Word Pro - A128-147 Algebra Term internet

Arbeitsblatt
01 /03
--204
Oh nein, jetzt rechnen wir auch noch mit Buchstaben !
Wie geht das denn ?
Ganz einfach !
Buchstaben stehen für irgendwelche Zahlen. Und da man mit Zahlen rechnen kann,
funktioniert das auch mit den Buchstaben:
Merke dir zur Addition und Subtraktion nur folgendes:
1
Man kann nur gleiche Buchstaben/Buchstabenkombinationen addieren/subtrahieren.
x + x = 2x
y + y = 2y
x + x + x = 3x
9z - 2z = 7z
5ab + 7ab =12ab
2
Unterschiedliche Buchstaben/Buchstabenkombinationen können nicht addiert oder
subtrahiert werden: Das Ergebnis ist die Aufgabe selbst:
x+y=x+y
a+b=a+b
2a + 8b = 2a + 8b
5t - 2tz = 5t - 2tz
3
Beachte: Steht ein Buchstabe alleine, so ist stets folgendes gemeint: x = 1x
Aufgabe 1 Probier es einfach aus !
a) 4x + 2x
7y + 3y
5s + 4s
b)
8a - 3a
9x - 5y
12r - 11r
c)
7a + a
x + 11x
6r - r
d)
5x + 8x
7a + 6a
12r - 4r
e)
6z - 2z
0,2h + h
7u - 4u
f) 6r + 5r
20a + 7a
34s + 12k
g)
4y - 4y
70k - 25d
28u - 17u
h)
4k + 9 k
a + 6a
z-z
i)
9y - y - y
14b + 6b
8x - 5x
j)
3g - 5f
b+b
9z - 9z
4
Stehen in einer Aufgabe verschiedene Buchstaben, so kann man nur diese zusammenfassen, die gleich sind. Die anderen werden einfach dazugeschrieben:
2y + 4x + 6y = 8y + 4x
5ab + 7ab - 9b = 12 ab - 9b
8t - 9gh + 7t = 15t - 9gh
Aufgabe 2
a) 5a + 11b + 7a
4x + 2y - 2z
18a - a + 5b - b
59g - 100 + 21 g
8t - 25x + 2t
2,4ab - 2c + 4ab
b) 75x - 14x + 33y
c) 12x + 2y + 5x + y
r + 5s - 9r
9q - 3q - 8q
8a + 9a - 5b + b
75w - 83z - 53w
100h - 32h - 22h
100a + 26b - 77a
12k + 5p - 7k - 5k
x - y + 6x + y - 7x
5,6xy - 2,9z - 2,9xy
2,7x + 1,4a - 10x
d) 42u + 57v - 48v
97t - 97u + 3t
14x - x - x - 1
120x + 116y + 203z
14a - 3b - 12a
- 1,1a - 0,2b + 1,5a
Arbeitsblatt
02 /03
--205
5
Wenn Buchstaben alleine stehen können, dann geht das auch mit Zahlen. Beachte:
Es können nur Zahlen ohne Buchstaben zusammengefasst werden !
2y + 4 + 6 = 2y + 10
5 + 7ab - 9ab = 5 - 2ab
8 - 9gh - 3 + 7t = 5 - 9gh
Aufgabe 1 Probier es einfach aus !
a) 4x + 2x + 7
7y + 5 + 3y
2 - 5s + 4s
b)
8a + 7 - 3a c)
12 + 9x - 5
12 - 11r + 8
7+a +5
x + 5 + 11x
6r - 6 - r
d)
5x + 4 + 8x e)
7a - 11 + 6a
12 - 4r +13
6z - 2
0,2 + h
7u - 4 +7
f) 6r + 5
g)
20 + 7a - 10
34 + 12 + k
4y - 4y - 4
h)
70k - 8 - 25d
28 - 17u + 6
4+9k
a + 6a - 2
3+z-z-3
i)
9-y+y
14b + 6b
8x - 5x
3 - 5f
b+b+9
9z - 9
j)
6
Buchstabenkombinationen können vertauscht werden !
ac = ca
7res
xy = yx
8sz = 8zs
9cb = 9bc
5abc + 8acb = 13abc
6res + esr =
Aufgabe 2
a) 5ab + 11ba + 7a b) 75yx - 14xy + 33y
c) 17x + 2y + 9x + 6y
4xv + 2y - 2vx
r + 5s - 9rs
9zq - 3qz - 8qz
18ab - a + 5b - ba
8a + 9 - 5b + b
75zw - 83zw - 53zw
59gh - 10 + 21 hg
100xh - 32hx - 22h
100ab + 26b - 77ab
8ts - 25xs + 2st
12pk + 5kp - 7k - 5k
x - 2y + 6x + y - 7x
2,4ab - 2c + 4ba
5,6xy - 2,9z - 2,9yx
2,7xy + 1,4a - 10yx
d) 88u + 57nv - 48vn
97t - 97ut + 3tu
14x - xy - yx - 1
120zx + 116y + 203xz
14ba - 3b - 12ab
- 1,1ab - 0,2b + 1,5ab
7
Buchstaben, die ein Quadrat oder eine andere Hochzahl enthalten, dürfen nur mit
seinesgleichen addiert und subtrahiert werden: b ! b2 !
2b + b2 = 2b + b2
3x2 + 9x2 = 12x2
20y3 - 10y2 - y = 20y3 - 10y2 - y
Aufgabe 3
c) 8y2 + 3x + 9y - 7
d) 67u + 34nv2 - 92v2n
a) 2a2 + 17b2 + 4a2 b) 88y2 - 12xy + 38y2
4
3
2
4
2
2
8
5v + 5v - 5v - 5
12z + 13z - 11z
e12 + 4e12 + 2e10
u - u + u + 2u
7
6
7
7
2
2
2
2 2 2 2
f + 5f - 2f + f
0,1c + 1,2c - 0,9c
voel - veol + v e o l
g4h3 + g3h4 - 7g2h3
2
2
2
4 2
4
2 4
3 2
2
3
2
9sr + 9rs - 8r s
2b b + 4bb - 6b b
8j j g - 7j gj + 6gjj
7hgf - 7h2g2f2 + 7g2hf
7 12
2
5
5
5
4apfel + 3pefla - 7p
0,3j + 0,9j k - 0,7j
9ub - 9bu + 9u2b
5bh - 7hb + 9b h
Arbeitsblatt
03 /03
--206
8
Natürlich gelten alle Regeln auch für Brüche !
1
1
2
2y+ 2x+ 3z
= 12 y + 12 x + 23 z
2
3 xy
+ 83 yx =
3
2
4 ab
10
3 xy
− 12 b 2 a = 34 ab 2 − 24 ab 2 = 14 ab 2
Aufgabe 1 Ich weiß: Du liebst Brüche ! Viel Spaß dabei ...
a)
2
3a
+ 73 a −
2
7a
− 72 b − 5a −
6
8
4
b) 5
4
14 a
2 12 xy 2 + 4 34 y 2 x
− 95 b +
11
5 b
c)
;-)
5
12
8 yx + 2 xy − 4xy
3 3
12 3
5 b c − 2 b c + 7cb
3 4
1
4
2 c a + 7 ac
4 17 a 2 bc + 5 18 bca 2 + 9ab
2 23 hg − 83 gh + 4 15 h 2 g
d)
− 35 a 4 c
13
2
4 gh
− 54 h 2 g + 12 g 2 h
9
7
2 yb
− 8yb 7 + 84 b 7 y
8 74 de 7 + 7 23 ed 7 − 5 12
9
Und mit Dezimalzahlen hast du ja auch schon gerechnet:
0,9 dc + 0,1 cd = 1,0 cd
1,8yx - 2,8 yx = - xy
- 6,5 ab2 + 8,6 ab2 = 2,1ab2
Aufgabe 2
a) 5,1ab + 1,1ba
b)
4,2xv + 2,1y - 2vx
1,8ab - a + 5,6b
5,9gh - 1,8 + 2,1hg
8,7ts - 2,5xs + 2st
2,8ab - 2c + 4ba
7,5yx - 1,4xy + 3,3y c) 1,7x + 2,2y + 9x
d)
r + 5,4s - 9,8rs
9,2zq - 3,7qz - 8qz
8,2a + 9,6 - 5b + b
7,5zw - 8,3zw - 5,3zw
1,8xh - 3,2hx - 2,2h
1,3ab + 2,6b - 7,7ab
12pk + 5,5kp - 7k
x - 2,7y + 6x + y - 7x
5,2xy - 2,1z - 2,7yx
2,71xy + 1,42a - yx
8,8u + 5,7nv - 4,8vn
9,7t - 9,7ut + 3,3tu
1,14x - xy - yx - 1,87
12,9zx + 1,6y + 2,3xz
1,4ba - 3b - 1,2ab
- 8,1ab - 0,4b + 1,3ab
10
Bei langen Kettenaufgaben musst du dich besonders konzentrieren und gut
aufpassen!
3z + 12 az - 6za + 8z - 9a + 4z - 8 = 7z + 6az - 9a - 8
Aufgabe 3
a) 4x + 3y + 2x + 7z - y - y + 8z + 6x
b) 18 a + 12b - 25a + b + 7c + a + 6b
c) 11r + 9 s - 5r + 3s + k - 6r + 4k - 12s
g) 1,2t - 0,2 s + 3,4 st - 1,7 s + 1,3 ts - 2
d)
e)
f)
h)
3
5
1
2
2x + 3y + 2x + 3y
27ab - 12a2 + 13bc - a2 + 3ab -12bc
- 8,2x - 3,4xy + 0,4x - 9,1x + xy
3,8m2 + 1,7nm2 - 2,1 n2m + 6,9m3 - 12
Arbeitsblatt
04 /03
--207
11A
Prüfe dein Wissen !
Zeitvorgabe: ____ Min.
Aufgabe 1
a) 4x + 2x
b)
8a - 3a
c)
7a + a
d)
5x + 8x
e)
6z - 2z
Aufgabe 2
a) 5a + 11b + 7a
b) 75x - 14x + 33y
c) 12x + 2y + 5x + y
d) 42u + 57v - 48v
b) 88y2 - 12xy + 38y2
c) 8y2 + 3x + 9y - 7
d) 67u + 34nv2 - 92v2n
Aufgabe 3
a) 2a2 + 17b2 + 4a2
Aufgabe 4
a)
2
3a
+ 73 a −
6
8
4
b) 5
− 95 b +
11
5 b
c)
5
12
8 yx + 2 xy − 4xy
d)
13
2
4 gh
− 54 h 2 g + 12 g 2 h
Aufgabe 5
a) 18 a + 12b - 25a + b + 7c + a + 6b
-----
hier knicken
b)
27ab - 12a2 + 13bc - a2 + 3ab -12bc
------------------------------------------------------------------------------------------
11B
Prüfe dein Wissen - Lösungen
Aufgabe 1
a) 6x
b)
5a
Aufgabe 2
a) 5a + 11b + 7a
Aufgabe 3
a) 6a2 + 17b2
Aufgabe 4
9
8
a) 3 a − 4
c)
8a
b) 108x + 33y
b) 126y2 - 12xy
6
b) 5
d)
+ 25 b
Aufgabe 5
a) -6 a + 19b + 7c
c)
0
b)
13x
c)
e)
17x + 3y
d)
c) 8y2 + 3x + 9y - 7
8
1
d) 4 gh 2 + 2 g 2 h
30ab - 13a2 + bc
4z
42u + 9v
d) 67u - 58v2n
oder 2gh 2 + 12 g 2 h
Arbeitsblatt
05 /03
--208
Multiplizieren ist eigentlich auch ganz einfach:
12
Die Buchstabenkombination xy bedeutet mathematisch eigentlich x $ y. Du hast also
schon die ganze Zeit multipliziert, ohne es gemerkt zu haben. Deshalb ist folgendes
auch ganz logisch:
x
$ y = xy
xy
$ z = xyz
2
$ x = 2x
2abc
$ x = 2abcx
2
$ abc = 2abc
Die zu multiplizierenden Buchstaben werden also einfach hinten angehängt.
13
Du darfst die Buchstaben vertauschen, weil das Vertauschungsgesetz der
Multiplikation gilt !
ac = ca
xy = yx
8sz = 8zs
9cb = 9bc
5abc + 8acb = 13abc
14
Zahlen werden wie gewohnt miteinander multipliziert !
4
$ 4x = 16x
6
$ 7xy = 42xy
2x
$ 4y = 8xy
4xy
$ 2z = 8xyz
Aufgabe 1 Probier es einfach aus !
a) 4 $ x
cy $ 3x
5s $ 4re
12x $ 16y
b)
8$ a
9x $ yc
12r $ 6zn
16 $ 14zx
c)
7$ a
x $ yz
6r $ xyw
19vc $ 22xa
d)
5$ x
7a $ 6bc
12r $ 4jb
23b $ 12xa
e)
6$ z
2h $ bc
7u $ 4zt
28m $ xy
d)
7
9
e)
4
11
$z
Aufgabe 2 Natürlich funktioniert das auch mit Brüchen !
a)
1
2
$x
3
2 cy
b)
$x
6
7
$a
x
$ 47 yc
5s
$ 17 re
12
5 r
2
3x
$ 12 y
6
7
c)
$ 6zn
2
3
$a
x
$ 29 yz
6r
$ 29 xyw
8
3 vc
$ 52 zx
$
3
16 xa
$x
8
3a
$ bc
1
4h
$ bc
1
7r
$ 4jb
7u
$ 38 zt
7
2b
$
6
5m
4
21 xa
$ 73 xy
Aufgabe 3 Oder auch mit Dezimalzahlen !
a) 0,1x
0,7a
1,2n
$ 0,1y b)
$ 0,3b
$ 1,6m
0,4z $ 0,7y
4,4s $ 2,7r
2,1b $ 4,8u
c)
0,3 $ 1,2zyx d)
9,3b $ 2,2zyx
8,7q $ 3,4prd
0,8va $ 1,7
7,8u $ 3,1m
aby $ 5,7nm
f)
1,3b $ ay
0,3x $ 2z
9,4m $ 9y
Arbeitsblatt
06/03
--209
15
Was passiert aber, wenn zwei gleiche Buchstaben aufeinandertreffen ?
Dann entsteht ein sogenannter Exponent - eine Hochzahl:
a
$ a = a2
Aufgabe 1
b
a)
1
2
x
$x
xy
$ y = xy2
xz
$ x = x 2z
b)
a$ a
9y $ yc
12r $ 6rs
16 $ 14zx
3e $ 6zxe
vb $ v
y $ yz
6r $ rst
19vc $ 22xa
2xvc $ 16xc
c)
b)
9
4a
$a
$ 67 yc
7
5 ba
c)
$ xy
xy
5es
$ 19 re
14
5 rnz
$ 6zn
6sr
7
3 xy
$
8
7 xz
14
2 zx
8
9 va
1
14 yx
2ab
$ 4 bc = 8ab2c
d)
xy $ x
7b $ 6bc
12f $ 4jfb
23b $ 12xa
13ba $ 18xa
e)
z$ z
2h $ hc
7u $ 4zut
28m $ xy
2m $ mxy
$
zx
$a
d)
2
5x
$ xy
e)
14
3 z
$ 23 yz
8
7a
$ abc
$ 38 srt
$
3
16 xa
1
6 jbr
$ 4jb
7
6 bxa
$
4
35 xa
5
4h
7tu
9
5y
$ zy
$ hc
$ 38 zt
$
15
3 xy
Oder auch mit Dezimalzahlen !
a) 0,3x $ 0,4xy b)
0,7ba $ 0,3ba
1,9mn $ 1,4m
Aufgabe 4
$ ab = a2b2
Natürlich funktioniert das auch wieder mit Brüchen !
2
3 cy
Aufgabe 3
ab
Probier es einfach aus !
a) x $ x
cy $ 3y
5r $ 4re
12xy $ 16yx
6as $ 17ad
Aufgabe 2
$ b =b2
0,2z $ 0,8yz c)
8,4sr $ 7,7rst
2,8ab $ 4,8ua
1,3x $ 0,2zyx d)
8,3z $ 2,4zyx
3,7q $ 3,7pqr
1,8v $ 0,7v
f)
7,7n $ 5,1m
amn $ 3,7nm
1,8b $ by
0,2z $ 2z
1,4m $ 3m
Man kann das Ganze natürlich auch mit der Addition/Subtraktion verbinden !
Beachte dabei die allgemeingültigen Rechengesetze !
a) 3x $ 4xy + 0,2x $ 0,8yx
7ba $ 3ba + 8,4b $ 7a2b
9mn $ 4m - 2n $ 8m2
1,4sd $ 3s + 9,1s $ 7d2s
b) 3x $
3z $
7q $
2e $
2zyx - 8y $ 7zx2
4zyx - 7z2 $ 5xy
3pqr + pqr $ 3qr
7efg2 - 3g2 $ 8e2f
c) 0,8b $ by + 0,5b2 $ 2y
0,2z $ 2zy2 + 1,2y2 $ 0,3z2
1,4m $ 2,3mn - 4,1m2 $ 0,2n
7,2h $ 9,1zh2 + 1,5h2 $ 7,3z2
Arbeitsblatt
07 /03
--210
16
Und was passiert, wenn zwei gleiche Buchstaben mit unterschiedlichen Hochzahlen
aufeinandertreffen ?
Dann werden die Hochzahlen einfach addiert:
a2
Aufgabe 1
$ a = a3
a3 $ a
9y3 $ y9c
11r $ 6r4s
6z7 $ 14z2x
3e3 $ 6zx3e
x3 z
$ x = x 4z
ab6
$ a 4 b = a 5b 7
v8b $ v3
d)
y4 $ y 3 z
9r3 $ 4s3t3
11vc9 $ 6xa7
2x4vc $ 32xc4
xy4 $ xy
e)
9b4 $ 2b2c
3f2 $ 4f 4b
4b7 $ 12xa3b2
4ba2 $ 11xa
z7 $ z12
2h2 $ hc
2u $ 4zu2
8m $ 7ym
3m $ m3y
2,3x $ 0,9z2x d)
7,3z $ 4,4z3yx
9,7q2 $ 3,3pqr
2,8v $ 0,1v
f)
6
7,9n $ 3,1m
am3 $ 1,7nm
2,8b $ by
0,2z $ 9z
4m2 $ 3m
Man kann das Ganze natürlich wieder mit der Addition/Subtraktion verbinden !
Beachte dabei die allgemeingültigen Rechengesetze !
b) 6x2 $ 2zyx - 2y $ 7zx2
9z3 $ 4zyx - 7z2 $ 4xy
7q4 $ 2pqr + pqr $ qr4
e6 $ 8efg2 - 4g2 $ 7e2f
c) b4 $ by + b2 $ y4
0,3z2 $ 6zy2 + 1,3y2 $ 6,3z2
1,8m $ 3,3mn3 - 6,1m2 $ 0,4n
7,7h4 $ 9,3zh2 + 1,5h2 $ 7,8z4
Zahlen ? Wer braucht schon Zahlen zum Rechnen ?
a) a3 $ ab + a5 $ b4a2
ab2 $ ba + a $ a2b
mn $ n2 - n $ m2
sd $ d3 + d $ d2s
Aufgabe 5
$ y7 = xy8
c)
0,8z4 $ 0,3z c)
8,7s6 $ 7,3st
2,9a4 $ 4,4ua
a) 8x3 $ 2xy + 1,2x5 $ 1,8yx
8ba2 $ 2ba + 8,9b $ 2a2b
5mn $ 2m2 - 6n $ 2m2
1,9sd $ 2s3 + 7,1s $ 9d2s
Aufgabe 4
xy
Oder auch mit Dezimalzahlen !
a) 0,4x $ 0,3x2 b)
0,3b2 $ 0,7ba
1,4m4 $ 1,9m
Aufgabe 3
$ b2 =b4
Probier es einfach aus !
b)
a) x $ x7
cy4 $ 6y6
2r2 $ 9re3
12x5y $ 6y6x3
8a2s $ 17ad2
Aufgabe 2
b2
b) y2
x3
q4
g6
$ zyx - z $ zx2
$ zyx - y2 $ xy
$ pqr + pqr $ pr4
$ efg2 - e2 $ e2f
c) y4 $
y2 $
m$
z4 $
by + y2b $ b4y
z 3 y2 - y 4 z $ z 2
mn3 - m2 $ n
zh2 + h2 $ z5
Mario hat umgeformt. Welche Fehler hat er gemacht ? Berichtige !
a) y + y + y = y3
b)
y · y = 2y
c)
2y · 2y = 4y
Arbeitsblatt
08/03
-211
17
Wie dividiert man eigentlich mit Buchstaben ?
Hmm, auch das ist einfacher, als es aussieht ! Werden zwei gleiche Buchstaben mit
unterschiedlicher Hochzahl miteinander dividiert, so bleibt der Buchstabe stehen und
die Hochzahlen werden einfach subtrahiert.
X 8: x2 = x 6
y2z : y = yz
zy2 : z = y2
ba4 : ab4 = a3b3
18
Insbesondere gilt:
x2 : x2 = 1
a:a=1
y3x4 : y3x4 = 1
19
Dabei können die Hochzahlen auch negativ werden:
h3g : h5g2 = h-2g-1
k : k9 = k-8
a-5 : a
-5
= a-10
20
Zahlen werden nach den allgemeingültigen Gesetzen dividiert !
20a : 20 = a
Aufgabe 1
20b4 : 2b2 = 10b2
4c2 : 2c4 = 2c-2
Probier es einfach aus !
b)
a) x7 : x7
4
6
12cy : 6y
18r2 : 9re3
12x5y : 6y6x3
8a2s : 4ad2
a3 : a
9y3 : y9c
12r : 6r4s
6z7 : 14z2x
6e3 : 3zx3e
c)
v8 b : v 3
d)
4
3
y :yz
9r3 : 3s3t3
18vc9 : 6xa7
32x4vc : 2xc4
xy4 : xy
e)
4
2
9b : 3b c
8f2 : 4f 4b
12b7 : 4xa3b2
6ba2 : 3xa
z7 : z12
2h2 : hc
4u : 2zu2
6m : 2ym
3m : m3y
21
Und was passiert, wenn die Zahl, durch die ich teile, größer ist, als die andere ? Oder
wenn die beiden Zahlen sich nicht dividieren lassen ?
Dann entsteht ein Bruch !
2
1
2a : 20 = 20 a = 10 a
Aufgabe 2
20b4 : 40b2 =
20 2
40 b
=
1 2
2b
4c2 : 7c4 =
4 -2
7c
Probier es einfach aus !
b)
a) 6x7 : 8x6
6cy8 : 12y6
9e2 : 18re3
11y5x : 6y6x3
3a2d : 4ad2
5a3 : 10a
a3 : 9a9c
6r : 12s4r
12x7 : 14z2x
7e3x : 3x3e
c)
4v8b : 2v3
d)
3y7 : 4y3x
4r3 : 3s3t3
15vb9 : 6xa7
35c4vc : 2xc4
5xy6 : 8xy
e)
9v4 : 6v2c
7b2 : 4f 4b
13a7 : 4xa3b2
9ba2 : 4ba
5z7 : z2
2u2 : uc
2z : 7zu2
7y : 2ym
y : 9m3y
Arbeitsblatt
09 /03
--212
22A
Prüfe dein Wissen !
Zeitvorgabe: ____ Min.
Aufgabe 1
a) 12x
$ 16y
b)
16
$ 14zx
c)
19vc
$ 22xa
d)
23b
$ 12xa
e)
28m
$ xy
Aufgabe 2
a) 3x
$ 4xy + 2x $ 8yx
b) 9x
$ 2zyx - 8y $ 2zx2
c) 0,8b
$ by + 0,5b2 $ 2y
Aufgabe 3
a) x
$ x7
b)
a3
$a
c)
v8b
$ v3
d)
xy4
$ xy
e)
z7
$ z12
Aufgabe 4
a) 8x3
$ 2xy + 2x5 $ 8yx
b) 6x2
$ 2zyx - 2y $ 7zx2
c) b4
$ by4 + b5 $ y2 $ y2
Aufgabe 5
a) x7 : x7
-----
hier knicken
b)
a3 : a
c)
v8 b : v 3
d)
xy4 : xy
e)
z7 : z12
------------------------------------------------------------------------------------------
22B
Prüfe dein Wissen - Lösungen
Aufgabe 1
a) 192xy
b) 224zx
c)
418vcxa d)
Aufgabe 2
a) 28 x2y b) 2yzx2
c)
1,8b2y
Aufgabe 3
a) x8
b)
c)
v11b
a4
Aufgabe 4
a) 16x4y + 16x6y
Aufgabe 5
a) 1
b)
276bxa
d)
x2 y 5
b) 12x3zy - 14yzx2
a2
c)
v5 b
d)
y3
e)
28mxy
e)
z19
c)
2b5y4
e)
z-5
Arbeitsblatt
10/03
--213
23
Termzusammenfassung: Wende dein Wissen an und konzentriere dich !
Benutze verschiedene Buntstifte oder markiere in unterschiedlicher Form, damit du den Überblick bewahrst !
------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispielaufgabe
2 ab2 + 4 ba2 - b + a2 + 4 b2a + 5 b - 7 a + 6 ab2 - 4 ba2 + 9 a - 3 b + 6 a + 5 ab2
1. Markiere die Therme mit gleichen Buchstaben
2 ab2 + 4 ba2 - b + a2 + 4 b2a + 5 b - 7 a + 6 ab2 - 4 ba2 + 9 a - 3 b + 6 a + 5 ab2
2. Sortiere
2 ab2 + 4 ab2 + 5 ab2 + 6 ab2
+ 5 b - 3 b - b + 6 a + 9 a - 7 a + a2 + 4 ba2 - 4 ba2
3. Fasse nun die zueinandergehörenden Teile zusammen:
17 ab2
+ b + 8 a + a2 + 4 ba2 - 4 ba2
4. Die letzten beiden Glieder heben sich auf und fallen weg:
17 ab2
+ b + 8 a + a2
5. Ergebnis:
17 ab2
+ b + 8 a + a2
------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgabe 1
Übertrage das Beispiel in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Rechenregeln. Beachte vor allem: Punkt-vor-Strichrechnung !
a)
14 xyz + 24 y · 2 xz + 26 zx - 35 x + 118 - 12 zy · 12 x + 14 xz - 45 + 35 x - 73
b)
5 a2b3c + 2 abc · 4 ab2 - 6 ac · 12 b3 + 14 a2b3c · 2 a2b3c - 28 acb · a3b5c
c)
18 a : 6 + 14 b : 7 + 36 a - 45 a - 18 b + 25 a : 5 + 16 b - 8 b + 4 a - 144 a : 12
d)
48 s3r4 · 2 zy + 25 r · 4 sz - 12 s3r4zy · 4 - 50 zr · 3 s + 26 r · 26 d - 675 rd
e)
80 + 12 jp4 · 5 j - 112 + 14 p · 3 p3j2 - 25 + 16 j4 · 4 p + 16 j · 8 p + 66 - 14 pj + 24
f)
26 h · 2 g3h + 14 g · 4 h3g - 15 h2g3 + 127 + 6 g2 · 12 h3 - 14 + 90 g2h3 - 5 g3 · 9 h2
Arbeitsblatt
11/03
--214
24
Klammerrechnung
Klammerrechnung ist ganz einfach ! Du musst einfach nur die folgende Aufgabe dir anschauen
und verstehen. Dann kannst du alle Aufgaben dieser Art lösen, denn sie lassen sich alle nach
dem gleichen Schema knacken:
a·(b+c)=a·b+a·c
Jedes Glied in der Klammer ( also b und c ) muss mit dem Faktor a multipliziert werden !
Beispiele:
7 · ( 4x + 3y ) = 7 · 4x + 7 · 3y = 28x + 21y
a · ( 5a + 2b ) = a · 5a + a · 2b = 5a2 + 2ab
2s · ( 8r + 3a ) = 2s · 8r + 2s · 3a = 16sr + 6sa
4w2 · ( b - 2w ) = 4w2 · b - 4w2 · 2w = 4w2b - 8w3
Achtung:
Dieser Zwischenschritt ist im Heft immer hinzuschreiben !
Aufgabe 1
Übertrage die Beispiele in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Rechenregeln !
a)
2 · ( 5c + 3b )
5 · ( 6f - 4e )
9 · ( 8p + 7k )
b)
15 · ( 9h - 6x )
6x · ( 9x - 3y )
4s · ( 15z + 8s )
8g · ( 18hg - 16gh )
c)
45 xy · ( 4x - 3y )
12 v2z · ( 7z + 3vz)
21 zxy · ( 4z - 8s + 7r )
6f · ( 14fh - 5 f2h )
58 gfd · ( 5g2f - 8d3h )
Aufgabe 3
Denke an die Rechenregeln !
a)
5 · ( 5x + 6 y )
7 · ( 4v - 8m )
b)
9 · ( 12r + 14z )
6xbv · ( 24bv - 45xv )
19 ghz · ( 14g + 13 h3z )
33 klm · ( 5km6 - 12 lk )
c)
15v2g4 · ( 12vg3 - 14 gv4 )
56xyz3 · ( 3zx - 4yx + 7zy )
45r2s5u7 · ( rs2u + s3r6u8 )
Aufgabe 4
Denke an die Rechenregeln !
a)
3x · ( 45xy + 13 yz ) + 5y · ( 3x2 - 14xz )
b) 9a · ( 45bc + 13 ac ) + 5b · ( 3bc2 - 80ab )
- xy · ( zx + yz ) - 5y · ( 12zx2 - 14xyz )
- 7s2 · ( 4u - 3uv ) - 9us · ( - 14s + 15sv )
6mp2 · ( - 8mq - 9 ) + 5pq · ( 9pm - 12mp )
8r · ( - 7st3 - 14trs) + 16s · ( 4t3r - 8r2t )
Arbeitsblatt
12 /03
--215
Aufgabe 1
a)
Noch einmal zur Übung:
4x · ( 4xs - 8sy ) + 9s · ( x2 + 7xy )
b)
7cd2 · ( 6d + 5c ) - 8c · ( 9d3 - 12d2c )
ab · ( 3ca + 7bc ) - 4b · ( 2ca2 - 4abc )
- 6e2 · ( 7f - 6ef ) - 3ef · ( - 44e + 25ef )
3jp2 · ( 6jq - 3 ) + 2pq · ( 7pj - 14jp )
8r · ( - 7st3 - 14trs) + 16s · ( 4t3r - 8r2t )
25
Umkehrung: Klammere den gemeinsamen Faktor aus !
Nun musst du einmal die richtige Disektte in dein Gehirn hineinschieben: Cleverness ist gefragt!
Welchen Faktor haben die beiden Glieder des Therms 2x + 5xy gemeinsam ?
Richtig : Das x ! Deshalb kann man dieses auch ausklammern:
2x + 5xy = x · ( 2 + 5y )
--> Wichtig:
Wenn man die Klammer ausrechnen würde, müsste die ursprüngliche Aufgabe
herauskommen !
x · ( 2 + 5y ) = x · 2 + x · 5y = 2x + 5xy
Alles klar ?
Aufgabe 2 Klammere den gemeinsamen Faktor aus !
a)
13v + 24 zv
143gh - 156h
- 121hj - 110j
221ijk - 210 ik
111vb2 + 23bv
b)
16b - 45 bw
169mn + 182gm
- 191uvw - 182opv
- 323xz + 306zy
12d3 - 5d
c)
17x2yz3 + 21xz
16z7p8q3 - 35z4p2qh
- 11u9v3z6 - 36z3uv3
61b3c2a7 + 65 ba3c
13e2d4 - 11d2e2
26
Natürlich können zusätzlich auch Zahlen ausgeklammert werden !
18v + 18b = 18 · (v + b )
6a2 + 12ab = 6a · ( a + 2b)
14x - 21y = 7 · ( 2x - 3y )
Aufgabe 3
a)
12c + 24 y
144f - 156d
- 121hj - 110j
44efg + 24e2g
28ijk - 21 ik + 35k
b)
15zy - 45 by
169mn + 182gm
- 196uvw - 182opv
9zum + 3uzm
- 24uz + 30zy + 36vu
c)
18x2az3 + 21xz
14z7p8q3 - 35z4p2qh
- 13u9v3z6 - 36z3uv3
50m4n5 + 75n2m
25b3c2a7 + 65 ba3c - 45a2bc
Arbeitsblatt
13/03
--216
27
Klammer mal Klammer:
Du musst einfach nur die untere Aufgabe dir anschauen und verstehen. Dann kannst du alle
Aufgaben dieser Art lösen, denn sie lassen sich alle nach dem gleichen Schema knacken:
(a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d
(2x + 5) · (3 + 4y) = 2x · 3 + 2x · 4y + 5 · 3 + 5 · 4y = 6x + 8xy + 15 + 20y
--> Wichtig:
Vergiss nicht nachzuprüfen, ob man am Ende nicht noch weiter zusammenfassen
kann, wie es dieses Beispiel zeigt:
(3x + 7) · (2 + 5x) = 3x · 2 + 3x · 5x + 7 · 2 + 7 · 5x
=
6x + 15x2 + 14 + 35x
Schreibe dazu den Buchstaben mit dem höchsten Exponenten nach vorne:
15x2 + 6x + 35x + 14
Achtung:
=
15x2 + 41x + 14
Diese drei Zwischenschritte sind im Heft immer hinzuschreiben !
Aufgabe 1
Übertrage die Beispiele in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Rechenregeln !
a) ( 4x + 3y ) · ( 7x + 4y )
b) ( 8xy + 7yz ) · ( 2xz + 3yx )
( 7m + 8n ) · ( 9n + 6m )
( 9zx + 3zy ) · ( 7zx + 4zy )
( 9ba + 4cb ) · ( 5bc + 6ab ) ( 7ed + 3fe ) · ( 9ef2 + 8d2f )
Aufgabe 3
Natürlich funktioniert das auch mit negativen Thermen:
a) ( 4x - 3y ) · ( 7x - 4y )
b) ( 8xy - 7yz ) · ( 2xz - 3yx )
( 7m - 8n ) · ( 9n - 6m )
( 9zx - 3zy ) · ( 7zx - 4zy )
( 9ba - 4cb ) · ( 5bc - 6ab )
( 7ed - 3fe ) · ( 9ef2 - 8d2f )
Aufgabe 4
c) (5x2 + 3y ) · ( 2x +4y2 )
( 9h + 3g ) · ( 2h + 8g )
(g+h)·(g+h)
c) (5x2 - 3y ) · ( 2x - 4y2 )
( 9h - 3g ) · ( 2h - 8g )
(g-h)·(g-h)
Bei gemischten Thermen wird die Sache erst richtig interessant:
a) ( 4x + 3y ) · ( 7x - 4y )
b) ( 8xy + 7yz ) · ( 2xz - 3yx )
( 7m - 8n ) · ( 9n + 6m )
( 9zx - 3zy ) · ( 7zx + 4zy )
( 9ba + 4cb ) · ( 5bc - 6ab ) ( 7ed + 3fe ) · ( 9ef2 - 8d2f )
c) (5x2 + 3y ) · ( 2x - 4y2 )
( 9h - 3g ) · ( 2h + 8g )
(g-h)·(g+h)
Wie, die Zahlen und die Buchstaben sind in allen Aufgaben gleich ?
Und trotzdem kommt etwas unterschiedliches heraus ...
Stimmt !
Arbeitsblatt
14 /03
--217
28
Klammer mal Klammer: Übungsaufgaben
-8x + 3y) · (4x - 2y) = -8x · 4x + 8x · 2y + 3y · 4x - 3y · 2y =
-32x2 + 16xy + 12yx - 6y2
--> Wichtig:
Vergiss nicht das mittlere Glied zusammenzufassen:
- 32x2 + 28xy - 6y2
Aufgabe 1
Übertrage das Beispiel in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Rechenregeln !
a)
( 7x + 8y ) · ( 2x + 3y )
b)
(- 5y - 3a ) · ( 8a - 7y )
c)
( 9yx + 3zx ) · (3xy - 4zy )
( - 2d + 2c ) · ( 6d + 9c )
( 2e - 8f ) · ( 6d - 15e )
(- 3ns + 5m ) · ( 9ms - 8n )
( 9jf + 5rs ) · ( - 6jf + 4rs )
(- 9u - 24v ) · ( 8v + 14u )
( 6de + 7s ) · ( 6de - 9s )
(- 15w - 14q ) · (- 11h - 19s)
( 17a - 29b ) · (- 13b - 22c)
( 2qs - 4p ) · (- 8qs - 9p )
Aufgabe 3 Übertrage die Tabelle in dein Heft. Rechne jede Aufgabe aus und trage dann zur
besseren Übersicht das Ergebnis in die Tabelle ein:
·
( 3x + 4y )
( - 12y - 14x )
( 7x + 13y )
(- 16x - 11y )
( - 6x + 9 y )
( 2y - 4x )
(- x + 7y )
( 18x - 21y )
Aufgabe 4
Was passiert eigentlich, wenn beide Klammern die gleichen Therme enthalten ?
·
( 8x + 2y )
( 14y - 12x )
( 9x + 4y )
(- 8x - 3y )
( 8x + 2y )
( 14y - 12x )
( 9x + 4y )
(- 8x - 3y )
Arbeitsblatt
15 /03
--218
29
Klammer mal Klammer: Übungsaufgaben
(8x + 3y) · (8x + 3y) = 8x · 8x + 8x · 3y + 3y · 8x + 3y · 3y =
64x2 + 24xy + 24yx + 9y2
--> Wichtig:
Vergiss nicht das mittlere Glied zusammenzufassen:
64x2 + 48xy + 9y2
Solche Aufgaben kann man auch so schreiben:
(8x + 3y)2 = ?
Denn das Quadrat hinter der Klammer bewirkt ja wie bei a 2 = a · a ,
dass die Klammer mit sich selbst mal genommen werden muss:
(8x + 3y)2 = (8x + 3y) · (8x + 3y)
Übertrage das Beispiel in dein Heft !
DER GROßE LEHRERTEST
Teil 1
Jetzt bist nicht du gefragt, sondern deine Lehrerin oder dein Lehrer ! Du stellst Ihnen
einfach die Aufgaben aus der Tabelle und sie müssen dir die Lösung sagen.
Nimm dazu einfach einen Bleistift und trage diese Lösungen hier auf das Blatt ein:
( 8x + 2y )2
=
( 9x + 4y )2
( 4x + 2y )
=
( 14y - 12x )
=
( 8x - 13y )
( 6y - 4x )
2
2
( 3x + 12y )
2
( 15x - 4y )2
2
=
2
=
=
=
( 4x - 7y )
2
=
=
( 9x - 5y )2
=
So, alle Felder ausgefüllt ? Jetzt bist du dran: Rechne jede Aufgabe nach. Vergleiche
deine Lösungen mit denen deines Paukers !
Der Deal:
----> Nur wenn alle vorhergesagten Lösungen stimmen, musst du zusätzlich die Tabelle
in dein Heft abzeichnen und ausfüllen !
Arbeitsblatt
16 /03
--219
DER GROßE LEHRERTEST
Teil 2
Na, überrascht gewesen ? Kleiner Tipp: Da hat bestimmt jemand die Lösungen der
Aufgaben auswendig gelernt !
Deshalb solltet vielleicht ihr Schüler einmal die Aufgaben stellen ! Sammelt an der Tafel
10 Aufgaben. Und wieder muss eure Lehrerin oder euer Lehrer die richtigen Lösungen
vorhersagen !
Mach die Aufgaben nicht zu schwer, denn bedenke: Auch du musst sie rechnen !
(
)2
=
(
)2
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
(
)
=
(
2
)
=
(
2
)
=
(
)2
=
(
)2
=
2
2
2
2
Nimm wieder einen Bleistift und trage die Lösungen hier auf das Blatt ein.
So, alle Felder ausgefüllt ? Jetzt bist du dran: Rechne jede Aufgabe nach. Vergleiche
deine Lösungen mit denen deines Schulmeisters/deiner Schulmeisterin !
Der Deal:
----> Nur wenn alle vorhergesagten Lösungen stimmen, musst du zusätzlich die Tabelle
in dein Heft abzeichnen und ausfüllen !
Ach ja, solltest du verlieren, so musst du auch noch folgende Aufgaben lösen:
Aufgabe 1
·
( -18h - 9g )
( -15h + 8g )
( 21g - 7h )
( 6g + 5h )
( 5a + 12b )
( 14b - 18a )
( -4b + 7a )
( -9a - 17b )
( 6g + 5h )
( 21g - 7h )
( -15h + 8g )
( -18h - 9g )
Aufgabe 2
·
( 5a + 12b )
( 14b - 18a )
( -4b + 7a )
( -9a - 17b )
Arbeitsblatt
17 /03
--220
30
Klammer zum Quadrat:
Die Binomischen Formeln I
Tja, wie hat das dein Pauker nur gemacht ? Immer lag er/sie richtig ! Des Rätsels
Lösung ist ganz einfach : Er/sie hat die Binomischen Formeln verwendet !
„Was issen das ?”
Red mal anständig ! Das heißt: „Was ist denn das ?” !
Nun, das ist eine Formel, mit der du die Aufgaben von der Sorte ( a + b ) 2 im Kopf
lösen kannst:
( a + b ) 2 = a2 + 2 · a · b + b2
Überprüfe:
a
b
È
È
(8x + 3y)2 = (8x)2 + 2 · 8x ·
3y + (3y)2 =
64x2 + 48xy + 9y2
Ersetze einfach in der Formel das
a und das b durch den Wert in der Klammer !
Aufgabe 1
Übertrage den Kasten in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Regel !
a)
( 8a + 4b )
2
( 2c + 8d )
2
( 10e + 5f )
Aufgabe 3
a)
( 9i + 3j )
2
( k+m)
2
c)
( 21q + 14r )
2
( 2x + y )
2
( 5s + 10t ) · ( 5s + 10t )
( 15u + 5v ) · ( 15u + 5v )
( 15n + 30p )
2
( 25g + 5h )
( 2x + 2y )
b)
( 3w + 8x ) · ( 3w + 8x )
2
( y+z)·(y+z)
2
( y + 2x ) · ( y + 2x )
2
Nun erhöhen wir allmählich den Schwierigkeitsgrad !
( 3a + 4b )
( 9f + 5e)
b)
2
( g+r)
2
( 1,2g + 1,5z )
( 2,6w + 1,8h )
( 6x + 6y )
( 6s + 7r )
2
2
2
c)
2
( 5e + 0,6f ) · ( 5e + 0,6f )
2
( 1,5j + 2,4f )
( 0,6s + 0,4r )
( 6x + y )
( 4,2d + 3e ) · ( 4,2d + 3e )
2
2
2
( 7ge + 8he ) · ( 7ge + 8he )
( kh + 9mn ) · ( kh + 9mn )
( y + 6x ) · ( y + 6x )
Arbeitsblatt
18/03
--221
31
Klammer zum Quadrat:
Die Binomischen Formeln II
„Was issen eigentlich, wenn da nen Minus steht ?”
Red mal anständig ! Das heißt: „Was passiert eigentlich, wenn da ein Minus steht ?” !
Ganz einfach:
Das ist die Formel, mit der du die Aufgaben von der Sorte ( a - b ) 2 im Kopf lösen
kannst:
( a - b ) 2 = a2 - 2 · a · b + b2
Überprüfe:
a
b
È
È
(8x - 3y)2 = (8x)2 - 2 · 8x ·
3y + (3y)2 =
64x2 - 48xy + 9y2
Ersetze einfach in der Formel das
a und das b durch den Wert in der Klammer !
Aufgabe 1
Übertrage den Kasten in dein Heft !
Aufgabe 2
Denke an die Regel !
a)
( 4a - 8b )
2
( 9c - 2d )
2
( 5e - 15f )
Aufgabe 3
a)
( 3i - 9j )
2
( k-m)
2
c)
( 14q - 21r )
2
( 2x - y )
2
( 10s - 15t ) · ( 10s - 15t )
( 30u - 5v ) · ( 30u - 5v )
( 30n - 15p )
2
( 15g - 25h )
( 2x - 2y )
b)
( 7w - 8x ) · ( 7w - 8x )
2
( y-z)·(y-z)
2
( y - 2x ) · ( y - 2x )
2
Nun erhöhen wir allmählich den Schwierigkeitsgrad !
( 5a - 9b )
( 9f - 5e)
b)
2
( g-r)
2
( 1,5g - 1,2z )
( 2,8w - 1,6h )
( 4x - 4y )
( 7s - 6r )
2
2
2
c)
2
( 0,5e - 0,6f ) · ( 0,5e - 0,6f )
2
( 1,4j - 2,5f )
( 0,5s - 0,4r )
( 4x - y )
( 4,8d - 3e ) · ( 4,8d - 3e )
2
2
2
( 1,7g - 8h ) · ( 0,7g - 8h )
( 9kh - mn ) · ( 9kh - mn )
( y - 4x ) · ( y - 4x )
Arbeitsblatt
19 /03
--222
32
Klammer zum Quadrat:
Die Binomischen Formeln III
„Was issen eigentlich, wenn da beides steht ?”
Red mal anständig ! Das heißt: „Was passiert eigentlich, wenn da beides steht ?” !
Ganz einfach:
Das ist die Formel, mit der du die Aufgaben von der Sorte ( a + b ) · ( a - b ) im Kopf
lösen kannst:
( a + b ) · ( a - b ) = a 2 - b2
Überprüfe:
a
b
È
È
(8x + 3y) · (8x - 3y) = (8x)2 - 8x · 3y + 3y · 8x - (3y)2 =
64x2 - 9y2
Die mittleren Glieder heben sich gegenseitig auf !
Ersetze einfach in der Formel das
Aufgabe 1
a und das b durch den Wert in der Klammer !
Übertrage den Kasten in dein Heft !
Aufgabe 2 Der Malpunkt zwischen den Klammern steht da, aber du siehst ihn nicht, denn man
darf ihn weglassen !
a) ( 4a + 8b ) ( 4a - 8b )
b)
( 3i + 9j ) ( 3i - 9j )
c) ( 10s + 15t ) · ( 10s - 15t )
( 9c + 2d ) ( 9c - 2d )
( k-m)( k+m)
( 30u - 5v ) · ( 30u + 5v )
( 5e + 15f ) ( 5e - 15f )
( 30n + 5p ) ( 30n - 5p )
( 7w - 8x ) · ( 7w + 8x )
( 15g + 25h ) ( 15g - 25h )
( 14q + 21r ) ( 14q - 21r )
( y+z)·(y-z)
( 2x - 2y ) ( 2x + 2y )
( 2x + y ) ( 2x - y )
( y - 2x ) · ( y + 2x )
Aufgabe 3
Nun erhöhen wir allmählich den Schwierigkeitsgrad !
a) ( 5a + 9b ) ( 5a - 9b )
b)
( 7s + 6r ) ( 7s - 6r )
c) ( 8d + 3e ) · ( 8d - 3e )
( 9f + 5e) ( 9f - 5e)
( g-r)( g+r)
( 5e + 0,6f ) · ( 5e - 0,6f )
( 1,5g - 2z ) ( 1,5g + 2z )
( 1,4j - 5f ) ( 1,4j + 5f )
( 7g + 8h ) · ( 7g - 8h )
( 8w - 1,6h ) ( 8w + 1,6h )
( 5s + 0,4r ) ( 5s - 0,4r )
( 9k + mn ) · ( 9k - mn )
( 4x + 4y ) ( 4x - 4y )
( 4x + y ) ( 4x - y )
( y + 4x ) · ( y - 4x )
Arbeitsblatt
20 /03
--223
33A
Prüfe dein Wissen !
Zeitvorgabe: ____ Min.
Aufgabe 1
a) ( 7x + 8y ) · ( 2x + 3y )
b)
(- 5y - 3a ) · ( 8a - 7y )
c) ( 9yx + 3zx ) · (3xy - 4zy )
Aufgabe 2
a) ( 8a + 4b )
Aufgabe 3
a) ( 3a - 8b )
2
b) ( 9i + 3j )
2
b) ( 5i - 9j )
2
c) ( 5s + 10t ) · ( 5s + 10t )
c) ( 12s - 15t ) · ( 12s - 15t )
2
Aufgabe 4
a) ( 11a + 7b ) ( 11a - 7b )
-----
hier knicken
b) ( 15i + 20j ) ( 15i - 20j )
c) ( 14s + 13t ) · ( 14s - 13t )
------------------------------------------------------------------------------------------
33B
Prüfe dein Wissen - Lösungen
Aufgabe 1
a) 14x2 + 37xy + 24y2
b) 35y2 - 19ay - 24a2
c) 27x2y2 + 9zyx2 - 36y2zx - 12z2xy
Aufgabe 2
a) 64a2 + 64ab + 16b2
b) 81i2 + 54ij + 9j2
c) 25s2 + 100st +100t2
Aufgabe 3
a) 9a2 - 48ab + 64b2
b) 25i2 - 90 ij + 81j2
c) 144s2 - 360st + 225t2
Aufgabe 4
a) 121a2 - 49b2
b) 225i2 - 400j2
c) 196s2 - 169t2