II.2.3 Erste Beispiele

45
II.2 Hamilton-Prinzip
II.2.3 Erste Beispiele
II.2.3
a Freier Massenpunkt
:::::::::::::::::::::::::::
Als mögliche Lagrange-Funktion für einen freien Massenpunkt mit Masse m und Position ~x(t)
kann man folgende Funktion annehmen:
m
L t, ~x(t), ~x˙ (t) = ~x˙ (t)2 .
2
(II.13)
Dabei sind die verallgemeinerten Koordinaten qi die kartesischen Koordinaten xi , so dass q̇i = ẋi .
Wegen der Gleichung
∂L t, ~x(t), ~x˙ (t)
= mẋi
∂ ẋi
ist der mit ~x(t) assoziierte verallgemeinerte Impuls einfach der (kinetische) Impuls ~p = m~x˙ . Wiederum ist ∂L/∂xi = 0. Dann drücken die assoziierten Euler–Lagrange-Gleichungen
∂L t, ~x(t), ~x˙ (t)
d ∂L t, ~x(t), ~x˙ (t)
i
= mẍ = 0 =
dt
∂ ẋi
∂xi
die Erhaltung dieses Impulses in der Bewegung, d.h. das erste Newton’sche Gesetz, aus.
46
Lagrange-Formalismus
II.2.3
b System aus Massenpunkten mit konservativen Kräften
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Für ein System aus N Massenpunkten, die miteinander über konservative Kräfte wechselwirken,
kann man als generalisierte Koordinaten einfach die Ortsvektoren betrachten, d.h. qi = xja , mit xja
der j-Koordinaten der Position vom Massenpunkt a. Dann lautet eine mögliche Lagrange-Funktion
N
X
m˙
~xa (t)2 − V {~xa (t)} = T − V
L t, {~xa (t)}, {~x˙ a (t)} =
2
(II.14)
a=1
mit T der kinetischen Energie.
Schreibt man nämlich die entsprechenden Euler–Lagrange-Gleichungen
d ∂L
∂L
=
,
dt ∂ ẋja
∂xja
so gilt einerseits, genau wie im obigen Fall des freien Massenpunkts, ∂L/∂ ẋja = mẋja . Daraus ergibt
sich sofort
d ∂L
= mẍja (t).
dt ∂ ẋja
Andererseits beträgt die Ableitung nach xja auf der linken Seite der Euler–Lagrange-Gleichung
∂L
∂xja
=−
∂V
= Faj ,
∂xia
wobei Faj die j-Komponente der Kraft auf den a-ten Massenpunkt bezeichnet. Insgesamt findet man
somit
mẍia = Fai ,
(II.15)
d.h. genau die j-Komponente der aus dem zweiten Newton’schen Gesetz bekannten Bewegungsgleichung für den a-ten Massenpunkt.
II.2.3
c System aus Massenpunkten mit nicht-konservativen Kräften
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Falls die Massenpunkte eines System miteinander über nicht-konservative Kräfte wechselwirken,
kann man generell keine allgemein geltende zugehörige Lagrange-Funktion schreiben. In zwei Fällen
sind jedoch Erweiterungen der Lagrange-Funktion (II.14) möglich, und zwar einerseits für Kräfte,
die aus einem verallgemeinerten, Zeit- und Geschwindigkeitsabhängigen Potential abgeleitet werden
können, andererseits für Reibungskräfte proportional zur Geschwindigkeit.
Kräfte aus einem generalisierten Potential
Betrachten wir eine nicht-konservative Kraft F~n.-k. auf einen Massenpunkt derart, dass ihre kartesischen Komponenten sich in der Form
∂U t, ~x(t), ~x˙ (t)
d ∂U t, ~x(t), ~x˙ (t)
j
Fn.-k. = −
+
für j = 1, 2, 3
(II.16a)
∂xj
dt
∂ ẋj
schreiben lassen, mit U einem verallgemeinerten Potential und xj (t) bzw. ẋj (t) der j-Komponente
der Position bzw. der Geschwindigkeit des Massenpunkts.
Vektoriell kann man schreiben
~ ~v U t, ~x(t), ~x˙ (t) ,
~ ~r U t, ~x(t), ~x˙ (t) + d ∇
F~n.-k. = −∇
dt
(II.16b)
~ ~r bzw. ∇
~ ~v den Gradienten bezüglich der Orts- bzw. Geschwindigkeitskoordinaten bewobei ∇
zeichnet.
Sei zudem V das Potential, aus dem die konservativen Kräften F~ auf den Massenpunkt folgen.
47
II.2 Hamilton-Prinzip
Dann stellt
m
(II.17)
L t, ~x(t), ~x˙ (t) = T − V − U = ~x˙ (t)2 − V ~x(t) − U t, ~x(t), ~x˙ (t)
2
eine geeignete Lagrange-Funktion für den Massenpunkt dar. Man prüft nämlich einfach nach, dass
die zugehörigen Euler–Lagrange-Gleichungen
j
mẍj = F j + Fn.-k.
für j = 1, 2, 3
sind.
~ eine reelle bzw. vektorielle Funktion von Zeit und Ort. Man kann eine
Beispiel: Sei Φ bzw. A
Lagrange-Funktion für einen Massenpunkt mit Position ~x(t) und Geschwindigkeit ~x˙ (t) durch
~ t, ~x(t)
U t, ~x(t), ~x˙ (t) = qΦ t, ~x(t) − q ~x˙ (t) · A
(II.18a)
definieren, mit q eine für den Massenpunkt charakteristische Zahl. Über die Beziehung (II.16b) führt
dieses verallgemeinerte Potential zur Kraft
h
~ t, ~x(t)
∂A
i
˙
~
~ ×A
~ t, ~x(t)
F~ = q − ∇Φ
t, ~x(t) −
.
(II.18b)
+ ~x(t) × ∇
∂t
~ ≡ −∇Φ
~ − ∂ A/∂t
~
~ ≡∇
~ × A,
~ dann ist dies genau die Lorentz-Kraft, die eine
Definiert man E
und B
~ B)
~ erfährt.
Punktladung q in einem elektromagnetischen Feld (E,
~ der
Bemerkung: Wie in § I.3.1 schon bemerkt wurde leistet der „magnetische Anteil“ q~
x˙ (t) × B
Lorentz-Kraft keine Arbeit. Diese Aussage entspricht genau der Tatsache, dass die Lorentz-Kraft
sich aus einem verallgemeinerten Potential über Gl. (II.16a) ableiten lässt.
Reibungskräfte
Im Gegensatz zu konservativen Kräften oder zur Lorentz-Kraft hängt die Arbeit von Reibungskräften zwischen zwei Punkten von der genauen Trajektorie ab. Dementsprechend kann man kein
generalisiertes Potential finden, mit dessen Hilfe Reibungskräfte über Gl. (II.16a) abgeleitet werden
können.
Für die Stokes’schen-Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit ist, kann man eine
Funktion einführen, deren Ableitung die Kraft ist. Im Fall der Kraft auf einen Massenpunkt mit
Position bzw. Geschwindigkeit ~x(t) bzw. ~x˙ (t) definiert man die Rayleigh (l) -Dissipationsfunktion
3
X
˙
D ~x(t) ≡
γj ẋj(t)2
(II.19)
j=1
mit positiven Koeffizienten γj . Nach Ableitung nach der Komponente ẋj der Geschwindigkeit folgt
∂D
= −γj ẋj(t),
(II.20)
∂ ẋj
d.h. eine Stokes’sche Reibungskraft mit unterschiedlichen Reibungskoeffizienten in drei Richtungen.
Führt man dann generalisierte
Koordinaten
q(t) ein, so lässt sich die Dissipationsfunktion durch
diese über D t, q(t), q̇(t) = D {~x˙ (t, q, q̇)} ausdrücken. Um die Bewegungsgleichungen zu erhalten
werden dann „modifizierte Lagrange-Gleichungen“ postuliert:
∂D t, q(t), q̇(t)
∂L t, q(t), q̇(t)
d ∂L t, q(t), q̇(t)
=
+
,
(II.21)
∂qi
dt
∂ q̇i
∂ q̇i
−
die das richtige Ergebnis liefern. Es muss aber betont werden, dass die Gleichungen (II.21), im
Gegensatz zu den üblichen Euler–Lagrange-Gleichungen, sich nicht aus einem Extremalprinzip herleiten lassen. In diesem Sinne ist die obige Konstruktion ziemlich künstlich.
(l)
J. W. Strutt, Lord Rayleigh, 1842–1919
48
Lagrange-Formalismus
Bemerkung: Das Interessante bei der Rayleigh-Dissipationsfunktion liegt daran, dass die instantane
Leistung, welche der Massenpunkt gegen die Reibungskraft verrichten muss, gleich 2D ist.
II.2.4 Systeme mit Zwangsbedingungen
Die individuellen Punkte eines Systems können sich oft nicht uneingeschränkt unabhängig voneinander bewegen. Stattdessen müssen die Koordinaten oder die Geschwindigkeiten der Punkte
gewisse Bedingungen genügen (§ II.2.4 a): beispielsweise müssen Abstände konstant bleiben, oder
die Punkte müssen auf einer gegebenen Fläche, oder innerhalb eines gegebenen Volumens bleiben.
Diese Einschränkungen der Bewegung werden durch Zwangskräfte erzwungen, deren Form nicht
immer einfach auszudrücken ist. Im Rahmen des Lagrange-Formalismus kann man die Bewegungsgleichungen formulieren, ohne die Zwangskräfte genau zu kennen, indem man geeignete verallgemeinerte Koordinaten verwendet (§ II.2.4 b).
II.2.4
a Zwangsbedingungen
:::::::::::::::::::::::::::::
A priori besetzt ein System aus N Massenpunkten 3N Freiheitsgrade für seine Bewegung, und
zwar Lagrange-Formalismus drei (orthogonal zueinander) Bewegungsrichtungen, die sich als die
insgesamt 3N Komponenten xja (t), a ∈ {1, . . . , N }, j = 1, 2, 3 der Ortsvektoren visualisieren lassen.
Sei angenommen, dass diese Massenpunkte Zwangskräften unterliegen. Diese einschränken die
Entwicklung des Systems, was sich mathematisch durch Gleichungen der Form
fi t, ~x1 (t), . . . , ~xN (t), ~x˙ 1 (t), . . . , ~x˙ N (t) = 0
(II.22)
mit fi einer genügend regulären Funktion von 6N + 1 Variablen. Wir werden annehmen, dass es r
unabhängige solche Beziehungen gibt, d.h. i ∈ {1, . . . , r}.
Definition: Eine Gleichungen der Form (II.22), in welcher nur die Zeit und die Positionen der Mas-
senpunkte auftreten, heißt holonome Zwangsbedingung (oder holonome Nebenbedingung):
fi t, ~x1 (t), . . . , ~xN (t) = 0,
(II.23)
wobei fi jetzt Funktion von 3N + 1 Variablen ist.
Dank jeder holonomen Zwangsbedingung lässt sich eine Koordinate durch alle anderen (und die
Zeit) ausdrücken, zumindest implizit. Ein System aus N Massenpunkten mit r Nebenbedingungen
hat somit nur noch s = 3N − r unabhängige Freiheitsgrade.
Bemerkungen:
∗ Einschränkungen der Bewegung können auch durch Ungleichungen ausgedrückt werden. Zum
Beispiel lässt das Einsperren von Teilchen in einem gegebenen Volumen, entsprechend einem Behälter, mit Ungleichungen formulieren. Dabei handelt es sich um eine nichtholonome Zwangsbedingung.
∗ Man unterscheidet noch zwischen skleronomen, d.h. zeitunabhängigen, und rheonomen, d.h. zeitabhängigen, Zwangsbedingungen.
Beispiel 1: Einfaches Pendel
Wir betrachten ein ebenes Pendel bestehend aus einer
Masse m am Ende
eines masselosen Stabs mit Länge l. Sei x(t), y(t), z(t) die Trajektorie der
Masse, wobei der Nullpunkt des Koordinatensystem im Aufhängepunkt des
Pendels genommen.
Das Pendel schwingt in der (x, y)-Ebene,
d.h. z(t) = 0: dies lässt sich durch
eine erste Zwangsbedingung f1 t, ~x(t) ≡ z(t) = 0 ausdrücken.
Wiederum entspricht die Forderung einer festen Länge l einer zweiten Zwangsbedingung f2 t, ~x(t) ≡ x(t)2 + y(t)2 − l2 = 0.
y
6
•
x
J
J
3J
ϕ l
J
J
JJ
•m
Abbildung II.1
Da es r = 2 Zwangsbedingungen gibt, bleibt nach deren Berücksichtigung nur s = 3N − r = 1
Freiheitsgrad übrig.
49
II.2 Hamilton-Prinzip
y6
−
PP
P
x
PP • P
PP
PP P
m
P
P
P
q
P
PP
q P
P
φ PPP
−
Sei jetzt ein durch einen Massenpunkt modellierte Körper
mit Masse m, der reibungslos auf einer Ebene gleitet.
Wegen einer ersten Zwangsbedingung f1 t, ~x(t) ≡ z(t) = 0
bleibt der Körper in der (x, y)-Ebene. Dazu bewegt er sich
in der schiefen Ebene mit Neigungswinkel φ, so dass seine
Koordinaten y(t) = x(t) tan φ (bis auf einer unwesentlichen
additiven Konstante) erfüllen. Dementsprechend
gibt es eine
zweite Zwangsbedingung f2 t, ~x(t) ≡ y(t) − x(t) tan φ = 0.
−−
Beispiel 2: Gleitende Masse auf einer schiefen Ebene
Abbildung II.2
Wie beim einfachen Pendel bleibt somit nur ein Freiheitsgrad übrig, d.h. ein einziger Parameter soll
reichen, um die Bewegung des Körpers völlig zu charakterisieren.
II.2.4 b Lagrange-Formalismus für Systeme mit Zwangsbedingungen
Einer der Vorteile des Lagrange-Formalismus besteht darin, dass man Kräfte und insbesondere
Zwangskräfte nicht explizit ausdrücken soll, um die Bewegungsgleichungen zu erhalten. Zu diesem
Zweck kann man einem relativ einfachen Rezept folgen:(11)
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
• Als erster Schritt muss man s = 3N −r verallgemeinerte Koordinaten q1 , . . . , qs einführen. Diese sollen so gewählt werden, dass sie die Konfigurationen des Systems parametrisieren, welche
die Zwangsbedingungen erfüllen. Dementsprechend sollen die qi durch die Nebenbedingungen
uneingeschränkt sein.
• Danach soll man die Lagrange-Funktion L = T − V , die man als Funktion der kartesischen
Ortskoordinaten kennt, durch die verallgemeinerten Koordinaten q(t) und Geschwindigkeiten
q̇(t) ausdrücken.
In diesem Falle enthält das Potential V eigentlich nur die Beiträge, die nicht Zwangskräfte
verursachen.
• Schließlich kann man die Euler–Lagrange-Gleichungen aufstellen und lösen — möglicherweise
numerisch.
Beispiel 1: Einfaches Pendel
Wir betrachten wieder das in Abb. II.1 dargestellte ebene Pendel. Die zwei Zwangsbedingungen
schränken die (kartesische) z-Komponente und den Abstand vom Aushängepunkt ein. Dagegen ist
der Ablenkwinkel ϕ noch uneingeschränkt, und jede Konfiguration des System, welche die Nebenbedingungen erfüllt, kann mit diesem Winkel ϕ alleine charakterisiert werden. Somit ist q = ϕ eine
gute Wahl für die (hier ist s = 1) verallgemeinerte Koordinate.
Dann lassen sich die kartesischen Koordinaten der Position x(t), y(t), z(t) einfach durch ϕ(t)
ausdrücken:
x(t) = l sin ϕ(t), y(t) = −l cos ϕ(t), z(t) = 0,
woraus ẋ(t) = l ϕ̇(t) cos ϕ(t), ẏ(t) = l ϕ̇(t) sin ϕ(t), ż(t) = 0 folgt. Ersetzt man diese kartesischen
Koordinaten im Ausdruck der kinetischen Energie
m
ml2
m
m
T = ~x˙ (t)2 =
ẋ(t)2 + ẏ(t)2 + ż(t)2 = l2 ϕ̇(t)2 cos2 ϕ(t) + sin2 ϕ(t) =
ϕ̇(t)2
2
2
2
2
und des Potentials
V = mgy(t) = −mgl cos ϕ(t),
so ergibt sich für die Lagrange-Funktion:
L=T −V =
(11)
ml2
ϕ̇(t)2 + mgl cos ϕ(t).
2
Die „Begründung“ des Rezepts wird später hinzugefügt.
50
Lagrange-Formalismus
Die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion lauten dann
∂L
= −mgl sin ϕ(t) und
∂ϕ
∂L
= ml2 ϕ̇(t).
∂ ϕ̇
Aus der zweiten folgt d(∂L/∂ ϕ̇)/dt = ml2 ϕ̈(t), so dass die Euler–Lagrange-Gleichung (II.9) zur
Bewegungsgleichung
g
ϕ̈(t) = − sin ϕ(t)
(II.24)
l
führt, wie der Leserin wahrscheinlich schon aus einer früheren Vorlesung bekannt ist.
Der Vollständigkeit halber: Lösung... (mehr später)
Schwingungen kleiner Amplitude: sin ϕ(t) ∼ ϕ(t)... trivial
Schwingungen beliebiger Amplitude: Multipliziere Gl. (II.24) mit ϕ̇(t) und integriere:
Z t
Z
g t
1
g
0
0
0
2
2
ϕ̈(t )ϕ̇(t ) dt = ϕ̇(t) − ϕ̇(t0 ) = −
sin ϕ(t0 ) ϕ̇(t0 ) dt0 =
cos ϕ(t) − cos ϕ(t0 ) .
2
l
l
t0
t0
Mit Anfangsbedingung ϕ(t0 ) ≡ ϕ0 , ϕ̇(t0 ) = 0 und Separation der Variablen:
s
2l
dϕ
√
dt = ±
g cos ϕ − cos ϕ0
führt zu einem elliptischen Integral erster Art.
Beispiel 2: Gleitende Masse auf einer schiefen Ebene
Für den gleitenden Körper der Abb. II.2, die Bewegung ist eingeschränkt in die Richtung senkrecht zur schiefen Ebene und die z-Richtung, jedoch ist noch frei entlang der Neigung der Ebene.
Daher stellt die dargestellte Entfernung (aus einem beliebigen Referenzpunkt) q eine geeignete generalisierte Koordinate dar. Dann gelten
x(t) = q(t) cos φ,
y(t) = −q(t) sin φ,
z(t) = 0,
bis auf additiven Konstanten, die von der genauen Position des Nullpunkts abhängen, und zu den
Bewegungsgleichungen nicht beitragen. Die Zeitableitungen sind trivial und führen zur kinetischen
Energie
m
m
T =
ẋ(t)2 + ẏ(t)2 + ż(t)2 = q̇(t)2 .
2
2
Wiederum lautet das Potential (noch einmal bis auf einer Konstante)
V = mgy(t) = −mgq(t) sin φ.
Dies gibt die Lagrange-Funktion
L=T −V =
m
q̇(t)2 + mgq(t) sin φ
2
mit partiellen Ableitungen
∂L
= mg sin φ und
∂q
∂L
= m q̇(t),
∂ q̇
so dass die Euler–Lagrange-Gleichung (II.9) zur Bewegungsgleichung
q̈(t) = g sin φ
führt.
II.2 Hamilton-Prinzip
Literatur zum Kapitel II
• Fließbach, Mechanik [1] Teil II, Kap. 7–10 & Teil III, Kap. 12–14.
• Goldstein, Klassische Mechanik [3] = Classical Mechanics [4], Kap. 1.3–1.6, 2.1–2.3 & 2.5.
• Greiner, Klassische Mechanik II [6] Kap. V.
• Landau & Lifschitz, Mechanik [8], Kap. I.
• Nolting, Analytische Mechanik [11] Kap. 1.
• Scheck, Mechanik [13] Kap. 2.1–2.10.
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