Anwendungen von Matrizen und Lineare Abbildungen

Anwendungen von Matrizen und Lineare
Abbildungen
Heute werden wir einige nützliche und vielleicht etwas
überraschende Anwendungen der Matrizenrechnung und
Linearen Algebra kennenlernen:
I
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Rationale Interpolation
Wege in Graphen
Familien nicht-überschneidender Wege
spannende Bäume von Graphen
Rationale Interpolation
Beim Interpolationsproblem sind Stützstellen x1 , x2 , . . . , xN
und Werte an diesen Stellen y1 , y2 , . . . , yN gegeben. Man
möchte eine Funktion f finden, für die f (xi ) = yi gilt.
Dabei legt man sich zunächst darauf fest, aus welcher Klasse
von Funktionen f liegen soll. Man spricht dann von
Polynominterpolation, rationaler Interpolation,
Splineinterpolation, etc.
Bei der rationalen Interpolation soll f eine rationale Funktion,
also ein Bruch zweier Polynome sein. Dieses
Interpolationsproblem können wir auf das Lösen von linearen
Gleichungssystemen zurückführen.
Rationale Interpolation (2)
Nachdem f eine rationale Funktion ist, haben wir für i
zwischen 1 und N
yi = f (xi ) =
a0 + a1 xi + a2 xi2 + · · · + an xin
.
1 + b1 xi + b2 xi2 + · · · + bm xim
Die Grade m und n müssen wir wählen, zu gegebenen Graden
wollen wir dann die aj und bj bestimmen.
Dieses System von Gleichungen ist linear in den aj und bj !
Multiplizieren wir die Gleichung mit dem Nenner von f (xi ):
a0 + a1 x1 + · · · + an x1n − y1 (1 + b1 x1 + · · · + bm x1m ) = 0
a0 + a1 x2 + · · · + an x2n − y2 (1 + b1 x2 + · · · + bm x2m ) = 0
..
.
n
m
a0 + a1 xN + · · · + an xN − yN (1 + b1 xN + · · · + bm xN ) = 0.
Kombinatorische Graphentheorie
Ein Graph G ist eine (endliche) Ansammlung V von Knoten,
die durch Bögen verbunden sein können:
G = (V , E ⊆ V × V ).
Sind u und v Knoten, so ist e = (u, v ) ein Bogen vom
Anfangsknoten u zum Endknoten v .
Kombinatorische Graphentheorie
Ein Graph G ist eine (endliche) Ansammlung V von Knoten,
die durch Bögen verbunden sein können:
G = (V , E ⊆ V × V ).
Sind u und v Knoten, so ist e = (u, v ) ein Bogen vom
Anfangsknoten u zum Endknoten v .
Die Adjazenzmatrix A(G ) eines Graphen ist eine durch die
Knoten indizierte quadratische Matrix. Ihr Eintrag in Zeile u,
Spalte v ist 1, wenn (u, v ) ∈ E , und null sonst.
Kombinatorische Graphentheorie
Ein Graph G ist eine (endliche) Ansammlung V von Knoten,
die durch Bögen verbunden sein können:
G = (V , E ⊆ V × V ).
Sind u und v Knoten, so ist e = (u, v ) ein Bogen vom
Anfangsknoten u zum Endknoten v .
Die Adjazenzmatrix A(G ) eines Graphen ist eine durch die
Knoten indizierte quadratische Matrix. Ihr Eintrag in Zeile u,
Spalte v ist 1, wenn (u, v ) ∈ E , und null sonst.
Ein Graph heißt ungerichtet, wenn für jeden Bogen (u, v ) auch
(v , u) ein Bogen des Graphen ist. In diesem Fall ist die
Adjazenzmatrix symmetrisch und Ausgangsgrad gleich
Eingangsgrad.
Wege in Graphen
Ein Weg G in einem Graphen ist eine (endliche) Folge von
Bögen
e1 e2 e3 . . . en ,
sodaß der Endknoten von ei gleich dem Anfangsknoten von
ei+1 ist. Die Zahl n heißt Länge des Weges.
Theorem
Die Anzahl der Wege von u nach v mit genau n Schritten in
einem Graphen G ist der Eintrag in Zeile u, Spalte v von
A(G )n .
Familien nicht-überschneidender Wege
Ein kreisloser (oder auch azyklischer) Graph ist ein Graph, in
dem es keine Wege gibt, die zu ihrem Ausgangspunkt
zurückkehren.
Eine Familie von Wegen in einem kreislosen Graph heißt
nicht-überschneidend, wenn kein Knoten von zwei Wegen
besucht wird.
Familien nicht-überschneidender Wege (2)
Theorem
Sei G ein kreisloser Graph, und A1 , A2 , . . . , An , E1 , E2 , . . . , En
Knoten, sodaß alle Paare von Wegen von Ai nach Ek und Aj
nach El mit i < j und k > l überschneidend sind.
Sei P(Ai → Ej ) die Anzahl der Wege von Ai nach Ej .
Dann ist die Anzahl von Familien nicht-überschneidender
Wege von (A1 , A2 , . . . , An ) nach (E1 , E2 , . . . , En ) gleich der
Determinante der Matrix


P(A1 → E1 ) P(A1 → E2 ) . . . P(A1 → En )
P(A2 → E1 ) P(A2 → E2 ) . . . P(A2 → En )


.

..


.
P(An → E1 ) P(An → E2 ) . . . P(An → En )
Spannende Bäume in Graphen
Der Ausgangsgrad d o (Eingangsgrad d i ) eines Knotens ist die
Anzahl der Bögen die von ihm ausgehen (in ihm enden).
Ein Baum mit Wurzel v ist ein Graph, in dem der Knoten v
Eingangsgrad 0 hat, alle anderen Knoten Eingangsgrad 1
haben.
Ein spannender Baum eines Graphen G mit Wurzel v ist ein
Teilgraph von G , der ein Baum mit Wurzel G ist, und alle
Knoten von G enthält.
Spannende Bäume in Graphen (2)
Sei G ein Graph ohne Schlingen, dh. Bögen der Form (v , v ).
Die Laplace’sche Matrix L(G ) eines solchen Graphen mit
Knoten v1 , v2 , . . . , vn ist die quadratische Matrix


d i (v1 )


d i (v2 )



 − A(G ).
.
.


.
i
d (vn )
(die k te Zeile von A(G ) muß die Einträge zum Knoten vk
enthalten)
Theorem
Die Anzahl der spannenden Bäume von G mit Wurzel v ist
durch die Determinante der Matrix gegeben, die man von
L(G ) durch Streichen der Zeile und Spalte v erhält.
Ist der Graph ungerichtet, so ist die Anzahl der spannenden
Bäume unabhängig von der Wahl der Wurzel.