt und heute sind wir glücklich, dass wir einige
”
Geheimnisse der Natur enthüllt haben.
Das Wort Physik“ kommt von einem griechischen Ausdruck für Natur. Die
”
fundamentale Physik“ sollte eine Wissenschaft sein, die alle natürlichen
”
Phänomene untersucht.
Heute hat sich die Wissenschaft hoch spezialisiert. Neue Wissenschaften,
wie die Chemie, die Biologie, die Erdwissenschaften, die Werkstoffwissenschaften, usw., haben sich so weit entwickelt, dass die Beziehung
zwischen ihnen und der grundlegenden, fundamentalen Physik nicht mehr
sofort durchsichtig ist. Im weitesten Sinn sind aber alle Phänomene, die
wir im Universum beobachten, von den fundamentalen Gesetzen der Physik
beherrscht.
Die moderne Physik hat sich selbst auch in unterschiedliche Richtungen aufgeteilt. Im Physikdepartement der ETHZ gibt es z.B. die folgenden Institute“:
”
1. Das Institut für Astronomie und Astrophysik
2. Das Laboratorium für Festkörperphysik
3. Das Institut für Quantenelektronik
4. Das Institut für Teilchenphysik
1
die wirtschaftliche Entwicklung in der Zukunft immer mehr von der wissenschaftlichen Entwicklung abhängen wird.
In diesem Fall spielen die angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle.
Die Anwendung des Wissens ist eine wichtige Phase der Entwicklung. Der
grösste Teil des wirtschaftlichen Gewinns“ wird in der Anwendung gemacht.
”
Aber ohne fundamentale Wissenschaften“ könnten die angewandten Wis”
”
senschaften“ nicht lang existieren!
Von Bedeutung ist aber nicht nur die Geschwindigkeit, mit welcher das Wissen
(oder die Information) sich ausbreitet, sondern auch seine Qualität. In den
exakten Wissenschaften, wie der Physik, gibt es nur ein Kriterium für die
Qualität des Wissens: ob es den Test der experimentellen Prüfung besteht:
Eine gültige wissenschaftliche Theorie muss übereinstimmend mit allen Experimenten und Beobachtungen sein.
Deshalb spielen die Experimente in der Physik eine sehr wichtige Rolle: die
Physik beruht auf Experimenten und Beobachtungen!
Der Physiker/in findet Modelle und Regeln, die diese Beobachtungen beschreiben. Diese Regeln sind in der mathematischen oder numerischen Sprache
ausgedrückt, weil man versucht, diese in quantitativer Art auszudrücken.
Oft können komplexe Probleme nicht analytisch gelöst werden. In diesem
Bereich spielt die Rechnergestützte Wissenschaft ( Computational
”
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
3
Science“) eine wachsende Rolle: mit der Verbesserung der Rechenfähigkeit
von Computern werden mehr und mehr Probleme simulierbar“.
”
Die Computersimulation des Falls eines Zylinders ist z.B. in Abb. 1.1 gezeigt.
Dank der numerischen Lösung können komplizierte Bedingungen (wie z.B. die
Anwesenheit zweier Körper im Weg des Zylinders) im Problem eingeführt werden. Die numerische Simulation kann deshalb in solch komplizierten Situationen helfen. In der Simulation wurden auch moderne Methoden zur graphischen
Darstellung der Bewegung verwendet. Ein 3-dimensionales Rendering“ kann
”
ein realistisches Aussehen bringen.
Abbildung 1.1: Computersimulation des Falls eines Zylinders.
Wir haben dieses Beispiel betrachtet, um folgendes zu erwähnen: der Physiker
wird sich mit den grundlegenden Gesetzen der Bewegung beschäftigen und
der Informatiker wird sich mit der Implementierung der Gesetze im Computer
und der Darstellung der Ergebnisse beschäftigen:
4
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
die Strukturen der Materie, die wir kennen. Durch numerische Simulationen
wäre es im Prinzip möglich, alle Beobachtungen zu reproduzieren und die
Ergebnisse bei Veränderung von bestimmten Bedingungen vorauszusagen.
Als Beispiel erwähnen wir die Computersimulation der Raumverteilung von
Atomen in Silizium-Nanokristallen. Siehe Abb. 1.2. Die Existenz eines durch
die Theorie vorausgesagten Phasenübergangs wurde direkt mit Computersimulationen überprüft.
Abbildung 1.2: Computersimulation der Raumverteilung von Atomen in
Silizium- Nanokristallen (http://www.cscs.ch/about/RGP/Research/) für zwei
bestimmte externe Drücke (links: kein externer Druck, rechts: externer Druck
gleich 22 Gigapascal).
Es ist deshalb möglich, dass in Zukunft Computer-Simulationen eine wachsende
Rolle im Verständnis des Verhaltens sehr komplexer Systeme spielen werden.
1.1.1
Die moderne Forschung ist oft interdisziplinär.
Eine futuristische Formulierung der Physik könnte die folgende sein:
Die Physik beschreibt die grundlegenden Bestandteile der Materie (d.h. die sogenannten Elementarteilchen) und ihre Wechselwirkungen miteinander. Alle
Eigenschaften der Materie und andere natürliche Phänomene werden mittels
dieser Wechselwirkungen erklärt.
Die Materie besteht aus elementaren Teilchen, und wir können die Wechselwirkungen zwischen diesen Teilchen simulieren. Diese Wechselwirkungen schaffen
Ziel der Vorlesung
Was ist das Ziel der Vorlesung?
In dieser Vorlesung werden wir versuchen, eine Übersicht über die wichtigsten Konzepte der modernen Physik zu geben. Wir werden Experimente (oder
Versuche) und ihre entsprechende Theorie diskutieren. Die Konzepte, die wir
diskutieren wollen, können so zusammengefasst werden:
1. Die Raumzeit
2. Die Bewegung
3. Die Erhaltungsgesetze
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
5
6
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
4. Die Relativität
5. Die Irreversibilität
SI-System: Gewöhnlich benutzt man das Internationale Einheitensystem
(SI-System oder MKSA-System genannt).
6. Die Felder
7. Die Interferenz
8. Die Dualität zwischen Wellen und Teilchen
Hoffentlich werden Sie diese Konzepte auch in anderen wissenschaftlichen Gebieten anwenden. Die Konzepte werden durch die folgenden Lehrfächer eingeführt:
1. Die Mechanik
2. Die Theorie der Wärme
3. Die Relativitätstheorie
4. Die Wellen
5. Der Elektromagnetismus
6. Die Quantenmechanik
1.2
Die experimentelle Methode und die Einheiten
Die Physik stützt sich auf Beobachtungen und Versuche:
Wir verstehen unter Versuch ein Experiment, bei dem man ein Phänomen
beobachtet, das unter vorher festgelegten und kontrollierten Bedingungen
abläuft.
Wie wird man ein Phänomen beobachten? Die Beobachtungen müssen zu
einer quantitativen Information führen. Man spricht von Messungen.
Eine Messung ist eine Technik, mit deren Hilfe wir einer physikalischen Grösse
eine Zahl zuordnen können. Diese Zahl ist das Ergebnis eines Vergleichs mit
einer ähnlichen, standardisierten Grösse (der Einheit).
Für jede Grösse, die wir messen wollen, müssen wir zuerst eine Einheit wählen.
Das Bureau International des Poids et Mesures“ bei Paris (Siehe
”
http://www.bipm.fr) hütet die Definitionen der Basisgrössen des Systems. Im
SI-System wurden die folgenden sieben fundamentalen, unabhängigen Grössen
gewählt:
Physikalische Grösse
Fundamentale Einheit Symbol
Länge
Meter
m
Zeit
Sekunde
s
Masse
Kilogramm
kg
Ekektrische Stromstärke
Ampère
A
Thermodynamische Temperatur Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
Alle anderen Grössen werden durch mathematische Beziehungen dieser sieben
Grössen ausgedrückt.
Historisch wurde das metrische System während der französischen Revolution
eingeführt. Die erste Definition des Meters und des Kilogramms wurden am
22. Juni 1799 gegeben.
Die Definitionen sind nicht langfristig festgelegt. Das Bureau versucht bessere
Definitionen zu finden, wenn eine grössere Genauigkeit gebraucht wird. Die
aktuellen Definitionen wurden 1971 festgelegt und sind die folgenden:
• Die Sekunde ist die Zeitdauer von 9 192 631 770 Schwingungsperioden der
Lichtstrahlung, die während des Übergangs zwischen den zwei Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandsniveaus eines Cäsium-133 Atoms
(133 Cs), emittiert wird.
• Der Meter ist die Länge des Weges, den das Licht in Vakuum im
299 792 458. Teil einer Sekunde zurücklegt.
• Das Kilogramm ist die Masse eines internationalen Prototyps des Kilogramms. Es ist ein Platin-Iridium-Zylinder, der im Bureau International
des Poids et Mesures in Sèvres bei Paris aufbewahrt wird. Siehe Abb.
1.3.
• Durch zwei unendlich lange, gerade Leiter mit vernachlässigbarem Querschnitt fliesst ein konstanter Strom von einem Ampère, wenn er in einem
Abstand von einem Meter im Vakuum eine Kraft zwischen diesen Leitern
je 1 m Leiterlänge von 2 · 10−7 Newton hervorruft (Elektrische Ströme
und die elektromagnetische Kraft werden im Kap. 10 diskutiert).
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
7
8
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
• Das Kelvin ist gleich dem 273,16. Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunkts des Wassers (Diese Temperatur wird im Kap. 7
diskutiert).
• Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, die so viele elementare Einheiten enthält, wie die Anzahl von Atomen in 0,012 Kilogramm von
Kohlenstoff-12 (Das Konzept des Mols wird im Kap. 6 erklärt).
• Die Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Quelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 · 1012 Hertz emittiert, und die eine Intensität in dieser Richtung von 1/683 Watt pro
Steradiant hat (Elektromagnetische Wellen werden im Kap. 10 diskutiert).
Heute sind das Kilogramm und das Mol die einzigen Einheiten, die auf dem
Prototyp des Kilogramms basieren, der sich an einem bestimmten Ort (bei
Paris) befindet. Die anderen Definitionen hängen von irgendwelchen reproduzierbaren (im Prinzip auch auf anderen Planeten. . . ) Eigenschaften der Natur
ab.
1.3
Der Raum und die Zeit
Es ist nicht möglich, genau zu erklären, was Raum und Zeit wirklich“ sind.
”
Wir akzeptieren, dass sie existieren, und die Physik wird sie studieren.
Es ist uns aus dem Alltag vertraut, dass
alle natürlichen Prozesse, die wir beobachten, im Raum geschehen und eine
gegebene Zeit dauern.
1.3.1
Der Raum = Abstand
Wir beobachten experimentell, dass der Raum ausgedehnt und 3- dimensional
ist: wir kennen links, rechts, oben, unten, vorwärts und rückwärts, und wir
können uns in diese Richtungen bewegen.
Aus der Ausdehnung des Raums folgt, dass es verschiedene, unterschiedliche
Orte im Universum gibt, die durch ihren Abstand unterschieden werden:
Der Raum wird durch den Abstand zwischen bestimmten Orten definiert.
Wir erwähnen als Beispiele:
Abbildung 1.3: Der Prototyp des Kilogramms beim BIPM bei Paris, Frankreich.
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
9
1. Die Grösse des (sichtbaren) Universums ist ≈ 1010 parsec (pc), wobei
1 pc = 3,0857 · 1016 m ≈ 206 247 A.U.
und 1 A.U. ( Astronomical Unit“) gleich dem mittleren Abstand
”
zwischen der Erde und der Sonne ist.
Die Grösse des Universums ist ungefähr 2 · 1015 (zwei Millionen Milliarden) Mal dem Abstand zwischen der Sonne und der Erde.
10
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
4. Die Periode eines Fadenpendels mit einem 1 Meter langen Faden beträgt
ungefähr 2 Sekunden.
5. Die Schwingungsperiode des Lichts, das von Cäsium-133 Atomen
während eines bestimmten Übergangs zwischen zwei Hyperfeinstrukturniveaus emittiert wird, ist ungefähr 10−10 s (Siehe die Definition des
BIPMs in Kap. 1.2)
Die längste Zeitdauer, die wir kennen, ist das Alter des Universums. Die direkte
Beobachtung der Expansion der Galaxien und die modernen kosmologischen
Messungen ergeben
2. Die Grösse unserer Milchstrasse (unsere Galaxie) ist ungefähr 104 pc.
TUniversum = 14·109 a = 4,3·1017 s
3. Im Vergleich dazu ist die Grösse eines Menschen ungefähr 6 · 10−17 pc;
4. Die kleinste Grösse, die wir heute betrachten, ist die sogenannte Plancksche1 Länge: ≈ 10−52 pc ≈ 10−35 m.
Bei dieser Länge wurde ein neuer Bereich angetroffen, bei dem es möglich ist,
dass unsere Beschreibung des Raums nicht mehr gültig ist: wir wissen, dass die
klassische Mechanik (die wir in Kap. 2 und folgenden studieren werden) nicht
die korrekte Bewegung der Elektronen in der Nähe der Atomkerne beschreibt.
In ähnlicher Weise erwarten wir, dass die allgemeine Relativitätstheorie, die die
Eigenschaften des Raums und der Zeit beschreibt, die Physik bei Planckschen
Längen nicht mehr richtig voraussagt.
1.3.2
Die Zeit = Dauer
Das Konzept der Zeit ist mit der Beobachtung korreliert, dass der Zustand
des Universums sich durch verschiedene Prozesse mit einer bestimmten Rate
verändert:
Zum Vergleich:
1. das Alter der Erde ist ungefähr 5 Milliarden Jahre oder ≈ 1,4 · 1017 s;
2. die Lebensdauer eines Menschen ist ≈ 100 Jahre ≈ 3 · 109 s;
3. die kürzeste Dauer von Prozessen, die wir in der Natur beobachten, ist
bei solchen, an denen Elementarteilchen teilnehmen: die typische Dauer
einer starken Wechselwirkung zwischen zwei Elementarteilchen ist ≈ 3 ·
10−23 s (die starke Wechselwirkung bewirkt die Bindung der Protonen
und Neutronen im Kern).
1.4
Koordinatensysteme
Der Raum wird mit Hilfe der euklidischen Geometrie beschrieben: ein Ort im
Raum wird durch einen geometrischen Punkt im Raum definiert. Der Raum
enthält eine unendliche Anzahl von solchen Punkten, die kontinuierlich verteilt
sind.
Die Zeit wird durch die Dauer bestimmter, reproduzierbarer Prozesse definiert.
Wir stellen uns den Raum wie ein Gitter vor (siehe Abb. 1.4).
Wir betrachten die folgenden Beispiele:
1. Ein Umlauf der Erde um die Sonne dauert 1 Jahr;
2. Die Erde dreht sich in 24 Stunden um ihre Achse;
3. Die Fallzeit eines wegen der Erdbeschleunigung fallenden Körpers, der
aus einer Höhe von 10 Metern über der Erdoberfläche frei fallen gelassen
wird, ist ungefähr 1,5 Sekunden;
1
Max Planck (1858-1947)
Weil kein ausgezeichneter (oder absoluter“) Punkt im Raum existiert,
”
muss ein Punkt P im Raum immer bezüglich einem anderen Punkt O (der
Ursprung) definiert werden.
Der Ursprung des Gitters wird im Punkt O angenommen.
Wenn wir die Koordinaten eines Punktes P definieren, suchen wir Zahlen,
die den Punkt bezüglich des Ursprungs O darstellen. Wir bemerken, dass wir
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
11
12
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
oben
%z
hinten
links
O!
& !P
!!##
!
##
!
x !
# y
!
#
"
!
$
#
rechts
vorne
unten
Abbildung 1.5: Definition des kartesischen Koordinatensystems mit drei zueinander senkrechten Achsen und entsprechendem Gitter.
Abbildung 1.4: Ein Gitter im Raum: der Punkt P wird bezüglich des Ursprungs
O definiert.
die Koordinaten in verschiedener Weise wählen können. Die Anzahl von unabhängigen Koordinaten im 3-dimensionalen Raum ist aber immer drei. Wir
werden nun die kartesischen und die Kugel-Koordinaten diskutieren.
1.4.1
Die Koordinaten x,y,z werden durch die Projektionen auf die entsprechenden
Achsen gewonnen.
Wenn wir zuerst nur die x,y-Ebene betrachten, dann werden die x- und yKoordinaten so berechnet:
1. Der Punkt A entspricht der Projektion des Punkts P auf die x- Achse.
Die kartesischen Koordinaten
2. Der Punkt B entspricht der Projektion des Punkts P auf die y-Achse.
Im kartesischen Koordinatensystem definiert man drei zueinander senkrechte,
festgelegte Richtungen, die wir als x, y, z bezeichnen werden. Die x-Richtung
kann z.B. der hinten-vorne“ Richtung entsprechen; die y-Richtung der rechts”
”
links“- und die z-Richtung der oben-unten“-Richtung.
”
Die drei senkrechten Richtungen werden durch drei Achsen (die x-Achse,
die y-Achse und die z-Achse) definiert. Siehe Abb. 1.5. Der Abstand zweier
benachbarter Linien des Gitters ist konstant und muss in allen drei Richtungen
gleich sein.
Der Punkt P wird bezüglich des Ursprungs O mit den drei kartesischen
Koordinaten lokalisiert:
3. Die x- und y-Koordinaten sind gleich den Abständen OA und OB, (siehe
Abb. 1.6), d.h.
OP = (x, y) = (OA, OB)
(1.2)
In drei Dimensionen (siehe Abb. 1.7) projizieren wir zuerst den Punkt P auf die
!
x-y-Ebene und finden den entsprechenden Punkt P . Die Koordinaten werden
durch die folgenden Projektionen gewonnen:
OP = (x, y, z) = (OA, OB, OC)
Dabei sind (siehe Abb. 1.7):
!
1. A die Projektion des Punkts P auf die x-Achse,
OP = (x, y, z)
(1.1)
Die Koordinaten x,y,z sind Zahlen, die den Punkt P bezüglich O darstellen.
!
2. B die Projektion des Punkts P auf die y-Achse, und
3. C die Projektion des Punkts P auf die z-Achse.
(1.3)
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
13
14
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.4.2
y-Achse
%
B!
OP = (x, y)
= (OA, OB)
Linie mit
konstantem y
!P
O!
&
Die Kugelkoordinaten
Im dreidimensionalen Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P im Raum
durch drei Koordinaten, die einem Abstand und zwei Winkeln entsprechen,
dargestellt: Dabei (siehe Abb. 1.8) sind:
1. r der Abstand zwischen O und P,
! & x-Achse
OP = (r, ϑ, ϕ)
A
(1.4)
2. ϑ der Winkel zwischen OP und der z-Achse. Es gilt im Bogenmass (Einheit 1 Radiant = 1 rad)):
%
Linie mit
konstantem x
0≤ϑ≤π
Abbildung 1.6: Kartesische Koordinaten in zwei Dimensionen
(1.5)
!
3. ϕ der Winkel zwischen OP und der x-Achse. Es gilt (im Bogenmass):
0 ≤ ϕ ≤ 2π
%z
%z
C "
'
'
(1.6)
"P
'
(
'
"
'
A !O!#
##
!"
!
##
!
!
# B
x !
##
" y
!
"
!
$
#
"
!
P
Abbildung 1.7: Kartesische Koordinaten in drei Dimensionen.
"P
(
'
'
)
ϑ '
'
O '
"
!!##
! ϕ
##
!
!
#
##
x !!
(
y
##
"!
!
$
"
!
P
Abbildung 1.8: Kugelkoordinaten in drei Dimensionen.
Wenn ϑ bei ϑ ≡ π/2 festgelegt wird, wird die Bewegung des Punkts P auf
die x, y−Ebene beschränkt. Man wird in diesem Fall oft die zweidimensionalen
Polarkoordinaten (r, ϕ) verwenden.
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
1.4.3
15
16
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Übergang zwischen Koordinatensystemen
Durch direkte Beobachtung der Geometrie der kartesischen und KugelKoordinaten kann die Beziehung zwischen den zwei Systemen hergeleitet werden. Sie ist (siehe Abb. 1.9), r der Abstand zwischen O und P,

  
r sin ϑ cos ϕ
x

 y  =  r sin ϑ sin ϕ 
(1.7)

z
r cos ϑ
Die Kugelkoordinaten werden als
gedrückt durch:


r




tan ϕ





cos ϑ
OA = r sin ϑ cos ϕ
Funktion der kartesischen Koordinaten aus=
+
x2 + y 2 + z 2
y
x
z
=
r
=
(1.8)
Abbildung 1.10: Ein Vektor stellt eine Verschiebung im Raum dar.
Vektoren können verwendet werden, um Verschiebungen im Raum darzustellen,
wie z.B. (siehe Abb. 1.10):
!z
C%
A = OP
PP = r cos ϑ
!P
'
(
'
'
*
'
ϑ' '
*
)O '
*
!
+ OB= r sin ϑ sin ϕ
A
#
! !
# +
!
++
,
ϕ
## B
!
!
x !
#! y
(
'
!
$
#
"
!
'
!! #
'
P
!
(1.10)
Das Konzept des Vektors ist nützlich, weil wir eine Vektoralgebra definieren
können, ohne die tatsächlichen Koordinaten der Vektoren zu verwenden. Diese
Algebra gilt für eine beliebige Anzahl von Koordinaten, z.B. in 2D oder 3D.
*
Eine wichtige Operation ist die Vektoraddition, wobei wir einen Vektor als die
Summe zweier Vektoren durch die folgende vektorielle Gleichung definieren:
!
OP = r sin ϑ
A=a+b
Abbildung 1.9: Übergang zwischen Kugel- und kartesischen Koordinaten.
1.5
1.5.1
Vektoren
Die Vektoralgebra
Ein Vektor A ist eine Grösse, die (1) einen Betrag und (2) eine Richtung
besitzt. Der Betrag des Vektors A wird als |A| bezeichnet. Ein Einheitsvektor
besitzt einen Betrag gleich 1. Man kann einen derartigen Vektor so bilden:
eA =
A
|A|
oder
A = |A| · eA
(1.9)
(1.11)
In mathematischer Sprache bildet die Vektoraddition eine Abelsche Gruppe“,
”
mit folgenden Eigenschaften:

a+b = b+a
Kommutativität






(a + b) + c = a + (b + c) Assoziativität


b + (−b) = 0
Es existiert ein Nullvektor
(1.12)




und
zu
jedem
Vektor
b




ein inverser Vektor − b
Die Kommutativität kann graphisch dargestellt werden. Siehe Abb. 1.11. Wir
bemerken in der Abbildung, dass die Summe a + b derselben Verschiebung wie
b + a entspricht.
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
a '
'
'
/
.
b + a...
(
'
'
..
...
'
*
'a
'
b **
)'
*
b **
)
1.5.2
'
.
'
0
0c
(1.14)
wobei ϕ der Winkel zwischen den Vektoren ist (siehe Abb. 1.15).
222 0
3 01
2
(a + b) + c
(a + b)
'
(
'
a '
'
+
'
Das Skalarprodukt
a · b = ab · cos ϕ = |a| · |b| cos ϕ
/
.
(a + b)....
0
..
.
0c
.
222
=
'
Das Skalarprodukt zweier beliebiger Vektoren wird definiert als:
In ähnlicher Weise finden wir für die Assoziativität:
0
01
(* −b
'
'
*
*
)
'
/
.
.
' ....
.
a
−
b
.
'
.
a '
* * −b
6
*
b **
*
)
Abbildung 1.14: Subtraktion von Vektoren.
Abbildung 1.11: Kommutativität der Vektoraddition.
+
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
(
'
'
a '
'
'
(* b
'
'
*
a '
*
)
'
/
.
.
' ....
..
18
(* b
'
'
*
*
)
'
/
.
..
'....
a
+
b
.
'
.
(
'
'
a '
'
17
a
4* b
4 *
4 *
)
(b + c)44 00
c
4 0
45 01
ϕ
'4
(
'
=
a ' 4
4
'
4 (b + c)
'
4
'
222
222 4
345
2
b
Abbildung 1.15: Skalarprodukt zweier Vektoren.
a + (b + c)
Das Skalarprodukt kann auf zwei Weisen dargestellt werden (siehe Abb. 1.16):
Abbildung 1.12: Assoziativität der Vektoraddition.
a · b = a · (b cos ϕ) = (a cos ϕ) · b
Der entgegengesetzte Vektor wird graphisch so dargestellt:
Dabei ist b cos ϕ die Komponente von b in Richtung von a und b cos ϕ die
Komponente von a in Richtung von b. Das Skalarprodukt kann als das Produkt
zweier Grössen dargestellt werden: (1) der Betrag des ersten Vektors mal (2)
den Betrag der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.
(
'
'
'
a ''
''
' −a
'
''
'
Wenn das Skalarprodukt verschwindet, muss entweder a = 0 oder b = 0
gelten, oder die beiden Vektoren müssen senkrecht zueinander stehen.
Abbildung 1.13: Entgegengesetzter Vektor −a.
Mit dieser Eigenschaft kann die Vektorsubtraktion definiert werden (Siehe
Abb. 1.14):
D = a−b = a+(−b)
(1.15)
(1.13)
Wenn beide Vektoren parallel zueinander sind, ist das Skalarprodukt gleich
dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren.
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
19
20
1.5.3
(4
'
'
a ' 4
4 ..
/
.
'
.
'ϕ ...45
b
.
'.. ...
...
'
'
6
*
( *
'
b cos ϕ ' '
*
' 'a
*
/
.
' '
...
.
ϕ
' '...
..
'
a cos ϕ
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) von zwei Vektoren a und b wird
als der Vektor c definiert, dessen Betrag gleich der Fläche des Parallelogramms
ist, das die beiden Vektoren aufspannen. Die Richtung von c wird mit der
Rechte-Hand-Regel bestimmt und ist immer senkrecht auf a und b.
b
Das Produkt wird so bezeichnet (siehe Abb. 1.17):
Abbildung 1.16: Projektion von a auf b und Projektion von b auf a zur Berechnung des Skalarprodukts von Vektoren.
c=a×b
(1.22)
Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Betragsquadrat des Vektors:
a · a = aa · cos 0 = a2 = |a|2
(1.16)
Das Kommutativgesetz gilt:
a·b=b·a
(1.17)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
(1.18)
Das Distributivgesetz gilt:
Der Kosinussatz. Wir betrachten einen Vektor c, der als Summe zweier Vektoren a und b definiert ist:
c=a+b
(1.19)
Wir berechnen das Skalarprodukt von c mit sich selbst:
c · c = |c|2 = (a + b)2
= |a|2 + |b|2 + 2a · b
Die Rechte-Hand-Regel betrachtet die kürzeste Drehung, die a in b überführt.
Wenn ϕ den Winkel einer solchen Drehung bezeichnet, gilt für den Betrag des
resultierenden Vektors:
(1.20)
Damit erhalten wir
|c|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos ϕ
wobei ϕ der Winkel zwischen a und b ist.
Abbildung 1.17: Das Vektorprodukt und die Rechte-Hand-Regel.
c = |c| = ab sin ϕ
(1.23)
Wenn die zwei Vektoren parallel zueinander sind, verschwindet das Vektorprodukt. Damit gilt
(1.21)
a×a=0
(1.24)
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
21
22
1.5.5
Das Vektorprodukt ist antikommutativ, d.h. wenn wir die Reihenfolge der Vektoren vertauschen, ändert sich das Vorzeichen:
a × b = −b × a
(1.25)
1.5.4
Die kartesischen Basisvektoren und die Vektorkomponenten
Wir haben in Kap. 1.4 gesehen, dass ein Punkt P im Raum durch seine
Komponenten bezüglich eines Ursprungs O definiert werden kann.
Wir können auch einen Punkt P im Raum mit Hilfe eines Vektors definieren,
der die Verschiebung zwischen dem Ursprung O und dem Punkt darstellt.
Das Vektorprodukt ist distributiv bezüglich der Vektoraddition:
a × (b + c) = a × b + a × c
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
(1.26)
Dafür brauchen wir drei Richtungen, die die Achsen des Koordinatensystems
darstellen.
Gleichungen für die Ableitung von Vektoren
Wenn die Vektoren Funktionen einer Variablen sind (wie z.B. Funktion der
Zeit), kann die Ableitung bezüglich dieser Variablen betrachtet werden:
1. Die Ableitung des Produkts mit einer Zahl:
d
(c · a) =
dt
,
- ,
dc
da
·a + c·
dt
dt
Wir definieren dazu Einheitsvektoren (wir bemerken, dass in diesem Fall
nur die Richtung und nicht der Betrag relevant sind), die die Basisvektoren
darstellen (siehe Abb. 1.18):
Kartesische Einheitsvektoren:
d
(a · b) =
dt
- ,
db
da
·b + a·
dt
dt
%z
%
ez
(1.28)
d
(a × b) =
dt
- ,
db
da
×b + a×
dt
dt
!
!
"
(1.29)
(Beachte die Reihenfolge der Ableitung!).
Abbildung 1.18: Definition der kartesischen Einheitsvektoren.
Für a = b erhalten wir mit Gleichung 1.28:
d . 2/
da
d
a =
(a · a) = 2a ·
dt
dt
dt
Da die Einheitsvektoren senkrecht zueinander sind, gilt:
(1.30)
Daraus folgt: Wenn die Ableitung eines Vektors senkrecht zum Vektor ist, dann
ist der Betrag des Vektors als Funktion der Variablen konstant:
a⊥
. /
da
da
d . 2/
a = 0 ⇒ a2 = konst.
⇒a·
=0⇒
dt
dt
dt
O
!
!##
#
!!
ey##
$
## y
$
#
x !
"! ex
!
3. Die Ableitung des Vektorprodukts:
,
(1.32)
(1.27)
2. Die Ableitung des Skalarprodukts:
,
ex , ey , ez
(1.31)
ex · ey = ex · ez = ey · ez = 0
(1.33)
Da die Einheitsvektoren normiert sind, gilt auch:
ex · ex = ey · ey = ez · ez = 1
(1.34)
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
23
Wir bemerken auch, dass sie über bestimmte Vektorprodukte korreliert sind:
ex × ey = ez ,
ey × ez = ex ,
ez × ex = ey ,
24
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
d.h., das Skalarprodukt ist (in kartesischen Koordinaten) gleich der Summe
der Produkte der einzelnen Komponenten der Vektoren.
(1.35)
Mit Hilfe der Einheitsvektoren können die Komponenten der Vektoren direkt
berechnet werden:
Man kann auch das Vektorprodukt als Funktion der Komponenten der Vektoren ausdrücken:
a × b = (ax ex + ay ey + az ez ) × (bx ex + by ey + bz ez )
= ax ex × (bx ex + by ey + bz ez ) + ay ey × (bx ex + by ey + bz ez )
+ az ez × (bx ex + by ey + bz ez )
= 0 + (ax ex × by ey ) + (ax ex × bz ez ) + (ay ey × bx ex ) + 0
+ (ay ey × bz ez ) + (az ez × bx ex ) + (az ez × by ey ) + 0
= ax by ez − ax bz ey − ay bx ez + ay bz ex + az bx ey − az by ex
Die Komponenten eines Vektors stellen die Projektionen des Vektors in die
Richtung der Einheitsvektoren dar :
Dabei werden wir einen Vektor durch seine Komponenten bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems darstellen:
Schliesslich erhält man:
a = xex + yey + zez = (x, y, z)
(1.36)
a × b = (ay bz − az by ) ex + (az bx − ax bz ) ey + (ax by − ay bx ) ez
(1.42)
Man kann leicht überprüfen, dass gilt:
1.5.6
?
x = a · ex = (xex + yey + zez ) · ex
= x (ex · ex ) + y (ey · ex ) + z (ez · ex )
=x
Lokales System in Kugelkoordinaten
Wenn wir Kugelkoordinaten verwenden, können wir in jedem Punkt P eine
Menge zueinander senkrechter Einheitsvektoren definieren:
Lokale Einheitsvektoren:
und in ähnlicher Weise für die anderen Komponenten.
Die Vektoralgebra kann mit Hilfe der Komponenten neu geschrieben werden.
Wenn
a = ax ex + ay ey + az ez = (ax , ay , az )
und
b = (bx , by , bz ) ,
(1.37)
dann können die Vektorgleichungen zu Komponentengleichungen umgeschrieben werden:
Vektoraddition: a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )
Vektorsubtraktion: a − b = (ax − bx , ay − by , az − bz )
Skalarmultiplikation: λa = (λax , λay , λaz )
(1.38)
(1.39)
(1.40)
Häufig wird auch das Skalarprodukt durch die Komponenten der Vektoren
ausgedrückt. Es gilt:
(1.43)
wobei
1. er radial ist,
2. eϑ in die Richtung zeigt, in die der Punkt sich bewegt, wenn ϑ zunimmt,
und
3. eϕ in die Richtung zeigt, in die der Punkt sich bewegt, wenn ϕ zunimmt
(siehe Abb. 1.19).
Es gilt:
eϑ × eϕ = er ,
eϕ × er = eϑ ,
er × eϑ = eϕ
(1.44)
Im kartesischen System hängen die Einheitsvektoren nicht vom Punkt ab.
Im Gegensatz dazu hängen die Einheitsvektoren des Kugelkoordinatensystems
vom Punkt ab. In diesem Fall ist der Vektor r, der den Ursprung O und den
Punkt P verbindet, immer so gegeben:
a · b = (ax ex + ay ey + az ez ) · (bx ex + by ey + bz ez )
Es ergibt sich:
a · b = a x b x + ay b y + a z b z
er , eϑ , eϕ ,
(1.41)
r = OP = rer ,
(1.45)
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
25
26
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
%z
er'
(
'
8 eϕ
7
7
P !7
'
*
(
'
eϑ
'
*
)
*
ϑ)
'
x
!!
!
"
(
%
eϕ
* '
6
(
*!'er
(6
ey r''
%'
e ϕ
# &x
'
O
!
'
!#
!! ϕ ##
!
y
y
%
##
y
$
#
!! #
P
6er
*
!
eϕ*
'
'
&x
ϕ
*
6
* r ey
* % e
*# & x
&x
Abbildung 1.19: Geometrische Definition der lokalen Einheitsvektoren im Kugelkoordinatensystem.
wobei die Richtung des Vektors er im Raum von ϑ und ϕ abhängt. Die
anderen zwei Einheitsvektoren eϑ und eϕ sind immer zu er senkrecht.
Um diesen Unterschied besser zu illustrieren, betrachten wir im Moment zwei
Dimensionen (d.h. wir nehmen z.B. die x-y-Ebene, wo die z-Koordinate konstant ist) und vergleichen die kartesischen und die Kugel-Koordinaten (Siehe
Abb. 1.20 und 1.21): Wir bemerken, dass die Kugeleinheitsvektoren als Funk-
Kartesische Koordinaten
Kugelkoordinaten
y
y
%
%
O!
*
&
y = konst.
#
&x
*
*
*r '
(
)'
*
! eϕ
e*r*
)
&x
* r
*
%
* ey
)! &
*
ex
%
x = konst.
(
'
'
r = konst.
%
ϕ = konst.
Abbildung 1.20: Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen.
Abbildung 1.21: Einheitsvektoren in kartesischen und in Kugelkoordinaten in
zwei Dimensionen.
tion der kartesischen Einheitsvektoren so geschrieben werden können (Versuche
mit ϕ = 0, π/2, π, usw . . .):


er

eϕ
= cos ϕ · ex + sin ϕ · ey
= − sin ϕ · ex + cos ϕ · ey
(1.46)
Wir beweisen nun, dass beide, kartesische und Kugel-Einheitsvektoren, einen
beliebigen Vektor r in ähnlicher Weise beschreiben können (wir betrachten
zwei Dimensionen; die Herleitung kann für den dreidimensionalen Fall leicht
erweitert werden). Wir drücken den Vektor r mit Hilfe der kartesischen und
Kugel-Einheitsvektoren aus:
r(x, y) = xex + yey
und r(r, ϕ) = rer
(kartesische Koordinaten)
(Kugelkoordinaten)
(1.47)
(1.48)
Mit den Gl. 1.46 und 1.48 erhalten wir:
r(r, ϕ) = rer
= r · (cos ϕ · ex + sin ϕ · ey )
= (r cos ϕ)ex + (r sin ϕ)ey
= xex + yey = r(x, y)
(1.49)
wobei wir verwendet haben, dass x und y tatsächlich gleich r cos ϕ und r sin ϕ
sind (Siehe Abb. 1.22).
Physik, SS 2007, Prof. A. Rubbia (ETH Zürich)
27
y
r
r sin ϕ
ϕ
r cos ϕ
x
Abbildung 1.22: Zerlegung eines Vektors in seine kartesischen Komponenten.
Manchmal finden die Studierenden die Beziehung
r = rer
verwirrend. Wir wissen, dass wir zwei unabhängige Parameter brauchen, um
einen Punkt in der x-y-Ebene zu definieren (d.h. x und y in kartesischen Koordinaten). Die Gleichung in Kugelkoordinaten sieht so aus, als ob sie nur einen
Parameter besässe. Man muss natürlich sehen, dass er nicht fest ist, sondern
von ϕ abhängt:
r = rer (ϕ)
Oft wird diese ϕ-Abhängigkeit nicht explizit geschrieben.
Weil er und eϕ zueinander senkrechte Einheitsvektoren sind, kann das
Skalarprodukt in diesem Koordinatensystem leicht berechnet werden.
Wenn
a = ar er + aϕ eϕ
und
b = br er + bϕ eϕ ,
(1.50)
gilt
a · b = ar b r + aϕ b ϕ
(1.51)
In diesem Fall müssen natürlich beide Vektoren a und b bezüglich des selben
Punkts P definiert werden (Der Punkt P wird durch einen Vektor r definiert,
wobei r = rer ).

Physik für Informatiker

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