Ubungen zur Mathematik B für Molekulare

Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 1
Webseite zur Vorlesung:
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/~agbock/teaching/2004ss/MATHE_MOBI_B/
1. Lineare Abbildungen
3
→ 3 an, die die Vektoren
 
 

0
1
0
 0 ,  0 ,  1 
0
0
1
Geben Sie die lineare Abbildung

auf die Vektoren
abbildet.


1
 0 ,
0


0
 1 ,
0


0
 0 
1
2. Laplacescher Entwicklungssatz
Berechnen Sie mittels des Laplaceschen Entwicklungssatzes die Determinante der Matrix


1 3 4 0
 2 5 7 1 


 −1 2 −3 0  .
0 0 1 4
3. Determinante und Gauß-Algorithmus
(a) Bringen Sie die Matrix

1
 2
A=
 −1
0

3 4 0
5 7 1 

2 −3 0 
0 1 4
durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform.
(b) Berechnen Sie daraus die Determinante von A.
(c) Erklären Sie, warum Sie (a) zur Berechnung von (b) verwenden können.
4. Flächeninhalt eines Parallelogramms
v2
V
v1
Zeigen Sie: Das von den Zeilenvektoren
v1 = a11 a12
und v2 =
a21 a22
aufgespannte Parallelogramm hat den Flächeninhalt
a
a
11
12
.
V = |a11 a22 − a12 a21 | = det
a21 a22 Abgabe: Montag, 26. 4.
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Sommersemester 2004
Übungsblatt 2
1. Inverse Matrix
Sei A ∈
n×n
eine invertierbare Matrix. Zeige:
(a) Die Determinante von A−1 ist det A−1 =
1
.
det A
ein Eigenwert von A. Dann ist λ 6= 0 und λ1 ein Eigenwert von A−1 .
−1
a b
d −b
1
= ad−bc
(c) Sei ad − bc 6= 0. Dann ist
.
c d
−c a
(b) Sei λ ∈
2. Transponierte Matrix
Sei A ∈
n×n
. Zeige:
(a) det AT = det A.
(b) AT hat dieselben Eigenwerte wie A.
3. Bestimmung von Matrizen zu gegebenen Eigenvektoren
Welche 2 × 2-Matrizen haben die Eigenvektoren
1
2
?
und
3
5
4. Abbildungen
Welches sind die Eigenvektoren und zugehörigen Eigenwerte der folgenden linearen Abbildungen 2 → 2 ?
(a) Streckung vom Ursprung aus mit dem Faktor 3.
(b) Drehung um den Ursprung um 45◦ .
(c) Drehung um den Ursprung um 180◦ .
(d) Spiegelung an der x1 -Achse.
(e) Spiegelung an der Geraden x2 = x1 .
Abgabe: Montag, 3. 5.
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Übungsblatt 3
1. Eigenräume
Berechne die Eigenräume der folgenden Matrix:


3 2 −1
 2 6 −2 
0 0 2
2. Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix
(a) Berechne die Eigenwerte λi und Eigenvektoren der folgenden Matrix A.


93
6 −24
1 
6 130 −30 
A=
49
−24 −30
71
(b) Seien die Eigenwerte geordnet: λ1 < λ2 < λ3 . Sei für i = 1, . . . , 3 jeweils vi ein
√
normierter Eigenvektor zum Eigenwert λi , d. h. kvi k = < vi , vi > = 1. Berechne
die Skalarprodukte < v1 , v2 >, < v2 , v3 > und < v3 , v1 >.
(c) Bestimme eine lineare Abbildung, die die kartesischen Einheitsvektoren auf die Eigenvektoren abbildet: ei 7→ vi , i = 1, . . . , 3. Wie lautet die Matrix T , die diese
Abbildung darstellt?
(d) Zeige: T −1 = T T .
(e) Berechne D := T −1 AT .
(f) Erläutere die Ergebnisse.
Abgabe: Montag, 10. 5.
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Übungsblatt 4
1. Diagonalisierbarkeit
Welche der folgenden Matrizen
λ1 1
λ1 1
λ1 0
λ1 0
λ1 0
(e)
(d)
(c)
(b)
(a)
0 λ1
0 λ2
0 0
0 λ1
0 λ2
(mit λ1 , λ2 ∈
beliebig) sind diagonalisierbar? Bestimme jeweils die Eigenwerte und
deren algebraische und geometrische Vielfachheit.
2. Drehung
Bestimme die Matrix A, die die lineare Abbildung 3 → 3 : Drehung um die x3 ”
Achse um π2 “ in der Form x 7→ Ax darstellt. Bestimme Determinante, Eigenwerte und
Eigenvektoren der Matrix und interpretiere aus den Ergebnissen das Abbildungsverhalten
der Drehung.
3. Diskrete Metrik
Sei V ein reeller Vektorraum. Zeige: Die Abbildung
0 für v = w
d : V × V → : (v, w) 7→
1 für v 6= w
ist eine Metrik auf V .
4. Orthonormalisierung
Gegeben seien die Vektoren (1, −1, 1), (2, 1, 2) und (a, b, c) mit a, b, c ∈
normalisiere die Vektoren mit dem Gram-Schmidt-Verfahren.
Abgabe: Montag, 17. 5.
, a 6= c. Ortho-
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Übungsblatt 5
1. Untersumme, Obersumme und Eigenschaften des Flächeninhalts
Zeige, daß das als Grenzwert von Untersumme
n X
U(f, ∆) =
inf f (x) · (xi − xi−1 )
x∈[xi−1 ,xi ]
i=1
und Obersumme
O(f, ∆) =
n
X
i=1
sup
f (x)
x∈[xi−1 ,xi ]
!
· (xi − xi−1 )
(wenn die Feinheit η(∆) = max |xi − xi−1 | der Zerlegung ∆ = (x0 , x1 , . . . , xn ) gegen 0
i=1,...,n
geht) definierte Integral die in der Vorlesung besprochenen Eigenschaften des Flächeninhalts (Linearität, Monotonie, Zerlegung des Intervalls und Dreiecksungleichung) hat.
2. Integral von x2
2
Sei f (x) = x . Wir wollen
Z
b
f (x)dx berechnen.
0
(a) Zeige per vollständiger Induktion:
n
X
k2 =
k=1
(b) Berechne für die Zerlegung ∆(n) =
O(f, ∆(n)) =
(c) Berechne lim O(f, ∆(n)).
n
X
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
b
b b
0, , 2 , . . . , (n − 1) , b
n n
n
!
sup
x∈[xk−1 ,xk ]
f (x)
die Obersumme
· (xk − xk−1 ).
n→∞
Abgabe: Montag, 24. 5.
3. Freiwillige Programmieraufgabe: Gauß-Algorithmus
Schreibe ein Computerprogramm zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Ax = b
für A ∈ n×n , b ∈ n , z. B. unter Verwendung der in der Vorlesung besprochenen
Datenstrukturen und Funktionen.
Teste das Programm am Beispiel


 
1
2
1
1
 −3 −5 −1  x =  1  .
−7 −12 −2
1
Abgabe: Compilierfähigen Sourcecode und Ergebnisprotokoll per email.
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Übungsblatt 6
1. Integralfunktionen
Welche der folgenden Funktionen sind keine Integralfunktionen? Warum?
(a) f (x) = x2
(b) f (x) = x2 + 1
(c) f (x) = x2 + 2x + 1
2. Berechnung von Stammfunktionen
Berechne Stammfunktionen zu folgenden Funktionen:
(a) f :
(b) f :
(c) f :
(d) f :
, f (x) = (x + 1)2 − 2x + 3
√
+
→ , f (x) = x
3x
→ , f (x) = 2
2x + 1
1
→ , f (x) = 2
x +3
→
3. Berechnung bestimmter Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale:
Z 2π
(a)
sin x · cos x dx
0
(b)
Z
2π
sin2 x dx
0
4. Uneigentliches Integral
Untersuche, für welche Parameter α > 0 das uneigentliche Integral
Z ∞
Z y
1
1
dx := lim
dx
α
α
y→∞
x
1
1 x
existiert.
Abgabe: Montag, 31. 5.
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Sommersemester 2004
Übungsblatt 7
— Übungsaufgaben für die erste Klausur —
1. Determinante
Berechne die Determinante der Matrix


1 0
1
 2 3 −1  .
0 1
1
2. Ähnlichkeit
Wir wissen: Die Eigenwerte einer oberen Dreiecksmatrix stehen auf der Diagonalen. Sei
A ∈ n×n eine diagonalisierbare vollrangige Matrix. Warum kann man die Eigenwerte
von A nicht nach dem folgenden Verfahren bestimmen?
• Bringe A durch elementare Zeilenumformungen in obere Dreiecksgestalt.
• Lies die Eigenwerte von der Hauptdiagonalen ab.
3. Eigenwerte und Eigenvektoren
Berechne die reellen Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix


1
5 −3
 1
0
1 .
1 −4
3
4. Diagonalisierung
Bestimme eine orthogonale Matrix S ∈ 3×3
d11 ≤ d22 ≤ d33 ), so daß

6
D = ST  4
3
und eine Diagonalmatrix D ∈
3×3
(mit

4 3
6 3  S.
3 7
Bevor du rechnest, warum bist du sicher, daß die Aufgabe lösbar ist?
5. Norm und Metrik
Sei V ein Vektorraum. Zeige: Wenn k.k : V →
mit D(v, w) := kv − wk, v, w, ∈ V eine Metrik.
eine Norm ist, dann ist d : V × V →
6. Orthogonal und linear unabhängig
Die Vektoren v1 , . . . , vk ∈
n
\ {0} (1 ≤ k ≤ n) seien orthogonal.
(a) Was heißt das?
(b) Zeige: Dann sind v1 , . . . , vk linear unabhängig.
7. Inverse Matrix, Determinante und Eigenwerte
n×n
Sei A ∈
regulär, d. h. es existiert A−1 ∈
n×n
mit AA−1 = A−1 A = I.
Zeige: Dann gilt:
(a) det A−1 =
1
.
det A
(b) Sei λ Eigenwert von A. Dann ist λ 6= 0 und
1
ist Eigenwert von A−1 .
λ
8. Vielfachheit von Eigenwerten
(a) Erläutere algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten.
(b) Gib je ein Beispiel einer 2 × 2-Matrix an, die nur den Eigenwert 2 hat mit
• algebraischer Vielfachheit = geometrischer Vielfachheit = 2,
• algebraischer Vielfachheit = 2, geometrischer Vielfachheit = 1.
9. Orthogonale Matrizen
Was ist eine orthogonale Matrix? Welche Eigenschaften orthogonaler Matrizen kennst du?
10. Bestimmte Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale.
Z π
(a)
sin x · cos x dx
−π
(b)
(c)
Z
Z
b
a
1
dx
1 + x2
b √
e
x
dx
a
für 0 < a < b < ∞
11. Uneigentliches Integral
Berechne das uneigentliche Integral
Z
∞
0
x · e−x dx.
12. Definitionen
(a) Wann heißt eine Matrix A ∈
n×n
diagonalisierbar?
(b) Wie ist das Riemann-Integral definiert?
(c) Was ist ein Skalarprodukt?
(d) Was ist eine Orthonormalbasis?
(e) Was ist das Kronecker-Delta δij ?
Abgabe: keine
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Sommersemester 2004
Klausur 1
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Eine besondere Matrix
(a) Finde eine n × n-Matrix, die sowohl symmetrisch, positiv definit und diagonal als
auch orthogonal ist.
(b) Begründe: Es gibt nur eine n × n-Matrix, die alle diese Eigenschaften hat.
(Hinweis: Eigenwerte)
4 Punkte
2. Determinante
Welche beiden Möglichkeiten kennst du, die Determinante einer n × n-Matrix zu berechnen? Gib jeweils eine kurze Erläuterung oder Formel. Welche Methode ist für großes n
effizienter? Berechne mit einer der beiden Methoden die Determinante der Matrix


4
5
3
 3 −2
1 .
0
3
1
7 Punkte
3. Diagonalisierung
Bestimme eine orthogonale Matrix S ∈ 2×2 und eine Diagonalmatrix D ∈
d11 ≤ d22 ), so daß
1 2
T
D=S
S.
2 1
Mache die Probe.
2×2
(mit
5 Punkte
4. Eigenwerte, Rang und Determinante
Begründe:
(a) Wenn eine Matrix A ∈
n×n
nicht vollen Rang hat, hat sie den Eigenwert 0.
(b) Sei A ∈ n×n eine diagonalisierbare Matrix mit reellen Eigenwerten λ1 ≤ . . . ≤ λn .
Dann gilt:
det A = λ1 · . . . · λn
4 Punkte
5. Eigenwerte
Bestimme alle Eigenwerte der folgenden Matrix sowie deren algebraische und geometrische
Vielfachheit.


2
1
0
2
0 
A= 0
0
0 −3
4 Punkte
6. Orthogonal und linear unabhängig
Die Vektoren v1 , . . . , vk ∈
n
\ {0} (1 ≤ k ≤ n) seien orthonormal.
(a) Was heißt das?
(b) Zeige: Dann sind v1 , . . . , vk linear unabhängig.
5 Punkte
7. Integralrechnung
(a) Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
(b) Was ist eine Stammfunktion?
4 Punkte
8. Bestimmte Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale.
Z π
(a)
(sin x)2 dx
(b)
(c)
Z
Z
−π
b
ln x dx
a
für 0 < a < b < ∞
b
tan x dx
a
für −
π
π
<a<b<
2
2
Bitte jeweils mit Herleitung.
6 Punkte
9. Uneigentliches Integral
Diskutiere und berechne das Integral
Z
für beliebiges α ∈
1
xα dx
0
(Fallunterscheidung).
6 Punkte
10. Definitionen
(a) Wann heißen zwei Matrizen A, B ∈
n×n
ähnlich?
(b) Was ist eine positiv definite Matrix?
(c) Was ist eine Norm?
(d) Was ist ein Eigenraum einer Matrix?
(e) Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?
5 Punkte
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Sommersemester 2004
Klausur 1
— Musterlösung —
1. Eine besondere Matrix
(a) Finde eine n × n-Matrix, die sowohl symmetrisch, positiv definit und diagonal als
auch orthogonal ist.
(b) Begründe: Es gibt nur eine n × n-Matrix, die alle diese Eigenschaften hat.
(Hinweis: Eigenwerte)
Lösung:


(a) Die Einheitsmatrix 

1
...
1

 hat alle diese Eigenschaften.
(b) Weil die Matrix diagonal ist, stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen, alle
anderen Einträge sind 0. Weil sie symmetrisch ist, sind die Eigenwerte reell. Weil sie
positiv definit ist, sind die Eigenwerte positiv. Und weil sie orthogonal ist, haben die
Eigenwerte den Betrag 1. Also sind alle Eigenwerte bzw. Diagonalelemente 1, und
die Matrix ist notwendigerweise die Einheitsmatrix.
2. Determinante
Welche beiden Möglichkeiten kennst du, die Determinante einer n × n-Matrix zu berechnen? Gib jeweils eine kurze Erläuterung oder Formel. Welche Methode ist für großes n
effizienter? Berechne mit einer der beiden Methoden die Determinante der Matrix


4
5
3
 3 −2
1 .
0
3
1
Lösung:
• Laplacescher Entwicklungssatz: z. B. Entwicklung nach der i-ten Zeile:
det A =
n
X
j=1
(−1)i+j · aij · det A0ij ,
wobei A0ij aus A durch streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte entsteht.
• Gauß-Algorithmus: Bringe A durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform, dabei werde die Umformung Vertauschung zweier Zeilen k-mal durchgeführt.
Seien r11 , . . . , rnn die Diagonalelemente der Zeilenstufenform. Dann gilt:
det A = (−1)k · r11 · . . . · rnn .
Aufwand für Laplaceschen Entwicklungssatz ∼ n!, für Gauß-Algorithmus ∼ n3 . Für große
n ist Gauß-Algorithmus effizienter.
Berechnung mit Laplaceschem Entwicklungssatz: (Entwicklung nach erster Spalte)


4
5
3
−2
1
5
3
1  = 4 · det
det  3 −2
− 3 · det
3 1
3 1
0
3
1
= 4 · (−2 · 1 − 3 · 1) − 3 · (5 · 1 − 3 · 3) = −8
Berechnung mit Gauß-Algorithmus:






4
5
3
4
5
3
4
5
3
 3 −2
− 45  →  0 − 23
− 54 
1  →  0 − 23
4
4
8
0
3
1
0
0 23
0
3
1
(ohne Zeilenvertauschungen). Also ist


4
5
3
8
23
1 =4· −
·
det  3 −2
= −8
4
23
0
3
1
3. Diagonalisierung
Bestimme eine orthogonale Matrix S ∈ 2×2 und eine Diagonalmatrix D ∈
d11 ≤ d22 ), so daß
1 2
T
S.
D=S
2 1
2×2
Mache die Probe.
Lösung:
Eigenwerte:
1 2
1−λ
2
0 = det
− λI = det
= (1 − λ)2 − 4 = λ2 − 2λ − 3
2 1
2
1−λ
√
√
λ1 = 1 − 1 + 3 = −1, λ2 = 1 + 1 + 3 = 3
Zugehörige
Eigenvektoren:
−1
2 2
−1
1
, normiert: v̂1 = √2
v1 = 0 ⇒ v 1 =
1
2
2
1 −2
2
1
1
v2 = 0 ⇒ v 2 =
, normiert: v̂2 = √12
2 −2
1
1
−1 1
, v̂1 , v̂2 normiert und < v̂1 , v̂2 >= 0 ⇒ S orthogonal
S = (v̂1 |v̂2 ) = √12
1 1
−1 0
D=
0 3
−1 0
1 2
T
S=
Probe: S
0 3
2 1
(mit
4. Eigenwerte, Rang und Determinante
Begründe:
n×n
(a) Wenn eine Matrix A ∈
nicht vollen Rang hat, hat sie den Eigenwert 0.
(b) Sei A ∈ n×n eine diagonalisierbare Matrix mit reellen Eigenwerten λ1 ≤ . . . ≤ λn .
Dann gilt:
det A = λ1 · . . . · λn
Lösung:
(a) Wenn A nicht vollen Rang hat, gibt es ein v ∈
v Eigenvektor von A zum Eigenwert 0.
n
\ {0} mit Av = 0 = 0 · v. Also ist
(b) Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also gilt:
det(A − λI) = (λ1 − λ) · . . . · (λn − λ).
Einsetzen von λ = 0 liefert det A = λ1 · . . . · λn .
5. Eigenwerte
Bestimme alle Eigenwerte der folgenden Matrix sowie deren algebraische und geometrische
Vielfachheit.


2
1
0
2
0 
A= 0
0
0 −3
Lösung: Charakteristisches Polynom: det (A − λI) = (2 − λ) · (2 − λ) · (−3 − λ) = 0
Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = −3, algebraische Vielfachheiten: µ(A, 2) = 2, µ(A, −3) = 1
Eigenräume:


   
1
2−2
1
0


 = t ·  0 , t ∈
2−2
0
Eig(A, 2) = Kern  0


0
−3 − 2   0 

 0
2+3
1
0
0


 = t ·  0 , t ∈
2+3
0
Eig(A, −3) = Kern  0


0
0
−3 + 3
1
geometrische Vielfachheiten: dim Eig(A, 2) = 1, dim Eig(A, −3) = 1
6. Orthogonal und linear unabhängig
Die Vektoren v1 , . . . , vk ∈
n
(1 ≤ k ≤ n) seien orthonormal.
(a) Was heißt das?
(b) Zeige: Dann sind v1 , . . . , vk linear unabhängig.
Lösung:
(a) < vi , vj >= δij für i, j ∈ {1, . . . , k}
(b) Zeige: Aus
k
X
i=1
αi vi = 0 folgt α1 = . . . = αk = 0. Sei j ∈ {1, . . . , k}. Dann ist
0 = < vj , 0 > = < v j ,
k
X
i=1
αi vi > =
k
X
i=1
αi < v j , v i > =
k
X
i=1
αi δji = αj .
7. Integralrechnung
(a) Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
(b) Was ist eine Stammfunktion?
Lösung:
(a) Sei f : [a; b] →
stetig.
Z x Dann ist die Integralfunktion
: x 7→
f (t) dt differenzierbar, und es gilt: F 0 = f .
F : [a; b] →
a
ist eine Stammfunktion von f : [a; b] →
(b) F : [a; b] →
, wenn gilt: F 0 = f .
8. Bestimmte Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale.
Z π
(a)
(sin x)2 dx
−π
(b)
(c)
Z
Z
b
ln x dx
a
für 0 < a < b < ∞
b
für −
tan x dx
a
π
π
<a<b<
2
2
Bitte jeweils mit Herleitung.
Lösung:
Z π
Z π
Z π
π
2
2
(a)
(sin x) dx = [− sin x cos x]−π +
(cos x) dx =
(cos x)2 dx
−π
−π
−π
Z π
Z π
=
1 − (sin x)2 dx = 2π −
(sin x)2 dx
−π
Z π
Z π−π
2
⇒2
(sin x) dx = 2π ⇒
(sin x)2 dx = π
(b)
Z
b
−π
ln x dx =
a
Z
b
= [u · eu ]ln
ln a −
(c)
Z
b
tan x dx =
a
−π
ln b
u
u
ln(e ) · e du =
ln a
Z
ln b
ln a
b
Z
a
Z
ln b
ln a
u · eu du
b
b
eu du = [u · eu − eu ]ln
ln a = [ln x · x − x]a
sin x
dx =
cos x
Z
cos b
cos a
−1
b
b
du = [− ln u]cos
cos a = [− ln cos x]a
u
9. Uneigentliches Integral
Diskutiere und berechne das Integral
Z
für beliebiges α ∈
1
xα dx
0
(Fallunterscheidung).
Lösung: Stammfunktion:
Z
xα+1
• Für α 6= −1: xα dx =
+c
α+1
• Für α = −1:
Z
1
dx = ln(|x|) + c
x
Fallunterscheidung
• Für α ≥ 0 ist das Integral nicht uneigentlich:
α+1 1
Z 1
x
1
α
.
x dx =
=
α+1 0 α+1
0
• Für α < 0 müssen wir den Grenzwert
lim
h→0,h>0
Z
1
xα dx
h
untersuchen. Dieser ist für −1 < α < 0
α+1 1
Z 1
1
x
1
hα+1
α
x dx = lim
=
lim
− lim
=
,
h→0,h>0 α + 1
h→0,h>0 h
α + 1 h→0,h>0 α + 1
α+1
h
für α = −1
Z
und für α < −1
Z
1
1
h
1
dx = [ln x]1h = 0 − ln h → ∞
x
xα+1
x dx =
α+1
α
h
1
=
h
hα+1
1
−
→∞
α+1 α+1
existiert der Grenzwert nicht.
10. Definitionen
n×n
(a) Wann heißen zwei Matrizen A, B ∈
ähnlich?
(b) Was ist eine positiv definite Matrix?
(c) Was ist eine Norm?
(d) Was ist ein Eigenraum einer Matrix?
(e) Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?
Lösung:
(a) Wenn es eine reguläre Matrix T ∈
n×n
gibt, so daß B = T −1 BT .
(b) Wenn A symmetrisch ist und xT Ax ≥ 0 für alle x ∈
x = 0.
n
, wobei xT Ax = 0 nur für
(c) Sei V ein Vektorraum. Eine Norm auf V ist eine Abbildung k.k : V × V →
den Eigenschaften:
mit
• kλ · vk = |λ| · kvk ∀v ∈ V, λ ∈ (Homogenität)
• kvk ≥ 0 ∀v ∈ V und kvk = 0 ⇐⇒ v = 0 (Positive Definitheit)
• kv + wk ≤ kvk + kwk ∀v, w ∈ V (Dreiecksungleichung)
(d) Sei λ Eigenwert der Matrix A. Dann heißt Eig(A, λ) = {v ∈ V |Av = λv} Eigenraum von A zum Eigenwert λ. Eig(A, λ) besteht aus allen Eigenvektoren von A zum
Eigenwert λ und dem Nullvektor. Eig(A, λ) ist ein Untervektorraum des n .
(e) Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A ist die Dimension seines Eigenraums Eig(A, λ).
Notenspiegel
Note
1
2
3
4
5
Punkte
42 - 50
35 - 41.5
28.5 - 34.5
22 - 28
0 - 21.5
Formel zur Berechnung der Dezimalnote:
N ote = max(1.0; 4 − 3 · (P unkte − 25)/20)
Scheinkriterium: mindestens 50 Punkte aus beiden Klausuren zusammen
Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Klausur 1 — Nachtermin 1
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Inverse Matrix
Sei A ∈
n×n
eine invertierbare Matrix. Zeige:
(a) Die Determinante von A−1 ist det A−1 =
(b) Sei λ ∈
ein Eigenwert von A. Dann ist
1
.
det A
1
ein
λ
Eigenwert von A−1 .
4 Punkte
2. Determinante
Welche beiden Möglichkeiten kennst du, die Determinante einer n × n-Matrix zu berechnen? Gib jeweils eine kurze Erläuterung oder Formel. Welche Methode ist für großes n
effizienter? Berechne mit einer der beiden Methoden die Determinante der Matrix


1
3
4
 2
5
7 .
−1
2 −3
7 Punkte
3. Diagonalisierung
Bestimme eine orthogonale Matrix S ∈ 2×2 und eine Diagonalmatrix D ∈
d11 ≤ d22 ), so daß
−1 −2
T
S.
D=S
−2 −1
Mache die Probe.
2×2
(mit
5 Punkte
4. Eigenwerte, Rang und Determinante
Begründe:
(a) Wenn eine Matrix A ∈
(b) Sei A ∈
Dann gilt:
n×n
n×n
nicht vollen Rang hat, hat sie den Eigenwert 0.
eine diagonalisierbare Matrix mit reellen Eigenwerten λ1 ≤ . . . ≤ λn .
det A = λ1 · . . . · λn
4 Punkte
5. Eigenwerte
Bestimme alle Eigenwerte der folgenden Matrix sowie die zugehörigen Eigenvektoren und
Eigenräume.


1
0
0
1
0 
A= 1
0
0 −2
4 Punkte
6. Integralrechnung
(a) Was ist eine Integralfunktion?
(b) Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
4 Punkte
7. Bestimmte Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale.
Z π
(cos x)2 dx
(a)
(b)
(c)
Z
Z
−π
b
ln x dx
a
b
a
cos x
dx
sin x
für 0 < a < b < ∞
für 0 < a < b < π
Bitte jeweils mit Herleitung.
6 Punkte
8. Flächeninhalt
Berechne den Flächeninhalt zwischen den Schaubildern der Funktionen
f : [0; π] →
: x 7→ sin x
und
g : [0; π] →
: x 7→ x · (x − π).
6 Punkte
9. Uneigentliches Integral
Berechne das uneigentliche Integral
Z
∞
0
x · e−x dx.
5 Punkte
10. Definitionen
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Was
Was
Was
Was
Was
ist
ist
ist
ist
ist
eine Orthonormalbasis?
eine orthogonale Matrix?
eine Metrik?
ein Eigenvektor einer Matrix?
die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts?
5 Punkte
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Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Klausur 1 — Nachtermin 2
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Determinante
Berechne die Determinante der Matrix

1
 2
−1

3
4
5
7 .
2 −3
Erläutere die Methode, die du zur Berechnung verwendet hast.
5 Punkte
2. Determinante und Eigenwerte der Inversen Matrix
Sei A ∈
n×n
eine invertierbare Matrix. Zeige:
(a) Die Determinante von A−1 ist det A−1 =
(b) Sei λ ∈
ein Eigenwert von A. Dann ist
1
.
det A
1
ein
λ
Eigenwert von A−1 .
4 Punkte
3. Orthogonale Matrix
(a) Zeige: Die Spalten der folgenden Matrix A sind orthonormal.
√ 
 √
2
−1
−
3
√
1

A = √  √2
2
√0
6
2 −1
3
(b) Berechne die Inverse von A so effizient wie möglich.
(c) Bestimme | det A| so effizient wie möglich.
5 Punkte
4. Diagonalisierung
Bestimme eine orthogonale Matrix S ∈ 2×2 und eine Diagonalmatrix D ∈
d11 ≤ d22 ), so daß
−1 −2
T
S.
D=S
−2 −1
Mache die Probe.
2×2
(mit
5 Punkte
5. Vielfachheit von Eigenwerten
(a) Erläutere algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten.
(b) Gib je ein Beispiel einer 2 × 2-Matrix an, die nur den Eigenwert 2 hat mit
• algebraischer Vielfachheit = geometrischer Vielfachheit = 2,
• algebraischer Vielfachheit = 2, geometrischer Vielfachheit = 1.
4 Punkte
6. Integralrechnung
(a) Wie ist das Riemann-Integral definiert?
(b) Wie lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?
5 Punkte
7. Integral von x2
2
Sei f (x) = x . Wir wollen
Z
b
f (x)dx berechnen.
0
(a) Berechne für die Zerlegung ∆(n) =
O(f, ∆(n)) =
n
X
k=1
b
b b
0, , 2 , . . . , (n − 1) , b
n n
n
!
sup
f (x)
x∈[xk−1 ,xk ]
die Obersumme
· (xk − xk−1 ).
(b) Berechne lim O(f, ∆(n)).
n→∞
Es kann die folgende Formel verwendet werden:
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
5 Punkte
8. Bestimmte Integrale
Berechne die folgenden bestimmten Integrale.
Z π
sin x · cos x dx
(a)
−π
(b)
(c)
Z
Z
b
ln x dx
a
b
a
cos x
dx
sin x
für 0 < a < b < ∞
für 0 < a < b < π
Bitte jeweils mit Herleitung.
6 Punkte
9. Flächeninhalt
Berechne den Flächeninhalt zwischen den Schaubildern der Funktionen
f : [0; π] →
: x 7→ sin x
und
g : [0; π] →
: x 7→ x · (x − π).
6 Punkte
10. Definitionen
(a) Was ist eine Diagonalmatrix?
(b) Was ist eine Norm?
(c) Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix?
(d) Was kann man mit dem Gram-Schmidt-Verfahren machen? (Mit einem Satz beantworten, ohne Formeln.)
(e) Wie lautet die Formel für partielle Integration?
5 Punkte
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für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 8
1. Fourier-Entwicklung
Sei V der Vektorraum der stückweise
stetigen Funktionen auf dem Intervall [−π; π] mit
Z π
g(x) · h(x) dx. Sei für n ∈
dem Skalarprodukt < g, h >:=
−π
Vn := Spann
1
1
1
1
1
√ , √ cos x, . . . , √ cos nx, √ sin x, . . . , √ sin nx .
π
π
π
π
2π
Berechne die Fourier-Entwicklung PVn (f ) von
f : [−π; π] →
: x 7→ x,
d. h. die orthogonale Projektion von f auf den Untervektorraum Vn .
Zeichne PV1 (f ), PV2 (f ) und PV3 (f ) in ein Schaubild.
Wie lautet der Funktionswert von PVn (f ) bei x = π?
2. Urnenmodelle
(a) In einer Urne liegen drei weiße und zwei schwarze Kugeln. Es werden zufällig zwei
Kugeln entnommen (Ziehung ohne Zurücklegen). Ermittle die Wahrscheinlichkeit,
daß es sich bei diesen beiden Kugeln um
i. zwei weiße Kugeln,
ii. eine weiße und eine schwarze Kugel
handelt. Definiere dazu einen Wehrscheinlichkeitsraum (Menge und Wahrscheinlichkeitsmaß) Erläutere an diesem Beispiel die Begriffe Ereignis und Elementarereignis.
(b) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten der beiden betrachteten Ereignisse, wenn
man vor der Ziehung der zweiten Kugel die erste zurücklegt? Gib auch hier einen
geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
Abgabe: Montag, 14. 6.
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Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 9
1. Geburtstagsparadoxon
Angenommen ich befinde mich in einer Gruppe aus n Personen.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine andere Person am gleichen
Tag Geburtstag hat wie ich selbst? Für welche n ist diese Wahrscheinlichkeit ≥ 21 ?
Für welche n ist sie = 1?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens zwei Personen am gleichen Tag
Geburtstag haben? Für welche n ist diese Wahrscheinlichkeit ≥ 12 ? Für welche n ist
sie = 1?
Wir nehmen dabei an, daß in unserer Gruppe niemand am 29. Februar Geburtstag hat
und daß es gleichwahrscheinlich ist, an einem der 365 anderen Tage geboren worden zu
sein.
2. Unabhängigkeit von Ereignissen I
In einer Urne liegen 2N Kugeln, wobei N ≥ 1. Die Kugeln seien von 1 bis 2N durchnumeriert. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln entnommen, wobei vor der Ziehung
der zweiten Kugel die erste wieder in die Urne zurückgelegt wird. Bei jeder einzelnen
Ziehung werde jede in der Urne vorhandene Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
gezogen.
(a) Gib einen geeigneten Ergebnisraum Ω und für jedes Elementarereignis dessen Wahrscheinlichkeit an. Wie ist dadurch die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Ereignis
definiert?
(b) Wir betrachten die folgenden drei Ereignisse.
A
B
C
Die Nummer der ersten Kugel ist gerade.“
”
Die Nummer der zweiten Kugel ist ungerade.“
”
Die Summe der Nummern der beiden Kugeln ist gerade.“
”
Untersuche, ob die Ereignisse paarweise unabhängig sind.
(c) Prüfe, ob auch die Familie der Ereignisse (A, B, C) unabhängig ist. (Dafür muß
zusätzlich zu der paarweisen Unabhängigkeit noch geprüft werden, ob die Produktformel P (A ∩ B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C) gilt.)
3. Unabhängigkeit von Ereignissen II
Wiederhole die Untersuchungen aus Aufgabe 2 für den Fall, daß die erste gezogene Kugel
nicht wieder zurückgelegt wird.
Abgabe: Montag, 21. 6.
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 10
1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sei (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Sei B ⊂ Ω mit P (B) > 0. Zeige:
(a) Durch die bedingte Wahrscheinlichkeit PB (A) := P (A|B) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω definiert.
(b) Ist A ⊂ B C oder P (A) = 0, so ist P (A|B) = 0.
2. Die Ziegentür
In einem Fernsehquiz gibt es drei Türen, hinter einer davon wartet ein Auto (der Gewinn),
hinter den anderen jeweils eine Ziege (Niete). Der Kandidat kann eine Tür wählen. Der
Moderator öffnet nun zuerst eine der beiden anderen Türen, hinter der sicher eine Ziege
steht. Nun kann der Kandidat entweder seine zuvor gewählte Tür öffnen oder seine Wahl
ändern.
Wir nehmen o.B.d.A. an, der Kandidat hat die mittlere Tür gewählt und der Moderator
die linke Tür (mit einer Ziege dahinter) geöffnet.
Wie groß sind (zunächst ohne Zusatzinformationen) die Wahrscheinlichkeiten
P (Auto hinter mittlerer Tür) und
P (Auto hinter rechter Tür)?
Nachdem der Kandidat die mittlere Tür gewählt hat, wie groß sind dann die bedingten
Wahrscheinlichkeiten
P (Moderator öffnet linke Tür|Auto hinter mittlerer Tür) und
P (Moderator öffnet linke Tür|Auto hinter rechter Tür)?
Berechne daraus mittels der Bayesschen Formel
P (Auto hinter mittlerer Tür|Moderator öffnet linke Tür) und
P (Auto hinter rechter Tür|Moderator öffnet linke Tür).
Lohnt es sich also für den Kandidaten, die Tür zu wechseln?
3. Kovarianz von Zufallsvariablen
Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) mit Ω = {1, 2, 3, 4} und P (1) = P (2) =
1
. Ferner seien die reellen Zufallsvariablen X1 , X2 definiert durch
und P (3) = P (4) = 10
X1 (1) = 1, X1 (2) = −1, X1 (3) = 2, X1 (4) = −2,
X2 (1) = −1, X2 (2) = 1, X2 (3) = 2, X2 (4) = −2.
(a) Gib die Verteilungen von X1 und X2 an.
2
5
(b) Berechne den Erwartungswert E(Xi ), die Varianz V ar(Xi ) und die Streuung σXi für
i = 1, 2.
(c) Gib die gemeinsame Verteilung von
(i) X1 und X1 , (ii) X1 und −2X2 , (iii) X1 und X2
an. Skizziere die Verteilungen (i), (ii), (iii) jeweils in einem Diagramm. (Zeichne dazu
Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein mit entsprechender Angabe
der Wahrscheinlichkeiten. Dabei sollen nur solche Punkte gezeichnet werden, die
einer positiven Wahrscheinlichkeit entsprechen.)
(d) Berechne zu jedem der drei Paare von Zufallsvariablen die Kovarianz. Untersuche
ferner in allen drei Fällen, ob die jeweiligen Zufallsvariablen unabhängig sind.
Abgabe: Montag, 28. 6.
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 11
1. Multiple Choice
Bei einer Prüfung mit Multiple-Choice-Fragen werden drei Fragen gestellt, wobei für jede
der drei Fragen zwei Antworten zur Auswahl vorliegen, von denen jeweils genau eine
richtig ist. Die Antworten werden von einem nicht vorbereiteten Prüfling rein zufällig
und unabhängig voneinander angekreuzt (Gleichverteilung). Sei Z die Zufallsvariable,
welche die Anzahl der richtigen Antworten angibt. Bestimme bei Zugrundelegung eines
geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω, P ) die Verteilung der Zufallsvariable Z bzgl.
P.
2. Spielbank
Eine Spielbank bietet folgendes Glücksspiel an: drei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen, der Spieler erhält
• 66 Euro für drei Einsen,
• 10 Euro für zwei Einsen,
• 0 Euro sonst.
Der Einsatz pro Spiel beträgt 2 Euro.
(a) Ist das Spiel für die Spielbank vorteilhaft?
(b) Welchen Gewinn kann die Spielbank oder der Spieler bei einer Serie von 100 Spielen
erwarten?
3. Mädchen und Jungen
In einer Familie mit drei Kindern werden die Wahrscheinlichkeiten für Jungen und Mädchen als gleich angenommen. Berechne für die Anzahl der Jungen
(a) die Verteilungsfunktion,
(b) den Erwartungswert und
(c) die Varianz.
4. Normalverteilung
Die Brenndauer von Glühlampen sei normalverteilt mit einem Mittelwert von 900 Stunden
und einer Standardabweichung von 100 Stunden. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für
eine Brenndauer
• zwischen 750 und 1050 Stunden,
• zwischen 800 und 1050 Stunden,
• kleiner als 650 Stunden,
• größer als 1200 Stunden und
• kleiner als 800 oder größer als 1200 Stunden.
Abgabe: Montag, 5. 7.
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 12
1. Varianz der Poisson-Verteilung
Berechne die Varianz der Poisson-Verteilung
(λT )k
Pλ X[0;T ] = k = e−λT k! ,
für beliebige T > 0, λ > 0.
k ∈ {0, 1, 2, . . .}
2. Verteilung ohne Erwartungswert
Zeige: Die Verteilung
6 1
· ,
π2 k2
hat keinen (endlichen) Erwartungswert.
P (X = k) =
k ∈ {1, 2, . . .}
3. Exponentialverteilung
Beim radioaktiven Zerfall ist die Wartezeit bis zum ersten Zerfall gegeben durch
mit einem Parameter λ > 0.
fλ : [0, ∞[→
: t 7→ λe−λt
(a) Zeige:
Z ∞ fλ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, d. h. es gilt f (t) ≥ 0 ∀T ∈ [0, ∞[ und
fλ (t)dt = 1.
0
(b) Berechne Pλ (]T, ∞[), d. h. die Wahrscheinlichkeit, daß nach der Zeit T noch kein Zerfall aufgetreten ist, und vergleiche mit der Poissonverteilung und der Interpretation,
die wir in der Vorlesung gegeben haben.
(c) Berechne Erwartungswert und Varianz der durch fλ definierten Verteilung.
4. Gradient
Berechne durch Nullsetzen des Gradienten das Minimum der folgenden Funktion:
x1
2
7→ 100(x2 − x21 )2 + (1 − x1 )2
f:
→ :
x2
5. Bogenlänge einer Kurve
Gegeben Sei die folgende Kurve:
f : [0; 4π] →
3
 √

2t
: t 7→  et  .
1 − et
Berechne die Ableitung der Kurve und ihre Bogenlänge.
Abgabe: Montag, 12. 7.
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Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 13
— Übungsaufgaben für die zweite Klausur —
1. Potenzmenge
Was ist die Potenzmenge einer Menge? Wir lauten die Potenzmengen von
(a) {1, 2, 3}
(b) {}
Wenn die Menge A n Elemente hat, wieviele Elemente hat dann die Potenzmenge von A?
2. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
(a) Was ist ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )?
(b) Was ist sind Ereignisse und was Elementarereignisse?
X
(c) Warum gilt: ∀A ⊂ Ω : P (A) =
P ({ω})?
ω∈A
(d) Beweise: ∀A, B ⊂ Ω : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
3. Altes Mittwochslotto
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man beim Lotto 7 aus 38“ 7 Richtige hat?
”
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ⊂ Ω und P (B) > 0.
(a) Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenen B definiert?
(b) Sei AC = Ω \ A das Komplement von A. Zeige: P (AC |B) = 1 − P (A|B).
(c) Wie lautet die Formel von Bayes?
5. Anwendung der Formel von Bayes
Du bist Außenminister von Land X und führst wichtige Verhandlungen mit einem Vertreter von Staat Y. Du weißt nicht so recht, ob du deinem Gegenüber trauen kannst, da
alle Politiker mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.8 Lügner und mit p = 0.2 aufrichtig sind. Du hast du Information, daß Lügner zu 70% nervös werden, hingegen können
auch Nicht-Lügner mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% nervös werden. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß dein Verhandlungspartner die Wahrheit sagt, wenn er nervös
wird bzw. wenn er nicht nervös wird?
Verwende die Formeln aus der vorigen Aufgabe.
6. Zufallsvariablen
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → eine reelle Zufallsvariable. Sei B ⊂ . Wie ist die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ B) definiert?
7. Augensumme beim zweimaligen Würfeln
Räuberzug bei Siedler von Catan: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beim Würfeln
mit zwei Würfeln die Augensumme gleich 7 ist?
Beschreibe einen geeigneten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) für das zweimalige
Würfeln und eine Zufallsvariable X : Ω → , die die Augensumme angibt. Berechne die
Wahrscheinlichkeit P (X = 7) sowie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen.
8. Binomialverteilung
(a) Welche Zufallsexperimente bzw. Zufallsvariablen sind binomialverteilt?
(b) Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung?
(c) Berechne den Erwartungswert der Binomialverteilung.
9. Schwaches Gesetz der großen Zahl
Wie lautet das schwache Gesetz der großen Zahl? Erläutere die Formel mit deinen Worten.
10. Gleichverteilung
(a) Zeige: Durch φ : [a; b] →
gegeben.
: t 7→
1
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf [a; b]
b−a
(b) Berechne Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung.
11. Beispiel zur Normalverteilung
Die Körpergröße von Kindern eines Jahrgangs sei angenährt normalverteilt mit µ = 90
und σ = 8. Wieviel Prozent diser Kinder sind höchstens 87 cm groß? Und wieviel Prozent
dieser Kinder sind mindestens 86 cm und höchstens 95 cm groß?
12. Bogenlänge einer Kurve
Gegeben sei die Kurve f :
→
3


cos t
: t 7→  sin t .
t
Berechne die Ableitung f 0 dieser Kurve und die Bogenlänge für t ∈ [0; 2π].
13. Jacobimatrix
Berechne die Jacobimatrix der folgenden Funktion:
1 + ln x1
3
2
√
√
: x 7→
f: +→
.
x1 x 2 + x 3
14. Kettenregel
Erläutere die Kettenregel für Funktionen f :
n
→
m
und g :
m
→
k
.
15. Mathematik für Biotechnologen
Welche Themen haben wir dieses Semester behandelt? Und welche letztes Semester?
Abgabe: keine
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Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Klausur 2
Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
(a) Was ist ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )?
(b) Was sind Ereignisse und was Elementarereignisse?
X
(c) Warum gilt: ∀A ⊂ Ω : P (A) =
P ({ω})?
ω∈A
(d) Beweise: ∀A, B ⊂ Ω : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
6 Punkte
2. Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
Was ist ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum? Gib ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der Laplacesch ist und eins für einen, der nicht Laplacesch ist.
3 Punkte
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ⊂ Ω und P (B) > 0.
(a) Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenen B definiert?
(b) Sei AC = Ω \ A das Komplement von A. Zeige: P (AC |B) = 1 − P (A|B).
(c) Wie lautet die Formel von Bayes?
5 Punkte
4. Anwendung der Formel von Bayes
An einer Hochschule, an der 40% der Studierenden Frauen sind, studieren 10% der männlichen Studenten und 25% der Studentinnen Biotechnologie.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein Studierender der Biotechnologie männlich ist.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß jemand, der nicht Biotechnologie studiert,
eine Frau ist.
6 Punkte
5. Zufallsvariablen
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → eine reelle Zufallsvariable. Sei B ⊂ . Wie ist die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ B) definiert?
3 Punkte
6. Erwartungswert und Varianz
Wie sind Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen definiert auf einem endlichen
bzw. auf einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum?
Zeige: V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
6 Punkte
7. Roulette
Beim Roulette werde jede der Zahlen 0 bis 36 mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen.
18 Zahlen sind rot, 18 Zahlen sind schwarz und eine Zahl ist grün (die Null). Wenn man
auf Rot oder Schwarz setzt und die entsprechende Farbe gezogen wird, erhält man das
Doppelte seines Einsatzes als Gewinn, ansonsten wird der Einsatz einbehalten.
Wie groß ist der erwartete Gewinn, wenn ich 10 Euro auf Rot setze?
Beschreibe einen geeigneten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) für das Roulettespiel und eine Zufallsvariable X : Ω → , die den Gewinn für 10 Euro auf Rot“ angibt.
”
Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
4 Punkte
8. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Sei Ω ⊂
ein eigentliches oder uneigentliches Intervall.
(a) Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf Ω?
(b) Wie ist bzgl. der Wahrscheinlichkeitsdichte die Wahrscheinlichkeit P ([a, b]) des Intervalls [a, b], a, b ∈ Ω definiert?
3 Punkte
9. Normalverteilung
(a) Wie lautet die Dichte fµ,σ2 der Normalverteilung N (µ, σ 2 ) mit Parametern µ und
σ 2 ? Wo konnte man diese Formel bis 2001 ständig nachlesen? Was bedeuten die
Parameter µ und σ 2 ?
(b) In Tabellen sind nur Zdie Werte der Standard-Normalverteilung N (0, 1) aufgeführt,
z
und zwar Φ(z) :=
−∞
f0,1 (t)dt. Wie berechnet man daraus für eine N (µ, σ 2 )-
verteilte Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [a, b]) des Intervalls [a, b]?
(Mit Begründung.)
5 Punkte
10. Ableitungen im
n
Erläutere die Begriffe partielle Ableitung, Tangentialvektor, Gradient, Jacobimatrix und
Hessematrix. Für welche Funktionen f : ? → ? haben wir diese Ableitungen definiert?
5 Punkte
11. Mathematik für Biotechnologen
Welche Themen haben wir dieses Semester behandelt? Und welche letztes Semester?
4 Punkte
Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Klausur 2
— Musterlösung —
1. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
(a) Was ist ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )?
(b) Was sind Ereignisse und was Elementarereignisse?
X
(c) Warum gilt: ∀A ⊂ Ω : P (A) =
P ({ω})?
ω∈A
(d) Beweise: ∀A, B ⊂ Ω : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Lösung:
(a) Ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einer endlichen Menge Ω (der
Ergebnismenge“) und einer Abbildung P : P(Ω) → [0; 1] (der Wahrscheinlich”
”
keitsverteilung“) mit den Eigenschaften P (Ω) = 1 und P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
für alle A, B ⊂ Ω mit A ∩ B = {}.
(b) Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω, ein Elementarereignis eine einelementige Teilmenge von Ω.
[
(c) A =
{ω}, wobei {ωi } ∩ {ωj } = {} für ωi 6= ωj . Aus den Eigenschaften des
ω∈A
X
Wahrscheinlichkeitsraums folgt dann P (A) =
P ({ω}).
ω∈A
(d) Es gilt: A ∪ B = (A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A), und die drei Mengen auf der rechten
Seite der Gleichung sind paarweise disjunkt. Deshalb ist
P (A ∪ B) = P (A \ B) + P (A ∩ B) + P (B \ A)
= (P (A) − P (A ∩ B)) + P (A ∩ B) + (P (B) − P (A ∩ B))
= P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
Benutze dabei, daß P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B), da A = (A ∩ B) ∪ (A \ B) und
A ∩ B und A \ B disjunkt sind.
2. Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum
Was ist ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum? Gib ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der Laplacesch ist und eins für einen, der nicht Laplacesch ist.
Lösung:
Ein Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, bei dem alle
Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Beispiel: Urne mit n Kugeln,
die die Nummern 1 bis n haben. Ziehe eine Kugel. Ω = {1, . . . , n}, P ({ω}) = n1 für alle
ω ∈ Ω. Beispiel für nicht Laplacesch: Urne mit zwei roten und einer schwarzen Kugel.
Ziehe eine Kugel. Ω = {rot, schwarz}, P ({rot}) = 32 , P ({schwarz}) = 31 .
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ⊂ Ω und P (B) > 0.
(a) Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenen B definiert?
(b) Sei AC = Ω \ A das Komplement von A. Zeige: P (AC |B) = 1 − P (A|B).
(c) Wie lautet die Formel von Bayes?
Lösung:
P (A ∩ B)
.
P (B)
P (AC ∩ B)
(b) P (AC |B) =
. (A∩B)∪(AC ∩B) = B und (A∩B)∩(AC ∩B) = {}. Daher
P (B)
P (B) − P (A ∩ B)
= 1 − P (A|B).
P (A ∩ B) + P (AC ∩ B) = P (B). Und P (AC |B) =
P (B)
n
[
(c) Formel von Bayes: Sei Ω =
Bi mit Bi ∩ Bj = {} für i 6= j. Sei A ⊂ Ω mit
(a) P (A|B) =
i=1
P (A) > 0. Dann gilt für i = 1, . . . , n :
P (Bi ) · P (A|Bi )
P (Bi |A) =
n
X
k=1,P (Bk )>0
.
P (Bk ) · P (A|Bk )
4. Anwendung der Formel von Bayes
An einer Hochschule, an der 40% der Studierenden Frauen sind, studieren 10% der männlichen Studenten und 25% der Studentinnen Biotechnologie.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein Studierender der Biotechnologie männlich ist.
• Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß jemand, der nicht Biotechnologie studiert,
eine Frau ist.
Lösung: P (Frau) = 0.4, P (Mann) = 0.6.
P (Biotechnologe|Mann) = 0.1, P (nicht Biotechnologe|Mann) = 0.9.
P (Biotechnologe|Frau) = 0.25, P (nicht Biotechnologe|Frau) = 0.75.
Formel von Bayes:
P (Mann|Biotechn.) =
=
P (Frau|nicht Biotechn.) =
=
P (Mann)·P (Biotechn.|Mann)
P (Frau)·P (Biotechn.|Frau)+P (Mann)·P (Biotechn.|Mann)
0.6 · 0.1
= 0.375
0.4 · 0.25 + 0.6 · 0.1
P (Frau)·P (nicht Biotechn.|Frau)
P (Frau)·P (nicht Biotechn.|Frau)+P (Mann)·P (nicht Biotechn.|Mann)
0.4 · 0.75
≈ 0.357
0.4 · 0.75 + 0.6 · 0.9
5. Zufallsvariablen
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → eine reelle Zufallsvariable. Sei B ⊂ . Wie ist die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ B) definiert?
Lösung:
Sei B ⊂
.
{X ∈ B} = X −1 (B) = {ω ∈ Ω|X(ω) ∈ B} ⊂ Ω
ist ein Ereignis im Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) und hat somit eine Wahrscheinlichkeit,
und zwar
X
P (X ∈ B) = P ({X ∈ B}) =
P (ω) =: PX (B).
ω∈Ω,X(ω)∈B
Damit definiert PX : P( ) → [0; 1] eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
scheinlichkeitsverteilung von X bzgl. P .
, die Wahr-
6. Erwartungswert und Varianz
Wie sind Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen definiert auf einem endlichen
bzw. auf einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum?
Zeige: V ar(X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
Lösung:
Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ):
X
X
E(X) =
X(ω) · P (ω) =
x · P (X = x),
V ar(X) = E((X − E(X))2 ).
ω∈Ω
x∈
Auf einem kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω mit Dichte f :
Z
E(X) =
X(ω)f (ω)dω,
Ω
falls das Integral existiert,
2
V ar(X) = E((X − E(X)) ) =
Z
Ω
(X(ω) − E(X))2 f (ω)dω,
falls Integral und Erwartungswert existieren.
V ar(X) = E((X − E(X))2 ) = E((X − E(X))(X − E(X))
= E(X 2 − 2 · X · E(X) + E(X)2 ) = E(X 2 ) − 2 · E(X) · E(X) + E(E(X)2 )
= E(X 2 ) − E(X)2
7. Roulette
Beim Roulette werde jede der Zahlen 0 bis 36 mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen.
18 Zahlen sind rot, 18 Zahlen sind schwarz und eine Zahl ist grün (die Null). Wenn man
auf Rot oder Schwarz setzt und die entsprechende Farbe gezogen wird, erhält man das
Doppelte seines Einsatzes als Gewinn, ansonsten wird der Einsatz einbehalten.
Wie groß ist der erwartete Gewinn, wenn ich 10 Euro auf Rot setze?
Beschreibe einen geeigneten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) für das Roulettespiel und eine Zufallsvariable X : Ω → , die den Gewinn für 10 Euro auf Rot“ angibt.
”
Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
Lösung:
1
Ω = {0, . . . , 36}, P : Ω → : ω 7→ 37
20, falls Kugel ω rot
X : Ω → : ω 7→
0 sonst
X
X
X
1
1
20
360
E(X) =
X(ω) · P (ω) =
20 ·
+
0·
= 18 ·
=
≈ 9.73
37 ω nicht rot 37
37
37
ω rot
ω∈Ω
8. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume
Sei Ω ⊂
ein eigentliches oder uneigentliches Intervall.
(a) Was ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf Ω?
(b) Wie ist bzgl. der Wahrscheinlichkeitsdichte die Wahrscheinlichkeit P ([a, b]) des Intervalls [a, b], a, b ∈ Ω definiert?
Lösung:
(a) Eine Wahrscheinlichkeitsdichte
ist eine integrierbare Funktion f : Ω →
Z
f (ω) ≥ 0 ∀ω ∈ Ω und
f (ω)dω = 1.
mit
Ω
(b) P ([a, b]) =
Z
b
f (ω)dω
a
9. Normalverteilung
(a) Wie lautet die Dichte fµ,σ2 der Normalverteilung N (µ, σ 2 ) mit Parametern µ und
σ 2 ? Wo konnte man diese Formel bis 2001 ständig nachlesen? Was bedeuten die
Parameter µ und σ 2 ?
(b) In Tabellen sind nur Zdie Werte der Standard-Normalverteilung N (0, 1) aufgeführt,
z
f0,1 (t)dt. Wie berechnet man daraus für eine N (µ, σ 2 )und zwar Φ(z) :=
−∞
verteilte Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [a, b]) des Intervalls [a, b]?
(Mit Begründung.)
Lösung:
1
(x − µ)2
.
(a) fµ,σ2 : → : x 7→ √ exp −
2σ 2
σ 2π
Bis 2001 auf der Vorderseite des 10-DM-Scheins, µ ist der Erwartungswert, σ 2 die
Varianz.
1
x−µ
(b) Es gilt: f0,1
= fµ,σ2 (x). Daraus folgt
σ
σ
P (X ∈ [a, b]) =
Z
=
Z
b
fµ,σ2 (x)dx =
a
b−µ
σ
−∞
f0,1 (t)dt −
Z
b
a
Z
1
f0,1
σ
a−µ
σ
−∞
x−µ
σ
f0,1 (t)dt = Φ
dx =
Z
b−µ
σ
a−µ
σ
b−µ
σ
f0,1 (t)dt
−Φ
a−µ
σ
.
10. Ableitungen im
n
Erläutere die Begriffe partielle Ableitung, Tangentialvektor, Gradient, Jacobimatrix und
Hessematrix. Für welche Funktionen f : ? → ? haben wir diese Ableitungen definiert?
Lösung:
• Partielle Ableitung bedeutet, daß man eine Funktion f : n →
nur nach einer
Komponente des Variablenvektors ableitet und die anderen Komponenten festhält:
∂f
f (x1 , . . . , xi + h, . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xi , . . . , xn )
(x1 , . . . , xn ) = lim
,
h→0
∂xi
h
falls der Grenzwert existiert.
• Für f :
→
m
ist

df1
(x)
dx


..

.
dfm
(x)
dx

f 0 (x) = 
der Tangentialvektor von f an der Stelle x.
• Für f :
n
→
ist
0
T
∇f (x) = f (x) =
der Gradient von f an der Stelle x.
• Für f :
n
→
m
∂f
(x)
∂x1
...

J(x) = f 0 (x) = 
∂f1
(x)
∂x1
···
..
.
∂fm
(x) · · ·
∂x1
die Jacobimatrix von f an der Stelle x.
n
→
ist

• Für f :
∂f
(x)
∂xn
∂f1
(x)
∂xn


..

.
∂fm
(x)
∂xn
ist


H(x) = f 00 (x) = 
∂2f
(x)
∂x1 ∂x1
..
.
∂2f
(x)
∂x1 ∂xn
die Hessematrix von f an der Stelle x.
···
∂2f
(x)
∂x1 ∂xn
···
∂2f
(x)
∂xn ∂xn
..
.



11. Mathematik für Biotechnologen
Welche Themen haben wir dieses Semester behandelt? Und welche letztes Semester?
Lösung:
Dieses Semester:
• Determinante
• Eigenwerte
• Orthogonalität
• Integralrechnung
• Fourier-Entwicklung
• Endliche Wahrscheinlichkeitsräume
• Zufallsvariablen
• Unendliche Wahrscheinlichkeitsräume
• Differentialrechnung im
• Integralrechnung im
n
n
Letztes Semester:
• Mathematische Logik
• Vektorräume
• Lineare Abbildungen
• Lineare Gleichungssysteme
• Komplexe Zahlen
• Folgen und Konvergenz
• Stetigkeit
• Differentialrechnung