Nachklausur (29.04.2005)
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Experimentalphysik für Naturwissenschaftler 1,Wintersemester 2004/05 Universität Erlangen-Nürnberg Nachklausur (29.04.2005) Aufgabe 1: Definitionen (8 Punkte) Vervollständigen Sie untenstehende Tabelle, indem Sie die zu den angegebenen Translationsgrößen äquivalenten Größen bei Drehbewegungen und deren Definition eintragen. Aufgabe 2: Wellen (8 Punkte) Eine Stimmgabel ist auf die Frequenz f = 880 Hz abgestimmt. a.) Welche Wellenlänge haben die Schallwellen die von der Stimmgabel ausgehen in Luft m (cLuft =330 )? (2.0 P) s b.) Bei welchen Längen ist ein einseitig offenes, luftgefülltes Rohr in Resonanz mit der Stimmgabel? Was ist die kürzeste Länge l die das Rohr haben darf? (Ersatzlösung: l = 20 cm) (Hinweis: An einem geschlossenen Rohrende hat die stehende Welle im Rohr einen Knoten, an einem offenen Ende einen Bauch.) (2.0 P) c.) In diesem kürzesten Rohr werden nun stehende Wellen angeregt. Welche Frequenzen haben diese stehenden Wellen? (2.0 P) m ) statt mit Luft gefüllt. Wie sind jetzt s die Resonanzfrequenzen des Rohres? Liegen die Frequenzen höher oder niedriger als bei Luftfüllung? (2.0 P) d.) Das Rohr wird nun mit Helium (cHelium = 1000 Lsg: a) λ = b) c Luft f m s = 3 m = 0,375m = 880 Hz 8 330 1λ λ 3 5 l = n + = ; λ ; λ ;... 2 2 4 4 4 l ≈ 0,09m; 0,28; 0,47 m; ... l min = λ 4 ≈ 0,09m c) 1 c Luft f = n + = 880 Hz; 2640 Hz; 4400 Hz;... 2 2l min d) 1c f = n + Helium ≈ 2532 Hz; 7595Hz;12658Hz;... 2 2l min Aufgabe 3: Mechanik (8 Punkte) Der Fernsehturm in Nürnberg hat in 180 m Höhe eine Galerie. Von dort werden nun Fallversuche durchgeführt, wobei der Luftwiderstand vernachlässigt wird. a .) Welche Zeit benötigt eine 10 kg schwere Holzkugel zum Durchfallen der Strecke Galerie – Erdboden? (2.0 P) b .) Mit welcher Geschwindigkeit kommt sie auf dem Boden auf? c .) Zeichnen sie dafür ( schematisch mit Angabe der Grenzwerte für die Höhen ) ein Weg Zeit, ein Geschwindigkeits – Zeit ( v / t ) – und ein Beschleunigungs – Zeit ( a / t ) – Diagramm! Achsenbeschriftung nicht vergessen! (2.0 P) d .) (2.0 P) Berechnen Sie die kinetische Energie mit der die Holzkugel am Boden auftrifft! (2.0 P) Lsg: a) Das Gewicht der Kugel spielt bei der Rechnung keine Rolle Es gilt s = ½ a t2 ⇒ mit a = g t = 2 s = 6,06s g s = 180 m b) Aus der allg. Beziehung v = a*t folgt mit a = g v = g*t = 2 gs mit s = h v = 59,4 m/s c) h bzw. s a v 2 Parabel (t ) Gerade (t) Konstante t 2 t 2 d) E = ½ m v = ½ *10 kg (59,4 m/s) = 17658 Nm = 17,658 kJ t Aufgabe 4: Auftrieb (8 Punkte) a.) Wie lautet das Prinzip von Archimedes? (1.0 P) 3 b.) Ein massiver Würfel (Kantenlänge a = 12 cm) aus Kunststoff (Dichte ρK = 0,65 g/cm ) schwimmt in einer Flüssigkeit mit der zunächst unbekannten Dichte ρFL und taucht dabei s = 8 cm tief ein. Berechnen Sie das Gewicht G des Würfels Berechnen Sie die Auftriebskraft F (mit ρFL als Parameter) (1.0 P) (2.0 P) r r c) In (a) und (b) haben Sie die Beträge der Kraftvektoren G und F berechnet. Welche 3 r r Beziehungen müssen zwischen G und F allgemein gelten, damit ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt? (2.0 P) d) Berechnen Sie die Dichte ρFL der Flüssigkeit mit Zahlenwert ( 2.0 P) Lsg: a) Ein Körper erfährt in einer Flüssigkeit ( Gas ) eine Kraft, die der Gewichtskraft der von ihm verdrängten Flüssigkeit ( Gas ) entspricht. b) Gewicht des Würfels: G = ρK∗VK∗g = ρK∗a3∗g Berechnen Sie die Auftriebskraft F: F = ρFl∗(a2∗s)∗g c) Fr > G r F = −G F <G d) ρK∗a3∗g = ρFl∗(a2∗s)∗g ρ Fl = ρ K a 1Pkt bis hierher = 0,75 g/cm3 s Aufgabe 5: Wurfparabel (8 Punkte) Ein Torhüter schlägt den Fußball wie in der Skizze angedeutet beim Abschlag mit einer Geschwindigkeit von 90 km / h und unter einem Winkel von 45° gegen die Horizontale ab. Vernachlässigen Sie für die folgenden Berechnungen die Luftreibung. (Erdbeschleunigungskonstante g = 10 m / s 2 ) 45 ° a.) Wie lange ist der Ball in der Luft, bis er wieder auf dem Boden aufschlägt? (3.0 P) (Ersatzlösung: t = 2, 5 s ) b.) Wie weit fliegt der Ball, d.h. wie weit entfernt vom Abschlagpunkt schlägt er wieder auf dem Boden auf? (2.5 P) c.) Welche kinetische Energie hat der Ball, wenn er wieder auf dem Boden aufschlägt? (Masse des Balles: 800g) (2.5 P) Lsg: a) v = 90 km 90 m m = = 25 v h 3 .6 s s v z = v * sin(45°) = v 2 = 17,7 m s m t v s = 1,77 s Flugzeit bis Umkehrpunkt: = z = m 2 g 10 s² t Flugzeit bis zum Aufschlag t=2* = 3,54s 2 17,7 b) v x = v * cos(45°) = v s = v x t = 3,54 s * 17,7 2 = 17,7 m s m = 62,7 m s m² v 2v 1 s ² = 62,5m bzw. exakter: s = = m 2 2 g 10 s² 25² c) Aufschlaggeschwindigkeit=Startgeschwindigkeit wegen Energieerhaltuung! E kin = 1 1 m² mv ² = * 0,8kg * 25² = 250 J 2 2 s² Aufgabe 6: Bewegung, Energie (8 Punkte) Beim Dragster-Rennen starten die Autos aus dem Stand und legen in t = 7s eine Strecke von 402,3 m (eine Viertelmeile) zurück. Nehmen Sie an, daß die Beschleunigung a dabei konstant ist und berechnen Sie: a.) die Beschleunigung a b.) die Endgeschwindigkeit vE nach 7 s in m/s und km/h c.) die kinetische Energie W als Funktion der Zeit t (zuerst ohne Zahlenwert). d.) Berechnen Sie noch die Momentanleistung P(t) (zuerst ohne Zahlenwert). Lsg: 1 2 s 804,6m m at ² ⇒ a = = = 16,42 2 t² 49 s ² s² b) Die Endgeschwindigkeit berechnet sich nach: m m km v E = a * t = 16,42 * 7 s = 114,94 = 413,79 s² s h 1 1 c) Allgemeiner Ausdruck für kin. Energie: W = mv ² = ma ²t ² 2 2 Mit Zahlenwert: entfällt, da keine Masse angegeben! a) Berechnet sich aus: s = dW = ma ²t dt Mit Zahlenwert: entfällt, da keine Masse angegeben! d) Allgemein: Die Momentanleistung P(t ) = (2.0 P) (2.0 P) (2.0 P) (2.0 P) Aufgabe 7: a) b) c) Federpendel, Harmonische Schwingung (8 Punkte) Beim Federpendel wird ständig kinetische Energie in potentielle Energie umgewandelt. Wie lautet der zugehörige Erhaltungssatz? (1.0 P) Das Pendel führt eine harmonische Schwingung aus. Wie schreibt sich die Gleichung für eine solche harmonische Schwingung? (Angabe der verwendeten Größen!) (1.0 P) Wie lautet die allgemeine Federgleichung (Hook´sches Gesetz)? (Angabe der verwendeten Größen!) (1.0 P) und die zugehörige Schwingungsfrequenz? (1.0 P) Gegeben sei eine Stahlkugel der Masse m = 0,1 kg, die an einer Feder hängt und diese reversibel um 20 cm dehnt. Durch weiteres Dehnen wird die Feder beim Loslassen zu einer Schwingung von 0,15 m Amplitude angeregt. Man berechne die Federkonstante die Eigenfrequenz die Gesamtenergie der Schwingung (4.0 P) Lsg: a) E Pot + E kin = EGes = konst. x(t ) = x0 sin(ωt + ϕ ) mit: b) x(t):= momentane Auslenkung x0:= Amplitude der Schwingung ω:=Kreisfrequenz der Schwingung mit ω=2πf t:= Zeit F ( x) = − Dx mit F(x):= rücktreibende Kraft D:= Federhärte/Federkonstante X:=momentane Auslenkung ω=2πf ω:= Kreisfrequenz f:= Schwingungsfrequenz mit m mg s ² = 4,91 N D= = x0 m 0,2m (D berechnet sich aus der reversiblen Dehnung xr=0,2m) 0,1kg * 9,81 c) N m = 7 .0 1 0,1kg s 4,91 ω= D = m E ges = 1 Dx s2 , wobei xs=0,15m(Schwingungsamplitude) 2 E ges = 1 N * 4,91 * (0,15m)² = 0,055 J 2 m Aufgabe 8: Schweredruck (8 Punkte) Aus einem zylindrischen Wasserbehälter der Höhe h0 = 5 m fließt aus einem kleinen Loch in 2 m Höhe (=h1) Wasser aus a.) Mit welcher Geschwindigkeit v tritt das Wasser aus der Behälteröffnung? (Ersatzlösung: 7.20 m/s) (3.0 P) b.) In welchem Abstand s vom Behälter trifft der Wasserstrahl auf den Boden? (Ersatzlösung für die Fallzeit: 1.0 s) (3.0 P) c.) Durch eine Kapillare mit kreisförmigen Querschnitt der Fläche A und der Länge l fließt in laminarer Strömung eine viskose Flüssigkeit mit der Volumenstromstärke Q. Um welchen Faktor ändert sich die Volumenstromstärke Q0, wenn die Kapillare durch eine andere Kapillare mit doppelter Länge l und halber Querschnittsfläche A ersetzt wird? (1.0 P) d.) Schaltet man 4 gleiche Kapillaren parallel, so ergibt sich für das neue System welcher neue Strömungwiderstand? (1.0 P) Lsg: a) h0=5m h1=2m Ansatz über Bernoulli-Gleichung: p1 + ρgh1 + ρ 2 v12 = p 2 + ρgh2 + ρ 2 v 22 Mit den Bezeichnungen aus der Angabe sieht diese Gleichung wie folgt aus: p 0 + ρgh0 + ρ 2 v02 = p1 + ρgh1 + ρ 2 v12 Es gilt: p 0 = p1 ; ρ 2 v02 = 0 ⇒ ρgh0 = ρgh1 + ρ 2 v12 ⇒ v1 = 2 g (h0 − h1 ) = 2 * 9,81 b) m m * 3m = 7,67 s² s Fallzeit des Wassers auf den Boden: 1 h1 = gt 2 2 2h1 2 * 2m ⇒t = = = 0,64 s m g 9,81 s² Daraus folgt für den Abstand s = v1t = 7,67 m * 0,64 s = 4,90m s (Mit Ersatzlösungen: s = 7,67 m bzw. s = 4,61m bzw. 7,2 m) c) A' = A r ⇒ r' = ; l ' = 2l 2 2 Q= ∆V ∆pπr 4 = ∆t 8lη 4 4 r 1 ∆pπ 4 ∆pπr ' 1 2 2 Q' = = =Q = Q 8l 'η 8(2l )η 2 8 1 d) Der neue Strömungswiderstand beträgt 25% d.h. des ursprünglichen. 4 Aufgabe 9: Fehlerrechnung (8 Punkte) Ein Mol eines Gases befindet sich in einem bestimmten Volumen V bei einer vorgegebenen Temperatur T. Der Druck dieses Gases lässt sich gemäß der Zustandsgleichung RT (Anzahl der Mole n=1) bestimmen. für ideale Gase pV = nRT durch die Gleichung p = V Hierbei ist R = 8,315 J/mol K die allgemeine Gaskonstante. a.) In unabhängigen Versuchen werden T und V zehnmal wie folgt gemessen: (1 Bar = 105 Pa; 1 m³ = 103 dm3 ) Berechnen Sie die Mittelwerte von T und V ! (Ersatzlösung: T = 290,12 K, V= 8,22 dm³) (2.0 P) Die Standardabweichungen ergeben sich zu sT = ± 1, 48 K und s = ± 0,73 dm3 b.) Geben Sie das Messergebnis für beide Messgrößen T und V in der üblichen Schreibweise an! (2.0 P) c.) Wie lautet der Mittelwert für p? (Ersatzlösung: p = 2,93 Bar) (2.0 P) d.) Bestimmen Sie mit dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz die Standardabweichung sp! (Ersatzlösung sp = 0,26 Bar). Geben Sie den entsprechenden relativen Fehler ∆p/p an! (2.0 P) Lsg: ∑i Ti ∑i Vi T = = 293,82 K; V = = 10,28dm³ a) i i b) T = T ± sT = (293,82 ± 1,48) K V V = V ± sV = (10,28 ± 0,73)dm³ c) T J 293,82 K J Nm = 1mol * 8,315 * = 237,66 = 237,66 = V molK 10,28dm³ dm³ dm³ N = 2,38 * 10 5 = 2,38 * 10 5 Pa = 2,38 Bar m² p = n*R* d) 2 2 2 dp dp nR 1 s p = ∆p = ± sT + sV = ± sT + nRT − 2 dT dV V V J = ± (1mol )² 8,315 molK = ± 69,14 2 sV 2 = 2 1,48 K 2 293,82 K * 0,73dm³ = + 10,28dm³ (10,28dm³)² J² K² K² J² K² * 2,07 * 10 4 6 + 4,12 * 10 6 6 = ± 69,14 * 4,14 * 10 6 6 = K² K² m m m N² = ±1,69 * 10 4 Pa = ±1,69 * 10 −1 bar m4 ∆p 1,69 *10 −1 bar = = 0,071 = 7,1% p 2,38bar = ± 2,86 * 10 8 Einfacherer Weg mit Formel für Spezialfall: Für A=U*V bzw. A=U/V gilt: 2 2 ∆A ∆U ∆V = + , A U V also in unserem Fall: 2 2 2 2 ∆p 1,48 K 0,73dm³ ∆T ∆V = + = 2,53 * 10 −5 + 5,04 * 10 −3 + = p T V 293,82 K 10,28dm³ = 7,1 * 10 − 2 = 7,1% s p = ∆p = ∆p * p = 7,1 * 10 −2 * 2,38bar = 1,69 * 10 −1 bar p Es folgt die übliche Schreibweise von p: p = p ± s p = (2,38 ± 0,17)bar Aufgabe 10: Bahnkurven (8 Punkte) Gegeben seien folgende Bahnkurven als Funktion der Zeit t mit den Konstanten R, h0 und v0, welche Bahnkurven beschreiben: 1 2 v0 t − gt 0 R cos(ωt ) 2 r 0 für t < 0 r , sr = s1 = 0 0 0 mit a (t ) = , s2 = 3 1 2 − a 0 für t > 0 R sin(ωt ) 0 h gt − 0 2 r Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung (also vi nach t). Bestimmen Sie die Beträge der Ableitung. (2.0 P) Geben Sie an, für welche der Bahnkurven (mit oder ohne Rechnung zu ermitteln), die Geschwindigkeit einen Betrag von 0 durchläuft, und bestimmen Sie den jeweiligen Zeitpunkt (mit oder ohne Rechnung) t0. (2.0 P) Geben Sie jeweils das betragsmäßige Minimum/Maximum (wenn vorhanden!) der Geschwindigkeit an (mit oder ohne Rechnung). (2.0 P) Welche Bewegung beschreibt s2, und welche Bedeutung haben die Konstanten h0 und g? Welche Bedeutung hat die Zeit t=0? (2.0 P) a.) b.) c.) d.) Lsg: a) − sin ωt r ds1 r& r = s1 = v1 = ωR 0 dt cos ωt 0 r ds 2 r& r = s2 = v2 = 0 dt − gt v0 − gt r ds 3 r& r = s 3 = v3 = 0 dt 0 b) s1 entspricht einer Kreisbewegung in der x-z-Ebene und v1 durchläuft kein Minimum in der Bewegung. Es handelt sich um eine Bewegung mit konstanter radialer Beschleunigung. oder: v1 = Rω sin ²ωt + cos ²ωt = ωR ≠ 0(immer!) s2 beschreibt den freien Fall bei der Starthöhe h0. Es handelt sich um eine beschleunigte Bewegung, d.h. v 2 ≠ 0(immer!) s3 beschreibt eine waagrechte gebremste Bewegung. Die Bremsung erfolgt mit –g, d.h. für v v3 (t 0 ) = v0 − gt = 0 ergibt sich: t 0 = 0 . g c) Für s1 gilt: Es exitsiert kein Maximum/Minimum für v1; v1=const=ωR Für s2 gilt: Es existiert kein Maximum/Minimum für v2. v 2 wächst linear mit der Zeit. Für s3 gilt: Es handelt sich um eine lineare Bewegung (in x-Richtung), die verzögert wird, v d.h. die Geschwindigkeit wird 0 für die Zeit t 0 = 0 (siehe b). g d) s2 beschreibt den freien Fall aus der Höhe h0. h0: Anfangshöhe, g:= Erdbeschleunigung, t:=Zeit Experimentalphysik für Naturwissenschaftler, WS 2004/05 und SS 2005 Physikalisches Praktikum für Biologen WS 2005/06 Prof. Dr. K. Frank und Prof. Dr. K. Heinz Universität Erlangen-Nürnberg Lösungen zur Vordiplomklausur für Studierende der Biologie 10.02.2006 Name:____________________________________ Vorname:_________________________________ Matrikelnummer:__________________________ Studienfach:_______________________________ Es müssen acht der zehn Aufgaben bearbeitet werden. Bitte die zwei nicht bearbeiteten Aufgaben deutlich kennzeichnen! Aufgabe 1: Allgemeine Fragen 1.) Was ist der Unterschied zwischen einem Skalar und einem Vektor? Welche physikalischen Grössen sind Skalare bzw. Vektoren? (1 Pkt) Temperatur, Weg, Zeit, Masse, Geschwindigkeit, Kraft, Fläche Ein Skalar ist eine Zahl, ein Vektor dagegen ein (mathematisches) Objekt, welches durch seinen Betrag und seine Richtung charakterisiert ist. Skalar: Temperatur, Zeit, Masse; Vektor: Weg, Geschwindigkeit, Kraft, Fläche 2.) Welches sind die Grundgrössen des SI-Systems? Nennen Sie 5 verschiedene abgeleitete Grössen und ihre Einheiten? (1 Pkt) Grundgrössen: Länge, 1 m; Masse, 1 kg; Zeit, 1 s; el. Stromstärke, 1 A; Temperatur, 1 K; Lichtstärke, 1 cd; Stoffmenge, 1 mol abgeleitete Grössen: z.B. Geschw. [m/s], Beschl. [m/s2], Kraft [N] = [kg m/s2], Energie [J] 3.)Kann ein Körper seine Bewegungsrichtung umkehren, obwohl auf ihn eine konstante Beschleunigung wirkt? (1 Pkt) Ja, z.B. ein nach oben geworfener Ball, nachdem er die Hand verlassen hat: auf ihn wirkt die konstante Erdbeschleunigung, die zunächst seine Geschwindigkeit nach oben kontinuierlich reduziert, bis sie am Umkehrpunkt Null wird und er dann im freien Fall nach unten fällt. 4.) Ein Schiff schwimmt in einem geschlossenen Seebecken. Ein Stein wird vom Boot aus ins Wasser geworfen. Wie verändert sich der Wasserspiegel? (1Pkt) Wenn der Stein an Bord des Schiffes ist, muss vom Boot zusätzlich das Volumen Vwasser verdrängt werden, damit das Boot mit Stein schwimmt. Das Gewicht des verdrängtem Volumens entspricht dann genau dem Gewicht des Steines. Wird der Stein nun aus dem Boot geworfen, wird das Volumen Vwasser vom Boot weniger verdrängt. Jedoch wird nun im Becken zusätzlich das Volumen VStein vom Stein verdrängt, da er in den See geworfen wurde. Da die Dichte des Steins aber wesentlich größer ist als die Dichte des Wassers, verdrängt er im Becken ein kleineres Volumen als Vwasser, d. h. der Wasserspiegel im Becken sinkt. 5.) Erklären Sie die Farberscheinungen in dünnen durchsichtigen Schichten, z.B. Öl auf Wasser. (1Pkt) Diese Farberscheinungen gehen auf 2 Ursachen zurück: Erstens erfolgt Interferenz durch den Laufzeitunterschied zwischen den Lichtwellen, die an der Oberseite bzw. der Rückseite der Schicht reflektiert werden. Zweitens: Bei unterschiedlicher Schichtdicke erfolgt Auslöschung bzw. Verstärkung für bestimmte Wellenlängen 6.) Was ist das gemeinsame aller Wellenvorgänge, unabhängig von der Natur der sich ausbreitenden Grösse? (1Pkt) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = Wellenlänge λ x Frequenz f 7.) Wie ändert sich der elektrische Widerstand eines zylinderförmigen Metalldrahtes, wenn man ihn um einen Faktor a streckt? ( 1 Pkt) mit a2 8.) Welche Kraft übt ein Magnetfeld auf ein ruhendes geladenes Teilchen aus? Welche Richtung hat die Kraft, mit der ein Magnetfeld auf ein bewegtes geladenes Teilchen wirkt, zu dessen Bewegungsrichtung? Kann ein Magnetfeld an einem geladenen Teilchen Beschleunigungsarbeit verrichten? ( 1 Pkt) Keine, senkrecht auf der Bewegungsrichtung, nein Aufgabe 2.) Induktionsgesetz Eine rechteckige Leiterschleife, bei der eine Seite verschiebbar ist, befinde sich in einem Magnetfeld der Stärke B = 0.2 T (siehe Abbildung). Am Anfang (t = 0) haben alle Seiten die gleiche Länge L = 8.0 cm und das Magnetfeld steht senkrecht auf der Schleife. Berechnen Sie die induzierte Spannung Uind als Funktion der Zeit t für folgende Fälle: L a Uind B (a) Der bewegliche Teil wird mit der Geschwindigkeit v1 = 5.0 m/s nach rechts gezogen. (2 Pkte) Der magnetische Fluss ändert sich durch die Flächenänderung der durchsetzten Fläche. & = − LvB = −U ⇒ U = 0,08m * 5 m * 0,2T = 80mV Φ ind ind s Dies ist zeitunabhängig solange sich die komplette Schleife im Magnetfeld befindet (b) Die Schleife wird mit Winkelgeschwindigkeit ω1 = 12.0 s−1 in Rotation versetzt. (2 Pkte) 1 1 1 U ind = A * B * ω * sin(ω * t ) = (0,08m) 2 * 0,2T * 12 * sin(12 * t ) = 0,0064m 2 * 0,2T * 12 * sin( wt ) = s s s 1 = 15,4mV * sin(12 * t ) s (c) Die Schleife rotiert mit ω2 = 7.0 s−1 und der Draht wird gleichzeitig mit v2 = 3.0m/s nach rechts gezogen. Skizzieren Sie für (a) und (b) den Graphen von Uind(t) und berechnen Sie für (c) Uind(t = 5 s). (4 Pkte) & = − d ( AB ) = − B d (l * (l + vt ) cos(ωt ) ) = − B d l 2 cos(ωt ) + lvt cos(ωt ) = U ind = −Φ dt dt dt 2 2 = − B(−l ω sin(ωt ) + lv cos(ωt ) − lvtω sin(ωt )) = B((l ω + lvtω ) sin(ωt ) − lv cos(ωt )) = ( 1 m 1 m 1 = 0,2T (((0,08m) 2 * 7 + 0,08m * 3 * 7 * t ) sin(ωt ) − 0,08m * 3 cos(7 * t )) s s s s s ) Zu a) U ind 80 mV t Zu b) U ind 15,4 mV t ~0,5s -15,4 mV Zu c) t=5s: Uind= -0,68 V Aufgabe 3.) Schweredruck Ein Winzer hat im Keller ein Weinfaß der Höhe 2.20 m, gefüllt mit Most. Um den Most zu kosten, öffnet er den Hahn am Faß. Der Hahn selber befindet sich 20 cm über dem Faßboden. Das Faß ist belüftet, d. h. der Außendruck ist gleich dem Druck auf alle Oberflächen ( = Atmosphärendruck) des Mostes. Die Dichte des Mostes sei gleich der des Wassers, d. h. ρ = 1 g/cm3. a.) Mit welcher Geschwindigkeit strömt der Most aus dem Hahn? (2 Pkte) Die Ausströmgeschwindigkeit wird durch zweimalige Anwendung der Bernoulli-Gleichung bei der Höhe h = h0 = 2.20 m und bei der Höhe h = h1 = 0.2 m. Die zugehörigen Geschwindigkeiten sind v0 = 0 m/s bei h0 und die gesuchte Ausströmgeschwindigkeit v1 bei der Höhe h1. Des weiteren gilt: p0 = p1 = p (Außendruck wirkt gleichmäßig überall auf die Flüssigkeit). Allgemein gilt: p0 +ρ/2.v02 + ρ.g.h0 = p1 +ρ/2.v12 +ρ.g.h1 Mit Einsetzen der Randbedingungen ergibt sich: v1 = (2.g..(h0 –h1))1/2 = (4g)1/2 = 6.26 m/s b.) In welcher Entfernung vom Faß trifft der Most auf den Boden, wenn das Faß auf einem Podest der Höhe h = 1 m steht? (2 Pkte) Die Fallhöhe h* ergibt sich zu: 1.0 m + 0.2 m = 1.2 m und damit die Fallzeit t = (2.h*/g)1/2 Mit Zahlenwerten: t = 0.5 s Zurückgelegter Weg s: s = v1.t =0.5 s .6.26 m/s = 3.1 m Der Most trifft in einer Entfernung von 3.1 m auf den Boden auf. c.) Nun verschließt er versehentlich den Gärstutzen oben, so daß sich ein Überdruck aufbaut. Als er nun den Hahn öffnet spritzt der Most 6 m durch den Keller. Wie hoch war der Überdruck(als Differenzdruck zum Atmosphärendruck))? ( 3 Pkte) dem die Druckdifferenz ∆p auftaucht, die zur erhöhten Ausströmgeschwindigkeit führt. Diese ergibt sich wie oben aus dem Gleichsetzen der beiden Bernoulli-Gleichungen und dem Auflösen nach der Ausströmgeschwindigkeit v* in einem ersten Schritt: 1. Schritt: (p0 + ∆p) + ρ.g.h0 = p0 + ρ/2.(v*)2 +ρ.g.h1 Damit ergibt sich: (v*)2 = 2.∆p/ρ + 2ρg( h0 – h1) 2. Schritt: Andererseits gilt, daß v* = (zurückgelegter Weg/ Fallzeit t) Fallzeit t ist die gleich wie in Teil b, d. h. t = 0.5 s und der zurückgelegte Weg s* = 6 m (laut Vorgabe). Damit läßt sich nun v* berechnen und dann abschließend ∆p! v*= 6.0 m/0.5 s = 12 m/s 3. Schritt: Auflösen nach ∆p ergibt: ∆p = ((v*)2/4 -g..(h0 – h1)) mit h0 – h1 = 2.0 m damit ist: ∆p = 103 kg/m3 .(36 m2/s2-9.81m2/s2) ∆p = 0.52 . 105 N/m2 =0.52 .105 Pa Der Überdruck beträgt ungefähr 0.52 bar. d.) Wie hängt bei einer laminaren, viskosen Strömung durch eine Kapillare die Volumstromstärke Q vom Radius r und der Länge l ab? Wie ändert sich der Strömungswiderstand, wenn sich der Durchmesser der Kapillare halbiert? (1 Pkt) Q ist proportional zu r4 und zu 1/l! Der Strömungswiderstand erhöht sich auf das 16-fache! Aufgabe 4: Abbildungen mit dünnen Linsen In der unten stehenden Skizze ist ein Gegenstand (Pfeil mit Spitze) vor einer Sammellinse mit einer Brennweite von 4 cm gezeigt. Die optische Achse ist gleichzeitig als z-Achse (mit Nullpunkt im Mittelpunkt der Linse und positiver Richtung nach rechts) definiert. Vor und hinter der Linse befinde sich Luft mit Brechungsindex n=1,00. z f=4cm a=6cm f '=4cm Bildweite |a'| a.) Konstruieren Sie (in die Skizze hinein) das Bild, das die Sammellinse von dem Gegenstand erzeugt! (2 Pkte) b.) Berechnen Sie die Lage (z-Koordinate) dieses Bildes und seine Größe für den Fall, dass der Gegenstand selbst 1cm groß ist! (2 Punkte) 1 1 1 1 1 1 3− 2 1 = − = − = = ⇒ a ' = 12cm a ' f a 4 6 cm 12cm 12cm a' 12 s ' = s ⋅ = 1cm ⋅ = 2cm a 6 c.) Handelt es sich um ein reelles oder um ein virtuelles Bild, und wie ist seine Orientierung relativ zum Gegenstand (aufrecht oder umgekehrt)? (0.5 Punkte) reell und umgekehrt Die zweite Skizze weiter unten denselben Gegenstand in gleicher Gegenstandsweite vor einer Sammellinse, jetzt jedoch soll das gegenstandsseitige optische Medium Wasser mit einem Brechungsindex von n=1,33 sein (Unterwasserkamera). n=1,33 Parallelstrahl steiler n=1,00 z Bildweite kürzer f=4cm f'=f/1,33=3,0cm Brennstrahl ungeändert, Bildgröße ungeändert a=6cm d.) Berechnen Sie die Brechkraft D des abbildenden Systems für diesen Fall und die bildseitige Brennweite f’! (1.5 Pkte) n n' 1,33 ≡ = = 33dpt f f ' 0, 04 m n' 1 f = = = 3, 0 cm D 33 m −1 D= e.)Zeichnen Sie den bildseitigen Brennpunkt in die Skizze möglichst maßstabsgetreu ein und konstruieren Sie das Bild des Gegenstandes in die Skizze hinein. (1.5 Pkte) e.) Wie verhalten sich Bildgröße und Bildweite qualitativ (größer/kleiner) im Vergleich zu Ihrem Ergebnis aus b.)? (Keine Rechnung, aber Begründung aus Konstruktion!) (0,5 Punkte) Brennstrahl unverändert und Parallelstrahl steiler Bildweite kleiner und Bildgröße bleibt unverändert Aufgabe 5: Radioaktivität a. ) Geben Sie die 3 Zerfallsprozeße an, durch die sich instabile Kerne umwandeln können! Geben Sie an, welche Teilchen dabei ausgesandt werden und welche Kenngröße bzw. Kenngrößen des Kerns sich ändert bzw. ändern! (2Pkte) α-Zerfall:Helium-Kern, die Massenzahl A → A-4 und die Kernladungszahl Z→Z-2 β-Zerfall:Elektron (+Antineutrino) bzw. Positron (+Neurtino), die Massenzahl A bleibt erhalten und die Kernladungszahl erhöht bzw. erniedrigt sich um 1 γ-Zerfall:Photon der Energie hf, Massen- und Kernladungszahl bleiben erhalten b .) Geben Sie den Ausdruck für die Aktivität einer radioaktiven Quelle an ( die Einheit nicht vergeßen! ). Geben Sie die Bedeutung der benutzten Größen an! (1Pkt) −t Radioaktiver Zerfall: N (t ) = N 0 ⋅ e τ = N 0 ⋅ e −λ ⋅t [A] = 1/s = 1Bq Aktivität A : A(t) = dN/dt= N(t)/τ = λ*N(t) = λN 0 ⋅ e − λ ⋅t = A0 ⋅ e − λ ⋅t Zerfallskonstante λ= 1/τ Halbwertszeit T1/2 = τ ln 2 N0 := Anfangszahl der radioaktiven Kerne c .) Geben Sie das mit der Aktivität korrelierte Zerfallsgesetz an ( unter Angabe der verwendeten Größen! )! (1Pkt) −t N (t ) = N 0 ⋅ e τ = N 0 ⋅ e −λ ⋅t N(t) := momentane Anzahl der radioaktiven Kerne N(0) := Anfangszahl der radioaktiven Kerne d. ) Zum Zeitpunkt t = 0 wird für die Aktivität eines radioaktiven Präparats mit der Halbwertszeit T1/2 = 3 min der Wert A0 = 2,4 . 104 Bq gemessen. Wie groß ist die Aktivität nach t = 6 min.? (2Pkte) Man braucht zur Lösung folgende 3 Bedingungen (s. oben) (1) T1/2 = τ ln 2 ⇒ τ = T1/2 /ln2 (2) λ= 1/τ ⇒ λ = ln 2/ T1/2 − λ ⋅t (3) A(t ) = A0 ⋅ e d .) Die Aktivität einer Substanz betrug vor einer Stunde 1000 Bq. Momentan beträgt sie 900 Bq. (3Pkte) Wie groß ist die Aktivität in einer Stunde? Gegeben: A0 = A(-60min) = 1000 Bq A(t=0) = 900 Bq Gesucht: A* = A(t = + 60min) Lösung: 900 Bq = 1000 Bq ⋅ e − λ ⋅3600 s ⇒ λ *3600 = ln(1000/900) ⇒ λ = ln(10/9)/3600s − ln(10 ) * − λ ⋅3600 s 9 A = 900* e = 900 ⋅ e = 900 ⋅ 9 = 810 Bq 10 Aufgabe 6.) Wärmekapazität von Gasen und Festkörpern a) Sie wollen die Temperatur eines glühenden Stücks Eisen experimentell bestimmen, in dem sie es zur Abkühlung in einen Becher mit Wasser werfen. Nennen Sie die zu messenden Größen und geben Sie damit den Ausdruck für die gesuchte Temperatur an! (2 Pkte) b) Berechnen Sie die Wärmekapazität des Eisenstücks (Molgewicht A=56 g/mol), wenn seine Masse 100 g beträgt! (3 Pkte) c) Begründen Sie warum Sauerstoffgas und Stickstoffgas die gleiche molare Wärmekapazität besitzen! (3 Pkte) Lösung: a) wie im Praktikum: das Eisenstück (Wärmekapazität Ce) der Temperatur Te wird in ein Gefäß mit Wasser (spezifische Wärme c) der Temperatur T1 und der Masse m gebracht und die sich danach einstellende Temperatur T2 gemessen. Abgebene Wärme C(Te-T2) und aufgenommen Wärme cm((T2-T1) sind gleich: => C(Te-T2)= cm(T2-T1) => Te=T2+cm(T2-T1) C b) 1 Mol jedes Stoffes hat NA Teilchen. Im Festkörper besitzen alle Teilchen (=Atome) f=6 Freiheitsgrade. Pro Freiheitsgrad wird die Energie kT/2 aufgenommen. => innere Energie U= 6NA kT/2= 3NA kT => molare Wärmekapazität: Cmol=dU/dT= 3NA k =25Ws/(K mol) => Wärmekapazität Ce=Cmol (m/Mmol)= 25x100/56 Ws/K=44.6 Ws/K c) In beiden Fällen handelt es sich um zweiatomige Moleküle, d.h. die Zahl der Freiheitsgrade ist gleich und die Zahl der Teilchen in einem Mol ist immer die gleiche. Aufgabe 7.) Drehschwingung a) Sie wollen das Trägheitsmoment einer kreisförmigen Scheibe bezüglich einer Achse senkrecht zur Scheibenfläche und durch den Scheibenmittelpunkt experimentell mittels einer Drehschwingung bestimmen. Beschreiben Sie den Versuchsaufbau, nennen Sie die zu messenden Größen (die Winkelrichtgröße D* der Schneckenfeder sei bekannt) und geben Sie damit den Ausdruck für das gesuchte Trägheitsmoment an! (2 Pkte) b) Die Scheibe habe den Radius R. Berechnen Sie, um welchen Faktor sich die Schwingungsdauer erhöht, wenn auf die Scheibe eine zweite Scheibe gleicher Masse aber mit halben Radius gesetzt wird! (3 Pkte) c) Berechne Sie das Trägheitsmoment der Scheibe, wenn die Drehachse nicht durch den Mittelpunkt sondern genau am Rand der Scheibe, also bei r=R) senkrecht zur Scheibenachse verläuft! (3 Pkte) Lösung: a) Die Scheibe wird zentrisch auf die Schneckenfeder aufgesetzt und aus der Ruhelage ausgelenkt. Die Dauer T der sich einstellenden Schwingung wird gemessen. Aus − Jϕ&& = D * ϕ folgt T = 2π J / D * bzw. J = D * (T / 2π ) 2 . b) J ' = MR 2 / 2 + M ( R / 2) 2 / 2 = ( MR 2 / 2)(1 + 1 / 4) = 1,25 J → T ' = 1,25 T c) Steinerscher Satz: J ' = J + MR 2 = MR 2 / 2 + MR 2 = 3MR 2 / 2 = 3 J Aufgabe 8.) Beugung am Gitter a) Sie wollen die Wellenlänge eines Parallelstrahlenbündel bestimmen. Beschreiben Sie, wie Sie dies unter Verwendung eines Beugungsgitters und einer Linse bewerkstelligen können! Nennen Sie die zu messenden Größen! (2 Pkte) b) Berechnen Sie, wie viele Spalte des Gitters mindestens beleuchtet sein müssen, damit die Trennung von zwei Wellenlängen λ1 und λ2 im Strahlenbündel in 2. Beugungsordnung gerade noch gelingt! (2 Pkte) d) Berechnen Sie wie breit die Spalte des Gitters gerade nicht sein dürfen, damit die 2. (2 Pkte) Beugungsordnung für die Wellenlänge λ1 nicht ausfällt! c) Das Strahlenbündel habe den Durchmesser D und fällt auf eine Sammellinse der Brennweite f. Berechnen Sie, wie groß der Durchmesser des Strahlenbündels in der Brennebene der Linse ist! (2 Pkte) Lösung: a) Beugungsgitter mit Gitterkonstante g erzeugt Beugungsmaxima bei sin α m = mλ / g . Abbildung mit Linse auf Schirm in Entfernung f von Linse bringt die Maxima im Abstand bm = f sin α m = fmλ / g von der opt. Achse liegen. → gbm / fm = λ b) λ / ∆λ = λ /(λ1 − λ2 ) = Nm ⇒ N = λ / m(λ1 − λ2 ) ≈ (λ1 + λ2 ) / 2m(λ1 − λ2 ) = (λ1 + λ2 ) / 4(λ1 − λ2 ) c) Spalt darf kein Minimum erzeigen: Minima des Spalts bei sin α n = nλ / d ≠ mλ / g = 2λ / g ⇒ d ≠ ng / 2 d) Beugungscheibenwinkelbreite ist 2α1 = 2λ / d => Scheibenbreite in Brennebene ist b = f 2α1 = 2 fλ / d Aufgabe 9.) Strömung a) Ein Glaszylinder sei bis zur Höhe H mit Öl der Dichte ρ gefüllt: Berechnen Sie den Druck am Zylinderboden! (2 Pkte) b) Es wird beobachtet, dass eine Kugel mit Radius R mit der konstanten Geschwindigkeit v langsam zu Boden sinkt. Geben Sie (mit Begründung) die Geschwindigkeit an, mit der eine Kugel mit doppeltem Radius und gleicher Massendichte zu Boden sinkt! (3 Pkte) c) Am Boden des Zylinders wird waagerecht eine Röhre angeschlossen, sodass das Öl waagerecht heraus fließen kann. Dabei misst man bei einem Röhrendurchmesser d die Fließgeschwindigkeit v. Wie groß ist bei sonst gleichen Verhältnissen die Fließgeschwindkeit bei doppeltem Röhrendurchmesser? (3 Pkte) Lösung a) p = ρgH b) langsames Sinken: => Stoke-Gesetz: F ∝ υR unabh. von Masse Gleichgewicht: mg = F ∝ υR ⇒ υ ∝ m / R ⇒ υ ' ∝ m' / R ' = 8m / 2 R = 4m / R =>υ ' = 4υ c) Hagen-Poiseuille: dV / dt ∝ d 4 und dV / dt ∝ Aυ ∝ d 2υ → υd 2 ∝ d 4 → υ ∝ d 2 => υ ' = 4υ Aufgabe 10.) Ideales Gas a) Das ideale Gas in einem Behälter vom Volumen V habe den Druck p und die Temperatur T. Berechnen Sie, wie viele Mol Gas in Behälter sind! (2 Pkte) b) Die Hälfte des Gases entweicht durch ein Leck, das dann geschlossen wird. Danach wird das Gas auf die Hälfte seines ursprünglichen Volumens isotherm komprimiert. Unter welchem Druck steht es dann? (3 Pkte) c) Welche Arbeit muss zu der Kompression in (b) verrichtet werden? (3 Pkte) Lösung a) pV = vRT => v = pV / RT b) Leck : p 'V = vRT / 2; Komprimieren : p ' 'V ' = p ' 'V / 2 = vRT / 2 = pV / 2 => p ' ' = p V /2 c) A = − V /2 ∫ pdV = − ∫ V V vRT vRT vRT dV = − ln V |VV / 2 = ln 2 2V 2 2 Nur vom Korrektor auszufüllen 1 2 3 4 5 6 7 ∑ Note Experimentalphysik für Naturwissenschaftler, WS 2003/04 und SS 2004 Physikalisches Praktikum für Biologen, WS 2004/05 Universität Erlangen–Nürnberg Vordiplom-Wiederholungsklausur für Studierende der Biologie, 20.04.2005 Name: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Vorname: Matrikel-Nummer: Aufgaben zum Praktikum 1) Temperatur und Wärme 9 (a) Sie wollen die Temperatur TE eines heißen Eisenkörpers der bekannten Masse mE experimentell bestimmen und haben dafür Wasser, Messbecher, Thermometer und geeignete Gefäße zur Verfügung. Sie kennen die Dichte ρW des Wassers sowie die spezifische Wärmekapazitäten cW von Wasser bzw. cE von Eisen. Beschreiben Sie die Versuchsdurchführung und nennen Sie die zu messenden Größen. Geben Sie damit den Ausdruck für die gesuchte Temperatur an. Hinweis: Ihr Thermometer ist nur für den Temperaturbereich 0◦ C–100◦ C geeignet und kann deshalb leider nicht zur direkten Messung von TE verwendet werden. (b) Nennen und begründen Sie das Dulong–Petit’sche Gesetz und berechnen Sie daraus die Wärmekapazität von 1 mol Eisen. Warum ist dieses Gesetz bei niedrigen Temperaturen nicht gültig? 2) Drehschwingung 10 (a) Das Trägheitsmoment I eines langen, dünnen Stabes soll experimentell bezüglich einer Drehachse bestimmt werden, die durch den Stabmittelpunkt senkrecht zur Stabachse verläuft. Beschreiben Sie den Versuchsaufbau, nennen Sie die zu messenden Größen (die Winkelrichtgröße D ∗ der Schneckenfeder sei bekannt) und geben Sie damit den Ausdruck für I an. (b) Der Stab habe die Länge L. Berechnen Sie, um welchen Faktor sich die Schwingungsdauer erhöht, wenn man an einem Ende des Stabes einen praktisch punktförmigen Körper befestigt, der 20% der Stabmasse besitzt! (c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Stabes (ohne den punktförmigen Körper aus Aufgabenteil (b)), wenn die Drehachse nicht durch den Stabmittelpunkt, sondern im Abstand r = L/4 von diesem verläuft. 3) Beugung am Gitter 11 (a) Sie wollen unter Verwendung eines Beugungsgitters (Gitterkonstante g) und einer Sammellinse (Brennweite f ) die Wellenlänge eines parallelen, näherungsweise monochromatischen Strahlenbündels bestimmen. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau, tragen Sie die relevanten Längen und Winkel ein und nennen Sie die zu messenden Größen. (b) Nach welcher Beziehung ergibt sich die Wellenlänge λ aus den Messgrößen für das 4. Beugungsmaximum? (c) Es stellt sich heraus, dass das 3. Beugungsmaximum des Gitters keine Intensität besitzt. Wie breit sind demnach die Spalte des Gitters mindestens? Aufgaben zur Vorlesung 4) Elastische Stöße 6 Zwei Billardkugeln (Masse jeweils 200 g) werden mit entgegengesetzt gleichen Geschwindigkeiten~v 1 = (5 m/s, 0 m/s, 0 m/s) und ~v2 = (−5 m/s, 0 m/s, 0 m/s) zentral und elastisch zur Kollision gebracht. Die Eigendrehung der Kugeln sei vernachlässigbar. (a) Geben Sie die Impulsvektoren beider Kugeln nach dem Stoß an. (b) Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die zweite Kugel die Masse 300 g hat? 5) Fremder Planet Sie befinden sich auf einem Planeten, der 65% des Durchmessers der Erde besitzt. 9 (a) Eine Federwaage (Federkonstante k = 50 N/m) wird auf der Planetenoberfläche durch eine Testmasse von m = 1 kg um ∆s = 12 cm ausgelenkt. Wie groß ist die Fallbeschleunigung g P dort? Ersatzlösung: gP = 7.0 m/s2 . (b) Wie groß ist die mittlere Dichte ρP des Planeten? Hinweis: Der Erdradius beträgt 6368 km, die Gravitationskonstante ist G = 6.67×10 −11 m3 kg−1 s−2 . (c) Geben Sie die Differentialgleichung für die Schwingung der Testmasse an der Federwaage an. Mit welcher Kreisfrequenz erfolgt diese Schwingung? 6) Widerstände 7 Gegeben ist die nebenstehend gezeigte Schaltung mit Einzelwiderständen R1 = R2 = 40 Ω und R3 = R4 = 10 Ω. (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung zwischen den Punkten A und B. (b) Wie groß ist der Spannungsabfall an Widerstand R1 , wenn zwischen A und B eine Spannung U0 = 80 V angelegt wird? Ersatzlösung: U4 = 30 V . R3 A R4 B R2 R1 (c) Welche Ströme I1 , I2 , I3 , I4 fließen durch die einzelnen Widerstände? 7) Ladungen und Kräfte 8 Zwei Punktladungen Q1 = 8 nC und Q2 = 18 nC sind im Abstand von L = 50 cm voneinander befestigt. (a) Welche Kraft üben die beiden Ladungen aufeinander aus? Q1 Q2 q x=0 x=L xq x (b) Welche Energie war nötig, um die beiden Ladungen aus unendlicher Entfernung auf den Abstand L zu bringen? (c) Eine negative Probe-Punktladung q wird entlang der x-Achse verschoben, die Q 1 und Q2 miteinander verbindet (siehe Skizze). Bei welcher Position xq wirkt keine Kraft auf q? Achtung: Ersatzlösungen sind fiktive Zahlenwerte, die zum Weiterrechnen in nachfolgenden Teilaufgaben verwendet werden können, aber nicht der richtigen Lösung entsprechen. Experimentalphysik für Naturwissenschaftler, WS 2003/04 und SS 2004 Physikalisches Praktikum für Biologen, WS 2004/05 Universität Erlangen–Nürnberg Lösungen zur Vordiplom-Wiederholungsklausur für Studierende der Biologie (20.04.2005) 1) Temperatur und Wärme (a) Der Eisenkörper wird in ein vorher abgemessenes Wasservolumen V der Temperatur T1 eingetaucht. Die sich nach einiger Zeit einstellende Mischungstemperatur T2 wird gemessen. Die Masse des Wassers beträgt mW = V · ρW . Die ursprügliche Temperatur des Eisens lässt sich daraus wie folgt bestimmen: VW ρW cW (T2 − T1 ) . Qauf = mW cW · (T2 − T1 ) = Qab = mE cE · (TE − T2 ) =⇒ TE = T2 + mE cE Messgrößen sind: T1 , T2 sowie V (mE wird nach Angabe als bekannt vorausgesetzt). (b) Das Dulong-Petit’sche Gesetz besagt, dass die molare Wärmekapazität von Metallen durch Cm = 3R gegeben ist, wobei R die universelle Gaskonstante ist. Begründung: Allgemein ist Cm = ( f /2) R, wobei f der Zahl der Freiheitsgrade ist. Da im Festkörper jedes Atom 3 unabhängige Schwingungsmoden mit je 2 Freiheitsgraden hat, ist in diesem Fall f = 6. Ein Mol Eisen hat demnach die Wärmekapazität C = Cm · (1 mol) = 3R · (1 mol) = 24.9 J/K. Bei tiefen Temperaturen gilt das Gesetz nicht, weil die Schwingungsenergien gequantelt sind und die niedrigste Anregungsenergie thermisch nicht bzw. nicht vollständig angeregt werden kann. 2) Drehschwingung (a) Der Stab wird drehbar um seine Querachse an der Schneckenfeder befestigt, so dass diese ein rückstellendes Drehmoment zur Ruhelage bewirkt. Durch Auslenkung aus der Ruhelage wird der Stab in Drehschwingungen versetzt, deren Schwingungsperiode T gemessen wird. ∗ Die Differentialgleichung der Schwingung ist φ der Auslenkungswinkel aus der pI φ̈ = −D φ , wenn 2 ∗ Ruhelage ist. Damit wird T = 2π /ω = 2π / D /I =⇒ I = T D∗ /(2π )2 . (b) Das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes bzgl. seiner Querachse ist IS = ML2 /12 (M: Stabmasse); mit dem Zusatzkörper wird I 0 = IS + 0.2M(L/2)2 = ML2 (1/12 + 0.2/4) = 2ML2 /15. Das Verhältnis von Schwingungsdauer mit und ohne Zusatzkörper ist also s p 0 ∗ D /IS T I0 p = 8/5 = 1.26 . =p = T IS D∗ /I 0 (c) Satz von Steiner: I 00 = IS + Mr2 = IS + ML2 /16 = 7ML2 /48 = (7/4) IS . 3) Beugung am Gitter 4 Schirm f Beugungsmaxima Ordnung 0 1 2 3 (a) Das Strahlenbündel durchdringt das Gitter. Unmittelbar hinter dem Gitter wird das gebeugte Licht durch die Linse auf einen Beobachtungsschirm abgebildet. Wird der Abstand Gitter/Linse–Schirm für das vierte Blenden Beugungsmaximum gleich der Brennweite f gewählt, so ist dieses Maximum mit maximaler Schärfe zu erkennen (siehe Abb. rechts). Lampe Zu messen sind der Abstand D zwischen Gitter und Schirm entlang der optischen Achse und der Abstand b4 des vierten Beugungsmaximums auf dem Schirm von der optischen Achse. α4 Gitter und Linse D b4 Andere Anordnungen, z.B. Linse vor dem Gitter, wurden ebenfalls als richtig gewertet. (b) Maximum k-ter Ordnung: kλ = g sin αk , wobei entweder sin α4 = b4 / f oder tan α4 = b4 /D zur Bestimmung von α4 verwendet werden kann. Im ersteren Fall ergibt sich λ = (g/4) · (b 4/ f ) . (c) Gittermaximum hat verschwindende Intensität (d.h. wird unsichtbar), wenn es mit Minimum der Beugung am Einzelspalt zusammenfällt. Bedingung für Einzelspalt-Minimum n-ter Ordnung ist: nλ = b sin α . Für α = α3 folgt nλ = 3bλ /g =⇒ b = ng/3. Die kleinste Spaltbreite, die diese Bedingung erfüllt, ist b1 = g/3. 4) Billardstoß (a) Stoß ist elastisch und zentral =⇒ alle Bewegungen kollinear. Geschwindigkeiten in x-Richtung: v1 = 5 m/s, v2 = −5 m/s (vor dem Stoß); u1 , u2 (nach dem Stoß). Formelsammlung: u1 = m1 v1 + m2 (2v2 − v1 ) ; m1 + m 2 u2 = m2 v2 + m1 (2v1 − v2 ) . m1 + m 2 Für m2 = m1 und v = v1 = −v2 : u1 = −v = −5 m/s; u2 = v = 5 m/s =⇒ p ~1 0 = (−1, 0, 0) kg m/s; p ~2 0 = (1, 0, 0) kgm/s . (b) Für m2 = 3m1 /2 und v = v1 = −v2 : u1 = −7v/5 = −7 m/s; u2 = 3v/5 = 3 m/s =⇒ p ~1 0 = (−1.4, 0, 0) kgm/s; ~p2 0 = (0.9, 0, 0) kgm/s . 5) Fremder Planet (a) Hooke’sches Gesetz: ∆s = F/k = m gP /k =⇒ gP = k ∆s/m = 6.0 m/s2 . (b) Fallbeschleunigung g = (Kraft auf Probekörper) / (Masse m des Probekörpers). Auf Planet: mMP 4π 3 gP = G · mit M = R ρP P 3 P mR2P (RP : Plantenradius, G: Gravitationskonstante, MP : Planetenmasse, ρP : mittlere Planetendichte). 3gP 3 · 6 m/s2 Also ρP = = = 5.19 × 103 kg/m3 . 4π GRP 4π · 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 · 0.65 · 6368 km p (c) Differentialgleichung: ms̈ = −ks; Kreisfrequenz: ω = k/m = 7.1 Hz . 6) Widerstände (a) R12 = R1 R2 /(R1 + R2 ) = 20 Ω , Rges = R12 + R3 + R4 = 40 Ω . (b) Der Gesamtstrom beträgt Iges = U /Rges = 2 A, an R12 und damit auch an R1 fällt Spannung U1 = U12 = Iges R12 = 40 V ab. (c) I3 = I4 = Iges = 2 A , I1 = I2 = U12 /R1 = U12 /R2 = 1 A . 7) Coulomb-Kraft (a) F = (b) E = 1 Q1 Q2 4πε0 L2 1 Q1 Q2 4πε0 L = 5.2 × 10−6 N . = L · F = 2.6 × 10−6 J . (c) Beträge der Kräfte von Ladung Q1 bzw. Q2 auf die Probeladung bei xq : Q2 |q| 1 Q1 |q| 1 |F1 | = 4πε , |F2 | = 4πε . 0 x2q 0 (L−xq )2 Wenn insgesamt keine Kraft wirkt, müssen beide Kräfte gleichen Betrag haben und entgegengesetzt gerichtet sein: 2 Q2 L Q1 =⇒ − 1 = Q2 /Q1 = 9/4 |F1 | = |F2 | =⇒ 2 = xq (L − xq )2 xq + − =⇒ L/x± q = 1 ± 1.5 =⇒ xq = L/2.5 = 20 cm ; xq = −2L = −100 cm . Da Q1 und Q2 positiv sind und auf die negative Probeladung attraktiv wirken, muss sich diese zwischen Q1 und Q2 befinden, also ist x+ q = 20 cm die richtige Lösung. Nur vom Korrektor auszufüllen 1 2 3 4 5 6 7 ∑ Note Experimentalphysik für Naturwissenschaftler, WS 2003/04 und SS 2004 Physikalisches Praktikum für Biologen, WS 2004/05 Universität Erlangen–Nürnberg Vordiplomklausur für Studierende der Biologie, 10.02.2005 Name: Bearbeitungszeit: 90 Minuten Vorname: Matrikel-Nummer: Aufgaben zum Praktikum 1) Wärmekapazität von Festkörpern 9 (a) Sie wollen die Wärmekapazität eines Stückes Eisen experimentell bestimmen und haben dafür Wasser, Messbecher, Heizvorrichtung, Thermometer und geeignete Gefäße zur Verfügung. Sie kennen die Dichte ρW und die spezifische Wärmekapazität cW von Wasser. Beschreiben Sie die Versuchsdurchführung und nennen Sie die zu messenden Größen. Geben Sie damit den Ausdruck für die gesuchte Wärmekapazität an. (b) Nennen und begründen Sie das Dulong–Petit’sche Gesetz und berechnen Sie daraus die Wärmekapazität von 1 mol Eisen. Warum ist dieses Gesetz bei niedrigen Temperaturen nicht gültig? 2) Drehschwingung 10 (a) Das Trägheitsmoment I einer kreisförmigen homogenen Scheibe soll experimentell bezüglich einer Drehachse bestimmt werden, die durch den Scheibenmittelpunkt senkrecht zur Scheibenfläche verläuft. Beschreiben Sie den Versuchsaufbau, nennen Sie die zu messenden Größen (die Winkelrichtgröße D∗ der Schneckenfeder sei bekannt) und geben Sie damit den Ausdruck für I an. (b) Die Scheibe habe den Radius R. Berechnen Sie, um welchen Faktor sich die Schwingungsdauer erhöht, wenn auf den Rand der Scheibe ein praktisch punktförmiger Körper aufgesetzt wird, der 20% der Scheibenmasse besitzt! (c) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Scheibe (ohne den punktförmigen Körper aus Aufgabenteil (b)), wenn die Drehachse nicht durch den Scheibenmittelpunkt, sondern im Abstand r = R/2 von diesem verläuft. 3) Beugung am Gitter 11 (a) Sie wollen unter Verwendung eines Beugungsgitters (Gitterkonstante g) und einer Sammellinse (Brennweite f ) die Wellenlänge eines parallelen, näherungsweise monochromatischen Strahlenbündels bestimmen. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau, tragen Sie die relevanten Längen und Winkel ein und nennen Sie die zu messenden Größen. (b) Nach welcher Beziehung ergibt sich die Wellenlänge λ aus den Messgrößen für das 3. Beugungsmaximum? (c) Bei welchen Spaltbreiten b des Gitters wird das 3. Beugungsmaximum des Gitters unsichtbar? Aufgaben zur Vorlesung 4) Billardstoß 6 Eine Billardkugel der Masse 180 g und der Geschwindigkeit ~v = (7 m/s, 0 m/s, 0 m/s) stößt zentral und elastisch auf eine ruhende andere Kugel gleicher Masse. Die Eigendrehung der Kugeln sei vernachlässigbar. (a) Geben Sie den Impulsvektor beider Kugeln nach dem Stoß an. (b) Wie ändert sich das Ergebnis, wenn die am Anfang ruhende Kugel die Masse 120 g hat? 5) Fremder Planet Sie befinden sich auf einem Planeten, der 53% des Durchmessers der Erde bei gleicher mittlerer Dichte besitzt. Sie möchten dort das von Ihnen gesammelte Gestein wiegen und haben dafür eine Federwaage (Federkonstante k = 8 kN/m) zur Verfügung. 9 (a) Berechnen Sie die Fallbeschleunigung auf der Planeten-Oberfläche. Ersatzlösung: gPlanet = 4.0 m/s2 . (b) Wie groß ist die Auslenkung der Federwaage, wenn das Gestein samt Behälter eine Masse von 40 kg hat? (c) Geben Sie die Differentialgleichung für die Schwingung des Gesteinsbehälters an der Federwaage an. Mit welcher Kreisfrequenz erfolgt diese Schwingung? 6) Widerstände 7 Gegeben ist die nebenstehend gezeigte Schaltung mit Einzelwiderständen R1 = R2 = R3 = 3 Ω und R4 = 18 Ω. (a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung zwischen den Punkten A und B. (b) Wie groß ist der Spannungsabfall an Widerstand R1 , wenn zwischen A und B eine Spannung U0 = 40 V angelegt wird? Ersatzlösung: U4 = 10 V . R1 A R2 R4 R3 (c) Welche Ströme I1 , I2 , I3 , I4 fließen durch die einzelnen Widerstände? B 7) Coulomb-Kraft 8 Zwei Punktladungen Q1 = −10 nC und Q2 = −40 nC sind im Abstand von L = 25 cm voneinander befestigt. (a) Welche Kraft üben die beiden Ladungen aufeinander aus? Q1 Q2 q x=0 x=L xq x (b) Welche Energie war nötig, um die beiden Ladungen aus unendlicher Entfernung auf den Abstand L zu bringen? (c) Eine positive Probe-Punktladung q wird entlang der x-Achse verschoben, die Q 1 und Q2 miteinander verbindet (siehe Skizze). Bei welcher Position xq wirkt keine Kraft auf q? Achtung: Ersatzlösungen sind fiktive Zahlenwerte, die zum Weiterrechnen in nachfolgenden Teilaufgaben verwendet werden können, aber nicht der richtigen Lösung entsprechen. Experimentalphysik für Naturwissenschaftler, WS 2003/04 und SS 2004 Physikalisches Praktikum für Biologen, WS 2004/05 Universität Erlangen–Nürnberg Lösungen zur Vordiplomklausur für Studierende der Biologie 10.02.2005 1) Wärmekapazität von Festkörpern (a) Das Eisen wird im Wasserbad auf Temperatur T1 erwärmt (z.B. indem das Wasser zum Kochen gebracht wird) und anschließend in ein vorher abgemessenes Volumen V kalten Wassers (Temperatur T0 , z.B. Zimmertemperatur) eingelegt. Nach einiger Zeit stellt sich die Mischtemperatur Tm ein, aus der die Wärmekapazität des Eisens folgendermaßen bestimmt werden kann: Qauf = mW cW · (Tm − T0 ) = Qab = CE · (T1 − Tm ) =⇒ CE = Messgrößen sind: T0 , T1 , Tm sowie V . ρW V cW · (Tm − T0 ) . T1 − Tm (b) Das Dulong-Petit’sche Gesetz besagt, dass die molare Wärmekapazität von Metallen durch Cm = 3R gegeben ist, wobei R die universelle Gaskonstante ist. Begründung: Allgemein ist Cm = ( f /2) R, wobei f der Zahl der Freiheitsgrade ist. Da im Festkörper jedes Atom 3 unabhängige Schwingungsmoden mit je 2 Freiheitsgraden hat, ist in diesem Fall f = 6. Ein Mol Eisen hat demnach die Wärmekapazität C = Cm · (1 mol) = 3R · (1 mol) = 24.9 J/K. Bei tiefen Temperaturen gilt das Gesetz nicht, weil die Schwingungsenergien gequantelt sind und die niedrigste Anregungsenergie thermisch nicht bzw. nicht vollständig angeregt werden kann. 2) Drehschwingung (a) Die Scheibe wird drehbar um ihre Achse an der Schneckenfeder befestigt, so dass diese ein rückstellendes Drehmoment zur Ruhelage bewirkt. Durch Auslenkung aus der Ruhelage wird die Scheibe in Drehschwingungen versetzt, deren Schwingungsperiode T gemessen wird. ∗ Die Differentialgleichung der Schwingung ist φ der Auslenkungswinkel aus der pI φ̈ = −D φ , wenn Ruhelage ist. Damit wird T = 2π /ω = 2π / D∗ /I =⇒ I = T 2 D∗ /(2π )2 . (b) Das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe ist IS = MR2 /2 (M: Scheibenmasse); mit dem Zusatzkörper wird I 0 = IS + 0.2MR2 = 0.7MR2 . Das Verhältnis von Schwingungsdauer mit und s ohne Zusatzkörper ist also p D∗ /IS T0 I0 p = =p = 7/5 = 1.18 . T IS D∗ /I 0 (c) Satz von Steiner: I 00 = IS + Mr2 = IS + MR2 /4 = 3MR2 /4. 3) Beugung am Gitter Schirm f Beugungsmaxima Ordnung 0 1 2 3 (a) Das Strahlenbündel durchdringt das Gitter. Unmittelbar hinter dem Gitter wird das gebeugte Licht durch die Linse auf einen Beobachtungsschirm abgebildet. Wird der Abstand Gitter/Linse–Schirm für das dritte Blenden Beugungsmaximum gleich der Brennweite f gewählt, so ist dieses Maximum mit maximaler Schärfe zu erkennen (siehe Abb. Lampe rechts). Zu messen sind der Abstand D zwischen Gitter und Schirm entlang der optischen Achse und der Abstand b3 des dritten Beugungsmaximums auf dem Schirm von der optischen Achse. α3 Gitter und Linse D b3 Andere Anordnungen, z.B. Linse vor dem Gitter, wurden ebenfalls als richtig gewertet. (b) Maximum k-ter Ordnung: kλ = g sin αk , wobei entweder sin α3 = b3 / f oder tan α3 = b3 /D zur Bestimmung von α3 verwendet werden kann. Im ersteren Fall ergibt sich λ = (g/3) · (b 3/ f ) . (c) Gittermaximum wird unsichtbar, wenn es mit Minimum der Beugung am Einzelspalt zusammenfällt. Bedingung für Einzelspalt-Minimum n-ter Ordnung: nλ = b sin α . Für α = α 3 folgt nλ = 3bλ /g =⇒ b = ng/3. Wegen b < g gibt es die zwei Lösungen b 1 = g/3 und b2 = 2g/3. 4) Billardstoß (a) Stoß ist elastisch und zentral =⇒ alle Bewegungen kollinear. Geschwindigkeiten in x-Richtung: v1 = 7 m/s, v2 = 0 (vor dem Stoß); u1 , u2 (nach dem Stoß). Formelsammlung: u1 = m1 v1 + m2 (2v2 − v1 ) ; m1 + m 2 u2 = m2 v2 + m1 (2v1 − v2 ) . m1 + m 2 Für m2 = m1 = m und v2 = 0: u1 = 0; u2 = v1 = 7 m/s =⇒ p ~1 0 = (0, 0, 0) kgm/s; p ~2 0 = (1.26, 0, 0) kgm/s . (b) Für m2 = 2m1 /3 und v2 = 0: u1 = v1 /5 = 1.4 m/s; u2 = (6/5)v1 = 8.4 m/s =⇒ p ~1 0 = (0.252, 0, 0) kgm/s; p ~2 0 = (1.008, 0, 0) kgm/s . 5) Fremder Planet (a) Fallbeschleunigung g = (Kraft auf Probekörper) / (Masse m des Probekörpers). Auf Planet: mMP 4π 3 gP = G · 2 mit MP = R ρ 3 P RP (RP : Plantenradius, G: Gravitationskonstante, MP : Planetenmasse, ρ : mittlere Dichte). 4π Gρ 4π Gρ · RP und für die Erde: gE = · RE Also für Planet: gP = 3 3 =⇒ gP = (RP /RE ) · gE = 0.53 · gE = 5.2 m/s2 . (b) Hooke’sches Gesetz: ∆z = F/k = mS gP /k = 2.6 cm (mS ist die Steinmasse). p (c) Differentialgleichung: mS z̈ = −kz; Kreisfrequenz: ω = k/mS = 14.1 Hz . 6) Widerstände (a) R123 = R1 + R2 + R3 = 9 Ω , Rges = 1 1/R123 +1/R4 = R4 R123 R123 +R4 = 6Ω (b) I123 = U0 /R123 = 4.44 A =⇒ U2 = R2 I123 = 13.3 V . (c) I1 = I2 = I3 = I123 = 4.44 A , I4 = U0 /R4 = 2.22 A . 7) Coulomb-Kraft (a) F = (b) E = 1 Q1 Q2 4πε0 L2 1 Q1 Q2 4πε0 L = 5.7 × 10−5 N . = L · F = 1.4 × 10−5 J . (c) Beträge der Kräfte von Ladung Q1 bzw. Q2 auf die Probeladung bei xq : Q2 |q| 1 1 Q1 |q| , |F2 | = 4πε . |F1 | = 4πε 0 x2q 0 (L−xq )2 Wenn insgesamt keine Kraft wirkt, müssen beide Kräfte gleichen Betrag haben und entgegengesetzt gerichtet sein: 2 Q2 L Q1 − 1 = Q2 /Q1 = 4 =⇒ |F1 | = |F2 | =⇒ 2 = xq (L − xq )2 xq + − =⇒ L/x± q = 1 ± 2 =⇒ xq = L/3 = 8.3 cm ; xq = −L = −25 cm . Da Q1 und Q2 negativ sind und auf die positive Probeladung attraktiv wirken, muss sich diese zwischen Q1 und Q2 befinden, also ist x+ q = L/3 = 8.3 cm die richtige Lösung.