Analysis 2 Kurz-Skript - Prof Dr Jürgen Pöschel

Analysis 2
Kurz-Skript
Jürgen Pöschel
SS 05
15-I
15-J
Inhaltsverzeichnis
12 Funktionenräume
12-A Problemstellung . . . . . . . . . . . . . .
12-B Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
12-C Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . .
12-D Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . .
12-E Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
8
11
12
14
13 Integration
13-A Das Riemannsche Integral . . . . . . . .
13-B Eigenschaften des Riemannschen Integrals
13-C Der Hauptsatz der Integralrechnung . . .
13-D Berechnung von Integralen . . . . . . . .
13-E Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . .
13-F Parameterabhängige Integrale . . . . . . .
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17
19
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32
14 Anwendungen der Integralrechnung
14-A Taylorentwicklung . . . . . . . . .
14-B Faltungen . . . . . . . . . . . . . .
14-C Differenzialgleichungen . . . . . . .
14-D Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
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35
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40
44
15 Mehrdimensionale Differenzialrechnung
15-A Elemente der Linearen Algebra . . .
15-B Die totale Ableitung . . . . . . . . .
15-C Partielle Ableitungen . . . . . . . .
15-D Skalare Funktionen . . . . . . . . .
15-E Höhere partielle Ableitungen . . . .
15-F Die Taylorsche Formel . . . . . . .
15-G Lokale Extrema und Konvexität . .
15-H Invertierbare Abbildungen . . . . .
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74
Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
82
12-A
3F
Problemstellung
Die Funktionen
wn W R ! R;
12
wn .t/ D
t
1 C n2 t 2
konvergieren punktweise gegen die Nullfunktion. Es ist aber
Funktionenräume
wn0 .0/ D 1;
Also konvergiert
12-A
6
n 1:
wn0 .0/
nicht gegen die Ableitung der Grenzfunktion. G
Problemstellung
Funktionenräume
1F
Die Funktionen
un W Œ0; 1 ! R;
Sind X und E zwei beliebige, nichtleere Mengen, so ist
˚
F .X; E/ ´ Abb.X; E/ ´ f W X ! E
un .t / D t n
konvergieren punktweise gegen die Grenzfunktion
(
0; 0 t < 1;
uW Œ0; 1 ! R; u.t / D
1; t D 1:
die Menge aller Abbildungen von X nach E .
G
Ist E ein K-Vektorraum, so ist auch F .X; E/ ein K-Vektorraum.
Ist E ein Ring mit 1, so ist auch F .X; E/ ein Ring mit 1.
2F
Die Funktionen
vn W Œ1; 1 ! R;
vn .t / D
konvergieren punktweise gegen
vW Œ1; 1 ! R;
Aber
v.t / D
p
t 2 C 1=n2
Ist E aber ein Körper, so ist F .X; E/ kein Körper, wenn jXj > 1 !
Räume beschränkter Abbildungen
p
Sei E ein normierter Raum, mit Norm j j. Für eine Abbildung f W X ! E definiert man
t 2 D jtj:
8
ˆ
ˆ
< 1; 1 t < 0
lim vn0 .t / D 0;
t D0
ˆ
:̂ 1;
0 < t 1:
kf kX;1 ´ sup jf .x/j:
x2X
G
Definition Eine Abbildung f W X ! E einer nichtleeren Menge X in einen normierten Raum E heißt beschränkt, falls
kf kX;1 < 1:
7
Problemstellung
12-A
12.1 Satz Die folgenden Aussagen über eine Abbildung f W X ! E sind äquivalent.
(i) f ist beschränkt
12-B
(iv) Es gibt ein M 0, so dass jf .x/j M für alle x 2 X . 8
Räume differenzierbarer Abbildungen
Ist I ein Intervall, E ein Banachraum, so ist
C r .I; E/;
(ii) kf kX;1 < 1.
(iii) f .X/ ist beschränkt in E .
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
r D 0; 1; 2; : : : ; 1
der Raum der r-mal auf I stetig differenzierbaren Abbildungen f W I ! E . Für
r D 0 ist insbesondere
C 0 .I; E/ D C.I; E/:
Durch k k1 wird aber auf F .X; E/ im Allgemeinen keine Norm definiert.
Sei
˚
B.X; E/ ´ f 2 F .X; E/ W kf k1 < 1
der Raum der beschränkten Abbildungen von X nach E .
12.2 Satz B.X; E/ ist ein Untervektorraum von F .X; E/, auf dem k k1 eine
Norm definiert, die sogenannte Supremumsnorm. 12-B
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Im Folgenden sei X eine nichtleere Menge, E ein normierter Raum mit Norm j j.
Wie immer genügt es aber, für E die Räume
R;
Rm
C;
vor Augen zu haben.
Räume stetiger Abbildungen
Sei X ein metrischer Raum, E weiterhin ein normierter Raum.
˚
C.X; E/ ´ f 2 F .X; E/ W f ist stetig
ist der Raum aller stetigen Abbildungen von X nach E .
Eine Folge .fn / in F .X; E/ wird auch als E-wertige Funktionenfolge, oder auch
einfach als Funktionenfolge bezeichnet.
Definition Eine Folge .fn / in F .X; E/ konvergiert punktweise gegen eine Funktion f 2 F .X; E/, geschrieben
pw
fn ! f;
Ferner ist
BC.X; E/ ´ B.X; E/ \ C.X; E/
der Raum aller beschränkten stetigen Abbildungen X ! E .
Im Allgemeinen ist
BC.X; E/ C.X; E/:
n ! 1;
falls f .x/ D limn!1 fn .x/ für jedes x 2 X . In Quantoren:
8 8
9
8 jfn .x/ f .x/j < ":
">0 x2X N 0 nN
9
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
12-B
Definition Eine Folge .fn / in F .X; E/ konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f 2 F .X; E/, geschrieben
glm
fn ! f
oder fn !
! f;
n ! 1;
8
8 jfn .x/ f .x/j < ":
">0 N 0 x2X nN
glm
Klar: fn ! f
Funktionenreihen
Ist .fn / eine Folge in F .X; E/, so bezeichnet man
X
fn
Definition Eine Funktionenreihe in F .X; E/ konvergiert punktweise / gleichmäßig, wenn die Folge ihrer Partialsummen punktweise / gleichmäßig in F .X; E/ konvergiert. P
P
Außerdem konvergiert n fn absolut, falls n jfn .x/j für jedes x 2 X konvergiert.
In Quantoren:
9
pw
) fn ! f .
Es gelten folgende Zusammenhänge:
P
n fn konvergiert
Die Umkehrung gilt aber nicht.
gleichmäßig
absolut
gleichmäßig
12.3 Satz Die folgenden Aussagen über eine Funktionenfolge .fn / in F .X; E/
sind äquivalent.
!f.
(i) fn !
(ii) .fn f / ! 0
10
als Funktionenreihe in F .X; E/.
nN
für alle x 2 X . 8
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
n
falls es zu jedem " > 0 ein N 0 gibt, so dass
jfn .x/ f .x/j < ";
12-C
in B.X; E/ mit der Supremumsnorm.
(iii) kfn f kX;1 ! 0
in R . n; m N:
12.5 Korollar Ist E ein Banachraum, so ist B.X; E/ versehen mit der Supremumsnorm k kX;1 ebenfalls ein Banachraum. fn konvergiert
punktweise
punktweise
absolut
kfn kX;1 Mn ;
P
n n0 ;
fn absolut und gleichmäßig konvergent. P
P
Die Reihe n Mn bildet also eine gleichmäßige Majorante für n fn auf ganz
so ist
kfn fm kX;1 < ";
)
)
n
P
12.6 Weierstraßsches Majorantenkriterium Sei E ein Banachraum, und n fn
P
eine Funktionenreihe in F .X; E/. Existiert eine konvergente reelle Reihe n Mn
mit
Cauchy-Kriterium
12.4 Satz Sei E ein Banachraum. Dann ist eine Funktionenfolge .fn / in F .X; E/
gleichmäßig konvergent genau dann, wenn zu jedem " > 0 ein N 0 existiert mit
P
n
X.
P
n
12.7 Satz Besitzt die komplexe Potenzreihe
n an z einen positiven Konvergenzradius R , so konvergiert sie absolut und gleichmäßig auf jeder abgeschlossen
Kreisscheibe Br .0/ mit 0 < r < R . 11
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
12-C
12-C
Stetigkeit und Differenzierbarkeit
12-D
12
12.11 Satz Der Raum BC.X; E/ mit der Supremumsnorm ist ein Banachraum.
Ist darüberhinaus X kompakt, so ist sogar
Sei X ein metrischer Raum, und E weiterhin ein Banachraum.
12.8 Satz Konvergiert die Folge .fn / in F .X; E/ gleichmäßig gegen f , und
sind alle Funktionen fn stetig im Punkt a 2 X (stetig auf X), so ist auch f stetig
in a (stetig auf X). Potenzreihen
BC.X; E/ D C.X; E/;
und die Supremumsnorm stimmt mit der Maximumsnorm überein. Differenzierbarkeit
Definition Eine Folge .fn / in F .X; E/ heißt lokal gleichmäßig konvergent, geschrieben
Sei I ein Intervall.
12.12 Satz Sei .fn / eine Folge in C 1 .I; E/, so dass
loc
! f;
fn !
pw
wenn es zu jedem Punkt a 2 X eine Umgebung U gibt, so dass die Folge der
eingeschränkten Funktionen .fn jU / gleichmäßig konvergiert. 12.9 Satz Konvergiert eine Folge .fn / stetiger Funktionen in F .X; E/ lokal
gleichmäßig gegen f , so ist auch f stetig. fn ! f;
loc
fn0 !
!
loc
!f. in F .I; E/. Dann ist f 2 C 1 .I; E/ mit f 0 D . Außerdem gilt fn !
Konvergieren also die Ableitungen fn0 lokal gleichmäßig, so ist die punktweise
Grenzfunktion f stetig differenzierbar, und es ist
.lim fn /0 D lim fn0 :
Also kurz: Lokal gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen sind wieder ste-
Zudem konvergieren die fn selbst ebenfalls lokal gleichmäßig.
tig.
Die Umkehrung des letzten Satzes gilt nicht . . .
Dazu bedarf es zusätzlicher Annahmen.
12.10 Satz von Dini Sei X ein kompakter metrischer Raum. Ist .fn / eine Folge
in C.X/, die monoton und punktweise gegen eine Funktion f 2 C.X/ konvergiert,
so ist die Konvergenz lokal gleichmäßig. Beschränkte und stetige Funktionen
Der entsprechende Satz für Reihen.
P
12.13 Satz Sei .fn / eine Folge in C 1 .I; E/. Konvergiert die Reihe n fn punktP 0
P
weise und die Reihe n fn lokal gleichmäßig auf I , so ist n fn stetig differenzierbar, und es gilt
X
d X
fn D
fn0 :
dx n
n
P
Außerdem konvergiert n fn sogar lokal gleichmäßig. Betrachte den Raum
BC.X; E/ D B.X; E/ \ C.X; E/
der beschränkten und stetigen E-wertigen Funktionen auf X . Supremumsnorm:
12-D
Potenzreihen
kf kX;1 D sup jf .x/j:
x2X
Haben bereits erwähnt:
13
Potenzreihen
12-D
12.14 Satz Jede Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzkreises lokal gleichmäßig konvergent und definiert somit dort eine stetige Funktion. Für die Differenzierbarkeit beschränkten wir uns auf das Konvergenzintervall
IR D .R; R/ D BR .0/ \ R:
P
n
definiert in ihrem Konvergenzintervall I
12.15 Satz Jede Potenzreihe
n an t
eine stetig differenzierbare Funktion, deren Ableitung gegeben ist durch
X
0 X
an t n D
nan t n1 ;
t 2 I:
n0
n1
Diese Reihe hat denselben Konvergenzradius wie die ursprüngliche Reihe. 12-E
1 .n/
f .0/;
nŠ
n 0:
Dies ist auch die Grundlage des Prinzips des Koeffizientenvergleichs.
12.17 Prinzip des Koeffizientenvergleichs Gilt
X
X
an t n D
bn t n
n0
n0
n 0:
k 1:
Definiere damit die Binomialreihe
!
X ˛
tk:
˛ .t / D
k
k0
12.18 Satz Für jedes ˛ 2 R konvergiert die Binomialreihe für jtj < 1, und es gilt
!
X ˛
˛
tk:
.1 C t/ D
k
k0
Der Satz von Abel
12.19 Satz Konvergiert die reelle oder komplexe Reihe
Reihe
X
an t n
f .t / D
P
n
an , so konvergiert die
n0
auf Œ0; 1 gleichmäßig, und es gilt
X
an D f .1/ D lim f .t /:
n0
auf einem offenen Intervall um 0, so gilt
an D b n ;
14
Verallgemeinerte Binomialkoeffizienten: Für ˛ 2 R
!
!
˛
˛
˛.˛ 1/ .˛ k C 1/
´ 1;
´
;
0
k
kŠ
Diesen Satz kann man wiederholt anwenden . . .
P
12.16 Satz Eine Potenzreihe n an t n definiert im Innern ihres Konvergenzintervalls eine beliebig oft differenzierbare Funktion f , und für ihre Koeffizienten gilt
an D
Anmerkungen
t1
Die Binomialreihe
Wir kennen die binomische Formel
!
n
X
n k
t ;
.1 C t/n D
k
kD0
mit Binomialkoeffizienten
!
n.n 1/ .n k C 1/
n
nŠ
D
:
D
k Š .n k/Š
kŠ
k
12-E
Anmerkungen
Sei X nichtleere Menge, E Banachraum.
12.20 Fakt 1 Die gleichmäßig Konvergenz in F .X; E/ ist metrisierbar. Das heißt, es gibt eine Metrik d auf F .X; E/, so dass
! f:
d.fn ; f / ! 0 , fn !
Definiere zum Beispiel
15
Anmerkungen
d.f; g/ D
12-E
kf gkX;1
;
1 C kf gkX;1
oder
d.f; g/ D min kf gkX;1 ; 1 :
12.21 Fakt 2 Ist X höchstens abzählbar, so ist die punktweise Konvergenz in F .X; E/
metrisierbar. Das heißt, es gibt eine Metrik d auf F .X; E/, so dass
pw
d.fn ; f / ! 0 , fn ! f:
Für X D fx1 ; x2 ; : : :g abzählbar unendlich definiere zum Beispiel
X 1
jf .xn / g.xn /j
:
d.f; g/ D
n
2
1
C
jf .xn / g.xn /j
n0
12.22 Fakt 3 Ist X überabzählbar, so ist die punktweise Konvergenz im Allgemeinen nicht metrisierbar. Konkret gilt zum Beispiel:
12.23 Satz Es gibt keine Metrik auf C.Œ0; 1/, so dass die Konvergenz in dieser
Metrik genau die punktweise Konvergenz ist. Für Details siehe Behrends 2, Seite 17–22.
12-E
Anmerkungen
16
13
Integration
18
Mit den ersten zwei Forderungen ist das Integral bereits für eine gewisse Klasse
von Funktionen eindeutig fixiert.
13
Definition Eine Funktion f 2 F .I / heißt Treppenfunktion, wenn es eine endliche
Unterteilung
Integration
a D x0 < x1 < < xn D b
Sei I D Œa; b ein kompaktes Intervall. Auf einer möglichst großen Klasse von
Funktionen
f j.xi 1 ;xi / D const;
(» ˙ « für »summierbar«) soll eine Abbildung J definiert werden,
f 7! J.f /;
die f das »Integral von f über I « J.f / zuordnet.
Dieses Funktional sollte gewisse »natürliche« Eigenschaften habe.
1. Linearität:
Jede Treppenfunktion ist eine Linearkombination von Indikatorfunktionen:
f 2 T .I / , f D
J.J / D jJ j:
J W I ! R;
(
j .t / D
1;
t 2 J;
0;
t … J:
ai Ji
mit gewissen reellen Zahlen ai und Intervallen Ji I . Dann muss auch gelten:
n
X
ai J.Ji / D
iD1
J.˛f C ˇg/ D ˛J.f / C ˇJ.g/:
2. Normierung: Ist J I ein offenes, halboffenes oder abgeschlossenes Intervall der Länge jJ j , so gilt für dessen Indikatorfunktion J :
n
X
iD1
J.f / D
Dabei ist
1 i n:
Die Menge der Treppenfunktionen in F .I / wird mit T .I / bezeichnet. ˙.I / F .I / D F .I; R/
J W ˙.I / ! R;
von I D Œa; b gibt, so dass
n
X
ai jJi j:
iD1
Damit ist das Integral für Treppenfunktionen eindeutig festgelegt – oder fast eindeutig . . .
13.1 Lemma Für f 2 T .I / hängt der Wert von J.f / nicht von der Darstellung von f als Linearkombination von Indikatorfunktionen ab. Also setzen wir dann
Z
n
X
f .x/ dx ´
ai jJi j;
I
iD1
f D
n
X
ai Ji :
iD1
! f in ˙.I /, dann auch
3. Stetigkeit: Falls fn !
J.fn / ! J.f /:
Definition Eine Funktion f 2 F .I / heißt Regelfunktion, wenn sie gleichmäßiger
Limes von Treppenfunktionen ist. Die Menge der Regelfunktionen wird mit R.I /
bezeichnet. Ist nun f 2 R.I /, und
fn !
! f;
fn 2 T .I /;
19
Das Riemannsche Integral
13-A
so ist notwendigerweise
Z
f .x/ dx ´ J.f / lim ´ J.fn /:
13-A
Auch dieser Wert hängt nicht von der Wahl der Folge .fn / ab. Dieses Integral heißt
das Cauchy-Integral von f .
k 2 Ik ;
C.I / R.I / B.I /:
1 k n;
und
RT .f / ´
Es gilt zum Beispiel
20
Definition Ist T D ft0 ; : : : ; tn g eine Teilung von I , so heißt M D f1 ; : : : ; n g
eine Menge zugehöriger Messpunkte, falls
n!1
I
Das Riemannsche Integral
n
X
n
X
f .k /k D
kD1
f .k /.tk tk1 /
kD1
die zu T und M gehörende Riemannsche Zwischensumme von f . Alle stetigen Funktionen auf I sind also Cauchy-integrierbar.
Mit den Bezeichnungen der Einleitung ist
RT .f / D J.fT /;
13-A
Das Riemannsche Integral
Sei I D Œa; b ein kompaktes Intervall, E ein Banachraum, zum Beispiel R oder
Rm , und
f 2 B.I; E/:
n
X
f .k /Ik ;
kD1
also das »natürliche Integral« der Treppenfunktion fT .
Definition Ist f 2 B.I; E/ und J I , so heißt
osc.f; J / D sup fjf .x/ f .y/j W x; y 2 J g
Ziel ist es, das Integral
Z
f .t/ dt 2 E
die Schwankung von f über J . Im Falle einer skalaren Funktion ist
I
osc.f; J / D sup f inf f:
zu definieren . . .
J
Definition Eine Teilung des Intervalls I D Œa; b ist eine endliche Teilmenge T D
ft0 ; t1 ; : : : ; tn g I derart, dass
a D t0 < t1 < < tn D b:
Die n C 1 Teilungspunkte tn bestimmen n Teilungsintervalle
Ik ´ Œtk1 ; tk ;
fT D
1 k n;
mit Längen k ´ jIk j D tk tk1 . Die Größe
kT k ´ max f1 ; : : : n g
heißt Feinheit der Teilung T . J
Definition Ist T eine Teilung von I , so heißt
ST .f / ´
n
X
osc.f; Ik /k
kD1
die zu T gehörende Schwankungssumme von f . 21
Das Riemannsche Integral
13.2
13-A
Lemma A Sind T T 0 zwei Teilungen von I , so gilt
13-B
13.7
jRT .f / RT 0 .f /j ST .f /
ST 0 .f / ST .f /:
Eigenschaften des Riemannschen Integrals
Satz Ist f 2 B.I; E/ integrierbar, so gilt
Z
f .t / dt D lim RT .f /:
kT k!0
I
13.3
Lemma B Für zwei beliebige Teilungen T1 und T2 von I gilt
ˇ
ˇ
ˇRT .f / RT .f /ˇ ST .f / C ST .f /:
1
2
1
2
Das heißt, zu jedem " > 0 gibt es ein ı > 0 , so dass
ˇ
ˇZ
ˇ
ˇ
ˇ f .t / dt RT .f /ˇ < "
ˇ
ˇ
13.4
Lemma C Sind T und T 0 zwei beliebige Teilungen von I , und gilt
für jede Teilung T von I mit kT k < ı . max
1ln0
0l
I
min k ;
1kn
13.8
so folgt
ST 0 .f / 3 ST .f /:
Korollar Ist f 2 B.I; E/ integrierbar, so ist
Z
f .t / dt D lim RTn .f /
n!1
I
für jede beliebige Folge von Teilungen Tn mit kTn k ! 0. Definition Eine Funktion f 2 B.I; E/ heißt integrierbar, genauer Riemannintegrierbar, wenn es zu jedem " > 0 eine Teilung T von I gibt mit
ST .f / < ":
13-B
Eigenschaften des Riemannschen Integrals
Gerechtfertigt wird diese Definition durch den folgenden Satz.
13.5 Satz und Definition Ist f 2 B.I; E/ integrierbar, so existiert genau ein
Element ˙ 2 E , so dass
(1)
jRT .f / ˙j ST .f /
für jede Teilung T von I . Dieses Element ˙ heißt das (Riemannsche) Integral von
f über I , geschrieben
Z
f .t/ dt:
I
13.6
Satz Ist f 2 B.I; E/ stetig, so ist f integrierbar. 13.9
Satz Sind f; g 2 B.I; E/ integrierbar, und ˛; ˇ 2 K, so sind auch
˛f C ˇg;
jf j
integrierbar, und es gilt
Z
Z
Z
(2)
.˛f C ˇg/ dt D ˛ f dt C ˇ g dt;
I
I
ˇ Z I
ˇZ
ˇ
ˇ
ˇ f dt ˇ jf j dt:
(3)
ˇ
ˇ
I
I
22
23
Eigenschaften des Riemannschen Integrals
13-B
13.10 Satz Sei I D Œa; b und a < c < b . Ist die Funktion f 2 B.I; E/ integrierbar über Œa; b, so auch über Œa; c und Œc; b, und umgekehrt. Es gilt dann
Z
Z
Z
f dt D
f dt C
f dt:
Œa;b
Œa;c
Œb;c
13.11 Satz Eine vektorwertige Funktion
f D .f1 ; : : : ; fm / 2 B.I; Rm /
ist integrierbar genau dann, wenn ihre Komponenten f1 ; : : : ; fm integrierbar sind.
Es gilt dann
Z
Z
f dt D
fk dt
:
I
I
1km
13.12 Satz Sind f; g 2 B.I; R/ integrierbar, und gilt f g auf I , so gilt auch
Z
Z
f dt g dt:
I
I
13.13 Satz Ist f 2 B.I; E/ integrierbar, so gilt
ˇ
ˇZ
ˇ
ˇ
ˇ f dt ˇ kf k jI j:
I;1
ˇ
ˇ
13-C
Der Hauptsatz der Integralrechnung
13.15 Lemma Sei I ein Intervall und A R eine beliebige Nullmenge. Dann
gibt es zu jedem " > 0 eine Teilung T von I mit
X
jIk j < ":
Ik A
Redeweise Eine Eigenschaft gilt »fast überall« in einer Menge M , wenn sie höchstens auf einer Nullmenge in M nicht gilt. 13.16 Satz Ist f 2 B.I /; E/ fast überall 0, so ist f integrierbar, und
Z
f dt D 0:
I
Verlangt wird also, dass ft 2 I W f .t / ¤ 0g eine Nullmenge ist.
13.17 Korollar Seien f; g 2 B.I; E/. Ist f integrierbar und f D g fast überall,
so ist auch g integrierbar, und es gilt
Z
Z
f dt D g dt:
I
I
13.18 Satz Ist f 2 B.I; E/ fast überall stetig, so ist f integrierbar. I
13.14 Mittelwertsatz der Integralrechnung Ist f W Œa; b ! R stetig, so gibt es
ein 2 .a; b/ mit
Z
f dt D f ./.b a/:
Œa;b
Definition Eine Menge A R heißt eine Nullmenge, genauer Jordan-Nullmenge,
wenn es zu jedem " > 0 endlich viele offene Intervalle J1 ; : : : ; Jr gibt mit
[
X
A
Jl ;
jJl j < ":
1lr
1lr
Notation Für Mengen A und B sei
A B , A \ B ¤ ∅;
gelesen »A trifft B «. 24
13-C
Der Hauptsatz der Integralrechnung
13.19 Satz Sei f 2 B.I; E/ integrierbar. Dann wird durch
Z
f dt;
x 2 I D Œa; b
F0 .x/ D
Œa;x
eine Funktion F0 W I ! E definiert, für die gilt:
(i) F0 ist Lipschitz-stetig mit L-Konstante kf kI;1 .
(ii) Ist f im Punkt x0 2 I stetig, so ist F0 in x0 differenzierbar, und es gilt
F00 .x0 / D f .x0 /:
(iii) Ist f stetig, so ist F0 stetig differenzierbar, und es gilt F00 D f . 25
Der Hauptsatz der Integralrechnung
13-C
Definition Eine differenzierbare Funktion F W I ! E heißt Stammfunktion einer
Funktion f W I ! E , falls auf I
F 0 D f:
13-D
Berechnung von Integralen
Der Hauptsatz schreibt sich damit
Z
Z b
f dt D
f dt;
Œa;b
13.20 Beobachtung Verschiedene Stammfunktionen einer Funktionen f W I ! E
unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. 13.21 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Ist f 2 B.Œa; b; E/
stetig und F irgendeine Stammfunktion von f , so gilt
Z
f dt D F .b/ F .a/:
Œa;b
ˇb
ˇb
F .b/ F .a/ D F .x/ ˇa D F ˇa :
wobei links das Riemannsche Integral von f , und rechts die Auswertung einer beliebigen Stammfunktion von f zwischen a und b steht.
Vereinbarung:
Z
Z a
f dt D b
b
f dt;
a < b:
a
a
c
Z
f dt C
a
b
f dt;
c
wenn f auf I integrierbar ist.
Der Hauptsatz lautet damit
Z
ˇb
f dt D F .x/ ˇa :
Œa;b
13-D
Das unbestimmte Integral von f ist die Parallelschar aller Stammfunktionen F
von f :
Z
f dt D hF i ´ fF C c W c 2 E g:
Es ist die Äquivalenzklasse von F bezüglich der Äquivalenzrelation
F G , F G D const :
Wir schreiben dafür kurz
Z
f dt D F C const :
Es gilt dann
Z
.˛f C ˇg/ dt D h˛F C ˇGi
Z
D ˛hF i C ˇhGi D ˛
a
Dann gilt immer
Z
Z b
f dt D
Notationen
26
Z
f dt C ˇ
g dt:
Berechnung von Integralen
Zu lösen ist die Gleichung
F 0 D f;
wenn f gegeben ist.
a; b; c 2 I;
27
Berechnung von Integralen
Z
t ˛ dt D
Z
Z
e
1 ˛C1
;
t
˛C1
t ¤ 0:
1
dt D et ;
¤ 0;
Z
sin t D cos t
Merkregel: Für die Variablentransformation
Z
dt
D arctan t;
1 C t2
Z
dt
D arcsin t;
1 < t < 1;
p
2
1
Z t
dt
1
1Ct
D log
;
1 < t < 1:
1 t2
2
1t
t D .u/
ist formal
dt
D 0 .u/;
du
13.22 Satz Für f; g 2 C 1 .I / gilt
Z
Z
f 0 .t /g.t / dt D f .t/g.t/ f .t /g 0 .t/ dt:
dt D 0 .u/ du:
.u/
Dies ist nur eine Merkregel, kein Beweis.
13.23 Korollar Sei F eine Stammfunktion von f 2 C 0 .I / und g 2 C 1 .I /.
Dann gilt
Z
Z
f .t/g.t/ dt D F .t/g.t/ F .t/g 0 .t/ dt:
Substitution
13.24 Satz Sei f 2 C 0 .I; E/ und 2 C 1 .I ; R/ mit .I / I . Dann gilt
Z .b/
Z b
f ..u// 0 .u/ du D
f .t/dt
.a/
oder
Durch Einsetzen wird damit
ˇ
Z
Z
ˇ
f .t / dt ˇˇ
D f ..u// 0 .u/ du:
Partielle Integration
für beliebige a; b; 2 I . 28
Bemerkung. Dieser Satz gilt auch für integrierbare Funktionen f 2 B.I; E/.
Die Stetigkeit von f ist nicht notwendig. Z
Berechnung von Integralen
.u/
cos t D sin t;
a
13-E
13.25 Korollar Für die unbestimmten Integrale gilt unter denselben Voraussetzungen
ˇ
Z
Z
ˇ
f ..u// 0 .u/ du D f .t / dt ˇˇ
:
˛ ¤ 1;
1
dt D log jt j;
t
t
13-D
13.26 Satz Ist 2 C 1 .I; R/ nirgends 0, so gilt
Z 0
.t/
dt D log j.t /j C const:
.t /
Partialbruchzerlegung
29
Uneigentliche Integrale
13-E
13-E
Uneigentliche Integrale
xb
a
wenn der Limes existiert, das uneigentliche Integral von f über Œa; b/, und man
sagt, das uneigentliche Integral existiert oder konvergiert. Existiert der Limes nicht,
so heißt das uneigentliche Integral divergent.
Analoges gilt für f W .a; b ! E mit 1 a < b . Gilt im Falle der Divergenz insbesondere
Z x
f .t/ dt D ˙1;
lim
xb
a
und nennt das Integral eigentlich divergent.
c
a
c
konvergiert für ˇ < 1 und divergiert für ˇ 1. Bemerkung. Die Integrationsgrenze 1 kann natürlich durch jede andere positive
reelle Zahl ersetzt werden. u
Definition Sei 1 a < b 1, und die Funktion f W .a; b/ ! E sei über
jedem kompakten Teilintervall von .a; b/ integrierbar. Existieren für ein beliebiges
c 2 .a; b/ die beiden uneigentlichen Integrale
Z c
Z b
f .t/ dt;
f .t/ dt;
a
konvergiert für ˛ > 1 und divergiert für ˛ 1.
Das uneigentliche Integral
Z 1
1
dt
ˇ
0 t
(iii) Zu jedem " > 0 existiert ein c 2 Œa; b/, so dass für alle u; v 2 .c; b/
ˇZ v
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ < ":
f
.t
/
dt
ˇ
ˇ
a
a
30
13.28 Satz Sei a < b 1, und f W Œa; b/ ! E sei über jedem kompakten
Teilintervall von Œa; b/ integrierbar. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
Rb
(i) Das uneigentliche Integral a f .t / dt konvergiert.
Rx
(ii) Für die Funktion F .x/ D a f .t / dt existiert limxb F .x/.
so schreibt man auch
Z b
f .t/ dt D ˙1;
so existiert oder konvergiert das uneigentliche Integral
Z b
Z c
Z b
f .t/ dt ´
f .t/ dt C
f .t / dt:
Uneigentliche Integrale
13.27 Satz Das uneigentliche Integral
Z 1
1
dt
t˛
1
Definition Sei a < b 1, und die Funktion f W Œa; b/ ! E sei über jedes
kompakte Teilintervall von Œa; b/ integrierbar. Dann heißt
Z b
Z x
f .t/ dt ´ lim
f .t/ dt;
a
13-E
Man überlegt sich leicht, dass diese Definition nicht von der Wahl des Zwischenpunktes c 2 .a; b/ abhängt.
13.29 Satz Sei a < b 1 und f W Œa; b/ ! E sowie gW Œa; b/ ! R . Gilt
jf .t /j g.t/;
t 2 .c; b/;
Rb
Rb
für ein c 2 Œa; b/ und konvergiert a g.t/ dt , so konvergiert auch a f .t / dt . Tatsächlich konvergiert unter diesen Voraussetzungen sogar
Z b
jf .t /j dt:
a
Rb
f .t / dt ist absolut konvergent.
Rb
Bemerkung. Das uneigentliche Integral a f .t / dt ist absolut konvergent genau dann, wenn es eine Konstante M 0 gibt, so dass
Man sagt, das uneigentliche Integral
a
31
Uneigentliche Integrale
Z
x
a
jf .t/j dt M;
x 2 Œa; b/:
13-F
13-F
13.30 Satz Ist die Funktion f W Œa; 1/ ! E auf jedem kompakten Teilintervall
integrierbar, und gilt
jf .t/j c
;
t˛
13-F
Parameterabhängige Integrale
Parameterabhängige Integrale
Betrachte Funktionen
f W I Œa; b ! E;
t t0 ;
für ein ˛ > 1 und c > 0 , so ist das uneigentliche Integral
R1
a
f .t / dt konvergent.
Die Gammafunktion
32
.; t/ 7! f .; t /;
wo das erste Argument, , die Rolle des Parameters in einem beliebigien Intervall
I spielt, und das zweite Argument, t , zunächst auf ein kompaktes Intervall Œa; b
beschränkt ist. Dann definieren wir – unter geeigneten Voraussetzungen – eine neue
Funktion
Z b
f .; t / dt;
F W I ! E;
7! F ./ D
a
und nennen F ein Integral mit Parameter, oder ein parameterabhängiges Integral.
Definition Die Gammafunktion W .0; 1/ ! R ist definiert durch
Z 1
t ˛1 et dt:
.˛/ D
0
13.33 Satz Ist f W I Œa; b ! E stetig, so ist auch
Z b
f .; t / dt
F W I ! E;
F ./ D
a
13.31 Satz Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung
.˛ C 1/ D ˛ .˛/;
˛ > 0:
Partielle Ableitung nach :
Insbesondere gilt für alle natürlichen Zahlen
.n C 1/ D nŠ ;
n 0:
stetig. Konvergenzkriterium
13.32 Satz Ist die Funktion W Œ0; 1/ ! R positiv und monoton fallend, so konvergiert die Reihe
X
.n/
n0
genau dann, wenn das uneigentliche Integral
Z 1
.t/ dt
f . C h; t/ f .; t /
@f
.; t/ ´ lim
:
@
h
h!0
Andere Notation: f .; t/.
13.34 Satz Ist f W I Œa; b ! E partiell nach der ersten Variable differenzierbar, und sind f und f stetig auf I Œa; b, so ist auch die Funktion
Z b
f .; t / dt
F W I ! E;
F ./ D
a
auf I stetig differenzierbar, und es gilt
Z b
F 0 ./ D
f .; t/ dt:
a
0
konvergiert. Kurz: Ist f stetig, so darf man unter dem Integral differenzieren.
33
Parameterabhängige Integrale
13-F
Nun ein entsprechender Satz für uneigentliche Integrale.
13.35 Satz Sei a < b 1, die Funktion f W I Œa; b ! E sei stetig, und das
uneigentliche, parameterabhängige Integral
Z b
f .; t/ dt
F W I ! E;
F ./ D
a
existiere für jedes 2 I . Dann gilt:
(i) Existiert zu jedem 0 2 I eine Umgebung U I von 0 und eine uneigentlich über Œa; b/ integrierbare Funktion gW Œa; b/ ! R mit
jf .; t/j g.t/;
.; t/ 2 U Œa; b/;
so ist F auf I stetig.
(ii) Besitzt f außerdem eine stetige partielle Ableitung f , und gilt für diese
eine entsprechende Abschätzung wie in (i) für f , so ist F stetig differenzierbar, und
es gilt
Z b
F 0 ./ D
f .; t / dt:
a
Wir verlangen in (ii) also, dass zu jedem 0 2 I eine Umgebung U I und
eine uneigentlich über Œa; b/ integrierbare Funktion hW Œa; b/ ! R existiert mit
jf .; t /j h.t/;
.; t/ 2 U Œa; b/:
13-F
Parameterabhängige Integrale
34
14-B
14
Anwendungen der Integralrechnung
a
14.1
a
Korollar 2 (Restgliedformel von Lagrange)
Taylorentwicklung
Rn .x/ D
Sei I ein Intervall, E ein Banachraum. Wir betrachten noch einmal die Entwicklung
einer Funktion f W I ! E in sein Taylorpolynom.
36
14.3 Satz (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f W I ! R stetig und
gW I ! R nicht-negativ und integrierbar. Dann gibt es zu jedem Intervall Œa; b I ein 2 .a; b/ mit
Z b
Z b
f .t/g.t/ dt D f ./
g.t/ dt:
14.4
14-A
Faltungen
1 .nC1/
./.x x0 /nC1
f
nŠ
mit einem zwischen x0 und x . Satz Ist f 2 C nC1 .I; E/, so gilt für beliebige x0 ; x 2 I
f .x/ D
n
X
f .k/ .x0 /
.x x0 /k C Rn .x/
kŠ
14-B
Faltungen
kD0
mit
Rn .x/ D
1
nŠ
Z
x
Seien
.x u/n f .nC1/ .u/ du
m ; : : : ; m
x0
hnC1
D
nŠ
Z
0
1
.1 t/n f .nC1/ .x0 C t h/ dt;
nicht-negative reelle Zahlen, sogenannte Gewichte, mit
m
X
wobei h D x x0 . l D 1:
lDm
Dies ist das Restglied der Taylorformel in Integraldarstellung.
Für reellwertige Funktionen erhalten wir daraus die Formeln von Cauchy und
Lagrange für das Restglied.
14.2
Korollar 1 (Restgliedformel von Cauchy)
1 .nC1/
./.x /n .x x0 /
Rn .x/ D
f
nŠ
mit einem zwischen x0 und x . Für f 2 C nC1 .I; R/ ist
Einer doppelt-unendlichen Folge
x D .xk /k2Z D .: : : ; x1 ; x0 ; x1 ; : : : /
wird eine neue doppelt-unendliche Folge
y D .yk /k2Z D .: : : ; y1 ; y0 ; y1 ; : : : /
zugeordnet durch
yk D
m
X
lDm
xkl l ;
k 2 Z:
Für f 2 C nC1 .I; R/ ist
37
Faltungen
14-B
Übergang zu Integralen: Seien
f W R ! R;
stetig. Setze dann
14-B
14.6
Faltungen
38
Satz Sei 2 Co0 .R/. Dann wird durch T f D f ein linearer Operator
T W C 0 .R/ ! C 0 .R/
W R ! R
mit folgenden Eigenschaften definiert:
Z
g.x/ D
f .x t/.t/ dt;
R
x 2 R:
Definition Der Träger einer Funktion W X ! R , wobei X beliebiger metrischer
Raum, ist die Menge
supp ´ clos fx 2 X W .x/ ¤ 0g:
(i) Ist f beschränkt, so ist auch T f beschränkt, und es gilt
Z
kT f kR;1 kf kR;1 j.t /j dt:
R
(ii) Ist f ein Polynom, so ist T f ein Polynom von höchstens demselben Grad.
(iii) Ist 2 Cor .R/, so ist T f 2 C r .R/, und es gilt
Dabei steht ›supp‹ für ›support‹. Der Träger einer Funktion ist also der Abschluss
der Menge, auf der die Funktion nicht verschindet.
D r .T f / D TD r f;
0 r n;
wobei D D d= dx . Die Faltungsoperation
Definition Es seien f; g 2 C 0 .R/, und wenigstens eine der Funktionen habe kompakten Träger. Dann ist die Faltung oder Konvolution von f und g erklärt als die
Funktion
f gW R ! R
mit
Ein allgemeiner Approximationssatz
Gegeben sei eine stetige Funktion
f W Œa; b ! R:
Wir wollen f durch glatte Funktionen beliebig genau approximieren.
›Glatt‹ bedeutet ›beliebig oft differenzierbar‹.
Z
f .x t/g.t/ dt;
.f g/.x/ D
R
14.5
x 2 R:
Lemma Unter der Voraussetzung der vorangehenden Definition gilt
f g D g f:
Notation:
Cor .R/ ´ ff 2 C r .R/ W supp f ist kompaktg:
Fixiere 2 Co0 .R/. Damit definieren wir den Faltungsoperator
T W f 7! T .f / D f :
Definition Eine Folge .n /n von Funktionen in C 0 .R/ heißt eine Dirac-Folge,
wenn gilt:
(i) n 0 für alle n,
R
für alle n,
R n .t/ dt D 1
(ii)
(iii) zu jedem " > 0 und ı > 0 existiert ein N , so dass
Z ı
n .t/ dt 1 ";
n N:
ı
14.7
Satz Sei .n /n eine Dirac-Folge. Dann gilt für jede Funktion f 2 Co0 .R/
! f;
f n !
n ! 1:
39
Faltungen
14-B
14.8 Satz Sei I D Œa; b ein kompaktes Intervall. Dann gibt es zu jeder stetigen
Funktion f W I ! R eine Folge .fn / glatter Funktionen auf I mit
kf fn kI;1 ! 0:
14-C
14-C
Differenzialgleichungen
40
Differenzialgleichungen
Lineare Differenzialgleichungen
Diese sind von der Form
y 0 D p.x/y C q.x/;
Ein polynomialer Approximationssatz
14.9 Weierstraßscher Approximationssatz Sei I D Œa; b ein kompaktes Intervall. Dann gibt es zu jeder stetigen Funktion f W I ! R eine Folge .pn /n von
Polynomen mit
kf pn kI;1 ! 0:
14.10 Korollar Sei I D Œa; b ein kompaktes Intervall. Dann liegen die Polynome
im Raum C 0 .I / mit der Supremumsnorm dicht. mit stetigen Funktionen p und q auf einem Intervall .a; b/. Die Gleichung heißt
homogen, falls q 0, andernfalls inhomogen.
Man spricht von einem Anfangswertproblem (AWP), wenn die Lösung außerdem
noch
y.x0 / D y0
für ein x0 2 .a; b/ erfüllen soll.
Betrachte zuerst den homogenen Fall.
14.11 Satz Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung y 0 D p.x/y ist
y.x/ D ceP .x/ ;
c 2 R;
wobei P irgendeine Stammfunktion von p ist. Bemerkung. Dies sind auch die einzigen Lösungen, wie man leicht zeigen kann. Betrachte nun den inhomogenen Fall.
14.12 Satz Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
y 0 D p.x/y C q.x/
ist von der Form
y.x/ D yp .x/ C yh .x/;
wobei yp irgendeine partikuläre Lösung der inhomogenen DGl und yh die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGl bezeichnet. Es kommt also nur noch darauf, eine einzige Lösung der inhomogenen Gleichung
zu finden. Dies geschieht mit der Methode der Variation der Konstanten.
Ist y irgendeine nicht-triviale Lösung der homogenen Gleichung, so führt der
Ansatz
yp D c.x/y.x/
41
Differenzialgleichungen
14-C
14-C
Differenzialgleichungen
42
Homogene Differenzialgleichungen
zu der Gleichung
q.x/
c0 D
:
y.x/
Eine DGl
Somit ist c eine Stammfunktion zu q=y . Speziell mit y D eP ergibt sich:
14.13 Satz Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
y 0 D p.x/y C q.x/
y 0 D f .x; y/
heißt homogen, falls
f .x; y/ D f .x; y/;
> 0;
für alle .x; y/ im Definitionsbereich von f .
ist
y.x/ D .c C d.x//eP .x/ ;
c 2 R;
wobei P irgendeine Stammfunktion von p und d irgendeine Stammfunktion von
qeP bezeichnet. Separierbare Differenzialgleichungen
Eine separierbare DGl hat die Form
(1)
0
y D g.x/k.y/
14.16 Proposition H-1 Ist x 7! y.x/ Lösung einer homogenen DGl, so auch
x 7! y.x/
Q
D y.x=/
für jedes > 0 . 14.17 Proposition H-2 Es ist x 7! y.x/ eine Lösung der homogenen DGl
y 0 D f .x; y/;
x > 0;
genau dann, wenn x 7! u.x/ D y.x/=x eine Lösung der separierbaren DGl
mit stetigen Funktionen g und k , definiert für
.x; y/ 2 .a; b/ .c; d / R R:
g.u/ u
;
x
mit g.u/ D f .1; u/ ist. u0 D
x > 0;
14.14 Proposition S-1 Ist y0 eine Nullstelle von k , so ist
y.x/ y0 ;
x 2 .a; b/;
eine Lösung der DGl (1). Ist k Lipschitz, so ist diese Lösung auch die einzige. Bernoullische Differenzialgleichungen
Diese sind von der Form
y 0 D a.x/y C b.x/y ˛ ;
14.15 Proposition S-2 Seien gW .a; b/ ! R und hW .c; d / ! R stetig. Dann ist
jede Lösung von
(2)
h.y/y 0 D g.x/
in .a; b/ .c; d / eine implizite Lösung der Gleichung
(3)
˚.x; y/ ´ G.x/ H.y/ D c;
wobei G 0 D g und H 0 D h. Besitzt h keine Nullstelle, so gilt auch die Umkehrung:
Jede Lösung von (3) definiert auch eine Lösung von (2). ˛ ¤ 0; 1:
Betrachte positive Lösungen:
y > 0:
Der Ansatz
u.x/ D y.x/1˛
füghrt dann zu der inhomogenen linearen DGl
u0 D .1 ˛/a.x/u C .1 ˛/b.x/;
43
die wir für u lösen können.
Differenzialgleichungen
14-C
14-D
14-D
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
44
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Grundbegriffe
Physikalische Schreibweise für DGl:
xP D f .t; x/;
xP ´
d
x:
dt
Betrachte allgemeiner ein System von gekoppelten DGl:
xP 1 D f1 .t; x1 ; : : : ; xn /
::
:
xP n D fn .t; x1 ; : : : ; xn /:
In vektorieller Schreibweise
x D .x1 ; : : : ; xn /0 ;
f D .f1 ; : : : ; fn /0
wird dies zu einer DGl im Rn :
xP D f .t; x/:
Statt Rn schreiben wir wieder E für einen beliebigen Banachraum, und einfach
xP D f .t; x/
für die DGl, wobei nun x 2 E . Üblicherweise ist aber E D R oder E D Rn .
Definition Sei J ein offenes Intervall, D E eine offene Teilmenge, und
f W J D ! E;
.t; x/ 7! f .t; x/
stetig. Dann heißt
(4)
xP D f .t; x/
eine zeitabhängige gewöhnliche DGl erster Ordnung auf D . Zusammen mit einer
Bedingung
(5)
x.t0 / D x0
45
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
14-D
mit .t0 ; x0 / 2 J D bildet sie ein sogenanntes Anfangswertproblem (AWP). Ist f sogar unabhängig von t , also eigentlich
f W D ! E;
x 7! f .x/;
so nennt man xP D f .x/ eine autonome DGl.
14-D
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
46
Der Banachsche Fixpunktsatz
14.19 Der Banachsche Fixpunktsatz Sei .X; d / ein vollständiger metrischer Raum,
und
T W X ! X;
x 7! T .x/
eine kontrahierende Abbildung. Das heißt, es existiert eine Konstante < 1 , so dass
Definition Eine differenzierbare Kurve
d.T .x/; T .y// d.x; y/;
' W I ! D;
wobei I J ein Intervall, heißt Lösung der DGl (4), falls
'.t
P / D f .t; '.t //;
Sie heißt Lösung des Anfangswertproblems (4) & (5), falls außerdem t0 2 I und
'.t0 / D x0 :
Dann besitzt T genau einen Fixpunkt 2 X , und für jedes x0 2 X konvergiert die
Folge
xn D T n .x0 /;
t 2 I:
x; y 2 X:
n 0;
gegen . 14.20 Zusatz Es gilt außerdem
Integralform des Anfangswertproblems
14.18 Satz Eine stetige Kurve ' W I ! D mit t0 2 I ist genau dann Lösung des
AWP
xP D f .t; x/;
x.t0 / D x0 ;
wenn für alle t 2 I gilt:
Z t
f .s; '.s// ds:
'.t/ D x0 C
t0
d.xn ; / n
;
1
n 0;
wobei D d.T .x0 /; x0 /. Die Lipschitzbedingung
Definition Die Abbildung f W J D ! E heißt lokal Lipschitz in der zweiten
Variable, wenn es zu jedem Punkt .t0 ; x0 / 2 J D eine Umgebung U und eine
Konstante L gibt, so dass
jf .t; x1 / f .t; x2 /j Ljx1 x2 j
für alle .t; x1 /; .t; x2 / 2 U . 47
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
14-D
Der EE-Satz
f W J D !E
stetig und lokal Lipschitz in der zweiten Variable. Dann besitzt das AWP
xP D f .t; x/;
x.t0 / D x0 ;
mit beliebigem .t0 ; x0 / 2 J D für jedes hinreichend kleine Intervall I um t0
genau eine Lösung ' W I ! D . Z
T W X ! X;
T .'/.t/ D
48
t
f .s; '.s// ds:
0
Behauptung 3
T bildet X tatsächlich in X ab. Behauptung 4
T ist kontrahierend auf X , falls ı < 1=L . Der Banachsche Fixpunktsatz ist somit auf T W X ! X anwendbar. Der eindeutige Fixpunkt von T in X ist dann die eindeutige Lösung unseres AWP.
DGl höherer Ordnung
Betrachte als Beispiel eine skalare DGl n-ter Ordnung,
Beweisschritte
P : : : ; x .n1/ /:
x .n/ D F .t; x; x;
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass
x0 D 0:
In einer Umgebung U von .0; 0/ 2 J D gilt dann
jf .t; x/j M;
jf .t; x1 / f .t; x2 /j Ljx1 x2 j:
Dann wähle ı > 0 so klein, dass ı < 1=L und
Iı Bı U;
mit
Iı D Œı; ı;
Bı D fx 2 E W jxj M ıg:
Betrachte nun folgende Menge stetiger Kurven, wobei I D Iı :
˚
X ´ ' 2 C.I; E/ W k'kI;1 M ı BC.I; E/:
Behauptung 1
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Betrachte nun
14.21 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Es sei J ein
offenes Intervall, D E eine offene Teilmenge, und
t0 D 0;
14-D
X mit der Supremumsnorm ist ein vollständiger metrischer Raum. Behauptung 2 Jede Lösung ' W I ! D des AWP
xP D f .t; x/;
x.0/ D 0;
ist ein Element von X . 14.22 Satz Sei J ein offenes Intervall, D Rn eine offene Menge, und
F W J D ! R;
.t; u/ 7! F .t; u/
stetig und in dem zweiten Argument lokal Lipschitz. Dann besitzt das AWP
P : : : ; x .n1/ /;
x .n/ D F .t; x; x;
.x; x;
P : : : ; x .n1/ /.t0 / D u0
mit beliebigem .t0 ; u0 / 2 J D für jedes hinreichend kleine Intervall I um t0
genau eine Lösung ' W I ! R . 15-A
Elemente der Linearen Algebra
50
wobei 0 die Transposition bezeichnet, wie sie für Matrizen erklärt ist. Auf die Dauer
werden wir aber auch diesen Strich oft weglassen. . .
15
Mehrdimensionale Differenzialrechnung
Metrik Die Standardmetrik des Rn ist nach wie vor die euklidische Metrik, induziert durch die euklidische Norm
s X
jxj D
jxi j2 :
1i n
Zur Erinnerung: Es gilt
Betrachte Abbildungen
f W Rn ! R m :
Die Definition der Ableitung mit Hilfe des Grenzwerts von Differenzenquotieten ist
hier nicht sinnvoll möglich, falls n > 1 .
Differenzierbarkeit ist aber auch äquivalent zur Approximierbarkeit durch eine
lineare Funktion. Im Falle n D 1:
f .t/ D f .t0 / C a.t t0 / C ".t /.t t0 /
mit einer Funktion ", die im Punkt t0 stetig ist und dort verschwindet. Dann ist
a D f 0 .t0 /:
1
jxj max jxi j jxj:
1in
n
Jede andere Norm auf dem Rn ist aber äquivalent zu dieser Norm, so dass es auf die
konkrete Norm nicht wesentlich ankommen wird.
Lineare Abbildungen
Eine lineare Abbildung
AW ˝ ! V
zwischen zwei Vektorräumen ˝ und V ist zunächst durch ihre Linearität charakterisiert:
A.x C y/ D Ax C Ay:
Erst wenn ˝ und V endlich-dimensional sind, und in diesen Räumen je eine Basis
u1 ; : : : ; u n
und
v1 ; : : : ; v m
gewählt wird, kann A wie folgt durch eine m n-Matrix dargestellt und mit dieser
identifiziert werden. Es ist
15-A
Elemente der Linearen Algebra
Der Raum Rn
Elemente des Rn werden von nun an Vektoren betrachtet:
1
0
x1
C
B
x D @ ::: A :
xn
Dies ist sehr unpraktisch und platzraubend. Daher schreiben wir
1
0
x1
B :: C
x D @ : A D .x1 ; : : : ; xn /0 ;
xn
Auj D
m
X
j D 1; : : : ; n;
aij vi ;
iD1
mit eindeutigen Koeffizienten aij . Diese fügt man zu einer m n-Matrix
1
0
a11 a1n
B
:: C
.A/ij D @ :::
: A
am1
zusammen. Ist nun
xD
n
X
j D1
xj uj ;
amn
51
Elemente der Linearen Algebra
15-A
so ist
15-A
Elemente der Linearen Algebra
52
dargestellt: Für
Ax D
n
X
xj Auj D
j D1
D
m X
n
X
i D1
n
X
xj
j D1
m
X
aij vi
i D1
m
X
aij xj vi D
yi vi ;
j D1
xD
i D1
yi D
n
X
n
X
iD1
aij xj :
yj uj
j D1
wird
j D1
Dies schreibt sich im Matrizenkalkül als
1 0
10
1
0
a11 a1n
x1
y1
B :: C B ::
:: C B :: C :
@ : AD@ :
: A@ : A
ym
am1 amn
xn
n
X
yD
xi u i ;
hx ; yi D
n
X
xi hui ; uj iyj
i;j D1
()
0
a11
B
D .x1 ; : : : ; xn / @ :::
an1
10
1
a1n
y1
:: C B :: C
: A@ : A
ann
yn
0
Ein sogenanntes lineares Funktional, also eine lineare Abbildung
LW ˝ ! R;
wird in diesem Fall durch eine 1 n-Matrix, also einen n-dimensionalen Zeilenvektor dargestellt:
.l1 ; : : : ; ln /;
lj D Luj :
Dann ist
y D Lx D
n
X
lj xj :
j D1
Skalarprodukt Ein Skalarprodukt auf einem linearen Raum ˝ ist zunächst einmal eine bilineare, symmetrische und positiv definite Form:
h ; iW ˝ ˝ ! R;
mit
Die 1 n Matrix x 0 wird also mit der n 1-Matrix Ay multipliziert. Die Matrix A
ist hierbei symmetrisch:
A0 D A , aij D aj i
e1 D .1; 0; : : : ; 0/0 ;
e2 D .0; 1; : : : ; 0/0 ;
:::
en D .0; 0; : : : ; 1/0 ;
und jeder Vektor hat die Darstellung
n
X
iD1
(ii) hx C y ; zi D hx ; zi C hy ; zi
(iii) hx ; xi 0
(iv) hx ; xi D 0 ) x D 0.
Ist ˝ endlich-dimensional, und u1 ; : : : ; un eine Basis von ˝ , so wird h ; i durch
die Matrix
aij D hui ; uj i
für 1 i; j n:
Einheitsvektoren und Standardbasis Der Rn ist der »Standardraum« der Dimension n, und jeder n-dimensionale Vektorraum ist zu diesem isomorph. Die Standardbasis des Rn besteht aus den Einheitsvektoren
x D .x1 ; : : : ; xn /0 D
(i) hx ; yi D hy ; xi
A D .aij /ij ;
D x Ay:
xi ei :
53
Elemente der Linearen Algebra
15-A
15-B
Das Standardskalarprodukt des Rn ist
x y ´ hx ; yi ´
n
X
LW Rn ! R:
Dieses wird dargestellt durch eine 1 n-Matrix .l1 ; : : : ; ln / mit Koeffizienten
i D1
i Dj
i ¤j
lj D Lej ; 1 j n;
P
und es ist für x D jnD1 xj ej
;
Lx D
seine Darstellungsmatrix
0
1 :::
B
.hei ; ej i/ij D @ ::: : : :
0 :::
54
Betrachte schließlich noch einmal den wichtigen Fall eines linearen Funktionals,
xi yi :
Es ist also dadurch erklärt, dass
(
1;
hei ; ej i D ıij ´
0;
Die totale Ableitung
1
n
X
xj Lej D
j D1
0
:: C D E
n
:A
n
X
lj xj D hl ; xi D l 0 x;
j D1
also das Skalarprodukt von x mit dem Vektor l D .l1 ; : : : ; ln /0 .
1
Die Umkehrung gilt natürlich ebenfalls. Jeder Vektor l 2 Rn definiert durch
ist also die n -dimensionale Einheitsmatrix. Die Darstellung () wird somit zu
x y D hx ; yi D x 0 y:
L D hl ; iW Rn ! R;
Lx D hl ; xi
ein lineares Funktional.
Wegen hei ; ej i ist die Standardbasis insbesondere auch eine Orthonormalbasis.
P
Die Koeffizienten eines Vektors x D niD1 xi ei erhält man daher als
xi D hei ; xi;
1 i n:
15-B
Betrachte nun eine lineare Abbildung
n
Sei nun ˝ Rn offen, und
m
AW R ! R :
f W ˝ ! Rm
Die Koeffizienten der Matrixdarstellung von A sind dann gegeben durch
Aej D
n
X
Die totale Ableitung
0
aij ei D .a1j ; : : : ; amj / ;
aij D hei ; Aej i:
i D1
eine Abbildung.
Definition Eine Abbildung f W ˝ ! Rm heißt (total) differenzierbar im Punkt
x 2 ˝ , wenn es eine lineare Abbildung
Die j -te Spalte von A D .aij / besteht daher gerade aus den Koeffizienten des
Vektors Aej .
AW Rn ! Rm
gibt, so dass
(1)
lim
h!0
ˇ
1 ˇˇ
f .x C h/ f .x/ Ahˇ D 0:
jhj
Man nennt A die (totale) Ableitung von f in x , geschrieben
A D Df .x/:
55
Die totale Ableitung
15-B
Andere Bezeichnungen für Df :
@f
;
@x
15-B
Df W ˝ ! L.Rn ; Rm /;
fx :
g D o.h/;
15.3
jg.h/j
D 0:
jhj
x 7! Df .x/;
die jedem Punkt x 2 ˝ die lineare Abbildung Df .x/W Rn ! Rm zuordnet.
Kettenregel Seien ˝ Rn und V Rm offen, und
f W ˝ ! Rn ;
gelesen » g ist klein Oh von h«, falls
lim
56
Eine Ableitung definiert in diesem Fall eine neue Abbildung
Definition Sei ˝0 Rn eine Umgebung von 0 , und gW ˝0 ! Rm . Dann ist
h!0
Die totale Ableitung
gW V ! Rl ;
Abbildungen mit f .˝/ V . Ist f in x 2 ˝ und g in f .x/ 2 V differenzierbar,
so ist auch
h D g B f W ˝ ! Rl
15.1 Satz Für eine Abbildung f W ˝ ! Rm sind die folgenden Aussagen äquivalent.
in x differenzierbar, und es gilt
Dh.x/ D Dg.f .x// Df .x/:
(i) f ist differenzierbar in x 2 ˝ , und es ist Df .x/ D A.
(ii) Es gibt eine lineare Abbildung AW Rn ! Rm , so dass
f .x C h/ D f .x/ C Ah C o.h/:
(iii) Es gibt eine lineare Abbildung AW Rn ! Rm und eine in 0 stetige und dort
verschwindende Funktion "W ˝0 ! Rm , ˝0 eine Umgebung von 0 , so dass
f .x C h/ D f .x/ C Ah C ".h/jhj:
15.2
Satz Ist f W ˝ ! R
m
Definition Eine Teilmenge M Rn heißt wegzusammenhängend, oder einfach
zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten x; y 2 M eine differenzierbare
Kurve
' W Œ0; 1 ! M
mit '.0/ D x und '.1/ D y gibt. in x 2 ˝ differenzierbar, so gilt:
(i) Die Funktion f ist im Punkt x stetig.
(ii) Die Ableitung Df .x/ ist eindeutig bestimmt. Definition Eine Abbildung f W ˝ ! Rm heißt (total) differenzierbar auf ˝ ,
wenn f in jedem Punkt von ˝ differenzierbar ist. Definition Eine Teilmenge M Rn heißt ein Gebiet, falls sie offen und zusammenhängend ist. Gebiete werden wir üblicherweise mit G bezeichnen.
15.4
Satz Sei G Rn ein Gebiet, und f W G ! Rm differenzierbar. Ist dann
Df .x/ D 0
auf ganz G , so ist f konstant. Bemerkung. Alles, was in diesem Abschnitt über die totale Ableitung gesagt
wurde, gilt wörtlich auch für Abbildungen zwischen beliebigen Banachräumen. Ist
57
Partielle Ableitungen
15-C
also ˝ F eine offene Teilmenge eines Banachraumes F , und
fW ˝!E
eine Abbildung in einen anderen Banachraum E , so heißt f im Punkt x 2 ˝
differenzierbar, wenn es eine beschränkte lineare Abbildung
AW F ! E
gibt, so dass
f .x C h/ D f .x/ C Ah C o.h/:
Und so weiter. 15-C
Partielle Ableitungen
1
f1
C
B
f D @ ::: A ;
0
fn
58
1 0
1
f1;j
Dj f1
C B
C
B
Dj f D @ ::: A D @ ::: A :
Dj fm
fm;j
0
15.5 Satz und Definition Ist f W ˝ ! Rm in x 2 ˝ total differenzierbar, so
existieren sämtliche partielle Ableitungen von f in x , und bezüglich der Standardbasen gilt
1
0
D1 f1 .x/ : : : Dn f1 .x/
C
B
::
::
Df .x/ D @
A:
:
:
D1 fm .x/
:::
Dn fm .x/
Diese Matrix wird die Jacobimatrix von f genannt. Die Jacobimatrix besteht also aus den Spaltenvektoren D1 f .x/; : : : ; Dn f .x/.
15-C
Partielle Ableitungen
15.6 Satz Existieren sämtliche partiellen Ableitungen von f W ˝ ! Rm und
sind diese stetig auf ˝ , so ist f auch total differenzierbar auf ˝ , und Df wird
durch die Jacobimatrix von f dargestellt. Sei weiterhin ˝ Rn offen,
f W ˝ ! Rm :
Definition Eine Abbildung f W ˝ ! Rn heißt im Punkt x 2 ˝ partiell differenzierbar nach der j -ten Variable, falls die auf einem kleinen Intervall I um xj
definierte Funktion
Fj W I ! Rm ;
F .t / D f .x1 ; : : : ; xj 1 ; t; xj C1 ; : : : ; xn /
an der Stelle t D xj differenzierbar ist. Die Ableitung
Dj f .x/ ´
d
Fj .xj /
dt
heißt die partielle Ableitung von f nach der j -ten Variable an der Stelle x . Andere Bezeichnungen für Dj f .x/ sind
fxj .x/;
@f
.x/;
@xj
f;j .x/:
Für eine vektorwertige Funktion erhalten wir die partiellen Ableitungen mit Hilfe
der partiellen Ableitungen der Komponenten:
Definition Eine Abbildung f W ˝ ! Rm heißt von der Klasse C 1 , oder ist C 1 ,
wenn sämtliche partiellen Ableitungen D1 f; : : : ; Dn f auf ˝ existieren und dort
stetig sind. Die Klasse aller solchen Funktionen wird mit C 1 .˝; Rm / bezeichnet. Im Falle skalarer Funktionen schreiben wir kürzer
C 1 .˝/ D C 1 .˝; R/:
Definition Für x; y 2 Rn bezeichnet
Œx; y ´ ftx C .1 t/y W 0 t 1g
die Verbindungsstrecke zwischen x und y . 59
Partielle Ableitungen
15.7
15-D
Hadamard Lemma Sei f 2 C 1 .˝; Rm / und Œx; x C h ˝ . Dann gilt
Z 1
Df .x C t h/ dt:
f .x C h/ f .x/ D Lh;
LD
0
15-D
Skalare Funktionen
15-D
60
Skalare Funktionen
Sei nun speziell m D 1, also
f W ˝ ! R:
15.8
Korollar 1 Sei f 2 C 1 .˝; Rm / und Œx; y ˝ . Dann gilt
Der Graph einer solchen Funktion bildet eine sogenannte Hyperfläche im RnC1 :
jf .x/ f .y/j max kDf ./k jx yj;
G.f / D f.x; f .x// W x 2 ˝ g Rn R:
2Œx;y
wobei k k die durch j j induzierte Matrizennorm bezeichnet. 15.9
Korollar 2 Ist f 2 C 1 .˝; Rm / , so ist f lokal Lipschitz. Definition Sei f W ˝ ! Rm , x 2 ˝ und e 2 Rn ein Einheitsvektor. Dann heißt
ˇ
ˇ
@f
d
De f .x/ ´
.x/ ´ f .x C te/ ˇˇ ;
@e
dt
tD0
falls diese Ableitung existiert, die Richtungsableitung von f an der Stelle x in Richtung e . Es ist also
1
@f
.x/ D lim .f .x C te/ f .x//:
t !0 t
@e
Partielle Ableitungen sind somit spezielle Richtungsableitungen:
Dj f .x/ D
@f
@f
.x/ D
.x/:
@xj
@ej
Und ist f total differenzierbar in x , gilt außerdem
ˇ
ˇ
@f
d
.x/ D f .x C te/ ˇˇ
@e
dt
t D0
n
X
@f
D Df .x/ e D
.x/ej :
@xj
j D1
Definition Ist f 2 C 1 .˝/, so heißt der Vektor
.grad f /.x/ D .D1 f .x/; : : : ; Dn f .x//0
der Gradient von f an der Stelle x . Der Gradient ist also ein Spaltenvektor, dessen Komponenten die ersten partiellen
Ableitungen von f sind.
Eine andere, unter Physikern und Ingenieuren sehr beliebte Bezeichnungsweise
für den Gradienen verwendent den Nabla-Operator
1
0
D1
0
C B
r D @ ::: A D @x1 ; : : : ; @xn :
Dn
Die Komponenten von r sind also die partiellen Ableitungsoperatoren D1 ; : : : ; Dn ,
und rf steht für das ›Produkt‹ aus dem Vektor r mit dem Skalar f :
1
1
0
0
@x1 f
@ x1
C
C
B
B
rf D @ ::: A f D @ ::: A D grad f:
@xn
@xn f
Somit ist
Df h D rf h D hrf ; hi:
Dies kann man auch noch in folgender Form schreiben. Es ist
hr D
n
X
j D1
somit
hj @xj ;
61
Skalare Funktionen
n
X
.h r/f D
15-D
n
X
Höhere partielle Ableitungen
62
für alle x 2 Br .x0 / gilt. Der Punkt x0 selbst heißt der lokale Minimierer bzw
Maximierer von f . .hj @xj /f
j D1
D
15-E
Minima und Maxima werden zusammen als Extrema bezeichnet.
@xjf hj D rf h D Df h:
15.12 Satz von Fermat Besitzt die Funktion f 2 C 1 .˝/ im Punkt x0 2 ˝ ein
lokales Extremum, so gilt
j D1
rf .x0 / D 0:
15.10 Mittelwertsatz Ist f 2 C 1 .˝/ und Œx; x C h ˝ , so gilt
Z 1
f .x C h/ f .x/ D
hrf .x C t h/ ; hi dt D hrf ./ ; hi
Die Umkehrung gilt natürlich nicht – sie gilt ja bereits im eindimensionalen Fall
nicht.
0
Definition Ist f 2 C 1 .˝/ und x0 2 ˝ , so heißt der Graph der Funktion
für ein 2 Œx; x C h. T W Rn ! R;
x 7! z D f .x0 / C hrf .x0 / ; x x0 i
die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt .x0 ; f .x0 //. Die Richtung des stärksten Anstiegs
15.11 Satz Sei f 2 C 1 .˝/ und x 2 ˝ . Ist rf .x/ ¤ 0, so ist rf .x/ die
Richtung des stärksten Anstiegs von f im Punkt x , und rf .x/ die Richtung des
stärksten Abstiegs. Mit anderen Worten: Es ist
rf .x0 / .x x0 / C 1 .z z0 / D 0;
z0 D f .x0 /:
Somit ist
.x0 / ´ .rf .x0 /; 1/ 2 Rn R
Betrachte für f 2 C 1 .˝/ sein Gradientenfeld
rf W ˝ ! Rn ;
ein Normalenvektor an die Tangentialebene im Punkt .x0 ; f .x0 //.
x 7! rf .x/:
Dies ist ein Vektorfeld auf ˝ , definiert also eine gewöhnliche DGl
xP D rf .x/;
x 2 ˝:
15-E
Dessen Lösungskurve zum Anfangswert x beschreibt genau den Weg des steilsten
Anstiegs der Funktion f vom Punkt x aus.
Höhere partielle Ableitungen
Wir schreiben im Folgenden ˝ statt ˝ . – Betrachte weiter
f W ˝ ! Rm ;
x 7! f .x/ D f .x1 ; : : : ; xn /:
1
Definition Die Nullstellen des Gradientenfeldes rf einer Funktion f 2 C .˝/
heißen kritische Punkte von f . Definition Eine Funktion f W ˝ ! R besitzt in x0 2 ˝ ein lokales Minimum
bzw lokales Maximum, wenn es eine Kugel Br .x0 / ˝ gibt, so dass
f .x0 / f .x/
bzw
f .x0 / f .x/
Definiere induktiv die r-te partielle Ableitung
Djr : : : Dj2 Dj1 f D
@r f
D fxj1 xj2 :::xjr
@xjr : : : @xj1
für r 2 durch
Djr : : : Dj2 Dj1 f D Djr .Djr1 : : : Dj1 f /:
63
Höhere partielle Ableitungen
15-E
15.13 Satz von Schwarz Sei f 2 C 1 .˝; Rm /, und seien x und y irgendzwei
Koordinaten auf ˝ . Existiert die zweite partielle Ableitung fxy auf ˝ , und ist sie
dort stetig, so existiert auch fyx , und es gilt
fxy D fyx :
15-F
Und so weiter . . .
D rf W ˝ ! L.Rn Rn ; Rm /
15-F
C r .˝; Rm /
Die Taylorsche Formel
Es ist
bezeichnet. hh ; ri D
Es ist leicht zu zeigen, dass C r .˝; Rm / ein linearer Raum ist. Im Fall m D 1
schreibt man wieder
n
X
hk Dk D
kD1
n
X
hk @xk
kD1
ein Differentialoperator, der wie folgt auf eine Funktion angewendet wird:
C r .˝/ D C r .˝; R/:
C 1 .˝; Rm / D
64
ist eine r-lineare Abbildung mit Werten in Rm .
Definition Sei ˝ Rn offen und r 1. Besitzt f W ˝ ! Rm auf ˝ sämtliche
partiellen Ableitungen bis zur Ordnung r , und sind diese dort auch stetig, so heißt
f von der Klasse C r . Der Raum aller dieser Funktionen wird mit
Schließlich ist noch
Die Taylorsche Formel
hh ; rif D
n
X
hk fxk :
kD1
\
Dies kann man auch iterieren:
C r .˝; Rm /
hh ; rik f ´ hh ; ri hh ; rif:
r1
der Raum aller unendlich oft auf ˝ differenzierbaren Abbildungen. Solche Abbildungen nennt man auch glatt.
15.15 Satz von Taylor Ist f 2 C rC1 .˝; Rm / und Œx; x C h ˝ , so gilt
f .x C h/ D
15.14 Satz Ist f 2 C r .˝; Rm / , so ist Djr : : : Dj2 Dj1 f unabhängig von der
Reihenfolge der partiellen Ableitungen. kD0
mit
Rr;x .h/ D
Ist
f W ˝ ! Rm
total differenzierbar, so ist
Df W ˝ ! L.Rn ; Rm /:
Ist diese Abbildung wiederum total differenzierbar, so wird
D 2f D D.Df /W ˝ ! L.Rn ; L.Rn ; Rm / D L.Rn Rn ; Rm /:
r
X
1
.hh ; rikf /.x/ C Rr;x .h/
kŠ
1
rŠ
Z
1
.1 t/r .hh ; rirC1f /.x C th/ dt:
0
Für eine skalare Funktion kann auf das Restglied der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Integralrechnung angewendet werden.
15.16 Zusatz Im Fall m D 1 gilt außerdem
Rr;x .h/ D
für ein 2 .0; 1/. 1
.hh ; rirC1f /.x C h/
.r C 1/Š
65
Die Taylorsche Formel
15-F
Ein Multiindex ˛ ist ein Vektor mit ganzzahligen, nicht-negativen Komponenten:
15-F
Die Taylorsche Formel
15.19 Satz von Taylor II Ist f 2 C rC1 .˝; Rm / und Œx; x C h ˝ , so gilt
˛ D .˛1 ; : : : ; ˛n / 2 Nn0 :
f .x C h/ D
Für solche Indizes definiert man Potenzen wie folgt: Für x 2 Rn ist
˛
x ´
x1˛1
: : : xn˛n :
D ˛ ´ D1˛1 : : : Dn˛n ;
D ˛f ´ D1˛1 : : : Dn˛nf:
˛Š ´ ˛1 Š ˛n Š ;
Z
1
j˛j heißt die Länge oder Ordnung von ˛ . Zum Beispiel ist dann
@j˛j
f:
@˛xnn
0
15.20 Satz Für f 2 C 2 .˝/ und Œx; x C h ˝ gilt
n
X
j1 jk
j1 ;:::;jk D1
X
j˛jDk
D
j˛jDrC1
1 ˛
D f .x C th/h˛ dt:
˛Š
für ein 2 .0; 1/. 15.17 Lemma In einem kommutativen Ring gilt
D
X
Im Fall m D 1 gilt außerdem
X 1
D ˛f .x C h/h˛
Rr;x .h/ D
˛Š
f .x C h/ D f .x/ C
.1 C C n /k D
.1 t/r
j˛jDrC1
j˛j ´ ˛1 C C ˛n :
@˛x11
j˛jD0
Rr;x .h/ D .r C 1/
Ferner setzen wir noch
D ˛f D
r
X
1 ˛
D f .x/h˛ C Rr;x .h/
˛Š
mit
Analog für Differentialoperatoren:
66
kŠ
˛1 ˛nn
˛1 Š ˛n Š 1
X kŠ
˛
˛Š
n
X
fxj .x/hj C
j D1
n
1 X
fxi xj .x C h/hi hj
2
i;j D1
für ein 2 .0; 1/. Definition Für f 2 C 2 .˝/ heißt
Hf .x/ ´ D 2f .x/ ´ .fxi xj .x//1i;j n
die Hesse-Matrix oder Hessische von f an der Stelle x . j˛jDk
15.21 Korollar Für f 2 C 2 .˝/ und Œx; x C h ˝ gilt
für k 1 mit D .1 ; : : : ; n /. 1
f .x C h/ D f .x/ C hrf .x/ ; hi C hAh ; hi
2
mit A D Hf .x C h/ für ein 2 .0; 1/. 15.18 Korollar Es ist
X 1
1
D ˛ h˛ :
hh ; rik D
kŠ
˛Š
j˛jDk
67
Lokale Extrema und Konvexität
15-G
R ! R;
x 7! x
˛
heißt Monom in n Variablen vom Grad j˛j . Eine Funktion
X
a˛ x ˛
Rn ! R; x 7!
j˛jN
mit reellen Koeffizienten a˛ heißt Polynom in n Variablen, sein Grad ist
max fj˛j W a˛ ¤ 0g:
15.22 Satz Ist f 2 C rC1 .˝/ und
D ˛f D 0;
Lokale Extrema und Konvexität
jaj D r C 1;
so ist f ein Polynom höchstens r-ten Grades. Taylorreihe
f .x/ f .x0 / bzw
f .x/ f .x0 /;
Das Minimum oder Maximum heißt strikt, wenn außerdem
f .x/ ¤ f .x0 /
für alle x 2 ˝ fx0 g. Der Punkt x0 selbst heißt (strikter) lokaler Minimierer bzw
Maximierer von f . 15.24 Satz Ist x0 2 ˝ eine lokale Extremstelle von f 2 C 1 .˝/, so ist
Df .x0 / D 0:
15.25 Korollar Ist x0 2 ˝ eine lokale Extremstelle von f 2 C 2 .˝/, so gilt für
alle hinreichend kleinen h 2 Rn die Identität
1
f .x0 C h/ D f .x0 / C hh ; A./hi
2
m
15.23 Satz Sei f 2 C .˝; R /, und es gebe Konstanten r > 0 und M > 0 , so
dass
M
1
x 2 Br .x0 /;
jD ˛f .x/j j˛j ;
˛Š
r
für alle Multiindizes ˛ . Dann ist die Taylorreihe
1 X
X
1 ˛
D f .x0 /.x x0 /˛
˛Š
rD0 j˛jDr
auf jeder Kugel Bs .x0 / mit s < r absolut und gleichmäßig konvergent und stimmt
dort mit der Funktion f überein. Darstellung in Integralform:
Z
f .x0 C h/ D f .x0 / C
1
.1 t/hh ; A.t/hi dt
0
mit A.t/ D D 2f .x0 C th/.
Definite Matrizen
Sei S.n/ der Raum aller reellen, symmetrischen n n-Matrizen:
S.n/ Š Rn.nC1/=2 :
Definition Eine Matrix A 2 S.n/ heißt
(i) positiv definit, geschrieben A > 0 , falls
Lokale Extrema und Konvexität
Weiterhin sei ˝ Rn offen, und
f W ˝ ! R:
x 2 ˝:
mit A./ D D 2f .x0 C h/ und einem geeigneten 2 .0; 1/. 1
15-G
68
Definition Eine Funktion f W ˝ ! R besitzt in x0 2 ˝ ein lokales Minimum
bzw Maximum, wenn es eine Umgebung ˝ ˝ von x0 gibt, so dass
Definition Eine Funktion
n
15-G
h ; Ai > 0;
2 Rn f0g;
(ii) positiv semidefinit, geschrieben A 0, falls
h ; Ai 0;
2 Rn ;
69
Lokale Extrema und Konvexität
15-G
(iii) negativ semidefinit, geschrieben A 0, falls A 0,
(iv) negativ definit, geschrieben A < 0 , falls A > 0 ,
(v) indefinit in allen anderen Fällen. Lokale Extrema und Konvexität
(i) A ist positiv definit.
70
15.29 Proposition Sei AW ˝ ! S.n/ stetig und A.x0 / > 0. Dann existiert eine
Umgebung ˝ ˝ von x0 , so dass
A.x/ > 0;
15.26 Proposition Für eine Matrix A 2 S.n/ sind äquivalen:
x 2 ˝:
Bemerkung. Aus dieser Proposition folgt, dass die Menge
fx 2 ˝ W A.x/ > 0g
(ii) Es gibt ein > 0 , so dass
h ; Ai jj2 ;
15-G
offen ist. 2 Rn :
(iii) Es gibt ein > 0 , so dass A E 0. Lokale Extrema
15.27 Proposition Sind 1 2 n die Eigenwerte von A 2 S.n/, so
gilt:
(i) A > 0 , 1 > 0,
15.30 Satz Sei f 2 C 2 .˝/. Ist x0 2 ˝ ein lokaler Minimierer von f , so gilt
D 2f .x0 / 0:
(ii) A 0 , 1 0,
(iii) A 0 , n 0 ,
15.31 Satz Sei f 2 C 2 .˝/. Ist x0 2 ˝ ein kritischer Punkt von f , und gilt
(iv) A < 0 , n < 0,
D 2f .x/ 0
(v) A ist indefinit , 1 n < 0. für x in einer Umgebung von x0 , so ist x0 ein lokaler Minimierer. Gilt sogar
Definition Die Haupt-Unterdeterminanten einer Matrix A D .aij /1i;j n sind
die Determinanten der Matrizen
A.k/ D .aij /1i;j k ;
k D 1; : : : ; n:
so ist x0 ein strikter lokaler Minimierer. 15.28 Proposition Eine Matrix A 2 S.n/ ist positiv definit genau dann, wenn alle
ihre Haupt-Unterdeterminanten positiv sind. Für eine symmetrische 2 2 -Matrix gilt also
a b
> 0 , a > 0 ^ ad b 2 > 0:
b d
D 2f .x0 / > 0;
Definition Sei f 2 C 2 .˝/ mit ˝ R2 . Ein kritischer Punkt x0 2 ˝ von f
heißt Sattelpunkt, falls
det D 2f .x0 / < 0:
Definition Sei f 2 C 2 .˝/. Ein kritischer Punkt x0 2 ˝ von f heißt nichtdegeneriert, falls
det D 2f .x0 / ¤ 0;
andernfalls heißt er degeneriert. 71
Lokale Extrema und Konvexität
15-G
15.32 Lemma von Morse Die Funktion f 2 C 3 .˝/ besitze in x0 2 ˝ einen
nichtdegenerierten kritischen Punkt. Dann existieren um x0 neue Koordinaten so,
dass
2
f ./ D f .x0 / C 12 C C k2 kC1
n2 :
Hierbei ist 0 k n die Anzahl der positiven Eigenwerte von Hf .x0 /. Das Maximumprinzip für harmonische Funktionen
Zur Erinnerung: Eine C 2 -Funktion uW ˝ ! R heißt harmonisch, falls
u D
n
X
uxi xi D 0:
iD1
15.33 Maximumprinzip Sei ˝ ein beschränktes Gebiet und u 2 C 0 . x̋ /\C 2 .˝/
in ˝ harmonisch. Dann gilt:
(i) Die Funktion u nimmt ihr Maximum auf dem Rand an:
max u D max u:
x̋
@˝
(ii) Ebenso nimmt juj sein Maximum auf dem Rand an:
15-G
Lokale Extrema und Konvexität
72
Kleine Schwingungen
15.36 Satz Ist A 2 S.n/ positiv definit, so bestehen alle Lösungen von
xR D Ax
aus Überlagerungen von Schwingungen, deren Frequenzen gerade die Wurzeln der
Eigenwerte von A sind. Konvexität
Definition Eine Teilmenge K eines reellen Vektorraumes heißt konvex, wenn mit
x; y immer auch die Verbindungsstrecke
Œx; y ´ f.1 t/x C ty W 0 t 1g
zu K gehört. Definition Sind x1 ; : : : ; xm Elemente eines reellen Vektorraumes und 1 ; : : : ; m
nichtnegative reelle Zahlen mit 1 C C m D 1, so heißt
x ´ 1 x1 C C m xm
eine Konvexkombination der Punkte x1 ; : : : ; xm > max juj D max juj:
x̋
@˝
(iii) Ist u auf dem Rand konstant, so auch auf ganz ˝ .
(iv) Nimmt u sein Maximum in einem Punkt in ˝ an, so ist u konstant. 15.34 Korollar 1 Sei ˝ ein beschränktes Gebiet, und u 2 C 2 .˝/ sei auf ˝
harmonisch und nicht konstant. Dann besitzt u in ˝ weder einen Minimierer noch
einen Maximierer. 15.35 Korollar 2 Sei ˝ ein beschränktes Gebiet, und W @˝ ! R stetig. Dann
gibt es zu der Randwertaufgabe
u D 0
uD
in ˝;
auf @˝
höchstens eine Lösung u 2 C 0 . x̋ / \ C 2 .˝/. 15.37 Satz Eine Teilmenge K eines reellen Vektorraumes ist konvex genau dann,
wenn jede Konvexkombination aus Punkten in K wieder in K liegt. Definition Eine auf einer konvexen Teilmenge K eines reellen Vektorraumes E
definierte Funktion f W K ! R heißt konvex, wenn
f ..1 t/x C ty/ .1 t/f .x/ C tf .y/
für alle x; y 2 K und alle t 2 Œ0; 1. Sie heißt strikt konvex, wenn für x ¤ y und
t 2 .0; 1/ die strikte Ungleichung gilt. Definition Die Menge
Epi.f / ´ f.x; z/ 2 E R W x 2 K ^ z f .x/g
heißt Epigraph der Funktion f W K ! R . 73
Lokale Extrema und Konvexität
15-H
15.38 Satz Eine auf einer konvexen Menge K definierte Funktion f W K ! R ist
konvex genau dann, wenn ihr Epigraph konvex ist. 15-H
15-H
Invertierbare Abbildungen
74
Invertierbare Abbildungen
Weiterhin sei ˝ Rn offen. Frage: Wann ist
Definition Eine auf einer konvexen Menge K definierte Funktion f W K ! R
heißt (strikt) konkav, wenn f W K ! R (strikt) konvex ist. W ˝ ! Rm
invertierbar, also umkehrbar? Das heißt, wann können wir die Gleichung
15.39 Satz Sei ˝ Rn offen und konvex. Dann ist die Funktion f 2 C 1 .˝/
konvex genau dann, wenn
f .x C h/ f .x/ C hrf .x/ ; hi;
x; x C h 2 ˝:
u D .x/
nach x auflösen? In Koordinaten: Wann kann das System von m Gleichungen in n
Unbekannten,
Sie ist strikt konvex genau dann, wenn für h ¤ 0 die strikte Ungleichung gilt. u1 D 1 .x1 ; : : : ; xn /;
:::
15.40 Satz Sei ˝ Rn offen und konvex, und f 2 C 2 .˝/. Dann gilt:
um D m .x1 ; : : : ; xn /;
(i) f ist konvex genau dann, wenn Hf 0 auf ˝ .
(ii) Ist Hf > 0 auf ˝ , so ist f strikt konvex. Bemerkung. Die Umkehrung der zweiten Aussage gilt nicht: Aus der strikten
Konvexität von f folgt nicht Hf > 0. 15.41 Anwendung Eine skalare C 2 -Funktion f besitzt in einem Punkt x0 ein
lokales Extremum genau dann, wenn ihr Graph in x0 eine horizontale Stützebene
besitzt. nach x1 ; : : : ; xn aufgelöst werden?
Im Folgenden
m D n;
W ˝ ! Rn :
Definition Sei ˝ Rn offen und r 0. Eine Abbildung W ˝ ! Rn heißt ein
C r-Diffeomorphism, genauer C r-Diffeomorphismus von ˝ auf ˝ 0 , wenn gilt:
(i) ˝ 0 D .˝/ ist offen,
(ii) W ˝ ! ˝ 0 ist bijektiv,
15.42 Satz Ist f W ˝ ! R auf der offenen und konvexen Menge ˝ Rn konvex,
so ist f stetig und auf jeder kompakten Teilmenge von ˝ sogar Lipschitz. Bemerkung. Ist ˝ nicht offen, braucht f nicht stetig zu sein. Beispiel:
(
1; x D 0;
f W Œ0; 1/ ! R; f .x/ D
x; x > 0:
(iii) sowohl W ˝ ! ˝ 0 als auch 1 W ˝ 0 ! ˝ sind C r .
Ein C 0 -Diffeomorphismus heißt Homöomorphismus. 75
Invertierbare Abbildungen
15-H
15-H
O
.0/
D 0;
J .x/ ´ det D.x/
die Jacobimatrix von an der Stelle x . Ist J .x/ ¤ 0, so heißt x regulärer Punkt
von . 15.43 Satz Ist W ˝ ! Rn ein Diffeomorphismus, so ist jeder Punkt in ˝ ein
regulärer Punkt, also
Definition Eine C 1 -Abbildung W ˝ ! Rn heißt lokaler Diffeomorphismus um
x0 2 ˝ , falls es in ˝ eine Umgebung ˝ von x0 gibt, so dass die Einschränkung
von auf ˝ ein Diffeomorphismus ist. O
D .0/
D 0:
Bezeichnung: Für W ˝ ! Rn ist
Lip˝ ´ sup
x¤y
j.x/ .y/j
:
jx yj
ist Lipschitz genau dann, wenn Lip < 1. In diesem Fall ist Lip die kleinstmögliche Lipschitzkonstante von .
15.46 Proposition A Sei W B2r ! Rn eine Lipschitz-stetige Abbildung mit
.0/ D 0;
LipB2r . id/ 1=4:
Dann existiert eine Lipschitz-stetige Abbildung
.0/ D 0;
Man sagt auch, ist lokal um x0 diffeomorph.
so dass B
15.44 Satz von der inversen Abbildung (Kurzfassung)
ren Punkt ist eine C 1 -Abbildung diffeomorph. 76
Dann ist O ebenfalls stetig differenzierbar, mit
Definition Sei 2 C 1 .˝; Rn /. Dann heißt
J .x/ ¤ 0:
Invertierbare Abbildungen
LipBr .
W Br ! B2r mit
id/ 1=2;
D id. Lokal um einen regulä-
15.45 Satz von der inversen Abbildung (Langfassung) Sei 2 C 1 .˝; Rn / und
x0 2 ˝ . Gilt
J .x0 / ¤ 0;
so existieren offene Umgebungen ˝ von x0 und ˝ 0 von .x0 / , so dass ein C 1 Diffeomorphismus von ˝ auf ˝ 0 ist. Schritt 1
Setze
˚
X D v 2 C 0 .˝; Rn / W v.0/ D 0; LipBr v 1=2 :
Behauptung: X mit der Supremumsnorm j j1;˝ ist ein vollständiger metrischer
Raum.
Schritt 2
Definiere einen Operator T auf X durch
T v D O B .id C v/;
v 2 X:
Behauptung: Es ist T v 2 X , somit T W X ! X .
Man kann also sagen: Ist das linearisierte Problem lösbar, so ist das nichtlineare
Problem lokal lösbar.
Ein Spezialfall
D.x0 / D E:
Sei O D id der »nichtlineare Anteil von «, also
O
D id C :
Behauptung: T W X ! X ist eine Kontraktion.
Schritt 4 Ist O 2 X der eindeutige Fixpunkt von T , so leistet
Gewünschte.
15.47 Proposition B Ist W ˝ ! Rn Lipschitz mit
Nehmen an:
x0 D 0;
Schritt 3
Lip˝ . id/ < 1;
so ist injektiv. D id C O das
77
Invertierbare Abbildungen
15-H
15.48 Proposition C Ist W B2r ! Rn Lipschitz mit
1F
.0/ D 0;
LipBr .
1
id/ 1=2:
LipBr .
Transformation des Laplaceoperators: Für
id/ ;
1
erhält man
1
1
uxx C uyy D vrr C vr C 2 v :
r
r
Bemerkung. Man kann leicht zeigen, dass
1
78
u.x; y/ D u.r cos ; r sin / ´ v.r; /
so ist ein Homöomorphismus einer Umgebung U von 0 auf Br , und es gilt
'
Implizite Funktionen
LipB2r . id/ 1=4;
.0/ D 0;
1
15-I
G
Mit R3C D Œ0; 1/ R2 definiere
0 1
0 1 0
1
r
x
r sin cos f W R3C ! R3 ; @ A 7! @ y A D @ r sin sin A :
z
r cos
Kugelkoordinaten
D LipB2r . id/:
15.49 Proposition D Ist in Proposition C die Abbildung stetig differenzierbar,
so ist ein C 1-Diffeomorphismus von U auf Br . Jacobimatrix:
15.50 Satz
(i) Ist ein C r-Diffeomorphismus von ˝ auf ˝ 0 , so ist 1 ein
r
C -Diffeomorphismus von ˝ 0 auf ˝ .
(ii) Sind und
C r-Diffeomorphismen von ˝ auf ˝ 0 und ˝ 0 auf ˝ 00 ,
respektive, so ist B ein C r-Diffeomorphismus von ˝ auf ˝ 00 . 0
sin cos Df D @ sin sin cos
Der allgemeine Fall
r cos cos r cos sin r sin
Jacobideterminante:
Jf D r 2 sin :
Koordinatentransformationen
Ein Diffeomorphismus kann aufgefasst werden als eine Koordinatentransformation.
Ist
W ˝ ! ˝ 0;
x 7! u D .x/
15-I
Implizite Funktionen
Betrachte
0
0
ein Diffeomorphismus von ˝ auf ˝ , so führt auf ˝ neue Koordinaten x durch
u D .x/ ein.
f .u; v/ D u2 C v 2 ;
und die Gleichung
Sei R2C D Œ0; 1/ R , und
r
x
r cos f W R2C ! R2 ;
7!
D
:
y
r sin Polarkoodinaten
Jacobimatrix und -determinante:
cos r sin Df D
;
sin r cos Jf D r:
f .u; v/ D c:
1
sin cos A
r sin
r sin
.u; v/ 2 R R;
0
79
Implizite Funktionen
15-I
15-I
Implizite Funktionen
80
15.51 Satz über implizite Funktionen Sei U V Rm Rnm offen,
Lokales Problem:
f .u; v/ D c0 ;
f W U V ! Rm
c0 D f .u0 ; v0 /
für .u; v/ nahe bei .u0 ; v0 /. Linearisierte Gleichung:
stetig differenzierbar, und .u0 ; v0 / 2 U V . Ist
f .u; v/ D f .u0 ; v0 / C fu .u0 ; v0 /.u u0 / C fv .u0 ; v0 /.v v0 /;
wobei im allgemeinen Fall
fu D .@fi =@uk /;
fv D .@fi =@vl /
Jacobimatrizen darstellen. Die Gleichung f .u; v/ D f .u0 ; v0 / ist dann nach u
auflösbar, falls
det fu .u0 ; v0 / ¤ 0;
so existieren eine Umgebung U0 V0 von .u0 ; v0 / und eine stetig differenzierbare
Abbildung
' W V0 ! U0 ;
u D '.v/;
so dass
f.u; v/ 2 U0 V0 W f .u; v/ D c0 g D f.'.v/; v/ W v 2 V0 g
fu .u0 ; v0 / regulär:
für c0 D f .u0 ; v0 / . Dann ist
u u0 D fu1 .u0 ; v0 / fv .u0 ; v0 /.v v0 /:
Sei ˝ Rn offen, sei n > m , und
m
fW ˝!R ;
x 7! f .x/:
Schreibe x als Paar von Koordinaten u und v :
x D .x1 ; : : : ; xn / D .u1 ; : : : ; um ; v1 ; : : : ; vnm / D .u; v/;
und f .x/ D f .u; v/. Fixiere x0 D .u0 ; v0 / 2 ˝ , und wähle eine Umgebung
U V ˝ Rm Rnm
von .u0 ; v0 /. Betrachte dann
f W U V ! Rm ;
.u; v/ 7! f .u; v/:
Im »Fenster« U0 V0 um .u0 ; v0 / ist somit die Niveaumenge
ff D c0 g;
also die Menge der Lösungen der Gleichung f .u; v/ D c0 mit .u; v/ 2 U0 V0 ,
gerade der Graph der Abbildung ' . Insbesondere ist '.v0 / D u0 .
15.52 Fortsetzung Für die Ableitung von ' gilt
'v .v/ D fu1 .w/ fv .w/;
w D .'.v/; v/:
Ist außerdem f von der Klasse C r , so ist auch ' von der Klasse C r . Die implizit definierte Funktion ' ist also genauso glatt wie die definierende
Funktion f .
81
Implizite Funktionen
15.53 Satz über implizite Funktionen II (IFS)
f W U V !R
15-I
15-J
Sei U V Rm Rnm offen,
m
82
Reguläre Punkte
Wir betrachten jetzt wieder die allgemeine Situation. Sei
stetig differenzierbar, und .u0 ; v0 / 2 U V . Ist
det fu .u0 ; v0 / ¤ 0;
so existieren Umgebungen U0 V0 von .u0 ; v0 / und W0 von c0 D f .u0 ; v0 / sowie
eine stetig differenzierbare Abbildung
' W V0 W0 ! U0 ;
Mannigfaltigkeiten
u D '.v; c/;
so dass für jedes c 2 W0 ,
f W Rn Rm ;
stetig differenzierbar. Die Frage ist: In welchen Punkten x0 können wir den IFS
anwenden?
Definition Sei f W Rn Rm stetig differenzierbar. Ein Punkt x im Definitionsbereich von f heißt regulärer Punkt von f , falls
rang Df .x/ D m:
f.u; v/ 2 U0 V0 W f .u; v/ D c g D f.'.v; c/; v/ W v 2 V0 g:
Ist f außerdem C r mit 1 r 1, so ist auch ' C r . Im »Fenster« U0 V0 ist also sogar für jedes c nahe c0 die Niveaumenge
ff D c g darstellbar als Graph einer C 1 -Abbildung.
x 7! f .x/
Andernfalls heißt er singulärer oder kritischer Punkt von f . Notwendigerweise ist dann m n.
15.55 Satz Sei f W Rn Rm stetig differenzierbar. Ist x0 ein regulärer Punkt
von f , so ist lokal um x0 jede Niveaumenge ff D c g mit c nahe c0 D f .x0 /
darstellbar als Graph einer stetig differenzierbaren Funktion ' W Rnm Rm . Ein Spezialfall
Betrachte
f W R2 R;
.x; y/ 7! f .x; y/:
Diese Notation bedeutet, dass f auf einer offenen Teilmenge von R2 definiert ist.
Fixiere p0 D .x0 ; y0 / und
Dies enthält den vorangehenden Satz mit n D 2 und m D 1.
c0 D f .x0 ; y0 /:
Der IFS ist anwendbar, wenn
15-J
Mannigfaltigkeiten
rf .x0 ; y0 / ¤ 0;
wenn also .x0 ; y0 / ein regulärer Punkt von f ist.
15.54 Satz Sei f W R2 R stetig differenzierbar. Ist x0 ein regulärer Punkt von
f , so ist lokal um x0 die Niveaumenge
ff D c g;
c nahe c0 D f .x0 /;
der Graph einer stetig differenzierbaren Funktion ' W R R . Definition 1 Eine nichtleere Teilmenge M des Rs heißt n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn es eine offene Menge ˝ Rs und eine Abbildung f 2 C 1 .˝; Rm /
mit
rang Df .x/ D m;
x 2 ˝;
gibt, so dass
M D fx 2 ˝ W f .x/ D 0g:
83
Mannigfaltigkeiten
15-J
Jeder Punkt in ˝ ist also ein regulärer Punkt von f , und M ist gerade die
Nullstellenmenge von f innerhalb ˝ .
15-J
Mannigfaltigkeiten
Definition
(i) Ein Vektor v 2 Rs heißt Tangentialvektor an M im Punkt x 2
M , wenn es eine C 1 -Kurve c W I0 ! M gibt mit
c.0/ D x;
Definition 2 Eine nichtleere Teilmenge M des Rs heißt n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn es eine offene Menge ˝ Rs und eine Abbildung f 2 C 1 .˝; Rm /
mit
rang Df .x/ D m;
84
c.0/
P
D v:
(ii) Die Menge aller Tangentialvektoren an M im Punkt x 2 M heißt der
Tangentialraum von M im Punkt x und wird mit Tx M bezeichnet. 15.57 Satz Der Tangentialraum einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist in jedem Punkt ein n-dimensionaler linearer Unterraum des Umgebungsraumes. x 2 M;
gibt, so dass M D f 1 .0/. Zusatz Ist in Definition 1 oder 2 sogar f 2 C r .˝; Rm / mit 1 r 1, so heißt
M eine C r-Mannigfaltigkeit. Definition Das orthogonale Komplement Tx? M des Tangentialraums Tx M heißt
Normalraum von M in x . Seine Elemente heißen Normalvektoren an M in x . Es ist also Tx M ˚ Tx? M D Rs , und damit auch
Definition Sei f W Rs Rm stetig differenzierbar. Ein Punkt c 2 Rm heißt regulärer Wert von f , wenn f 1 .c/ entweder leer ist oder nur aus regulären Punkten
besteht. Andernfalls heißt c ein singulärer oder kritischer Wert von f . s
m
Bemerkung. Eine Abbildung f W R R mit s < m kann keine regulären Werte c mit f 1 .c/ ¤ ∅ haben, da die Rangbedingung nicht erfüllt werden
kann. 15.56 Satz Ist c ein regulärer Wert eine C 1-Abbildung f W RnCm Rm , so ist
f 1 .c/ entweder leer oder eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. dim Tx? M D s n D codim M:
15.58 Satz Es ist
Tx? M D span frf1 .x/; : : : ; rfsn .x/g:
In jedem Punkt stehen also die Gradientenvektoren der Komponenten der Funktion f senkrecht auf M D f 1 .0/ und spannen den Normalraum auf.
15.59 Satz Es ist
Tx M D fv 2 Rs W Df .x/ v D 0g;
der Kern der linearen Abbildung Df .x/W Rs ! Rsn . Tangentialraum
Sei im Folgenden M D f 1 .0/ eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit im Rs mit
s > n, definiert durch eine C 1-Abbildung f W Rs Rm mit regulärem Wert 0.
I0 bezeichne ein beliebig kleines Intervall um 0 .
Definition Die n-dimensionale affine Ebene
Ex ´ x C Tx M D fx C v W v 2 Tx M g
heißt die Tangentialebene an M in x . Hat M die Kodimension 1, so heißtEx
insbesondere die Tangentialhyperebene an M in x . In letzterem Fall ist also f W Rs R und
Ex D f 2 Rs W hrf .x/ ; xi D 0g:
85
Mannigfaltigkeiten
15-J