Harmonische Schwingung

Harmonische Schwingung
r(t) = exrsinωt + eyrcosωt
v(t) = exrωcosωt - eyrωsinωt
a(t) = - exrω2sinωt - eyrω2cosωt
Projektion auf die x-Achse: x(t) = rsinωt
vx(t) = rωcosωt = v0cosωt
ax(t) = - rω2sinωt = -ω2x
→Kraft F = -mω2r → Fx = - mω2x = -Dx und ω =
D/m
→ potentielle Energie Wpot = ∫ Fdx = - mω2x02/2 (x0 = Amplitude)
→ Energieerhaltung: W = Dx2/2 + mvx2/2 = const.
Einführung in das Experimentieren SS.2003
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Fadenpendel
Masse M an Faden der Länge L
Auslenkung ϕ (Bogenlänge s = L ϕ)
→ Masse hängt höher um
h = L(1-cos ϕ) ≈ L ϕ 2/2 = s2/2L
→ Wpot = Mgh = Mgs2/2L
= Ds2/2 mit D = Mg/L (Harmon. Schwingung)
→ ω = D/M =
g/L
→ T = 2π L/g
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Einführung in das Experimentieren SS.2003
Drehschwingung
Feder → Spiralfeder
Translation → Rotation
Masse M → Trägheitsmoment I = ΣMixi2
Auslenkung r → Auslenkwinkel ϕ
Geschwindigkeit v → Winkelgeschwindigkeit ω
Impuls p → Drehimpuls L = r × p
Kraft F → Drehmoment T = r × F
..
..
F = M r → T = Iϕ
..
→ Bewegungsgleichung: - Dϕ = Iϕ
→ harmonische Schwingung mit ω = D/I
Einführung in das Experimentieren SS.2003
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Physikalisches Pendel
Homogener Stab (Masse M)
aufgehängt in Punkt A
Schwerpunkt S: im Abstand s vom Punkt A
Auslenkung ϕ → Drehmoment T = - mgs sinϕ
..
Bewegungsgleichung - mgs sinϕ = Iϕ
φ << 1 → T ≈ - mgs ϕ = -Dϕ mit D = mgs
Steinerscher Satz → I = IS + Ms2
mit IS = Trägheitsmoment um S
→ ω=
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Mgs
1/2 falls I ≈ 0
→
ω
=
[g/s]
S
I S + Ms 2
(Fadenpendel)
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Reales Pendel
• immer mehr als infinitesimal ausgelenkt
→ nichtlinear
• allgemeine Differentialgleichung nicht elementar lösbar
→ allgemeine Lösung als Reihenentwicklung:
L
T = 2π
g
  1  2 2  ϕ   1 ⋅ 3  2 4  ϕ 
⋅ 1 +   sin   + 
 sin  
 2   2⋅4
 2 
  2 
• Außerdem ist Dämpfung durch Reibungsverluste > 0
→ Auslenkungen nehmen ~ exponentiell mit der Zeit ab.
→ Vorsicht bei Messung T(ϕ)!!
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rel. Änderung T/T0
Darstellung der Messergebnisse T(φ
φ)
1.08
1.07
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
1.00
0.99
0.98
0.97
0
10
20
30
40
50
60
Auslenkwinkel ϕ (Grad)
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Einführung in das Experimentieren SS.2003
Übung (als Teil des Protokolls)
Behandeln Sie das Pendel, mit dem Sie arbeiten:
a) Als mathematisches Pendel
b) Als physikalisches Pendel
und berechnen Sie den Unterschied im Wert für die
Fallbeschleunigung g, den Sie erhalten.
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Zusammenhang Schwingungsdauer – Pendellänge:
Theorie: T ∝ L1/2
Übungsbeispiel: bestätigen Sie diesen Zusammenhang aus den
Messungen am Pendel mit ganzer, halber und viertel
Pendellänge. Zeichnen Sie die Ergebnisse in einem
Diagramm T(√L):
rel. Schwingungsdauer T/T0
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
relative Pendellänge L/L0
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