Freie Universit¨at Berlin - ATLAS DESY

Freie Universität Berlin
01/07/2010
CERN-THESIS-2010-169
Institut für Experimentalphysik
Monte-Carlo-Simulation von Top-Paaren in nächstführender
Ordnung am ATLAS-Experiment
Diplomarbeit von Christoph Wasicki
Mai 2010
Zusammenfassung
Aufgrund der probabilistischen Natur der Quantenmechanik lässt sich die Struktur eines Ereignisses in der Teilchenphysik nicht ab initio berechnen. Deshalb sind Monte-Carlo-Simulationen
ein wichtiger Bestandteil für das Verständnis der experimentellen Elementarteilchenphysik.
Gängige Monte-Carlo-Generatoren basieren auf Matrixelementen mit einer Genauigkeit in
führender Ordnung. Der Genauigkeit des ATLAS-Experiments werden diese Simulationen nicht
gerecht. Zwar sind Berechnungen in nächstführender Ordnung seit einigen Jahren bekannt,
deren Umsetzung zur Erzeugung physikalisch sinnvoller Ereignisse jedoch nicht trivial. Die
erste erfolgreiche Umsetzung, die den Standard auf diesem Gebiet definiert, ist MC@NLO.
Einen alternativen Ansatz bietet die Powheg-Methode, die in der folgenden Arbeit anhand der
Produktion von Top-Paaren näher untersucht wird. Die Ergebnisse beider Methoden werden
gegenübergestellt und deren Unterschiede erklärt und bewertet. Es wird gezeigt, dass Powheg
eine gleichwertige Alternative zu MC@NLO darstellt und zudem einige Unzulänglichkeiten
vermeidet. Insbesondere ist die Methode unabhängig vom Partonschauer-Formalismus, wodurch
sie sich mit dem Generator Pythia kombinieren lässt. In dieser Kombination werden im Anschluss
Variationen der raum- und zeitartigen Emissionen im Partonschauer untersucht und mit den
Ergebnissen in führender Ordnung verglichen. Die Analyse legt nahe, dass Variationen mit
Matrixelementen in nächstführender Ordnung im Wesentlichen gültig bleiben. Dennoch werden
signifikante Unterschiede zwischen beiden Matrixelementen aufgedeckt, die eine weiterführende
Studie erfordern.
Abstract
Due to the probabilistic nature of quantum mechanics, the structure of individual events in
particle physics is not calculable ab initio. Therefore, Monte Carlo simulations mark an important
tool for understanding experiments in elementary particle physics. Most current Monte Carlo
generators employ leading-order matrix elements; these cannot meet the level of accuracy that
can be reached by the ATLAS experiment. Although calculations in next-to-leading order have
been known for some years, their implementation for generating physically meaningful events
is not trivial. The first successful implementation, which defines the standard in this area, is
MC@NLO. An alternative approach is the Powheg method, which is examined in more detail in
this thesis on the basis of top pair production. The results of both methods are compared and
differences are evaluated. It is shown that Powheg represents a viable alternative to MC@NLO
that avoids some of its shortcomings. In particular, the method is independent of the parton
shower formalism, which allows combining it with the Pythia generator. In this combination,
variations of space- and time-like emissions in parton showers are investigated and compared
with the results in leading order. The analysis suggests that variations remain substantially valid
with matrix elements in next-to-leading order. Nevertheless, significant differences between the
two matrix elements are discovered that require further study.
i
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1.1 Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik . . . . .
1.1.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Elektroschwache Theorie und Higgs-Mechanismus
1.2 Physik des Top-Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Produktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Das ATLAS-Experiment
2.1 Der Large Hadron Collider
2.2 Der ATLAS-Detektor . . .
2.2.1 Kinematik . . . . .
2.2.2 Aufbau . . . . . .
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3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
3.1 Die Lagrangedichte der Quantenchromodynamik . .
3.2 Renormierung und die laufende Kopplungskonstante
3.3 Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Die DGLAP-Evolutionsgleichungen . . . . . . . . .
3.5 Partonverteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . .
3.6 Hadronisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Der Partonschauer . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Das Lund-String-Modell . . . . . . . . . . .
3.6.3 Das Cluster-Modell . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Kegel-Algorithmen . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Sequentielle Rekombinationsalgorithmen . .
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4 Monte-Carlo-Generatoren
4.1 Monte-Carlo-Integration . . . . . . . . . .
4.2 Partonschauer in Monte-Carlo-Simulationen
4.2.1 Final-State-Radiation . . . . . . . .
4.2.2 Initial-State-Radiation . . . . . . .
4.2.3 Farbkohärenz . . . . . . . . . . . .
4.3 Herwig . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Pythia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Monte-Carlo-Generatoren in NLO . . . . .
4.5.1 MC@NLO . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
4.5.2
Powheg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Analyse
5.1 Vergleich der Monte-Carlo-Wahrheit . . . . . . . . .
5.1.1 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Einstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
5.2.1 Das Top-Antitop-System . . . . . . . . . . .
5.2.2 Parton-Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Das Dip-Problem . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Erweiterte Validierung . . . . . . . . . . . .
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia . . . . . . . . . .
5.3.1 Power Shower . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 ISR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 FSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.4 Selektionseffizienz . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Rekonstruktion der Top-Masse . . . . . . . .
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6 Fazit und Perspektiven
71
A Anhang
A.1 Definition von atan2 . . . . . . . . . .
A.2 Untersuchte Observablen . . . . . . . .
A.3 Einstellungen Monte Carlo-Generatoren
A.3.1 MC@NLO . . . . . . . . . . .
A.3.2 Powheg . . . . . . . . . . . . .
A.3.3 Herwig . . . . . . . . . . . . .
A.3.4 Pythia . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Weitere Verteilungen . . . . . . . . . .
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Literaturverzeichnis
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Abbildungsverzeichnis
95
Tabellenverzeichnis
97
iv
1 Einführung
Die moderne Teilchenphysik beschreibt den Aufbau der Materie und deren fundamentale Wechselwirkungen mithilfe des sogenannten Standardmodells. Bis heute konnten alle Vorhersagen
des Standardmodells experimentell bestätigt werden. Allein das Higgs-Boson wurde bisher nicht
entdeckt. Auch lässt die Theorie einige grundlegende Fragen offen; beispielsweise kann sie
die Existenz dunkler Materie nicht erklären. Die Suche nach dem Higgs-Boson sowie einer
umfassenderen Theorie sind die zentralen Aufgaben des ATLAS-Experiments am LHC. Dabei
kommt dem Top-Quark als schwerstem bekannten Elementarteilchen
eine Schlüsselrolle zu. Mit
√
der am LHC angestrebten Schwerpunktenergie von s = 14 TeV1) und einer Designluminosität
von 1034 cm−2 s−1 werden am ATLAS-Experiment etwa zehn Top-Paare pro Sekunde erzeugt.
1.1 Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik
1.1.1 Überblick
Das Standardmodell der Teilchenphysik ist eine relativistische Quantenfeldtheorie zur Beschreibung der fundamentalen Elementarteilchen und deren Wechselwirkungen untereinander. Es
vereint drei der vier Grundkräfte der Physik: die elektromagnetische, die schwache und die starke
Wechselwirkung. Die Gravitation wird im Standardmodell nicht berücksichtigt.
Nach dem Standardmodell ist Materie aus punktförmigen Fermionen aufgebaut: sechs Quarks
und sechs Leptonen sowie deren Antiteilchen. Wie aus Tabelle 1.1 ersichtlich wird, bilden sie,
in Paaren angeordnet, drei Generationen. Mathematisch werden Fermionen von masselosen
Dirac-Spinoren ψ(x) repräsentiert. Deren fundamentale Wechselwirkungen beschreibt man
durch Eichbosonen, die eingeführt werden, um die Invarianz der Lagrangedichte unter lokalen
Eichtransformationen
ψ(x) → ψ 0 (x) = U(x)ψ(x)
(1.1)
sicherzustellen. Den Eichtransformationen zugrunde liegt die Symmetriegruppe
SU(3)C × SU(2)L ×U(1)Y
(1.2)
im Raum der Farbladung C, des linkshändigen schwachen Isospins T und der schwachen
Hyperladung Y = 2(Q − T3 ).
Basierend auf der Symmetriegruppe SU(3)C erfolgt die starke Wechselwirkung über
den Austausch masseloser Gluonen, die, wie Quarks, eine Farbladung tragen. Die starke
Wechselwirkung koppelt an die Farbladung und bewirkt, dass Quarks in der Natur nur in
gebundener Form als Farb-Singuletts vorkommen, die Hadronen genannt werden. Hadronen
1 In
dieser Arbeit wird die Einsteinsche Summenkonvention sowie das natürliche Einheitensystem“ mit h̄ = c =
”
e = 1 verwendet.
1
1 Einführung
können entweder baryonisch aus drei Quarks bzw. Antiquarks oder mesonisch aus einem
Quark und einem Antiquark aufgebaut sein. Die Theorie der starken Wechselwirkung heißt
Quantenchromodynamik. Sie wird in Kapitel 3 ausführlich diskutiert.
1.1.2 Elektroschwache Theorie und Higgs-Mechanismus
Die elektroschwache Theorie [1–3] mit der Eichgruppe SU(2)L ×U(1)Y vereint die elektromagnetische und die schwache Wechselwirkung, die durch das Photon γ sowie die Eichbosonen W ±
und Z 0 übertragen werden. Der Index L der Gruppe SU(2) verweist auf den paritätsverletzenden
Charakter der schwachen Wechselwirkung, die ausschließlich auf linkshändige Teilchen wirkt [4].
Diesem Umstand wird man gerecht, indem die Felder in einen rechts- und einen linkshändigen
Anteil zerlegt werden:
1
ψR,L = (1 ± γ5 )ψ.
(1.3)
2
Linkshändige Fermionen werden als Isospin-Dubletts, rechtshändige als Isospin-Singuletts
angeordnet. Die Forderung nach Invarianz der Lagrangedichte unter Transformation der
elektroschwachen Eichgruppe erfordert die Einführung vier masseloser Vektorfelder: das IsoTriplett (Wµ1 ,Wµ2 ,Wµ3 ) für die SU(2)L sowie das Singulett Bµ für U(1)Y .
Sowohl Fermionen als auch Bosonen sind bisher masselos. Das Hinzufügen von MasseTermen in der Lagrangedichte würde jedoch deren Eichinvarianz zerstören. Die Teilchen erhalten
ihre Masse daher über den sogenannten Higgs-Mechanismus [5–8]. Dazu wird ein neues Feld
T
eingeführt, welches durch ein Isospin-Dublett Φ = φ + , φ 0 zweier komplexer skalarer Felder
φ + und φ 0 realisiert wird. Der Lagrangedichte fügt man das skalare Higgs-Potenzial (mexican
hat)
λ † 2
†
2 †
Φ Φ
(1.4)
V Φ Φ = µ Φ Φ−
2
hinzu. Für µ 2 < 0 besitzt der Erwartungswert des Grundzustandes (Vakuumerwartungswert) nicht
mehr die Symmetrie der Gruppe SU(2)L ×U(1)Y . Über diese spontan gebrochene Symmetrie
gelingt es, den drei physikalischen Eichbosonen W ± und Z 0 Masse zuzuordnen. Zusätzlich
Tabelle 1.1: Fermionen des Standardmodells und deren elektrische Ladung Q, schwacher
Isospin für linkshändige Fermionen T3 sowie Farbladung C. Rechtshändige Fermionen
tragen keinen schwachen Isospin. Zu jedem aufgeführten Teilchen existiert ein Antiteilchen,
mit entgegengesetzter Ladung und Farbe: Q f¯ = −Q f sowie C f¯ = C̄ f . Außerdem werden
linkshändiger und rechtshändiger Isospin vertauscht.
1. Generation
2. Generation
3. Generation
Q
T3
up (u)
charm (c)
top (t)
+ 32 + 12
down (d)
strange (s)
bottom (b)
− 31 − 12
Leptonen e− -Neutrino (νe ) µ − -Neutrino (νµ ) τ − -Neutrino (ντ )
0 + 12
Elektron (e− )
Myon (µ − )
Tau (τ − )
−1 − 12
Quarks
2
C
rgb
rgb
–
–
1.1 Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik
erhält man ein massives Higgs-Boson. Das Photon-Feld Aµ erhält keine Masse. Die Felder der
Eichbosonen ergeben sich aus den oben eingeführten masselosen Feldern zu
1 1
±
2
√ Wµ ∓ iWµ
=
Wµ
(1.5)
2
Bµ
Aµ
cos θW sin θW
(1.6)
=
,
Wµ3
Zµ
− sin θW cos θW
mit dem schwachen Mischungswinkel sin2 θW ≈ 0.23 [9]. Der Austausch eines W -Bosons wird
als geladener Strom, der eines Z-Bosons als neutraler Strom bezeichnet.
Die Massen von Fermionen werden ebenfalls durch spontane Brechung der elektroschwachen Symmetrie eingeführt, indem der Lagrangedichte sogenannte Yukawa-Kopplungsterme
hinzugefügt werden [10]. Während Neutrinos im Standardmodell als masselos angenommen
werden2) , ist das Vorgehen für Quarks aufgrund ihrer Massen komplizierter. Hier folgen aus
der Yukawa-Kopplung nach der Symmetriebrechung Terme, die in Matrixform geschrieben
werden können. Die Masseneigenzustände entsprechen jedoch nicht den Eigenzuständen der
elektroschwachen Wechselwirkung. Ein Basiswechsel mithilfe unitärer Transformationen bringt
die Massenmatrix auf Diagonalform. Im geladenen Quarkstrom führt dies letztlich auf die
Cabibbo-Kobayashi-Masukawa-Matrix VCKM [12]:
 

 0 
d
Vud Vus Vub
d
 s0  =  Vcd Vcs Vcb   s  .
(1.7)
Vtd Vts Vtb
b L
b0 L
Hier bezeichnen d, s und b die Masseneigenzustände (Flavour), wogegen d 0 , s0 und b0 die
schwachen Eigenzustände repräsentieren. Die Masseneigenzustände u, c, t sind mit ihren
schwachen Eigenzuständen identisch. Die CKM-Matrix erklärt, warum sich der QuarkFlavour in geladenen Strömen ändert. Tabelle 1.2 zeigt eine Übersicht der Teilchenmassen
im Standardmodell.
Tabelle 1.2: Massen der bisher entdeckten Elementarteilchen im Standardmodell nach [9]. Die
Werte für Elektron und Myon haben eine sehr geringe Unsicherheit und wurden hier gerundet.
Quark
u
d
c
s
t
b
Masse
(1.5 - 3.3) MeV
(3.5 - 6.0) MeV
1.27+0.07
−0.11 GeV
104+26
−34 MeV
(173.1 ± 1.3) GeV
4.20+0.17
−0.07 GeV
Lepton
νe
e
νµ
µ
ντ
τ
Masse Boson
< 2 eV
511 keV
< 0.19 MeV
105.66 MeV
< 18.2 MeV
(1776.84 ± 0.17) MeV
γ
W±
Z0
g
Masse
–
(80.398 ± 0.025) GeV
(91.1876 ± 0.0021) GeV
–
2 In
den letzten Jahren durchgeführte Experimente deuten darauf hin, dass auch Neutrinos Masse tragen (z.B.
in [11]).
3
1 Einführung
1.2 Physik des Top-Quarks
Obwohl schon im Jahre 1973 drei Generationen von Fermionen vorhergesagt wurden [12],
konnte das Top-Quark erst 1995 am Fermilab von den Experimenten D/0 und CDF direkt
nachgewiesen werden [13, 14]. Mit einer Masse von 173.1 GeV ist das Top-Quark mit Abstand
das schwerste bekannte Elementarteilchen. Dadurch spielt es eine entscheidende Rolle bei der
Suche nach Erweiterungen des Standardmodells (siehe zum Beispiel [15], bzw. [16] für eine
konkrete Anwendung im ATLAS-Experiment). Da Top-Quarks zerfallen, bevor sie Hadronen
bilden, bieten sie die einzigartige Möglichkeit, unmittelbare Zerfallsprodukte von Quarks zu
messen. Somit erhält man Zugriff auf Informationen aus dem Spin des Top-Quarks. Weiterhin
stellen Top-Quarks für eine Reihe von Prozessen einen signifikanten Untergrund dar.
1.2.1 Produktion
Die zentrale Größe in den Streuexperimenten der Teilchenphysik ist der Wirkungsquerschnitt, der
als Maß für die Wahrscheinlichkeit verstanden werden kann, dass bei gegebenem Anfangszustand
ein bestimmter Endzustand gemessen wird. Für einen Streuprozess der Form 2 → n ist der
differenzielle Wirkungsquerschnitt:
(2π)4 |M |2
dσ̂ = q
,
4 (p1 p2 )2 − m21 m22
(1.8)
wobei pi die Viererimpulse und mi die Massen der einlaufenden Teilchen sind. Das invariante
Matrixelement M enthält die gesamte Dynamik des Streuprozesses. Eine detaillierte Beschreibung der Berechnung des Matrixelements aus Feynman-Diagrammen findet man zum Beispiel
in [17].
In hadronischen Kollisionen werden Top-Paare fast ausschließlich über die starke Wechselwirkung zwischen zwei Quarks (Quark-Vernichtung) oder Gluonen (Gluon-Fusion) erzeugt
(vergleiche Abbildung 1.1). Neben der Top-Paar-Produktion entstehen Top-Quarks auch einzeln
über die elektroschwache Wechselwirkung. Die Top-Einzelproduktion
ist seltener und nicht Teil
√
dieser Arbeit. Mit steigender Schwerpunktenergie s nimmt der Anteil der über Gluon-Fusion
erzeugten Top-Paare zu. Das liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit, in einem Hadron ein Quark
mit einem relativ großen Anteil des Hadron-Impulses zu finden, gegenüber Gluonen deutlich
höher liegt, wogegen Gluonen den Bereich geringer Impulsanteile dominieren (vergleiche hierzu
Kapitel 3.5). Damit jedoch ein Top-Paar erzeugt werden kann, muss die Schwerpunktenergie
2
des Subsystems mindestens die Schwelle
√ ŝ = 4mt erreichen. In den Proton-Proton-Kollisionen
am LHC trägt die Gluon-Fusion bei s = 14 TeV etwa 90% zum Wirkungsquerschnitt bei.
Analytische Berechnungen zu Top-Paar-Wirkungsquerschnitten in nächstführender Ordnung
(siehe Kapitel 3.2) findet man in [18, 19]. Die aktuellste Näherung [20] für 7 TeV ergibt σt t¯ =
−9
−28 m2 . Die
160.8+0.8
−7.8 pb. Die Einheit Barn hat die Dimension einer Fläche; es gilt 1pb = 10 ·10
Abhängigkeit des Wirkungsquerschnitts von der Schwerpunktenergie sieht man in Abbildung 1.2.
4
1.2 Physik des Top-Quarks
(a)
(b)
Abbildung 1.1: Produktion von Top-Paaren in führender Ordnung (vergleiche Kapitel 3.2). (a)
Quark-Vernichtung, (b) Gluon-Fusion (aus [21]).
.
1.2.2 Zerfall
Im Standardmodell berechnet sich die Zerfallsbreite des Top-Quarks näherungsweise über [22]
2 2 2 MW
MW
2αs 2π 2 5
GF mt3
1+2 2
1−
Γt = √ 1 − 2
−
3π
3
2
mt
mt
8π 2
(1.9)
zu Γt ≈ 1.33 GeV. Die Näherung beruht auf den Angaben für Fermis Kopplungskonstante GF ,
den Massen mt und MW sowie der starken Kopplungskonstanten αs (MZ ) aus [9]. Aufgrund
der hohen Masse des Top-Quarks ist die Lebensdauer τt = Γt−1 ≈ 3.1 · 10−24 s, was etwa eine
Größenordnung kleiner ist als die Zeit, die Quarks zur Bildung von Hadronen benötigen. Es
existieren also keine Hadronen, die Top-Quarks enthalten.
Da der Betrag des CKM-Matrixelements |Vtb | ≈ 0.999 [9], zerfallen Top-Quarks fast
ausschließlich in ein W -Boson und ein Bottom-Quark. Die Signatur eines Top-QuarkZerfalls bestimmt somit der Zerfall des W -Bosons. Die Zerfallskanäle des W + sowie deren
Verzweigungsverhältnisse Γi /Γ (mit partieller Zerfallsbreite Γi ) sind nach [21]:
W + → l + νl ,
W + → qq̄0 ,
l = e+ , µ + , τ + ,
¯ cs̄
qq̄0 = ud,
Γi
Γ
Γi
Γ
= (32.04 ± 0.36)%
= (67.96 ± 0.35)%.
(1.10)
Damit kann die Signatur eines Top-Paar-Zerfalls hinsichtlich der Anzahl an Leptonen im
Endzustand klassifiziert und deren Häufigkeit berechnet werden [21]:
• Dileptonische Zerfälle (10.3%) mit zwei Leptonen im Endzustand,
• Semileptonische Zerfälle (43.5%) mit einem Lepton im Endzustand,
• Vollhadronische Zerfälle (46.2%) enthalten kein Lepton im Endzustand,
Eine Übersicht zeigt Abbildung 1.3.
5
1 Einführung
Abbildung 1.2: Der Wirkungsquerschnitt für Top-Paar-Produktion in Abhängigkeit von der
Schwerpunktenergie. Der Fit basiert auf Messungen von D/0 und CDF, sowie NLO-Berechnungen
mit MC@NLO und einer Näherung für NNLO inklusive Skalenunsicherheiten [23].
c̄s
ūd
τ−
µ−
e−
e+ µ + τ +
ud¯
cs̄
Abbildung 1.3: Zerfallskanäle des W − - (linke Spalte) und W + -Bosons (untere Zeile). Die
Fläche der jeweiligen Kombination ist proportional zur in führender Ordnung berechneten
Wahrscheinlichkeit des Endzustandes im Zerfall der beiden W -Bosonen aus dem TopZerfall. Dileptonische Zerfälle entsprechen den blau eingefärbten, semileptonische den weißen
und vollhadronische den roten Flächen. Lesebeispiel zum gelb markierten Rechteck: Die
1
Wahrscheinlichkeit P für den Zerfall W + W − → cs̄ e− beträgt P = Pcs̄ · Pe− = 39 · 91 = 27
. Man
beachte, dass die hadronischen Quark-Zerfälle mit der Farbladung einen weiteren Freiheitsgrad
besitzen, wodurch sich die Wahrscheinlichkeit um den Faktor drei erhöht.
6
2 Das ATLAS-Experiment
2.1 Der Large Hadron Collider
Der Large Hadron Collider (LHC) ist ein ringförmiger Hadron-Beschleuniger am CERN
(Europäische Organisation für Kernforschung) in der Nähe von Genf. Er befindet sich in
einem etwa 26.659 km langen, unterirdischen Tunnel. Überwiegend werden am LHC Protonen
beschleunigt und zur Kollision gebracht. Außerdem können Blei-Ionen beschleunigt werden,
was in dieser Arbeit nicht weiter untersucht wird.
Wie in Abbildung 2.1 gezeigt, werden die Protonen zuerst in kleineren Beschleunigern
vorbeschleunigt, bevor sie mit einer Energie von 450 GeV in den LHC eingespeist werden, wo
sie schließlich eine Energie von 7 TeV erreichen sollen. Der LHC besteht aus zwei Röhren,
in denen je ein Protonenstrahl in entgegengesetzter Richtung rotiert. Bei einer angestrebten
Luminosität (siehe unten) von 1034 cm−2 s−1 enthält jeder Strahl etwa 2800 Bündel mit bis
zu 1011 Protonen, die alle 25 ns an vier Stellen des Rings√
zur Kollision gebracht werden. Die
Schwerpunktenergie der kollidierenden Protonen ist dann s = 14 TeV.
Die Ereignisrate eines Prozesses Ṅ ist mit dem Wirkungsquerschnitt σ über die Luminosität
L verknüpft:
Ṅ = Lσ .
(2.1)
In einem ringförmigen Beschleuniger ist die Luminosität L abhängig von der Anzahl der Teilchen
pro Bündel, Ni , und der Frequenz f , mit der die Bündel kollidieren:
N1 N2
L= f
.
(2.2)
4πσx σy
Dabei geben σx,y die transversalen Strahlbreiten an (etwa 16 µm an den Kollisionspunkten). Die
integrierte Luminosität
Z
Lint =
dtL
(2.3)
charakterisiert die Anzahl an Ereignissen in einem definierten Zeitraum.
Nach seiner Inbetriebnahme im November 2009 erreicht der LHC inzwischen eine
Schwerpunktenergie von 7 TeV bei einer Luminsosität von 6 · 1028 cm−2 s−1 [24]. Diese
Schwerpunktenergie soll bei zunehmender Luminosität beibehalten werden, bevor der LHC Ende
2011 zwecks Wartung für ein Jahr abgeschaltet wird. Der derzeitige Zeitplan sieht bis dahin eine
integrierte Luminosität von Lint = 1 fb−1 vor [25]. Im Anschluss soll die Schwerpunktenergie
die angestrebten 14 TeV sowie L = 1034 cm−2 s−1 erreichen.
An den Kollisionspunkten sind die vier großen Experimente lokalisiert: ALICE [26] wurde
speziell entwickelt, um das Quark-Gluon-Plasma in Schwerionen-Kollisionen zu untersuchen,
LHCb [27] hat seinen Schwerpunkt in der Messung der CP-Verletzung im Bottom-QuarksSystem. Die beiden größten Experimente, ATLAS [28] und CMS [29], sind Universaldetektoren,
das heißt, sie sollen ein möglichst breites physikalisches Spektrum abdecken.
7
2 Das ATLAS-Experiment
Abbildung 2.1: Beschleunigerkomplex am CERN: Protonen werden durch Ionisierung von
Wasserstoff erzeugt und im Linearbeschleuniger LINAC2 vorbeschleunigt. Danach durchlaufen
sie die Ringbeschleuniger PS-Booster, Proton-Synchrotron (PS) und das Super-ProtonSynchrotron (SPS), bevor sie den LHC erreichen [30].
2.2 Der ATLAS-Detektor
Das Ziel des ATLAS-Experiments ist eine genaue Rekonstruktion der im Detektor stattfindenden
Ereignisse, also der Identifikation und präzisen Messung der Viererimpulse möglichst vieler
Teilchen. Deshalb deckt der Detektor nahezu den gesamten Bereich um den Kollisionspunkt
hermetisch ab. Um den Eigenschaften verschiedener Teilchen gerecht zu werden, vereint ATLAS
unterschiedliche, spezialisierte Detektor-Konzepte. Sie werden nach einer Einführung der
kinematischen Observablen kurz beschrieben. Eine umfassende Darstellung findet man in [28].
2.2.1 Kinematik
Den Ursprung des am ATLAS-Experiment verwendeten Koordinatensystems bildet der
Kollisionspunkt. Die z-Achse zeigt entlang der Strahlachse, die positive x-Achse vom
Kollisionspunkt zum Mittelpunkt des Beschleunigers. Die positive y-Achse zeigt in Richtung
der Erdoberfläche. Hinsichtlich der Geometrie des Detektors bietet sich die Verwendung eines
Koordinatensystems bestehend aus Radialabstand (R) und Polarwinkel (θ ) zur Stahlachse sowie
dem Azimutwinkel (φ ) zur x-Achse an1) :
p
R =
x2 + y2
(2.4)
z
θ = arccos √
(2.5)
R2 + z2
φ = atan2 (y, x)
(2.6)
1 Definition
8
von atan2(y,x) in Anhang A.1.
2.2 Der ATLAS-Detektor
In der Hochenergiephysik spielen lorentzinvariante Größen eine wichtige Rolle. Neben dem
Transversalimpuls in der x × y-Ebene
q
pT = p2x + p2y
(2.7)
wird häufig die Rapidität y relativ zur Strahlachse
E + pz
1
y = ln
2
E − pz
(2.8)
mit der Energie E verwendet. Deren Verteilung sowie Rapiditätsdifferenzen sind invariant
unter Lorentz-Transformationen (Boosts). In der relativistischen Näherung oder wenn die
Teilchenmasse, wie im Falle von Leptonen, vernachlässigbar klein ist, bietet die Pseudorapidität
η mit
θ
η = − ln tan
(2.9)
2
eine gute Näherung der Rapidität. Ein näherungsweise lorentzinvariantes, räumliches Distanzmaß
ist somit
q
∆R = (∆η)2 + (∆φ )2 .
(2.10)
Auch die invariante Masse minv von n Teilchen mit Viererimpulsen pi
!2
n
m2inv =
∑ pi
(2.11)
i=1
und somit die Schwerpunktenergie zweier kollidierender Hadronen mit Viererimpulsen p1 und
p2
q
√
s = (p1 + p2 )2
(2.12)
sind invariant unter Lorentztransformationen. Neutrinos sowie einige hypothetische Teilchen, die
nur sehr schwach mit Materie wechselwirken, können nicht im Detektor gemessen werden. Ihr
Impuls kann jedoch über die fehlende Transversalenergie E/T abgeschätzt werden, die über die
vektorielle Summe der Transversalimpulse aller gemessenen Teilchen folgendermaßen definiert
ist:
px
/T = − ∑
E
.
(2.13)
py
In dieser Arbeit wird nur der Betrag verwendet:
/T .
E/T = E
(2.14)
2.2.2 Aufbau
Der ATLAS-Detektor besteht aus drei Hauptkomponenten: Dem Inneren Detektor, dem
Kalorimetersystem und dem Myonspektrometer, welche sukzessive von innen nach außen um
den Kollisionspunkt angeordnet sind. Abbildung 2.2 zeigt eine Innenansicht des Detektors. Im
Anschluss entscheidet ein Trigger- und Rekonstruktionssystem, welche Messdaten permanent
gespeichert werden. Dieses dreistufige System auf Hardware- sowie Software-Ebene ermöglicht
eine Reduktion der Datenmenge von bis zu einer Milliarde auf etwa 200 Ereignisse pro Sekunde.
9
2 Das ATLAS-Experiment
Abbildung 2.2: Innenansicht des ATLAS-Detektors [28].
Der Innere Detektor
Die Aufgabe des Inneren Detektors ist die Spurbestimmung elektrisch geladener Teilchen.
Zum einen kann mithilfe der Spur der Ursprung rekonstruiert werden, zum anderen gibt sie
Aufschluss über Impuls und Ladung eines geladenen Teilchens. Dies ist möglich, da der Innere
Detektor in ein solenoides Magnetsystem eingebettet ist, sodass Impuls und Ladung anhand
der Bahnkrümmung ermittelt werden können. Der Innere Detektor ist aus drei Subdetektoren
aufgebaut, die konzentrisch um die Strahlachse (Barrel) und in Form von Endkappen angebracht
sind. Von der Strahlachse ausgehend sind das der Pixel- und der SCT-Detektor, beide auf
Halbleiterbasis, sowie ein Übergangstrahlungsdetektor (TRT). Dabei nimmt die Auflösung von
innen nach außen ab. Die Abdeckung ist |η| < 2.5 für die Halbleiterdetektoren, bzw. |η| < 2 für
den TRT. Der gesamte Innere Detektor misst R × z = (1.15 × 6.2) m.
Das Kalorimetersystem
Das Kalorimetersystem dient der Messung der Teilchenenergien. Am ATLAS-Detektor werden
dafür abwechselnde Lagen von Absorbermaterial mit hoher und Detektormaterial mit geringer
Dichte verwendet. In den Absorberlagen übertragen die Teilchen ihre Energie aufgrund
elektromagnetischer und hadronischer Wechselwirkung auf Sekundärteilchen und werden
somit gebremst. Die in allen Detektorlagen deponierte Gesamtenergie der niederenergetischen
Sekundärteilchen ist proportional zur Energie des auslösenden Teilchens.
10
2.2 Der ATLAS-Detektor
Das Kalorimetersystem unterteilt sich in das, an den Inneren Detektor anschließende,
elektromagnetische Kalorimetersystem mit einer hohen Granularität und das hadronische
Kalorimetersystem mit geringerer Granularität. Beide Systeme bestehen aus einem Barrelund einem Endkappen-System. Das elektromagnetische Kalorimetersystem wurde speziell
für die Messung elektromagnetischer Teilchenschauer, die durch Elektronen oder Photonen
ausgelöst werden, entwickelt. Während die Absorberlagen aus edelstahlbeschichtetem Blei
bestehen, kommt als Nachweismedium flüssiges Argon (LAr) zum Einsatz. Demgegenüber
soll das hadronische Kalorimetersystem die Energien hadronischer Teilchenschauer messen.
Die hadronischen Kalorimeter bestehen im zentralen Bereich aus Stahl-Absorbern und
Plastikszintillatoren, bzw. aus Kupfer-Absorbern mit flüssigem Argon in den Endkappen.
Zusätzlich kommen sogenannte Vorwärts-Kalorimeter zum Einsatz, sodass insgesamt ein
Bereich von |η| < 4.9 abgedeckt werden kann. Zusammen mit dem Inneren Detektor hat das
Kalorimetersystem einen Radius von R = 4.25 m.
Das Myonspektrometer
Myonen sind die einzigen elektrisch geladenen Teilchen, die das Kalorimetersystem durchdringen. Ihr Impuls wird im Myonspektrometer gemessen. Dazu wird ein toroidales Magnetfeld
erzeugt, dessen Feld nahezu senkrecht zum Myonimpuls steht. Die Myonen werden von einer
dreilagigen Schicht von Driftkammern (MDT und CSC) detektiert und deren Impuls anhand
der Bahnkrümmung ermittelt. Insgesamt wird der Bereich |η| < 2.7 abgedeckt, der allerdings,
aufgrund technischer Beschränkungen, nicht vollständig geschlossen ist.
11
2 Das ATLAS-Experiment
12
3 Quantenchromodynamik an
Hadron-Collidern
3.1 Die Lagrangedichte der Quantenchromodynamik
Die Quantenchromodynamik (QCD) ist eine Eichtheorie der starken Wechselwirkung zwischen
Quarks und Gluonen. In Analogie zur Quantenelektrodynamik (QED) tragen Quarks in dieser
Theorie die Farbladungen Rot, Blau und Grün, bzw. deren Antifarbe, an die die starke
Wechselwirkung koppelt. Zur Beschreibung farbgeladener Teilchen bedient man sich der
nichtabelschen SU(3)-Theorie, welche durch acht Generatoren beschrieben wird. Aus der lokalen
Eichinvarianz folgen acht Eichfelder, die mit den Gluonen identifiziert werden und aufgrund der
nichtabelschen Algebra der SU(3) selbst Farbladung tragen. Diese Selbstwechselwirkung führt
zu Vertices mit bis zu vier Gluonen.
Die Lagrangedichte der QCD ist gegeben durch (siehe zum Beispiel [17]):
L = LYang−Mills + Lgauge−fixing + Lghost .
(3.1)
Der Ausdruck
1 a µν
/ − m)ψ
LYang−Mills = − Fµν
Fa + ψ̄(iD
(3.2)
4
ist die sogenannte Yang-Mills-Lagrangedichte. Darin beschreibt der zweite Teil die Propagierung
der Quark-Felder ψ mit Masse m und deren Wechselwirkung mit den masselosen GluonFeldern A. Die kovariante Ableitung ist
/ = γ µ (Dµ ) = γ µ (∂µ − igAaµ t a )
D
(3.3)
mit g, der Kopplungskonstanten der SU(3) und t, den Matrizen der Fundamentaldarstellung
der SU(3). Der Feldstärketensor für das Gluon-Feld beinhaltet dessen Propagierung und
Selbstwechselwirkung:
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − g f abc Abµ Acν .
(3.4)
Der Term mit der SU(3)-Strukturkonstanten f abc ist die Ursache für drei- und vierbeinige GluonVertices, welche der QCD ihre komplizierte Dynamik verleihen. Die fundamentalen FeynmanDiagramme der QCD sind in Abbildung 3.1(a) gezeigt. Aus der jetzigen Form der Lagrangedichte
ist es nicht möglich, Feynman-Regeln mittels störungstheoretischer (perturbativer) QCD
abzuleiten. Es muss noch eine kovariante Eichung festgelegt werden. Eine Möglichkeit ist
die Erweiterung der Lagrangedichte mit dem Term
Lgauge−fixing = −
1 µ a 2
(∂ Aµ ) ,
2ξ
(3.5)
13
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
(a)
(b)
Abbildung 3.1: (a) Die Feynman-Diagramme, die den Wechselwirkungstermen der Yang-MillsLagrangedichte entsprechen. In Feynman-Diagrammen werden Fermionen (hier Quarks) als
gerade Linien, Gluonen mit Schleifen dargestellt. Die Zeit läuft von links nach rechts. (b)
Schleifendiagramme, die Abschirmung (oben) und Antiabschirmung (unten) von Farbladung
bewirken. Alle Feynman-Diagramme in dieser Arbeit wurden mit JaxoDraw [31] erstellt.
mit dem Eichparameter ξ . Da die Festlegung der Eichung die Eichinvarianz bricht, werden
sogenannte “Faddeev-Popov-Geister” η eingeführt:
c
Lghost = η̄ a (−∂ µ Dac
µ )η .
(3.6)
Die künstlichen Felder η eliminieren Beiträge unphysikalischer Gluon-Freiheitsgrade.
3.2 Renormierung und die laufende
Kopplungskonstante
Eine Besonderheit der perturbativen QCD ist die Abhängigkeit der starken Kopplungskonstanten
αs =
g2
4π
(3.7)
von der Energieskala, mit der das System untersucht wird. Während sich die Skaleninvarianz
in klassischen Feldtheorien einfach sicherstellen lässt, ist dies für die QCD nicht der Fall.
Wie in der QED ergeben sich Quantenkorrekturen zur Farbladung aufgrund der Polarisierung
des Vakuums. Im Gegensatz zur QED kommt es in der QCD durch die entgegengesetzten
Effekte der Abschirmung und Antiabschirmung (siehe Abbildung 3.1(b)) zu einer effektiven
Abnahme der starken Kopplungskonstanten mit hohen Energien. Die erwähnten Effekte sind
eine Folge der Selbstwechselwirkung des Gluon-Feldes und führen letztlich zu den Phänomenen
der Asymptotischen Freiheit und des Farbeinschlusses (Confinement).
Bei der Berechnung der Feynman-Graphen treten Divergenzen auf, sobald man höhere
Ordnungen in αs einbezieht (siehe Abbildung 3.2). Die ultravioletten Divergenzen, also Beiträge,
die auftreten, wenn die Impulse der Teilchen (mit Masse m) in den Schleifen gegen Unendlich
gehen, können mithilfe dimensionaler Regularisierung (Minimales Subtraktionsschema [32]),
14
3.2 Renormierung und die laufende Kopplungskonstante
behandelt werden. Bei dieser Renormierung wird eine Massenskala µr eingeführt, wodurch
die Entwicklungsterme der renormierten Kopplungskonstanten αr explizit von dieser Skala
abhängen:
µ2
αr (µr ) = αs 1 +C 2 αs + . . . .
(3.8)
m
Der Parameter µr ergibt sich nicht aus der Lagrangedichte. Diese Freiheit in der Festlegung der
Renormierungsskala verlangt, dass eine dimensionslose, physikalische Observable R unabhängig
2
von der Skalenwahl sein muss. Die Observable kann demnach nur von αr und Q
abhängen,
µ2
wobei Q2 das Quadrat der Energieskala des untersuchten Prozesses ist.
Mathematisch ausgedrückt muss R die Renormierungsgruppengleichung
∂ αr
∂
Q2
∂
R = 0,
mit
t = ln 2 ,
β = µ2 2
− + β (αr )
∂t
∂ αr
µr
∂ µr
r
(3.9)
erfüllen (Darstellung nach [33]). In die oben eingeführte renormierte Kopplungskonstante lässt
sich die gesamte Skalenabhängigkeit absorbieren. Die µr -Abhängigkeit der Entwicklungsterme
heben sich gegenseitig auf, wenn man alle Ordnungen in αs miteinbezieht. Da Entwicklungen
derzeit nur maximal bis zur vierten Ordnung bekannt sind, sind physikalische Observablen von
der Wahl der Skala abhängig. Setzt man die Skala µ 2 = Q2 , also auf die typische Energieskala
des physikalischen Prozesses (z. B. die Top-Masse für Top-Paar-Produktion), erhält man die
laufende Kopplungskonstante, deren Skalenabhängigkeit durch die Beta-Funktion
∂ αs (Q2 )
= β αs (Q2 ) = −bαs2 (1 + b0 αs ) + O(αs4 )
∂t
(3.10)
festgelegt ist. In führender Ordnung findet man
b=
1
(33 − 2n f ).
12π
(3.11)
An diesem Ergebnis erkennt man die Auswirkungen der nichtabelschen Struktur der QCD.
Die Terme entsprechen Abschirmung (∝ −n f ) und Antiabschirmung. Im Gegensatz zu βQED
ist der dominante Term von βQCD somit negativ, solange die Anzahl der aktiven (mq < Q)
Quark-Flavours n f ≤ 16 ist. Das ist der Grund für die unterschiedliche Skalenabhängigkeit und
schließlich das Konzept der Asymptotischen Freiheit: Bei hohen Energien, bzw. bei kleinen
Abständen ist die Kopplung so schwach, dass die Wechselwirkung der Partonen untereinander
vernachlässigt werden kann. Man betrachtet sie als freie Teilchen, die mithilfe perturbativer QCD
beschrieben werden können.
Die perturbative QCD kann nur die Veränderung der starken Kopplungskonstanten vorhersagen. Absolute Werte müssen experimentell bestimmt werden. Vergleichen lassen sich die Werte,
indem man die Messwerte mithilfe der Beta-Funktion auf die gleiche Energieskala normiert.
Standardmäßig nimmt man dafür die Masse des Z 0 -Bosons mZ . Das aktuelle globale Mittel wird
mit αs (mZ ) = 0.1184 ± 0.0007 angegeben [34]. Alternativ kann man einen dimensionsbehafteten
Parameter Λ direkt in αs einführen:
ln
Q2
=−
Λ2
dx
.
αs (Q2 ) β (x)
Z ∞
(3.12)
15
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
Λ liegt im Bereich 200 MeV und ist die Skala, an der die perturbative QCD zusammenbricht.
Diesen Effekt nennt man Confinement: Freie Partonen können bei Distanzen über Λ−1 ≈ 1 fm
nur noch als Farb-Singuletts, also in hadronisierter Form ohne effektive Farbladung, beobachtet
werden. In führender Ordnung ist
1
αs (Q2 ) =
(3.13)
2 .
b ln Q
Λ2
Nachdem ultraviolette Divergenzen durch geschickte Wahl der Energieskala behandelt werden
können, besteht weiterhin das Problem der infraroten Divergenzen. Ihren Ursprung haben sie in
weichen und kollinearen Singularitäten in den Propagatoren der QCD. Bei Vernachlässigung der
Massen ist dieser proportional zu Q12 mit
Q2 ≈ 2Eb Ec (1 − cos θbc ).
(3.14)
Im Zerfall a → b + c wird die Abstrahlung eines Teilchen mit Energie Eb/c → 0 als weich
bezeichnet. Kollinear werden Zerfälle genannt, wenn der Winkel zwischen den Teilchen im
Endzustand θbc → gegen Null geht. Das Auftreten dieser Singularitäten hat keinen physikalischen
Ursprung, sondern zeigt auf, dass die perturbativen Methoden bei niedrigen Energien nicht mehr
2
anwendbar sind. Die mathematische Ursache sind die Logarithmen ln Q
, die in den Koeffizienten
µ2
der Entwicklung in αs vorkommen. Jede Ordnung n in αs wird von einer Summe dieser
Logarithmen in der Ordnung bis zu 2n begleitet, die bei weicher oder kollinearer Bremsstrahlung
sehr groß werden. Nach dem Umordnen der Terme in Ordnungen der Logarithmen kann man den
Ausdruck systematisch verbessern, je mehr Ordnungen ausgewertet werden. Dieses Verfahren
nennt man Resummierung, und kann komplementär zu einer Entwicklung in fester Ordnung in αs
angewendet werden. Während man bei Rechnungen in fester Ordnung die einzelnen Ordnungen
mit führende Ordnung (leading order bzw. LO), nächstführende Ordnung (next-to-leading order
bzw. NLO), etc. bezeichnet, spricht man bei der Resummierung von leading logs (LL), bzw.
next-to-leading logs (NLL).
(a)
(b)
(c)
Abbildung 3.2: Drei Beispiele für Korrekturen in nächstführender Ordnung: virtuelle (a)
Schleifen-, bzw. (b) Vertexkorrekturen und (c) reelle Bremsstrahlungskorrekturen.
3.3 Faktorisierung
Das Prinzip der Asymptotischen Freiheit lässt es zu, dass die Konstituenten der Hadronen, von
Richard Feynman Partonen genannt [35], in hochenergetischen Kollisionen wie freie Teilchen
betrachtet werden können. Als Partonen bezeichnet man Gluonen und Quarks eines Hadrons,
16
3.3 Faktorisierung
wobei Quarks in Valenzquarks und Seequarks unterteilt werden. Valenzquarks sind jene Quarks,
die die Quantenzahlen des Hadrons bestimmen, wogegen es sich bei Seequarks um virtuelle
Quark-Antiquark-Paare handelt. Die Wahrscheinlichkeit, ein Parton mit einem bestimmten Anteil
x des Gesamtviererimpulses pµ zu finden, ist durch Partonverteilungsfunktionen F(x) (parton
distribution function, PDF) gegeben.
Die Kollision von zwei Hadronen mit Impulsen p1 und p2 setzt sich in diesem Partonmodell
aus einem harten Streuprozess und dem Untergrundereignis (Underlying Event) zusammen.
Der harte Streuprozess zeichnet sich durch einen großen invarianten Impulsübertrag Q2 Λ2
aus. Durch die Postulierung des Faktorisierungs-Theorems lassen sich die perturbativen und
nicht-perturbativen Prozesse voneinander trennen. Den Wirkungsquerschnitt für einen Prozess
mit Endzustand X schreibt man als Summe der partonischen Wirkungsquerschnitte, gewichtet
mit den Partonverteilungsfunktionen der beteiligten Partonen [36]:
Z
2
2
2
2
2 Q Q
σ (p1 , p2 ) = ∑ dx1 dx2 Fi (x1 , µF )Fj (x2 , µF ) × σ̂i j x1 p1 , x2 p2 , αs (µF ), 2 , 2 . (3.15)
µF µr
i, j
Die Faktorisierungsskala µF trennt im Wesentlichen den Anteil, der durch die PDFs beschrieben
wird, vom partonischen Wirkungsquerschnitt σ̂i j , also dem Wirkungsquerschnitt für den
Subprozess
i(x1 p1 ) + j(x2 p2 ) → X.
(3.16)
Wählt man eine große Faktorisierungsskala, werden mehr kollineare Partonen durch die
PDF absorbiert, wogegen kleine µF zur Folge haben, dass diese Partonen zum partonischen
Wirkungsquerschnitt berücksichtigt werden (siehe Abbildung 3.3). Ähnlich wie bei der
Renormierung, darf der Wirkungsquerschnitt nicht von der Faktorisierung abhängen:
∂σ
= 0.
∂ µF
(3.17)
Renormierungsskala und Faktorisierungsskala werden häufig gleichgesetzt, µ = µr = µF , und
mit der Energieskala des harten Streuprozesses identifiziert, µ 2 = Q2 , um das Auftreten großer
Beiträge der Logarithmen zu vermeiden. Da die laufende Kopplung für den harten partonischen
Wirkungsquerschnitt klein ist, kann man ihn nach Ordnungen in αs entwickeln:
n
σ̂
= αsk
∑ σ̂mαsm,
(3.18)
m=0
wobei unterschiedliche harte Streuprozesse sich auch in der führenden Ordnung k unterscheiden.
Die Beiträge σm ergeben sich aus den Matrixelementen M , indem man sie über das
Phasenraumvolumen dΦ integriert:
σ̂ ∼
Z
dΦ|M |2 .
(3.19)
Die Feynman-Regeln zur Berechnung von M können aus der Lagrangedichte (Gleichung 3.1)
abgeleitet werden.
Eine vollständige Beschreibung des Wirkungsquerschnitts in der QCD kann nur erlangt
werden, wenn man die Hadronisierung (Abschnitt 3.6) miteinbezieht, die ebenfalls abfaktorisiert
werden kann und als zusätzlicher Faktor in Gleichung 3.15 auftaucht.
17
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
(a)
(b)
Abbildung 3.3: Die Faktorisierungsskala legt fest, ob bei der Berechnung des Wirkungsquerschnittes eines harten Streuprozesses (rot markiert) ein kollinear abgestrahltes Parton (a) durch
die PDF beschrieben wird oder (b) Teil des partonischen Wirkungsquerschnitts ist.
.
3.4 Die DGLAP-Evolutionsgleichungen
Im Parton-Modell betrachtet man ein Hadron als eine Ansammlung von Partonen. Quarks können
Gluonen abstrahlen, welche wiederum virtuelle Quark-Antiquark-Paare erzeugen oder ebenfalls
Gluonen abstrahlen können. Insgesamt entsteht somit eine baumartige Struktur raumartiger
(m2 < 0) virtueller Teilchen. Virtuell meint hier jene Teilchen, die nicht auf der Massenschale
liegen, für die E 2 = p2 + m2 also nicht gilt. Das ergibt sich aus der Viererimpulserhaltung,
die für jeden Vertex eingefordert wird. Alternativ kann man sich vorstellen, dass aufgrund der
Unschärferelation kurzzeitig die Energie nicht erhalten ist.
Da höhere Energien die Struktur des Hadrons besser auflösen, ändern sich die Partonverteilungsfunktionen für Quarks und Antiquarks qi (x,t) sowie Gluonen g(x,t) mit Q2 . Beschreiben
lässt sich dies durch das Lösen der Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi-Gleichungen
(DGLAP) [37–39]:
(
)
Z
x
x
dqi (x,t) αs (t) 1 dz
qi (z,t)Pqq
+ g(z,t)Pqg
(3.20)
=
dt
2π x z
z
z
dg(x,t) αs (t)
=
dt
2π
Z 1
dz
x
z
( 2n
f
∑ q j (z,t)Pgq
j
mit
t = ln
Q2
.
µr2
x
z
+ g(z,t)Pgg
)
x
z
(3.21)
(3.22)
Die Indizes i, j laufen über alle Flavours sowohl für Quarks als auch für Antiquarks. Die
Splitting-Funktionen Pi j geben die Wahrscheinlichkeit für den Prozess j → i + X an. Je mehr
Ordnungen der Splitting-Funktion entwickelt werden, desto höher löst man die Partonwolke auf.
Die anschließende Faltung mit den Partonverteilungsfunktionen kann man sich folgendermaßen
veranschaulichen: Ein Quark ändert seinen Impulsanteil durch Abstrahlung eines Gluons oder
18
3.5 Partonverteilungsfunktionen
ein Gluon erzeugt ein Quark-Antiquark-Paar, was sich sowohl auf qi (x,t), als auch auf g(x,t)
auswirkt. Zudem ändert sich g(x,t), wenn sich ein Gluon in zwei Gluonen verzweigt. In dieser
Form (LO) resummieren die DGLAP-Evolutionsgleichungen korrekt alle Beiträge in LL [40].
3.5 Partonverteilungsfunktionen
Die Partonverteilungsfunktionen können über die perturbativen DGLAP-Evolutionsgleichungen
nicht berechnet werden; sie geben ausschließlich die Evolution mit der Energieskala an.
Deswegen benötigt man Werte aus dem Experiment. Vorwiegend werden Daten aus der
tiefinelastischen Streuung (z. B. HERA-Experimente) oder von Hadron-Collidern benutzt. Da die
Partonverteilungsfunktionen universell sind, also nicht von der Art des Experiments abhängen,
sammeln verschiedene Kollaborationen wie CTEQ oder MSTW [41, 42] die Daten und erstellen
globale Fits. Dabei sind eine Vielzahl von Parametern zu bestimmen, die aus der Wahl des
zugrundeliegenden Modells, der Ordnung (LO oder NLO) und der Parametrisierung stammen.
Im Allgemeinen verwendet man für eine PDF F(x) ∈ {q(x), g(x)} eine Parametrisierung von
der Form [43]
xF(x) = AxB (1 − x)C 1 + Dx + Ex2 + . . . .
(3.23)
Die Konstanten A, . . . , E werden in dem Fit bestimmt. Die angepassten Daten werden in Form von
Datensätzen von den unterschiedlichen Kollaborationen angeboten. Häufig werden Datensätze
mit Unsicherheiten angeboten, in denen die unkorrelierten Fitparameter um 1σ variiert werden.
In dieser Arbeit werden die Verteilungsfunktionen CTEQ6L1 (bzw. CTEQ6LL) mit einem Fit
in LO sowie αs in LO und CTEQ6m (NLO und NLO) [44] und die aktuelle CTEQ6.6 (NLO
und NLO) [45] verwendet. Die Partonverteilungsfunktionen für die HERA-Experimente und
CTEQ6.6 zeigen Abbildung 3.4(b) und 3.4(a).
3.6 Hadronisierung
3.6.1 Der Partonschauer
Das Einbeziehen von weicher und kollinearer Strahlung in die Berechnung erfordert, dass immer
mehr Ordnungen berücksichtigt werden müssen. Außerdem divergieren die Emissionsraten für
kollineare und weiche Strahlung (wobei Letzteres nur für jene mit Gluonen im Endzustand gilt),
wie in Abschnitt 3.2 gesehen. Mithilfe des Faktorisierungs-Theorems lässt sich die Berechnung
vereinfachen, indem man Teilchenschauer einführt, die genau diese Prozesse gut approximieren.
Dabei wird von einem komplexen Prozess ein harter Kernprozess abgespalten, und anschließend
mit einem Partonschauer gefaltet (Showering). Partonen, die am harten Streuprozess teilnehmen,
strahlen im Anfangs- wie im Endzustand zusätzliche Partonen ab, die sich ebenfalls weiter
verzweigen:
g → gg,
g → qq̄,
q → qg.
(3.24)
Dabei wird die Abstrahlung raumartiger Teilchen, die also vor dem harten Kernprozess
abgestrahlt wurden, als Initial-State-Radiation (ISR) bezeichnet. Zeitartige nennt man analog
Final-State-Radiation (FSR). Die entstandene Kaskade von auslaufenden Teilchen ist der
Teilchenschauer (siehe Abbildung 3.5). Dieser Teil des Prozesses wird im Wesentlichen durch
19
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
(a)
(b)
Abbildung 3.4: Partonverteilungsfunktionen für Valenzquarks uv und dv , Seequarks S sowie
Gluonen g für Q2 = 10 GeV2 . Abbildung (a) zeigt einen kombinierten Fit der beiden
Kollaborationen H1 und ZEUS (HERA). Die roten Fehlerbänder zeigen die Unsicherheiten
aufgrund des Experiments, die gelben beinhalten zudem Unsicherheiten im theoretischen Modell
für die Annahmen des Fits. Die grünen Bänder repräsentieren die gesamte Unsicherheit inklusive
Unsicherheiten in der Parametrisierung. In (b) werden diese mit den Verteilungen von CTEQ6.6
(dunkelblau) verglichen [46].
.
Lösungen der in Abschnitt 3.4 eingeführten DGLAP-Gleichungen, den Sudakov-Formfaktor,
beschrieben (siehe auch Kapitel 4).
Aufgrund des Confinements ist es nicht möglich, freie farbgeladene Teilchen auf einer Skala
größer als Λ−1 zu beobachten. Im folgenden Prozess der Hadronisierung, auch Fragmentierung
genannt, formieren sich die Teilchen zu einem farbneutralen Bündel aus Hadronen (Jets).
Die Entstehung dieser Jets ist hochgradig nicht-perturbativ, und kann derzeit nur durch
phänomenologische Ansätze beschrieben werden. Diese basieren auf der Parton-Hadron-Dualität,
das heißt, dass Quantenzahlen auf Parton-Level auf Hadron-Level erhalten bleiben. Es sei
darauf hingewiesen, dass eine klare Trennung der Hadronisierung von möglichen Zerfällen der
entstandenen, teilweise sehr kurzlebigen Hadronen meistens nicht möglich ist. Die verbreitetsten
Hadronisierungs-Modelle sind:
• String-Fragmentierung [47, 48],
• Cluster-Fragmentierung [49, 50],
• Unabhängige Fragmentierung [51].
Zwar ist die Unabhängige Fragmentierung das einfachste Modell, es hat jedoch einige
Defizite [52], und weist deutliche Unterschiede zu gemessenen Daten auf (siehe z. B. [53]).
20
3.6 Hadronisierung
Dagegen sind die anderen beiden Modelle bis heute sehr erfolgreich und sollen hier in stark
vereinfachter Form kurz beschrieben werden.
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung eines Partonschauers.
3.6.2 Das Lund-String-Modell
Das am häufigsten angewandte String-Modell ist die Lund-String-Fragmentierung. Dabei wird
die Form des Potenzials in der QCD auf langen Distanzen ausgenutzt, und lässt sich anschaulich
anhand eines Quarks und eines Antiquarks erläutern, die sich in unterschiedliche Richtungen
bewegen. Das Potenzial zwischen den beiden Farbladungen kann auf längeren Abständen linear
approximiert werden, wodurch das Feld in eine schmale, röhrenartige Region komprimiert
wird, welche String genannt wird (vergleiche Abbildung 3.6). Gluonen verformen den String
proportional zu ihrem Impuls. Je weiter sich die beiden Quarks voneinander entfernen, desto
mehr Energie verlieren sie an den sie verbindenden String. Durch Erzeugung von qq̄-Paaren
bricht der String auf. Dieses Modell wird iteriert, und anschließend werden die entstandenen
Quarks zu Hadronen gebunden, wobei die Erzeugung von Baryonen komplexer ist als die von
Mesonen (vergleiche auch [54]). Das String-Modell, das derzeit in dem Monte-Carlo-Generator
PYTHIA [55] verwendet wird, ist schematisch in Abbildung 3.7(a) dargestellt.
3.6.3 Das Cluster-Modell
Die Basis für das Cluster-Modell ist das Preconfinement [57] der Quarks und Gluonen aus
dem Schauer. Das heißt, im Grenzfall einer großen Anzahl farbgeladener Partonen werden die
Konstituenten des Partonschauers farbneutrale Paare bilden, die im Phasenraum nahe beieinander
liegen. Gluonen werden vorher nicht-perturbativ in ein qq̄-Paar zerlegt. Die Farb-Singulett-Paare
21
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
(b)
(c)
(a)
Abbildung 3.6: (a) QCD-Potenzial V in GeV in Abhängigkeit vom Abstand R in fm; berechnet
nach einem Fit mithilfe von Gitter-QCD [56]. Das Feld zwischen zwei unterschiedlichen
Ladungen im Falle der QED (b) und QCD (c)
werden in Clustern angeordnet, welche anschließend isotrop zu Hadronen zerfallen (vergleiche
Abbildung 3.7(b)). Auch in diesem Modell müssen weitere Annahmen eingeführt werden, um
Baryonen zu erzeugen. Cluster mit zu großer invarianter Masse werden geteilt, wogegen zu kleine
Cluster fehlende Energie von benachbarten Clustern erhalten. Die entscheidende Beobachtung
bei dem Modell ist, dass die invariante Masse des Großteils dieser Cluster in der Größenordnung
des Partonschauer-Cutoffs liegt. Die Hadronisierung ist komplett durch den Partonschauer
festgelegt. Dies spiegelt auch die Philosophie des Cluster-Modells wider, insofern es das Ziel
vefolgt, eine minimalistische Erweiterung zu den vorangegangenen Prozessen zu sein. Auch die
Anzahl der Parameter ist für das Lund-String-Modell deutlich höher. Das Cluster-Modell wird
zum Beispiel in den aktuellen Implementierungen von HERWIG [58], bzw. in verbesserter Form
bei HERWIG++ [59] verwendet.
3.7 Jets
Ein Großteil der Hadronen, die in dem in Abschnitt 3.6 beschriebenen Hadronisierungsprozess
entstehen, ist sehr kurzlebig und zerfällt in Hadronen mit einer längeren Lebensdauer. An
diesem Punkt ergibt sich nun die Möglichkeit, diese Teilchen direkt zu messen. Aufgrund
der beschriebenen Prozesse wird man es mit einer Vielzahl an Teilchen zu tun haben. Zur
Klassifizierung des Ereignisses, vor allem aber, um die Messdaten mit der Theorie zu vergleichen,
werden die Viererimpulse p der gemessenen Objekte zu Jets zusammengefasst. Im Allgemeinen
sollen Teilchen zusammengefasst werden, die sich in dieselbe Richtung bewegen. Die wichtigste
Anforderung an einen Jet ist jedoch, dass er die Kinematik auf Parton-Level widerspiegeln
22
3.7 Jets
(a)
(b)
Abbildung 3.7: Das Lund-String-Modell (a) und das Cluster-Modell (b) am Beispiel der
Elektron-Positron-Vernichtung [52].
soll. Der Jet-Algorithmus sollte also ein zugrundeliegendes Ereignis auf Parton-, Teilchenund Detektor-Level gleich rekonstruieren. In der Praxis lässt sich dieser Punkt nur annähernd
erreichen. Zwei wichtige theoretische Anforderungen an einen Jet-Algorithmus sind :
• Infrarot-Sicherheit: Weiche Strahlung, die nicht aus dem Fragmentierungsprozess der hart
gestreuten Partonen stammt, darf keine Auswirkung auf die Anzahl der rekonstruierten
Jets haben (Abbildung 3.8(a)).
• Kollineare Sicherheit: Die Rekonstruktion eines Jets muss sowohl unabhängig davon sein,
dass ein bestimmter Teil der Transversalenergie ET eines Teilchens von einem anderen
Teilchen getragen wird (Abbildung 3.8(b)), als auch von dem Fall, dass sich ein Teilchen
in zwei kollineare Teilchen teilt (Abbildung 3.8(c)).
Neben weiteren theoretischen Aspekten [60] muss der Algorithmus auch im Experiment
anwendbar bleiben, was unter anderem bedeutet, dass er eine möglichst geringe Komplexität aufweisen muss. Die zurzeit wichtigsten Algorithmen sind Kegel- und Rekombinationsalgorithmen.
Während Kegel-Algorithmen Jets anhand von Regionen mit großem Energiefluss identifizieren,
suchen Rekombinationsalgorithmen nach nahe beieinanderliegenden Objekten. Die Nachteile
der Kegel-Algorithmen sind, dass eine vollständige Implementierung aus Komplexitätsgründen
nicht praktikabel ist, und – nicht zuletzt infolge dessen – ein Vergleich mit der Theorie häufig
nicht eindeutig ist.
In den Experimenten vor dem LHC wurden zum größten Teil Kegel-Algorithmen verwendet,
die jedoch nicht alle theoretischen Anforderungen erfüllen. Auch gibt es keinen Jet-Algorithmus,
der die übrigen komplett ersetzen könnte. Verschiedene Algorithmen haben unterschiedliche
Stärken. Zum Beispiel bietet der verbreitete Anti-kT -Algorithmus aufgrund seiner Vielzahl an
niederenergetischen Jets nur wenig Erkenntnis, wenn das Underlying Event untersucht wird.
23
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
Dagegen ist er optimal geeignet, harte Prozesse wie Top-Paar-Zerfälle zu untersuchen. Dies
gilt ebenso für das im Folgenden eingeführte Auflösungskriterium, das letztendlich die Größe
eines Jets und damit die Anzahl der zu einem Objekt zusammengefassten Teilchen bestimmt.
Aufgrund des hohen Boosts des Top-Quarks bietet sich für Top-Zerfälle eine Auflösung an, die
schmalere Jets liefert [61].
Implementierungen der hier besprochenen Algorithmen findet man im Paket FastJet ( [62]),
welches auch für die Analyse in Kapitel 5 benutzt wurde. Die verwendeten Algorithmen sollen
im Folgenden kurz skizziert werden.
(a)
(b)
(c)
Abbildung 3.8: (a) Ein Jet-Algorithmus, der nicht infrarot-sicher ist, wird durch eine zusätzliche
weiche Abstrahlung beeinflusst. Die weiche Strahlung stammt nicht von der harten Streuung;
trotzdem wird statt zwei Jets nur einer rekonstruiert. (b) Da ein zweites Teilchen einen Teil von
ET trägt, wird der Jet anders rekonstruiert als wenn es sich nur um ein Teichen handeln würde.
(c) Ein ähnlicher Fall ist die Teilung in zwei kollineare Teilchen. In dem abgebildeten Beispiel
wird der Jet überhaupt nicht identifiziert. Ein typisches Problem von Algorithmen mit Seed. [60].
3.7.1 Kegel-Algorithmen
Ausgehend von der ursprünglichen Definition von Jets [63], können alle Teilchen aus der
harten Streuung im Endzustand in einem Kegel um die Richtung des Teilchens aus dem
harten Subprozess gruppiert werden. Kegel-Algorithmen versuchen, einen Großteil der Teilchen
des harten Streuprozesses in Kegelformen zusammenzufassen, und den Einfluss anderer,
niederenergetischer Steuobjekte auf den Jet gering zu halten. Die Größe dieser Kegelform
wird durch ein Auflösungskriterium, den Radius R in der φ × η-, bzw. φ × y-Ebene, bestimmt.
Im Allgemeinen bestehen Kegel-Algorithmen aus einem Clustering- und einem Split-andMerge-Schritt. Das Clustering liefert eine Menge von stabilen Kegeln, sogenannten Protojets.
24
3.7 Jets
Nach diesem Schritt kann ein Teilchen auch verschiedenen Protojets zugeordnet sein. Das
Split-and-Merge-Verfahren entscheidet dann, ob überlappende Protojets zusammengefasst oder
getrennt werden. Danach befindet sich jedes Teilchen nur noch in genau einem Jet.
CDF JetClu
Ein bei CDF am Tevatron häufig verwendeter Jet-Algorithmus ist CDF JetClu [64]. Hier wird
vor dem Clustering noch ein Preclustering durchgeführt, in dem die Objekte für den Algorithmus
aufbereitet werden. Danach wird wie folgt vorgegangen:
1. Erstelle eine Liste der Objekte, deren Transversalenergie ET über einem bestimmten
Schwellwert liegt. Diese Objekte nennt man die Seed.
2. Die Seed wird absteigend in ET sortiert.
3. Rekombiniere alle Objekte innerhalb eines Kegels ∆R < R um die Seeds. Hierbei verwendet
man das E-Schema, was bedeutet, dass die Viererimpulse addiert werden.
4. Wiederhole Schritt drei, bis sich die Kegel nicht mehr ändern.
Diese stabilen Kegel sind die Protojets. Auf sie wird das Split and Merge angewandt: Protojets,
die mehr als einen vorgegebenen Anteil ihrer Transversalenergie teilen, werden zu einem Jet
zusammengefasst (Merge). Teilen sie einen geringeren Anteil, werden die einzelnen Objekte
jeweils dem nächsten Jet zugeordnet (Split). CDF JetClu ist ein sehr einfacher Jet-Algorithmus,
der nicht infrarot-sicher ist.
Als Parameter wurden in dieser Arbeit ein Schwellwert von ET > 1 GeV und ein Radius
R = 0.4 verwendet. Der Schwellwert der Überlappung beim Merging beträgt 0.5.
SISCone
Der Seedless Infrared Safe Cone Jet Algorithm (SISCone) [65] ist die erste Implementierung
eines infrarot-sicheren Kegel-Algorithmus. Die Infrarot-Sicherheit resultiert daraus, dass
SISCone, im Gegensatz zu CDF JetClu, keine Seeds benötigt. Der Basis-Algorithmus enthält
anfangs alle Objekte in der Liste und besteht im Wesentlichen aus den folgenden Schritten:
1. Finde in der Liste aller Objekte alle stabilen Kegel.
2. Entferne alle Objekte, die schon einem Protojet zugeordnet sind.
3. Wiederhole Schritte eins und zwei, bis keine stabilen Kegel mehr gefunden werden, bzw.
eine maximale Anzahl an Iterationen durchlaufen wurde.
Anschließend wird der Split-and-Merge-Algorithmus, der bei Run II am Tevatron benutzt
wurde auf die Protojets angewandt. Dieser unterscheidet sich vor allem darin, dass statt ET die
Überlappung an Transversalimpuls überprüft wird. Der grundlegende Unterschied zu anderen
Kegel-Algorithmen liegt in der Art, wie die stabilen Jets gefunden werden. Die Methode von
SISCone ist sehr viel gründlicher als zum Beispiel CDF JetClu, aber auch komplexer (für N
Objekte O(N 2 ln N)). Die Werte für R und die Überlappung sind in der Analyse identisch mit
den CDF JetClu-Parametern.
25
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
3.7.2 Sequentielle Rekombinationsalgorithmen
Eine ganz andere Klasse von Jet-Algorithmen stellen die sequentiellen Rekombinationsalgorithmen dar. Sie basieren auf Event-Shape-Observablen (Ereignisform-Observablen). Das
sind Observablen, die es ermöglichen, Ereignisse aufgrund ihrer Jet-Struktur zu klassifizieren
(zum Beispiel als Maß für die Symmetrie eines Ereignisses). Der Vorteil dieser Event
Shapes ist, dass sie theoretisch sehr gut behandelt werden können. Insbesondere sind sie
infrarot- und kollinear-sicher, wodurch die hier aufgezeigten Algorithmen diese theoretischen
Anforderungen ebenfalls erfüllen. Waren die ursprünglichen Jet-Algorithmen dieser Art
aufgrund Komplexität O(N 3 ) nur bedingt anwendbar, gibt es inzwischen deutlich schnellere
Implementierungen, die in der Größenordnung O(N ln N) liegen [66]. Neben den beiden hier
vorgestellten, ist Cambridge/Aachen [67] ein weiterer, verbreiteter Jet-Algorithmus. Alle Jets von
Rekombinationsalgorithmen enthalten am Ende nur Objekte, die keinem anderen Jet zugeordnet
sind.
Der kT -Algorithmus
Der kT -Algortihmus geht in seiner inklusiven Form zurück auf [68]. Die Distanz zwischen zwei
Objekten i und j hängt von den Transversalimpulsen kTi , Rapiditäten y und Azimutwinkeln φ
der Objekte ab:
2
2
2 ∆ Ri j
di j = min(kTi , kT j ) 2 ,
R
mit ∆2 Ri j = (yi − y j )2 + (φi − φ j )2 .
(3.25)
Nachdem die Liste anfangs alle Objekte enthält, besteht der Algorithmus aus den Schritten:
1. Bestimme für alle Paare i, j die Distanz di j sowie für i die Distanz zur Strahlachse,
2 .
diB = kTi
2. Finde das Minimum aller bestimmten Distanzen. Handelt es sich bei dem Minimum um
ein di j , werden i und j zu einem Objekt zusammengefügt, indem man ihre Viererimpulse
addiert, und i und j aus der Liste entfernt. Falls das Minimum ein diB ist, wird das Objekt
als Jet deklariert und aus der Liste entfernt.
3. Starte bei Punkt eins, bis sich kein Teilchen mehr in der Liste befindet.
Somit werden zuerst weiche Objekte, die dicht beieinander liegen, zu Protojets zusammgeführt, bevor harte Objekte berücksichtigt werden. Der exklusive longitudinal invariante
Jet-Algorithmus [69] unterscheidet sich in zwei Punkten: Handelt es sich bei dem Minimum
in Punkt zwei um ein diB , wird das Objekt i verworfen. In Punkt drei wird ein zusätzlicher
Abbruchparameter eingesetzt, sodass die Iteration abgebrochen wird, sobald alle di j > dcut und
diB > dcut .
Der Anti-kT -Algorithmus
Der Anti-kT -Algortihmus [70] unterscheidet sich von kT nur in einem Punkt: Die Distanzen
werden durch
!
∆2 Ri j
1 1
di j = min 2 , 2
,
(3.26)
R2
kTi kT j
26
3.7 Jets
und konsequenterweise
diB =
1
2
kTi
(3.27)
definiert. Dieser Unterschied hat jedoch weitreichende Folgen. Weiche Objekte werden, bevor
sie selbst zu Protojets zusammengefasst werden, mit harten Objekten rekombiniert. Dadurch
haben sie deutlich weniger Einfluss auf die Form des harten Jets. Im Endeffekt führt das zu
Formen, die der Geometrie der Kegel-Jets sehr ähneln, was bei der kT -Rekombination nicht der
Fall ist. Abbildung 3.9 veranschaulicht dies an einem Beispiel.
Rekombinationsalgorithmen erfordern weniger Parameter als Kegel-Algorithmen. Bei den
hier vorgestellten Rekombinationsalgorithmen reduziert sich die Wahl auf das Rekombinationsverfahren (hier E-Schema) und die Distanz, die hier ebenfalls auf R = 0.4 gesetzt wird.
Dieser Algorithmus wird derzeit standardmäßig in ATLAS verwendet, um harte Streuprozesse
zu untersuchen.
(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 3.9: Vergleich unterschiedlicher Jet-Algorithmen: (a) kT , (b) Anti-kT , (c)
Cambridge/Aachen und (d) SISCone anhand eines Ereignisses, das mit dem Monte-CarloGenerator Herwig erzeugt wurde. Die farbigen Flächen entsprechen den rekonstruierten Jets in
der φ × y-Ebene [70].
27
3 Quantenchromodynamik an Hadron-Collidern
28
4 Monte-Carlo-Generatoren
Monte-Carlo-Simulationen sind Techniken, die vorgegebene Probleme mithilfe von Zufallszahlen
lösen. Sie sind ein essenzieller Bestandteil der Teilchenphysik, was im Wesentlichen zwei
Gründe hat: Kommt es bei der Kollision von zwei Hadronen zu einer Aufspaltung eines
Hadrons, entstehen eine Vielzahl an unterschiedlichen Teilchen. Um die Messdaten dieser
Ereignisse sinnvoll zu interpretieren, benötigt man ein gutes Verständnis der Theorie. Wie in
Kapitel 3 skizziert wurde, enthält die Quantenchromodynamik nicht-perturbative Bereiche, die
eine analytische Berechnung unmöglich machen. Doch auch die perturbativen Bereiche der
QCD sind in der Praxis nur näherungsweise bekannt, wodurch man auf gute Simulationen
angewiesen ist. Zweitens hat die Quantenmechanik hat die intrinsische Eigenschaft, dass sie
nur Wahrscheinlichkeiten für den Ausgang eines Experiments vorhersagen kann. Dadurch wird
es unmöglich, die Struktur eines einzelnen Ereignisses ab initio abzuleiten. Nur durch die
Bestimmung von Erwartungswerten kann die Verteilung einer physikalischen Observablen für
eine große Anzahl an Messungen prognostiziert werden. Umgekehrt ist es unmöglich, aus einer
einzelnen Messung den zugrundeliegenden physikalischen Prozess zu rekonstruieren.
Sogenannte Monte-Carlo-Generatoren vereinen die zur Simulation des Prozesses nötigen
theoretischen Modelle. Die Generatoren, die in dieser Arbeit verwendet werden, erzeugen
zufällige, auf diesen Modellen beruhende Ereignisse, welche Monte-Carlo-Wahrheit genannt
werden. Für den Vergleich mit den gemessenen Daten müssen im Anschluss weitere Simulationen
wie die Detektorsimulation durchgeführt werden, die hier nicht näher beschrieben werden sollen.
Die Ausgabe in Form von physikalisch möglichen Ereignissen ist jedoch gerade im Hinblick
auf diese Schritte wünschenswert. Dank des Faktorisierungs-Theorems kann die Struktur einer
Kollision zweier Hadronen von Monte-Carlo-Generatoren in einzelne Schritte zerlegt werden,
die dann sequentiell wie folgt abgearbeitet werden:
1. Jedes Hadron besteht aus einer Ansammlung von Quarks und Gluonen, die durch die
experimentell bestimmten Partonverteilungsfunktionen beschrieben werden.
2. Bei einer Kollision kommt es zu einem Streuprozess, der entweder elastisch (beide
Hadronen bleiben intakt) oder diffraktiv (mindestens ein Hadron bricht auf) ist, oder
einen harten Subprozess enthält:
a) Bei den im Folgenden behandelten harten Prozessen kommt es zu einem Austausch
von farbgeladenen Teilchen. Enthält eine harte Streuung kurzlebige Teilchen (z.B
Top-Quarks), werden diese ebenfalls als Teil des harten Subprozesses betrachtet.
b) Da Hadronen aus mehreren Partonen bestehen, kommt es häufig zu weiteren Kollisionen der anderen Partonen, sogenannten Mehrfach-Wechselwirkungen (Multiple
Interactions).
29
4 Monte-Carlo-Generatoren
c) Der harte Subprozess hinterlässt einen ebenfalls farbgeladenen Rest des Hadrons, der
weiterhin den Großteil der Energie trägt. Die Bezeichnung für diesen verbliebenen
Teil ist Strahl-Rückstand (Beam-Remnant).
3. Die Beschleunigung farbgeladener Teilchen lässt Bremsstrahlung zu. Die strikte Trennung
des resultierenden Partonschauer von dem harten Subprozess ist nicht eindeutig. Der
Partonschauer wird für Initial-State-Radiation (Abschnitt 4.2.2) anders beschrieben als für
Final-State-Radiation (Abschnitt 4.2.1).
4. Auf Distanzen größer als Λ1 bilden die Partonen farbneutrale Hadronen. Erst hier handelt
es sich um physikalische Ereignisse. Kurzlebige Hadronen zerfallen weiter in Hadronen
mit einer längeren Lebensdauer.
Eine schematische Darstellung der einzelnen Schritte findet man in Abbildung 4.1.
Den Kern eines Monte-Carlo-Generators bildet das Matrixelement, das die Dynamik des
harten Prozesses berechnet (siehe auch Abschnitt 1.2.1). Bis vor wenigen Jahren beinhaltete
dieser Teil in der Regel Berechnungen in LO. Der anschließende Partonschauer resummiert
standardmäßig Beiträge in LL. Eine gängige Methode, ein quantitativ präziseres Ergebnis zu
erhalten, besteht in der Gewichtung des LO-Wirkungsquerschnitts mit K-Faktoren. Diese geben
das Verhältnis zwischen dem Wirkungsquerschnitt in höherer Ordnung – in diesem Fall NLO –
zu dem in niedrigster Ordnung an. Im Allgemeinen erhält man mit dieser einfachen Methode
eine grobe Näherung, die jedoch nicht die Partonschauer umfasst. In den letzten Jahren wurden
für eine Reihe von Prozessen Matrixelemente in NLO berechnet, die ein deutlich verbessertes
Verständnis ermöglichen. Eine Kombination dieser Matrixelemente mit Partonschauern ist also
erstrebenswert. Neben der Berechnung muss der Generator auch dafür sorgen, dass nach jedem
Schritt die Ergebnisse korrekt weitergegeben werden. Dieses sogenannte Matching ist aufgrund
der unterschiedlichen Modelle, die ein Monte-Carlo-Generator vereint, nicht immer trivial. Nach
einer Beschreibung der wichtigsten Konzepte von Monte-Carlo-Generatoren soll in diesem
Kapitel das Matching von NLO-Matrixelementen mit Partonschauern näher untersucht werden.
4.1 Monte-Carlo-Integration
Zur Berechnung des Erwartungswertes einer Observablen O muss in einer Hadron-Kollision ein
Integral der Form
Z
O = ∑∑
d4n p|Mn (Q, p)|2 |Φn (p)
(4.1)
n Q
ausgewertet werden. Hier bezeichnet p die Viererimpulse, Q die Quantenzahlen, M das
Matrixelement und Φ die Phasenraumdichte der n Teilchen im Endzustand. Der anschließende
Partonschauer und die Hadronisierung erfordern die Berechnung ähnlicher Integrale. Für jedes
zusätzliche Teilchen im Endzustand erhöht sich die Dimension des Integrals um vier. Es müssen
also Integrale mit vielen Dimensionen berechnet werden, und eine analytische Berechnung
ist in vielen Fällen nicht möglich. Der Vorteil der Monte-Carlo-Methode zur numerischen
Bestimmung gegenüber anderen gängigen numerischen Integrationsmethoden liegt gerade in
ihrem Approximationsverhalten in vielen Dimensionen. Die numerische Monte-Carlo-Integration
soll hier kurz skizziert werden.
30
4.1 Monte-Carlo-Integration
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung einer Hadron-Hadron-Kollision: Einlaufende
Partonen und ISR sind blau gekennzeichnet. Der harte Prozess und Mehrfach-Wechselwirkungen
werden durch den roten Punkt und die violette Ellipse repräsentiert. Daraus resultierende Teilchen
können sich weiter verzweigen (rote Linien) und bilden Hadronen, welche wiederum zerfallen
können (große und kleine grüne Kreise) [71].
Ein beliebiges Integral über eine eindimensionale Funktion f (x) kann über die Berechnung
des Mittelwerts
Z b
1
1 N
dx f (x) ≈ ∑ f (Xi )
(4.2)
b−a a
N i=1
geschätzt werden. Das Prinzip ist ähnlich wie die Interpolationsmethode in niedrigster
Ordnung. Die Interpolationsmethode teilt den Integrationsbereich in äquidistante Intervalle
und approximiert f (x) in jedem Intervall mit einem Polynom. Die Intervalle können integriert
und dann summiert werden. Der Unterschied der Methoden besteht in den gewählten Stützstellen
Xi , an denen die Funktion ausgewertet wird (Sampling). Die Monte-Carlo-Methode wählt dazu
Zufallszahlen im Intervall [a, b]. Werden die Zufallszahlen gleichverteilt erzeugt, garantiert das
Gesetz der Großen Zahlen, dass die Näherung für eine genügend große Zahl N von Samples
gegen den wahren Wert des Integrals konvergiert.
Für komplizierte Funktionen f (x), die zum Beispiel starke Peaks haben, muss eine sehr
31
4 Monte-Carlo-Generatoren
große Anzahl an Samples ausgewertet werden. Das Verfahren mit gleichverteilten Punkten
wird dann ineffizient und kann durch sogenanntes Importance Sampling verbessert werden: In
verallgemeinerter Form kann ein Integral über den n-dimensionalen Raum Ω in folgender Form
geschrieben werden:
Z
Z
f (x)
n
n f (x)
I = d x f (x) = d x
p(x) =
.
(4.3)
p(x)
p(x)
Ω
Ω
Dabei wird ein Erwartungswert, bezogen auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x), eingeführt.
Gleichung 4.2 ist der Spezialfall für eine Dimension und gleichverteiltes p(x). Im allgemeinen
Fall werden die Zufallspunkte Xi ∈ Ω nach der Verteilung p(x) erzeugt und der Mittelwert der
f (X)/p(X) gebildet. Das garantiert, dass häufiger Samples in Bereichen genommen werden, die
einen starken Einfluss auf das Integral haben. Das Importance Sampling ist effizienter, solange
die Verteilung p(x) geschickt gewählt wird. Dies erkennt man, wenn man den Fehler abschätzt.
Der Zentrale Grenzwertsatz sagt, dass die Summe unabhängiger Zufallsgrößen, und damit auch
unsere Monte-Carlo-Schätzung, für große N immer normalverteilt ist. Der Fehler wird mit
δ≈
f (x)/p(x)
√
N
(4.4)
geschätzt und nimmt unabhängig von der Anzahl der Dimensionen ∝ n−1/2 ab.
Diese Erkenntnis zeigt einen entscheidenden Vorteil der Monte-Carlo-Methode auf. Während
MC im eindimensionalen Fall deutlich schlechtere Ergebnisse liefert als andere numerische
Integrationsmethoden, wird sie meist bei drei oder mehr Variablen konkurrenzfähig [72].
Der Fehler der Interpolationsverfahren nimmt ∝ n−c/d (c = const) und somit für mehrere
Dimensionen d deutlich langsamer ab [73].
Um den Fehler zu minimieren, ist es wichtig, eine geeignete Verteilung zu finden. An
Gleichung 4.4 erkennt man, dass die optimale Wahl p(x) = C| f (x)| ist, mit C = const. Das
Erzeugen von Zufallszahlen nach f (x) erfordert jedoch im Allgemeinen das Lösen des Integrals I.
Mithilfe der Wegwerf“-Methode kann dies umgangen werden. Möchte man Zufallszahlen
”
X nach einer komplizierten Funktion p(x) generieren und weiß, wie Zufallszahlen gemäß
einer Funktion p0 (x) erzeugt werden können, für die überall Cp0 (x) ≥ p(x) gilt, geht man
folgendermaßen vor:
1. Erzeuge X nach p0 .
2. Erzeuge ein gleichverteiltes R.
3. Falls
p(X)
Cp0 (X)
> R: Akzeptiere X, sonst gehe zu Punkt eins.
Eine Verteilung p0 kann mithilfe einer Transformation über die kumulative Verteilungsfunktion
P0 (x) aus der Gleichverteilung
1 0≤x≤1
g(r) =
(4.5)
0 sonst
bestimmt werden, falls sie analytisch bestimmt werden kann:
P0 (x) =
Z x
−∞
32
dt p0 (t) =
Z r
dtg(t) = G(r).
−∞
(4.6)
4.2 Partonschauer in Monte-Carlo-Simulationen
4.2 Partonschauer in Monte-Carlo-Simulationen
Je mehr Teilchen man im Endzustand erhalten möchte, desto höhere Ordnungen von FeynmanDiagrammen müssen berechnet werden. Schon bald stößt man dabei an die Grenze des
Möglichen, auch wenn nur Feynman-Diagramme auf Born-Level, also ausschließlich Diagramme
mit reellen Korrekturen (derzeit bis zu acht Teilchen im Endzustand), berücksichtigt werden.
Eine bessere Beschreibung der weichen und kollinearen Strahlung bietet der PartonschauerFormalismus (eine umfassende Darstellung bietet [33]). Er ermöglicht es, einen Endzustand
mit n Teilchen zu generieren, indem die Partonen aus dem harten Prozess eine Folge von
Verzweigungen der Form a → bc durchlaufen. Da die Reihenfolge dieser Verzweigungen nicht
eindeutig ist, muss für die Monte-Carlo-Simulation eine Evolutionsskala t eingeführt werden.
Diese erfüllt die Funktion einer abstrakten Zeitskala, und legt somit die zeitliche Reihenfolge
fest. Die bekannten MC-Generatoren benutzen die invariante Masse bzw. Virtualität Q2 , den
Transversalimpuls pT oder einen Winkel (angular ordering, AO) zwischen den auslaufenden
Partonen als Evolutionsskala (Abbildung 4.2).
Abbildung 4.2: Vereinfachte Darstellung in welcher Reihenfolge der Phasenraum gefüllt wird:
Partonschauer geordnet in Q2 (links), AO (mitte) und pT (rechts) [74].
Der differenzielle Wirkungsquerschnitt mit n + 1 Partonen im Endzustand lässt sich durch
den für n Partonen ausdrücken:
dσn+1 = σn
dt αs
dz Pa→bc .
t 2π
(4.7)
Hier bezeichnet z den Energieanteil, den das Parton b nach der Verzweigung trägt,
z=
Eb
Ec
= 1− ,
Ea
Ea
(4.8)
und Pa→bc , die in Abschnitt 3.4 eingeführten Splitting-Funktionen. Dies wirft zwei Probleme
auf: Die Integration über den differenziellen Wirkungsquerschnitt
σn ∝ αsn ln
2 n
t
t02
(4.9)
divergiert für zu kleine Werte t0 . Zudem treten Singularitäten auf, wenn die Splitting-Funktionen
integriert werden, da sie ebenfalls Terme ∝ 1z enthalten. Dies sind die in Abschnitt 3.2
besprochenen kollinearen und weichen Singularitäten. Sie werden behoben, wenn man zwei
33
4 Monte-Carlo-Generatoren
unabhängige untere Skalen t0 und ε(t) vorgibt, unterhalb derer Emissionen nicht aufgelöst
werden können.
Häufig wird die erste Emission des Schauers mithilfe des harten Matrixelements korrigiert,
wodurch eine deutlich bessere Beschreibung harter Emissionen erlangt wird.
4.2.1 Final-State-Radiation
Für zeitartige Schauer ist die Wahrscheinlichkeit dPa , dass ein Parton a sich in dem
infinitesimalen Intervall dt auflösbar verzweigt
dPa = ∑ Ia→bc (t)
b,c
mit
Z 1−ε(t)
Ia→bc (t) =
dz
ε(t)
dt
,
t
αs
Pa→bc (z).
2π
(4.10)
(4.11)
Ausgehend von t0 berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Parton bei t nicht verzweigt
hat, als Produkt aller Wahrscheinlichkeiten, dass es sich noch nicht zuvor verzweigt hat, also
!
Z t 0
dt
I
(t 0 ) .
(4.12)
∆a (t0 ,t) = exp −
0 ∑ a→bc
t0 t b,c
Die Größe ∆(t0 ,t) heißt Sudakov-Formfaktor. Die beschriebene Prozedur der Generierung eines
Teilchenschauers ist ein Verfahren zur Bestimmung der Werte für t. Es wird angenommen,
dass ein Parton verschiedene Werte für t durchläuft. Schließlich wird jeder Verzweigung ein t
zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeit für eine Verzweigung von a bei einem Wert t ist schließlich
durch
dPa
1
= ∆a (t0 ,t) ∑ Ia→bc (t)
(4.13)
dt
t
b,c
gegeben. Werte für t werden in zeitartigen Schauern von einem Wert tmax , der durch den harten
Prozess vorgegeben wird, monoton fallend evolviert. Kommt es zu einer Verzweigung bei einem
Wert ti , wird von diesem Wert ausgehend zu einem Wert ti+1 evolviert. Ab dem kleinstmöglichen
Wert t0 treten die Partonen in den nicht-perturbativen Bereich ein. An diesem Punkt bricht der
Schauer ab und ist dann absteigend in t geordnet. In der Praxis können die ti+1 bei gegebenem ti
durch Lösen der Gleichung
∆(ti )
=r
(4.14)
∆(ti+1 )
berechnet werden, wenn r eine gleichverteilte Zufallsvariable ist.
4.2.2 Initial-State-Radiation
Monte-Carlo-Generatoren gehen vom Matrixelement des harten Prozesses aus. Wenn die
Evolution analog zu zeitartigen Schauern durchgeführt würde, könnte nicht gesteuert werden,
dass der Impulsanteil des im Schauer generierten Partons mit dem des Partons im harten
Prozess übereinstimmt. Deswegen ist eine Rückwärtsevolution effizienter. Von der Skala
34
4.2 Partonschauer in Monte-Carlo-Simulationen
Abbildung 4.3: Schematische Darstellung eines Ausschnitts aus einer Teilchenkollision mit
einem harten Subprozess (Kreis): Auf der linken Seite des Kreises wird ein einlaufendes Parton
mit drei Gluon-Emissionen gezeigt (ISR). Die rechte Seite zeigt ein auslaufendes Parton ebenfalls
mit drei Gluon-Emissionen (FSR). Während FSR in der Reihenfolge t4 , t5 , t6 erzeugt wird, ist die
Reihenfolge bei ISR aufgrund der Rückwärtsevolution t3 , t2 , t1 . Die Projektion der Gluon-Linie
auf die y-Achse soll den Transversalimpuls der Emission repräsentieren, der Winkel zwischen
den Linien der Verzweigung den Winkel der Emission. Die Referenz ist das Parton, das letztlich
zum harten Subprozess führt.
tmax des harten Subprozesses ausgehend, wird über ti+1 > ti bis zu einem Wert t evolviert
und jeweils ein Anfangszustand und eine Emission generiert, da ein Parton im Endzustand
vorgegeben ist. Raumartige Schauer haben ihren Ursprung im Hadron. Deshalb müssen zudem
die Partonverteilungsfunktionen berücksichtigt werden. Durch Ableiten eines modifizierten
Sudakov-Formfaktors mithilfe der Gleichungen 3.20 und 3.21 erhält man eine ähnliche Vorschrift
wie bei zeitartigen Schauern [33]
f (x,ti )∆(ti+1 )
= r,
f (x,ti+1 )∆(ti )
(4.15)
wobei f (x,t) die Partonverteilungsfunktionen sind (Kapitel 3.5).
4.2.3 Farbkohärenz
Eine Verzweigung der Form qi → q j gk j¯qik̄ (mit Farbindizes i, j, k) kann durch unterschiedliche,
sich überlagernde Feynman-Diagramme beschrieben werden (siehe Abbildung 4.4). Deswegen
betrachtet man die ausgehenden Teilchen als Farb-Dipole, die ihrerseits unabhängig weiche
Strahlung abgeben können. Die Strahlung eines iī-Dipols nimmt aufgrund destruktiver Interferenz
für Winkel außerhalb des Bereichs θiī stark ab [75]. Der Winkel θbc einer Verzweigung a → bc
eines massiven Teilchens schränkt spätere Strahlung b → de außerhalb des Bereichs
mb
< θde < θbc
Eb
(4.16)
ein. Um schwere Quarks entsteht somit ein Kegel, in dem fast keine Strahlung stattfindet. Diese
Farbkohärenzeffekte konnten in verschiedenen Experimenten beobachtet werden (unter anderem
in [76]) und sind die Motivation für winkelgeordnete Partonschauer.
Die Region des Phasenraums, in die aufgrund der Ordnung nach Winkeln nicht emittiert wird,
entspricht dem Bereich außerhalb des weichen oder kollinearen Limits, die der Partonschauer in
MC-Generatoren abdeckt (Dead Zone). Für Emissionen in dieser Region ist das Matrixelement
des harten Subprozesses verantwortlich.
35
4 Monte-Carlo-Generatoren
(a)
(b)
Abbildung 4.4: Farbfluss zweier interferierender Feynman-Diagramme mit Farben Rot, Grün,
Blau und Antifarben Antigrün (Magenta) und Antirot (Cyan).
4.3 Herwig
Der in FORTRAN implementierte Generator Herwig [58] kann eine Vielzahl physikalischer Prozesse simulieren. Die Liste umfasst elektroschwache, supersymmetrische und
QCD-Subprozesse. Herwig kann Ereignisse mithilfe implementierter LO-Matrixelemente,
Partonschauer, Teilchenzerfälle und Mehrfach-Wechselwirkungen vollständig generieren. Der
Partonschauer ist annähernd winkelgeordnet und erreicht mindestens eine LL-Genauigkeit. Als
Evolutionsvariable wird für Verzweigungen a → bc
ξbc =
pb pc 1 2
≈ θ
Eb Ec 2 bc
(4.17)
verwendet, wobei die Näherung für masselose weiche Strahlung gilt. Der Phasenraum für den
Schauer ist beschränkt durch ξ < z2 für ISR (mit Energieanteil z des Partons), bzw. ξ < 1
für FSR (Abbildung 4.5). Harte Emissionen und solche mit großem Abstrahlwinkel werden
im Standard-Schauer komplett ausgeschlossen. Bei Benutzung von Matrixelement-Matching
(existiert z.B. für Top-Zerfälle) können sie stark unterdrückt vorkommen. Weiterhin gibt es ein
pT -Veto, das Emissionen oberhalb des Transversalimpulses des harten Subprozesses ausschließt.
Dadurch wird verhindert, dass eine Emission aus dem Matrixelement zudem vom Schauer
erzeugt wird (Doppelzählung). Dies spielt für die Verwendung von Herwig mit externen NLOMatrixelementen eine wichtige Rolle (Abschnitt 4.5). Die farbverbundenen Partonen werden
schließlich mit der Cluster-Methode (siehe Abschnitt 3.6.3) hadronisiert.
In der Analyse wird die neueste Version, Herwig 6.510, verwendet. In Zukunft wird Herwig
komplett durch den in C++ implementierten, überarbeiteten Generator HERWIG++ [59]
ersetzt.
Jimmy
Herwig bietet ein Modell für Mehrfach-Wechselwirkungen an, das auf einer Parametrisierung
von experimentellen Messdaten beruht. Einen theoretisch motivierteren Ansatz bietet Jimmy [78],
das als Erweiterung zu Herwig existiert, und in dieser Arbeit verwendet wird. Jimmy berechnet
die Stärke der zusätzlichen Streuung anhand des Überlapps der kollidierenden Hadronen. Dabei
werden die einzelnen Partonstreuungen unabhängig voneinander mit Matrixelementen berechnet
und anschließend an Partonschauer und Hadronisierung übergeben.
36
4.4 Pythia
Abbildung 4.5: Phasenraum für Partonemissionen in HERWIG. Dieses Beispiel für das HiggsBoson kann ohne signifikante Änderungen auf die Top-Paar-Produktion übertragen werden.
Die mit shower” gekennzeichneten Bereiche entsprechen den erlaubten Emissionen des
”
Partonschauers. Der Energieanteil des emittierten Partons ist x. Die Variable y = cos θg∗ ist
ein Maß für den Abstrahlwinkel des Gluons im Schwerpunktsystem: y = 0 entspricht einer
Emission im rechten Winkel. Um Doppelzählungseffekte in dem mit overlap” beschrifteten
”
Bereich zu vermeiden, gibt es in Herwig eine Veto-Prozedur [77].
4.4 Pythia
Pythia [55] ist wie Herwig ein Mehrzweck-Generator, deckt aber einen noch größeren Bereich
simulierbarer Prozesse ab. Auch Pythia ermöglicht es, alle eingangs dieses Kapitels genannten
Schritte durchgängig zu erzeugen. Die Matrixelemente sind in LO. Ursprünglich wurde
der Partonschauer nach der invarianten Masse m (FSR), bzw. der Virtualität Q (ISR) der
geschauerten Partonen geordnet. In dieser Arbeit wird ausschließlich das neuere Modell [79]
mit pT als Evolutionsvariable, nach oben beschränkt durch den Transversalimpuls des harten
Prozesses, verwendet. Mit diesem Ansatz wird versucht, verschiedene Eigenschaften des
alten Pythia-Schauers und des Dipol-Modells aus Abschnitt 4.2.3 zu vereinen. Der zeitartige
Transversalimpuls in Bezug auf die Richtung des einlaufenden Partons ist für masselose Teilchen
durch
p2T,evol = z(1 − z)m2 ,
(4.18)
und für raumartige Emissionen durch
p2T,evol ≈ z(1 − z)Q2
(4.19)
gegeben. Durch Auflösen nach m bzw. Q kann der alte Schauerformalismus wiederverwendet
werden. Motivation für die Wahl der Evolutionsskala sind unter anderem die Vorteile, die sich ergeben, wenn man externe Matrixelemente in höheren Ordnungen benutzt. Der Partonschauer hat
mindestens eine Genauigkeit in LL, Farbkohärenzeffekte werden näherungsweise berücksichtigt.
Zusätzlich zum Standardschauer gibt es die Möglichkeit eines sogenannten Power Showers.
Dabei wird in der ISR die gesamte dem Subsystem zur Verfügung stehende Energie als
obere Schranke für die Evolutionsvariable genutzt: p2T,max = s. Obwohl dies mit Problemen
in Bezug auf das Faktorisierungs-Theorem verbunden ist, können Simulationen mit Power
37
4 Monte-Carlo-Generatoren
Shower Messdaten teilweise besser beschreiben als ohne [80]. Partonen aus MehrfachWechselwirkungen können ebenfalls raum- und zeitartig emittieren. Die Evolutionsvariable
für Mehrfach-Wechselwirkungen ist mit der der ISR verzahnt. Das heißt, ISR und MehrfachWechselwirkung benutzen dieselbe obere Evolutionsskala pT,max , die nach jedem Schritt neu
berechnet wird (vergleiche Abbildung 1 in [79]). Die Energie beziehen beide aus dem StrahlRückstand, weshalb dessen Partonverteilungsfunktionen nach jedem Schritt neu normiert werden.
Die Hadronisierung erfolgt nach dem Lund-String-Modell.
Die aktuelle FORTRAN-Version ist 6.422, in dieser Arbeit wird 6.421 benutzt. Pythia 6 wird
zukünftig durch Pythia 8 (C++) ersetzt [81].
4.5 Monte-Carlo-Generatoren in NLO
Auch wenn der Teilchenschauer ein gutes Modell für weiche und kollineare Emissionen ist,
versagt es bei der Beschreibung harter Emissionen. Eine naheliegende Verbesserung besteht nun
darin, die harten Emissionen in nächstführender Ordnung zu generieren. Zu den Beiträgen in LO
∼ O(α 2 ) werden reelle Korrekturen ∼ O(α 3 ) und Ein-Schleifen-Korrekturen berücksichtigt.
Dabei muss beachtet werden, dass Schleifenkorrekturen durch Interferenz mit den Diagrammen
in LO ∼ O(α 3 ) beitragen. Der Wirkungsquerschnitt für einen NLO-Prozess ist:
σ = σLO + σNLO .
(4.20)
Den Wirkungsquerschnitt in LO erhält man für n Teilchen im Endzustand, indem das Quadrat
des Matrixelements in Born-Näherung B(Φn ) über den Phasenraum für n Teilchen integriert
wird:
Z
σLO = dΦn B.
(4.21)
Der Wirkungsquerschnitt in NLO setzt sich aus den reellen R(Φn+1 ) und den virtuellen EinSchleifen-Beiträgen V (Φn ) zusammen:
Z
σNLO =
Z
dΦn+1 R +
dΦnV.
(4.22)
Die NLO-Korrekturen sind nur in ihrer Summe endlich. Für eine numerische Auswertung dürfen
jedoch die einzelnen Beiträge nicht divergieren. Man erreicht dies, wenn R durch einen Term
C(Φn+1 ) approximiert wird, der die gleichen Singularitäten enthält. In der Subtraktionsmethode
wird dieser Term subtrahiert und addiert, was auf die Identität
Z
σNLO =
Z
=
dΦn+1 R −
Z
Z
dΦn+1C +
dΦn+1 (R −C) +
Z
Z
dΦn+1C +
Z
dΦn V + dΦ1C
dΦnV
(4.23)
(4.24)
führt. Der Term C wird so gewählt, dass die einzelnen Terme endlich sind und numerisch
integriert werden können. Details zur Subtraktionsmethode im Allgemeinen erläutert [82]. Der
Wirkungsquerschnitt nimmt damit die folgende Form an:
σ = σLO + σNLO = σB + σRsub + σVsub .
38
(4.25)
4.5 Monte-Carlo-Generatoren in NLO
Die Kombination des NLO-Matrixelements mit einem Partonschauer wirft ein Problem auf,
da die zusätzlichen Emissionen auch im Partonschauer erzeugt werden können, wenn man
von einer NLO-Konfiguration ohne weitere Emission ausgeht. Derzeit gibt es zwei Ansätze,
Matrixelemente in NLO mit Partonschauern zu vereinen, die diese Doppelzählung umgehen:
MC@NLO und Powheg. Beide Ideen werden kurz vorgestellt.
4.5.1 MC@NLO
Der Ansatz von MC@NLO [83, 84] besteht darin, einen modifizierten Subtraktionsterm
einzuführen, der die genannten infraroten Singularitäten entfernt und gleichzeitig dafür sorgt, dass
keine Doppelzählung auftritt. Zur Erläuterung werden zwei Arten von Ereignissen unterschieden.
Ereignisse, deren harte Emission durch das NLO-Matrixlelement bestimmt ist, werden mit H
bezeichnet, wogegen S Ereignisse kennzeichnet, in denen die Emission erst im Schauer erzeugt
wird. Der Partonschauer für ein Matrixelement mit n Teilchen wird durch die Erzeugende FnMC
repräsentiert. Ein Ereignis in LO würde also mit der Born-Näherung B über
dσLO+PS = BFnMC
(4.26)
MC überzugehen, also den Partonschauer
berechnet werden. In NLO wäre der naive Ansatz, zu Fn+1
auf die Konfiguration in NLO anzuwenden. Dadurch können jedoch H-Konfigurationen auch in
S-Konfigurationen mit Partonschauer erzeugt werden. Um diese Doppelzählung zu vermeiden,
muss MC@NLO die in NLO approximierten Terme identifizieren und abziehen, die im Schauer
vorkommen. Die kollineare Näherung der Emissionen im Schauer ist (siehe Abschnitt 4.2):
RMC (Φn+1 ) = B(Φn )
αs (t) 1
P(z).
2π t
(4.27)
Die zusätzlichen Dimensionen sind also durch die Parametrisierung des Phasenraums im
Partonschauer bestimmt
dφ
dΦn+1 = dΦn dΦMC
,
(4.28)
R = dΦn dzdt
2π
mit dem Azimutwinkel φ und den Phasenraumvariablen aus Abschnitt 4.2. Im modifizierten
Subtraktionsschema wird von den reellen Beiträgen der Term
MC MC
Fn+1
R
(4.29)
FnMC RMC
(4.30)
subtrahiert sowie
zu den übrigen Beiträgen hinzugefügt. Die Differenz zwischen beiden hat in NLO keinen Einfluss
auf das Ergebnis. Der Wirkungsquerschnitt kann dann mit den modifizierten Subtraktionstermen
(hier in verkürzter Form)
σHmsub =
Z
σSmsub =
Z
dΦn+1 R − RMC
Z
dΦn B +V 0 + dΦn+1 RMC −C ,
(4.31)
(4.32)
berechnet werden:
σ = σSmsub + σHmsub .
(4.33)
39
4 Monte-Carlo-Generatoren
Der Beitrag V 0 enthält hier die Subtraktionsterme C und ist endlich.
Aufgrund des Terms RMC ist die Methode vom verwendeten Partonschauer abhängig.
Implementierungen mit Herwig existieren bisher für eine Reihe von Prozessen, wie zum Beispiel
für die Top-Paar-Produktion (eine Übersicht bietet [85]). In Verbindung mit Pythia wurde bisher
nur die Produktion von W -Bosonen erfolgreich implementiert [86].
Eine besondere Eigenschaft von MC@NLO ist das Auftreten von negativ gewichteten
Ereignissen, die bei der Top-Paar-Produktion etwa 10-15% ausmachen. Sie treten auf, wenn
RMC > R, stellen jedoch kein Problem dar, solange sie beim Erstellen einer Verteilung
berücksichtigt werden. Für die Analyse wird die aktuelle, in FORTRAN implementierte Version
3.41 verwendet.
Um später einen Vergleich mit Powheg zu erleichtern, soll hier noch schematisch der
differentielle Wirkungsquerschnitt für die härteste Emission angegeben werden (aus [87]):
dσ = dσS dσMC + dσH .
(4.34)
Die einzelnen Terme
dσS = BdΦn
(4.35)
RMC
dσMC = ∆(t0 ) + ∆(t)
dΦMC
R
B
dσH = R − RMC dΦn dΦMC
R
(4.36)
(4.37)
folgen der Notation von Powheg und werden in Abschnitt 4.5.2 erläutert.
4.5.2 Powheg
Im Gegensatz zu MC@NLO haben Ereignisse, die mit Powheg (Positive Weight Hardest
Emission Generator, [88, 89]) generiert wurden, keine negativen Gewichte. Die Methode stellt
sicher, dass die harte Emission immer als erstes über das NLO-Matrixelement erzeugt wird. Somit
kommt es nicht zu Doppelzählungseffekten, wenn der Partonschauer ein pT -Veto verwendet,
was für Herwig und Pythia der Fall ist (siehe Abschnitte 4.3 und 4.4).
Die Idee besteht darin, die reellen Emissionen im Wirkungsquerschnitt in NLO durch eine
Born-Konfiguration und einen Sudakov-Formfaktor zu beschreiben. Zuerst wird die exakte Form
umgeschrieben:
dσ = B +V 0 dΦn + (R −CP) dΦn+1
R
0
= V + (R −C) PdΦR dΦn + B 1 + (1 − P) dΦR dΦn .
(4.38)
B
Der Term CP enthält die Projektion P(Φn+1 ) → Φn und entspricht genau einer inversen Operation
eines Schrittes im Partonschauer: Ein Zustand mit n + 1 Partonen wird in einen mit n Partonen
konvertiert. In [88] wird gezeigt, wie man aus diesem Ausdruck die Formel zur Berechnung der
härtesten Emission ableitet:
R
dσ = BdΦn ∆R (0) + ∆R (pT ) dΦR + (R − Rs )dΦn+1 .
(4.39)
B
40
4.5 Monte-Carlo-Generatoren in NLO
Hier wurde die für Powheg typische Notation benutzt:
0
B = B +V +
Z
dΦR (R −C)
(4.40)
und für den kollinearen und weichen Grenzfall gilt R → Rs . Gleichung 4.39 und 4.38 sind
nicht identisch. Die Differenz zwischen beiden ist jedoch von höherer Ordnung in αs als NLO.
Nachdem mithilfe von B eine Born-Konfiguration erzeugt wurde, wird die erste Emission über
die erste Ordnung der Entwicklung in αs eines modifizierten Sudakov-Formfaktors
Z
R
∆(t) = exp − dΦR Θ(kT − pT )
(4.41)
B
generiert, bzw. mit einer Wahrscheinlichkeit ∆(0) kein Parton emittiert. Diese Konfiguration
kann dann mit einem Partonschauer weiterverwendet werden, wobei ein pT -Veto die Aufgabe der
Θ-Funktion übernehmen kann, um sicherzustellen, dass folgende Emissionen weicher sind. Ein
wesentlicher Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie komplett unabhängig vom Schauer ist.
Im Vergleich von Gleichung 4.39 mit Gleichung 4.34 erkennt man, dass für den Fall Rs = RMC
und dΦR = dΦMC
R beide Gleichungen äquivalent sind.
Verwendet man Powheg mit einem winkelgeordneten Partonschauer, wird weiche Strahlung
mit einem großen Abstrahlwinkel teilweise ausgelassen, da diese vor der härtesten Emission
stattfinden kann (Vetoed-Truncated Showers). Werden sie nicht berücksichtigt, ist eine
Genauigkeit von NLL nicht mehr gewährleistet.
In dieser Arbeit wird Powheg for Heavy Flavour Hadroproduction (POWHEG-hvq) [90]
verwendet. Diese FORTRAN-Implementierung berücksichtigt Vetoed-Truncated Showers noch
nicht. Tatsächlich gibt es bisher noch keinen Hinweis darauf, dass der Effekt von Vetoed”
Truncated Showers eine praktische Bedeutung hat“ [89].
41
4 Monte-Carlo-Generatoren
42
5 Analyse
Die hohe Genauigkeit, die an den Experimenten am LHC erreicht wird, macht Simulationen in
NLO unverzichtbar (siehe zum Beispiel Abbildung 5.1). MC@NLO ist eine weit verbreitete
Methode zur NLO-Simulation und hat sich für viele Prozesse als Standard etabliert. Die Methode
ist dementsprechend gut validiert und bereits in den Experimenten am Tevatron im Einsatz (siehe
zum Beispiel [91]). Demgegenüber ist Powheg vergleichsweise neu, findet jedoch alternativ zu
MC@NLO zunehmend Verbreitung.
Über die Gültigkeit eines Modells entscheidet letztendlich immer der Vergleich mit Messdaten.
Solange diese nicht verfügbar sind, muss sich ein neues Modell an den etablierten Modellen
messen. In diesem Kapitel wird Powheg in Hinblick auf die Top-Paar-Produktion näher untersucht
und im Vergleich mit MC@NLO validiert. Da die mit Powheg generierten Ereignisse auch mit
Pythia verwendet werden können, wird im Anschluss überprüft, ob die Variation von ISR/FSRParametern, die in Pythia unabhängig variiert werden können, für die Top-Paar-Produktion auch
mit Powheg sinnvoll ist.
Eine vollständige Validierung umfasst die komplette Folge an Simulationen, von der
Erzeugung der Monte-Carlo-Wahrheit (Generator-Ebene) über die Detektorsimulation bis hin
zur Rekonstruktion der Ereignisse. Erst dann ist ein Vergleich mit dem Experiment möglich.
Dies lässt der Umfang dieser Arbeit nicht zu. Stattdessen werden ausschließlich Ergebnisse auf
Generator-Ebene verglichen. Ein direkter Vergleich der Methoden auf theoretischer Basis ist
gerechtfertigt, da die anschließenden Simulationsschritte nicht mehr explizit modellabhängig
sind.
5.1 Vergleich der Monte-Carlo-Wahrheit
5.1.1 Ablauf
Für die Datensätze werden mit den Programmen MC@NLO Version 3.41 [85] bzw. POWHEGhvq mit Patch 4 [93] zuerst Top-Paar-Konfigurationen in NLO erzeugt1) . Beide Programmme
berechnen dafür in einem ersten Schritt den totalen inklusiven Wirkungsquerschnitt und erzeugen
dann eine beliebige Anzahl an Ereignissen. Die Ausgabe erfolgt als Text in Form einer Tabelle,
welche die Kinematik des harten Prozesses enthält. Unter anderem wird zu jedem Ereignis
eine Liste der in den Prozess involvierten Teilchen mit den zugehörigen Viererimpulsen
gespeichert. Neben den an dem Prozess beteiligten einlaufenden Partonen, den Top-Quarks
und einer möglichen Gluonemission, werden auch die Zerfälle kurzlebiger Teilchen generiert:
Hier zerfällt das Top-Quark in ein Bottom-Quark und ein W -Boson, welches dann hadronisch
oder leptonisch zerfällt. Während die Ausgabe von MC@NLO ohne Partonschauer keine
1 Ursprünglich
wurde die Analyse mit Version 3.1 begonnen. Aufgrund einiger Weiterentwicklungen beschränkt
sich die Darstellung auf die neueste Version 3.41.
43
5 Analyse
√
Abbildung 5.1: Die Rapiditätsverteilung für Z 0 -Produktion am LHC bei s = 14 TeV hat eine
deutlich andere Normierung und Form in NLO (grün) gegenüber LO (blau). Außerdem nehmen
die Unsicherheiten aufgrund der Skalenwahl (hier im Bereich m2Z ≤ µ ≤ 2mZ variiert) für NLO
signifikant ab [92].
physikalische Bedeutung zulässt, entsprechen die Ereignisse bei Powheg auf dieser Stufe einer
Berechnung in NLO mit Resummierung weicher Gluon-Effekte in LL [93].
Im nachfolgenden Hadronisierungsprozess werden die erzeugten Ereignisse mit Herwig
oder Pythia weiterverarbeitet: Die Teilchen aus dem externen Matrixelement strahlen über
den Partonschauer zusätzliche Emissionen ab und bilden Hadronen. QED-Korrekturen zu
anschließenden Zerfällen werden über das Erweiterungsmodul Photos [94], Tau-Zerfälle von
Tauola [95] simuliert. Der generierte Datensatz enthält schließlich die Monte-Carlo-Wahrheit,
unter anderem die vollständige Zerfallskette sowie die Viererimpulse und Lebensdauer jedes
Teilchens in der gesamten Kette. Am Ende dieser Kette befinden sich die Teilchen, deren
Lebensdauer ausreicht, um im Detektor gemessen zu werden. Alle Hadronen, die auf GeneratorEbene nicht mehr zerfallen, werden schließlich mithilfe des Anti-kT -Algorithmus im FastJetPaket zu Jets (Parton-Jets) geformt. Der Hadronisierungsprozess wurde im ATLAS-SoftwareFramework ATHENA Version 15.6.1.7 durchgeführt.
5.1.2 Observablen
Da ein direkter Vergleich einzelner Monte-Carlo-Ereignisse nicht zulässig ist (siehe Kapitel 4),
werden aus vielen einzelnen Ereignissen Verteilungen physikalischer Observablen berechnet. Ein
erster Vergleich kann schon auf Parton-Ebene durchgeführt werden, da die komplette Zerfallskette
bekannt ist. Somit lassen sich unmittelbar das Top-Quark, seine Zerfälle und die erste Emission
in beiden Modellen vergleichen. Auf dieser Ebene werden charakteristische Observablen für die
einzelnen Teilchen oder auch Teilchen-Systeme wie das Top-Antitop-System betrachtet.
Observablen auf Parton-Ebene sind experimentell nicht zugänglich. Deshalb ist es wichtig,
Objekte zu überprüfen, die im Experiment direkt gemessen werden können. Für Top-PaarEreignisse sind dies vor allem härtere Leptonen und Jets mit pT > 20 GeV sowie die fehlende
Transversalenergie E/T . Häufig werden Jets auf Generator-Ebene ausschließlich aus den Teilchen
44
5.1 Vergleich der Monte-Carlo-Wahrheit
gebildet, die nicht aus dem Matrixelement in LO stammen, damit der Einfluss der Emissionen
deutlich wird: Bei Top-Paaren würden Jets nur aus den stabilen Teilchen gebildet, die nicht
aus dem Bottom-Quark und dem W -Zerfall stammen. Hier werden die Jets aus allen stabilen
Teilchen gebildet. Um Jets, die nicht aus Top-Zerfällen stammen, zu identifizieren, werden sie im
Nachhinein den Partonen zugeordnet, wenn der Kegel eines Jets in der η × φ -Ebene ein Parton
aus dem Top-Zerfall enthält. Dazu wird derselbe Radius wie im Jet-Algorithmus verwendet.
Dass beide Ansätze vergleichbare Ergebnisse liefern wurde überprüft. Zudem werden alle Jets
entfernt, die in der η × φ -Ebene mit einem Elektron oder Myon aus dem W -Zerfall überlappen
(Overlap Removal), da die beiden Objekte im Experiment nicht eindeutig separierbar wären.
Für alle Objekte wurde die grundlegende Kinematik ermittelt: Transversalimpuls pT , Rapidität
y, Pseudorapidität η und Azimuthwinkel φ sowie Jet-Multiplizitäten. Einen Überblick aller
untersuchten Verteilungen enthält Anhang A.2.
5.1.3 Histogramme
Alle im Folgenden betrachteten Ergebnisse basieren auf Datensätzen, die zwischen 150 · 103
und 750 · 103 Top-Paar-Ereignisse enthalten, was unter Berücksichtigung des Filters für
hadronische oder leptonische Zerfälle bei 7 TeV einer integrierten Luminosität von ungefähr
2 bzw. 10 fb−1 entspricht. Für eine große Zahl an Ereignissen können die Histogramme als
differentielle Wirkungsquerschnitte bezüglich der Observablen betrachtet werden. Um den
Vergleich unabhängig von der Anzahl der Ereignisse durchführen zu können, werden die
Histogramme normiert, sodass die Fläche des Histogramms eins ist. Es werden jeweils zwei
Histogramme in einer Grafik gegenübergestellt, wobei die statistischen Unsicherheiten nicht
dargestellt werden. Der jeweils erste und letzte Eintrag des Histogramms enthält die Summe
aller Einträge, die außerhalb des Wertebereichs liegen. Darüber hinaus wird das Verhältnis der
Histogramme zueinander mit Fehlerbalken dargestellt. Es wird immer das erste Histogramm
(blau) durch das zweite (orange) geteilt. Zu jedem Histogramm werden die Anzahl der Einträge
Entries“, das arithmetische Mittel Mean“ und die Standardabweichung, die in dem verwendeten
”
”
Statistikprogramm ROOT aus historischen Gründen mit RMS“ bezeichnet wird, angegeben.
”
Da es auch Ereignisse mit Gewichten w 6= 1 gibt, wird das gewichtete arithmetische Mittel
verwendet:
∑ wi xi
x̄ = i
.
(5.1)
∑i wi
Des Weiteren wird die Übereinstimmung der verglichenen Histogramme mithilfe von Signifikanztests quantifiziert. Dafür wird die Nullhypothese angenommen, dass beiden Histogrammen
dieselbe Verteilung zugrundeliegt und dafür der P-Wert berechnet. Dieser Wert gibt das höchste
Signifikanzniveau an, bei dem die Nullhypothese noch angenommen werden kann. Es werden
ein χ 2 -, ein Kolmogorov-Smirnov- und ein Run-Test angewendet. Die Signifikanztests und Teile
des Histogramm-Quelltextes basieren auf [96]. Es sei vorweggenommen, dass der Vergleich
zwischen verschiedenen Generatoren für nahezu alle Observablen einen P-Wert kleiner als 0.01
liefert. Die Nullhypothese, dass die Generatoren die gleichen Ergebnisse liefern, kann also auf
statistischer Basis klar verworfen werden und die Ergebnisse der Signifikanztests werden in
diesen Fällen nicht mit angegeben. Das entscheidende Kriterium wird schließlich der Vergleich
mit Messdaten liefern.
45
5 Analyse
5.1.4 Einstellungen
Herwig und insbesondere Pythia bieten eine Vielzahl an Parametern, die es erlauben,
Modellunsicherheiten über eine Anpassung an Messdaten zu minimieren. Es existieren
verschiedene Empfehlungen (Tunes) von ATLAS, wie auch anderer Autoren, die sich vor allem
im Hinblick auf das Untergrundereignis unterscheiden. In Bezug auf die betrachteten Observablen
für Top-Quarks spielen sie eine untergeordnete Rolle. Die hier verwendeten Einstellungen
orientieren sich an den offiziellen Empfehlungen der Monte-Carlo-Arbeitsgruppe des ATLASExperiments. Die genauen Einstellungen kann man Anhang A.3 entnehmen.
Solange nicht anders vermerkt, werden Top-Quarks
√ mit Masse mt = 172.5 GeV und
Breite Γt = 1.32 GeV bei einer Schwerpunktenergie von s = 7 TeV generiert. Aufgrund von
technischen Problemen in MC@NLO Version 3.41 können dort, im Gegensatz zu Powheg,
keine Off-Shell-Effekte miteinbezogen werden. Die Top-Zerfälle müssen mindestens ein Lepton
enthalten. Experimentell lassen sich semi- und dileptonische Zerfälle des Top-Quarks deutlich
einfacher rekonstruieren, da sich die Signatur besser von den Untergründen trennen lässt als im
Falle voll-hadronischer Zerfälle. Bei einem Vergleich zweier Datensätze wurde darauf geachtet,
dass die nicht im Fokus der Analyse stehenden Einstellungen identisch sind. Das heißt, um
zum Beispiel für Powheg den Einfluss der Partonschauer zu untersuchen, werden dieselben
Powheg-Ereignisse jeweils mit Pythia und mit Herwig hadronisiert und anschließend derselbe
Jet-Algorithmus benutzt.
Für die Berechnung des Matrixelements in NLO werden Partonverteilungsfunktionen in NLO
benötigt. Hier kommen die aktuellen CTEQ6.6 zum Einsatz. Ein Vergleich mit der älteren Version
CTEQ6m wies, abgesehen von Abweichungen in der Verteilung der Rapiditäten |y| > 2.5 (siehe
Abbildung 5.2), in allen untersuchten Observablen keine signifikanten Unterschiede auf. Während
Herwig für die Hadronisierung von MC@NLO-Ereignissen ebenfalls CTEQ6.6 benutzt, wurde
die Hadronisierung für Powheg mit den LO-Partonverteilungsfunktionen CTEQ6L1 durchgeführt.
Der Hintergrund ist, dass zum Zeitpunkt der Analyse eine Parameterempfehlung für Pythia
mit NLO-Partonverteilungsfunktionen noch nicht bekannt war. Auf die meisten untersuchten
Observablen hat dieser Unterschied keinen großen Einfluss, da die Top-Paar-Produktion und die
härteste Emission davon unberührt bleiben (siehe Abbildung 5.3). Hinsichtlich weicher Jets gilt
diese Aussage nicht.
Jet-Algorithmen
Die Wahl des Jet-Algorithmus hat einen großen Effekt auf die Form der Jet-Observablen.
SISCone und Anti-kT liefern im Vergleich zu CDF JetClu etwa viermal so viele weiche Jets
mit pT < 20 GeV. Jedoch auch in den interessanteren Bereichen mit pT > 20 GeV ergeben
sich signifikante Unterschiede. Im Fall der Kegelalgorithmen weichen die pT -Spektren der Jets
aus dem W -Zerfall für hohe Transversalimpulse deutlich von dem in der Anti-kT -Verteilung
sichtbaren exponentiellen Abfall ab (siehe Abbildungen 5.4(a) und 5.4(c)). Diese Differenz
hat folgenden Grund: Die Richtungen der Zerfallsprodukte des W -Bosons können in einem
engen Kegel liegen, wenn das Schwerpunktsystem des W -Bosons einen hohen Boost, das heißt
eine hohe Relativbewegung zum Laborsystem aufweist. Im hadronischen W -Zerfall entstehen
zwei Jets, die in diesem Fall von den Kegelalgorithmen zu einem höherenergetischen Jet
zusammengefasst werden. Der Anti-kT -Algorithmus zeigt dieses Verhalten hingegen nicht.
Tatsächlich verschwindet der Effekt, wenn nur Ereignisse verwendet werden, in denen jedem Jet
46
5.1 Vergleich der Monte-Carlo-Wahrheit
-------
-------
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
Kolmogorov-Smirnov Test: 12.33%
h_ttbar_pt
h_ttbar_pt
Entries 1500000
Entries
1500000
Mean
110.9
RMS
Mean
110.9
70.83
70.93
RMS
70.83
h_ttbar_pt
10 -2
Entries 1500000
Mean
110.9
RMS
70.93
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
Kolmogorov-Smirnov Test: 95.34%
χ 2/ndf: 1.06, χ2 Prob: 32.63%
Run Test: 21.64%
h_ttbar_rap
h_ttbar_rap
Entries 1500000
1500000
Entries
Entries
1500000
Mean 0.0005876
Mean
0.00156
RMS
1.049
RMS
Mean
0.00156
1.055
0.035
RMS
0.03
1.055
h_ttbar_rap
Entries
0.025
1500000
Mean
0.0005876
RMS
1.049
0.02
0.015
10 -3
0.01
10 -42
0
100
200
300
400
500
600
1.5
1
0.5
0
Ratio
Ratio
0.005
0
2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
100
200
300
400
500
600
p [GeV]
0.5
-4
-2
0
2
4
y
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:56 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:59 2010
(a)
(b)
Abbildung 5.2: Der Unterschied zwischen CTEQ6m (orange) und CTEQ6.6 (blau) im
Matrixelement von Powheg mit Herwig ist für nahezu alle Observablen gering, wie am Beispiel
der pT -Verteilung des Top-Quarks (a) zu sehen ist (logarithmische Darstellung).
(b) Ereignisse mit CTEQ6.6 haben im Durchschnitt einen leicht höheren Longitudinalimpuls,
wodurch die Rapiditätsverteilung im Bereich |y| > 2.5 von CTEQ6m abweicht.
genau ein Parton zugeordnet wird. Dadurch werden jedoch etwa 10% aller Ereignisse verworfen.
Doch auch SISCone und CDF JetClu weisen untereinander deutliche Unterschiede auf. Dies
sieht man am Beispiel des härtesten Jets, der nicht aus dem Top-Zerfall stammt: Auch wenn das
pT -Spektrum bei allen drei Algorithmen gut übereinstimmt, erkennt man bei CDF JetClu in der
Rapiditätsverteilung einen unphysikalischen Bruch um |y| > 4, was auch als Folge restriktiver
Seeds erwartet wird. In diesem Bereich dominieren Jets mit niedrigen Transversalimpulsen,
die bei CDF JetClu im Gegensatz zu SISCone nicht mehr erfasst werden (Abbildungen 5.4(b)
und 5.4(d)). Aufgrund dieser Unbestimmtheit wurden alle Vergleiche zwischen MC@NLO und
Powheg mit allen drei Algorithmen validiert. Trotz der teilweise deutlichen Differenzen konnten
die Ergebnisse mit allen Algorithmen reproduziert werden, sodass im Folgenden nur noch die
Ergebnisse mit Anti-kT aufgeführt werden, der standardmäßig in ATLAS verwendet wird.
47
5 Analyse
-------
-------
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig (PS: CTEQ6.6)
Kolmogorov-Smirnov Test: 49.92%
χ 2/ndf: 1.52, χ2 Prob: 8.2%
h_ntj1_pt
10
h_ntj1_pt
496799
498591
Entries
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
-1
498591
56.23
56.11
56.23
56.55
56.53
RMS
56.55
h_ntj1_pt
Entries
10
-2
496799
Mean
56.11
RMS
56.53
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig (PS: CTEQ6.6)
Kolmogorov-Smirnov Test: 12.33%
χ 2/ndf: 0.89, χ2 Prob: 76.16%
Run Test: 69.24%
10 -42
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
1
0.5
0
10
-1
RMS
750000
5.062
5.06
5.062
1.717
1.722
1.717
h_nj15
Entries
10
750000
Mean
5.06
RMS
1.722
-2
10 -3
Ratio
Ratio
10 -3
h_nj15
h_nj15
750000
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -42
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Njets
1.5
1
100
200
300
400
500
p [GeV]
0.5
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:52 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:54 2010
(a)
(b)
Abbildung 5.3: Abbildung (a) zeigt eine logarithmische Darstellung der pT -Verteilung
des härtesten Jets, der nicht aus dem Top-Zerfall stammt. In (b) wird die Verteilung der
Jet-Multiplizitäten logarithmisch dargestellt. Verglichen wird der Einfluss von CTEQ6.6
(orange) gegenüber CTEQ6L1 (blau) im Partonschauer von Powheg mit Herwig. Die gute
Übereinstimmung erlaubt es, LO PDFs statt NLO PDFs im Partonschauer zu verwenden.
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
In diesem Abschnitt werden MC@NLO in Verbindung mit Herwig und Powheg in Verbindung
mit Herwig gegenübergestellt2) . Um die Effekte der Hadronisierung zu quantifizieren, werden
Ergebnisse gezeigt, in denen Powheg-Ereignisse jeweils mit Herwig und mit Pythia hadronisiert
wurden. Eine Übersicht der Wirkungsquerschnitte ist in Tabelle 5.1 aufgeführt.
5.2.1 Das Top-Antitop-System
Eine gute Möglichkeit, den Einfluss höherer Ordnungen zu studieren, bietet die pT -Verteilung
des t t¯-Systems, da dieses, abgesehen vom vernachlässigbaren Transversalimpuls des Partons
innerhalb des Protons, in LO keinen Transversalimpuls erhält. Die Verteilung wird somit durch
zusätzliche Strahlung bestimmt, und das t t¯-System erhält einen deutlichen Transversalimpuls, wie
2 In
diesem Abschnitt impliziert die Bezeichnung MC@NLO die Verwendung mit Herwig. Gleiches gilt, soweit
nicht explizit angegeben, für Powheg.
48
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
-------
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
h_Wj_pt
h_Wj_pt
10 -1
Entries 1083312
1086387
Entries
1086387
Mean
59.98
57.11
RMS
Mean
44.91
57.11
41.5
RMS
41.5
h_Wj_pt
Entries 1083312
10 -2
Mean
59.98
RMS
44.91
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
h_ntj1_rap10
h_ntj1_rap10
Entries
491013
498591
Entries
498591
Mean 0.0004664
-0.002588
RMS
Mean
0.0004664
1.713
1.622
RMS
10 -2
1.713
h_ntj1_rap10
Entries
491013
Mean
-0.002588
RMS
1.622
10 -3
10 -42
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
----1
0.5
---0
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
100
200
300
Ratio
Ratio
10 -3
10 -42
-5
----1
0.5
----
400
500
p [GeV]
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Powheg+Herwig
Powheg+Herwig
-4
-2
0
2
4
y
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:06 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:01 2010
(a)
(b)
h_Wj_pt
h_Wj_pt
Entries 1074723
1086387
Entries
1086387
Mean
60.42
57.11
RMS
Mean
47.89
57.11
41.5
RMS
41.5
h_Wj_pt
Entries 1074723
10 -2
Mean
60.42
RMS
47.89
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
T
10 -1
5
1.5
h_ntj1_rap10
h_ntj1_rap10
Entries
495112
498591
Entries
498591
Mean 0.0004664
-0.001626
RMS
Mean
0.0004664
1.713
1.742
RMS
10 -2
1.713
h_ntj1_rap10
Entries
495112
Mean
-0.001626
RMS
1.742
10 -3
10 -42
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
1
0.5
0
Ratio
Ratio
10 -3
10 -42
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
100
200
300
400
500
p [GeV]
0.5
-4
-2
0
2
4
y
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:08 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:03 2010
(c)
(d)
Abbildung 5.4: Einfluss der Jet-Algorithmen am Beispiel Powheg mit Herwig: Dargestellt
ist die pT -Verteilung der Jets aus dem hadronischen W -Zerfall (a und c) sowie das RapiditätsSpektrum des härtesten Jets, der nicht aus dem Top-Zerfall stammt (b und d). Die blaue Kurve
zeigt die Ergebnisse mit dem Anti-kT -Algorithmus, Orange steht für CDF JetClu (oben) bzw.
SISCone (unten).
49
5 Analyse
-------
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
h_ttbar_ptsum
h_ttbar_ptsum
10
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
-1
RMS
748492
750000
750000
56.34
55.31
56.34
62.98
60.73
62.98
h_ttbar_ptsum
Entries
10
-2
748492
Mean
55.31
RMS
60.73
RMS
Entries
10 -2
200
300
400
500
600
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
100
200
300
400
Ratio
Ratio
100
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
400
600
800
(b)
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
745000
750000
750000
56.34
58.66
56.34
62.98
66.61
62.98
h_ttbar_ptsum
Entries
-2
745000
Mean
58.66
RMS
66.61
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:51 2010
(a)
-1
100
200
300
400
500
600
1.5
1
Ratio
Ratio
137.9
1000
10 -1
1200
minv [GeV]
h_ttbar_minv
h_ttbar_minv
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
750000
745000
750000
486.8
494
486.8
136.8
140.3
136.8
h_ttbar_minv
Entries
10 -2
745000
Mean
494
RMS
140.3
10 -3
10 -3
0.5
0
493.4
RMS
1.5
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:46 2010
h_ttbar_ptsum
10 -42
0
748492
Mean
10 -42
300 400 500 600 700 800 900 1000 11001200 1300
----1
0.5
----
500
600
p [GeV]
h_ttbar_ptsum
10
136.8
h_ttbar_minv
T
10
750000
748492
750000
493.4
486.8
486.8
136.8
137.9
10 -3
1.5
----1
0.5
---0
h_ttbar_minv
h_ttbar_minv
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -3
10 -42
0
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
10 -1
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
10 -42
300 400 500 600 700 800 900 1000 11001200 1300
1.5
1
100
200
300
400
500
600
p [GeV]
0.5
400
600
800
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:49 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:54 2010
(c)
(d)
1000
1200
minv [GeV]
Abbildung 5.5: Das ptTt¯ -Spektrum (a,c) und die invariante Masse (b,c). Oben für Powheg (blau)
mit MC@NLO (orange), unten der Vergleich Powheg mit Herwig (blau) und Powheg mit Pythia
(orange). Da in MC@NLO keine Off-Shell-Effekte berücksichtigt werden, gibt es keine TopPaare mit einer invarianten Masse unter 345 GeV, wodurch in der Verteilung an dieser Stelle ein
Schnitt entsteht. Alle Histogramme in logarithmischer Darstellung.
50
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
Tabelle 5.1: Totale Wirkungsquerschnitte [pb] aus der Monte-Carlo-Berechnung, das analytische
Ergebnis in NLO sowie eine parametrisierte Näherung für NNLO mit Skalen- und (für 10 TeV)
PDF-Unsicherheiten für eine Top-Masse von 172.5 GeV.
√
s [TeV]
7
10
MC@NLO
Powheg
144.6 ± 0.1 145.8 ± 0.1
364.5 ± 0.3 368.1 ± 0.3
NLO
NNLO
k. A.
160.8+0.8
−7.8 [20]
+0.2 +18.4
402.5−17.3 −18.4 [98]
+18.4
396.8+35.2
−36.2 −17.4 [97]
in Abbildung 5.5(a) zu erkennen ist. Das Spektrum beider Generatoren stimmt gut überein. Die
Abweichungen für hohe Transversalimpulse lassen sich erklären, wenn man die pT -Verteilung
des härtesten Jets, der nicht aus dem t t¯-System stammt, betrachtet. Dieser weist ein ähnliches
Spektrum auf (Abbildung 5.7(b)). Da der härteste Jet fast immer in die entgegengesetzte Richtung
zeigt, bestimmt er maßgeblich den Transversalimpuls des t t¯-Systems. Abbildung 5.5(b) zeigt die
invariante Masse des t t¯-Systems. Hier lässt sich eine entgegengesetzte Tendenz feststellen: Das
Spektrum von MC@NLO ist zu höheren Massen verschoben. Die Differenz im Mittelwert liegt
eine Größenordnung über der statistischen Unsicherheit. Diese Verteilung wird unter anderem
durch die verwendete Top-Masse beeinflusst. Da sie bei MC@NLO konstant 172.5 GeV ist,
bei Powheg aufgrund von Off-Shell-Effekten variiert und im Mittel um 171.9 GeV liegt, ist ein
Unterschied zu erwarten. Letztlich wirkt sich dieser Unterschied auch auf die Transversalimpulse
der einzelnen Top- bzw. Antitop-Quarks aus, die bei MC@NLO leicht härter sind. Für eine
abschließende Bewertung müssten Off-Shell-Effekte auch in MC@NLO berücksichtigt werden.
Vergleicht man den Einfluss der Hadronisierung (Abbildungen 5.5(c) und 5.5(d)), erkennt man
Unterschiede, die in der gleichen Größenordnung liegen. Das ptTt¯ -Spektrum ist bei Pythia noch
ein wenig härter als bei Herwig, die invariante Masse ebenfalls. Tatsächlich hat die Wahl des
Generators für die Hadronisierung auch einen größeren Einfluss auf die pT -Verteilung der Topbzw. Antitop-Quarks als die NLO-Generatoren. Die Verteilungen findet man in Anhang A.4.
In der Verteilung der Rapidität des Top-Quarks stimmen beide NLO-Generatoren gut überein
(Abbildung 5.6(a)). Um auch den Top-Zerfall zu überprüfen, bietet es sich an, im Ruhesystem
des W -Bosons den Winkel zwischen der Richtung des Top-Quarks und des Leptons aus dem
W -Zerfall zu untersuchen. Die Verteilung von cos θ ∗ ist
dN
3
3
3
2 ∗
∗ 2
=
F
1
−
cos
θ
+
F
(1
−
cos
θ
)
+
F
(1 + cos θ ∗ )2 .
−
+
0
∗
Nd cos θ
4
8
8
(5.2)
Sie setzt sich aus den Verteilungen für longitudinal (∝ F0 ), rechtshändig (∝ F+ ) oder linkshändig
(∝ F− ) polarisierte W -Bosonen zusammen. Im Standardmodell ist F+ aufgrund der V−AKopplung fast vollständig unterdrückt. Mit der hier verwendeten Top-Masse mt und W -Masse
mW ergibt sich für den Anteil longitudinal polarisierter W -Bosonen
F0 ≈
mt2
= 0.697=69.7%.
ˆ
2 + m2
2mW
t
(5.3)
Beide Verteilungen in Abbildung 5.6(b) stimmen gut überein. Ein Fit an Gleichung 5.2 ergibt
für Powheg einen Wert von (69.4 ± 0.1)%. MC@NLO liefert mit (69.7 ± 0.1)% exakt den
51
5 Analyse
-------
-------
h_ttbar_rap
Entries
1496984
Entries 1500000
Entries 0.001404
1500000
Mean
0.00156
RMS
1.055
Mean
0.00156
1.055
0.035
RMS
0.03
1.055
h_ttbar_rap
Entries
0.025
1496984
Mean
0.001404
RMS
1.055
0.02
Normalized to Unit Area
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
Kolmogorov-Smirnov Test: 70.33%
χ 2/ndf: 1.02, χ2 Prob: 43.22%
h_ttbar_rap
h_cosTheta
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.012
RMS
0.01
0.005
0.002
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
0.5
Ratio
0.004
-3
0.489
Entries
898200
Mean
-0.1499
RMS
0.4882
0.008
0.01
-4
895305
-0.1499
-0.1499
0.4882
0.489
h_cosTheta
0.006
0
2-5
h_cosTheta
895305
898200
0.014
0.015
Ratio
Normalized to Unit Area
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
Kolmogorov-Smirnov Test: 77.58%
χ 2/ndf: 1.44, χ2 Prob: 1.15%
0
2-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0
0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
1.5
1
-4
-2
0
2
0.5
-1
4
-0.5
y
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:56 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:37:58 2010
(a)
(b)
1
cos θ
Abbildung 5.6: Verteilung der Rapiditäten der Top- und Antitop-Quarks (a) sowie von cos θ ∗
mit dem Winkel θ ∗ zwischen der Richtung des Top-Quarks und des Leptons aus dem W -Zerfall
im Ruhesystem des W -Bosons.
erwarteten Wert. Dieses Ergebnis war zu erwarten, da die Implementierung der Zerfälle in beiden
Generatoren auf derselben Methode basieren.
5.2.2 Parton-Jets
Bei der Erzeugung von Top-Paaren am LHC spielen Jets eine große Rolle. Neben den Jets
aus dem Top-Quark-Zerfall entstehen durch Emissionen weitere Jets. Die hohe, durch die
Top-Masse vorgegebene Evolutionsskala ermöglicht viele Emissionen, die aufgrund der hohen
Schwerpunktenergie einen großen Phasenraum zur Verfügung haben. Abbildung 5.7(a) zeigt
die Verteilung des härtesten Jets jedes Ereignisses, also inklusive der Jets aus dem Top-Zerfall.
Während der Bereich um den Peak sehr gut übereinstimmt, weichen die Spektren für harte
Jets ab. Da die einzelnen Verteilungen der Jets aus dem Bottom-Quark und dem W -Zerfall
(beide hier nicht zu sehen) keine besonderen Abweichungen zeigen, liegt der Schluss nahe, dass
dieser Unterschied durch den Jet aus der härtesten Emission hervorgerufen wird. Dieser Jet
wird mit der eingangs beschriebenen Methode identifiziert (Abschnitt 5.1.2); ein Vergleich der
Verteilungen der zugeordneten Jets mit den Verteilungen der Top-Zerfallsprodukte und der GluonEmission auf NLO-Generator-Ebene wurde durchgeführt und rechtfertigt diese Zuordnung. In
52
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
Abbildung 5.7(b) lassen sich in der Tat vergleichbare Unterschiede feststellen. Der härteste Jet
wird im Bereich hoher Transversalimpulse maßgeblich durch die im NLO-Generator erzeugte
Emission beeinflusst. In [99] wird dies anschaulich am Beispiel von MC@NLO erläutert. Dieser
Effekt sollte also kleiner sein, wenn man die Partonschauer ändert. Dies bestätigt sich in den
Abbildungen 5.7(c) und 5.7(d). Die Verteilungen unterscheiden sich erwartungsgemäß eher im
Bereich weicher Jets. Die Abweichung in der härtesten Emission könnte auf NNLO-Effekte
in Powheg zurückzuführen sein. Während MC@NLO konsequent nur alle Beiträge bis NLO
einbezieht, treten in Powheg zudem Beiträge höherer Ordnung auf. Dieser Effekt wird besonders
deutlich im pT -Spektrum des Higgs-Bosons in der Higgs-Produktion und wurde dort ausführlich
analysiert [100]. Das Fehlen von Vetoed Truncated Partonschauern in Powheg sollte sich im
weichen Spektrum bemerkbar machen. Auch sind in diesem Bereich Unterschiede aufgrund der
unterschiedlichen Sudakov-Formfaktoren zu erwarten (siehe jeweils Kapitel 4.5.2). Hier konnte
kein besonderer Effekt in diesem Bereich festgestellt werden.
Einen signifikanten Unterschied erkennt man dagegen in den Jet-Multiplizitäten in Abbildung 5.8(a). Hier wird die Verteilung der Anzahl der Jets pro Ereignis mit einem Schnitt
auf pT > 20 GeV gezeigt. Dieser Effekt kann selbst für noch niedrigere, vor allem aber auch
noch bei höheren pT -Schnitten bis zu 80 GeV beobachtet werden. Powheg generiert also im
Durchschnitt Ereignisse mit einer härteren Emission, und zudem wird von Herwig für die
Powheg-Konfigurationen eine größere Anzahl an Emissionen erzeugt. Interessant ist, dass der
Einfluss der Hadronisierung in Abbildung 5.8(b) für hohe Jet-Multiplizitäten deutlich geringer ins
Gewicht fällt. Dieses Verhalten ist ebenso unabhängig von pT -Schnitten über 10 GeV, darunter
dominiert jedoch der Einfluss unterschiedlicher Partonschauer.
5.2.3 Das Dip-Problem
Abbildung 5.9 zeigt das Spektrum der Differenz zwischen der Rapidität des Top-Antitop-Systems
und der Rapidität des Jets aus der härtesten Emission, ∆y j,t t¯ = y j − yt t¯. Sie gibt einen guten
Einblick in die Erzeugung der härtesten Emission. Das Spektrum für MC@NLO ist bei einem
Schnitt von pT > 40 GeV breiter als das von Powheg, das in dem Bereich um kleine ∆y j,t t¯
einen spitzeren Peak aufweist. Wendet man einen Schnitt von pT > 80 GeV an, erkennt man ein
deutliches Absenken der zentralen Region. Dieser Effekt wurde für die Rapidität des Jets aus
der härtesten Emission erstmals in [99] beobachtet.
Zum besseren Verständnis zeigt Abbildung 5.10(a) noch einmal den Phasenraum, der für
die Erzeugung des Partonschauers in Herwig zur Verfügung steht. Auch wenn sich dieses
Bild auf die Higgs-Produktion bezieht, in der dieser Effekt deutlich stärker ausgeprägt ist [77],
reicht es zu einem qualitativen Verständnis auch für die Top-Paar-Produktion. Wie schon in
Abbildung 4.5 zu sehen war, grenzen die roten Linien die Bereiche voneinander ab, die vom
Partonschauer bzw. dem Matrixelement generiert werden: Der Partonschauer kann nur in den
mit shower“ beschrifteten Phasenraum emittieren, Emissionen in den Bereich der dead zone“
”
”
erfolgen über das Matrixelement. Eine korrekte Abdeckung des Phasenraums erfordert eine
genaue Anpassung der Beiträge des Matrixelements mit denen der Partonschauer. Dafür werden
jedoch Beiträge in NNLO benötigt, sonst wird der Bereich in der dead zone“ von Herwig
”
nicht richtig gefüllt. Es kann gezeigt werden, dass ∆y j,t t¯ sensitiv auf die Phasenraumvariablen
x und y ist [77] (vergleiche Abbildung 4.5). Emissionen mit Abstrahlwinkeln senkrecht zur
Strahlachse entsprechen im Schwerpunktsystem dem Bereich um ∆y j,t t¯ = 0, wogegen kollineare
53
5 Analyse
-------
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
h_j1_pt
10 -1
h_j1_pt
749959
748456
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
749959
103.3
104
53.45
51.11
104
53.45
h_j1_pt
Entries
10 -2
748456
Mean
103.3
RMS
51.11
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
h_ntj1_pt
10
Entries
10 -2
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
100
200
300
Ratio
Ratio
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
10 -42
0
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
100
200
Run Test: 13.01%
400
500
p [GeV]
300
53.02
(b)
h_j1_pt
h_j1_pt
744954
749959
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
749959
104
53.45
54.95
104
53.45
h_j1_pt
Entries
10 -2
744954
Mean
104
RMS
54.95
400
500
p [GeV]
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:10 2010
(a)
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
54.32
RMS
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
----1
0.5
---0
10 -3
h_ntj1_pt
h_ntj1_pt
498591
437731
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -1
RMS
498591
56.23
56.92
56.55
56.23
58.1
56.55
h_ntj1_pt
Entries
10 -2
437731
Mean
56.92
RMS
58.1
10 -3
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
1
Ratio
Ratio
490759
Mean
1.5
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:19 2010
10 -1
0.5
0
56.55
h_ntj1_pt
T
10 -42
0
498591
56.23
54.32
56.55
56.23
53.02
10 -3
1.5
----1
0.5
---0
h_ntj1_pt
490759
498591
Entries
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
-1
RMS
10 -3
10 -42
0
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
10 -42
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
1
100
200
300
400
500
p [GeV]
0.5
0
100
200
300
T
400
500
p [GeV]
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:21 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:12 2010
(c)
(d)
Abbildung 5.7: Das pT -Spektrum des härtesten Jets (a,c) und des Jets aus der härtesten Emission
(b,d). Oben: Powheg (blau) und MC@NLO (orange). Unten: Powheg mit Herwig (blau) und
Powheg mit Pythia (orange). Alle Histogramme in logarithmischer Darstellung.
54
---- Powheg+Herwig
---- Powheg+Pythia
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
h_nj20
h_nj20
750000
748493
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -1
RMS
750000
4.272
4.41
1.545
1.428
4.41
1.545
h_nj20
Entries
748493
Mean
4.272
RMS
1.428
10 -2
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1.5
Ratio
Ratio
10 -1
RMS
750000
4.313
4.41
1.545
1.516
4.41
1.545
h_nj20
Entries
745000
Mean
4.313
RMS
1.516
10 -2
10 -3
10 -3
10 -42
h_nj20
h_nj20
750000
745000
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -42
1
1
0.5
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Njets
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Njets
1.5
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:14 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:17 2010
(a)
(b)
Abbildung 5.8: Jet-Multiplizitäten mit einem pT -Schnitt von 20 GeV für (a) Powheg (blau) und
MC@NLO (orange) sowie (b) Powheg mit Herwig (blau) und Powheg mit Pythia (orange). Alle
Histogramme in logarithmischer Darstellung.
Strahlung den Wert maximiert. Diese Observable ist somit ein guter Test für die Abhängigkeit
von der Phasenraumteilung. Da Powheg die härteste Emission mit einem eigenen SudakovFormfaktor generiert, ist die Verteilung in diesem Fall nicht von diesem Problem betroffen.
Tatsächlich sorgen die Beiträge in NNLO, die Powheg enthält, für die richtige Verteilung. Da
das Subtraktionsschema in MC@NLO den Sudakov-Formfaktor von Herwig benutzt, wird die
härteste Emission abhängig von dieser Phasenraumteilung. Abbildung 5.10(b) zeigt auf, dass
MC@NLO nur einen Teil des Dips in der Verteilung der Rapidität füllt, da ausschließlich Beiträge
bis NLO einbezogen werden. In Abbildung 5.10(a) sieht man zudem die unterschiedliche pT Abhängigkeit der Emissionen von den einzelnen Bereichen. Somit wird verständlich, warum
die Verteilung in der zentralen Region mit zunehmenem Transversalimpuls der Emission
einbricht. In dem in Abbildung 5.10(a) beschriebenen Szenario würde der Effekt bei sehr hohen
Transversalimpulsen nicht mehr auftreten, da der dunkelgrüne Bereich nicht mehr abhängig von
der Phasenraumteilung ist.
Da das Problem des unphysikalischen Dips ein NNLO-Effekt ist, ist das Auftreten in
MC@NLO kein Fehler in der Berechnung, die in NLO exakt ist. Powheg beschreibt die
Verteilung besser, indem es Beiträge höherer Ordnung miteinbezieht.
5.2.4 Erweiterte Validierung
Zusätzlich zu den bisher betrachteten Ergebnissen wurden Validierungen für unterschiedliche
Top-Quark-Massen, Schwerpunktenergien und Top-Quark-Zerfälle untersucht. Die erweiterte
Validierung bestätigt die Aussagen aus Abschnitt 5.2 und wird im Folgenden kurz erläutert. Eine
55
----
-------
Powheg+Herwig
h_ntj1_ttbar_drap40
h_ntj1_ttbar_drap40
Entries
234177
Entries
229575
Entries
234177
Mean
-0.004197
Mean
-0.00222
RMS
Mean
-0.004197
1.588
RMS
1.75
RMS
10
1.588
h_ntj1_ttbar_drap40
-2
Entries
229575
Mean
-0.00222
RMS
1.75
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
---- MCatNLO+Herwig
5 Analyse
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1
Ratio
Ratio
-4
1.5
0.5
h_ntj1_ttbar_drap80
h_ntj1_ttbar_drap80
Entries
97979
97190
Entries
97979
Mean 0.0003557
-0.002126
10 -2
RMS
Mean
0.0003557
1.722
1.53
RMS
1.53
h_ntj1_ttbar_drap80
Entries
97190
Mean
-0.002126
RMS
1.722
10 -3
10 -3
10 -42
-5
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
10 -42
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
-4
-2
0
2
4
0.5
∆y
-4
-2
0
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:23 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:26 2010
(a)
(b)
2
4
∆y
Abbildung 5.9: Logarithmische Darstellung der Differenz-Verteilung der Rapiditäten vom
t t¯-System und dem Jet aus der härtesten Emission, ∆y j,t t¯, mit einem pT -Schnitt auf 40 GeV (a)
und 80 GeV (b). Powheg (blau) und MC@NLO (orange).
(a)
(b)
√
Abbildung 5.10: (a) Der Phasenraum (vergleiche Abbildung 4.5) bei s = 14 TeV für die
Erzeugung des Partonschauers in Herwig (rot). Hier sind zudem die Isolinien für konstante pT
eingezeichnet. Von hellgrün nach dunkelgrün: 10 GeV, 40 GeV, 80 GeV und die Higgs-Masse
(in diesem Fall mH = 300 GeV) [77]. (b) Die Verteilung
√ der Rapidität des Jets aus der härtesten
Emission mit einem Schnitt von pT > 100 GeV für s = 14 TeV. Die Quadrate entsprechen den
H-Ereignissen in MC@NLO, also denen, die eine zusätzliche Emission enthalten, hochgestellte
Quadrate zeigen S-Ereignisse (vergleiche Kapitel 4.5.1). Die durchgezogene Linie beschreibt
die gesamte Verteilung [99].
56
5.2 Resultat der Validierung von Powheg mit MC@NLO
Übersicht zeigt Abbildung A.6.
Validierung bei 10 TeV
Durch unterschiedliche Impulsanteile der einlaufenden Partonen wird das Top-Paar-System nicht
in Ruhe erzeugt. Der resultierende Longitudinalimpuls wird somit maßgeblich durch die Energie
der kollidierenden Hadronen bestimmt. Erhöht man die Schwerpunktenergie von 7 TeV auf
10 TeV, verschiebt sich der mittlere Longitudinalimpuls zu höheren Werten. Dieser Effekt kann
zum Beispiel in einer breiteren Streuung der Rapidität beobachtet werden. Gleichzeitig erlaubt
es der vergrößerte Phasenraum den einlaufenden Partonen, härtere Strahlung abzugeben. Dies
bewirkt ein härteres Spektrum des Transversalimpulses der Top-Paare. Insgesamt ändern sich
die meisten Verteilungen deutlich, sodass für diesen Energiebereich ebenfalls eine Validierung
durchgeführt wurde. Da für 10 TeV ausnahmslos dieselben Schlussfolgerungen wie für 7 TeV
gezogen wurden, soll nicht weiter darauf eingegangen werden. Beispiele der hier angesprochenen
Verteilungen finden sich im Anhang in Abbildung A.3.
Voll-hadronische Ereignisse
Bisher wurden nur semi- und dileptonische Zerfälle mit zwei bzw. vier Jets aus Top-QuarkZerfällen validiert. Voll-hadronische Zerfälle enthalten sechs Jets, die direkt aus dem Top-QuarkZerfall stammen. Folglich erhält man eine erhöhte Jet-Aktivität und insbesondere andere Formen
exklusiver Jet-Observablen, wogegen keine Auswirkungen auf die Kinematik auf Parton-Ebene
zu erwarten sind. Für Jets aus den zusätzlichen Emissionen lassen sich im weichen Bereich
geringe Unterschiede zu leptonischen Ereignissen feststellen, was jedoch eher auf Effekte der
Jet-Algorithmen zurückzuführen ist. Die Validierung von voll-hadronischen Ereignissen kam
zu demselben Schluss wie die leptonischer Ereignisse (beispielsweise in Abbildung A.4 im
Anhang).
Variation der Top-Masse
Datensätze mit unterschiedlicher Top-Masse können beispielsweise als Schablonen zur
Bestimmung der Top-Masse aus Messdaten benutzt werden. Dazu werden durchaus auch Massen
angenommen, die weitab des bisher gemessenen globalen Mittels liegen, um signifikantere
Einflüsse der Top-Masse auf bestimmte Größen zu erhalten (längerer Hebelarm“). Deutlich
”
andere Verteilungen erwartet man schon allein aufgrund der veränderten Kinematik des TopQuarks. Eine höhere Masse bewirkt im Mittel höhere Transversalimpulse des Top-Quarks,
was sich dann in allen Verteilungen der Top-Zerfälle widerspiegelt. Doch auch die Spektren
der Emissionen und die Jet-Multiplizitäten sind leicht erhöht, da die Top-Masse eine höhere
Evolutionsskala vorgibt. Für MC@NLO wurden neun Datensätze mit Massen zwischen
160 GeV und 190 GeV für leptonische sowie für voll-hadronische Zerfälle produziert. Eine
zusätzliche Validierung mit Powheg wurde für 160 GeV und 190 GeV durchgeführt. Wie
in den vorangegangen Vergleichen mit unterschiedlicher Schwerpunktenergie und dem vollhadronischen Zerfallskanal können die bisher getroffenen Aussagen auch hier übernommen
werden (siehe auch Abbildung A.5).
57
5 Analyse
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
Pythia erlaubt es, eine Reihe von Parametern zu variieren. So existieren auch einige Parameter,
die ISR und FSR unabhängig voneinander beeinflussen. Sie ermöglichen es somit, theoretische
Einflüsse zu quantifizieren, etwa für verschiedene Werte von Λ. Auch können die Monte-CarloVorhersagen, trotz der Unsicherheiten in den Modellen, gut mit den gemessenen Daten in
Einklang gebracht werden. Dieses sogenannte Tuning von Monte-Carlo-Generatoren ist in den
meisten Fällen ein Kompromiss zwischen der zugrundeliegenden Theorie und dem Experiment.
Zum Beispiel ist Λ eine Naturkonstante, und die Verwendung unterschiedlicher Werte in ISR
und FSR ist unphysikalisch, zumal der Wert auch mit dem Λ in den Partonverteilungsfunktionen
konsistent sein muss. Solange jedoch die Unsicherheiten in der Theorie zu groß sind, ist diese
Vorgehensweise die sinnvollste Möglichkeit für eine Anwendung im Experiment.
In diesem Abschnitt soll untersucht werden, ob ISR-/FSR-Tuning in Pythia weiterhin gültig
bleibt, wenn statt des Matrixelements in LO externe, mit Powheg erzeugte Ereignisse verwendet
werden3) . Der Fokus liegt hier auf fünf Parametern, die einen maßgeblichen Einfluss auf die
Emissionen zusätzlicher Partonen haben. Der Notation von Pythia folgend (siehe [55]) sind das:
• PARP(61): Dieser Parameter setzt explizit den Wert Λ, der in raumartigen Schauern benutzt
wird. Zur Erinnerung: In der Ein-Schleifen-Näherung ist die starke Kopplungskonstante
durch
1
(5.4)
αs (Q2 ) =
2
b ln Q
Λ2
gegeben (Kapitel 3.2). Ein größeres ΛISR ergibt also eine stärkere Kopplung. Da dies
eine höhere Emissions-Wahrscheinlichkeit zur Folge hat, kann mit diesem Parameter
ein direkter Einfluss auf die Anzahl der Emissionen genommen werden. Der in ATLAS
voreingestellte Wert, im Folgenden Default genannt, ist ΛISR = 0.192 GeV.
• PARP(62): Dieser infrarote Cutoff für ISR setzt die Schranke, unterhalb derer keine
weiteren Emissionen evolviert werden. Hier macht sich ein größerer Wert durch eine
geringere Anzahl von Emissionen bemerkbar, da der Schauer früher abgebrochen wird
(siehe Kapitel 4.2). Als Default wird hier pT,min = 2 GeV gewählt.
• MSTP(67) und PARP(67) regulieren die Power Shower [101]. Aufgrund von FarbkohärenzEffekten sind raumartige Emissionen oberhalb der Skala des harten Prozesses nicht möglich
(vergleiche Kapitel 4.2.3). Technisch wird dies in Pythia über ein Veto auf die härteste
Emission erreicht:
mdip
∗ PARP(67).
(5.5)
pT,max <
2
Dabei ist mdip die invariante Masse des emittierenden ISR-Partons und des damit
farbverbundenen Partons im Endzustand. Wie in Kapitel 4.4 erwähnt, bietet Pythia die
Möglichkeit, mithilfe eines Power Showers auch härtere Emissionen zuzulassen. Um
nicht vollständig auf Kohärenz-Effekte verzichten zu müssen, sind im Default Emissionen
m
oberhalb des Vetos zwar möglich sind, jedoch mit einem Faktor 2pdipT gedämpft. Der
Parameter PARP(67) hat als Default den Wert 4. Bei der Verwendung des Vetos, also bei
3 Von
nun an bezieht sich die Bezeichnung Powheg ausschließlich auf Powheg in Verbindung mit Pythia, wogegen
die Verwendung des Begriffs Pythia impliziert, dass kein externes Matrixelement benutzt wird.
58
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
voller Berücksichtigung der Farbkohärenz, wird dieser Wert hier auf 1 heruntergesetzt,
Emissionen somit restriktiver abgeschnitten.
• PARP(72): In Analogie zu ISR kann für FSR mit PARP(72) der Wert für Λ gesetzt werden.
Der Default bei ATLAS ist gleichfalls ΛFSR = 0.192 GeV.
• PARJ(82): Der infrarote Cutoff für FSR. Hier liegt der ATLAS-Default mit pT,min = 1 GeV
niedriger als in der ISR.
Ein direkter Vergleich von Pythia mit Powheg scheitert daran, dass Pythia Matrixelemente in LO
berechnet. Um nun die Effekte der Variationen zu verstehen, werden jeweils zwei Vergleiche
gegenübergestellt: Pythia mit Default-Einstellungen und Pythia mit variierten Parametern sowie
ein Vergleich mit jeweils denselben Einstellungen jedoch mit externem Powheg-Matrixelement.
Die Werte der Default-Einstellung wurden für alle Parameter aus Abschnitt 5.1.4 übernommen,
entsprechen also den ATLAS-Empfehlungen. Allein der Wert für PARP(62) weicht von den
aktuellen ATLAS-Einstellungen ab. Dieser wurde aus Gründen der Konsistenz mit Einstellungen,
die das Untergrundereignis besser beschreiben, gewählt [102]. Die Auswahl des Wertebereichs
für die Variation wurde im Wesentlichen aus verschiedenen ausführlichen Studien für Pythia
in Kombination mit dem externen Matrixelement AcerMC [103] zusammengestellt. Diese
Studien (siehe zum Beispiel [102, 104–106]) basieren wiederum auf verschiedenen PythiaTunes [107, 108]. Solange keine Daten aus dem ATLAS-Experiment vorlagen, war dies die
einzige Möglichkeit, die Unsicherheiten zu studieren. Tabelle 5.2 zeigt eine Übersicht der
variierten Parameter.
Tabelle 5.2: Variationsbereich der ISR- und FSR-Parameter in Pythia.
Wirkung
PARP(61)
PARP(62)
MSTP(67)/PARP(67)
PARP(72)
PARJ(82)
Default (D)
0.192 GeV
2 GeV
2/4
0.192 GeV
1 GeV
ISR↑
ISR↓
2D
1
2D
D − 1 GeV
D + 1 GeV
D/D
1/1
D
D
D
D
FSR↑
FSR↓
D
D
D
D
D/D
D/D
2D
1
2D
1
2D
2D
In dieser ersten Studie geht es hauptsächlich darum, ob die Effekte der Parameter-Variation in
beiden Fällen ähnlich sind, bzw. inwiefern Differenzen auf das unterschiedliche Matrixelement
zurückgeführt werden können. Dafür wird in einem ersten Schritt jeder Parameter einzeln
untersucht. Da von einem linearen Zusammenhang jedes Parameters auf die Observablen
ausgegangen wird, werden nur die extremalen Variationen untersucht. Im nächsten Schritt
werden PARP(61) und PARP(62) so gekoppelt, dass minimale (ISR↓), bzw. maximale (ISR↑)
ISR erreicht wird. Ebenso werden PARP(72) und PARJ(82) zu FSR↓ und FSR↑ kombiniert.
In Abschnitt 5.3.1 wird gezeigt, dass die Parameter für die Power Shower in Verbindung mit
Powheg nicht anwendbar sind. Diese werden deshalb in den Kombinationen nicht variiert.
Um einen ersten Eindruck der Einflüsse jedes einzelnen Parameters zu bekommen, wird in
Abbildung 5.11 für einige ausgewählte Observablen und jeden Parameter die Änderung des
59
5 Analyse
arithmetischen Mittels x̄ gezeigt. Dafür wird die Differenz der Mittelwerte auf die statistische
Unsicherheit
x̄i
∆x̄i = √
(5.6)
Ni
normiert (mit der Anzahl der Einträge Ni im Histogramm i):
δ x̄ = p
x̄1 − x̄2
(∆x̄1 )2 + (∆x̄2 )2
.
(5.7)
Da die Unsicherheit von der Anzahl der Einträge im Histogramm abhängt, sollten die
Histogramme möglichst die gleiche Anzahl an Einträgen haben. Die verwendeten Datensätze
basieren auf 285 · 103 bis 300 · 103 Ereignissen4) . Eine weitere Matrix zeigt die P-Werte
des χ 2 -Tests. Der dazu komplementäre Kolmogorov-Smirnov-Test liefert ähnliche Werte
und wird deshalb nicht gezeigt. Die Signifikanztests und Abweichungen der Mittelwerte
geben nur einen ausreichenden Ausschnitt der Histogramm-Vergleiche wieder und sollten
nicht überbewertet werden, insbesondere da die Anzahl der Einträge in den Histogrammen
verschiedener Observablen aufgrund unterschiedlicher Schnitte variiert.
5.3.1 Power Shower
Im Gegensatz zur Default-Einstellung, die einen gedämpften Power Shower erlaubt, lässt die
besprochene Änderung keine Emissionen oberhalb der Skala des harten Prozesses zu. Hier
wird zudem noch die Skala heruntergesetzt. Beide Einschränkungen des Phasenraums für ISR
lassen eine starke Abnahme sowohl der harten Emissionen als auch der Jet-Multiplizitäten
insgesamt erwarten. Dies spiegelt sich in Abbildung 5.12 wider, wo die Verteilungen für die
transversale Gesamtstrahlung (HT ) gezeigt wird. Diese Observable – auch effektive Masse (Meff )
genannt – ist die Summe der Transversalimpulse aller Jets und Leptonen, sowie der fehlenden
Transversalenergie E/T . Das gleiche Verhalten erkennt man in allen Jet-Observablen, und somit
letztlich auch in der Top-Kinematik, deutlich erkennbar in der Verschiebung der arithmetischen
Mittel (vorletzte Spalte in Abbildung 5.11(a)). Tatsächlich sind in Pythia die Unterschiede für
keinen anderen ISR-Parameter so ausgeprägt. Betrachtet man nun die Auswirkungen bei Powheg,
lassen sich kaum Unterschiede zwischen den Verteilungen feststellen. Untermauert wird diese
Erkenntnis durch die Signifikanztests, abgebildet in der letzten Spalte von Abbildung 5.11(b), die
eine sehr gute Übereinstimmung der Verteilungen aufzeigen: Der Power Shower hat also keinen
Einfluss, wenn das Matrixelement mit Powheg berechnet wird. Dies ist verständlich, wenn man
bedenkt, dass die härteste Emission in den meisten Fällen schon von Powheg generiert wurde.
Aufgrund der Ordnung des Schauers in pT kann danach keine härtere Emission erzeugt werden.
Da der Power Shower eine Methode ist, in dem LO-Generator Pythia einzelne Effekte höherer
Ordnung zu simulieren, ist dieses Verhalten bei Powheg folgerichtig. Auch ist das Verhalten von
Pythia mit Power Shower dem von Powheg ähnlicher als ohne. Für die folgende Analyse der ISR
wird er somit nicht weiter variiert. Stattdessen wird im Folgenden ausschließlich der gedämpfte
Power Shower benutzt.
4 Die
Anzahl der Ereignisse kann nicht immer exakt vorgegeben werden, da die Simulation vereinzelter Ereignisse
fehlschlagen kann.
60
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
(a)
(b)
Abbildung 5.11: Übersicht der Ergebnisse ausgewählter Observablen (y-Achse) zu den
einzelnen Parameter-Variationen und den kombinierten ISR- und FSR-Variationen (x-Achse).
Verglichen wird jeweils mit den Verteilungen für die Default-Einstellungen. Jedem Parameter
sind zwei Spalten zugeordnet: Pythia in der linken, Powheg in der rechten Spalte. Oben wird die
relative Änderung des arithmetischen Mittels dargestellt: Ein blauer Eintrag bedeutet, dass die
Default-Einstellung einen größeren Mittelwert hat, Rot kennzeichnet einen kleineren Mittelwert.
Weiße Einträge entsprechen einer Differenz von Null. Der Wertebereich ist auf δ x̄ ∈ [−10, 10]
beschränkt. Die untere Matrix zeigt die P-Werte des χ 2 -Tests: Je besser die Übereinstimmung,
desto satter ist das Grün des zugehörigen Eintrags. Eine genaue Aufschlüsselung der Observablen
ist in Anhang A.2 zu finden.
61
-------
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
Kolmogorov-Smirnov Test: 70.42%
χ 2/ndf: 0.81, χ2 Prob: 88.99%
h_HT10
h_HT10
298888
299013
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
298888
430.6
401
430.6
160.7
130.7
160.7
h_HT10
10 -2
Entries
299013
Mean
401
RMS
130.7
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
---- Pythia
---- Pythia
5 Analyse
1
Ratio
Ratio
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
0.5
0
RMS
148.7
h_HT10
10 -2
Entries
16262
Mean
417.9
RMS
148
10 -3
10 -3
10 -42
0
h_HT10
h_HT10
Entries 309235
Entries
16262
Entries
309235
Mean
417.9
418.9
RMS
Mean
418.9
148.7
148
10 -42
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
1
200
400
600
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:10 2010
(a)
800
1000
HT [GeV]
0.5
0
200
400
600
800
1000
HT [GeV]
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:13 2010
(b)
Abbildung 5.12: Auswirkung der Power Shower auf die transversale Gesamtstrahlung (HT )
für Pythia (a) und Powheg (b): Default (blau) und Veto auf Power Shower (orange). In die
Berechnung von HT gehen nur Objekte mit einem Transversalimpuls größer als 10 GeV ein.
Logarithmische Darstellung.
5.3.2 ISR
Obwohl PARP(61) und PARP(62) für ISR in ihrer Funktion den Parametern PARP(72) und
PARJ(82) für FSR entsprechen, ist für die Variation der ISR ein stärkerer Effekt zu erwarten
als für FSR. Dies liegt daran, dass in der ISR durch die Energie des einlaufenden Partons ein
weitaus größerer Phasenraum zur Verfügung steht, während die FSR auf die Energie der beiden
Top-Quarks beschränkt ist. Mit Blick auf Abbildung 5.11 erkennt man in Pythia eine deutliche
Verschiebung der Mittelwerte bei der Variation der ISR-Parameter. Erwartungsgemäß ergibt
eine verstärkte ISR-Aktivität eine größere Anzahl an Jets. Zudem werden Jets mit großem
Transversalimpuls noch härter, da die Wahrscheinlichkeit einer harten Emission steigt. Es fällt
auf, dass die Variation von ΛISR die Änderungen in ISR dominiert. Eine geänderte untere
Evolutionsskala wirkt sich auf die Region weicher Jets aus und fällt nicht so stark ins Gewicht,
zumal die meisten Observablen einen Schnitt auf pT > 10 GeV beinhalten. Anhand des mittleren
Transversalimpulses aller Jets lässt sich der Zusammenhang erkennen: Eine kleinere AbbruchSkala pT,min erlaubt mehr weiche Emissionen, wodurch das Spektrum im Mittel weicher ist.
Dass ein ähnlicher Effekt auch bei PARP(61) sichtbar ist, legt nahe, dass eine Änderung auch
hier noch stärker die niederenergetischen Jets beeinflusst. Die kombinierten ISR-Variationen
ergeben etwa fünf Prozent mehr bzw. weniger Jets mit pT > 10 GeV. Damit hängt auch die
Zentralität der Ereignisse zusammen. Dabei handelt es sich um eine sogenannte Event-ShapeObservable, die eine Abschätzung des Transversalanteils an den Impulsen der Jets angibt. Sie ist
hier definiert als der Anteil der Summe aller Transversalimpulse der Jets pT,i an der Summe der
62
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
Jet-Impuls-Beträge |pi |:
C=
∑ pT,i
.
∑ |pi |
(5.8)
Obwohl die gesamte Transversalstrahlung HT bei erhöhter ISR zunimmt, nimmt die Zentralität
ab (siehe Abbildung 5.13). Emissionen mit einem kleinen Transversal- zu LongitudinalimpulsVerhältnis, was ebenjenen weichen Jets entspricht, werden also noch stärker unterdrückt als
härtere Jets.
Bei Verwendung von Powheg fallen die Unterschiede für die Variationen in der ISR geringer
aus. Die Unterschiede in der Anzahl der Jets mit pT > 10 GeV belaufen sich auf etwa 3%.
Während Änderungen in der ISR bei Pythia durch den Power Shower auf einen größeren
Phasenraum wirken, ist, wie in Abschnitt 5.3.1 gesehen, der Power Shower bei Powheg
nicht wirksam. Da er jedoch einen starken Effekt auf die ISR hat, sind die Unterschiede bei
Pythia zwangsläufig größer. Dennoch lassen sich für die Observablen bei Powheg die gleichen
Tendenzen in der Verschiebung der Spektren ausmachen.
5.3.3 FSR
Wie eingangs erwähnt, unterscheidet sich die Phänomenologie der FSR von der ISR, da
den Emissionen nur die Energie der Top-Quarks aus dem harten Prozess zur Verfügung
steht. Diese Beschränkung sieht man in Abbildung 5.11: Für eine verstärkte FSR nehmen
die Jet-Multiplizitäten härterer Jets zwar ab, auf der anderen Seite erhält man jedoch eine
signifikant größere Anzahl an weichen Jets. Ein weiterer Unterschied ist die Richtung der
emittierenden Partonen. In der ISR verlaufen die emittierenden Partonen annähernd parallel zur
Strahlachse. Harte Emissionen können somit im Idealfall auch in Form harter Jets im Detektor
gemessen werden. Hingegen haben die emittierenden Partonen in der FSR einen signifikanten
Transversalimpuls, wodurch aus einer harten Emission nicht unbedingt ein harter Jet resultiert.
Vielmehr ist es möglich, dass aus einem härteren Parton zwei weichere entstehen. Tatsächlich
erkennt man in Abbildung 5.11 im Vergleich mit der ISR eine entgegengesetzte Tendenz für
den Großteil der Observablen. Insgesamt sind die Effekte jedoch weniger ausgeprägt, deutlich
sichtbar am Beispiel des Transversalimpuls vom Top-Antitop-System, der im Gegensatz zur ISR
annähernd unbeeinflusst bleibt.
Im Falle von Powheg sieht man jetzt, dass die Einflüsse für die FSR in der gleichen
Größenordnung liegen wie bei Pythia. Teilweise sind die Auswirkungen bei Powheg sogar
stärker. Besonders deutlich wird dies am Beispiel des Anteils der Energie des b-Jets an der
Energie des Bottom-Quarks:
Eb−Jet
.
(5.9)
Eb
Während die Verteilung in Abbildung 5.14 für Pythia keinen besonderen Einfluss der FSRVariation aufweist, sieht man, dass die b-Jets bei Powheg durch die erhöhte FSR signifikant mehr
Energie verlieren. Ein Grund könnten Unterschiede in der oberen Evolutionsskala für die FSR
sein.
Der Einfluss der nicht variierten Parameter kann bei Pythia groß sein. Eine erste Studie
bei 10 TeV mit demselben Variationsbereich, deren übrige Parameter jedoch auf einer älteren
Empfehlung (MC08) basierte, kam zu teilweise anderen Schlüssen. Zum Beispiel wurde fast kein
63
5 Analyse
-------
Pythia
Pythia
h_HT10
h_HT10
298964
298888
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
298888
430.6
442.3
430.6
160.7
164.6
RMS
160.7
h_HT10
10 -2
Entries
298964
Mean
442.3
RMS
164.6
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
h_HT10
h_HT10
309235
309217
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -2
Entries
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
Pythia
Pythia
200
400
600
Ratio
10 -42
0
10 -42
0
309217
Mean
423.2
RMS
150.8
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
----1
0.5
---0
800
1000
HT [GeV]
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
200
400
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:15 2010
0.16
RMS
298888
0.5067
0.493
0.5067
0.2046
0.2016
0.2046
h_cent10
0.14
Entries
0.12
298964
Mean
0.493
RMS
0.2016
0.1
Normalized to Unit Area
h_cent10
h_cent10
298964
298888
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
h_cent10
Entries
0.02
0.02
Ratio
0.04
1.5
0
2 0
1
1
0.5
0.2
0.4
0.6
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:20 2010
(c)
0.8
1
Centrality
309217
Mean
0.4778
RMS
0.2052
0.2
0.4
0.6
0.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.5
0.5
0
0.2057
0.1
0.04
1
309235
0.4862
0.4778
0.4862
0.2057
0.2052
h_cent10
0.12
0.06
0.8
RMS
0.14
0.06
0.6
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.16
0.08
0.4
h_cent10
309235
309217
0.18
0.08
0.2
800
1000
HT [GeV]
(b)
0.18
0
2 0
600
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:17 2010
(a)
Normalized to Unit Area
148.7
h_HT10
10 -3
----1
0.5
---0
Ratio
309235
418.9
423.2
418.9
148.7
150.8
RMS
10 -3
Ratio
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
0
1
Centrality
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:22 2010
(d)
Abbildung 5.13: Logarithmische Darstellung für die Verteilungen der transversalen
Gesamtstrahlung, HT (oben), und der Zentralität (unten) für Pythia auf der linken und Powheg
auf der rechten Seite. Die blaue Verteilung repräsentiert die Default-Einstellungen, Orange steht
für ISR↑.
64
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
-------
Pythia
Pythia
h_HT10
h_HT10
298888
298972
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
298888
430.6
427.3
430.6
160.7
159.7
160.7
h_HT10
10 -2
Entries
298972
Mean
427.3
RMS
159.7
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
h_HT10
h_HT10
309235
314946
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
148.7
10 -2
Entries
314946
Mean
412.4
RMS
149.4
10 -42
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
Pythia
Pythia
200
Run Test: 97.79%
400
600
Ratio
10 -3
----1
0.5
---0
10 -42
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1.5
----1
0.5
---0
800
1000
HT [GeV]
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
200
400
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:24 2010
600
800
1000
HT [GeV]
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:26 2010
(b)
h_bbbar_bj_eratio
h_bbbar_bj_eratio
0.22
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.2
RMS
0.18
539006
538632
538632
0.8813
0.8798
0.8813
0.2093
0.2085
0.2093
h_bbbar_bj_eratio
0.16
Entries
Mean
539006
0.8798
0.14
RMS
0.2085
0.12
Normalized to Unit Area
(a)
Normalized to Unit Area
309235
412.4
418.9
418.9
149.4
148.7
h_HT10
10 -3
Ratio
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
0.25
h_bbbar_bj_eratio
h_bbbar_bj_eratio
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.2
RMS
560390
564886
560390
0.8844
0.8676
0.8844
0.2033
0.2063
0.2033
h_bbbar_bj_eratio
Entries
0.15
0.1
564886
Mean
0.8676
RMS
0.2063
0.1
0.08
0.06
0.05
0.04
0
2 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.5
Ratio
Ratio
0.02
0
2 0
1
1
0.5
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:29 2010
(c)
1
1.2
1.4
EB-jet /E b
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.5
0
1.4
EB-jet /E b
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:31 2010
(d)
Abbildung 5.14: Logarithmische Darstellung der transversalen Gesamtstrahlungsverteilung, HT
(oben), und des Anteils der Energie des b-Jets an der Energie des Bottom-Quarks (unten) für
Pythia auf der linken und Powheg auf der rechten Seite. Die blaue Verteilung repräsentiert die
Default-Einstellungen, Orange steht für FSR↑.
65
5 Analyse
Einfluss der FSR festgestellt. Mit den hier verwendeten Parametern können die angesprochenen
Resultate für 7 TeV jedoch uneingeschränkt für 10 TeV übernommen werden.
5.3.4 Selektionseffizienz
Um im Experiment aus der Menge aller Ereignisse jene zu identifizieren, die Top-Quarks
enthalten, werden Schnitte auf bestimmte Objekte gemacht. Semileptonische Ereignisse haben
zum Beispiel mindestens vier Jets (zwei b-Jets und zwei aus dem W -Zerfall) sowie ein isoliertes
Lepton und ein Neutrino im Endzustand. Zur Identifikation wären zum Beispiel folgende Schnitte
sinnvoll:
1. Fehlende Transversalenergie E/T > 20 GeV.
2. Genau ein isoliertes Lepton mit pT > 20 GeV und Pseudorapidität η < 2.5.
3. Mindestens vier Jets mit einem Transversalimpuls pT > 20 GeV.
4. Davon mindestens drei Jets mit pT > 40 GeV.
5. Hier zudem: Drei-Jet-Kombination |m2−Jet − mW | < 10 GeV (siehe Abschnitt 5.3.5).
Dagegen weist die Signatur dileptonischer Zerfälle statt der beiden W -Jets ein weiteres isoliertes
Lepton und ein Neutrino auf. Deswegen werden häufig folgende Schnitte benutzt:
1. Fehlende Transversalenergie E/T > 20 GeV.
2. Ein isoliertes Lepton mit pT > 20 GeV und Pseudorapidität η < 2.5.
3. Ein zweites isoliertes Lepton mit pT > 20 GeV und Pseudorapidität η < 2.5.
4. Mindestens zwei Jets mit einem Transversalimpuls pT > 20 GeV.
Mit Blick auf die jeweiligen Verteilungen der Objekte wird klar, dass mit diesen Schnitten nicht
alle Top-Ereignisse erfasst werden. Auch können die Schnitte nichttriviale Auswirkungen auf
komplexere Observablen haben, die man meistens nur mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen
analysieren kann.
Eine wichtige experimentelle Anwendung ist die Bestimmung von Selektionseffizienzen.
Diese geben an, welcher Anteil aller Ereignisse mit den Schnitten erfasst werden kann.
Hier bestimmen die untersuchten Generatoren die Selektionseffizienz nach den ersten vier
Schnitten auf ungefähr 40%. Um zum Beispiel den totalen Wirkungsquerschnitt für die TopPaar-Produktion zu messen, kann man von der gemessenen Anzahl Ereignisse Nmes den
Untergrund Nbkg abziehen, durch die integrierte Luminosität Lint teilen und anschließend mit der
Selektionseffizienz ε normieren:
Nmes − Nbkg
σt t¯ =
.
(5.10)
εLint
Die Selektionseffizienzen und häufig auch der Untergrund werden typischerweise über MonteCarlo-Simulationen berechnet, und es ist wichtig, die systematischen Unsicherheiten zu kennen.
Die Analyse hier beschränkt sich allerdings auf Generatorniveau.
66
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
In Abbildung 5.15 ist der Einfluss erhöhter ISR und FSR auf die Selektionseffizienz
semileptonischer Zerfälle dargestellt. Tabelle 5.3 lassen sich die genauen Ergebnisse entnehmen.
Die Reihenfolge der Schnitte ist so gewählt, dass die Schnitte auf die Jets am Schluss erfolgen,
damit Überschneidungen mit den leptonischen Schnitten vermieden werden. Unterschiede
erkennt man vor allem in den Schnitten auf die Jet-Multiplizitäten. Bei ISR überwiegen die
Differenzen in Pythia, Powheg weist für FSR stärkere Unterschiede auf. Die Ergebnisse sind
konsistent mit den Erkenntnissen aus den Abschnitten 5.3.2 und 5.3.3: Für ISR↑ sowie FSR↓
ergeben sich mehr harte Jets als für den Default (Übersicht in Abbildung 5.11), sodass mehr
Ereignisse die Schnitte passieren und die Selektionseffizienz größer ist. In der letzten Spalte
von Tabelle 5.3 erkennt man, dass bei Pythia der Schnitt auf die W -Masse die Einflüsse der
Variationen relativiert, wogegen sie bei Powheg noch verstärkt werden.
In dileptonischen Ereignissen sind die Effekte gering und werden hier nicht gezeigt. Bei einer
Schwerpunktenergie von 10 TeV ergeben sich ähnliche Schlüsse für leptonische Ereignisse.
Tabelle 5.3: Selektionseffizienzen εi semileptonischer Ereignisse nach den Schnitten 1, . . . , i und
relative Veränderung im Vergleich zum Default (in Klammern). Gerundete Angaben in Prozent.
Variation
ε1
ε2
ε3
ε4
ε5
Pythia Default
90.0
73.7
58.4
41.5
14.9
Pythia ISR↑
Pythia ISR↓
90.0 ( 0.0) 73.8 (+0.1) 60.2 (+3.2) 43.7 (+5.1) 15.1 (+1.7)
90.2 (+0.2) 73.8 (+0.2) 57.1 (−2.1) 40.0 (−3.6) 14.5 (−2.5)
Pythia FSR↑
Pythia FSR↓
90.2 (+0.2) 73.8 (+0.1) 57.9 (−0.9) 40.9 (−1.6) 14.7 (−1.3)
90.2 (+0.2) 73.9 (+0.3) 59.9 (+2.7) 43.2 (+4.1) 15.2 (+2.5)
Powheg Default
90.3
73.9
Powheg ISR↑
Powheg ISR↓
90.4 ( 0.0)
90.3 ( 0.0)
73.9 ( 0.0) 58.6 (+0.6) 40.8 (+0.9) 14.9 (+0.6)
73.7 (−0.2) 57.8 (−0.7) 40.3 (−0.5) 14.8 (−0.2)
Powheg FSR↑
Powheg FSR↓
90.3 ( 0.0)
90.3 ( 0.0)
74.0 (+0.1) 56.2 (−3.5) 37.8 (−6.5) 13.7 (−7.6)
73.8 (−0.1) 59.6 (+2.3) 42.7 (+5.4) 15.7 (+6.3)
58.2
40.5
14.8
5.3.5 Rekonstruktion der Top-Masse
Aufgrund der klaren Signatur lassen sich in semileptonischen Zerfällen die gemessenen Objekte
relativ gut identifizieren. Wurden die Objekte des Top-Quark-Zerfalls richtig zugeordnet, besteht
die Möglichkeit einer vollständigen Rekonstruktion der Top-Masse. Hier soll kurz eine Methode
untersucht werden, die ohne das sogenannte b-Tagging, also die Identifizierung von Jets aus
Bottom-Quarks, auskommt. Ausgangspunkt sind die Ereignisse, die die oben genannten Schnitte
eins bis vier für semileptonische Zerfälle passiert haben. Dann werden aus allen Jets jedes
Ereignisses drei Jets ausgewählt, die den größten gemeinsamen Transversalimpuls besitzen.
Basierend auf der Annahme, dass die Top- und Antitop-Quarks die härtesten Objekte im
Ereignis sind, sollten diese drei Jets dem Bottom-Quark und dem W -Boson aus einem Top67
5 Analyse
---- Pythia
Bin Content 1-5: 0.900, 0.737, 0.584, 0.415, 0.149
---- Pythia
---- Powheg+Pythia
Bin Content 1-5: 0.903, 0.739, 0.582, 0.405, 0.148
---- Powheg+Pythia
Bin Content 1-5: 0.904, 0.739, 0.586, 0.408, 0.149
Difference 1-5: +0.0%, +0.0%, +0.6%, +0.9%, +0.6%
h_seleff1
h_seleff1
Entries 1446096
1446312
Entries
1446312
Mean
1.725
1.747
RMS
Mean
1.725
1.472
1.478
1
RMS
1.472
RMS
1.747
Mean
1.721
RMS
1.478
RMS
1.469
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
1
2
3
4
5
Ratio
0
1.5
RMS
1/events
h_seleff1
Mean
1.684
RMS
1.468
RMS
1.452
0.2
5
1.5
0
2
1
1
0.5
3
4
5
Selection Efficiency
C. Wasicki, Tue Jun 8 00:48:56 2010
(c)
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
Selection Efficiency
1.5
0.5
2
Entries 1521870
1.718
0.2
1
1.468
h_seleff1
Mean
0.4
0
Entries 1521870
1498962
Entries
1498962
Mean
1.684
1.717
RMS
Mean
1.717
1.468
1.452
RMS
0.4
4
5
h_seleff1
0.6
3
4
1
0.6
2
3
0.8
Entries 1447590
1
2
1.472
h_seleff1
Ratio
1/events
h_seleff1
Entries 1447590
1446312
Entries
1446312
Mean
1.725
1.718
RMS
Mean
1.725
1.472
1.468
0
1
(b)
h_seleff1
0
2
0
1.5
Bin Content 1-5: 0.903, 0.740, 0.562, 0.378, 0.137
C. Wasicki, Tue Jun 8 00:48:53 2010
Difference 1-5: +0.0%,
+0.1%, -3.5%, -6.5%, -7.6%
(a)
0.8
0
2
----1 Powheg+Pythia
0.5
Bin
Content 1-5: 0.903, 0.739, 0.582, 0.405, 0.148
1
2
3
4
5
---- 0 Powheg+Pythia
Selection Efficiency
Bin Content 1-5: 0.902, 0.738, 0.579, 0.409, 0.147
C. Wasicki, Tue Jun 8 00:48:51 2010
Difference 1-5: +0.2%,
+0.1%, -0.9%, -1.6%, -1.3%
1
Entries 1496742
Mean
0.6
0
2
1.468
h_seleff1
0.8
Entries 1446096
----1 Pythia
0.5
Bin
Content 1-5: 0.900, 0.737, 0.584, 0.415, 0.149
2
3
4
5
---- 0 Pythia 1
Selection Efficiency
Ratio
h_seleff1
h_seleff1
Entries 1496742
1498962
Entries
1498962
Mean
1.717
1.721
RMS
Mean
1.717
1.468
1.469
1
h_seleff1
0.8
Ratio
1/events
1/events
Bin Content 1-5: 0.900, 0.738, 0.602, 0.437, 0.151
Difference 1-5: +0.0%, +0.1%, +3.2%, +5.1%, +1.7%
C. Wasicki, Tue Jun 8 00:48:58 2010
(d)
Abbildung 5.15: Selektionseffizienz verschiedener Schnitte für semileptonische Ereignisse.
Jeder Eintrag i zeigt den Anteil aller Ereignisse, die alle Schnitte 1, . . . , i passiert haben, an der
Gesamtanzahl. Die Nummer des jeweiligen Eintrags entspricht den Nummern in der Aufzählung
im Text. Oben: ISR↑, unten: FSR↑. Links: Pythia Default (blau) gegen Pythia mit variierten
Parametern, rechts: Powheg Default gegen Powheg mit variierten Paramtern.
68
5.3 ISR- und FSR-Variation mit Pythia
Zerfall zugeordnet werden können. Die letzte Annahme kann gestützt werden, indem man
überprüft, ob die invariante Masse einer beliebigen Zwei-Jet-Kombination aus der Drei-JetKombination, m2−Jet , innerhalb eines Toleranzfensters der W -Masse mW entspricht (hier betrug
die Toleranz 10 GeV). Diese letzte Bedingung entspricht dem fünften oben genannten Schnitt
für semileptonische Zerfälle. Die Verteilung der invarianten Masse der Drei-Jet-Kombination
hat einen Peak im Bereich um die Top-Masse, jedoch auch einen großen Untergrundanteil, der
vorwiegend durch die falsche Zuordnung der Jets zustande kommt. Zusätzlich wird die Verteilung
der invarianten Masse der Jets untersucht, die mittels der in Abschnitt 5.1.2 beschriebenen
Methode auf Parton-Ebene identifiziert wurden. Die beiden Verteilungen wären identisch, wenn
es sich bei der Drei-Jet-Kombination immer um die Jets aus ein und demselben Top- bzw.
Antitop-Quark handeln würde.
Die Effekte auf die Verteilung der Jets, die auf Parton-Ebene identifiziert wurden, sind für
ISR gering. Eine stärkere ISR verschiebt das Spektrum ein wenig zu höheren Massen, auch hier
für Pythia etwas stärker als für Powheg. Auf die Masse der Drei-Jet-Kombination kann aufgrund
der geringen Statistik kein Einfluss festgestellt werden. Signifikante Unterschiede sieht man bei
der Variation FSR↑ in Abbildung 5.16: Wie auch schon in Abschnitt 5.3.3 anhand der Energie
des b-Jets deutlich wurde, bleiben die Spektren bei Pythia nahezu unverändert, wogegen die
FSR bei Powheg den Jets aus dem Top-Quark-Zerfall einen signifikanten Anteil der Jet-Energie
entzieht, sodass die invariante Masse kleiner wird. Der Einfluss ist hier auch in der Masse der
Drei-Jet-Kombination deutlich sichtbar. Für FSR↓ ist dieser Unterschied zwischen Powheg und
Pythia etwas weniger ausgeprägt (siehe Abbildung A.7 im Anhang). Ein Schnitt auf die W -Masse
ist in der Praxis nicht unüblich. In auf Monte-Carlo-Simulationen basierenden Methoden könnten
die aufgezeigten Unterschiede zwischen Powheg und dem weit verbreiteten Pythia-Generator
Probleme aufwerfen, da die Einflüsse der Variationen unterschätzt würden.
An diesem Punkt sollte bemerkt werden, dass seit Kurzem unter den Autoren von MC@NLO
und Powheg diskutiert wird, ob bei der ISR-/FSR-Variation die NLO-Eigenschaften von
Powheg erhalten bleiben. Da Emissionen im Pythia-Formalismus unterhalb der Energieskala der
härtesten Emission stattfinden, sollten diesbezüglich keine Probleme zu erwarten sein. Bis zum
Abschluss dieser Arbeit lagen keine theoretischen Erkenntnisse vor, welche die hier angewandte
Methode in Frage stellen. Auch war nicht bekannt, worin sich die Zweifel begründen. Vor einer
abschließenden Bewertung der Ergebnisse müsste diese Frage jedoch geklärt werden.
69
5 Analyse
---- Pythia
-------
----
Entries 108786
Entries
108711
Entries
108786
Mean
151.9
152.2
RMS
Mean
152.2
23.03
23.14
0.035
RMS
0.03
23.14
h_ttbar_mj
Entries
0.025
108711
Mean
151.9
RMS
23.03
0.02
Normalized to Unit Area
h_ttbar_mj
h_ttbar_mj
Entries
0.005
200
220
240
Ratio
180
1.5
1
---0.5
---100
Pythia
Pythia
120
140 160 180 200
Kolmogorov-Smirnov Test: 45.91%
2
χ /ndf: 0.95, χ2 Prob: 62.84%
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:43 2010
Run Test: 3.16%
0
2
100
120
140
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
120
140 160
Run Test: 69.65%
RMS
33.78
h_ttbar_mj3
Entries
35388
Mean
155.5
RMS
33.36
Normalized to Unit Area
35839
155.8
155.5
33.78
33.36
155.8
0.015
240
220 240
m [GeV]
240
1
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
36988
155.6
154.7
33.14
33.08
155.6
RMS
33.08
h_ttbar_mj3
Entries
34693
Mean
154.7
RMS
33.14
0.015
Ratio
220
1.5
0.5
100
200
0.02
0.005
200
180
0.025
0.005
180
220
h_ttbar_mj3
0.01
160
200
h_ttbar_mj3
36988
34693
0.01
Ratio
Normalized to Unit Area
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.02
140
180
(b)
h_ttbar_mj3
35839
35388
120
22.22
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:45 2010
h_ttbar_mj3
0
2
100
149.8
RMS
1.5
(a)
0.025
160
----1
0.5
---100
220 240
m [GeV]
111539
Mean
0.02
0.005
160
22.02
h_ttbar_mj
0.025
0.01
140
116923
149.8
153.8
153.8
22.02
22.22
RMS
0.03
0.01
120
h_ttbar_mj
h_ttbar_mj
111539
116923
Entries
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.035
0.015
0
2
100
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
0.04
0.015
Ratio
Normalized to Unit Area
Pythia
Kolmogorov-Smirnov Test: 17.54%
2
χ /ndf: 1.01, χ2 Prob: 44.7%
Run Test: 9.53%
0
2
100
120
140
160
180
200
220
240
120
140
160
180
200
220 240
m [GeV]
1.5
1
120
140
160
180
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:47 2010
(c)
200
220 240
m [GeV]
0.5
100
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:49 2010
(d)
Abbildung 5.16: Die Verteilung der invarianten Masse der Jets aus dem Top-Zerfall (oben). Hier
werden nur Ereignisse verwendet, in denen allen Partonen aus dem Top-Zerfall unterschiedliche
Jets zugeordnet werden können. Unten: Verteilung für die Drei-Jet-Kombination. Werte außerhalb
des sichtbaren Bereichs werden nicht dargestellt. Jeweils auf der linken Seite: Pythia Default
(blau) und Pythia FSR↑ (orange). Auf der rechten Seite: Powheg Default (blau) und Powheg
FSR↑ (orange).
70
6 Fazit und Perspektiven
In dieser Arbeit wurde der neue Ansatz von Powheg anhand der Top-Paar-Erzeugung in
NLO untersucht und dem etablierten NLO-Generator MC@NLO gegenübergestellt. Powheg
vermeidet einige Unzulänglichkeiten von MC@NLO, wie zum Beispiel die Abhängigkeit
der Methode von der Wahl des Partonschauers und das Auftreten unterschiedlich oder gar
negativ-gewichteter Ereignisse. Im Rahmen der Validierung wurde die Kinematik sowohl auf
Parton- als auch Parton-Jet-Ebene überprüft. Insgesamt wurde eine gute Übereinstimmung der
Kinematik beider Generatoren festgestellt. Die Unterschiede sind in ihrer Größenordnung mit
dem Einfluss unterschiedlicher Partonschauer vergleichbar. Der Vergleich zeigte, dass PowhegEreignisse im Schnitt etwas größere Transversalimpulse für die härteste Emission aufweisen.
Da dessen Wirkungsquerschnitt auch Terme jenseits von NLO enthält, wird das Spektrum der
Rapiditäts-Differenz zwischen dem Top-Antitop-System und der härtesten Emission besser
dargestellt als bei MC@NLO. Unterschiede wurden in den Jet-Multiplizitäten deutlich, deren
Ursprung nicht eindeutig geklärt werden konnte. Das Fehlen von Vetoed-Truncated Showers
scheint in Bezug auf Top-Paar-Physik keinen praktischen Einfluss zu haben. Ein Vergleich des
Energieflusses in den Regionen zwischen den Jets könnte Aufschluss über deren Bedeutung
im Allgemeinen liefern (siehe [109]). Das positive Ergebnis dieser Validierung führte dazu,
dass im ATLAS-Experiment Powheg neben MC@NLO standardmäßig zur Produktion von
Top-Paar-Ereignissen angewendet wird. Ein Nachteil bleibt jedoch weiterhin, dass bisher noch
kein auf der Powheg-Methode basierender Generator für die mit W -Bosonen assoziierte TopEinzelproduktion existiert. Aufgrund ähnlicher Signaturen stellt dieser Zerfallskanal einen
wichtigen Untergrund zu semileptonischen Top-Paar-Zerfällen dar.
Im zweiten Teil der Analyse wurde die in Pythia gängige Methode der ISR-/FSR-Variation
auf Powheg mit Pythia übertragen und auf Gültigkeit überprüft. Für die meisten untersuchten
Observablen wurden die gleichen Tendenzen in Bezug auf die jeweilige Variation festgestellt.
Gleichwohl ergeben sich Unterschiede in der Größenordnung der Auswirkungen. Während
der Einfluss von ISR-Variationen bei Pythia ungleich stärker ist, überwiegen bei Powheg die
Variationen in der FSR, was sich auch in den Selektionseffizienzen und der rekonstruierten TopMasse bemerkbar macht. Diese experimentell wichtigen Größen erfordern eine abschließende
Validierung, was eine weitergehende Untersuchung, auch von theoretischer Seite, unumgänglich
macht. Da der Wertebereich der Parameter-Variationen aus Studien mit anderen Matrixelementen
übernommen wurde, wäre dessen Anpassung an Powheg ein erster Ansatz, um vergleichbare
Einflüsse zu erzielen. Außerdem wurde gezeigt, dass der Power Shower unter Verwendung
von Powheg keine Auswirkungen hat. Eine Anpassung der Power Shower in Pythia könnte das
beobachtete unterschiedliche Verhalten in der ISR abmildern. Diese Änderung setzt jedoch ein
gutes Verständnis der Pythia-Parameter und deren sinnvollen Variationsbereich voraus.
Der hier untersuchte Energiebereich von bis zu 10 TeV ist physikalisches Neuland, und bis
zum Abschluss dieser Arbeit lagen keine verwertbaren Messdaten für diesen Energiebereich
vor. Deshalb sind Vergleiche mit Generatoren, die sich in anderen Experimenten bewährt haben,
71
6 Fazit und Perspektiven
die einzige Möglichkeit, neue Methoden zu überprüfen. Letztlich entscheidet jedoch über die
Gültigkeit eines Monte-Carlo-Generators sowie sinnvolle Parameter immer das Experiment.
72
A Anhang
A.1 Definition von atan2

arctan( xy )





π + arctan( xy )



−π + arctan( y )
x
atan2(y, x) = π
2





− π2



nicht definiert
x>0
y ≥ 0, x < 0
y < 0, x < 0
y > 0, x = 0
y < 0, x = 0
y = 0, x = 0
(A.1)
A.2 Untersuchte Observablen
Die analysierten Objekte umfassen:
• Top- und Antitop-Quarks,
• aus dem Top-Quark-Zerfall: Bottom-Quarks und daraus resultierende b-Jets sowie das W Boson und deren Zerfallsprodukte Lepton, Neutrino und Parton-Jets aus dem hadronischen
Zerfall,
• Parton-Jets insgesamt sowie unterteilt in Jets aus dem Top-Zerfall und Jets aus der Emission
zusätzlicher Partonen. Außerdem jeweils einzeln die vier härtesten Jets und die beiden
härtesten Jets aus den Emissionen.
• Zum Vergleich: Ausschließlich Jets aus den Partonen, die explizit nicht aus dem Top-Zerfall
stammen.
Für alle Objekte wurden folgende Observablen untersucht:
• Transversalimpuls pT ,
• Rapidität y,
• Pseudorapidität η,
• Azimutwinkel φ .
73
A Anhang
Top-Antitop-System
Im Top- und Antitop-Quark-System wurden weitere Observablen untersucht:
• Longitudinalimpuls
pz , Energie E, Impuls |p| sowie maximaler Transversalimpuls
max ptT , ptT¯ ,
• Transversalimpuls des Top-Antitop-Systems ptTt¯ ,
• Masse des Top- und Antitop-Quarks m,
t¯ ,
• Invariante Masse des Top- und Antitop-Systems mtinv
t
t¯
• Summe der Transversalimpulse von Top- und Antitop-Quark psum
T = pT + pT ,
• Differenz der Transversalimpulse von Top- und Antitop-Quark ∆ptTt¯ ,
• Differenz der Rapiditäten von Top- und Antitop-Quark ∆yt t¯,
• Winkel zwischen den Impulsen von Top- und Antitop-Quark ∆φt t¯,
• Abstand im R-Raum zwischen Top- und Antitop-Quark ∆Rt t¯,
• Rekonstuierte Top-Masse über die Zuordnung von Parton-Jets zu Partonen,
• Rekonstruierte Top-Masse aus der Drei-Jet-Kombination (siehe 5.3.5).
Weitere Observablen auf Parton-Ebene
E
Es wurde das Verhältnis der Energie des b-Jets zu der Energie des b-Partons untersucht: b−Jet
Eb .
Bezüglich des W -Zerfalls wurde der Kosinus des Winkels zwischen dem Top-Quark und dem
Lepton aus dem W -Zerfall analysiert: cos θ ∗ , weiterhin der Winkel zwischen den Impulsen der
beiden W -Bosonen.
Parton-Jets
In Hinblick auf Jets wurden folgende Observablen analysiert:
• Jet-Multiplizitäten mit Schnitten auf pT < {10 GeV, 15 GeV, 20 GeV, 40 GeV, 80 GeV}
sowie pT > 5 GeV, (pT < 5 GeV ∧ pT > 10 GeV) und (pT < 10 GeV ∧ pT > 20 GeV),
• Abstand im R-Raum zwischen dem härtesten und zweithärtesten, dem härtesten und
dritthärtesten sowie dem zweithärtesten und dritthärtesten Jet,
• Rapidität des Jets aus der härtesten Emission mit Schnitten auf
10 GeV, 20 GeV, 40 GeV, 80 GeV,
pT <
• Differenz der Rapidität des Jets aus der härtesten Emission und der Rapidität des TopAntitop-Systems mit Schnitten auf pT < 10 GeV, 20 GeV, 40 GeV, 80 GeV.
74
A.2 Untersuchte Observablen
Globale Observablen
Stärker experimentell motivierte Observablen sind:
• Fehlende Transversalenergie E/T ,
(i)
• Summe aller Transversalimpulse von Jets, Leptonen und E/T : HT = ∑ pT mit Schnitten
(i)
(i)
auf pT < 10 GeV und pT < 20 GeV,
• Zentralität, also die Summe aller Jet-Transversalimpulse durch die Summe der Beträge
(i)
aller Jet-Impulse: C =
∑ pT
∑ |p(i) |
(i)
(i)
mit Schnitten auf pT < 10 GeV und pT < 20 GeV,
• Dileptonische und Semileptonische Selektionseffizienzen (siehe 5.3.4).
Aufschlüsselung der Observablen
Aufschlüsselung der Observablen in Abbildung 5.11. Teilweise wurden verschiedene Observablen zusammengefasst. In diesen Fällen wurde der Mittelwert der Mittelwerte gebildet:
• t t¯ reco mass tri:
(siehe 5.3.5),
Rekonstruierte
Top-Masse
aus
der
Drei-Jet-Kombination
• t t¯ reco mass: Rekonstuierte Top-Masse über die Zuordnung von Parton-Jets zu Partonen,
• t t¯ pT sum: ptTt¯ ,
• t t¯ pT : pT von Top- und Antitop-Quark; außerdem psum
T ,
t¯ ,
• t t¯ minv : mtinv
• t t¯ jets pT : pT der Jets aus dem Top-Zerfall,
• t t¯ ∆pT : ∆ptTt¯ ,
• jets pT : pT aller Jets,
• jets 3/4 pT : pT des dritt- und vierthärtesten Jets,
• jets 1/2 pT : pT des härtesten und zweithärtesten Jets,
• centrality: Zentralität,
• bjet e ratio:
Eb−Jet
Eb ,
• Njets min: Zwei verschiedene Jet-Multiplizitäten mit Schnitten auf (pT < 5 GeV ∧ pT >
10 GeV) und (pT < 10 GeV ∧ pT > 20 GeV),
• Njets 40/80: Zwei verschiedene Jet-Multiplizitäten mit Schnitten auf pT < 40 GeV und
pT < 80 GeV,
• Njets 10/15/20: Drei verschiedene Jet-Multiplizitäten mit Schnitten auf pT < 10 GeV,
pT < 15 GeV und pT < 20 GeV,
75
A Anhang
(i)
(i)
• HT: HT mit Schnitten auf pT < 10 GeV und pT < 20 GeV,
• 1st emiss. jet pT : pT des Jets aus der härtesten Emission.
Aufschlüsselung der Observablen in Abbildung A.6:
• h HT: HT mit Schnitten,
• h cent: Zentralität mit Schnitten,
• h j1 pt: pT des härtesten Jets,
• h j2 pt: pT des zweithärtesten Jets,
• h j eta20: η aller Jets (Schnitt auf pT < 20 GeV),
• h j pt: pT aller Jets,
• h nj: Jet-Multiplizitäten mit Schnitten,
• h ntj1 pt: pT des Jets aus der härtesten Emission,
• h ttbar deltapt: ∆ptTt¯ ,
t¯ ,
• h ttbar minv: mtinv
• h ttbar pt: pT von Top- und Antitop-Quark,
• h ttbar ptsum: ptTt¯ ,
• h ttbar ptsums: psum
T ,
• h ttbar rap: Rapidität von Top- und Antitop-Quark.
A.3 Einstellungen Monte Carlo-Generatoren
Job-Option-Dateien beziehen sich auf das ATHENA-Framework Release 15.6.1.7. Alle
eingebundenen Common-Dateien findet man auf der folgenden Seite:
http://alxr.usatlas.bnl.gov/lxr-stb4/source/
atlas/Generators/MC09JobOptions/common/?v=release_15_6_1
76
A.3 Einstellungen Monte Carlo-Generatoren
A.3.1 MC@NLO
MC@NLO v3.41 Input Card:
’./@PREFIX@’
! prefix for BASES files
’./@PREFIX@’
! prefix for event files
@ENERGY@ 1 1 1 1 ! energy, fren, ffact, frenmc, ffactmc
-1706
! -1705/1706=bb/tt
@TOPMASS@
! M_Q
0 0
! 0..6 -> t dec, 7 -> t undec
@TOPWIDTH@
! top width
80.403 2.141
! M_W, Gamma_W
0 0 0 ! GammaX, M_T(min), M_T(max)
0 0 0 ! GammaX, M_Tb(min), M_Tb(max)
30 0 0 ! GammaX, M_V1(min), M_V1(max)
30 0 0 ! GammaX, M_V2(min), M_V2(max)
0.9748 0.2225 0.0036
! |V_ud|,|V_us|,|V_ub|
0.2225 0.9740 0.041
! |V_cd|,|V_cs|,|V_cb|
0.009 0.0405 0.9992
! |V_td|,|V_ts|,|V_tb|
1
! 0=t->Wb, 1=t->W+any d
0.1111
! t -> leptons branching ratio
0.3333
! t -> hadrons branching ratio
0.32 0.32 0.5 1.55 4.95 0.75 ! quark and gluon masses
’P’ ’P’
! hadron types
’LHAPDF’
10550
! PDF group and id number
-1
! Lambda_5, <0 for default
’MS’
! scheme
@NEVENTS@
! number of events
1
! 0 => wgt=+1/-1, 1 => wgt=+w/-w
@SEED@
! seed for rnd numbers
0.3
! zi
10 10
! itmx1,itmx2
A.3.2 Powheg
Powheg Patch 4 Input Card:
! Heavy flavour production parameters
maxev @NEVENTS@ ! number of events to be generated
randomseed @SEED@ !!!!!
seed 0
! random seed
seedn1 0
! seed counter 1
seedn2 0
! seed counter 2
ih1
1
! hadron 1
ih2
1
! hadron 2
ndns1 131
! pdf for hadron 1
ndns2 131
! pdf for hadron 2
77
A Anhang
lhans1 10550
! 10550 for 6.6 LHAPDF for hadron 1
lhans2 10550
! 10050 for 6m LHAPDF for hadron 2
ebeam1 3500
! energy of beam 1
ebeam2 3500
! energy of beam 2
qmass 172.5
! MC09 mass of heavy quark in GeV
facscfact 1
! factorization scale factor: mufact=muref*facscfact
renscfact 1
! renormalization scale factor: muren=muref*renscfact
underlyingevent 1 ! UH: had to add this...
bbscalevar 1
! use variable re. and fct. scales
! semileptonic 1
topdecaymode 22222
! maximum number of the following particles
! in the final state: e mu tau up charm
! Parameters for the generation of spin correlations in t tbar decays
tdec/wmass 80.403 ! W mass for top decay
tdec/wwidth 2.141
tdec/bmass 4.95
tdec/twidth 1.320
! MC09
tdec/elbranching 0.108
tdec/emass 0.00051
tdec/mumass 0.1057
tdec/taumass 1.777
tdec/dmass
0.320
tdec/umass
0.320
tdec/smass
0.5
tdec/cmass
1.55
tdec/sin2cabibbo 0.051
! Parameters to allow-disallow use of stored data
use-old-grid -1
! if 0 use old grid if file pwggrids.dat is present
use-old-ubound -1 ! if 0 use norm of upper bounding function stored
ncall1 10000
itmx1 5
ncall2 100000
itmx2 5
foldx
1
foldy
1
foldphi 1
nubound 100000
iymax 1
ixmax 1
xupbound 2
78
! number of calls for initializing the integration grid
! number of iterations for initializing integration grid
! number of calls for computing the integral
! number of iterations for computing the integral
! number of folds on x integration
! number of folds on y integration
! number of folds on phi integration
! number of bbarra calls to setup norm of u.b.f.
! <= 10, normalization of upper bounding function
! <= 10, normalization of upper bounding function
! increase upper bound for radiation generation
A.3 Einstellungen Monte Carlo-Generatoren
A.3.3 Herwig
Job-Option-Datei für Powheg mit Herwig:
import AthenaCommon.AtlasUnixGeneratorJob
from AthenaCommon.AppMgr import theApp
from AthenaCommon.AppMgr import ServiceMgr
from PartPropSvc.PartPropSvcConf import PartPropSvc
ServiceMgr += PartPropSvc()
ServiceMgr.MessageSvc.OutputLevel = INFO
from AthenaCommon.AlgSequence import AlgSequence
topAlg=AlgSequence()
try:
if runArgs.ecmEnergy == 7000.0:
include ( "MC09JobOptions/MC9_PowHegJimmy_Common_7TeV.py" )
if runArgs.ecmEnergy == 10000.0:
include ( "MC09JobOptions/MC9_PowHegJimmy_Common.py" )
if runArgs.ecmEnergy == 14000.0:
include ( "MC09JobOptions/MC9_PowHegJimmy_Common_14TeV.py" )
except NameError:
from Herwig_i.Herwig_iConf import Herwig
topAlg += Herwig()
Herwig = topAlg.Herwig
Herwig.HerwigCommand += [ "taudec TAUOLA"]
include ( "MC09JobOptions/MC9_Tauola_Fragment.py" )
include ( "MC09JobOptions/MC9_Photos_Fragment.py" )
from GeneratorFilters.GeneratorFiltersConf import TTbarWToLeptonFilter
topAlg += TTbarWToLeptonFilter()
TTbarWToLeptonFilter = topAlg.TTbarWToLeptonFilter
TTbarWToLeptonFilter.Ptcut = 1.
try:
Stream1.RequireAlgs = [ "TTbarWToLeptonFilter" ]
except Exception, e:
79
A Anhang
pass
from MC09JobOptions.EvgenConfig import evgenConfig, knownGenerators
evgenConfig.generators += [ "Lhef", "Herwig" ]
evgenConfig.inputfilebase = ’powheg’
try:
if runArgs.ecmEnergy == 7000.0:
evgenConfig.inputfilebase = \
’group09.phys-gener.powhegp4.105860.ttbar_7TeV.TXT.v1’
if runArgs.ecmEnergy == 10000.0:
evgenConfig.inputfilebase = \
’group09.phys-gener.powhegp4.105860.ttbar_10TeV.TXT.v1’
except NameError:
pass
evgenConfig.efficiency = 0.5
A.3.4 Pythia
Powheg mit Pythia
Job-Option-Datei für Powheg mit Pythia:
import AthenaCommon.AtlasUnixGeneratorJob
from AthenaCommon.AppMgr import theApp
from AthenaCommon.AppMgr import ServiceMgr
from PartPropSvc.PartPropSvcConf import PartPropSvc
ServiceMgr += PartPropSvc()
ServiceMgr.MessageSvc.OutputLevel = INFO
from AthenaCommon.AlgSequence import AlgSequence
topAlg=AlgSequence()
include( "MC09JobOptions/MC9_PowHegPythia_Common.py")
Pythia.PythiaCommand += [ "pydat3 mdcy 15 1 0"] # turn off tau decays
include ( "MC09JobOptions/MC9_Tauola_Fragment.py" )
Pythia.PythiaCommand += ["pydat1 parj 90 20000"] #turn off Photos FSR
include ( "MC09JobOptions/MC9_Photos_Fragment.py" )
80
A.3 Einstellungen Monte Carlo-Generatoren
from GeneratorFilters.GeneratorFiltersConf import TTbarWToLeptonFilter
topAlg += TTbarWToLeptonFilter()
TTbarWToLeptonFilter = topAlg.TTbarWToLeptonFilter
TTbarWToLeptonFilter.Ptcut = 1.
try:
Stream1.RequireAlgs = [ "TTbarWToLeptonFilter" ]
except Exception, e:
pass
from MC09JobOptions.EvgenConfig import evgenConfig, knownGenerators
evgenConfig.generators += [ "Lhef", "Pythia" ]
evgenConfig.inputfilebase = ’powheg’
try:
if runArgs.ecmEnergy == 7000.0:
evgenConfig.inputfilebase = \
’group09.phys-gener.powhegp4.105861.ttbar_7TeV.TXT.v1’
if runArgs.ecmEnergy == 10000.0:
evgenConfig.inputfilebase = \
’group09.phys-gener.powhegp4.105861.ttbar_10TeV.TXT.v1’
except NameError:
pass
evgenConfig.efficiency = 0.5
Pythia
Job-Option-Datei für Pythia:
import AthenaCommon.AtlasUnixGeneratorJob
from AthenaCommon.AppMgr import theApp
from AthenaCommon.AppMgr import ServiceMgr
from PartPropSvc.PartPropSvcConf import PartPropSvc
ServiceMgr += PartPropSvc()
ServiceMgr.MessageSvc.OutputLevel = INFO
from AthenaCommon.AlgSequence import AlgSequence
topAlg=AlgSequence()
81
A Anhang
include( "MC09JobOptions/MC9_PowHegPythia_Common.py")
Pythia.PythiaCommand += [ "pydat3 mdcy 15 1 0"] # turn off tau decays
include ( "MC09JobOptions/MC9_Tauola_Fragment.py" )
Pythia.PythiaCommand += ["pydat1 parj 90 20000"] # turn off Photos FSR
include ( "MC09JobOptions/MC9_Photos_Fragment.py" )
from GeneratorFilters.GeneratorFiltersConf import TTbarWToLeptonFilter
topAlg += TTbarWToLeptonFilter()
TTbarWToLeptonFilter = topAlg.TTbarWToLeptonFilter
TTbarWToLeptonFilter.Ptcut = 1.
try:
Stream1.RequireAlgs = [ "TTbarWToLeptonFilter" ]
except Exception, e:
pass
from MC09JobOptions.EvgenConfig import evgenConfig, knownGenerators
evgenConfig.generators += [ "Lhef", "Pythia" ]
evgenConfig.inputfilebase = ’powheg’
try:
if runArgs.ecmEnergy == 7000.0:
evgenConfig.inputfilebase = ’powhegp4.900000.ttbar_7TeV.TXT.v1’
if runArgs.ecmEnergy == 10000.0:
evgenConfig.inputfilebase = \
’group09.phys-gener.powhegp4.900000.ttbar_10TeV.TXT.v1’
except NameError:
pass
evgenConfig.efficiency = 0.5
ISR/FSR
Die jeweiligen Job-Option-Dateien können direkt übernommen werden. Parameter-Variationen
erhält man durch Hinzufügen und Anpassung folgender Zeilen:
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
82
+=
+=
+=
+=
+=
["pypars
["pypars
["pypars
["pypars
["pypars
parp
parp
parp
mstp
parp
61
62
67
67
72
0.192"]
2.0"]
4.0"]
2.0"]
0.192"]
#
#
#
#
#
Lambda ISR
ISR IR cut-off AT=1.0
power shower
power shower
Lambda FSR
A.4 Weitere Verteilungen
Pythia.PythiaCommand += ["pydat1 parj 82 1.0"]
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
Pythia.PythiaCommand
+=
+=
+=
+=
# FSR IR cut-off
["pypars mstp 3 1"]
#
[ "pypars parp 1 0.192"] #
[ "pydat1 mstu 112 4"]
#
[ "pydat1 paru 112 0.192"]#
set Lambda AT=3 2
reset lambda hard ia.
reset 4 flavours
reset lambda alpha_s
A.4 Weitere Verteilungen
83
A Anhang
-------
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
Kolmogorov-Smirnov Test: 9.17%
h_j1_eta20
h_j1_eta20
0.03
RMS
Mean
0.0006918
1.191
1.221
RMS
1.191
h_j1_eta20
0.025
Entries
Mean
747979
-4.927e-06
RMS
0.02
1.221
Normalized to Unit Area
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
Entries
747979
Entries
749502
Entries
749502
Mean
-4.927e-06
Mean 0.0006918
h_j1_eta20
h_j1_eta20
RMS
0.005
0.005
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
-4
-2
0
2
0
2-5
4
η
Entries
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
746877
748431
748431
2.459
2.496
0.8739
2.459
0.901
RMS
0.8739
h_j12_deltaR
Entries
0.04
1
746877
Mean
2.496
RMS
0.901
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
-4
-2
0
1.5
1
Ratio
8
η
Entries
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
743079
748431
748431
2.459
2.471
0.8739
0.8832
2.459
RMS
0.8739
h_j12_deltaR
0.04
0.01
7
5
4
Entries
0.01
6
4
2
0.05
0.02
5
1.2
3
0.06
0.02
4
RMS
h_j12_deltaR
0.03
3
2
0.0007467
h_j12_deltaR
0.03
Ratio
0
(b)
0.05
0.5
0
-1
(a)
0.06
2
-2
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:35 2010
h_j12_deltaR
1
-3
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:33 2010
h_j12_deltaR
0
20
-4
744359
Mean
1.5
----1
0.5
----
Normalized to Unit Area
----1
0.5
----
Normalized to Unit Area
-3
Ratio
0.01
-4
Entries
0.02
0.01
1.191
h_j1_eta20
0.025
0.015
0
2-5
Entries
749502
744359
Entries
749502
Mean 0.0006918
0.0007467
RMS
Mean
0.0006918
1.191
1.2
0.03
0.015
Ratio
Normalized to Unit Area
-------
0
20
743079
Mean
2.471
RMS
0.8832
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
∆R
1.5
1
1
2
3
4
5
6
7
8
∆R
0.5
0
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:28 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:30 2010
(c)
(d)
Abbildung A.1: Verteilung der Pseudorapidität des härtesten Jets mit einem Schnitt von pT =
20 GeV für (a) Powheg (blau) vs. MC@NLO (orange) und (b) Powheg + Herwig (blau) und
Powheg + Pythia (orange). Verteilung der Distanz im R-Raum zwischen dem härtesten und dem
zweithärtesten Jet für Powheg (blau) vs. MC@NLO (orange) und (d) Powheg + Herwig (blau)
vs. Powheg + Pythia (orange).
84
-------
Powheg+Herwig
MCatNLO+Herwig
h_ttbar_pt
h_ttbar_pt
Entries 1496984
1500000
Entries
1500000
Mean
110.9
113.8
RMS
Mean
110.9
70.83
71.13
RMS
70.83
h_ttbar_pt
10 -2
Entries 1496984
Mean
113.8
RMS
71.13
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
-------
h_ttbar_pt
h_ttbar_pt
RMS
10 -2
100
200
300
400
500
600
Ratio
Ratio
70.83
h_ttbar_pt
Entries 1490000
Mean
115.1
RMS
72.84
10 -3
1.5
10 -42
0
100
200
300
400
500
600
100
200
300
400
500
600
p [GeV]
1.5
1
0.5
0
A.4 Weitere Verteilungen
Entries 1490000
1500000
Entries
1500000
Mean
110.9
115.1
RMS
Mean
72.84
110.9
70.83
10 -3
10 -42
0
Powheg+Herwig
Powheg+Pythia
1
100
200
300
400
0.5
0
500
600
p [GeV]
T
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:03 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:05 2010
(a)
(b)
Abbildung A.2: pT -Spektrum der einzelnen Top- und Antitop-Quarks (a) Powheg (blau) vs.
---- Powheg+Herwig
---- Powheg+Herwig
---- MCatNLO+Herwig
---- + Pythia.
MCatNLO+Herwig
MC@NLO
(orange), (b) Powheg + Herwig vs. Powheg
h_ttbar_ptsum
h_ttbar_ptsum
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -1
RMS
750000
748508
750000
63.46
64.91
71.97
68.88
64.91
71.97
h_ttbar_ptsum
Entries
10
-2
748508
Mean
63.46
RMS
68.88
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
Kolmogorov-Smirnov Test: 13.91%
χ 2/ndf: 1.06, χ2 Prob: 33.72%
200
300
400
500
600
1
Ratio
Ratio
100
1.5
0.5
0
RMS
10
1.158
h_ttbar_rap
-2
Entries
1497016
Mean
0.001747
RMS
1.155
10 -3
10 -3
10 -42
0
h_ttbar_rap
h_ttbar_rap
Entries
1497016
Entries 1500000
Entries
1500000
Mean
0.001747
0.001081
RMS
1.155
Mean
0.001081
1.158
10 -42
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
1.5
1
100
200
300
400
500
600
p [GeV]
0.5
-4
-2
0
2
4
y
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:40 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:37 2010
(a)
(b)
√
Abbildung A.3: Zwei Beispiele bei s = 10 TeV: Das pT -Spektrum des Top-Antitop-Systems
(a) und die Verteilung der Rapiditäten der Top- und Antitop-Quarks (b) für Powheg (blau) und
MC@NLO (orange).
85
---- group09.phys-gener.powhegp4.107940.ttbar_fullhad_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
---- group09.phys-gener.powhegp4.107940.ttbar_fullhad_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.roo
h_j1_pt
10 -1
h_j1_pt
846185
221855
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
846185
113.5
113.2
113.5
54.09
52.1
54.09
h_j1_pt
Entries
10 -2
221855
Mean
113.2
RMS
52.1
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
A ---Anhang
group09.phys-gener.mcatnlo341.105204.ttbar_fullhad_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
---- group09.phys-gener.mcatnlo341.105204.ttbar_fullhad_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.ro
10 -42
0
10 -1
RMS
458933
53.92
51.5
53.92
53.84
58.12
58.12
h_ntj1_pt
Entries
10 -2
117662
Mean
51.5
RMS
53.84
10 -3
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
Ratio
Ratio
10 -3
h_ntj1_pt
h_ntj1_pt
458933
117662
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
10 -42
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
1.5
1
1
0.5
0
100
200
300
0.5
0
400
500
p [GeV]
100
200
300
T
400
500
p [GeV]
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:45 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:42 2010
(a)
(b)
Abbildung A.4: Vollhadronische Ereignisse: Das pT -Spektrum des härtesten Jets (a) und des
----und
group09.phys-gener.powhegp4.105869.ttbar_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
Jets---aus group09.phys-gener.powhegp4.105869.ttbar_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
der härtesten Emission (b) für Powheg (blau)
MC@NLO (orange).
10 -1
h_ttbar_minv
h_ttbar_minv
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
RMS
273256
166000
273256
530.8
538.2
530.8
143.4
145.2
143.4
h_ttbar_minv
Entries
10 -2
166000
Mean
538.2
RMS
145.2
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
---- group09.phys-gener.mcatnlo341.106204.ttbar_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
---- group09.phys-gener.mcatnlo341.106204.ttbar_7TeV.TXT.v1.Jimmy.hist.root
10 -42
300 400 500 600 700 800 900 1000 11001200 1300
1.5
1
0.5
10
RMS
66.14
h_ttbar_ptsum
Entries
10
-2
166001
Mean
57.53
RMS
63.8
10 -3
Ratio
Ratio
10 -3
h_ttbar_ptsum
Entries 273256
Entries
166001
Entries
273256
Mean
57.53
58.64
RMS
Mean
58.64
66.14
63.8
h_ttbar_ptsum
-1
10 -42
0
100
200
300
400
500
600
100
200
300
400
500
600
p [GeV]
1.5
1
400
600
800
1000
1200
minv [GeV]
0.5
0
T
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:49 2010
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:38:47 2010
(a)
(b)
Abbildung A.5: Die invariante Masse (a) und das pT -Spektrum des Top-Antitop-Systems (b)
bei einer Top-Masse von mt = 190 GeV für Powheg (blau) und MC@NLO (orange).
86
A.4 Weitere Verteilungen
Abbildung A.6: Vergleich der Validierungen von MC@NLO gegen Powheg. Gezeigt wird
die Differenz der Mittelwerte (bzw. der Standardabweichung im Falle der Rapidität) normiert
auf die statistische Unsicherheit (siehe 5.3) als Balkendiagramm. Ein positiver Wert entspricht
einem größeren Mittelwert der Verteilung von Powheg gegenüber MC@NLO. Gelb: Validierung
semileptonischer Ereignisse bei 10 TeV und einer Top-Masse von mt = 172.5 GeV. Orange:
√
s = 7 TeV. Rot: Voll-hadronische Ereignisse. Dunkelrot: mt = 190 GeV. Da die Datensätze
auf einer unterschiedlichen Anzahl an Ereignissen basieren, sind die Balken im Diagramm auf
unterschiedliche Fehler normiert und nicht in ihrer Größe vergleichbar. Den Schlüssel zu den
Observablen findet man in Anhang A.2.
87
A ---AnhangPythia
-------
Pythia
h_ttbar_mj
h_ttbar_mj
108786
110499
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.035
108786
152.2
154
152.2
23.14
23.26
RMS
0.03
23.14
h_ttbar_mj
Entries
0.025
110499
Mean
154
RMS
23.26
0.02
Normalized to Unit Area
Normalized to Unit Area
----
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
h_ttbar_mj
h_ttbar_mj
125469
116923
Entries
Entries
Mean
RMS
Mean
0.04
0.035
116923
153.8
157
153.8
22.02
21.69
RMS
22.02
h_ttbar_mj
Entries
0.03
0.025
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Mean
157
RMS
21.69
0.02
0.015
0.015
0.01
0.01
0
2
100
0.005
120
140
160
180
200
220
240
Ratio
Ratio
0.005
1.5
1
---0.5
---100
Pythia
Pythia
120
140 160 180 200
Kolmogorov-Smirnov Test: 1.8%
2
χ /ndf: 0.90, χ2 Prob: 75.33%
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:52 2010
Run Test: 57.99%
0
2
100
120
140
----1
0.5
---100
Powheg+Pythia
Powheg+Pythia
120
140 160
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220 240
m [GeV]
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33.78
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240
180
200
220 240
m [GeV]
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Entries
Mean
RMS
Mean
36988
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155.6
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33.08
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Entries
39977
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156.9
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156.3
33.78
33.98
155.8
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120
140
160
180
200
220
240
1.5
1
Ratio
Normalized to Unit Area
Entries
Entries
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RMS
Mean
0.02
0.5
100
220
(b)
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0
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100
200
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:54 2010
h_ttbar_mj3
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36689
0.015
180
1.5
(a)
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160
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100
120
140
160
180
200
220
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120
140
160
180
200
220 240
m [GeV]
1.5
1
120
140
160
180
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:56 2010
(c)
200
220 240
m [GeV]
0.5
100
C. Wasicki, Fri Jun 4 18:39:59 2010
(d)
Abbildung A.7: Die Verteilung der invarianten Masse der Jets aus dem Top-Zerfall (oben). Hier
werden nur Ereignisse verwendet, in denen allen Partonen aus dem Top-Zerfall unterschiedliche
Jets zugeordnet werden können. Unten: Verteilung der Drei-Jet-Kombination. Werte außerhalb
des sichtbaren Bereichs werden nicht dargestellt. Jeweils auf der linken Seite: Pythia Default
(blau) und Pythia FSR↓ (orange). Auf der rechten Seite: Powheg Default (blau) und Powheg
FSR↓ (orange).
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Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
Top-Paar-Produktion in LO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Top-Quark-Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
W-Zerfallsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
Beschleunigerkomplex am CERN und erwartete Wirkungsquerschnitte am LHC. 8
Innenansicht des ATLAS-Detektors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
Feynman-Diagramme Yang-Mills und Abschirmung/Antiabschirmung. .
Feynman-Diagramme von NLO-Korrekturen. . . . . . . . . . . . . . .
Faktorisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Partonverteilungsfunktionen von HERA und CTEQ. . . . . . . . . . . .
Teilchenschauer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QCD-Potenzial und Vergleich der Felder in QED bzw. QCD. . . . . . .
Lund-String- und Cluster-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Infrarote und Kollineare Sicherheit von Jet-Algorithmen. . . . . . . . .
Vergleich von Jet-Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
14
16
18
20
21
22
23
24
27
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Übersicht Hadron-Hadron-Kollision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Füllung des Phasenraums in unterschiedlichen Partonschauer-Formalismen.
Evolution ISR/FSR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Farbkohärenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Toter Phasenraum in der ISR für Herwig. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
33
35
36
37
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
Rapiditätsverteilung des Z 0 -Bosons in LO und NLO. . . . . . . . . .
Unterschied CTEQ6m und CTEQ6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unterschied CTEQ6.6 und CTEQ6L1. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfluss der Jet-Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Validierung Powheg: Das Top-Antitop-System. . . . . . . . . . . . .
Validierung Powheg: Rapidität des Top-Quarks und cos θ ∗ . . . . . . .
Validierung Powheg: Parton-Jets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Validierung Powheg: Jet-Multiplizitäten. . . . . . . . . . . . . . . . .
Validierung Powheg: Der Dip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenraum des Partonschauers in Herwig und Aufschlüsselung von
S-Ereignissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übersicht ISR/FSR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISR/FSR: Power Shower. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme ISR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramme FSR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Selektionseffizienzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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und
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5.12
5.13
5.14
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H. .
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5
6
6
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61
62
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95
Abbildungsverzeichnis
5.16 Rekonstruierte Masse des Top-Quarks für FSR↑. . .
√
A.1 Validierung Powheg: √s = 7TeV. . . . . . . . . . . .
A.2 Validierung Powheg: √s = 7TeV. . . . . . . . . . . .
A.3 Validierung Powheg: √s = 10TeV. . . . . . . . . . .
A.4 Validierung Powheg: √s = 7TeV, vollhadronisch. . .
A.5 Validierung Powheg: s = 7TeV, mt = 190GeV. . . .
A.6 Validierung Powheg: Übersicht. . . . . . . . . . . .
A.7 Rekonstruktion der Masse des Top-Quarks für FSR↓.
96
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70
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Tabellenverzeichnis
1.1
1.2
Fermionen des Standardmodells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massen der Elementarteilchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
5.1
5.2
5.3
Wirkungsquerschnitte für die Top-Paar-Produktion. . . . . . . . . . . . . . . .
Variationsbereich ISR/FSR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Selektionseffizienzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
59
67
97
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei allen Personen bedanken, die mir bei der Erstellung dieser
Arbeit geholfen haben:
Dr. Ulrich Husemann für die großartige Unterstützung während der gesamten Zeit meiner
Diplomarbeit,
Clemens Lange für seine zahlreichen Anregungen,
Prof. Nacho Pascual, der sich bereit erklärte, die Betreuung an der FU Berlin zu
übernehmen,
Dr. Elin Bergeås-Kuutmann, Luz Stella Gomez Fajardo, Sascha Mehlhase und der
gesamten ATLAS-Gruppe am DESY für die gemeinsame Zeit,
Dr. Claire Gwenlan, Dr. James Ferrando, Liza Mijović und Dr. Akira Shibata für ihre
Geduld.
Mein besonderer Dank gilt meinen Eltern, meiner Schwester Jana, Lore, Onkel Hans und meiner
Freundin Ulrike. Danke, dass ihr für mich da seid!
Selbständigkeitserklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit mit dem Titel Monte-Carlo-Simulation von
Top-Paaren in nächstführender Ordnung am ATLAS-Experiment selbständig und nur mit den in
den Quellen angegebenen Hilfsmitteln verfasst habe.
Berlin, 03. Juni 2010
Christoph Wasicki