Blatt 14 - ITAP | Universität Stuttgart

Übungen zur Vorlesung
Kontinuumsmechanik (Theoretische Physik V)
Aufgabe 40
WS 2005/06
Blatt 14
Abgabedatum: 14./16.02.2006
(Votier) Hagen-Poiseuillesche Strömung
3 Punkte
Im Folgenden soll die Hagen-Poiseuillesche Strömung in Kapillarröhren für eine inkompressible
Newtonsche Flüssigkeit untersucht werden. Die Röhre besitze einen kreisförmigen Querschnitt
mit Radius a. Sie liege horizontal, so dass Schwerkräfte vernachlässigt werden können. Die
Strömung in der Röhre sei stationär und parallel zur Röhrenachse ( laminare Strömung“).
”
Der Spannungstensor einer Newtonschen Flüssigkeit ist gegeben durch
σij = −pδij + σ
eij
σ
eij = 2ηDij + η ′ spD δij ,
mit
wobei p den Druck angibt, η und η ′ Viskositäten bezeichnen, und Dij =
Deformationsrate ist.
1 ∂vi
2 ( ∂xj
+
∂vj
∂xi )
die
(a) Bei stationären Strömungen und unter Vernachlässigung der konvektiven Ableitung in
der Impulsbilanz gilt: div σ = 0. Welche Bewegungsgleichung folgt daraus für eine
inkompressible Newtonsche Flüssigkeit in kartesischen Koordinaten?
(b) Zeigen Sie mit Hilfe von div v = 0, dass die relevante Geschwindigkeitskomponente
nur von der radialen Koordinate ̺ abhängt. Von welcher Koordinate kann der Druck
nur abhängen? Aus div σ = 0 ergeben sich nun Bestimmungsgleichungen für p und v.
Welches Geschwindigkeitsprofil finden Sie? Die Geschwindigkeit v soll am Rand null
sein und nirgends unendlich werden.
(c) Bestimmen Sie die Ausflussmenge Q (Volumen pro Zeiteinheit) und die mittlere Ausflussgeschwindigkeit vm . Schreiben Sie den Druckverlust ∆p entlang der Länge ℓ als
Funktion von vm und dem Röhrenquerschnitt A. Diskutieren Sie, wie die mittlere Geschwindigkeit vm und die Ausflussmenge Q mit A, η und dem Druckgefälle ∆p/ℓ skalieren.
Aufgabe 41
(Votier) Stokessche Formel
Im Folgenden soll die Widerstandskraft auf eine Kugel mit Radius R bestimmt werden, die sich in einer zähen inkompressiblen
Flüssigkeit mit konstanter Geschwindigkeit v 0 bewegt (s. Abb.).
Dieses Problem ist äquivalent zu der Beschreibung einer ruhenden Kugel, die von einer Flüssigkeit umströmt wird, welche im
Unendlichen die Geschwindigkeit −v0 aufweist. Beschrieben wird
das System durch die Navier-Stokes-Gleichung für eine inkompressible Flüssigkeit:
dv
= k − ∇p + η ∆ v
̺
dt
Die Erdgravitation werde vernachlässigt, und man nimmt zusätzlich an, dass die Geschwindigkeiten so klein sind, dass auch die
x
Trägheitsterme (vx ∂v
∂x usw.) vernachlässigt werden können.
1
3 Punkte
-v 0
(a) Wie sieht die Navier-Stokes-Gleichung unter den obigen Annahmen aus?
Wählen Sie nun für die Geschwindigkeit der Strömung den Ansatz
v = ∇Φ + w,
d. h. die Geschwindigkeit wird in einen wirbelfreien Anteil und einen wirbelbehafteten
restlichen Anteil zerlegt. Zeigen Sie, dass man eine mögliche Lösung der Navier-StokesGleichung erhält, wenn man ∆ w = 0 fordert. Was für eine Gleichung erhalten Sie
dabei für den Druck? Welche Gleichung für Φ und w ergibt sich aus der Annahme der
Inkompressibilität? Wie sehen die Randbedingungen für Φ und w am Rand der Kugel
und im Unendlichen aus? Das Problem ist nun vollständig bestimmt.
(b) Benutzen Sie zur Lösung des Problems die folgenden Ansätze:
q
v0
r = x21 + x22 + x23
w = C ,
r
Φ = f (r) (v0 · r)
Welche DGL ergibt sich für f (r) aufgrund der angenommenen Inkompressibilität? Lösen
Sie diese und zeigen Sie, dass für das Geschwindigkeitsfeld gilt:
3
R
3R
3R
R2
v = v0
+
− 1 + 3 (v 0 · r) 1 − 2 r
4r 3
4r
4r
r
(c) Mit Hilfe des Ergebnisses aus b) und der Bestimmungsgleichung für den Druck aus a)
können Sie nun die Kraft auf die Kugel nach
Z
r
Ki = dF (pni − τik nk ) mit τ = 2η defv und n = −
r
bestimmen, indem Sie über die Kugeloberfläche integrieren. Als Ergebnis erhält man
die Stokessche Widerstandsformel für eine Kugel in einer zähen Flüssigkeit:
K = −6πηRv 0
Zwischenergebnis: Sie erhalten für die Kraft
Z
3η
r
v0
K = − dF p0 +
r
2R
wobei p0 ein konstanter Druck ist, der als Integrationskonstante in a) auftaucht.
2