Knackt die Box

I Lineare Gleichungssysteme
Knackt die Box
In Klasse 7 hast du bereits Boxen geknackt. Jetzt wird die Ausgangssituation etwas
komplizierter: Es gibt verschiedenfarbige Boxen (rot und blau) und außerdem sind immer
zwei Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen.
Forschungsauftrag 1: Boxen knacken
Es gelten folgende Regeln:
1. Links und rechts vom Gleichheitszeichen
liegen insgesamt gleich viele Hölzchen.
2. In den blauen bzw. roten Boxen liegen
jeweils gleich viele Hölzchen.
3. Beide Gleichungen müssen erfüllt sein.
–– Finde heraus, wie viele Hölzchen sich
jeweils in den roten und den blauen
Boxen b
­ efinden. Erkläre ausführlich,
wie du auf die Lösung gekommen bist.
–– Füllt Boxen, legt je zwei Boxen­
gleichungen und lasst euren Nachbarn
die Boxen „­ knacken“.
Lerneinheit 3
Seite 14
Lerneinheit 4
Seite 18
a)
und
Zum Boxenfüllen
könnt ihr Streichholzschachteln
verwenden.
Markiert sie mit
unterschiedlichen
Symbolen.
b)
und
c)
und
Forschungsauftrag 2:
Boxengleichungen zusammenwerfen
Maximilian hat einen Trick gefunden,
wie man die Boxengleichungen auch
lösen kann.
–– Führe die verbleibenden Schritte aus,
um die Boxen zu knacken.
Erkläre ausführlich, was bei den einzel­
nen Schritten passiert ist.
–– Jede Boxengleichung lässt sich in eine
Gleichung mit zwei Variablen übersetzen.
Dabei beschreibt x die Zahl der Hölz­
chen in einer roten Box und y die Zahl
der Hölzchen in einer blauen Box.
Maximilians Boxengleichungen würden
dann also lauten: 2 x + 2 = 3 y und 3 y + 2 = 4 x. Übersetze
alle Boxengleichungen auf dieser Seite
in ­Variablengleichungen.
Boxengleichung
und
1. Schritt
2. Schritt
3. Schritt
Erkundungen
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7
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4 Additionsverfahren
„Zwei Euro für ’ne Cola – das ist teuer!
Hoffentlich ist dann wenigstens die Pizza
günstig …“
Beim Gleichsetzungsverfahren und beim Einsetzungsverfahren wird aus zwei Gleichun­
gen mit zwei Variablen eine einzelne Gleichung erzeugt, in der eine der beiden Variablen
nicht mehr vorkommt. Dies kann man auch mit einem weiteren rechnerischen Lösungs­
verfahren erreichen; hier werden die Terme auf den rechten Seiten beider Gleichungen
und die Terme auf den linken Seiten beider Gleichungen jeweils addiert.
Man kann dieses Verfahren mithilfe von Waagen verdeutlichen. Legt man die Gegen­
stände der linken Waagschale und die Gegenstände der rechten Waagschale jeweils
zusammen, so erhält man wieder einen Gleichgewichtszustand.
Auf diese Weise lassen sich auch lineare Gleichungssysteme lösen.
Additionsverfahren
Löse I: 2 x + 3 y = 7
II: x – 3 y = 5
Die Summe der Terme auf den linken Seiten der beiden Gleichungen ist genauso groß
wie die Summe der Terme auf den rechten Seiten. Addiert man jeweils die Terme auf
beiden Seiten der Gleichungen, so erhält man eine Gleichung, in der die Variable y nicht
mehr vorkommt.
I: 2 x + 3 y = å
II: x – 3 y = 5
I + II: 2 x + 3 y + x – 3 y = 7 + 5
3 x + 0 y = Å2 | : 3
x=4
Setzt man in Gleichung I für x den Wert 4 ein, so erhält man 2 · 4 + 3 y = 7.
8 + 3 y = 7
| – 8
3 y = – 1
| : 3
1
  y = – ​ _3 ​.
​( 4 | – ​ _3 ​  )​ ist die Lösung des linearen Gleichungssystems.
1
18
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I Lineare Gleichungssysteme
Ein lineares Gleichungssystem kann mit dem Additionsverfahren gelöst werden. Durch
Addition der Gleichungen wird aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine
­einzelne Gleichung erzeugt, in der eine der beiden Variablen nicht mehr vorkommt.
Damit man beim Additionsverfahren eine Gleichung erhält, in der eine der beiden Variab­
len nicht mehr vorkommt, müssen die Koeffizienten dieser Variablen in beiden Gleichun­
gen den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Ist dies nicht der
Fall, so muss man zuerst eine oder beide Gleichungen durch beidseitiges Multiplizieren
mit einer geeigneten Zahl umformen.
Beispiel Additionsverfahren anwenden
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.
a) I: 4 x – 5 y = 13
b)I: 2 x + 3 y = 4
II: 4 x + 5 y = 3
II: 3 x + 4 y = 5
Lösung
a) Die Koeffizienten von y sind 5 und – 5; addiert man 5 y und – 5 y, so erhält man null.
I: 4 x – 5 y = 13
II: 4 x + 5 y = 3
Addiere die Gleichungen I und II.
I + II: 8 x
= 16
| : 8
x=2
4 · 2 – 5 y = 13
| – 8
– 5 y = 5
| : (– 5)
y = – 1
Das Gleichungssystem hat die Lösung (2 | – 1).
b)Multipliziert man Gleichung I mit 3 und Gleichung II mit – 2, dann ergeben 6 x und – 6 x
bei der anschließenden Addition null und die Variable x kommt in der neuen Gleichung
nicht mehr vor.
I: 2 x + 3 y = 4
| · 3
II: 3 x + 4 y = 5
| · (– 2)
Man erhält
I: 6 x + 9 y = 12
II: – 6 x – 8 y = – 10
Addiere die Gleichungen I und II.
I + II:
y=2
Ersetze x in I (oder II) durch 2.
2 x + 3 · 2 = 4
2 x = – 2
x = – 1
Das Gleichungssystem hat die Lösung (– 1 | 2).
Ersetze y in I (oder II) durch 2.
| – 6
| : 2
Aufgaben
1 Löse mit dem Additionsverfahren.
a) 5 x + 3 y = 14
– 4 x – 3 y = – 16
e) 2 x + y = 1
– y = x – 1
i) 7 s + 2 t = 3
3 s + 5 t = – 7
b)3 x – 7 y = 17
– 3 x + 7 y = – 17
f) a – b = 1
– a + b = – 1
j) 6 u – 3 v = 11
4 u – 2 v = 7
c) 2 x + 5 y = 14
– 2 x + 3 y = 4
g)1 = 7 x + 4 y
– 14 x – 8 y = – 2
k) 4 p + 3 q = 2
5 p + 2 q = – 8
d)6 x – 8 y = 3
– 6 x + 8 y = 3
h)4 e = 1 – 7 f
– 14 f = – 1 + 8 e
l) 13 x + 13 y = 14
– 6,5 x – 6,5 y = 7,5
2 Löse das Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren.
a) y + x = 5
2 y = 3 x
b)3 x + 7 y = 26
5 x – 6 y = 8
c) – 2 x = y + 3
2 y = – 2 x – 3
d)12 x – 25 y = 1
18 x – 35 y = – 1
4 Additionsverfahren
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3 Lara und Katharina haben beide ein Handy mit dem Clever-Kid-Tarif. Lara hat 65 Minuten
telefoniert und 75 SMS gesendet und muss 8,95 € zahlen. Katharina zahlt 11,90 € und hat
55 Minuten telefoniert sowie 150 SMS verschickt. Wie viel kostet eine Minute und wie viel
eine SMS?
4 Hilf Benjamin beim Zusammenstellen von vier linearen Gleichungssystemen, die sich
geschickt mit dem Additionsverfahren lösen lassen.
Löse die zusammengestellten Gleichungssysteme.
x + y = 7
6 x + 2 y = 7
2 x + 5 y = 3
y + 2 x = 5
ever
ClKid-Tarif
keine
Grundgebühr
ct pro SMS
ct pro Minute*
*Gespräche ins deutsche
Festnetz oder zu Mobil
x – 5 y = 9
y – 2 x = 1
– 6 x + 7 y = 11
x–y=3
5 Gib drei lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen an, bei deren Lösung sich das
Additionsverfahren anbietet.
6 Die Tüten in Fig. 1 enthalten verschieden
viele Bonbons. Nimmt man zwei Tüten der
Sorte Himbeer und drei Tüten der Sorte
Erdbeer, dann hat man insgesamt 90 Bon­
bons. Nimmt man zwei Tüten der Sorte
Himbeer und fünf Tüten der Sorte Erdbeer,
dann hat man insgesamt 130 Bonbons.
Wie viele Bonbons sind in jeder Tüte?
Fig. 1
Bist du schon sicher?
7 Löse mit dem Additionsverfahren.
a) 6 x + 7 y = 23
5 x + 7 y = 18
b)2 x – 3 y = 23
2 x + y = – 13
c) 3 x + 3 y = – 3
7 x – 2 y = 5
d)7 x + 5 y = 3
7 x + 5 y = 5
8 Gesucht sind zwei Zahlen. Zieht man vom Doppelten der ersten Zahl fünf ab, so erhält
man die zweite Zahl. Addiert man zum Doppelten der ersten Zahl vier, so erhält man das
Doppelte der zweiten Zahl.
Lösung | Seite 210
9 Hannah hat zwei lineare Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren gelöst. Leider
sind ihr dabei Fehler passiert. Suche die Fehler und berichtige sie.
Wie hätte Hannah ihre Fehler bemerken können?
a)
I: 2 x + 3 y = 16
II: 3 x + 7 y = – 5
| · 3
| · (– 2)
b)
I: 3 x + 4 y = 9
II: 3 x – 6 y = 8
I a:
6 x + 9 y = 48
II a: – 6 x + 14 y = – 10
38
23 y = – 38 ¥ y = – ​ _ 
23 ​
38
y = – ​ _ 
23 ​einsetzen in I:
Ich ziehe Gleichung II von I ab.
I: 3 x + 4 y = 9
II: 3 x – 6 y = 8
1
– 2 y = 1 ¥ y = – ​ _ 
2 ​
241
x = ​ _ 
23  ​
​ 296  ​
3 x – 6 – _ 
​ 21 ​= 8 ¥ 3 x = 14,5 ¥ x = _ 
2 x – _ 
​ 114
23  ​= 16
( 
)
38
​ 241
Lösung: ​_ 
23  ​ | – ​ _ 
23 ​  ​
1
y = – ​ _ 
2 ​einsetzen in II:
( 
)
1
​  296  ​ | – ​ _ 
Lösung: ​_ 
2 ​  ​
20
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I Lineare Gleichungssysteme
10 Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden und ma­
che die Probe.
a)
b)
c)
d)
11 In Fig. 1 ist das Gleichungssystem I: 2 x + 3 y = 9
II: 4 x + 3 y = 15
geometrisch veranschaulicht. Alissa, Ben und Charlotte lösen das Gleichungssystem auf
­unterschiedliche Arten und stellen ihre Lösungen ebenfalls geometrisch dar.
Alissa: Ich multipliziere
Gleichung I mit – 2 und
addiere anschließend
I und II. Anschließend
zeichne ich die Geraden
zu Gleichung I und zu
I + II.
Ben: Ich multipliziere
­Gleichung II mit – 1 und
­addiere anschließend
I und II. Anschließend
zeichne ich die Geraden
zu Gleichung
II und zu I + II.
Charlotte: Ich gehe wie
Alissa vor, setze allerdings mein Ergebnis nach
der Addition von I und II
in Gleichung I ein, bevor
ich die Geraden zeichne.
a) Ordne die Bilder in Fig. 2, 3 und 4 den vorgestellten Lösungswegen zu.
b)Vergleicht man die in Fig. 2, 3 und 4 abgebildeten Geraden mit den Geraden in Fig. 1,
so stellt man fest, dass der Schnittpunkt der beiden Geraden gleich bleibt, auch wenn
sich der Verlauf einer (oder beider) Geraden verändert. Erkläre, warum dies der Fall ist.
Fig. 1
12 Löse die Gleichung.
a) 4 + 0,4 x = 3 (0,2 x + 1)
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Kannst du das noch?
b)​(6 x – 2)​2​– (9 x – 1) (4 x – 2) = 0
13 Ein Großvater sagt zu seinem Enkelsohn: „Ich bin jetzt 69 und dein Vater ist 40 Jahre alt.
Bei deiner Geburt war ich doppelt so alt wie dein Vater.“ Wie alt ist der Enkelsohn heute?
vgl. Seite 206
Lösung | Seite 211
4 Additionsverfahren
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21
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5 Problemlösen mit linearen Gleichungssystemen
Jan: 12 a = b
Nora: 12 a + b = 910
Fiona: a + b = 910
Carla und Timo gehen in die Klasse 9 a. Sie haben sich für Pia, die die Klasse 9 b besucht,
ein Rätsel ausgedacht. Sie soll anhand der Aussagen von Carla und Timo herausfinden,
wie viele Mädchen und wie viele Jungen die Klasse 9 a besuchen (Fig. 1).
1
2
3
4
Verstehen der Aufgabe
Was ist gegeben?
Carla hat 1,7-mal so viele Mitschülerinnen
wie Mitschüler, bei Timo sind es doppelt so
viele.
Zerlegen in Teilprobleme
Rechenplan erstellen
1.
Führe für die Anzahl der Schülerinnen
und Schüler je eine Variable ein.
Durchführen des Plans
1.
Einführen der Variablen
Anzahl der Mädchen: m
Anzahl der Jungen: j
2.
Aufstellen der Gleichungen:
Carlas Aussage: I: m – 1 = 1,7 j
Timos Aussage: II: m = 2 (j – 1)
Rückschau und Antwort
Kann das Ergebnis richtig sein?
Die Lösung ist sinnvoll, da die Ergebnisse
ganzzahlig sind und die Klassenstärke bei
etwa 30 Schülerinnen und Schülern liegt.
Was ist gesucht?
Gesucht ist die Anzahl der Schülerinnen
und Schüler der Klasse 9 a.
Carla: „Ich habe 1,7-mal
so viele Mitschülerinnen
wie Mitschüler.“
2.
Stelle zu den Aussagen von Carla und
Timo je eine Gleichung auf.
3.
Löse das Gleichungssystem.
3. Lösen des Gleichungssystems
II in I: 2 (j – 1) – 1 = 1,7 j
2 j – 2 – 1 = 1,7 j
0,3 j = 3
j = 10
in II:
m = 18
Timo: „Ich habe doppelt
so viele Mitschülerinnen
wie Mitschüler.“
Antwortsatz:
Die Klasse 9 a wird von 18 Mädchen und
10 Jungen besucht.
Schrittweise Lösung von Problemen:
1. Verstehen der Aufgabe
Was ist gegeben?
Was ist gesucht?
4. Rückschau und Antwort
Ergebnis überprüfen und
Antwort formulieren.
1
4
2
3
2. Zerlegen in Teilprobleme
Rechenplan und Rechenreihen­
folge erstellen.
Pia
Fig. 1
3. Rechenplan durchführen
Variable benennen, Terme
und G
­ leichungen aufstellen,
­Gleichungssystem lösen.
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