Darstellung der Betriebsmittel

2
Darstellung der Betriebsmittel
Für die Beurteilung von stationären und transienten Strom- und Spannungsverhältnissen
in elektrischen Netzen ist die Nachbildung der Betriebsmittel wesentlich, da sich nur die
physikalischen Phänomene ergeben, die aufgrund der Betriebsmittelstruktur bzw. der charakteristischen Daten bei der Erstellung des Ersatzschaltbildes auch berücksichtigt werden. Aus diesem Grunde erfolgt in diesem Kapitel die Darstellung der Komponenten hinsichtlich ihrer Funktionsweise und der mathematischen Darstellung. Zusätzliche Angaben
zu den Betriebsmitteln sind in [18, 24, 29] aufgeführt.
2.1 Freileitung
Freileitungen werden in der elektrischen Energieversorgung in allen Spannungsebenen
eingesetzt und der wesentliche Vorteil der Verlegung von Freileitungen liegt in den gegenüber anderen Übertragungsmöglichkeiten geringeren Investitionskosten. Die Isolation
zwischen den unterschiedlichen Leitern ist ausschließlich Luft, so dass sich hierdurch die
Abstände in Abhängigkeit der Betriebsspannung ergeben.
2.1.1 Leitungsgleichungen
Im Allgemeinen wird eine Leitung durch die Leitungsgleichungen umschrieben, indem
die Anfangsgrößen ( UA, IA) durch die Endgrößen ( UE, IE) dargestellt werden. Diese Gleichungen gelten somit sowohl für Freileitungen, Kabel und gasisolierte Leitungen (GIL):
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015
G. Balzer, C. Neumann, Schalt- und Ausgleichsvorgänge in elektrischen Netzen,
DOI 10.1007/978-3-662-44547-1_2
5
6
2 Darstellung der Betriebsmittel
2.1.1.1 Ersatzschaltplan für lange Leitungen
Die Vierpolgleichungen für homogene Leitungen lauten, Gl. (2.1):

Z W1· sinh ( γ 1 ) U 
U1A   cosh ( γ 1 ·)

 ·  1E 
 = 
(2.1)

 
−1
 I 1A   Z W1

·sinh ( γ 1 ·)
cosh ( γ 1 ·)   I 1E 

Die Ableitung der Kettenmatrix, Gl. (2.1), ist ausführlich in Kap. 4.4 dargestellt. Die
Strom- und Spannungsgrößen sind entsprechend einzusetzen, Abb. 2.1 zeigt die dazugehörigen Vierpole für das Mit- und Nullsystem. Eine Leitung kann dann als homogen angesehen werden, wenn die Leitungsbeläge ( Rʹ, Lʹ, Gʹ, Cʹ) längs der Leitung konstant sind.
Für eine Reihenschaltung von verschiedenen Leitungen müssen die Kettenmatrizen
(K1) und (K2) nach Gl. (2.2) multipliziert werden.
U 
U1A 
U 
 = ( K1 ) ⋅  1B  = ( K1 ) ⋅ ( K 2 ) ⋅  1C 
(2.2)


 I 
 I1A 
 I1B 
1C
Für die Wellenwiderstände und Ausbreitungskonstanten gilt im Mitsystem:
Z W1 =
mit
γ1 = α1 + j 1 =
R1′ + jω ⋅ L′1
(2.3)
G1′ + jω ⋅ C1′
( R1′ + j w ⋅ L′1 ) ⋅(G1′ + j w ⋅ C1′ )
(2.4)
ZW1 Wellenwiderstand
α1
Dämpfungskonstante
γ1Ausbreitungskonstante
β1Phasenkonstante
Abb. 2.1 Vierpoldarstellung
der homogenen Leitung durch
eine Kettenmatrix. a Mitsystem. b Nullsystem
$
,$
8$
a
$
0LWV\VWHP
=: γ
,$
8$
b
,(
,(
1XOOV\VWHP
=: γ
(
8(
8(
(
2.1 Freileitung
7
Abb. 2.2 π-Ersatzschaltung
einer Leitung
$
8$
,$
=T
=O
,(
=T
(
8(
Ausgehend von den Vierpolgleichungen (2.1) lassen sich durch Koeffizientenvergleich
die Elemente der π-Ersatzschaltung (Abb. 2.2) bestimmen, die durch Gl. (2.5) beschrieben
ist.
 U 
Z

  1+ Z ⋅ Y q
  1E 
U1A  = 
(2.5)
 I  Y (2 + Z ⋅ Y ) 1 + Z ⋅ Y  ⋅  I 
1A
1E
q
q
 q
Ein Vergleich der Matrizen (2.1) und (2.5) liefert die Größen des π–Ersatzschaltbildes für
homogene Leitungen.
Z = Z W1 ⋅ sinh( γ1 ⋅ )
(2.6)
tanh( γ1 ⋅ /2)
cosh( γ1 ⋅ ) −1
=
Yq=
(2.7)
Z W1·sinh( γ1 ⋅ )
ZW1
Die Wirkkomponenten der Längsimpedanzen und Queradmittanzen können für Hochund Höchstspannungsleitungen zur Vereinfachung vernachlässigt werden, so dass sich für
den Wellenwiderstand ZW1 und die Ausbreitungskonstante γ1 nach den Gln. (2.3), (2.4)
folgende einfache Beziehungen ergeben:
(2.8)
Z W1 ≈ L′1 /C1′ γ1 ≈ j w L′1 ⋅ C1′
Nach Einsetzen der Induktivitäts- und Kapazitätsbeläge entsprechend den Gln. (2.64) und
(2.102) ergibt sich bei Vernachlässigung der inneren Induktivität und mit der Elektrizitätskonstanten εr = 1 (Luft) bei einer symmetrischen Leitung (gleiche Abstände zwischen den
Leitern):
Z W1 ≈
d  μ
1
⋅ ln  ⋅ 0

2π  r  ε 0
γ 1 ≈ jw ⋅ μ0 ⋅ ε 0 = j1
(2.9)
8
2 Darstellung der Betriebsmittel
mit:
μ0 = 4 π ⋅10−7
Vs
Am
−12
ε0 = 8.8542 ⋅10
Permeabilitätskonstante
As 
1
As 
⋅10−9

≈

Vm  36 ⋅ π
Vm 
Dielektrizitätskonstante
d
mittlerer geometrischer Abstand zwischen den Leitern
r
Leiterradius
Für die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit w/ ergibt sich:
w
1
=
=v
(2.10)
′

L ⋅ C′
Daraus folgt:
d
w 2π
Z W1 = 60Ω ⋅ ln
1 = w μ0 ε0 = =
(2.11)
λ
r
c
mit der Lichtgeschwindigkeit c =
1
μ0 ε0
(= 299.792 km/s) und der Wellenlänge λ.
Aufgrund der Verluste ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v1 = ω/β1 etwas geringer als
die Lichtgeschwindigkeit. Unter Berücksichtigung einer Betriebsfrequenz von f = 50 Hz
folgt für die Wellenlänge bzw. die Phasenkonstante nach Gl. (2.11):
λ=
2π
360°
6°
⋅ c ≈ 6000 km β1 ≈
=
ω
6000 km 100 km
Dieses bedeutet, dass sich der Winkel zwischen den Spannungen am Anfang und am Ende
einer Leitung sich um 6 ° pro 100 km Leitungslänge vergrößert. Für das Nullsystem lassen
sich entsprechende Beziehungen ableiten.
Bei einer verlustlosen Leitung kann die Matrix (2.1) wie folgt vereinfacht werden, indem die hyperbolischen Funktionen umgewandelt werden.
cosh( α ⋅ + j  ⋅ ) = cosh( α ⋅ ) ⋅ cos(  ⋅ ) + j sinh( α ⋅ ) ⋅ sin(  ⋅ )
(2.12)
sinh( α ⋅ + j  ⋅ ) = sinh( α ⋅ ) ⋅ cos(  ⋅ ) + j cosh( α ⋅ ) ⋅ sin(  ⋅ )
(2.13)
2.1 Freileitung
9
Mit α = 0 (verlustlos) folgt daraus für das Mitsystem:
jZ W1 ⋅ sin (1 ⋅ ) U1E 
U1A   cos (1 ⋅ )
⋅ 
 =  −1

(2.14)

 I 1A   jZ W1 ⋅ sin (1 ⋅ )
cos (1 ⋅ )   I1E 
Für die Elemente des π-Ersatzschaltplans nach den Gln. (2.6)–(2.7) ergibt sich entsprechend:
tan( 1 ⋅ /2)
Z = jZ W1 ⋅ sin( 1 ⋅ ) Y q = j
(2.15)
Z W1
Aus der Matrix (2.14) kann die Spannung am Ende einer verlustlosen Leitung ermittelt
werden, wenn diese Leitung nicht belastet ist ( IE = 0). Es ergibt sich dann für U1E:
U1A
U1A
U1E =
=
(2.16)
cos( 1 ⋅ ) cos( 2⋅λπ ⋅ )
mit =
λ
4
folgt
U1E → ∞.
Bei Leitungslängen von ca. 1500 km (= λ/4) bei f = 50 Hz tritt eine starke Erhöhung der
Spannung am Ende einer unbelasteten Leitung auf. Aus diesem Grunde ist bei Schwachlast eine lange Leitung mit Drosselspulen zu kompensieren, damit die Spannung unterhalb
der zulässigen Grenzen bleibt. Die kapazitive Spannungsanhebung am offenen Ende wird
als Ferranti-Effekt bezeichnet. Die verschiedenen Möglichkeiten der Kompensation werden in Abschn. 2.2.17 dargestellt.
2.1.1.2 Ersatzschaltplan für kurze Leitungen
Leitungen werden elektrisch als kurz bezeichnet, wenn die Bedingung ( γ ) < 1 erfüllt ist,
d. h., die Hyperbelfunktionen können durch die ersten Glieder der Taylor-Reihenentwicklung ausgedrückt werden, so dass gilt:
( γ · )3
( γ · ) 2 · n+1
(2.17)
sinh( γ · ) = ( γ · ) +
+…+
+…
3!
(2· n + 1)!
2
( γ · )
( γ · ) 2·n
(2.18)
cosh( γ · ) = l +
+…+
+…
2!
(2 · n)!
Wird die Reihenentwicklung nach dem 1. bzw. 2. Glied abgebrochen, so folgt daraus:
( γ · ) 2
(2.19)
sinh( γ · ) ≈ ( γ · )
cosh( γ · ) ≈ 1 +
2
10
2 Darstellung der Betriebsmittel
Für den relativen Fehler Frel bzw. die zugehörige Länge der Freileitung, gilt die Abschätzung, wenn Gl. (2.17) das zweite Glied vernachlässigt wird:
( γ · )3 /3!
≤ Frel
(2.20)
γ·
1
λ
≤ 6 ⋅ Frel ⋅ = 6 ⋅ Frel ⋅
(2.21)
γ
2⋅ π
Bei einer Wellenlänge von λ = 6000 km ergibt sich eine maximale Leitungslänge l = 405 km,
wenn ein Fehler von 3 % zugelassen wird. Diese Länge erhöht sich auf l = 523 km bei 5 %
Fehlergenauigkeit. Dieses bedeutet, dass Leitungen bis zu einer Länge als ein π-Element
nachgebildet werden können, wenn eine Frequenz von f = 50 Hz vorausgesetzt wird.
Die Elemente der π-Ersatzschaltung (Abb. 2.2) können für die kurze Leitung aus den
Gln. (2.6) und (2.7) abgeleitet werden, so dass sich ergibt:
1 + ( γ ⋅ ) 2 /2 −1
Z = ZW 1 ⋅ ( γ · ) = ( R1′ + j wL′1 ) ⋅ Yq =
= (G1′ + j w ⋅ C1′ ) ⋅
(2.22)
ZW 1 ⋅ ( γ ⋅ )
2
In Abhängigkeit der Freileitungslänge und der Art (z. B. verlustlos, kurz, verlustlos) können unterschiedliche Werte für die π-Ersatzschaltung nach Abb. 2.2 verwendet werden
(Tab. 2.1).
Mit Hilfe der Angaben nach Tab. 2.1 kann für die kurze Leitung eine π-Ersatzschaltung
(Abb. 2.3) abgeleitet werden.
Unter Berücksichtigung der Umwandlung in eine äquivalente T-Ersatzschaltung nach
Abschn. 12.1 kann Abb. 2.4 angegeben werden. Der Vergleich der beiden Ersatzschaltbilder zeigt, dass die π-Ersatzschaltung besser die physikalischen Gegebenheiten einer
Leitung beschreibt.
Unter Berücksichtigung der gebräuchlichen Werte für G und C sind die beiden Längsimpedanzen angenähert gleich groß.
Tab. 2.1 Elemente der π-Ersatzschaltung einer Leitung
Yq
Art
Zl
Kurz
( R1′ + j w · L′1 ) · Verlustlos
jZ W1 ⋅ sin( 1 ⋅ )
Lang
Z W1 ⋅ sinh( γ1 ⋅ )
Gleichung
(G1′ + j w ⋅ C1′ ) ⋅ / 2
Y q= j
tan( 1 ⋅ /2)
Z W1
tanh( γ1 ⋅ /2)
Z W1
2.22
2.15
2.6, 2.7
2.1 Freileitung
Abb. 2.3 π-Ersatzschaltung
einer kurzen Leitung (Längsund Queradmittanz)
11
$
*Mω&
Abb. 2.4 T-Ersatzschaltung
einer kurzen Leitung (Längsund Queradmittanz)
A
5Mω/
(
*Mω&
E
2.1.1.3 Ersatzschaltbild für transiente Berechnungen
Die Anzahl der π-Ersatzschaltungen für eine Leitung richtet sich nach der Frequenz, die
sich ergeben soll bzw. untersucht wird, hierdurch wird gleichzeitig deren Eigenfrequenz
festgelegt. Nach Gl. (2.23) ergibt sich für diese Frequenz für ein π-Glied mit der Länge ℓ:
1
fπ =
(2.23)
2 ⋅ π ⋅ ⋅ L′ ⋅ C′ /2
Als eine einfache Regel ergibt sich [20], dass bei einer gesuchten Frequenz von fπmax die
maximale Länge des π-Gliedes sein sollte:
1
1
⋅
max =
(2.24)
5 ⋅ f πmax
L′ ⋅ C′
mit
L‘ längenbezogene Induktivität der Freileitung (z. B. 0,8 mH/km)
C‘ längenbezogene Kapazität der Freileitung (z. B. 13,8 nF/km)).
Wenn nach Abschn. 4.1 Frequenzen in der Gruppe 1 von ca. 1 kHz zu erwarten sind, beträgt die Länge ℓ eines π-Gliedes:
12
2 Darstellung der Betriebsmittel
max =
1
1
⋅
= 60, 2 km
5 ⋅1kHz 0,8 mH ⋅13,8 nF
Dieses bedeutet, dass die maximale Länge eines π-Gliedes ℓ = 60,2 km für eine Simulation
betragen sollte.
2.1.2 Berechnung der Resistanz
Bei elektrischen Berechnungen werden bei Freileitungen der Wirkwiderstand des Al-Anteils und der Füllfaktor berücksichtigt. Tabelle 2.2 enthält Abmessungen, Wirkwiderstände
RL′ bei 20 °C und Dauerstrombelastbarkeiten Id von einigen Al/St-Freileitungsseilen. Die
Dauerstrombelastbarkeit berücksichtigt eine Seilendtemperatur von 80 °C, eine Umgebungstemperatur von 35 °C, eine Windgeschwindigkeit von 0,6 m/s und Sonneneinstrahlung. Die in der Tab. 2.5 angegebenen Widerstände Rʹ können mit Hilfe von Gl. (2.25) auf
andere Leitertemperaturen umgerechnet werden.
(2.25)
R′t = R′ [1 + α (t − 20°C )]
mit
1
R′ =
(2.26)
κ20 ⋅ A
κ20 elektrische Leitfähigkeit bei 20 °C ( κ20 ≈ 34,5 m/Ω mm2, Aluminium)
α Temperaturkoeffizient ( α = 0,004 (1/K))
A
Leiterquerschnitt
Tab. 2.2 Daten von Al/St-Freileitungsseilen, nach DIN 48204 ( Rʹ bei t = 20 °C)
Querschnitt/mm2
r/mm
( Rʹ/Ω/km
50/8
4,80
0,595
120/20
7,75
0,237
185/30
9,50
0,157
210/35
10,15
0,138
240/40
10,90
0,119
265/35
11,22
0,109
300/50
12,25
0,095
380/50
13,50
0,076
490/65
15,30
0,059
680/85
18,00
0,043
r Radius des Leiterseils, R′ Resistanzbelag, Id Dauerstrom
Id/A
210
410
535
590
645
680
740
840
960
1150
2.1 Freileitung
13
Als Folge des magnetischen Wechselfeldes entstehen zusätzliche Leiterströme, die die
Resistanz verändern. Nähere Angaben sind in Abschn. 2.1.12 aufgeführt.
2.1.3 Berechnung der Induktivität
Zur Berechnung der Induktivitäten L einer Leiterschleife wird die Methode der mittleren
geometrischen Abstände (mgA) benutzt, die in ihrem Grundsatz bereits von Maxwell behandelt wurde. Zur Ermittlung der Gegeninduktivität zwischen zwei Leiterschleifen wird
das Linienleitermodell nach Abb. 2.5 betrachtet, in dem die Leiter 1 und 2 die Leiterschleife I und die Leiter 3 und 4 die Leiterschleife II darstellen [27, 29].
In den Leitern 1 und 2 sollen die Ströme + iI und − iI fließen. Für die Gegeninduktivität
M gilt:
Φ
(2.27)
Φ = ∫ B ⋅ dA
M=
I
B = μ0 ⋅ μr ⋅ H
(2.28)
mit
Φ
H
B
magnetischer Fluss
magnetische Feldstärke
magnetische Flussdichte (Induktion)
Abb. 2.5 Leiterschleifen I und
II zur Ermittlung der Koppelinduktivität MI, II. Schleife I aus
den Leitern 1–2. Schleife II aus
den Leitern 3–4
+,V
V
,,
V
,,
14
2 Darstellung der Betriebsmittel
Das magnetische Feld der Schleife I ergibt sich aus der Überlagerung der beiden Felder
der Leiter 1 und 2. Für den Fluss Φ1, erzeugt vom Leiter 1, der die Leiterschleife II durchsetzt, gilt:
s14
Φ1 = μ0 ⋅ μr ⋅ ∫ H1 ⋅ ds
(2.29)
s13
Unter Berücksichtigung der Beziehung für die magnetische Feldstärke H linienförmiger
unendlich langer Leiter folgt mit
i
H=
(2.30)
2⋅ π ⋅ s
s
14
m0 ⋅ mr
i
s
μ
μ
Φ
=
⋅
⋅
⋅
(2.31)
1
0
r
∫ 2 ⋅ pI ⋅ s ds = 2 ⋅ p ⋅ iI ⋅ ⋅ ln s1413
s
13
Für den Fluss Φ2, hervorgerufen durch den Leiter 2, gilt entsprechend (− i1):
μ ⋅μ
2⋅ π
s
s23
Φ 2 = − 0 r ⋅ iI ⋅ ⋅ ln 24
(2.32)
Die Überlagerung der Flüsse Φ1 und Φ2 liefert den Gesamtfluss, der die Leiterschleife II
durchsetzt.
s ⋅s
μ ⋅μ
Φ I, II = Φ1 + Φ 2 = iI ⋅ 0 r ⋅ ⋅ ln 14 23
(2.33)
2⋅ π
s13 ⋅ s24
Hieraus ergibt sich die Gegeninduktivität zwischen den beiden Leiterschleifen I und II zu:
Φ I, II
s ⋅s
μ ⋅μ
M I, II =
= 0 r ⋅ ⋅ ln 14 23
(2.34)
iI
2⋅ π
s13 ⋅ s24
Wegen sik = ski ist die Gegeninduktivität MI, II identisch mit MII, I. Gleichung (2.34) gilt für
Leiterschleifen aus linienförmigen unendlich langen Leitern und näherungsweise auch
für reale Leiter mit endlichem Querschnitt, wenn die Querschnitte klein gegenüber dem
gegenseitigen Abstand sind. Die Gleichung zur Bestimmung der Gegeninduktivität ist jedoch nicht zur Ermittlung der Selbstinduktivität geeignet. Der Übergang von der Gegeninduktivität auf die Selbstinduktivität ist dann möglich, wenn endliche Querschnitte der
Leiter berücksichtigt und die mittleren geometrischen Abstände g zwischen Leitern mit
flächenförmigen Querschnitt in Gl. (2.34) eingeführt werden. Die Maxwell’sche Induktivitätsgleichung lautet dann:
2.1 Freileitung
15
Abb. 2.6 Mittlerer geometrischer Abstand zwischen den
Linienleitern 1 und 2
$ Q∆ $
/HLWHU
/HLWHU
μ ⋅μ
g ⋅g
M = 0 r ⋅ ⋅ ln 14 23
(2.35)
2⋅ π
g13 ⋅ g 24
Für den mittleren geometrischen Abstand g zwischen den Leitern 1 und 2 gilt nach
Abb. 2.6, wenn die Fläche A2 in n Teilflächen zerlegt wird:
g12 ≈ n s1 ⋅ s2 ⋅ s3 … sn−1 ⋅ sn
(2.36)
Aus Gl. (2.36) ergibt sich durch Logarithmieren und Erweitern mit Δ A2 = A2/n
1
1
ln g12 ≈
ln s dA2
⋅ [ln s1 + ln s2 +… ln sn ] ⋅∆A2 =
⋅
(2.37)
n ⋅∆A
A ∫
2
2
A2
Analog ermittelt sich der mittlere geometrische Abstand zwischen den Leitern 1 und 2
für den Fall, dass auch der Leiter 1 aus mehreren Teilflächen dA1 besteht, so dass sich für
diesen Fall ergibt:
1
ln g12 =
⋅ ∫ ln s dA2 dA1
(2.38)
A1 ⋅ A2 ∫
A A
1
2
Fallen im Gegensatz zu der oben angegebenen Betrachtung die Leiter 1 und 2 zu einem
Leiter mit der Fläche A zusammen, so bestimmt sich der mittlere geometrische Abstand
eines Leiters von sich selbst zu
1
ln g11 = 2 ∫ ∫ ln s dA dA
(2.39)
A A A
Tabelle 2.3 enthält eine Zusammenstellung der mittleren geometrischen Abstände einfacher Querschnittsanordnungen, die zur Berechnung der Induktivitäten von Leiteran-
16
2 Darstellung der Betriebsmittel
ordnungen benötigt werden. Während in dem vorherigen Beispiel die Gegeninduktivität
von zwei Leiterschleifen bestimmt wird, kann nach den gleichen Überlegungen auch die
Selbstinduktivität einer Leiterschleife ermittelt werden, indem zwei Leiterschleifen nach
Abb. 2.5 zusammenfallen (3 → 1; 4 → 2), so wird mit g14 = g12; g23 = g12; g13 = g11; g24 = g22
aus Gl. (2.35):
μ ⋅μ
g12
(2.40)
L = 0 r ⋅ ⋅ ln
2
2⋅ π
g11 ⋅ g 22
In diesem Fall wird mit L die Selbstinduktivität einer Leiterschleife bezeichnet. Sind die
beiden Leiter 1 und 2 gleich, dieses bedeutet r1 = r2, so gilt mit g11 = g22 (Hin- und Rückleiter):
μ ·μ
g
L = 0 r ⋅ ⋅ ln 12
(2.41)
π
g11
Besteht eine Leiterschleife aus zwei gleichen Leitern mit kreisförmigem Querschnitt
(Radius r) und dem Abstand s = d, so ergibt sich unter Berücksichtigung der Werte nach
Tab. 2.3.
(2.42)
g12 = d und g11 = r ⋅ e−1/ 4

μ ⋅μ
μ ⋅μ
d
d
L = 0 r ⋅ ⋅ ln −1/ 4 = 0 r ⋅ ⋅ 0, 25 + ln  = Li + La
(2.43)

r
π
π
r·e
mit
Li
La
innere Induktivität
äußere Induktivität
Die innere Induktivität eines Leiters verändert sich bei hohen Frequenzen aufgrund der
Stromverdrängung (Abschn. 2.1.12). Mit steigender Frequenz wird der Summand in
Gl. (2.43) zu null. Zur Bestimmung der Induktivitäten ist jeweils die innere bzw. die äußere Permeabilität zu berücksichtigen. Während die äußere Induktivität nur den Raum
zwischen den beiden parallelen Leitern betrachtet, berücksichtigt die innere Induktivität
noch das Feld innerhalb des Leiters.
Als Folge des magnetischen Wechselfeldes entstehen zusätzliche Leiterströme, die die
Induktivität verändern. Nähere Angaben sind in Abschn. 2.1.12 aufgeführt.
2.1 Freileitung
17
Tab. 2.3 Mittlere geometrische Abstände von einfachen Anordnungen
Nr. Anordnung
mgA
Berechnungsgleichung
für mgA
Gleichung
Kreisfläche von sich selbst
g11 = r ⋅ e−1/ 4 = 0, 7788 ⋅ r
(2.44)
g11 = r
(2.45)
g12 = r
(2.46)
g12 = s
(2.47)
1
U
2
Kreislinie von sich selbst
U
3
U
4
Beliebige Fläche 1 gegen
umschreibende Kreislinie
V
5
D
6
D
im Inneren feldfrei, keine
innere Induktivität
Punkt-Kreislinie
Kreisfläche-Kreisfläche
Kreislinie-Kreislinie
s: Schwerpunktabstand
Strecke von sich selbst
g11 = a ⋅ e−3/ 2 = 0, 22313 ⋅ a (2.48)
Quadrat von sich selbst
g11 = 0, 447049 ⋅ a
(2.49)
Quadrat-Quadrat
s = a
g12 ≈ 1, 00655 s fur
s ≥ 2a
g12 ≈ s fur
(2.50)
Bündelleiter mit n Teilleitern
von sich selbst, Beispiel n = 4
g11 = n nre−1/ 4 rT n−1
(2.51)
D
7
V
D
D
D
D
8
U
G
U7
= rBe−1/ ( 4 n )
rT Teilkreisradius
rB Bündelleiterradius
(s. 2.65)
2.1.4 Mitimpedanz
Im Allgemeinen wird die Mitimpedanz einer Drehstromfreileitung unter Berücksichtigung der geometrischen Anordnung nach Abb. 2.7 betrachtet, wobei d der Abstand zwischen den Leitern und h die Höhe eines Leiters über der Erde ist.
18
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.7 Leiteranordnung
zur Bestimmung der Induktivität und Kapazität einer
Drehstromleitung
7
5
U
6
G
K
(UGH
Zur Berechnung der Mitimpedanz werden in einem ersten Schritt die Kapazitäten einer
Leitung nicht berücksichtigt, so dass nur die Resistanz und die Induktivität bestimmt werden. Die Kapazität einer Leitung ermittelt sich nach Abschn. 2.1.7. Für die Leiter-ErdeSpannungen UR, US und UT in Matrizenschreibweise gilt für eine Freileitung mit kurzgeschlossenem Leitungsende nach Abb. 2.8a:
U R   Z11 Z12 Z13   I R 
  
  
U  =  Z
Z 22 Z 23  ⋅  I S 
(2.52)
S
21

  
 
U T   Z 31 Z 32 Z 33   IT 
mit
Z vv = Rv + jw Lvv Z vμ = jw Mvμ
(2.53)
Abb. 2.8 Mit- und Nullimpedanz einer Drehstromfreileitung (ohne Kapazitäten).
a Mitsystem. b Nullsystem
, ,5
5
6
= 8,
7
8 85
(UGVHLO
a
5
, ,5
= 8,
6
7
,
b
8 85
,
2.1 Freileitung
19
Abb. 2.9 Leiter R, S und T
einer Drehstromleitung in der
(gedachten) gemeinsamen
Hülle A
+OOH$VWURPORV
G$
5
7
U
6
G(
(UGH
G56
Da bei der Induktivitätsberechnung stets Leiterschleifen betrachtet werden müssen, wird
für die Anordnung nach Abb. 2.9 angenommen, dass der Rückleiter für jeden Leiter R, S
und T eine gemeinsame Hülle mit dem Radius dA ist. Der Vorteil dieser Anordnung besteht
darin, dass die Summe aller Ströme, die somit im gemeinsamen Hüllleiter fließen, null ist,
so dass im Ergebnis der Impedanzberechnung der Radius der gedachten Hülle nicht mehr
erscheint.
In diesem Fall gilt für den Belag der Selbstinduktivität des Leiters ν in der Hülle A nach
Gl. (2.40) mit g12 = dA (Gl. 2.46), g11 = rν e−1/4 (Gl. 2.44) und g22 = dA (Gl. 2.45):
Lnn =

 μ
d
 μ

μ0
d A2
d 
0
⋅ ⋅ ln 
⋅ ⋅ ln  A ⋅ e1/4  = 0 ⋅ ⋅ 0, 25 + ln A 
 =
1/4
−
 rn ⋅ e
rn 
2π
 rn
 2 π

⋅ dA  2π
mit
(2.54)
dA Radius der Hülle
rν Radius des Leiters ν
Für die Kopplung Mνμ zweier Leiter R(1) und S(3) innerhalb der Hülle mit dem Radius
dA ergibt sich nach Gl. (2.35), wenn der Rückleiter jeweils die gemeinsame Hülle ist (2,
4 nach Abb. 2.5) mit g14 = dA (Gl. 2.46), g23 = dA (Gl. 2.46), g24 = dA (Gl. 2.48) und g13 = dνμ
(Gl. 2.47):
μ
d
M n μ = o ⋅ ⋅ ln A
(2.55)
dn μ
2π
Bei der Herleitung der Gl. (2.59) werden folgende Leiterschleifen betrachtet:
20
2 Darstellung der Betriebsmittel
• 1–4 (2) R und Hülle
• 3–2 (4) S und Hülle
Für die erste Zeile des Gleichungssystems (2.52) ergibt sich unter Berücksichtigung der
Strombedingungen:
I R + I S+ I T = 0
(2.56)
(2.57)
IT= a⋅IR
I S = a2 ⋅ I R
3
1
3
1
(2.58)
a =− + j
a2 = − − j
2
2
2
2


 1
 1

3 
3  
 ⋅ I bzw.
UR = 
+ Z13 ⋅ − + j
(2.59)
Z11 + Z12 ⋅ − − j
 R




2
2
2
2





 



1
3
⋅ [ Z13 − Z12 ] ⋅ I R
U R = Z11 − ⋅ [ Z12 + Z13 ] + j
(2.60)


2
2


Nach Einsetzen der Gln. (2.57) bis (2.59) in das Gleichungssystem (2.56) folgt dann für
die Impedanzen der drei Leiter R, S und T:

d RS ⋅ d RT 
μ
μ
d
Z R = RR + w ⋅ 0 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ln RT + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln
(2.61)

d RS
rR
4· π
2π



d RS ⋅ dST 
d
μ
μ
ZS = RS + w ⋅ 0 ⋅ 3 ⋅ ln RS + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln
(2.62)

4· π
dST
2· π
rS



d RT ⋅ dST 
d
μ
μ
Z T = RT + w ⋅ 0 ⋅ 3 ⋅ ⋅ ln ST + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln
(2.63)

4· π
d RT
2π
rT


Mit
dRS, dRT, dST Abstand zwischen den Leitern
rR, rS, rT
Radien der Leiter
Werden für eine Einebenenanordnung, d. h., alle Leiter befinden sich in einer Ebene, folgende Kennwerte angenommen (Einebenenanordnung einer 110-kV-Freileitung):
2.1 Freileitung
21
d12 = d 23 = 4 m; d13 = 8 m
rv = 10, 95 mm (Tabelle 2.2, 240/40 mm 2 )
RR′ = RS′ = RT′ = 0,119Ω / km
μ0 = 4 ⋅ π ⋅10−7 ⋅
Vs
Am
so ergeben sich folgende Impedanzbeläge:
Z R′ = [0,119 + 0, 038 + j 0,130] ⋅ Ω /km
ZS′ = [0,119 + j 0,123] ⋅ Ω /km
Z T′ = [0,119 − 0, 038 + j 0,130] ⋅ Ω /km
Die Ergebnisse der Impedanzberechnung verdeutlichen, dass bei einer unsymmetrischen
Anordnung der Leiter die Resistanzen und Induktivitäten der einzelnen Leiter unterschiedlich sind und somit zu einer Spannungsunsymmetrie am Leitungsende führen, wenn
symmetrische Ströme angenommen werden. Wenn im Gegensatz zu der Anordnung nach
Abb. 2.7 die Abstände zwischen den Leitern gleich groß sind, so folgt mit Z 12 = Z 13 für
die erste Zeile des Gleichungssystems (2.52) bzw. für Gl. (2.60):


μ0
d 

U
⋅ ⋅ 0, 25 + ln  ⋅ I R = [ R R + j w ⋅ Lb ] ⋅ I R
(2.64)
R = ( Z 11 − Z 12 ) ⋅ I R =  R R + j w ⋅


r 
2· π

Der Ausdruck Lb wird als Betriebsinduktivität einer Leitung bezeichnet und stellt den
Mittelwert der Impedanzen nach Gln. (2.61) bis (2.63) dar, der auch als Mitimpedanz der
Freileitung bezeichnet wird.
2.1.5 Induktivitäten von Bündelleitern
Zur Reduktion der Randfeldstärke an der Oberfläche von Leiterseilen werden in der Hochspannungsebene Bündelleiter (Tab. 2.3) eingesetzt. Hierbei führt jeder der n Teilleiter des
Bündels den Strom I/n, so bestimmt sich die Betriebsinduktivität zu:
 0, 25
μ
d
Lb = 0 ⋅ ⋅ 
+ ln 
(2.65)
2⋅ π
rB 
 n
Der Ersatzradius des Bündelleiters rB ermittelt sich nach Tab. 2.3 zu:
(2.66)
rB = n n ⋅ r ⋅ rTn−1
22
2 Darstellung der Betriebsmittel
mit
r Radius eines Teilleiters
rT Radius des Teilkreises (Tab. 2.3)
n Anzahl der Bündelleiter
Aus Gl. (2.65) ist ersichtlich, dass ein größerer Ersatzradius rB eine kleinere Betriebsinduktivität hervorruft. Wenn bei zwei Systemen eine annähernd gleiche Stromtragfähigkeit
angenommen werden soll, so ergeben sich nach Tab. 2.2 folgende Möglichkeiten:
• System • System
I:
II:
2 × 120/20 mm2 ( Id = 2 × 410 A)
1 × 380/50 mm2 ( Id = 840 A)
Für den Ersatzradius rB ( n = 2) des Systems I ergibt sich nach Gl. (2.70), bei rT = 200 mm;
r = 7,75 mm:
rB = 2 ⋅ 7, 75 ⋅ 200 = 55, 68mm
Für den Radius r des Systems II ergibt sich nach Tab. 2.2 ein Wert von r = 13,5 mm. Bei
einem Abstand der Leiter von d = 5 m folgt für das Verhältnis der Impedanzen:
LBI
0, 25 / 2 + ln(5000 / 55, 68)
=
= 0, 75
LBII
0, 25 + ln(5000 / 13, 50)
Durch die Anwendung des Bündelleitersystems verringert sich die Betriebsinduktivität
auf ca. 75 %. Dieses bedeutet, dass sich der Spannungsfall auch um 25 % vermindert.
2.1.6 Nullimpedanz
Während bei der Berechnung der Betriebsinduktivität das Feld zwischen den Leitern zugrunde gelegt wird, ist für die Berechnung der Nullinduktivität das Feld zwischen den
Leitern und Erde entscheidend. Hierbei geht man von der Schleifenimpedanz einer „unendlich“ langen Leitung mit Rückleitung über Erde nach Abb. 2.10 aus. Die Erdausbreitungswiderstände RA, RB können bei dieser Betrachtung vernachlässigt werden.
Zu beachten ist, wie in der Abb. 2.10 dargestellt, dass die Eindringtiefe des Rückstroms
im Erdreich dE wesentlich größer als die Freileitungslänge h ist, welches für den Bereich
der üblichen Betriebsfrequenzen von Freileitungen zutrifft.
Für die Berechnung der Nullimpedanz wird der Erdrückleiter als ein zusätzlicher Hüllzylinder mit dem Radius dE innerhalb der Hülle A (Abb. 2.9) angenommen. Für die induzierten Längsspannungsbeläge 1–3 (Leiter) und 4 (Erde) ergibt sich das Gleichungssystem
(2.67):
2.1 Freileitung
23
,0
80
K K0DVWIPD[
$
(
G(!!K
5$
5(
6 ,0
Abb. 2.10 Ersatzschaltbild zur Berechnung der Schleifenimpedanz Leiter – Erde. dE Erdstromtiefe des Rückstroms, RA, RE Widerstände der Erdungsanlagen, h mittlere Leiterseilhöhe, Rʹ Resistanzbelag des Leiters, ρE spezifischer Erdwiderstand, hMast Leiterseilhöhe am Mast, fmax maximaler
Durchhang
U 01   Z 011 Z 012 Z 013 Z 014   I 1

 
  
U   Z
Z 022 Z 023 Z 024   I 2
02
021


=
⋅ 
(2.67)
U 03   Z 031 Z 032 Z 033 Z 034   I 3


 
  
U 04   Z 041 Z 042 Z 043 Z 044   I 4
mit
I 1 = I 2 = I 3 = I 0 und I 4 = −3 ⋅ I 0 (nach Abb. 2.8b)
Werden die Längsspannungen U01, U02 und U03 auf die Spannung U04 bezogen, so ergibt sich für die erste Zeile des Gleichungssystems (2.67):
(2.68)
U
01 − U 04 = U 0 = I 0·( Z 011 + Z 012 + Z 013 − Z 041 − Z 042 − Z 043) + I 4 ⋅ ( Z 014 − Z 044 )
Gleichung (2.68) gilt nur für symmetrische Freileitungen, da im Prinzip bei einem unsymmetrischen Betriebsmittel drei verschiedene Leitergleichungen abgeleitet werden können.
In diesem Fall sind mit Hilfe des Gleichungssystems (2.67) sämtliche Ströme I1, I2 und I3
identisch. Für die einzelnen Impedanzen gilt für ν, µ = 1, 2, 3, entsprechend den Gln. (2.54,
Selbstinduktivität) und (2.55, Gegeninduktivität):

μ
d 
..
Z 0vv = Rv + jw ⋅ 0 ⋅ ⋅ 0, 25 + ln A  (Selbstinduktivitat: Leiter)
(2.69)


2·π
rv 

24
2 Darstellung der Betriebsmittel
Z 0vm = jw ⋅
μ0
2·π
⋅ ⋅ ln
dA
..
(Gegeninduktivitat: Leiter-Leiter)
d vμ
(2.70)
..
μ
d
Z 04 μ = Z 0v 4 = jw ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln A (Gegeninduktivitat: Leiter-Erde)
(2.71)
dE
2·π
..
w ⋅ μ0 ⋅ μ
d
Z 044 =
+ jw ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln A (Selbstinduktivitat: Erde)
(2.72)
dE
8
2·π
1,85
mit der Erdstromtiefe
dE =
(2.73)
μ0 ⋅ w/ρ E
und dem Radius dA der stromlosen Hülle und den Abständen dνµ zwischen den Leitern.
Der Wirkwiderstandsbelag der Rückleitung ( ω · µ0/8 ≈ 50 Ω m/km bei f = 50 Hz) ist
unabhängig von der Leitfähigkeit des Erdbodens. Die Erdstromtiefe dE kann als Abstand
eines fiktiven Erdrückleiters von der Erdoberfläche gedeutet werden, der die gleiche Induktivität der Leiterschleife hervorruft, wie die tatsächliche Stromverteilung. Bei Al/
St-Seilen ist für die relative Permeabilität µr zur Bestimmung der inneren Induktivität
µr ≈ 5–10 (einlagig) einzusetzen. Bei mehrlagigen Al/St-Seilen und bei Al- und Cu-Leitern
gilt µr ≈ 1. Die spezifische Leitfähigkeit κE des Erdbodens kann der Tab. 2.4 entnommen
werden.
Wird vereinfachend für die Abstände dνμ gesetzt
dn μ = 3 d RS ⋅ d RT ⋅ dST = d
(2.74)
so folgt aus Gl. (2.68)
U 0 = ( Z 011 + 2 ⋅ Z 012 − 3 ⋅ Z 014) ⋅ I 0 + ( Z 014 − Z 044) ⋅ I 4 bzw.
(2.75)
Tab. 2.4 Anhaltswerte für die Erdstromtiefe dE in Abhängigkeit der Leitfähigkeit κE des Erdbodens
bei f = 50 Hz [5, 19, 29]
Art des
Schwemm- Ton Poröser Kalk- Quarz, fester Kalk Granit, Gneis, toniger
Schiefer
sandstein,
Erdreichs
land,
Tonschiefer,
nach
Mergel,
Lehm-, Ton-,
Moorboden
Ackerboden
VDE 0228
Feuchter Feuchter Trockener
Steiniger
und CCITT
Sand
Kies
Sand und Kies Boden
ρE/Ω · m
κE/µS/cm
dE/m
30
333
510
50
200
660
100
100
930
200
50
1320
500
20
2080
1000
10
2940
3000
3,3
5100
2.1 Freileitung
25
(2.76)
U0
= Z 0 = ( Z 011 + 2 ⋅ Z 012 − 6 ⋅ Z 014 + 3 ⋅ Z 044 )
I0
Nach Einsetzen folgt für die Nullimpedanz Z0:

μ
μ
d E 
Z 0 = R1 + 3 ⋅ w ⋅ 0 ⋅ + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ 0, 25 + 3 ⋅ ln
(2.77)

3
8
2· π

r ⋅ d 2 
Bei der Ermittlung der Nullimpedanz einer Freileitung mit einem zusätzlichen Erdseil
wird das Gleichungssystem (2.67) um eine fünfte Spalte bzw. Zeile erweitert. Es ergibt
sich dann:
U 01   Z 011 Z 012 Z 013 Z 014 Z 015   I1 

 
  
U   Z
Z 22 Z 023 Z 024 Z 025   I 2
02
021


 
 
U 03  =  Z 031 Z 032 Z 033 Z 034 Z 035  ⋅  I 3
(2.78)
 
  

U 04   Z 041 Z 042 Z 043 Z 044 Z 045   I 4

  

 
U 05   Z 051 Z 052 Z 053 Z 054 Z 055   I 5
In diesem Gleichungssystem stellen die Zeilen 1–3 die Längsspannungen der Leiter R, S
und T dar, während U04 die Spannung des Erdseils D und U05 die Längsspannung über der
Erde ist. Werden analog zur Gl. (2.68) die Werte auf die Spannung Leiter – Erde bezogen,
so ergibt sich für die erste Zeile unter Berücksichtigung der Beziehungen:
3⋅ I 0 + I 4 + I 5 = 0
(2.79)
U
(2.80)
01 − U 05 = U 0 = ( Z 011 + 2 ⋅ Z 012 − 6 ⋅ Z 015 + 3 ⋅ Z 055) ⋅ I 0 + ( Z 014 − 2 ⋅ Z 015 + Z 055 ) ⋅ I 4
Für die Spannung längs des Erdseils gilt entsprechend:
U 04 −U 05 = (3 ⋅ Z 014 − 6 ⋅ Z 015 + 3 ⋅ Z 055 ) ⋅ I 0 + ( Z 044 + Z 055 − 2 ⋅ Z 015 ) ⋅ I 4
(2.81)
Da das Erdseil regelmäßig geerdet ist (an jedem Mast), gilt für die Spannung U04 − U05 = 0,
so dass sich hieraus der Strom berechnen lässt, der im Erdseil fließt.
3 ⋅ ( Z 055 + Z 014 − 2 ⋅ Z 015 )
I4=−
⋅ I0
(2.82)
Z 044 + Z 055 − 2 ⋅ Z 015
Nach Einsetzen in (2.81) folgt daraus:
3 ⋅ (Z055 + Z014 − 2 ⋅ Z015 ) 2
Z0E = (Z011 + 2 ⋅ Z012 − 6 ⋅ Z015 + 3 ⋅ Z 055 ) −
(2.83)
Z044 + Z055 − 2 ⋅ Z
015
26
2 Darstellung der Betriebsmittel
Für die einzelnen Ausdrücke gelten die Beziehungen unter Berücksichtigung der Bedingungen (2.69) bis (2.72) (zusätzlich eines 5. Leiters).

μ
μ
d E 
Z 011 + 2 ⋅ Z 012 + 3 ⋅ Z 055 − 6· Z 015 = R1 + 3 ⋅ w ⋅ 0 ⋅ + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + 3 ⋅ ln
(2.84)

3
8
2· π

r ⋅ d 2 
μ
μ
d
Z 055 + Z 014 − 2 ⋅ Z 015 = w ⋅ 0 ⋅ + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln E
(2.85)
dD
8
2· π

μ
μ
d 
Z 044 + Z 055 − 2 ⋅ Z 015 = RD + w ⋅ 0 ⋅ + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln E 
(2.86)

rD 
8
2· π

mit
dD
mittlerer geometrischer Abstand zwischen Phasen- und Erdseil
Ausgehend von den Beziehungen (2.84) bis (2.86) kann für (2.83) geschrieben werden:
Z 0E = Z 0 − 3 ⋅
2
Z aD
Z 0D
(2.87)
mit
Z0E Nullimpedanz der Einfachleitung mit Erdseil
Z0 Nullimpedanz der Einfachleitung ohne Erdseil
ZaDKoppelimpedanz zwischen dem Stromkreis a (R, S, T) und dem Erdseil D mit
Rückleitung über Erde
Z0D Impedanz des Erdseils mit Rückleitung über Erde.
Die oben dargestellten Überlegungen lassen sich auch auf die Nullimpedanzen von Doppelleitungen mit einem oder mehreren Erdseilen erweitern.
Als Folge der Frequenzabhängigkeit der Erdstromtiefe nach Gl. (2.73) verändert sich
die Nullinduktivität stark, so dass bei digitalen Simulationen für hohe Frequenzen, z. B.
atmosphärische Überspannungen, dieses zu berücksichtigen ist. Darüber hinaus verändert
sich ebenso der ohmsche Anteil der Erdrückleitung, Gl. 2.72. Eine Nachbildung des Erdrückleiters kann nach [6] durch eine Reihenschaltung von R/L-Parallelschaltungen nachgebildet werden.
2.1.7 Berechnung der Kapazitäten
Drehstromleitungen haben Kapazitäten zwischen den Leitern und Kapazitäten gegen
Erde. Zur Berechnung der Kapazitäten eines Linienleiters wird angenommen, dass der
2.1 Freileitung
27
3RWHQWLDOOLQLH
4
V
U
V
GV
4
&/(
K
(
(
K¶
V¶
4
a
3
b
¶
Abb. 2.11 Ersatzschaltbild zur Kapazitätsberechnung. a Linienleiter mit der Ladung Q im Raum.
b Leiter über der Erdoberfläche (Spiegelungsverfahren)
langgestreckte Linienleiter nach Abb. 2.11a die Ladung Q trägt, und die Gegenladung − Q
befinde sich im Unendlichen.
Für das elektrische Feld E eines Linienleiters mit der Länge ℓ gilt allgemein die Beziehung:
Q
E=
( ε0 = 8,854 pF/m)
(2.88)
2 ⋅ π ⋅ s ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ Für das Potential im Punkt P ergibt sich:
Q
⋅ ln ( s ) + k
ϕ = −∫ E ⋅ ds = −
(2.89)
2 ⋅ π ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ Bei Ladungen einer Leitung ist die Erdoberfläche als Potentialfläche anzusehen, das heißt,
die elektrischen Feldlinien sind senkrecht zur Oberfläche und zur Erfassung des Erdeinflusses wird das Spiegelungsverfahren verwendet. Für die Leiter 1 und 1′ nach Abb. 2.11b
ergibt sich im Punkt P folgendes Potential:
 s′ 
Q
Q
Q
⋅ ln( s ) +
⋅ ln( s′ ) =
⋅ ln  
ϕP=−
(2.90)
2⋅π ⋅ε r ⋅ε0 ⋅ 2⋅π ⋅ε r ⋅ε0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ε r ⋅ ε 0 ⋅  s 
Liegt der Punkt P auf der Oberfläche des Leiters 1, so gilt unter Berücksichtigung des
Leiterradius r und der Höhe h des Leiters über dem Erdboden:
s=r
s‘= 2 ⋅ h − r
ϕP = ϕL0 = U
(Potential des Leiters 1)
28
2 Darstellung der Betriebsmittel
Liegt der Punkt P auf der Erdoberfläche, so folgt entsprechend:
s = s‘ = h
ϕP = 0
(Erdpotential)
Aus diesen Beziehungen ergibt sich für die Kapazität eines Leiters gegenüber Erde mit
Q = CLE ⋅U = CLE ⋅ φ L0
(2.91)
und mit 2 · h >> r folgt mit Hilfe Gl. (2.94) und den oben angegebenen Randbedingungen:
2 ⋅ π ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ εr ⋅ ε0 ⋅ Q
CLE =
=
≈
(2.92)
φ L0
ln( 2⋅hr−r )
ln( 2r⋅h )
Der Wert CLE stellt die Kapazität eines Leiters gegenüber Erde dar.
2.1.8 Mitkapazität
Wird eine Drehstromfreileitung nach Abb. 2.12 von einem symmetrischen Spannungssystem gespeist, so gilt:
UR = UR
US = a 2 U R
(2.93)
UT = a UR ;
und äquivalent:
QR = QR
QS = a 2 QR
(2.94)
QT = a QR
Mit den Spannungsfaktoren a bzw. a2 nach Gl. (2.58).
Ausgehend von der Gl. (2.91) kann das Gleichungssystem nach (2.95) aufgebaut werden.
Abb. 2.12 Teilkapazitäten
einer Drehstromeinfachleitung
ohne Erdseil
5
&56
&67
6
&57
7
8 5 8 6 87
&7
&6
&5
2.1 Freileitung
29
UQ
UQ
GQP
P
Q
Q
KQ
KP
KQ
(
(
GQP¶
Q¶
Q¶
P¶
Abb. 2.13 Ermittlung der Potentialkoeffizienten
U R  a11 a12
  

U S  = a21 a22
  
U T  a31 a32
a13  QR 
 
a23  ⋅  QS 
  
a33  QT 
(2.95)
Die Größen α stellen die Potentialkoeffizienten des Gleichungssystems dar. Unter Berücksichtigung der Gl. (2.92) bzw. (2.90) bestimmen sich die Potentialkoeffizienten nach
Abb. 2.13 zu:
 2 ⋅ hv 
1
 für v = R, S, T
⋅ ln 
αv =
(2.96)
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅  rv 
 d 
1
 vμ 
⋅ ln 
αv μ =
 für v, μ = R, S, T; μ ≠ v
(2.97)
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅  d v μ 
′
Werden die Spannungs- und Ladungsbedingungen (Gln. 2.93/2.94) nach den Gln. (2.93)
und (2.94) berücksichtigt, so folgt für die erste Zeile des Gleichungssystems (2.95):
U R = ( α11 − α12 ) ⋅ QR
(2.98)
Für die Mitkapazität ergibt sich:
QR
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ 1
=
=
C1 =

 d '
(2.99)
2 ⋅ h 
α11 − α12
UR
− ln  
ln 
 r 
 d 
30
2 Darstellung der Betriebsmittel
Wird für die weitere Berechnung zur Vereinfachung angenommen, dass für die geometrischen Größen gilt:
′
(2.100)
d ≈ d12 = d 23 = d31
d′ ≈ d12
= d′23 = d′31
mit
d ′ = (2h) 2 + d 2
und h = 3 hR ⋅ hS ⋅ hT
folgt daraus:
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ d
ln
(2.101)
 d 2
r· 1 +  
 2·h 
C1 =
Die Mitkapazität C1 wird unabhängig von der Leiterhöhe h, wenn die doppelte Leiterhöhe
2h wesentlich größer als der gegenseitige Abstand d der Leiter ist, was für Hochspannungsfreileitungen zutrifft. Es gilt dann vereinfachend:
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ C1 ≈
≈ Cb
(2.102)
d
ln
r
Die Mitkapazität wird auch als Betriebskapazität Cb bezeichnet.
2.1.9 Kapazitäten von Bündelleitern
Wird der Einzelleiter durch ein Leiterbündel aus n Teilleitern ersetzt, so ist entsprechend
Abschn. 2.1.5 für den Radius r der Ersatzradius rB des Bündelleiters zu verwenden. Ein
größerer Ersatzradius hat deshalb eine größere Betriebskapazität zur Folge. In dem Beispiel nach Abschn. 2.1.5 vergrößert sich in diesem Fall die Kapazität um ca. 31,5 %.
2.1.10 Nullkapazität
Für die Berechnung der Null- bzw. Erdkapazität sind die drei Leiter nach Abb. 2.8b parallel zu schalten und mit einer Spannung UR = US = UT zu speisen. Unter dieser Annahme
wird:
QR = QS = QT
(2.103)
Bei einer symmetrischen Leitung (ανµ = αµν ) ergibt sich dann nach Gl. (2.95)
U R = ( α11 + 2 ⋅ α12 ) ⋅ QR
(2.104)
2.1 Freileitung
31
Nach Einsetzen der Potentialkoeffizienten, Gln. (2.96), (2.97), folgt daraus:
QR
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ 1
C0 =
=
=
U
α
2
α
+
⋅

R
11
12
(2.105)
 d 2
2 ⋅ h  3
⋅ 1 + 
3 ⋅ ln 


 2 ⋅ h 
 3 r ⋅ d 2 
Ist die Bedingung d << 2h erfüllt, gilt vereinfachend:
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ C0 ≈
 2 ⋅ h 
(2.106)
3 ⋅ ln 

 3 r ⋅ d 2 
Bei Drehstromfreileitungen bewegt sich die Erdkapazität im Bereich von C0 ≈ 0,45 − 0,6 C1.
2.1.11 Ladeleistung (kapazitive Blindleistung)
Für die Ladeleistung QC einer Freileitung, d. h. die gesamte kapazitive Blindleistung, gilt
nach Abb. 2.12 wenn für die verkettete Spannung mit Um gesetzt wird:
U 2
(2.107)
QC = 3 ⋅  m  ⋅ w ⋅ C0 + 3 ⋅U m2 ⋅ w ⋅ Cg = U m2 ⋅ w ⋅ (C0 + 3 ⋅ Cg )
 3 
mit
Um höchste Spannung für Betriebsmittel (verkettet)
C0 Null- bzw. Erdkapazität ( CR = CS = CT)
Cg Kapazität zwischen den Leitern ( CRS = CRT = CST)
Die Ladeleistung kann auch in Abhängigkeit der Betriebskapazität Cb geschrieben werden
U m 2
(2.108)
 ⋅ w ⋅ Cb
QC = 3 ⋅ 
 3 
so dass durch Vergleich mit (2.107) für die Betriebskapazität gilt:
Cb = C0 + 3 ⋅ Cg = C1
(2.109)
32
2 Darstellung der Betriebsmittel
2.1.12 Stromverdrängung
Aufgrund des magnetischen Wechselfeldes, hervorgerufen durch den Leiterstrom, entstehen in diesem Leiter Wirbelströme, die sich dem Leiterstrom überlagern. Dieser Vorgang wird als Stromverdrängung bezeichnet. Gegenüber einem Gleichfeld wird sowohl
der ohmsche Widerstand Ri als auch die innere Induktivität Li als Folge des Wechselfeldes
verändert. Im Gegensatz hierzu ist die äußere Induktivität hiervon unabhängig, da sie von
der Schleife Leiter – Leiter abhängig ist und durch den Leiterradius und dem Abstand bestimmt wird.
Nach [27] kann mit Hilfe der Größe x der Einfluss auf die Werte Ri und Li bestimmt
werden.
r
(2.110)
x = 0 ⋅ π ⋅ f ⋅κ ⋅ μ
2
mit
r 0
f
κ
µ
Leiterradius
Frequenz
spez. Leitfähigkeit
Permeabilität
In Abhängigkeit des Gleichstromwiderstandes R0 ergeben sich somit die Werte Ri und Li
zu
 1

x <1
Ri = 1 + ⋅ x 4  ⋅ R0
(2.111)
 3

 x4 
w ⋅ Li = x 4 ⋅ 1−  ⋅ R0
(2.112)
6 

 1
3 
⋅R
x >1
Ri = 1 + +
(2.113)
 4 64 ⋅ x  0

3
3 
+
w ⋅ Li =  x −
(2.114)
 ⋅ R0

64 ⋅ x 128 ⋅ x 2 
Mit dem Gleichstromwiderstand:
1
R0 = 2
(2.115)
r0 ⋅ π ⋅ σ
2.1 Freileitung
33
Bei hohen Frequenzen wird der Strom in erster Linie nicht im Inneren des Leiters fließen,
so dass dieses zu einer Widerstandsvergrößerung führt. Ebenso wird sich dadurch die Induktivität verändern, da z. B. bei einem Vollleiter nur noch ein Strom nahe der Oberfläche
des Leiters fließt, so dass dieser Leiter somit elektrisch als Hohlleiter wirkt, welches nach
Tab. 2.3 einen Einfluss auf die mittleren geometrischen Abstände hat und somit auf die Induktivität. Dieser Effekt, dass der Strom bei diesen Frequenzen in einer Schicht unterhalb
der Leiteroberfläche fließt, wird als Skineffekt bezeichnet.
2.1.13 Randfeldstärke
Eine zu hohe Randfeldstärke an der Leiteroberfläche führt zu hohen Koronaverlusten, zu
Beeinträchtigungen von Nachrichtenverbindungen und zu hörbaren Geräuschen. Für die
Randfeldstärke eines Einfachseiles mit dem Radius r, der Länge ℓ und der maximalen
Ladung Qmax gilt entsprechend Gl. (2.88):
Qmax
Emax =
(2.116)
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r ⋅ Unter Berücksichtigung der maximalen Spannung Umax folgt für die Feldstärke:
U max
C1
Emax =
⋅U max ≈
d 
(2.117)
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r ⋅ r ⋅ ln  
 r 
mit
d
r
Umax
C1
mittlerer geometrischer Abstand
Leiterradius
maximale Betriebsspannung des Netzes (Leiter-Erde)
Kapazität nach Gl. (2.102) mit εr = 1
Die Randfeldstärke wächst mit der Spannungsebene, so dass bei höheren Spannungen
Bündelleiter vorteilhaft sind. Werden Bündelleiter berücksichtigt, so gilt für Emax
U max  1 n −1

Emax =
⋅ +
 d   r 2 ⋅ rT 
(2.118)

n ⋅ ln  
 rB 
34
2 Darstellung der Betriebsmittel
mit
rB Ersatzradius des Bündelleiters, Gl. (2.66)
rT Teilkreisradius, Tab. 2.3
n Anzahl der Bündelleiter
Die Seilabmessungen von Einfach- und Bündelleitern werden so gewählt, dass die Randfeldstärke von E = 16 kV/cm bei der Netznennspannung nicht überschritten wird. Als Mindestabmessungen werden üblicherweise verwendet:
•
•
•
110 kV Einleiterseil 120/20 mm2 Al/St r = 7,75 mm
220 kV Zweierbündel 185/30 mm2 Al/St r = 9,50 mm
380 kV Dreierbündel 380/50 mm2 Al/St r = 13,5 mm
Viererbündel 240/40 mm2 Al/St r = 10,9 mm
Während sich für das Beispiel nach Abschn. 2.2.5 bei U max = 420kV/ 3 eine Randfeldstärke von Emax = 35,3 kV/cm (Einzelseil) bei einem Phasenabstand von d = 6 m ergibt,
wird dieser Wert auf Emax = 15,3 kV/cm bei einem Viererbündel reduziert.
2.1.14 Verdrillung
Bei einer symmetrischen Anordnung der Leiter einer Drehstromleitung sind die Induktivitäten und -kapazitäten der einzelnen Leiter gleich groß. Dieses ist jedoch nicht mehr
gegeben, wenn die einzelnen Abstände dvµ zwischen den Leitern unterschiedlich sind, wie
dieses bei den Drehstromleitungen im Allgemeinen der Fall ist, Abschn. 2.1.4. Um diese
Unsymmetrie, die durch die bauliche Anordnung gegeben ist, auszugleichen, werden die
Leiterseile verdrillt, d. h., jeder der drei Leiter nimmt auf 1/3 der Leitungslänge jede der
drei Positionen an. Die Mitimpedanz Z1 der Freileitung bestimmt sich nach Gl. (2.119) zu:
Z1 = ( Z R + ZS + Z T ) / 3
(2.119)
Die Werte ZR, ZS und ZT ergeben sich nach den Gln. (2.61)–(2.63) unter Berücksichtigung
der unterschiedlichen Abstände zwischen den Leitern. Nach Einsetzen folgt daraus:
Z1 = R1 + j w ⋅

 3 d ⋅ d ⋅ d 

 d 
μ0
μ

⋅ ⋅  0, 25 + ln  RS RT ST  = R1 + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln  
 r 

2⋅ π
2· π
r






mit dem mittleren geometrischen Abstand d = 3 d RS ⋅ d RT ⋅ dST .
(2.120)
2.1 Freileitung
35
2.1.15 Natürliche Leistung
Zur Bestimmung der natürlichen Leistung einer verlustlosen Leitung wird diese mit deren
Wellenwiderstand abgeschlossen, so dass gilt:
U1E = Z W1 ⋅ I 1E
(2.121)
Nach Einsetzen in das Gleichungssystem (2.14) folgt hieraus:
U1A = [cos(1 ⋅ )+ j sin 1 ⋅ ] ⋅U1E ⇒ U1A = U1E
(2.122)
I1A = [cos 1 ⋅ + j sin 1 ⋅ ] ⋅ I 1E ⇒ I1A = I1E
(2.123)
Das bedeutet, dass die Beträge der Spannungen und Ströme auf der ganzen Leitung gleich
groß sind. Für die Leistung SA am Anfang der Leitung gilt:
*
(2.124)
S A = 3 ⋅U 1A ⋅ I 1A
Nach Einsetzen der Gln. (2.122) und (2.123) folgt:
*
*
= 3 ⋅U1E ⋅ I 1E
= SE
SA = 3 ⋅ [cos( 1 ⋅ ) + j sin( 1 ⋅ )] ⋅U1AE ⋅ [cos( 1 ⋅ ) − j sin( 1 ⋅ )] ⋅ I 1E
(2.125)
so dass die Leitung ausschließlich die Leistung überträgt, die durch den Abschluss gefordert wird. Mit Hilfe der Gl. (2.125) folgt für die natürliche Leistung im Drehstromsystem:
U2
SA = SE = 3 ⋅ 1E = Pnat
(2.126)
Z W1
Die durch Gl. (2.126) angegebene Leistung wird als die natürliche Leistung einer Leitung
bezeichnet und stellt ein wichtiges Maß zum Vergleich von Leitungen unterschiedlicher
Spannungsebenen dar.
2.1.16 Spannungsprofil
Aus dem Gleichungssystem (2.14) kann die Eingangsimpedanz einer verlustlosen Leitung
ermittelt werden. Hierbei ergibt sich:
cos( 1 ⋅ ) ⋅U1E / I 1E + jZ W1 ⋅ sin( 1 ⋅ )
U
Z1A = 1A =
(2.127)
I1A
jZ W1−1 ⋅ sin( 1 ⋅ ) ⋅U1E / I 1E + cos( 1 ⋅ )
36
2 Darstellung der Betriebsmittel
Z1A =
Z1E ⋅ cos( 1 ⋅ ) + jZ W1 ⋅ sin( 1 ⋅ )
−1
jZ W1
⋅ Z1E ⋅ sin( 1 ⋅ ) + cos( 1 ⋅ )
(2.128)
Folgende Grenzfälle können in Abhängigkeit des Leitungsabschlusses unterschieden werden:
• Kurzschluss:
(1 ⋅ ) < 90°,d. h. < 1500 km)
Z1E = 0 → Z1A = jZ W1 ⋅ tan( 1 ⋅ ) (induktiv fur
• Leerlauf:
(1 ⋅ ) < 90°, d. h. < 1500 km)
Z1E = ∞ → Z1A = − jZ W1 ⋅ cot( 1 ⋅ ) (kapazitiv fur
• Abschluss mit dem Wellenwiderstand:
Z1E = Z W1 → Z1A = Z W1
Hieraus ergibt sich:
• bei Abschluss der Leitung mit ihrem Wellenwiderstand ist der Eingangswiderstand der
Leitung gleich dem Wellenwiderstand. Die Blindleistungsbilanz ist ausgeglichen.
• bei Abschluss der Leitung mit einem Widerstand R < ZW1 verhält sich die Leitung induktiv.
• bei Abschluss der Leitung mit einem Widerstand R > ZW1 verhält sich die Leitung kapazitiv, Ferranti-Effekt, Gl. (2.16).
Aus diesem Grunde sind bei Lastflussberechnungen die Kapazitäten einer Leitung zu berücksichtigen, während bei Kurzschlussstromberechnungen dieses nicht der Fall ist.
Im Folgenden wird die Spannung längs einer Freileitung in Abhängigkeit der Belastung bestimmt. Die Spannung Ux an einem beliebigen Ort x auf der Leitung kann als
Funktion der Spannung am Ende U1E nach Gl. (2.129) bestimmt werden, hierbei wird eine
verlustlose Leitung vorausgesetzt. Die Spannungs- und Stromverhältnisse der gesamten
Leitung ermitteln sich nach Gl. (2.14).
U1x = cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] ⋅U1E + jZ W ⋅ sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] ⋅ I1E
(2.129)
Folgende Belastungen werden für das nachfolgende Beispiel angenommen:
• unbelastet
• unbelastet, jedoch mit induktiver Kompensation (insgesamt 100 %)
2.1 Freileitung
37
• Kurzschluss am Ende
• Belastung mit natürlicher Leistung
• Belastung mit maximaler Belastung und cos φ = 1,0
Die Leitungsdaten sind:
Lange:
Wellenwiderstand:
= 750km
Z W = 241Ω
max. Strom:
I d = 2580 A
Phasenkonstante:
1 = 6°/100 km
In Abhängigkeit der Leitungsdaten ergeben sich für die unterschiedlichen Belastungsfälle
folgende Spannungen, hierbei sind die Werte am Ende der Leitung mit einem „E“ und am
Anfang mit einem „A“ gekennzeichnet. Der Index „x“ repräsentiert den laufenden Punkt
auf der Leitung zwischen diesen beiden Größen A und E.
Unbelastet I 1E = 0
U1E =
U1x = cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] ⋅U1E
⇒
U1A
cos( 1 ⋅ )
U1x
cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]
=u=
U1A
cos( 1 ⋅ )
unbelastet (kompensiert) I1E = − j tan( 1 ⋅ /2) ⋅
U1E
ZW
U1x = U1E {cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] + tan( 1 ⋅ /2) ⋅ sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]}
U1x
cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] + tan( 1 ⋅ /2) ⋅ sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]
=u=
U1A
cos[ 1 ⋅ ] + tan( 1 ⋅ /2) ⋅ sin[ 1 ⋅ ]
Kurzschluss U1E = 0
⇒
I1E =
U1A
jZ W ⋅ sin( 1 ⋅ )
38
2 Darstellung der Betriebsmittel
U1x
sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]
=u=
U1A
sin( 1 ⋅ )
U1x = jZ W ⋅ sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] ⋅ I1E
natürliche Leistung I1E =
U1E
ZW
U1x = U1E ⋅{cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] + j sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]}
U1A = U1E ⋅{cos[ 1 ⋅ ] + j sin[ 1 ⋅ ]}
U1A = U1E
U1x
= u =1
U1A
maximale Belastung I1E =
U1E
R
Z


U1x = U1E ⋅ cos[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ] + j W ⋅ sin[ 1 ⋅ (1− x) ⋅ ]
R


Z
cos[1 ⋅ (1− x) ⋅ ] + j W ⋅ sin[1 ⋅ (1− x) ⋅ ]
U1x
R
=u=
ZW
U1A
cos[1 ⋅ ] + j
⋅ sin[1 ⋅ ]
R
Abbildung 2.14 zeigt das Spannungsprofil längs der Leitung in Abhängigkeit der Belastung am Ende (ℓ = 750 km). Es zeigt sich bei dieser Leitungslänge, dass eine Kompensation (nicht nur für den unbelasteten Fall) unbedingt erforderlich ist. Aufgrund der Länge
der Leitung ist eine Kompensation (Parallelkompensation) am Ende nicht ausreichend, da
in der Mitte der Leitung eine höhere Spannung auftritt, so dass u. U. in der Praxis diese
Leitung geteilt werden müsste und folglich eine Parallelkompensation auch in der Mitte
anzubringen ist. Bei induktiver Belastung verringert sich die Spannung längs der Leitung,
während ein Kurzschluss den Grenzwert darstellt.
2.1.17 Kompensation
Grundsätzlich ist es sinnvoll, Freileitungen mit ihrer natürlichen Leistung zu betreiben,
da in diesem Fall keine zusätzliche Blindleistung bereitgestellt werden muss. Weicht die
2.1 Freileitung
39
Abb. 2.14 Spannungsprofil längs einer Leitung als Funktion der Belastung, Leitungslänge
ℓ = 750 km
übertragene Leistung sehr stark von der natürlichen Leistung Pnat ab, so kann die Leistung
mit Hilfe von Reihen- und Parallelschaltungen von Ladestromspulen und Kondensatoren
kompensiert werden, d. h., die Kenngrößen der Leitung werden korrigiert und der übertragenen Leistung „angepasst“, so dass vereinfachend geschrieben werden kann:
(2.130)
w ⋅ L′k = w ⋅ L′ ⋅ (1− k )
w ⋅ Ck′ = w ⋅ C′ ⋅ (1− kq )
(2.131)
mit
kℓ Faktor für die Längskompensation
kq Faktor für die Querkompensation
Bei den Gln. (2.130) und (2.131) werden die Induktivität bzw. die Kapazität verringert,
welches sich jeweils durch geänderte Werte ausdrückt, die mit dem Index „k“ gekennzeichnet sind. Für die natürliche Leistung der unkompensierten ( Pnat) und kompensierten
( Pnatk) Leitung gilt nach den Gln. (2.126):
2
1 − kq
3 ⋅U1E
L′k
Pnat =
=
Pnatk =
P
(2.132)
nat
Ck′
1 − k
L' C '
40
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.15 Ersatzschaltung
einer Leitung mit Parallelspulen zur Querkompensation
85
,$
8/
,&
,'
8$
,%
,&
,'
8(
Für den Imaginärteil des Ausbreitungskoeffizienten β folgt analog:
(2.133)
 = w ⋅ L′ ⋅ C′ k = w ⋅ L′k ⋅ Ck′ =  ⋅ (1− k ) ⋅ (1− kq )
Aufgrund der Faktoren kℓ und kq lassen sich folgende Kompensationsmöglichkeiten unterscheiden, in Abhängigkeit der Belastung bezogen auf die natürliche Leistung der Leitung:
• SE < Pnat mit der Bedingung:
1− kq
1 − k
<1
Diese Bedingung ist dann möglich, wenn folgende Beziehungen gelten:
– kℓ < 0 Reihenspulen oder
– kq > 0 Parallelspulen
Da Reihenspulen die Leitung elektrisch vergrößern (Vergrößerung der Induktivität, Gl. (2.133)), werden Parallelspulen (Leiter – Erde, Ladestromspulen) verwendet
(Abb. 2.15). Diese Spulen werden zur Kompensation von Höchstspannungsleitungen eingesetzt bei einem Kompensationsgrad von ca. 60 %.
• SE > Pnat mit der Bedingung:
1 − kq
1 − k
>1
Diese Bedingung ist dann möglich, wenn folgende Beziehungen gelten:
– kℓ < 0 Reihenkondensatoren oder
– kq < 0 Parallelkondensatoren
Da Parallelkondensatoren die Leitung elektrisch vergrößern (Vergrößerung der Kapazität, Gl. (2.132)), werden Reihenkondensatoren unter diesen Bedingungen verwendet
(Abb. 2.16). Zur Spannungsstützung an Netzpunkten bei hohen übertragenen Leistungen
werden trotzdem in Netzen Parallelkondensatoren (Leiter – Erde) eingesetzt, da in diesen
Fällen der nachträgliche Aufwand gering ist und die Vergrößerung der Leitungswinkels
nicht von entscheidender Bedeutung ist.
2.2 Kabel
41
Abb. 2.16 Ersatzschaltung einer Leitung mit
Reihenkondensatoren mit
Längskompensation
85
,$
8/
8&
,%
,&
,&
8$
8%
Tab. 2.5 Kennwerte ausgewählter Freileitungen mit zwei Stromkreisen pro Mast (Doppelleitung)
in Abhängigkeit der Spannung Um, Donaumastbild mit einem Erdseil, ρE = 100 Ωm; Daten pro
Stromkreis
Größe
Dimension
123 kV
420 kV
765 kV
Zahl der Teilleiter
Teilleiterquerschnitt
–
mm2
Ω/km
1
240/40
0,12
4
240/40
0,03
4
560/50
0,013
X1′
Ω/km
0,393
0,251
0,276
C1′
nF/km
9,5
13,8
13,13
R′0
Ω/km
0,34
0,24
0,20
X ′0
Ω/km
1,62
1,4
1,31
C′0
nF/km
4,8
6,9
6,08
ZW1
Ω
A/km
363
0,21
241
1,05
259
1,82
MW
42
733
2262
MVA
137
1877
5435
R1′
I C′ = w ⋅ C1′ ⋅U m / 3
Pnat = U m2 /Z W1
S th = 3 ⋅U m ⋅ I d
2.1.18 Kennwerte von Freileitungen
Wesentliche Kennwerte von typischen Hochspannungsfreileitungen sind in der Tab. 2.5
aufgeführt.
2.2 Kabel
Im Gegensatz zu einer Freileitung besteht die Isolation eines Kabels aus einer Ummantelung mit einem Isolierstoff, so dass geringere Abstände zwischen den Leitern eingehalten
werden können. Aufgrund des Aufbaus können Kabel auch im Erdboden verlegt werden.
42
Tab. 2.6 Kennwerte der Leiterwerkstoffe
Größe
Spezifischer elektrischer Widerstand ρ
Temperaturkoeffizient α20
Spezifischer Wärmewiderstand ρth
Spezifisches Gewicht γ
2 Darstellung der Betriebsmittel
Dimension
Cu
Al
Ωm
1/K
Km/W
g/cm3
1,72 · 10
0,00393
0,0027
8,9
−8
2,83 · 10−8
0,00403
0,0048
2,7
Im Allgemeinen kann zwischen einem Kabel und einer isolierten Leitung unterschieden
werden, wobei isolierte Leitungen nicht im Erdboden verlegt werden können. Die elektrische Modellbildung entspricht der Darstellung von Freileitungen.
2.2.1 Aufbau, Typen
Kabel sind im Gegensatz zu Freileitungen in Erde verlegbar, die Leiter bestehen aus Kupfer oder Aluminium und sind entweder rund (R), sektorförmig (S), oval (O), eindrähtig (E)
oder mehrdrähtig (M). Das früher vorherrschende Massekabel (Kabel mit massegetränktem Papier) wird heute im Niederspannungsbereich vollständig durch Kunststoffkabel
mit PVC- bzw. VPE-Isolierung ersetzt (PVC: Polyvinylchlorid; VPE: vernetztes Polyethylen). Der gleiche Trend hat sich im Mittel- und Hochspannungsbereich durchgesetzt.
Tabelle 2.6 gibt die wesentlichen Unterschiede zwischen den Leiterwerkstoffen an.
2.2.2 Elektrische Schirmung
Eine elektrische Schirmung ist nur bei Kabeln mit einer Spannung Un > 1 kV vorgesehen
und hat nach [23] die folgende Aufgabe:
• Potentialsteuerung
• Führen des Ladestroms
• Elektrischer Berührungsschutz.
Bei der Definition der Spannungen ist es im Allgemeinen üblich, die Werte U0/U anzugeben, hierbei bezeichnet der Wert U0 die Spannung Leiter – Erde, während U die verkettete
Netznominalspannung kennzeichnet.
2.2.2.1 Leitfähige Schichten
Durch die leitfähige Schicht wird die elektrische Beanspruchung des Kabels beeinflusst
und grundsätzlich werden zwei verschiedene Kabeltypen unterschieden:
2.2 Kabel
a
43
b
Abb. 2.17 Elektrische Felder eines Gürtel-(a) und Radialfeldkabels (b)
• Mehradrige Kabel mit nichtradialem Feld, Gürtelkabel (Abb. 2.17a). Diese Kabel
besitzen nur eine Schirmung über den drei Leitern und sind nur für Spannungen bis
8,7/15 kV zulässig.
• Mehradrige Kabel mit radialem Feld, Radialfeldkabel (Abb. 2.17b). Diese Kabel besitzen für jeden einzelnen Leiter jeweils eine Schirmung. Die Isolierung wird nur in
senkrechter Richtung zum Mantel beansprucht.
2.2.2.2 Metalle als Schirmung
Wenn die leitfähige Schicht nicht ausreicht, den Ableitstrom eines langen Kabels zu führen, sind zusätzliche Metallschirme notwendig, die mit der leitfähigen Schicht direkt verbunden sind. Sie können z. B. aus Kupferdraht oder aus Stahldrahtbewehrungen bestehen.
2.2.3 Leiterisolation
An die Leiterisolation werden folgende Anforderungen gestellt:
• Vermeidung des elektrischen Durchschlages,
• Vermeidung des Wärmedurchschlages,
• Beständigkeit gegen Alterung.
Als Ursache eines elektrischen Durchschlages kann eine Überspannung durch einen Blitzeinschlag angenommen werden, aber auch Schalthandlungen, wenn besondere Randbedingungen angenommen werden, z. B. Schalthandlungen bei einer Vorladung des Kabels
oder während eines Erdfehlers.
44
2 Darstellung der Betriebsmittel
Tab. 2.7 Elektrische Eigenschaften der unterschiedlichen Isoliermittel
ϑbmax
Bauart
tanδ
ρI
εr
°C
10−3
Ωm
Massekabel
3,5
10
65–80
5·1012
Ölkabel
3,6
3
85
5·1012
Gasdruckkabel
3,5
3
85
5·1012
100
70
7·1011
PVC-Kabel
8,0a
PE-Kabel
2,4
0,4
70
1015
VPE-Kabel
2,4
0,55
90
1014
a
bei 20 °C εr ≈ 3 … 4
ϑbmax maximale Betriebstemperatur des Leiters, εr Dielektrizitätszahl bei ϑbmax, tanδ
bei ϑbmax, ρth spez, Wärmewiderstand, ρI spezifischer Isolationswiderstand bei 20 °C
ρth
K m/W
6,0
5,0
5,0
6,0
3,5
3,5
Verlustfaktor
Ein Wärmedurchschlag findet seine Ursache darin, dass der Verlustfaktor tanδ
(Abschn. 2.2.6.7) schon bei mittleren Kabeltemperaturen ansteigt und damit zu einer weiteren Erhöhung der Verluste im Dielektrikum führt, die wiederum eine Temperaturerhöhung zur Folge haben. Altersbeständigkeit bedeutet, dass das Kabel seine elektrischen und
mechanischen Eigenschaften während der gesamten Betriebsdauer nicht verliert. Die wesentlichen charakteristischen Daten zur Beurteilung des Isoliervermögens können Tab. 2.7
entnommen werden, wobei die Isolationswiderstände sehr stark streuen.
2.2.4 Metallmantel
Als Feuchtigkeitsschutz bei Kabeln mit einer Papierisolation ist immer ein Metallmantel aus Blei (K), oder aus Aluminium (KL) notwendig. Der Kabelmantel führt während
des Betriebs und insbesondere im Fehlerfall (z. B. Kurzschluss mit Erdberührung) einen
Strom, für den das Kabel dimensioniert sein muss. Maßgebend für die Stromaufteilung ist
der Reduktionsfaktor des Kabels (Abschn. 2.2.6).
Aufgrund der symmetrischen Anordnung eines Dreileiterkabels sind die induzierten
Ströme im Mantel wesentlich kleiner als dieses bei Einleiterkabeln der Fall ist, auch wenn
sie im Dreieck verlegt sind. Bei der Verlegung von Einleiterkabeln in Einebenenanordnung können die Mantelverluste bei mehreren parallelen Systemen durch eine richtige
Anordnung der einzelnen Leiter minimiert werden, z. B. RST TSR….
2.2.5 Bewehrung
Um mehradrige Bleimantelkabel gegen zu hohe Zugbeanspruchungen zu schützen, erhalten sie in der Regel einen mechanischen Schutz aus Stahlband (B), Stahlflach-(F) oder
Stahlrunddraht (R). Bei Kunststoffkabeln wird nur in Sonderfällen eine Bewehrung vorgesehen. Tabelle 2.8 gibt die Kennwerte für den verwendeten Stahl an.
2.2 Kabel
45
Tab. 2.8 Kennwerte der Werkstoffe für Bewehrung und Mantel
Größe
Dimension
St
Spezifischer elektrischer Widerstand ρ
Temperaturkoeffizient α20
Spezifischer Wärmewiderstand ρth
Ωm
1/K
Km/W
Pb
13,8·10
0,0045
0,0191
−8
21,4·10−8
0,0040
0,0287
2.2.6 Elektrische Kenndaten
In diesem Abschnitt werden die elektrischen Kenndaten eines Kabels aus der Geometrie
und der Verlegung abgeleitet. Hierbei werden die grundsätzlichen Gleichungen entsprechend der Ableitung der Freileitungskenngrößen verwendet.
2.2.6.1 Resistanz
Der Wirkwiderstand eines Kabels ermittelt sich entsprechend nach Gl. (2.25), wobei
neben Aluminium auch Kupfer als Leiterwerkstoff Verwendung findet. Der Widerstand
eines Kabels wird im Allgemeinen durch Skin- und Proximity-Effekte vergrößert. Bei
den üblichen technischen Frequenzen kann die Erhöhung bei kleinen und mittleren Querschnitten (z. B. < 240 mm2) vernachlässigt werden.
Durch den Betrieb des Kabels mit Wechselstrom entstehen frequenzabhängige Zusatzverluste, die sich durch eine Wirkwiderstandserhöhung ausdrücken, so dass sich für den
gesamten Wirkwiderstandsbelag ergibt, Gl. (2.134):
RK = R + ∆RM + ∆RB
(2.134)
mit
ΔRM Zusatzwiderstand für die Induktionsverluste im Mantel
ΔRB Zusatzwiderstand für die Hystereseverluste im Stahlband
Die Berechnung des Zusatzwiderstandes ΔRM, der als Folge eines Mantels entsteht, wird
im Abschn. 2.2.6.3 abgeleitet.
2.2.6.2 Induktivität
Die Betriebsinduktivität Lb eines Drehstromkabels berechnet sich ähnlich der Induktivitätsermittlung von Freileitungen (Abschn. 2.1.3) und ist ausführlich im folgenden
Abschn. 2.2.6.3 dargestellt. Der Belag der Betriebsreaktanz ist mit w ⋅ L′b ≈ 0,1Ω /km erheblich kleiner als der Wert von Freileitungen mit w ⋅ L′b ≈ 0, 4Ω /km , was an den geringeren geometrischen Abständen liegt, so dass bei der Berechnung der Kabelinduktivität
die innere Induktivität nicht vernachlässigt werden darf. Sind vorhandene Metallschirme
an beiden Enden mit Erde verbunden, so fließen Mantelströme, die eine Verringerung der
Induktivität bewirken (Gl. 2.149).
46
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.18 Dreieckanordnung
von Einleiterkabeln 1, 2, 3:
Leiter. 4, 5, 6: Mäntel
U0
2.2.6.3 Mitimpedanz
Zur Bestimmung der Mitimpedanz wird nach Abb. 2.18 angenommen, dass drei Einleiterkabel im Dreieck angeordnet sind. Jedes Kabel verfügt über einen eigenen metallischen
Mantel. Der Radius eines Leiters ist r, während der Innendurchmesser des Mantels 2rM ist.
Die Längsspannungen U1 (Leiter) und U4 (Mantel) bestimmen sich nach den
Gln. (2.135) und (2.136) bedingt durch die induktiven Kopplungen, (die übrigen Gleichungen sind identisch, da die Ströme symmetrisch sind).
U1 = Z11 ⋅ I 1 + Z12 ⋅ I 2 + Z13 ⋅ I 3 + Z14 ⋅ I 4 + Z15 ⋅ I 5 + Z16 ⋅ I 6
(2.135)
U 4 = Z 41 ⋅ I 1 + Z 42 ⋅ I 2 + Z 43 ⋅ I 3 + Z 44 ⋅ I 4 + Z 45 ⋅ I 5 + Z 46 ⋅ I 6
(2.136)
Für die Ströme gelten unter der Voraussetzung, dass eine symmetrische Anordnung angenommen wird:
(2.137)
I 2 = a 2 ⋅ I1
I 3 = a ⋅ I1
(2.138)
I 5 = a2 ⋅ I 4
I6 = a⋅ I 4
Für die Impedanzen gilt (mittlere geometrische Abstände nach Tab. 2.3) unter Berücksichtigung des fiktiven Hüllzylinders:

 d 
μ
Z11 = R1 + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln  A 
(2.139)
 r 

2⋅ π


d 
μ
Z 44 = RM + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
(2.140)
2⋅ π
 rM 
d 
μ
Z12 = Z15 = Z13 = Z16 = Z 42 = Z 45 = Z 43 = Z 46 = j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
(2.141)
 d 
2⋅ π
2.2 Kabel
47
(2.142)
d 
μ
Z14 = j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
2⋅ π
 rM 
mit
R1
RM
d A
r
rM
d
Resistanz des Leiters
Resistanz des Mantels
Radius des fiktiven Hüllzylinders
Radius des Leiters
Innenradius des Mantels
Abstand der Leiter
Nach Einsetzen der Ströme (2.137, 2.138) und der Impedanzbedingungen (2.139–2.141)
in die Gln. (2.135) und (2.136) ergibt sich mit a2 + a = − 1:
U1 = ( Z 11 − Z 12) ⋅ I1 + ( Z 14 − Z 12 ) ⋅ I 4
(2.143)
U 4 = ( Z 14 − Z 12 ) ⋅ I 1 + ( Z 44 − Z 12 ) ⋅ I 4
(2.144)
Bei einem beidseitig geerdeten Mantel (U4 = 0) folgt für den Mantelstrom I4 aus Gl. (2.144):
Z − Z12
⋅ I1
I 4 = − 14
(2.145)
Z 44 − Z12
Für die Impedanz des Kabels ergibt sich nach Einsetzen in Gl. (2.143):
( Z − Z12 )2
U1
(2.146)
= Z K = ( Z11 − Z12 ) − 14
I1
Z 44 − Z12
2

 
 j w ⋅ μ0 ⋅ ⋅ ln  d 

 rM 
2· π

 d 
μ


(2.147)
Z K = R1 + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln   − 
 r 

2· π
 R + j w ⋅ μ0 ⋅ ⋅ ln  d 
 
M
 rM 
2· π
2

 
 w ⋅ μ0 ⋅ ⋅ ln  d 

 rM 
2⋅ π


Re {Z K } = R1 + RM ⋅ 
(2.148)
2


μ
d 
2
+  w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  
RM
 rM 
2· π


48
2 Darstellung der Betriebsmittel
2

 
w ⋅ μ0 ⋅ ⋅ ln  d 


2⋅π

 d 
 rM 
μ

Im {Z K } = w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln   − 
2
 r 
2⋅π

 d 

μ0
2



RM + w ⋅
⋅ ⋅ ln  
2·π
 rM 

(2.149)
Anhand der Gln. (2.148) und (2.149) ist ersichtlich, dass die Resistanz des Kabels RK sich
durch einen geerdeten Mantel vergrößert, während die Induktivität kleiner wird. Für ein
Kabel 3 × 1 × 150 mm2/25 mm2 NA2XS2Y (20 kV) ergeben sich folgende Werte, wenn
folgende Parameter eingesetzt werden (Widerstandsbeläge):
R1′ = 0, 206Ω / km
r = 6, 91 mm
d = 36 mm
′ = 1, 236Ω / km
RM
rM = 12, 25 mm
(Kabelaußendurchmesser)
Nach Einsetzen der Werte ergeben sich jeweils die Zusatzimpedanzbeläge:
∆R′ M = +0, 0024Ω /km
∆X ′ M = −0, 0001Ω /km
Werden die Kabel nicht direkt aneinander gelegt sondern der Mittenabstand der Leiter
entspricht dem doppelten Außendurchmesser des Kabels, so vergrößern sich in diesem
Beispiel die Zusatzwerte auf
∆R′ M = +0, 007Ω /km
∆X ′ M = −0, 0006Ω /km
Der Zusatzwiderstand bzw. die Zusatzinduktivität, hervorgerufen durch eine Bewehrung,
lassen sich analog berechnen, wobei ein Wert von µr ≈ 300 für eine Stahlbandbewehrung
verwendet werden kann. Bei einer beidseitigen Erdung des Mantels, wie im oberen Beispiel vorausgesetzt, wird dieses einen Mantelstrom zur Folge haben. Ausgehend von
Gl. (2.145) wird der Mantelstrom durch Einsetzen der Impedanzen berechnet zu:
w⋅
d 
μ0
⋅ ⋅ ln  
2⋅ π
 rM 
·
I 4 =−
⋅I
(2.150)
 d  1
μ0

RM + j w ⋅
⋅ ⋅ ln  
 rM 
2· π
Gleichung (2.150) zeigt, dass bei einem kleinen ohmschen Widerstand des Kabelmantels
der Mantelstrom gleich dem Leiterstrom entspricht und somit nach außen das Magnetfeld
abgeschirmt wird.
2.2 Kabel
49
Unter Berücksichtigung der geometrischen und elektrischen Größen eines 20-kVNA2XS2Y Kabels ergibt sich
I 4 = −(2,994 + j 54, 635) ⋅10−3 ⋅ I 1 und
I 4 = 0, 0547 ⋅ I1
das bedeutet, dass in diesem Fall der Mantelstrom eine Größe von 5,47 % des zugehörigen
Leiterstroms hat. Bei einer Erhöhung des Kabelmittenabstandes auf den doppelten Wert,
vergrößert sich der Mantelstrom auf ca. 8,97 %. Höhere Werte sind zu erwarten, wenn statt
der Dreieckanordnung nach Abb. 2.18 eine Einebenenanordnung vorliegt oder aber ein
einpoliger Kurzschlussstrom fließt.
Für den Anteil der Mantelverluste gilt, bezogen auf die Leiterverluste:
2
PM
R I 
R
(2.151)
= M ⋅  4  = M ⋅ k 2
PL
RK  I1 
RK
mit
k
Stromverhältnis (= I4/I1)
RK Leiterresistanz nach Gl. (2.149)
RM Mantelresistanz
Unter Berücksichtigung des vorliegenden Beispiels ergibt sich:
PM 1, 236 2
=
⋅ k = 5,942 ⋅ k 2
0, 208
PL
Mit k = 0,0547 bzw. 0,0837 ergeben sich Mantelverluste von 1,78 % bzw. 4,78 % bezogen
auf die Leiterverluste. Wird im Gegensatz zu diesem Beispiel der Mantel nur an einer
Seite geerdet, dann ist in Gl. (2.144) der Strom I4 = 0, so dass sich hieraus die induzierte Spannung U4 des Mantels gegen Bezugserde berechnen lässt. Wird ausgehend von
Abb. 2.18 der Abstand der Leiter vergrößert, so nähert sich mit d → ∞ der Mantelstrom I4
dem negativen Wert des Leiterstroms I1 (nach Gl. 2.150), dieses bedeutet, dass 100 % des
Leiterstroms im Mantel zurückfließt.
Im Gegensatz zur Darstellung nach Abb. 2.18 wird im Folgenden eine Einebenenanordnung nach Abb. 2.19 berücksichtigt und die Impedanzen bzw. die Mantelspannungen
Abb. 2.19 Einebenenanordnung von Einleiterkabeln. 1, 2,
3: Leiter. 4, 5, 6: Mäntel
U0
50
2 Darstellung der Betriebsmittel
und -ströme ermittelt. Die Rückleitung erfolgt ausschließlich über die Kabelschirme, so
dass kein Strom über Erde fließt.
In diesem Fall wird zur Berechnung der Strom- und Spannungswerte von der vollständigen Matrix ausgegangen, indem sowohl die Leiter als auch die jeweiligen Mäntel
betrachtet werden. Die Bezeichnungen der Elemente beziehen sich auf Abb. 2.19.
  
 
U1   Z11 Z12 Z13 Z14 Z15 Z16   I 1

U   Z
Z 22 Z 23 Z 24 Z 25 Z 26   I 2
 2   21
 
U 3   Z 31 Z12 Z 33 Z 34 Z 35 Z 36   I 3
 ⋅  
  = 
(2.152)
U 4   Z 41 Z 42 Z 43 Z 44 Z 45 Z 46   I 4
  
  
U 5   Z 51 Z 52 Z 53 Z 54 Z 55 Z 56   I 5
 
  
Z
Z
Z
Z
Z   I 
U   Z
6
61
62
63
64
65
66
6
Ähnlich den Beziehungen nach den Gln. (2.139) bis (2.142) können die Impedanzen bestimmt werden, hierbei ergibt sich:

 d 
μ
Z11 = Z 22 = Z 33 = R1 + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅  0, 25 + ln  A 
(2.153)

 r 
2⋅ π

d 
μ
Z 44 = Z 55 = Z 66 = RM + j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
(2.154)
 rM 
2⋅π
d 
μ
Z14 = Z 41 = Z 25 = Z 52 = Z 36 = Z 63 = j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
(2.155)
2⋅ π
 rM 
Z12 = Z 21 = Z 23 = Z 32 = Z15 = Z 51 = Z 42 = Z 24 = Z35 = Z 53
(2.156)
d 
μ
= Z 26 = Z 62 = Z 45 = Z 54 = Z 56 = Z 65 = j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 

 d 
2⋅ π
d 
m
Z13 = Z 31 = Z 43 = Z 34 = Z16 = Z 61 = Z 46 = Z 64 = j w ⋅ 0 ⋅ ⋅ ln  A 
(2.157)

2⋅d 
2⋅ π
mit
R1
RM
d A
r
rM
d
Resistanz des Leiters
Resistanz des Mantels
Radius des fiktiven Hüllzylinders
Radius des Leiters
Innenradius des Mantels
Abstand der Leiter
2.2 Kabel
51
Grundsätzlich können zwei verschiedene Betriebsweisen von Kabel mit einem Schirm
angewendet werden, nämlich
• Erdung an einer Seite, während die andere Seite isoliert gegen Erde ist
• beidseitige Erdung eines Kabels.
Im Folgenden wird zuerst die Spannung des Schirms gegen Erde berechnet, wenn eine
Seite isoliert ist. Für dieses Fall sind die dazugehörigen Mantelströme null, so dass gilt:
I 4 = I5 = I6 = 0
(2.158)
Unter Berücksichtigung der Impedanzbeziehungen nach den Gln. (2.153) bis (2.157) ergibt sich das Gleichungssystem nach (2.159).
U1   Z11 Z12 Z13 
  

U   Z
Z11 Z12 
 2   12
 I 
U 3   Z13 Z12 Z11   1

 ⋅  I 2


(2.159)
U  =  Z

 4   14 Z12 Z13   I 
U   Z
 3
 5   12 Z14 Z12 
U 6   Z13 Z12 Z14 
Mit Hilfe der Strombeziehungen nach der Gl. (2.137), können die Impedanzen der Leiter Z1, Z2 und Z3 und die Mantelspannungen gegen Erde (bezogen auf den Leiterstrom,
z. B. U4/I1) bestimmt werden. Die Schirmspannungen werden hierbei durch den Strom des
eigenen Leiters ausgedrückt.
Impedanzen U1
2
= Z 1 = Z 11 + a ⋅ Z 12 + a ⋅ Z 13
I1
U2
2
= Z 2 = a ⋅ Z 12 + Z 11 + a ⋅ Z 12 = Z 11 − Z 12
I2
U3
2
= Z 1 = a ⋅ Z 13 + a ⋅ Z 12 + Z 11
I3
(2.160)
52
2 Darstellung der Betriebsmittel
Mantelspannungen U4
2
= Z 14 + a ⋅ Z 12 + a ⋅ Z 13
I1
U5
2
= a ⋅ Z 12 + Z 14 + a ⋅ Z 12 = Z 14 − Z 12
I2
(2.161)
U6
2
= a ⋅ Z 13 + a ⋅ Z 12 + Z 14
I3
Nach Einsetzen der Größen nach den Gln. (2.153) bis (2.157) ergeben sich folgende Werte:
 2 ⋅ d 
µ ⋅
µ ⋅ 
U1
= Z 1 = R1 + ω ⋅ 0 ⋅ 3 ⋅ ln 2 + jω ⋅ 0 ⋅ 0, 25 + ln 
 
4 ⋅π
2 ⋅ π 
I1
 r  
µ ⋅ 
U2
 d 
= Z 2 = R1 + jω ⋅ 0 ⋅ 0, 25 + ln   
I2
2 ⋅π 
 r 
(2.162)
 2 ⋅ d 
µ ⋅
µ ⋅ 
U3
= Z 3 = R1 − ω ⋅ 0 ⋅ 3 ⋅ ln 2 + jω ⋅ 0 ⋅ 0, 25 + ln 
 
4 ⋅π
2 ⋅ π 
I3
 r  
Die Impedanzen nach Gl. (2.160) lassen sich in die Beziehungen nach den Gln. (2.61) bis
(2.63) überführen, wenn die entsprechenden Abstände zwischen den Leitern eingesetzt
werden.
Die Mantelspannungen, jeweils bezogen auf den zugehörigen Leiterstrom, können
nach Gl. (2.163) bestimmt werden.
µ ⋅
µ ⋅  2 ⋅d 
U4
= ω ⋅ 0 ⋅ ln 2 + jω ⋅ 0 ⋅ ln 

2 ⋅π
2 ⋅π
I1
 rM 
µ ⋅  d 
U5
= jω ⋅ 0 ⋅ ln  
2 ⋅π
I2
 rM 
U6
µ ⋅
µ ⋅  2 ⋅d 
= −ω ⋅ 0 ⋅ ln 2 + jω ⋅ 0 ⋅ ln 

I3
2 ⋅π
2 ⋅π
 rM 
Werden wiederum für das 20-kV-Kabel die folgenden Daten verwendet:
R1’ = 0.206Ω / km
r
RM’ = 1.236Ω /km
6=
.91 mm
rM 12.25 mm
d = 36 mm (Kabelaußendurchmesser)
(2.163)
2.2 Kabel
53
so ergeben sich folgende Spannungen, jeweils bezogen auf 1 km*1 kA, wenn der doppelte
Abstand d zwischen den einzelnen Kabeln eingehalten wird, welches der üblichen Verlegepraxis entspricht:
• U4 = 140,01 V/(1 km*1 kA)
• U5 = 111,28 V/(1 km*1 kA)
• U6 = 140,01 V/(1 km*1 kA)
Die oben angegebenen Werte gelten auch für den Fall, dass ein dreipoliger Kurzschlussstrom fließt, sofern er symmetrisch ist. Unter Umständen können höhere Spannungen
Mantel – Erde auftreten auf, wenn ein einpoliger Kurzschlussstrom über Erde fließt. Zur
Berechnung ist in diesen Fällen das Gleichungssystem (2.152) um eine Zeile und Spalte
zu ergänzen, wodurch die Erdrückleitung nachgebildet wird. Unter dieser Bedingung sind
die Ströme I2 bis I6 null und der Fehlerstrom I1 fließt über Erde zurück. In Abhängigkeit
der Kabellänge und des Fehlerstroms sind bei einem Kabel mit einseitig geerdetem Mantel u. U. Überspannungsableiter zur Begrenzung der maximalen Überspannungen einzusetzen [2].
Wenn im Gegensatz zu diesem betrachteten Fall die beiden Enden der Kabelmäntel geerdet werden, so ist von der folgenden elektrischen Beziehung auszugehen, da die Längsspannung kurzgeschlossen ist
U 4 = U5 = U6 = 0
(2.164)
so dass sich das Gleichungssystem nach (2.165) ergibt, zusätzlich gelten die Strombedingungen nach Gl. (2.137):
 
  
U1   Z11 Z12 Z13 Z14 Z12 Z13   I1 

U   Z
Z11 Z12 Z12 Z14 Z12   I 2
12
2
  
  
U 3  =  Z13 Z12 Z11 Z13 Z12 Z14  ⋅  I 3
(2.165)



 0   Z14 Z12 Z13 Z 44 Z12 Z13   I 4
  
  
 0   Z12 Z14 Z12 Z12 Z 44 Z12   I 5
 
  
 0   Z13 Z12 Z14 Z13 Z12 Z 44   I 6
Wenn die Kabelmäntel an beiden Enden verbunden sind, gilt die Strombeziehung:
I 4 + I 5+ I6 = 0
(2.166)
Daraus ergibt sich das Gleichungssystem:
(
−(Z
)
)⋅ I
− Z 14 + a ⋅ Z 12 + a ⋅ Z 13 ⋅ I 1 = ( Z 44 − Z 13 ) ⋅ I 4 + ( Z 12 − Z 13 ) ⋅ I 5
2
2
12 + a ⋅ Z 14
4 + a ⋅ Z 12
1
= ( Z 44 − Z 12 ) ⋅ I 5
(2.167)
54
2 Darstellung der Betriebsmittel
Die Mantelströme I4, I5 und I6, bestimmen sich in Abhängigkeit des Leiterstroms I1 zu:
Z + a 2 ⋅ Z12 + a ⋅ Z13
( Z − Z12 ) 2
⋅ I 1 = − 14
⋅a ⋅ I1
I 5 = − 14
(2.168)
Z 44 − Z12
Z 44 − Z12
d 
m0
⋅ ln  
2⋅π
 rM 
⋅ a2 ⋅ I 1
I5=−
(2.169)
 d 
m0
⋅ ln  
RM + jw ⋅
 rM 
2·π
jw ⋅
I 6 = −I 4 − I 5 = −
=−
( Z 14 − Z 13 )
Z 44 − Z 13
2
( Z − Z 13 )
Z 14 + a ⋅ Z 12 + a ⋅ Z 13
⋅ I 1 + 12
⋅I5 − I5
Z 44 − Z 12
Z 44 − Z 13
(2.170)
⋅ a ⋅ I1
 2·d 
m0
⋅ ln  
2 ⋅ π  rM 
I6=−
⋅ a ⋅ I1
(2.171)
 2 ⋅ d 
m0


⋅ ln 
RM + j w ⋅
2 ⋅ π  rM 
jw⋅
 a 2 ⋅ ( Z − Z ) a ⋅ ( Z − Z )
14
12
14
13 
I 4 = − I 5 − I 6 = I 1 ⋅ 
+
(2.172)

Z
Z
Z
Z
−
−

44
12
44
13 

 
 2 ⋅ d  
m0
m0
 d 


 
w
⋅
⋅
w
⋅
⋅
j
ln
j
ln

 rM 
 rM  
2
2
⋅
⋅
π
π
2

I 4 = I 1 ⋅  a ⋅
⋅+a·
(2.173)
 d 
 2 ⋅ d  
m0
m0




RM + j w ⋅
⋅ ln  
RM + j w ⋅
⋅ ln 

2 ⋅ π  rM 
2 ⋅ π  rM  

Ähnlich der Dreieckanordnung eines Kabelsystems wird der Strom im Kabelmantel
besonders durch den ohmschen Widerstand des Mantels beeinflusst. Auch in diesem Fall
ist der Mantelstrom gleich dem Leiterstrom, wenn die Resistanz RM vernachlässigbar ist,
wie dieses z. B. bei einer Generatorableitung oder bei einer SF6-Schaltanlage mit einphasiger Kapselung der Fall ist.
In Abhängigkeit des Abstands d zwischen den Leitern, ergeben sich die Mantelströme
in % bezogen auf die symmetrischen Leiterströme nach Tab. 2.9.
Gleichung (2.166) zur Bestimmung des Mantelstroms des inneren Leiters entspricht
der Berechnung der Mantelströme bei Dreieckverlegung Gl. (2.149). Bei größeren Ab-
2.2 Kabel
55
Tab. 2.9 Mantelströme in
%, bezogen auf die Leiterströme in Abhängigkeit des
Abstands d
Mantelstrom
36
7,64
5,47
8,97
I4
I5
I6
Abstand d/mm
72
10,81
8,97
12,43
3600
28,60
27,76
30,83
ständen der einzelnen Leiter wird der Mantelstrom stets größer, so dass für d → ∞ der
Mantelstrom gleich dem Leiterstrom wird.
2.2.6.4 Kapazität
Aufgrund der kleinen Abstände und der größeren Dielektrizitätskonstanten ist die Betriebskapazität Cb eines Kabels wesentlich größer als bei der Freileitung. Die entsprechenden Gleichungen zur Berechnung der Kapazitätsbeläge können Tab. 2.10 entnommen
werden, wobei in diesem Fall zwischen einem Radialfeld- und Gürtelkabel unterschieden
wird, Abb. 2.20.
Tab. 2.10 Kapazitätsbeläge [23, 31]
Kapazitätsbelag
Kabeltyp
Gleichung
Einadrig, Radialfeldkabel
Dreiadrig, Gürtelkabel
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ 
3
d
3 ⋅ rI2 − d 2 


ln  ⋅

27 ⋅ rI6 − d 6 
 rL


(2.174)
= C0 + 3 ⋅ Cg
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr
⋅
r
ln I
r
Nullkapazität C0
C0 = Cb = CE
2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅  27 ⋅ r 6 − d 6 
I

ln 
3
2
 27 ⋅ rI ⋅ rL ⋅ d 
(2.175)
Betriebskapazität
Cb = C1
(
)
rI Innenradius der leitenden Schicht, rL Außenradius des Leiters, d mittlerer geometrischer Abstand
der Leiter
Abb. 2.20 Kabelkapazitäten. a Radialfeldkabel. b
Gürtelkabel
&
&
a
&J
b
56
2 Darstellung der Betriebsmittel
Die Erd- oder Nullkapazität unterscheidet sich nur beim Gürtelkabel aufgrund der Kapazität zwischen den Leitern von der Betriebskapazität.
2.2.6.5 Wellenwiderstand, Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
Der Wellenwiderstand eines Kabels ermittelt sich aus den Betriebsinduktivitäten und Betriebskapazitäten, Gl. (2.8). Hierbei ist zu berücksichtigen, dass besonders die Induktivität
frequenzabhängig ist. Bei einem mittleren Wellenwiderstand eines Kabels von ZW ≈ 30 Ω
ermittelt sich eine wesentlich größere natürliche Leistung des Kabels gegenüber einer
Freileitung ( ZW ≈ 300 … 450 Ω).
Die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit τ ist aufgrund der höheren relativen Dielektrizitätskonstanten εr kleiner als die Lichtgeschwindigkeit und berechnet sich nach
Gl. (2.152).
c
w /  = τ = m0 ⋅ ε 0 ⋅ ε r =
(2.176)
εr
mit
c Lichtgeschwindigkeit nach Gl. (2.11).
2.2.6.6 Ladestrom, Ladeleistung
Der kapazitive Ladestrom IC ermittelt sich nach Gl. (2.177) aus der Netznennspannung Un
und der Betriebskapazität Cb zu
U
I C = w ⋅ Cb ⋅ n
(2.177)
3
und die Ladeleistung QC zu
(2.178)
QC = 3 ⋅U n ⋅ I C
Der kapazitive Ladestrom ist im Verhältnis zur Freileitung sehr groß, so dass ausgedehnte Kabelnetze mit Parallelreaktanzen (Querkompensation) ausgerüstet werden,
Abschn. 2.1.17.
2.2.6.7 Dielektrische Verluste
Neben dem kapazitiven Ladestrom IC fließt in der Isolierung ein Verluststrom IVD nach
Abb. 2.21.
Für den Gesamtstrom I D gilt nach Gl. (2.179)
I D = IVD + jI C
(2.179)
2.2 Kabel
57
Abb. 2.21 Strom in der
Kabelisolierung
5H
,&
8
,'
,'
,9'
a
,9'
b
,&
Für die dielektrischen Verluste PVD eines Drehstromkabels bzw. drei Einleiterkabel gilt
mit der Gl. (2.180):
(2.180)
PVD = 3 ⋅U ⋅ I VD = U 2 ⋅ w ⋅ C1 ⋅ tan δ
tan δ = I VD /I C
(2.181)
mit
tanδ Verlustfaktor
C 1
Mitkapazität
IVD Wirkstrom
Erst bei höheren Spannungen ( Un ≥ 110 kV) sind die dielektrischen Verluste bei Kabeln zu
berücksichtigen. Aus Tab. 2.7 ist ersichtlich, dass PVC-Kabel aufgrund des großen Wertes
tanδ nur bei kleinen Nennspannungen eingesetzt werden können. Die dielektrischen Verluste von typischen HS-Kabeltypen sind in der Tab. 2.11 aufgeführt. Es zeigt sich, dass die
′
stromabhängigen Verluste (PV,20
) bei einer Betriebstemperatur des Kabels von δ = 20 °C
′
die dielektrischen (spannungsabhängigen) Verluste (PVD
) um ein Vielfaches übersteigen,
wenn eine maximale Strombelastung des Kabels vorausgesetzt wird.
2.2.6.8 Elektrisches Feld
Kabel sind so auszulegen, dass das elektrische Feld während des Betriebs an keiner Stelle innerhalb des Kabels überschritten wird, dieses bedeutet, dass an der Oberfläche von
Schirmen bzw. Isolationsmaterial eine maximale Feldstärke einzuhalten ist. Wird nach
Abb. 2.22 angenommen, dass ein Kabel zwei Dielektrika mit der rel. Dielektrizitätskonstante ε1 und ε2 besitzt und wird vorausgesetzt, dass die maximale Feldstärke in beiden
Schichten den gleichen Wert haben soll, so gelten die Beziehungen:
Äußere Schicht E1 =
Q
2 ⋅ π ⋅ εr1 ⋅ ε0 ⋅ r
für r2 < r < r1
(2.182)
58
2 Darstellung der Betriebsmittel
Tab. 2.11 Kennwerte von Kabeln unterschiedlicher Spannungsebenen ( U0/Un)
12/20
64/110
Größe Wert
0,6/1 kV 0,6/1 kV 12/20
NA2XY NAKLEY NA2XS2Y NÖAKUDEY
NAYY
400 mm2
120 mm2 120 mm2 150 mm2 150 mm2
Ω/km
0,253
0,253
0,202
0,206
0,078
′
R1, 20
X1′
C1′
Ida
I C′
QC′
′
PVD
′
PV,20
a
64/110
A2XS(FL)2Y
400 mm2
0,078
Ω/km
0,080
0,077
0,116
0,122
0,116
0,138
µF/km
–
–
0,445
0,254
0,360
0,160
A
A/km
240
–
270
–
265
1,61
366
0,92
515
7,1
550
3,1
Mvar/km –
–
0,056
0,032
1,35
0,59
kW/km
–
–
–
–
0,16
0,07
kW/km
43,7
55,3
42,6
82,8
62,1
70,8
Verlegung in Erde, Belastungsgrad m = 0,7; Dreieckverlegung
Abb. 2.22 Ermittlung der
maximalen Feldstärke in verschiedenen Isoliermaterialien
U
U
U
ε1
ε
Innere Schicht Q
E2 =
für r3 < r < r2
(2.183)
2 ⋅ π ⋅ εr2 ⋅ ε0 ⋅ r
Für die maximale Feldstärke an der Oberfläche folgt:
Q
Q
Emax =
=
(2.184)
2 ⋅ π ⋅ εr1 ⋅ ε0 ⋅ r2 2 ⋅ p ⋅ εr2 ⋅ ε0 ⋅ r3
daraus ergibt sich:
ε1 ⋅ r2 = ε2 ⋅ r3
2.3 Gas-Isolierte Schaltanlagen (GIS) bzw. Leitungen (GIL)
59
Da stets r3 < r2 ist, muss die Isolationsschicht, die am nächsten zum Leiter liegt, die höhere
Dielektrizitätskonstante haben.
2.2.6.9 Zusammenstellung von Kennwerten
Die Kennwerte von wesentlichen Kabeltypen sind in der Tab. 2.11 aufgeführt.
2.3 Gas-Isolierte Schaltanlagen (GIS) bzw. Leitungen (GIL)
Gas-Isolierte Schaltanlagen (GIS) werden in der Hochspannungsebene für die Übertragung von elektrischer Energie eingesetzt. Nach Abb. 2.23 besteht die isolierte Schaltanlage (110 kV) aus drei konzentrischen Aluminiumrohren (Leiter), die innerhalb einer
Kapselung zentriert sind (dreipolige Kapselung). Das Isolationsmaterial besteht aus einem
Gasgemisch, bestehend z. B. aus 20 % SF6 und 80 % Stickstoff. Im Gegensatz zur Ausführung einer 110-kV-Anlage werden die drei Leiter einer 380-kV-Anlage als einpolige
Kapselung nach Abb. 2.24 ausgeführt.
Die drei Kapselungen einer 380-kV-Anlage bzw. die Kapselung einer 110-kV-Anlage
werden mit Erde verbunden. Einen ähnlichen Aufbau haben SF6-Rohre für den Einsatz
als Gas-Isolierte Leitungen (GIL), der Aufbau entspricht der einer 380-kV-Schaltanlage.
Die geometrischen Werte der unterschiedlichen Anlagen und Leitungen sind in der
Tab. 2.12 aufgeführt.
Aus den geometrischen Angaben nach den Abb. 2.23 und 2.24 können die Induktivitäts- und Kapazitätsbeläge abgeleitet werden [27, 31]. Für die Berechnung der Kapazitätsund Induktivitätswerte werden die folgenden Materialkonstanten verwendet:
Abb. 2.23 Beispiel für eine
Gas-Isolierte Schaltanlage
(GIS, 110 kV); dreiphasige
Kapselung
G.
U/
G/
G
U.
60
2 Darstellung der Betriebsmittel
G.
U/
U.
G/
G
Abb. 2.24 Beispiel für eine Gas-Isolierte Schaltanlage (GIS, 380 kV), bzw. GIL; einphasige
Kapselung
Tab. 2.12 Geometrische Angaben der Gas-Isolierten Schaltanlagen und Leitungen (beispielhaft)
Komponente Größe
GIS (110 kV) GIS (380 kV) GIL (380 kV)
Außendurchmesser [2rL/mm] 80
20
Wanddicke/mm [dL/mm]
185,3
Abstand/mm [d/mm]
Kapselung
Außendurchmesser [2rK/mm] 512
6
Wanddicke [dK/mm]
a
Abstand bei Verlegung im Erdreich 1300 bis 1500 mm
Leiter
•
•
•
•
120
17
720
512
6
180
10
750a
512
6
Permeabilität (Vakuum): μ0 = 4 ⋅ π ⋅10−4 H/km
Aluminium: μr ≈ 1
Dielektrizitätskonstante (Vakuum): ε0 = 8,85418 ⋅10−9 F/km
SF6-Gas: εr ≈ 1
In den Gln. (2.185) bis (2.194) bedeuten:
rL
rK
rI
µ1
µ0
µ2
µrI
d
Radius des Innenleiters
Außenradius der Kapsel
Innenradius der Kapsel
Permeabilität des Innenleiters
Permeabilität der Isolation (Gas)
Permeabilität der Kapsel
relative Permeabilität des Innenleiters
Abstand der Innenleiter
Einphasige Kapselung nach Abb. 2.25 Kapazität C:
2 ⋅ π ⋅ ε0
⋅
C=
 rI 
(2.185)

ln  
 rL 
2.3 Gas-Isolierte Schaltanlagen (GIS) bzw. Leitungen (GIL)
61
Abb. 2.25 Anordnung: Einphasige Kapselung
G.
U.
U/
Zur Vereinfachung wird gesetzt:
rI = rK − d K
(2.186)
Die Berechnung erfolgt für 380-kV-GIS mit den Angaben nach Tab. 2.12.
r1 = 256 mm − 6 mm = 250 mm
C=
2 ⋅ p ⋅ 8,85418 −9 ⋅10 ⋅
⋅ F = 38,98 ⋅
⋅ nF
 250 
km
km
ln 

 60 
Induktivität L:
Die Induktivität besteht aus der Leiterschleife „Leiter – Kapselung“ und berechnet
sich aus der Induktivität des Innenleiters La, des Isoliermediums (SF6) Lb und der Kapsel
Lc,, hierbei gilt: µ1 = µ0. In einem ersten Schritt wird im Gegensatz zur Darstellung nach
Abb. 2.24 angenommen, dass der Innenleiter aus einem Vollzylinder besteht, welches nur
einen Einfluss auf die Selbstinduktivität des Innenleiters hat. Bei der Berechnung besteht
die Schleifenimpedanz ausschließlich aus dem Leiter und der Kapselung als Rückleiter,
so dass bei einer dreiphasigen Anordnung die beiden übrigen Kapselungen einen großen
Abstand zum betrachteten Leiter haben und somit keinen Einfluss besitzen.
m
La = 1
(2.187)
8⋅p
r 
m
Lb = 0 ⋅ ⋅ ln  I 
(2.188)
 rL 
2⋅p
 r2
 r  3⋅ r2 − r2 
m2
Lc =
⋅ ⋅  2 K 2 ⋅ ln  K  − K I 
(2.189)
 rI 
4
2 ⋅ π ⋅ rK2 − rI2
 rK − rI

(
)
Die Gesamtinduktivität ergibt sich aus der Summe einzelnen Werten:
L = La + Lb + Lc
(2.190)
62
2 Darstellung der Betriebsmittel
4 ⋅ π ⋅ 0,1 ⋅
⋅ mH = 0,05 ⋅
⋅ mH
8⋅ π
km
km
La =
Lb =
4 ⋅ π ⋅ 0,1  250  ⋅ ln 
⋅ mH = 0,2854 ⋅
⋅ mH
 ⋅

 60  km
2⋅ π
km

 256  3 ⋅ 2562 − 2502  2564
⋅ 
⋅ ln 
−
2
2
 ⋅ km ⋅ mH
 250 
4
2 ⋅ π ⋅ (256 − 250 )  256 − 250

= 0,00016 ⋅
⋅ mH
km
Lc =
4 ⋅ π ⋅ 0,1
2
2
Hieraus berechnet sich die Gesamtinduktivität zu:
L = 0,3356 ⋅
⋅ mH
km
Wird bei der Berechnung der inneren Induktivität des Leiters auch ein Hohlleiter berücksichtigt, entsprechend der Berechnung der inneren Induktivität der Kapselung Lc, so ergibt
sich die Induktivität des Leiters bzw. der gesamten Schleife zu:
La = 0, 00095 ⋅
⋅ mH L = 0, 2865 ⋅
⋅ mH
km
km
so dass die gesamte Induktivität nahezu ausschließlich durch die Induktivität des Isoliermediums geprägt ist.
Dreiphasige Kapselung nach Abb. 2.26 Kapazitäten C1 und C0 (Mit- und Nullsystem):
2 ⋅ π ⋅ e0
⋅

3
2
2
d

3 ⋅ rI − d
(2.191)

ln  ⋅

27 ⋅ rI6 − d 6 
 rL


C1 =
(
)
2 ⋅ π ⋅ e0
⋅
C0 =

27 ⋅ rI6 − d 6 
(2.192)

ln 
3
2
 27 ⋅ rI ⋅ rL ⋅ d 
Die Berechnung erfolgt für 110-kV-GIS nach Tab. 2.12.
r1 = 256 mm − 6 mm = 250 mm
2.3 Gas-Isolierte Schaltanlagen (GIS) bzw. Leitungen (GIL)
Abb. 2.26 Anordnung: Dreiphasige Kapselung
63
G.
U/
U.
G
C1 =
2 ⋅ π ⋅ 8,85418


185,3 (3 ⋅ 2502 −185,32 )3 
ln 
⋅
6
6 
27 ⋅ 250 −185,3 
 40

C0 =
2 ⋅ π ⋅ 8,85418
 27 ⋅ 250 −185,3 

ln 
3
2
 27 ⋅ 250 ⋅ 40 ⋅185,3 
6
6
⋅10−9
⋅10−9
⋅ F = 47,91
⋅ nF
km
km
⋅ F = 21,66
⋅ nF
km
km
Die Induktivitäten L1 und L0 (Mit- und Nullsystem) ermitteln sich aus der Leiterschleife,
bestehend bei der Mitinduktivität, aus den drei Leitern und bei der Nullinduktivität zusätzlich aus der Kapselung als gemeinsamer Rückleiter. Ein Rückstrom über Erde wird bei der
Nullinduktivität nicht betrachtet:
L1 =
L0 =
 d
d
 m
 m 
m0
m
⋅ ⋅ ln  −1 + 1 ⋅ = 0 ⋅ ⋅  ln  −1 + r 

2⋅π
2⋅π
 rL
 8 ⋅ π
 4 
  rL
(2.193)
 r 3  m
 r4
 r  3⋅ r 2 − r 2 
m0
3 ⋅ m2
⋅ ⋅ ln  I 2  + 1 ⋅ +
⋅ ⋅  2 K 2 ⋅ ln  K  − K I  (2.194)
 rL ⋅ d  8 ⋅ π
2⋅ π
4
 rI 
2 ⋅ π ⋅ rK2 − rI2
 rK − rI

(
L1 =
)
 185,3  1 
4⋅ π
⋅10−4
⋅ H ⋅  ln 
−1 +  = 0,308
⋅ mH
  40
 4 
2⋅ π
km
km
64
2 Darstellung der Betriebsmittel
L0 =
 2503  4 ⋅ π
4⋅ π
 +
⋅10−4 ⋅
⋅ H ⋅ ln 
⋅10−4 ⋅
⋅H
 40 ⋅185,32  8 ⋅ π
2⋅ π
km
km
+
3⋅ 4 ⋅ π
2 ⋅ π ⋅ (2562 − 2502 )
= 0,538
⋅10−4 ⋅

 256  3.2562 − 2502 
2564

ln
⋅ H ⋅ 
⋅
−
2
2

 250 
km
4
 256 − 250

mH
km
Die Wellenwiderstände im Mit- und Nullsystem bestimmen sich jeweils nach den
Gln. (2.8):
L
(2.195)
Z=
C
Unter Berücksichtigung der Werte für eine einphasige Kapselung (380 kV) ergibt sich für
den Wellenwiderstand:
Z=
0, 2865 mH/km
= 85, 73 Ω
38, 98 nF/km
Die Wellenwiderstände der dreiphasigen Kapselung (110 kV) ergeben sich zu:
Z1 =
0, 308 mH/km
= 80,18 Ω
47, 91 nF/km
Z0 =
0, 538 mH/km
= 157, 60 Ω
21, 66 nF/km
2.4 Transformator
Dreh-, Wechselstromtransformatoren werden zur Umwandlung einer Betriebsspannung
in andere Spannungsebenen eingesetzt, um die Verluste in den Netzen zu reduzieren. Die
Übertragung erfolgt induktiv auf die verschiedenen Wicklungen.
2.4.1 Aufbau, Bauarten
Nach der Arbeitsweise werden folgende Transformatoren unterschieden:
• Leistungstransformatoren oder Volltransformatoren, deren Wicklungen parallel zu den
zugehörigen Systemen liegen. Die Systeme sind galvanisch getrennt. Die Leistungsübertragung erfolgt rein induktiv (Abb. 2.27a).
2.4 Transformator
65
,
8
,
,
,
,
,
8
8
8 8
8
8: 8
,\
a
b
c
Abb. 2.27 Einphasiges Ersatzschaltbild von Drehstromtransformatoren. a Volltransformator.
b Spartransformator. c Zusatztransformator (die Zusatzspannung wird nicht von der gleichen Sternpunktspannung genommen)
• Spartransformatoren deren Wicklungen leitend hintereinander geschaltet sind. Die
Leistungsübertragung erfolgt teils galvanisch, teils induktiv (Abb. 2.27b).
• Zusatztransformatoren, deren Wicklungen galvanisch getrennt sind, wobei eine Wicklung mit einem System in Reihe geschaltet ist, um dessen Spannung in Betrag und
Phase zu ändern. Die andere Wicklung wird parallel zu dem zugehörigen System geschaltet. Die Übertragung der Zusatzleistung erfolgt rein induktiv (Abb. 2.27c).
Voll- und Spartransformatoren werden zur Energieübertragung zwischen zwei Netzen mit
unterschiedlichen Spannungen eingesetzt, während Zusatztransformatoren der gezielten
Wirkleistungsveränderung in einem Netz dienen.
2.4.2 Schaltgruppen, Schaltungen
Die Schaltgruppe kennzeichnet die Schaltung der Wicklungen und die Phasenlage der
ihnen zugeordneten Spannungszeiger. Die Kennzeichnung besteht aus einem Buchstaben
zur Bestimmung der Schaltung der Wicklungsstränge und einer Zahl zur Bestimmung
der Phasenverschiebung zwischen den Sternspannungen der Wicklungen. Bei Drehstrom
werden die folgenden Schaltungen unterschieden:
•
•
•
•
Dreieckschaltung (D, d)
Sternschaltung (Y, y)
Zickzackschaltung (Z, z)
offene Schaltung (III, iii)
Die Großbuchstaben werden für die Oberspannungswicklungen, die Kleinbuchstaben für
die Mittel- und Unterspannungswicklungen verwendet. Wenn der Sternpunkt einer Wick-
66
2 Darstellung der Betriebsmittel
lung in Stern- oder Zickzackschaltung herausgeführt ist lautet die Kennzeichnung Y oder
Z bzw. y oder z. Die Schaltgruppe eines Transformators wird durch die Phasenverschiebung der Spannungszeiger der Unterspannungswicklung zur Oberspannungswicklung definiert. Die Kennzahl, mit 30° multipliziert, gibt an, um welchen Winkel der Zeiger der
US-Wicklung dem der OS-Wicklung nacheilt.
Vorteile der Sternschaltung • geringerer Isolationsaufwand der Wicklungen (Strangspannung = U r / 3 )
• Möglichkeit der Erdung zur Einhaltung des Erdfehlerfaktors (Sternpunktbehandlung)
• Anschluss des Schutzleiters (Niederspannungsnetze)
• abgestufte Isolation der Wicklung
Vorteile der Dreieckschaltung • Kleinerer Drahtquerschnitt bei großen Leiterströmen (Strangstrom = I r / 3 )
• Entkopplung der Nullsysteme zweier Netze
• hohe Sternpunktbelastbarkeit der Y-Wicklung wird ermöglicht
Vorteile der Zickzackschaltung • geringes Nullimpedanz-/Mitimpedanz Verhältnis (Erdungstransformator)
• Ortsnetztransformatoren kleiner Leistung (OS-Wicklung kann in Sternschaltung gebaut werden, um kleine schlecht wickelbare Drahtquerschnitte zu vermeiden)
Bevorzugte Schaltungen Yy0
YNyd0
Yd5
Yz5
Dy5
Ii0
Verteilungstransformatoren. Der Sternpunkt kann dauernd mit bis zu 10 % des Bemessungsstroms bzw. 25 % des Bemessungsstroms bis 1,5 h belastet werden
Mit Ausgleichswicklung für große Netzkupplungstransformatoren. Der Sternpunkt ist
dauernd mit Bemessungsstrom belastbar
Maschinen- und Haupttransformatoren großer Kraft- und Umspannwerke. Der Sternpunkt ist mit Bemessungsstrom belastbar
Verteilungstransformatoren bis ca. 250 kVA. Der Sternpunkt ist mit Bemessungsstrom
belastbar
Verteilungstransformatoren ab ca. 315 kVA. Der Sternpunkt ist mit Bemessungsstrom
belastbar
Einphasentransformatoren, vorgesehen für die Bahnstromversorgung oder für Drehstromsätze bei höchsten Spannungen und Leistungen
2.4.3 Induktives Ersatzschaltbild eines Drehstromtransformators
(Zweiwicklungstransformator)
In diesem Abschnitt wird das induktive Ersatzschaltbild des Transformators behandelt,
welches für Betriebsfrequenz gilt. Werden Netzvorgänge mit höheren Frequenzen erwartet, so ist die induktive Ersatzschaltung um das kapazitive Verhalten zu ergänzen, wie
2.4 Transformator
67
Abb. 2.28 Transformatorbild
zur Bestimmung der Ersatzschaltung. ΦH Hauptfluss,
Φσ1,2 Streufluss Wicklung 1, 2
,
8
,
Φ+
Φσ
Φσ
8
in Abschn. 2.4.6 dargestellt. Während bei Kurzschlussstromberechnungen ausschließlich
das induktive Ersatzschaltbild eingesetzt wird, sollten bei langsam ansteigenden Überspannungen (Einschaltungen von Leitungen, Eintritt von einpoligen Fehlern mit Erde),
zusätzlich die Kapazitäten berücksichtigt werden.
2.4.3.1 Ausführliches Ersatzschaltbild im Mitsystem
Ausgehend vom Induktions- und Durchflutungsgesetz kann für den Transformator ein
T-Ersatzschaltbild abgeleitet werden (Abb. 2.28), welches die auftretenden ohmschen Verluste nicht berücksichtigt.
Für die Klemmenspannungen ergeben sich folgende Beziehungen:
u1(t ) = w1 ⋅
dΦ1
d
= w1 ⋅ (Φ H + Φs1 )
dt
dt
(2.196)
u 2(t ) = w2 ⋅
dΦ 2
d
= w2 ⋅ (Φ H + Φs 2 )
dt
dt
(2.197)
mit
w1, w2 Windungen der Wicklungen 1, 2
Der magnetische Fluss Φ ermittelt sich nach Gl. (2.198) zu:
Φ = A ⋅ B = A ⋅ m0 ⋅ mr ⋅ H = A ⋅ m0 ⋅ mr ⋅
mit
A
B
H
µ0, µr
Θ
ℓ
Querschnittsfläche
magnetische Induktion
magnetische Feldstärke
Permeabilität
Durchflutung (Amperewindungen)
Länge des magnetischen Flusses
Θ
w·i
= m0 ⋅ mr ⋅
⋅A
(2.198)
68
2 Darstellung der Betriebsmittel
Mit der Abkürzung Λ für den magnetischen Leitwert ergibt sich vereinfachend:
A
Φ = Λ⋅ w⋅i
Λ = m0 ⋅ mr ⋅
(2.199)
Hieraus ergeben sich für die Flüsse nach Abb. 2.28 folgende Beziehungen:
Φ H = Λ H ⋅ ( w1 ⋅ i1 + w2 ⋅ i2 )
(2.200)
Φs1 = Λs1 ⋅ w1 ⋅ i1
Φs 2 = Λs 2 ⋅ w2 ⋅ i2
(2.201)
Eingesetzt in die Gln. (2.196) und (2.197) ergibt sich
d
u1(t ) = w1 ⋅ [Λ H ⋅ ( w1 ⋅ i1 + w2 ⋅ i2 ) + Λs1 ⋅ w1 ⋅ i1 ]
(2.202)
dt
d
u2 (t ) = w2 ⋅ [ΛH ⋅ ( w1 ⋅ i1 + w2 ⋅ i2 ) + Λs 2 ⋅ w2 ⋅ i2 ] oder
(2.203)
dt
di
di
u1 (t ) = w12 ⋅ (Λ H + Λs1 ) ⋅ 1 + w1 ⋅ w2 ⋅ Λ H ⋅ 2
(2.204)
dt
dt
di
di
u2 (t ) = w1 ⋅ w2 ⋅ Λ H ⋅ 1 + w22 ⋅ (Λ H + Λs1 ) ⋅ 2
(2.205)
dt
dt
Werden sinusförmige Ströme vorausgesetzt, so ergibt sich
di (t )
d
= (iˆ ⋅ e j wt ) = j w ⋅ iˆ ⋅ e j wt = j w ⋅ 2 ⋅ I ⋅ e j wt
(2.206)
dt
dt
 
 2
w1 ⋅ w2 ⋅ Λ H   I 1 
U 1 
 w1 ⋅ (Λ H + Λσ1 )
j
=
w
⋅

(2.207)
 ⋅  
 

U 2 
w12 ⋅ (Λ H + Λσ 2 )  I 2 
 w1 ⋅ w2 ⋅ Λ H
Werden im Gegensatz zur Gl. (2.207) die Impedanzen auf eine Spannungsebene (z. B.
Seite 1) bezogen, so gilt für den Strom I2 bzw. die Spannung U2 nach Gl. (2.208) bzw.
Abb. 2.29 mit dem Übersetzungsverhältnis t:
w
w
I 2 = 1 ⋅ I ′2 = t ⋅ I ′2 und U 2 = 2 ⋅U 2′ = U 2′ /t
(2.208)
w2
w1
2.4 Transformator
,
8
69
=¶=¶
=¶=¶
=¶
,
,¶
8
8¶
ZZ
Abb. 2.29 T-Ersatzschaltbild des Transformators, Impedanzen nach Gln. (2.210)–(2.212)
Nach Einsetzen in das Gleichungssystem (2.207) ergibt sich nach Umformungen
U1 
 w 2 ⋅ ( Λ + Λσ 1 )
  I1 
w12 ⋅ Λ H
⋅ 
 ′  = jω ⋅  1 2 H
(2.209)

2
U 
w1 ⋅ Λ H
w1 ⋅ (Λ H + Λσ 2 )   I ′2 

 2
Das hieraus abgeleitete Ersatzschaltbild zeigt Abb. 2.29 mit einem idealen Übertrager, die
Impedanzen ergeben sich aus Gl. (2.209) zu:
′
′
(2.210)
Z11
− Z12
= jw ⋅ w12 ⋅ Λσ1 = jw ⋅ Lσ1
(2.211)
Z′22 − Z′12 = jw ⋅ w12 ⋅ Λσ2 = jw ⋅ Lσ2
′
(2.212)
Z12
= j w ⋅ w12 ⋅ Λ H = j w ⋅ LH
Abbildung 2.30 zeigt das aus den Gln. (2.210) bis (2.212) abgeleitete komplette Ersatzschaltbild einschließlich der ohmschen Verluste. Wird im Gegensatz hierzu ein vereinfachtes Ersatzschaltbild mit einem idealen Übertrager angenommen, welches nur die
Kurzschlussimpedanz nach Abb. 2.30 verwendet (dieses bedeutet, die Streureaktanz und
die ohmschen Verluste sind null und die Hauptreaktanz ist nahezu unendlich), ergibt sich
unter der Bedingung U1 = U 2 :
w ⋅ ( w1 − w2 )
w
⋅ I1= 1 ⋅ I1
I2 = 1
(2.213)
w2 ⋅ ( w2 − w1 )
w2
Aus der Beziehung (2.213) ist es sinnvoller, das Vorzeichen der Stromzählfeile zu ändern,
welches in den folgenden Ersatzschaltungen berücksichtigt wird.
70
2 Darstellung der Betriebsmittel
,
8
5M;i M;+
5¶M;¶i 5)H
,¶
,
8¶
8
ZZ
Abb. 2.30 Einphasiges Ersatzschaltbild eines Transformators (T-Ersatzschaltbild) im Mitsystem
In Abb. 2.30 sind folgende Elemente dargestellt:
R1
R2′ Xσ1
X s′ 2 XH
RFe
t
Wicklungswiderstand der Primärwicklung (1)
Wicklungswiderstand der Sekundärwicklung (2) bezogen auf die Wicklung (1)
Streureaktanz der Primärwicklung (1)
Streureaktanz der Sekundärwicklung (2) bezogen auf die Wicklung (1)
Hauptreaktanz
Eisenverluste (Hysterese, Wirbelstrom)
Übersetzungsverhältnis
Die Impedanz Z T = RT + jX T = R1 + R2′ + j ( X s1 + X s′ 2 ) wird auch als Kurzschlussimpedanz des Transformators bezeichnet. Im Prinzip ist eine Umwandlung des T-Ersatzschaltbildes in eine äquivalente π-Ersatzschaltung möglich, jedoch gibt es in diesem Fall
keine physikalische Zuordnung der Elemente, wie dieses bei der T-Ersatzschaltung möglich ist. Für Lastfluss- und Kurzschlussberechnungen wird in der Regel das äquivalente
π-Ersatzschaltbild verwendet, da die Knotenzahl hierdurch nicht erhöht wird gegenüber
der T-Ersatzschaltung, Abschn. 2.4.3.2.
Die in Abb. 2.30 angegebenen Elemente können im Einzelnen aus den Angaben des
Herstellers wie folgt bestimmt werden:
Wicklungswiderstand Die Kurzschlussverluste Pkr werden aus dem Kurzschlussversuch
ermittelt, in dem bei primärseitiger Einspeisung die Sekundärseite kurzgeschlossen wird.
Die Primärspannung wird hierbei so geregelt, dass sekundärseitig der Bemessungsstrom
Ir fließt.
P U2
u
U2
RT = kr ⋅ r = Rr ⋅ r
(2.214)
Sr Sr
100 % Sr
2.4 Transformator
71
mit
PkrKurzschlussverluste
Sr Bemessungsleistung
Ur Bemessungsspannung
uRr ohmscher Spannungsfall
Streureaktanz Die relative Kurzschlussspannung ukr ist die auf die Bemessungsspannung
bezogene Klemmenspannung bei einem Kurzschlussversuch.
ukr U r
⋅
= I r ⋅ RT2 + X T2
(2.215)
100 % 3
100 % ⋅ Pkr 2
u
U2
(2.216)

X T = kr ⋅ r ⋅ 1− 
 ukr ⋅ Sr 
100 % Sr
Eisenverluste Die Eisenverluste PFe werden aus dem Leerlaufversuch unter Vernachlässigung von R1 + jXσ1 ermittelt. Die Sekundärwicklung ist unbelastet und an der Primärwicklung liegt die Bemessungsspannung.
U2
RFe = r
(2.217)
PFe
mit
RFe Verlustwiderstand (Eisenverluste)
Hauptreaktanz Mit Hilfe des Leerlaufstroms I0 und der Leerlaufverluste PFe wird die
Hauptreaktanz XH bestimmt. Zur Vereinfachung der Berechnung dürfen die Wicklungswerte ( Xσ1, Xσ2 und R1, R2) auf beide Wicklungen gleichmäßig verteilt werden.
 1 2  1 2
I0
(2.218)
 + 

= 

R
 FE   X H 
Ur / 3
 P
2
I0
1
Fe

(2.219)
=
1− 
 3U r ⋅ I 0 
X H Ur / 3
Abbildung 2.31 zeigt das komplette Ersatzschaltbild eines dreiphasigen Transformators.
Welcher aus drei einzelnen Einheiten zusammengeschaltet wird. Es handelt sich hierbei
um einen Yy-Transformator mit einer Sternpunktimpedanz auf beiden Spannungsebenen.
72
2 Darstellung der Betriebsmittel
5
M;i
M;¶i U
M;¶i V
M;¶i W
M;+
6
M;i
M;+
7
M;i
M;+
=(
=(
Abb. 2.31 Dreiphasiges Ersatzschaltbild eines Transformators (alle Werte auf die Oberspannungsseite bezogen)
2.4.3.2 Vereinfachtes Ersatzschaltbild im Mitsystem
Aufgrund der Größenanordnungen der einzelnen Elemente ( XH, RFe >> XT, RT) werden bei
der Kurzschlussstromberechnung nur die Längsimpedanzen berücksichtigt, so dass vereinfachend Abb. 2.32 verwendet wird. Im Gegensatz hierzu ist bei Lastflussberechnungen
besonders bei NS-Transformatoren die Queradmittanz auch zu berücksichtigen.
Mit Hilfe der einzelnen Kettenmatrizen (A) kann die Gesamtmatrix für den Transformator nach Abb. 2.28 bestimmt werden. Es gelten die Beziehungen:
U1  1 Z T1  U′2 
  = 
⋅  
Langsimpedan
z:
(2.220)
 
 
 I 1  0 1   I ′2 
U′  t 0  U 
 2
2
⋅ 
Übertrager:
(2.221)
 ′  = 


I

 I 2  0 1/t   2 
Mit dem Übersetzungsverhältnis t = w1/w2 des Übertragers. Für die Reihenschaltung ergibt
sich:
U 1  1 Z T1   t 0  U 2   t Z T1 / t  U 2 
  = 
⋅ 
⋅   = 
⋅  
(2.222)

 I 1  0 1  0 1/ t   I 2  0 1/ t   I 2 
2.4 Transformator
73
,
8
=7
,¶
,
8
8¶
ZZ
Abb. 2.32 Vereinfachtes Transformatorersatzschaltbild
Abb. 2.33 π-Ersatzschaltbild eines Transformators mit
Übertrager
$
8$
,$
=
,
=
,(
=
(
8(
Aus der Kettenmatrix nach Gl. (2.222) kann mit Hilfe der Umwandlung nach Abschn. 12.1.1
ein äquivalentes π-Ersatzschaltbild abgeleitet werden, Abb. 2.33.
Für die Elemente der π-Ersatzschaltung gilt:
Z
Z
Z1 = T
Z2 = T
(2.223)
t
1− t
Z
Z3 = 2 T
(2.224)
t −t
Wenn stattdessen die beiden Einzelelemente (Längsimpedanz ZT2 und Übertrager) vertauscht werden, ergibt sich für die gesamte Kettenmatrix:
U1   t Z T2 ⋅ t  U 2 
  = 
 ⋅  
(2.225)
 I 1  0 1/t   I 2 
Ein Koeffizientenvergleich der beiden Gln. (2.222) und (2.225) führt zu dem Ergebnis,
dass die beiden Ersatzschaltungen nur dann identisch sind, wenn ZT1 = t2 · ZT2 ist. Dieses
bedeutet, die Impedanz ZT2 ist mit t2 auf die andere Spannungsseite zu transformieren.
74
2 Darstellung der Betriebsmittel
M;i M;¶i (
M;+
8
8¶
Abb. 2.34 Allgemeines T-Ersatzschaltbild des Transformators im Nullsystem
2.4.3.3 Vereinfachtes Ersatzschaltbild im Nullsystem
Die Größe der Nullimpedanzen von Transformatoren hängt von der Schaltung der Wicklungen (z. B. Dreieck, Stern) und von der Sternpunktbehandlung ab. Grundsätzlich kann
ein vereinfachtes T-Ersatzschaltbild nach Abb. 2.34 angegeben werden, welches die wesentlichen Elemente dieser Darstellung enthält.
Die geöffneten Verbindungen nach Abb. 2.34 werden entsprechend der Behandlung
des Transformatorsternpunktes eingesetzt. Für einen YNyn-Transformator im Nullsystem
gilt Abb. 2.35 bei beidseitiger Erdung über eine Impedanz.
Da die Erdungsimpedanzen vom dreifachen Nullstrom durchflossen werden, ist jeweils
3ZE einzusetzen. Für ZE ergeben sich folgende Grenzwerte:
• ZE = 0
• ZE ⇒ ∞ direkt geerdet
isoliert
Bei einem Yy-Transformator kann sich nur ein Amperewicklungsgleichgewicht ausbilden, wenn auch auf der Sekundärseite in der entsprechenden Wicklung ein Strom fließen
Abb. 2.35 Ersatzschaltbild
des YNyn-Transformators im
Nullsystem. a Netzschaltbild.
b Ersatzschaltbild
,
5
U
6
V
7
W
8
=(
a
=(
8
b
M;i M;+
=(
M;¶i = ¶(
8¶
2.4 Transformator
75
Abb. 2.36 Ersatzschaltbild
eines Yd-Transformators im
Nullsystem. a Netzschaltbild.
b Ersatzschaltbild
,
5
U
6
V
7
W
8
=(
a
= (
8
M;i
M;¶i M;+
8¶
b
kann. Anhand des Ersatzschaltbildes können für die oben angegebenen Grenzfälle folgende Aussagen gemacht werden:
ZE1 = ZE2 = 0:
Bei einem unsymmetrischen Fehler mit Erdberührung werden die Nullspannungen und
-ströme in das parallele System übertragen. Aus diesem Grunde ist ein derartiger Betrieb
nicht zulässig bzw. nicht sinnvoll.
ZE1 = 0 und ZE2 ⇒ ∞ (oder umgekehrt):
Die Erdung der Oberspannungsseite wirkt sich nicht aus, da aufgrund der hoch-ohmigen Reaktanz XH kein einpoliger Kurzschlussstrom fließt, so dass diese Schaltung nicht
der Reduktion des Erdfehlerfaktors in Netzen dient.
Die Ersatzschaltung eines Yd-Transformators kann Abb. 2.36 entnommen werden.
Aufgrund der Dreiecksanordnung der Unterspannungswicklung kann auf der Primärseite ein Nullstrom fließen, der sich nicht auf der Sekundärseite auswirkt. Aus diesem
Grunde stellt die Dreieckswicklung für das Nullsystem eine Entkopplung dar. Da die
Hauptreaktanz im Nullsystem wesentlich größer ist als die entsprechenden kleinen Streureaktanzen wird der Nullstrom in der Primärwicklung in erster Linie durch die Erdungsimpedanz ZE1 begrenzt. Für Spartransformatoren sind besondere Überlegungen notwendig
(2.4.5).
2.4.4 Ersatzschaltbild eines Dreiwicklungstransformators
Transformatoren mit einer Ausgleichswicklung (Dreiwicklungstransformatoren) werden
in Hochspannungsnetzen häufig eingesetzt, wenn aufgrund der Isolationseinsparung die
OS- und US-Wicklung im Stern geschaltet werden soll. Dieses ist vor allem dann erforderlich, wenn ein Transformatorsternpunkt geerdet werden soll, da durch den Einsatz der
76
2 Darstellung der Betriebsmittel
Tab. 2.13 Kurzschlussversuche zur Bestimmung der Reaktanzen
Wicklung
Reaktanzen
Messung
Kurzschluss
Leerlauf
Messung
1
2
3
2
3
1
3
1
2
X12 = X1 + X2
X23 = X2 + X3
X31 = X3 + X1
Berechnung
2X1 = X31 + X12 − X23
2X2 = X12 + X23 − X31
2X3 = X23 + X31 − X12
Dreieckswicklung als Ausgleichswicklung die Nullsysteme entkoppelt werden. Bei einem
einpoligen Fehler beschränken sich Fehlerspannungen auf eine Netzseite.
Im Regelfall wird die Leistung der Ausgleichswicklung nur zu 1/3 der übrigen Wicklungen ausgelegt. Ist im Gegensatz hierzu die Leistung der Ausgleichswicklung etwa
gleich der Sekundärwicklung und dient die Ausgleichswicklung der Versorgung eines
Mittelspannungsnetzes, so wird sie als Tertiärwicklung bezeichnet. Diese Dreiwicklungstransformatoren (mit Tertiärwicklung) werden zum Beispiel dann eingesetzt, wenn Verbraucher mit stark schwankender Belastung von den übrigen getrennt werden sollen.
2.4.4.1 Mitsystem
Bei einem Dreiwicklungstransformator sind insgesamt drei verschiedene Kurzschlussversuche durchzuführen, um die unterschiedlichen Reaktanzen eindeutig zu bestimmen.
Hierbei wird jeweils eine Wicklung kurzgeschlossen, eine bleibt unbelastet, während an
der letzten Spannung angelegt wird. Die Elemente der Ersatzschaltung nach Abb. 2.36
können mit Hilfe Tab. 2.13 ermittelt werden.
In der Regel ist eine der Reaktanzen X1, X2, X3 negativ bzw. vom Betrag her wesentlich kleiner als die übrigen. Es handelt sich hierbei um die Reaktanz der Wicklung, die
räumlich zwischen den beiden anderen liegt. Hierbei ist zu beachten, dass die negative
Reaktanz keine Kapazität ist, da der Wert proportional mit der Frequenz ansteigt.
2.4.4.2 Nullsystem
Aus den Überlegungen in Abschn. 2.4.3.3 und 2.4.4.1 kann das Nullsystem für einen Dreiwicklungstransformator abgeleitet werden. Während der Einsatz eines Transformators Yy
zur Kopplung von Netzen nur bedingt geeignet ist, werden durch den Einsatz eines Transformators mit Ausgleichswicklung diese Nachteile aufgehoben. Abbildung 2.38 gibt das
Nullsystem eines Ydy-Transformators an. Aus Abb. 2.38 ist erkennbar, dass die Nullsysteme der beiden Netze 1 und 2 entkoppelt sind, wenn z. B. ZE1 = 0 und ZE2 → ∞ ist. Für
diesen Betriebsfall stellt der Transformator einen Zweiwicklungstransformator dar (Yd),
obwohl die Sekundärseite trotzdem im Stern ausgeführt werden kann. Grundsätzlich ist
es auch möglich, beide Transformatorsternpunkte zu erden, da stets X 0′ ss X 0H ist und
somit eine Entkopplung der Nullsysteme stattfindet. Bei Transformatoren kleiner Leistung
sollte dieses im Einzelfall jedoch bestimmt werden.
2.4 Transformator
77
M;¶i M;i ,
,
8
8
M;¶i ,
8
Abb. 2.37 Ersatzschaltung eines Dreiwicklungstransformators im Mitsystem (Vernachlässigung
der Magnetisierungsreaktanz)
,
8
5
U
6
V
7
W
=(
a
=(
=(
M;i M;¶i =¶(
M;¶i 8
M;+
8¶
8¶
b
Abb. 2.38 Ersatzschaltbild im Nullsystem bei einem Ydy-Transformator. a Netzschaltbild.
b Ersatzschaltbild
78
2 Darstellung der Betriebsmittel
2.4.5 Spartransformatoren
Spartransformatoren werden in der Regel als Kupplungstransformatoren zwischen zwei
Höchstspannungsebenen eingesetzt. Kennzeichnend für Spartransformatoren ist, dass sowohl eine induktive als auch eine galvanische Kopplung der Wicklungen vorhanden ist.
Die Ersatzschaltung ist in Abb. 2.39 dargestellt. Konstruktiv besteht ein Spartransformator
aus folgenden Wicklungen:
• Stammwicklung bzw. Parallelwicklung (Spannungsfall U 2)
• Zusatzwicklung bzw. Reihenwicklung (Spannungsfall U 4)
• Ausgleichswicklung (Spannungsfall U 3); Abb. 2.40
Der wesentliche Unterschied zu einem Volltransformator besteht darin, dass die Eigenleistung geringer ist als die Durchgangsleistung, bezogen auf einen Volltransformator.
Die Eigenleistung wird hierbei als arithmetischer Mittelwert aus der Oberspannungs- und
Unterspannungs-Wicklungsleistung definiert, die somit ein Maß für den Materialaufwand
der Wicklungen und damit für die Kosten ist.
Bei Berücksichtigung der Benennung nach Abb. 2.27 ergeben sich für den Volltransformator folgende Beziehungen.
• Eigenleistung, Volltransformator
3
(2.226)
SE = ⋅ (U1 ⋅ I 1+ U 2 ⋅ I 2)
2
• Durchgangsleistung, Volltransformator
SD = 3 ⋅U1 ⋅ I 1 = 3 ⋅U 2 ⋅ I 2
(2.227)
Abb. 2.39 Ersatzschaltbild
eines Spartransformators mit
interner Wicklungsverbindung
,
8
,
8
W
,
8
,
8
8
,,
2.4 Transformator
79
Unter Berücksichtigung der beiden Gln. (2.226 und 2.227) ergibt sich für einen Volltransformator die Beziehung:
SD = SE
(2.228)
Das bedeutet, dass die Eigenleistung eines Volltransformators stets der Durchgangsleistung entspricht und hierfür ausgelegt sein muss. Analog gilt für den Spartransformator:
• Eigenleistung, Spartransformator
3
SE = ⋅ [ I 1 ⋅ (U1 −U 2 ) + U 2 ⋅ ( I 2 − I 1)]
2
(2.229)
• Durchgangsleistung, Spartransformator
SD = 3 ⋅U 4 ⋅ I1 = 3 ⋅U 2 ⋅ I 2
(2.230)
Zusammenfassen der Gln. (2.229 und 2.230) ergibt:
SE
U
1 I ⋅U + I 2 ⋅U 2 − 2 ⋅ I 1⋅U 2
= ⋅ 1 1
= 1− 2
SD 2
SD
U1
(2.231)
Mit dem Übersetzungsverhältnis t = U2 /U1 folgt für das Leistungsverhältnis:
 U 
 1
SE = SD ⋅ 1− 2  = SD ⋅ 1− 
(2.232)

 U1 
t 
Aus Gl. (2.232) ist ersichtlich, dass die Eigenleistung eines Spartransformators, und damit die Herstellkosten, stets geringer sind als ein vergleichbarer Volltransformator mit
gleicher Durchgangsleistung. Hierbei sollte das Übersetzungsverhältnis nicht zu sehr von
eins abweichen. Spartransformatoren werden in Deutschland zur Kupplung von Höchstspannungsnetzen (z. B. 380/220 kV) eingesetzt, wenn beide Teilnetze direkt geerdet sind.
Im Allgemeinen ist ein Spartransformator mit einer Ausgleichswicklung (im Dreieck
geschaltet) versehen, so dass Abb. 2.39 erweitert kann, hierbei lautet die Schaltung Y(d)y.
Mit Hilfe der Ersatzschaltung (Abb. 2.40) können Komponentenschaltbilder entsprechend Abb. 2.37 abgeleitet werden, wie sie in Abb. 2.41 dargestellt sind. Die Wicklungen
4 und 2 mit der inneren Verbindung werden zusammen als Wicklung 1 bezeichnet. Die
Ersatzschaltung 2.41b wird für die Berechnung verwendet, da die beiden Klemmen der
Wicklungen 2 und 1 für die dazugehörigen Netze zur Verfügung stehen.
Die Netzschaltung nach Abb. 2.41b, die für den Einsatz z. B. mit symmetrischen Komponenten sinnvoll ist, wird aus Abb. 2.41a abgeleitet, da hier U1 getrennt von U2 vorkommt. Da die Ersatzschaltbilder aus drei Reaktanzen und zwei Übersetzungen bestehen,
80
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.40 Spartransformator
mit Ausgleichswicklung
,
,
8
,
8
8
sind für eine eindeutige Bestimmung insgesamt fünf Gleichungen notwendig. Diese Gleichungen können hierbei aus zwei Leerlauf- und drei Kurzschlussmessungen abgeleitet
werden. Nach [20] ergibt sich für die Reaktanzen, entsprechend Abb. 2.41b, wenn alle
Reaktanzen auf die Bezugsspannung U2 bezogen werden:
Abb. 2.41 Ersatzschaltung
eines Spartransformators mit
Ausgleichswicklung (Bezugsspannung der Reaktanzen
U2). a mit innerer Verbindung. b Netzschaltung zur
Netzkupplung
;D8
W
8
W
;D8
8
;D8
8
8
a
;E8
W
8
W
;E8
;E8
8
8
b
2.4 Transformator
81
2
t −1
 t −1 
X b1 = 
⋅ X a2
 ⋅ X a4 −
t
 t 
t −1
⋅ X a2
X b2 =
t
1
X b3 = X a3 + ⋅ X a2
t
U1
t=
U2
(2.233)
Mit
U1 Oberspannung
U2 Unterspannung
Wenn im Allgemeinen der Sternpunkt des Spartransformators direkt geerdet ist (Erdungsimpedanz ZE = 0 Ω), ergibt sich unter Berücksichtigung der Ausgleichswicklung (Dreieck)
das Ersatzschaltbild im Nullsystem (Abb. 2.42), welches der Abb. 2.38 entspricht. In der
Darstellung nach Abb. 2.42 ist vorausgesetzt, dass die Erdungsimpedanz ZE = 0 Ω ist.
Wird im Gegensatz zur Abb. 2.42 eine Sternpunktimpedanz berücksichtigt, so ist die
Nullimpedanz des Spartransformators nach [20] zu erweitern, Abb. 2.43. In diesem Fall ist
die Sternpunktimpedanz nicht nur einer Wicklung sondern zwei Wicklungen (Oberspannung und Unterspannung) zuzuordnen, da der Sternpunktstrom einen unterschiedlichen
Spannungsfall hervor. Nach [20] gilt für die transformierten Sternpunktimpedanzen G,
jeweils bezogen auf die Oberspannung U1 (für ZE ≠ ∞):
G1 = −Z E ⋅ (t −1) G2 = +Z E ⋅ t ⋅ (t −1) G3 = +Z E ⋅ t
(2.234)
Abb. 2.42 Ersatzschaltbild
eines geerdeten Spartransformators im Nullsystem
(Bezugsspannung U2)
;E
88
;E
;E
88
8
82
2 Darstellung der Betriebsmittel
;E
*
88
*
;E
;E
*
88
8
Abb. 2.43 Ersatzschaltbild eines Spartransformators im Nullsystem unter Berücksichtigung einer
Erdungsimpedanz ZE
Falls ein Spartransformator ungeerdet werden soll, sollte aus der Sternschaltung im Nullsystem nach Abb. 2.43 eine Stern-Dreieckumwandlung durchgeführt werden. Eine Umwandlung der Sternschaltung mit ZE → ∞ ist nicht sinnvoll, da in diesem Fall alle Zweige
den Wert unendlich annehmen. Die Nullimpedanz des Transformators stellt jedoch aufgrund der galvanischen Kopplung einen endlichen Wert dar [30]. Unter Berücksichtigung
der Gl. (2.234) ergeben sich die Reaktanzen im Nullsystem für einen freien Sternpunkt
nach [20] zu:
1
(t −1) 2
⋅ X 0b3
X 0b12 = t ⋅ X 0b1 + ⋅ X 0b2 +
t
t
 t2

1
X 0b23 = − 
⋅ X 0b1 +
⋅ X 0b2 + (t −1) ⋅ X 0b3 
t −1
 t −1

(2.235)
t
1
t −1
X 0b31 =
⋅ X 0b1 +
⋅ X 0b2 +
⋅ X 0b3
t −1
t ⋅ (t −1)
t
U
t= 1
U2
Die Schaltung im Nullsystem wird als Resonanzdreieck bezeichnet, da die Summe der
Reaktanzen den Wert null ergibt ( X0b12 + X0b23 + X0b31 = 0).
Beispiel Daten des Spartransformators:
Netznominalspannungen Un/kV
Bemessungsspannungen Ur/kV
Bemessungsleistung (Wicklung) Sr/MVA
380/220/30
400/230/30
1000/1000/200
2.4 Transformator
83
uk12/%
uk23/%
uk13/%
Kurzschlussspannungen
Schaltgruppe
15,5
11,2
15,2
Y(d)y
Resistanzen werden zur Vereinfachung nicht berücksichtigt. Mit Hilfe der Kurzschlussspannungen und der Durchgangsleistungen können die Reaktanzen des Ersatzschaltbildes
im Mitsystem nach Abb. 2.37 bestimmt werden (Bezugsspannungsebene Un = 380 kV).
X12 =
15,5% (400 kV) 2
⋅
= 24,8Ω
100 % 1000 MVA
X 23 =
X 31 =
11, 2 % (400 kV) 2
⋅
= 89, 6Ω
100 % 200 MVA
15, 2 % (400 kV) 2
⋅
= 121, 6Ω
100 % 200 MVA
Nach Tab. 2.13 lassen sich die Reaktanzen (Sternschaltung) für die Ersatzschaltung bestimmen.
X1 =
X 31 + X12 − X 23 121, 6 + 24,8 − 89, 6
=
= 28, 4Ω
2
2
X2 =
X12 + X 23 − X 31 24,8 + 89, 6 −121, 6
=
= −3, 6Ω
2
2
X3 =
X 23 + X 31 − X12 89, 6 + 121, 6 − 24,8
=
= 93, 2Ω
2
2
Aufgrund der konstruktiven Lage der Wicklung 2 ist die dazugehörige Reaktanz X2 negativ. Da Spartransformatoren aus drei Einphaseneinheiten bestehen, sind bei einem direkt geerdeten Transformator (ZE = 0 Ω) die Nullreaktanzen gleich den Mitreaktanzen. Im
Gegensatz hierzu werden bei einem isolierten Transformator (ZE → ∞) die Reaktanzen des
Resonanzdreiecks nach den Gln. (2.235) bestimmt.
t=
U1 400
=
= 1, 739
U 2 230
1
(t − 1) 2
X 012 = t ⋅ X 1 + ⋅ X 2 +
⋅ X3
t
t
3, 6 Ω 0, 7392
= 1, 739 ⋅ 28, 4 Ω −
+
⋅ 93, 2 Ω = 76, 60 Ω
1, 739 1, 739
84
2 Darstellung der Betriebsmittel
 t2

1
X 023 = − 
⋅ X1 +
⋅ X 2 + (t − 1) ⋅ X 3 
t −1
 t −1

2
1, 739
3, 6 Ω
− 0, 739 ⋅ 93, 2 Ω = −180, 23 Ω
=−
⋅ 28, 4 Ω +
0, 739
0, 739
t
t −1
1
⋅ X1 +
⋅ X2 +
⋅ X3
t −1
t ⋅ (t − 1)
t
1, 739
0, 739
3, 6 Ω
=
⋅ 28, 4 Ω −
+
⋅ 93, 2 Ω = 103, 63 Ω
0, 739
1, 739 ⋅ 0, 739 1, 739
X 031 =
Mit Hilfe der berechneten Reaktanzen im Mit- und Nullsystem können die entsprechenden Ersatzschaltbilder gezeichnet werden (Abb. 2.44).
Im Kap. 5 ist ein Beispiel eines Erdkurzschlusses unter Berücksichtigung eines geerdeten Spartransformators angegeben.
2.4.6 Kapazitives Ersatzschaltbild
Bei Spannungsvorgängen mit hohen Steilheiten wirken neben den induktiven Elementen
des Transformators auch die kapazitiven, so dass in diesen Fällen ein ergänztes Ersatzschaltbild anzuwenden ist. Hierbei handelt es sich zum Beispiel um die Einschaltung von
Leitungen oder den Eintritt von einpoligen Fehlern mit Erdberührung. Aufgrund der vorhandenen Windungen bzw. Wicklungen sind somit auch Kapazitäten nach Abb. 2.45 vorhanden, die in diesem Fall als konzentrierte Elemente nachgebildet werden. Im Allgemeinen kann dieses Ersatzschaltbild für transiente Vorgänge mit Frequenzen von f0 < 100 kHz
verwendet werden [8].
Zusätzlich zu den Elementen nach Abb. 2.26 (induktives Schaltbild) sind in Abb. 2.33a
noch die folgenden Kapazitäten eingetragen (die Transformatorimpedanz der Sekundärseite ist auf die Primärseite umgerechnet):
• C1 Kapazität der Primärwicklung gegen Erde
• C2 Kapazität der Sekundärwicklung gegen Erde
• C12 Koppelkapazität zwischen Primär und Sekundärwicklung
Bei steilen Spannungsvorgängen kann das induktive Ersatzschaltbild vernachlässigt werden, zum Beispiel bei der Darstellung von atmosphärischen Vorgängen, so dass für diese
Simulationen ausschließlich das kapazitive Teilerverhältnis berücksichtigt werden kann.
Somit ergibt sich die übertragene Spannung UT2 zu:
C12
U T2 =
⋅U T1 = c ⋅U T1
(2.236)
C12 + C2
2.4 Transformator
Abb. 2.44 Ersatzschaltbilder
eines Spartransformators (alle
Werte sind auf die Oberspannungsseite U1 bezogen).
a Mitsystem. b Nullsystem
(Sternpunkt direkt geerdet).
c Nullsystem (Sternpunkt
isoliert)
85
,
MM
MM
,
8
8
MM
,
8
a
,
MM
MM
,
8
8
MM
,
8
b
,
8
MM
MM
,
MM
8
,
8
c
86
2 Darstellung der Betriebsmittel
5M;i
,
8
&
&
5M;i W
5)H
M;+
,
&
8
Abb. 2.45 Vollständiges Ersatzschaltbild eines Transformators
&
8
&
8
&
&
8
Abb. 2.46 Vereinfachte kapazitive Ersatzschaltbilder
Nach [16] kann für das Verhältnis c ein Wert im Bereich von c = 0,0 bis 0,4 angenommen
werden.
Bei sehr steilen Vorgängen, z. B. der Nachbildung von Blitzvorgängen, ist ausschließlich das kapazitive Verhalten des Transformators von Interesse, so dass ausschließlich die
Kapazitäten nach Abb. 2.46 verwendet werden können (siehe Abschn. 2.4.8.1).
Mit der vereinfachten Nachbildung kann der Einfluss eines Transformators auf eine
einlaufende Spannungswelle nachgebildet werden. Nach [14] beträgt die Kapazität gegen
Erde zwischen C1 = 1–3 nF im Spannungsbereich von Um = 72–525 kV. Weitere Literaturangaben sind in Abschn. 2.4.8.1 aufgeführt.
2.4.7 Resonanzanregung
Durch Spannungen an den Transformatorklemmen können Eigenfrequenzen innerhalb
eines Transformators angeregt werden. Für eine Nachbildung kann beispielhaft das entsprechende Ersatzschaltbild nach Abb. 2.45 verwendet werden, welches nach Abb. 2.47
2.4 Transformator
87
&
W
5
8
/
&
&
8
Abb. 2.47 Vereinfachtes Ersatzschaltbild eines Transformators
vereinfacht werden kann, indem die Hauptreaktanz vernachlässigt wird. Die Ersatzschaltung gilt für den Fall, dass die Klemmen auf der Sekundärseite unbelastet sind, im Gegensatz zur Darstellung nach Abb. 2.49.
Für die Berechnung des Übertragungsverhaltens wird die Eingangskapazität C1 nicht
berücksichtigt, da sie durch die Spannungsquelle U1 kurzgeschlossen ist.
Das Übertragungsverhalten des Transformators nach Abb. 2.47 kann aus den einzelnen
A-Matrizen bestimmt werden.
• Transformator-Längsimpedanz ZT und Übertrager:
 U 1   1 Z T   t 0   U 2   t Z T /t   U 2 
(2.237)
 ⋅  ″ 
 =
⋅
 ⋅  ′  = 
 I 1   0 1   0 1/t   I 2   0 1/t   I 2 
′
″
Mit
Z T = R + jw L
(2.238)
• Querkapazität C2:
 U ″2   1
0  U 2 
⋅
 ″ =
(2.239)
 I   jωC2 1   I 2 
 2
Hieraus ergibt sich aus den Gln. (2.237) und (2.238) für die Reihenschaltung:
″
 U 1   t + jωC2 ⋅ Z T /t Z T /t   U 2 
(2.240)
 ⋅  ″ 
 =
1/t   I 2 
jωC2 /t
 I1  
88
2 Darstellung der Betriebsmittel
Für die Admittanzmatrix der Längskapazität C12 folgt:
 I 1  j wC12 − j wC12  U1 
  = 
 ⋅  
(2.241)
 I 2   j wC12 − j wC12  U 2 
Nach Parallelschaltung kann das Übertragungsverhalten bestimmt werden.
U ( j w)
C12
t ⋅ w2 − w2 + j 2 ⋅ δ ⋅ w
H ( j w) = 2
=
⋅ 2 12
(2.242)
U1 ( j w) C12 + C2 t ⋅ w2 − w2 + j 2 ⋅ δ ⋅ w
Mit
1
1
R
w 12=
w 22=
δ=
(2.243)
L ⋅ C12
L ⋅ (C12 + C2 )
2⋅ L
Die tatsächliche Eigenfrequenz des Transformators ermittelt sich somit zu
(2.244)
t = 1
we = w22 − 2δ 2
fur
Für die Übertragungsfunktion nach Gl. (2.238) ergeben sich die folgenden Grenzwerte für
ω = 0 bzw. ∞:
w=0
H (0) = 1/t
Das Übertragungsverhalten bei geringen Frequenzen, z. B. Betriebsfrequenz, ist somit
identisch mit dem induktiven Übersetzungsverhältnis t.
w→∞
H (∞) =
C12
C12 + C2
Bei sehr hohen Frequenzen nähert sich das Verhalten dem kapazitiven Übersetzungsverhältnis an, entsprechend Gl. (2.236).
Eine Resonanzanregung des Transformators ist dann möglich, wenn die Spannung U2
maximal ist und die Eingangsspannung U1 eine Frequenz entsprechend der Resonanzfrequenz hat (Spannungserhöhung im Resonanzfall). Dieses ist dann der Fall, wenn nach
Gl. (2.238) die Übertragungsfunktion den Maximalwert erreicht, mit ω = ω2 für t = 1 und
die Resistanz vernachlässigt wird. Abbildung 2.48 zeigt die Übertragungsfunktion H( ω)
bzw. H( f) nach Gl. (2.238) in Abhängigkeit der Frequenz f für ein Übersetzungsverhältnis
von t = 1 bzw. t = 2.
Der Wert H( f 2) mit f2 = 5,81 kHz stellt die Reihenresonanz nach Gl. (2.239) dar, indem es zu einer Spannungserhöhung innerhalb des Transformators kommen kann, wäh-
2.4 Transformator
89
+I
W W +] Abb. 2.48 Übertragungsfunktion eines Transformators
rend H( f1) mit f1 = 9,19 kHz den Bereich der Parallelresonanzdarstellt mit kleinen Spannungen U2 jeweils für t = 1 angibt. Für größere Übersetzungsverhältnisse verschiebt sich
die Resonanzfrequenz zu höheren Werten, bei gleichen Impedanzen. In der Praxis wird
eine mögliche Eigenfrequenz eines Transformators durch eine Impedanzmessung an den
Klemmen des Transformators ermittelt [22].
Während nach Abb. 2.47 nur die Nachbildung einer Eigenfrequenz erfolgt, ist es durchaus sinnvoll, ausgehend von einer Eigenfrequenzmessung eines Transformators eine Ersatzschaltung über einen größeren Frequenzbereich nachzubilden. Abbildung 2.49 zeigt
Ω
I
I
I
+]
Abb. 2.49 Eingangsimpedanz eines Transformators bei kurzgeschlossener Sekundärseite [6]
90
2 Darstellung der Betriebsmittel
den Verlauf der Eingangsimpedanz eines Transformators (S = 740 MVA), dessen Sekundärseite kurzgeschlossen ist [6]. Die frequenzabhängige Eingangsimpedanz wird auf der
Oberspannungsseite gemessen. Im Bereich der geringen Frequenzen zeigt der Verlauf ein
induktives Verhalten (Anstieg der Impedanz linear mit der Frequenz), während im höheren Frequenzbereich ein kapazitives Verhalten vorliegt. Dieses bedeutet, dass aus der Induktivität LT und der Kapazität CT eine charakteristische Impedanz ZT des Transformators
bestimmt werden kann.
Im Gegensatz zur Darstellung nach Abb. 2.49 wird bei einer Messung unter Berücksichtigung einer offenen Sekundärseite eine Verschiebung der ersten Parallelfrequenz zu
geringeren Werten erfolgen.
Aus der Abb. 2.49 können die folgenden Reihenresonanzen abgelesen werden:
• f1 = 8,91 kHz
• f2 = 35,66 kHz
• f3 = 98,31 kHz
Diese Eigenfrequenzen des Transformators können durch eine Spannung aus dem Netz
mit derselben Frequenz angeregt werden, so dass es innerhalb des Transformators zu einer
Überbeanspruchung kommen kann, während die Frequenzen, die einen Parallelschwingkreis repräsentieren, bei einer Spannungsanregung unkritisch sind.
Aus dem Frequenzverlauf kann die einphasige Ersatzschaltung nach Abb. 2.50 abgeleitete werden und sie stellt die Eingangsimpedanz Z an den Klemmen des Transformators
dar. Während die Reihenschwingkreise jeweils die Eigenfrequenzen des Transformators
darstellen, repräsentiert die Induktivität Lσ die Kurzschlussinduktivität, CBIL die Stoßkapazität und R den Wellenwiderstand der Wicklungen dar.
Die Elemente der Ersatzschaltung nach Abb. 2.50 haben die folgenden Werte:
•
•
•
•
•
•
Eingangskapazität CBIL
Streuinduktivität Lσ Wellenwiderstand R
Reihenschwingkreis F1
Reihenschwingkreis F2
Reihenschwingkreis F3
4,4 nF
121 mH
70 kΩ
5 kΩ
500 Ω
300 Ω
760 mH
24 mH
6,3 mH
0,4 nF
0,8 nF
0,4 nF
Abb. 2.50 Ersatzschaltung
eines Transformators für eine
Resonanzberechnung [6]
=
&%,/
/i
5
)
)
)
2.4 Transformator
91
Der Vorteil der einphasigen Ersatzschaltung besteht darin, dass die Nachbildung für Netzsimulationen in einem Frequenzbereich bis 100 kHz nachgebildet werden kann. Es ist zu
berücksichtigen, dass zwar das Verhalten des Transformators an den Klemmen nachgebildet wird, jedoch kann das Spannungsverhalten an einzelnen Wicklungen nicht ermittelt
werden.
Das in Abb. 2.50 dargestellte Ersatzschaltschaltung bildet in erster Linie den Impedanzverlauf in der Nähe der Reihenresonanzen des Transformators wider, wie dieses für
das Verhalten eines Transformators benötigt wird, der am Ende einer Leitung angeschlossen ist. Zusätzlich wird die erste Parallelresonanz durch den linken Teil der Ersatzschaltung ( CBIL, Lσ) nachgebildet.
In diesem Fall wird das Resonanzverhalten untersucht, wie der Transformator auf
Schwingungen reagiert, die an den Klemmen aufgrund von Schalthandlungen entstehen
(Abschn. 5.9.3). Wird im Gegensatz hierzu der Ausschaltvorgang eines Kurzschlusses
betrachtet, der von einem Transformator eingespeist wird (Abschn. 6.5.2.5), so sind die
Parallelresonanzen von Interesse, da diese für die wiederkehrende Spannung nach einer
Kurzschlussstromunterbrechung bestimmend sind.
Für die Berücksichtigung von parallelen Resonanzen sind in [7] verschiedene Transformatormodelle beispielhaft angegeben, in Abhängigkeit der Anzahl der Resonanzen. Die
verwendeten Daten sind aus Impedanzmessungen an Transformatoren abgeleitet.
2.4.8 Oberschwingungsberechnungen
Die Berücksichtigung der Frequenzabhängigkeit der Transformatorimpedanzen ist bei
Oberschwingungsberechnungen unerlässlich, da andernfalls die Ergebnisse zu sehr auf
der sicheren Seite liegen, d. h., die Anregung durch Oberschwingungsströme wird zu groß
errechnet [15].
Im Gegensatz zu den Lastfluss- bzw. Kurzschlussstromberechnungen, die jeweils für
die Netzfrequenz erfolgen, wird bei Oberschwingungsberechnungen ein Spektrum von
Frequenzen (z. B. 50 Hz ≤ f0 ≤ 2500 Hz) berücksichtigt. Nach [26] führt die Vernachlässigung der Queradmittanz bei der Transformatorersatzschaltung zu Abweichungen, die in
Bezug auf die Impedanz in Längsrichtung, vernachlässigt werden können, so dass eine
Ersatzschaltung nach Abb. 2.30, welches für Netzfrequenz gilt, ohne Queradmittanz zur
Anwendung kommt. Während die Kurzschlussinduktivität im interessierenden Frequenzbereich konstant ist, kann für die Resistanz RT( f) nach [21] Gl. (2.245) in Abhängigkeit
von der Frequenz f abgeleitet werden:

f
bR 

RT( f ) = RT50 ⋅ 1 + aR ⋅  r −1 
 
 f 0



(2.245)
92
2 Darstellung der Betriebsmittel
Mit
RT50 Kurzschlussresistanz für f0 = 50 Hz
fr
Bemessungsfrequenz (= f0)
Für die Faktoren aR und bR kann gesetzt werden:
aR = 0, 2
bR = 1, 5
(2.246)
2.4.9 Transiente Berechnungen
Die Nachbildung von Transformatoren bei transienten Berechnungen ist ausführlich in [1]
beschrieben, welches im Folgenden kurz dargestellt wird.
2.4.9.1 Schnell ansteigende Überspannung
Bei der Ermittlung von Überspannungen an den Transformatorklemmen, die als Folge
von Blitzeinschlägen entstehen, ist es üblich, einen Simulationsbereich von t ≈ 0,5–5 µs zu
betrachten. Aufgrund der hierbei auftretenden hohen Frequenzen ist die Nachbildung des
Transformators nach Abb. 2.51 mit seiner Stoßkapazität ausreichend, allenfalls kann ein
paralleler Widerstand (Wellenwiderstand) berücksichtigt werden.
Während die Stoßkapazität im Bereich von CT ≈ 1–2 nF liegt, ergeben sich für den Wellenwiderstand Werte von ZT ≈ 5 kΩ. Aufgrund des hohen Wellenwiderstandes kann dieser
z. B. bei Blitzüberspannungsberechnungen auch vernachlässigt werden.
Werden im Gegensatz hierzu Berechnungen durchgeführt, mit dem Ziel, Überspannungen zu berechnen, die durch den Stromabriss in einer Phase entstehen, so sind Kapazitätswerte für den ersten Pol in [12] angegeben. Im Allgemeinen liegen die Werte zwischen
2 nF und 10 nF und steigen leicht mit der Transformatorleistung und es besteht ein leichter
Zusammenhang zur Bemessungsspannung (zunehmend).
2.4.9.2 Langsam ansteigende Überspannung
Grundsätzlich sind bei Abschaltvorgängen von Transformatoren zwei Vorgänge zu unterscheiden, bei deren Berechnung unterschiedliche Ersatzschaltungen einzusetzen sind, da
Abb. 2.51 Transformatorersatzschaltung bei schnell
ansteigenden Überspannungen. ZT Wellenwiderstand
des Transformators, CT
Stoßkapazität
=j
8
8
&7
=7
2.4 Transformator
93
Abb. 2.52 Transformatorersatzschaltung bei langsam
ansteigenden Überspannungen
(Leerlaufabschaltung)
&7
8
8
/+
57
verschiedene Elemente des Transformators sich auswirken: Leerlauf- und Kurzschlussabschaltungen, die im Folgenden näher beschrieben werden.
Leerlaufabschaltung Bei Ausschaltvorgängen von unbelasteten Transformatoren kann die
vereinfachte Ersatzschaltung nach Abb. 2.52 verwendet werden. Bei der Unterbrechung
von kleinen induktiven Strömen kann der Lichtbogenstrom vor Erreichen des natürlichen
Stromnulldurchgangs zu einem Stromabriss kommen, Abschn. 6.2.
Der Wert für die Hauptinduktivität ermittelt sich nach Gl. (2.219). Wohingegen sich die
Kapazität CT nach [13] aus dem Schwingungsverhalten nach Abschaltvorgängen mit Hilfe
der Eigenfrequenz f0 nach Tab. 2.14 und nach Gl. (2.247) bestimmt.
Für die Kapazität gilt:
1
CT =
(2.247)
(2p ⋅ f 0 ) 2 ⋅ LH
f0 Eigenfrequenz nach Tab. 2.14
LH Hauptinduktivität nach Gl. (2.219)
Der Widerstand RT, der ein Maß für die ohmschen Verluste ist und den Einschwingvorgang
der Transformatorklemmenspannung nach der Abschaltung dämpft, kann mit Hilfe des
Amplitudenfaktors a bestimmt werden (Abschn. 7.4.1.3). Der Widerstand RT ist hierbei
nicht gleich den Eisenverlusten nach Gl. (2.217), da die Eisenverluste sich ausschließlich
auf die Netzfrequenz beziehen. Messungen haben ergeben, dass bei Abschaltungen von
unbelasteten Transformatoren Amplitudenfaktoren a ≤ 1,2 zu erwarten sind.
Tab. 2.14 Eigenfrequenzen f0
in Abhängigkeit der höchsten
Spannung für Betriebsmittel
Um (Leerlaufabschaltung) [13]
Um/kV
< 200
200–300
> 300
f0/Hz
300
200
150
94
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.53 Transformatorersatzschaltung bei langsam
ansteigenden Überspannungen
(Kurzschlussabschaltung)
/7
&7
8
8
57
Tab. 2.15 Eigenfrequenzen f0 in Abhängigkeit der Kurzschlussleistung SkT (Kurzschlussabschaltung) [9]
f0/kHz bei Um/kV
SkT/MVA
12
24
36
123
245
420
100
300
1000
2000
3000
7000
35
60
85
100
–
–
20
45
70
80
–
–
20
35
45
60
–
–
5
10
15
17
20
–
2
5
7
8
10
12
–
3
5
5
6
7
Kurzschlussabschaltung Wird ein Kurzschluss auf der Unterspannungsseite eines
Transformators durch den zugehörigen Kurzschlussschutz abgeschaltet, so ist die Einschwingspannung über der Schaltstrecke des Leistungsschalters zur Beurteilung des Ausschaltverhaltens von Interesse. In diesen Fällen schwingt die Spannung mit einer Frequenz
ein, die sich aus der Kurzschlussinduktivität und der Kapazität auf der Unterspannungsseite des Transformators ergibt. Die Ersatzschaltung zeigt Abb. 2.53.
Die Transformatorinduktivität LT (Streuinduktivität) kann aus der Kurzschlussreaktanz
nach Gl. (2.216) ermittelt werden, während die Eigenfrequenz zur Bestimmung der Kapazität CT der Tab. 2.15 in Abhängigkeit der Kurzschlussleistung des Transformators entnommen werden kann [9].
Für den Amplitudenfaktor zur Bestimmung des Widerstands RT kann in diesem Fall ein
Wert von a = 1,9 als Maximalwert gesetzt werden.
2.4.10 Kennwerte von Transformatoren
Die wichtigsten elektrischen Kennwerte können Tab. 2.16 entnommen werden. Hierbei
handelt es sich um Transformatoren, die in Deutschland innerhalb der öffentlichen Versorgung eingesetzt werden.
2.4 Transformator
95
Tab. 2.16 Kennwerte von in Deutschland eingesetzten Transformatoren
Sr/MVA
ukr/%
pkr/%
p0r/%
Ur/kV
≤ 36
i0r/%
30 < UrTOS ≤ 123
2–4
5–10
12,5–40
6,3–10
6
7
10
10
0,9–0,8
0,8–0,7
0,6–0,4
0,9–0,8
0,17–1,4
0,13–0,11
0,08–0,06
0,18–0,14
1,3–1,1
1,0–0,8
0,8–0,5
0,9–0,8
123
123 < UrTOS ≤ 245
12,5–40
50, 63
80
100–350
100–1000
12
13
14
12–16
10–20
0,8–0,5
0,4
0,3
0,31–0,19
0,32– 0,19
0,10–0,07
0,06
0,05
0,05–0,03
0,065–0,035
0,8–0,5
0,5 0,05
0,45–0,05
0,45–0,05
0,47–0,04
245 < UrTOS ≤ 420
100–1000
11–20
0,4–0,2
0,07–0,04
0,48–0,04
Ur Bemessungsspannung der -OS-Seite, Sr Bemessungsleistung, ukr Kurzschlussspannung in %, pkr
Kurzschlussverluste in %, p0r Leerlaufverluste in %, i0r Leerlaufstrom in %
Nachfolgend sind einige aktuelle Daten von typischen Transformatoren nach [28] aufgeführt.
• Zweiwicklungstransformator (Netztransformator)
Schaltgruppe
Scheinleistung
Spannungen
Yd5
Sr = 31,5 MVA
UrTHS/UrTUS = 112/22,2 kV
Rel. Kurzschlussspannungen
Erdung
Nullimpedanzverhältnis
Stufenschalter
Kurzschlussspannungen
ukr = 12,8 %; uRr = 0,37 %
Hochspannungsseite
X(0)/X(1) ≈ 1
pT = ± 18 %
uk(+) = 13,9 %; uk(−) = 10,5 %
• Zweiwicklungstransformator (Blocktransformator)
Schaltgruppe
Scheinleistung
Spannungen
Rel. Kurzschlussspannungen
Erdung
Nullimpedanzverhältnis
Stufenschalter
Kurzschlussspannungen
Yd5
Sr = 780 MVA
UrTHS/UrTUS = 230/21,0 kV
ukr = 15,3 %; uRr = 0,20 %
Hochspannungsseite
X(0)/X(1) ≈ 0,8
pT = ± 15 %
uk(+) = 16,7 %; uk(−) = 14,3 %
96
2 Darstellung der Betriebsmittel
• Spartransformator (mit Tertiärwicklung)
Schaltgruppe
Scheinleistung
III d5
SrAB/SrAC/SrBC = 660/198/198 MVA
Spannungen
UrTA/UrTB/UrTC = 400/231/30 kV
Rel. Kurzschlussspannungen
ukrAB/ukrAC/ukrBC = 10,2/13,5/10,6 %
Nullimpedanz
X(0)A/X(0)B/X(0)C = 24,35/0,35/84,65 Ω(Seite A)
2.5 Generatoren
Grundsätzlich wird zwischen Synchrongeneratoren mit Vollpolläufern (Turboläufern) und
Generatoren mit Schenkelpolläufern unterschieden, wodurch sich ein unterschiedlicher
Aufbau ergibt. Während die ersten in thermischen Kraftwerken eingesetzt werden, erfolgt
der Einsatz der zweiten hauptsächlich in Wasserkraftwerken. Während für betriebsfrequente Vorgänge stets die ausführlichen Gleichungen in d- und q-Achse zu verwenden
sind, vereinfachen sich die Ersatzschaltbilder für höher frequente Vorgänge, so dass in
diesen Fällen mit konstanten Elementen zu rechnen ist.
2.5.1 Reaktanzen und Zeitkonstanten (betriebsfrequent)
Im Allgemeinen erfolgt die Modellierung einer Synchronmaschine auf der Basis der
Zweiachsentheorie von Park. Hierbei wird ein Drehstromsystem in die Diagonalkomponenten des Rotors zerlegt. Auf Grund des Aufbaus besitzt der Stator eine dreiphasige
Drehstromwicklung, wohingegen die Erregerwicklung und gegebenenfalls die Dämpferwicklung sich auf dem Rotor befinden. Grundsätzlich sind die Reaktanzen in Längs- und
Querrichtung unterschiedlich, welches besonders bei einem Schenkelpolläufer ausgeprägt
ist, zusätzlich befindet sich die Erregerwicklung ausschließlich in der Längsrichtung. Abbildung 2.54 zeigt die schematische Anordnung der Wicklungen in Längs- und Querachse
der Synchronmaschine.
Nach [3] können nach einem Kurzschlusseintritt unterschiedliche Zustandsbereiche
dargestellt werden, die sich durch die Verkettung der unterschiedlichen Wicklungen ergeben, dieses sind:
• Subtransienter Bereich,
• transienter Bereich,
• stationärer Bereich.
2.5 Generatoren
97
G$FKVH
T$FKVH
,T
,G
8G
,I
6WlQGHUZLFNOXQJ M;T
M;I
(UUHJHUZLFNOXQJ
8T
5I
8I
,'G
M;G
5'G
5'T
M;'G
,'T
'lPSIHUZLFNOXQJ M;'T
Abb. 2.54 Darstellung der Synchronmaschine in d, q-Achsen
Im subtransienten Fall besteht die Eingangsreaktanz in der Längsrichtung aus der Streureaktanz des Ankers Xσa, der Hauptreaktanz Xhd und den Streureaktanzen der Erreger- ( Xσf)
und Dämpferwicklung ( XσDd), so dass sich nach Gl. (2.248) ergibt bzw. Abb. 2.55:
1
X d″ =X σa +
(2.248)
1/X hd +1/X σf +1/X σ Dd
Zur Vereinfachung sind in Abb. 2.55 die Resistanzen der verschiedenen Wicklungen vernachlässigt.
M;iD
M;KG
M;i I
M;i 'G
Abb. 2.55 Ersatzschaltbild der Synchronmaschine (subtransient, Längsrichtung). Xσa Ständerstreureaktanz, Xhd Hauptreaktanz (Längsrichtung), Xσf Streureaktanz der Feldwicklung, XσDd Streureaktanz der Dämpferwicklung (Längsrichtung)
98
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.56 Ersatzschaltbild der Synchronmaschine
(subtransient, Querrichtung).
Xσa Ständerstreureaktanz, Xhq
Hauptreaktanz (Querrichtung),
XσDq Streureaktanz der Dämpferwicklung (Querrichtung)
M;iD
M;KT
M;i 'T
Das äquivalente Ersatzschaltbild in Querrichtung zeigt Abb. 2.56 ohne eine Erregerwicklung, die subtransiente Querimpedanz ergibt sich nach Gl. (2.249).
X hq ⋅ Xσ Dq
X ″q =Xσ a +
(2.249)
X hq +Xσ Dq
Bei einem Ausgleichsvorgang, z. B. Kurzschluss an den Generatorklemmen, wirken die
Resistanzen der Erreger- und Dämpferwicklung, die in Reihe zu den entsprechenden
Streureaktanzen sind. Da die Resistanz Rf der Erregerwicklung kleiner als die der Dämpferwicklung RD ist, kommt es zu einem schnellen Abklingen des Stroms in der Dämpferwicklung, so dass vereinfachend Abb. 2.57 gilt.
Unter Berücksichtigung der Abb. 2.57 ergeben sich die folgenden Größen, wenn ein
Klemmenkurzschluss angenommen wird:
X hd ⋅ X σ a
X ⋅X
X D = Xσ D + σ f S
XS =
(2.250)
Xσ f ⋅ X S
X hd ⋅ X σ a
Mit der subtransienten Zeitkonstanten Td″ wird der Abklingvorgang in der Dämpferwicklung umschrieben.
XD
Td″ =
(2.251)
w ⋅ RD
Nach dem Abklingvorgang kann die Dämpferwicklung als unterbrochen angesehen werden, so dass für den weiteren Verlauf ausschließlich der Abklingvorgang in der Erregerwicklung nach Abb. 2.58 betrachtet werden kann.
Abb. 2.57 Ersatzschaltbild bei
einem Klemmenkurzschluss,
Abklingvorgang in der Dämpferwicklung. RD Resistanz der
Dämpferwicklung
M;i D
M;KG
M;i I
5'M;i'
2.5 Generatoren
99
Abb. 2.58 Ersatzschaltbild bei
einem Klemmenkurzschluss,
Abklingvorgang in der Erregerwicklung. Rf Resistanz der
Erregerwicklung
M;i D
M;KG
5IM;i I
Die transiente Eingangsimpedanz X ′d bestimmt sich ausgehend von Abb. 2.55 unter der
Bedingung, dass die Dämpferwicklung als unterbrochen angenommen wird, zu:
X ⋅X
X ′d = X σ a + hd σ f
(2.252)
X hd + X σ f
Für die Zeitkonstante Td′ folgt aus Abb. 2.58:
Xf
Td′ =
(2.253)
w ⋅ Rf
Mit
X f = Xσ f +
X σ a ⋅ X hd
X σ a + X hd
(2.254)
Der oben beschriebene transiente Vorgang geht in Abhängigkeit der Zeitkonstanten in den
stationären Betrieb über, der dem Normalbetrieb entspricht, so dass die Eingangsimpedanz gleich der Synchronreaktanz ist, Gl. (2.255).
X d = X σ a + X hd
(2.255)
In Abhängigkeit des Betriebszustands wirken im einphasigen Ersatzschaltbild unterschiedliche Spannungen, die sich aus dem Zeigerdiagramm der Synchronmaschine ergeben, Abb. 2.59. Bei dem Diagramm wird vorausgesetzt, dass die Reaktanzen in Längsund Querrichtung identisch sind.
Aus dem Zeigerdiagramm kann für die unterschiedlichen Zeitbereiche das Ersatzschaltbild nach Abb. 2.60 abgeleitet werden.
Bei einem Kurzschluss an den Klemmen der Synchronmaschine im Spannungsnulldurchgang tritt als Folge des induktiven Kurzschlussstroms ein Gleichglied auf, dessen
Zeitkonstante Ta sich nach Gl. (2.256) aus den subtransienten Reaktanzen und dem Statorwiderstand Ra bestimmt.
Ta =
X ″d + X ″q
2 ⋅ ω ⋅ Ra
(2.256)
100
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.59 Zeigerdiagramm
einer Synchronmaschine
(Resistanzen vernachlässigt)
,;G
,;¶G
(
(¶
,;´G
(¶¶
8
,
Bei einem Klemmen- oder Netzkurzschluss sowie bei einem Lastabwurf tritt das subtransiente und transiente Verhalten von Synchronmaschinen deutlich in Erscheinung. Bei
einem Klemmenkurzschluss wirken im ersten Augenblick die subtransienten Reaktanzen,
die dann von den transienten abgelöst werden. Nach dem Abklingen aller Ausgleichsvorgänge folgt der Dauerzustand. Der Ausgleichsvorgang kann bei einem dreipoligen Klemmenkurzschluss nach Gl. (2.257) beschrieben werden, mit der Klemmenspannung des
Generators UrG:
  1
 1
″
2
1 
1  − t /Td′
1 
⋅ U rG ⋅   ″ − '  ⋅ e − t /Td +  ′ −
+
 ⋅ cos( w ⋅ t )
⋅e
3
X d 
 Xd Xd 
  X d X d 
2
1 
1  1
1 
 1  1

+
⋅ U rG ⋅  − ⋅  ″ + ″  ⋅ e − t /Ta − ⋅  ″ − ″  ⋅ e − t /Ta ⋅ cos(2 ⋅ w ⋅ t )
3
2  X d X q 
 2  X d X q 

ik (t ) ≈
M;G;¶G
(
M;¶G;´G
(¶
Abb. 2.60 Ersatzschaltbild der Synchronmaschine
(´
M;´G
(2.257)
2.5 Generatoren
101
Da für Turboläufer näherungsweise gilt:
X ″d ≈ X ″q
(2.258)
Ergibt sich vereinfachend für den Kurzschlussstrom:
ik (t ) ≈
   1

1  − t /Td″  1
1  − t /Td′
1 
+ ′ −
+
 ⋅ cos ( w ⋅ t )
  ″ − ′  ⋅ e
⋅e
X d 
Xd 
2
 X
 Xd Xd 

⋅ U rG ⋅    d


3
1 − t / Ta
 − ″ ⋅e

 Xd

(2.259)
Die Gln. (2.258) und (2.259) gelten für den Fall, dass sich die Synchronmaschine vor
Kurzschlusseintritt im Leerlauf befindet. Der Klammerausdruck, der mit dem CosinusTerm verbunden ist, stellt das Abklingen der Wechselstromkomponente dar, während der
übrige Teil die Gleichstromkomponente repräsentiert.
2.5.2 Netzkurzschluss eines Generators
Wird im Gegensatz zur Darstellung nach Abschn. 2.5.1 der Beitrag eines Generators zu
einem Netzkurzschluss betrachtet, so vergrößert sich die wirksame Kurzschlussimpedanz
ZF um die Impedanz zwischen Generatorklemme und Fehlerstelle, so dass sich die folgenden Werte ergeben:
″
(2.260)
subtransient:
Z k = Ra + RF + j( X ″d + X F )
′
(2.261)
transient:
Z k = Ra + RF + j( X ′d + X F )
synchron:
Z k = Ra + RF + j ( X d + X F )
(2.262)
Die Zeitkonstanten lassen sich nach Abschn. 2.5.1 näherungsweise dadurch bestimmen,
dass der Ankerstreureaktanz Xσa die Netzreaktanz XF hinzugefügt wird, unter Vernachlässigung der Resistanz RF [3].
τ ″dF = τ ″d ⋅
1 + X F /X ″d
1 + X F /X ′d
τ DCF =
X ″d + X F
ω ⋅ ( Ra + RF )
τ ″dF = τ ″d ⋅
1 + X F /X ′d
1 + X F /X d
bei X ″d = X ″q
(2.263)
(2.264)
102
2 Darstellung der Betriebsmittel
Abb. 2.61 Vereinfachtes
Ersatzschaltbild zur Berechnung subtransienter Vorgänge
5
(´
/
&
2.5.3 Ersatzschaltbilder
Für die Nachbildung von betriebsfrequenten Vorgängen, z. B. Kurzschlussstrom, wird das
Ersatzschaltbild nach Abb. 2.60 für den subtransienten Fall verwendet. Wenn im Gegensatz hierzu Schaltvorgänge in Netzen zu betrachten sind, diese entsprechen dem Frequenzbereich 2 nach Abschn. 4.1, Tab. 4.2, ist ein hiervon abweichendes Ersatzschaltbild zu verwenden, welches auch die Kapazitäten einer Synchronmaschine berücksichtigt. Ständerwicklungen bestehen aus Spulen und da diese Spulen in Nuten verlegt sind, überwiegt in
erster Linie die Kapazität Erde-Spule gegenüber der Kapazität Spule – Spule. Aus diesem
Grunde kann der Generator als Längsinduktivität, der Längsresistanz und einer Querkapazität nachgebildet werden, so dass sich Abb. 2.61 ergibt.
Bei kurzzeitigen Ausgleichsvorgängen kann die Induktivität L nach Abb. 2.61 gleich
der subtransienten Induktivität gesetzt werden, die auch für das Gegensystem gilt. Im weiteren Verlauf verändert sich die Induktivität, so dass die Übergänge vom subtransienten
zum transienten und anschließend zum synchronen Zustand maßgebend sind. Hierbei ist
zu beachten, dass bei Netzvorgängen für die Größe der Zeitkonstanten im Gegensatz z. B.
zu Gl. (2.251) die Induktivitäten und Resistanzen des gesamten Stromkreises maßgebend
sind.
Im Allgemeinen ist die Nullinduktivität wesentlich geringer als die Mitinduktivität,
jedoch hängt die Wirksamkeit ausschließlich von der Erdung des Generators ab. Die Kapazität C1 = C2 = C0 kann aus der Eigenfrequenz der Synchronmaschine bestimmt werden.
Bei steilen Vorgängen (z. B. Blitzvorgänge) kann der Abb. 2.61 ausschließlich durch
die Kapazität C ersetzt werden.
2.5.4 Kennwerte von Generatoren
Die wesentlichen Daten von üblichen Generatoren können der Tab. 2.17 entnommen werden.
2.6 Spulen
103
Tab. 2.17 Kennwerte von Generatoren ([29], teilweise)
Reaktanzen in %/
Turbo-generatoren
Zeitkonstanten in s
9–25
Subtransiente Reaktanz
″
Schenkelpolgeneratoren
12–30
Bemerkungen
(1−1, 2) ⋅ xd″
Große Werte bei
großen Werten Sr
xd
(1−1,1) ⋅ xd″
Transiente Reaktanz
x′d
14–35
20–45
x′d ≈ 1,5 ⋅ xd″
Synchrone Reaktanz
(ungesättigt)
xd
xq
140–300
80–140
Gesättigte Werte ca.
5–20 % kleiner
Gegenreaktanz
x2
x2 ≈ 0,5 ⋅ ( xd″ +x q″ ) ≈ x d″
Nullreaktanz
x0
3–10
5–20
Subtransiente Zeitkonstante
Td″
0,02–0,03–0,05
0,02–0,053–0,1
′
Td0
5–10–15
4–6–10
Ta
0,05–0,4
0,1–0,4
TA
5–10
x″q
Transiente
Leerlauf-zeitkonstante
Gleichstromzeitkonstante
Anlaufzeitkonstante
Bei vollständiger
Dämpferwicklung
x0 ≈ (0, 4 − 0,8) ⋅ xd″
′
Tq′ ≈ Td0
⋅ xd′ /xd
Td′ = Td0′ ⋅ xd′ / xd
Ta =
x″d
ω ⋅ ra
Einschließlich
Turbine
2.6 Spulen
Spulen werden in Netzen in ihrer Funktionsweise in zwei verschiedene Gruppen unterschieden, nämlich.
• Kurzschlussstrombegrenzung und
• Kompensation.
Spulen zur Kurzschlussstrombegrenzung sind als Luftspulen ausgebildet (keine Verminderung der Reaktanz als Folge einer Sättigung), und vergrößern die Mit-, Gegen- und
Nullimpedanz eines Netzes, so dass sich die Impedanz der Kurzschlussbahn vergrößert
und damit eine Verkleinerung des Kurzschlussstroms bewirkt wird, Abb. 2.62.
Der dreipolige Kurzschlussstrom berechnet sich unter Berücksichtigung der Spule
nach Gl. (2.265) zu:
I ″k 3=
c ⋅U n / 3
ZQ + ZT + ZD
(2.265)
104
2 Darstellung der Betriebsmittel
1HW]
7UDQVIRUPDWRU
.66SXOH
6FKDOWHU
Abb. 2.62 Netzschaltbild Kurzschlussstrombegrenzungsspule
Mit
c
Un
ZQ, ZT, ZD
Spannungsfaktor nach [17]
Netznennspannung
Impedanz (Netz, Transformator, Kurzschlussstrombegrenzungsspule)
Die Impedanz der Spule ZD bestimmt sich nach Gl. (2.266), hierbei ist die Resistanz wesentlich kleiner als die Reaktanz ( RD << XD; z. B. RD = 0,03 XD).
u
U / 3
Z D = kD ⋅ n
(2.266)
100 % I rD
Mit
ukD relative Kurzschlussspannung
IrD Bemessungsstrom der Spule
Durch den Einsatz einer Kurzschlussstrombegrenzungsspule kommt es während des Betriebs in Abhängigkeit des Betriebsstroms zu einem Spannungsfall, so dass sich die Spannung an der Sammelschiene vermindert. Dieses ist tritt besonders dann auf, wenn der
Betriebsstrom induktiv ist, z. B. Einschaltstrom eines Asynchronmotors. In diesen Fällen
ist es sinnvoll, parallel zur Spule einen Is-Begrenzer (Abschn. 2.10.3.5) einzusetzen, der
im Kurzschlussfall vor Erreichen des Stoßkurzschlussstroms unterbricht, so dass eine Begrenzung möglich ist.
Abbildung 2.63 zeigt eine vereinfachte Ersatzschaltung, in der die verschiedenen verteilten Resistanzen, Induktivitäten und Kapazitäten zusammengefasst werden.
Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Spulen besitzen die Kompensationsspulen
einen Eisenkern, so dass oberhalb einer bestimmten Spannung die Reaktanz der Spule
sich vermindert. Diese Spulen dienen zur Kompensation der kapazitiven Ladeleistung von
unbelasteten Freileitungen oder Kabel (Abschn. 2.1.17) und wird entweder direkt an die
Spannungsebene angeschlossen oder an einer Dreieckswicklung eines Netztransformators. Für die Nachbildung kann das gleiche Ersatzschaltbild wie bei einer Strombegrenzungsspule verwendet werden, jedoch kann die Ersatzschaltung nach Abb. 2.63 zusätzlich
reduziert werden, da ein Ausgang der Kompensationsspule mit Erde verbunden wird, so
2.6 Spulen
Abb. 2.63 Vereinfachtes Ersatzschaltbild einer
Strombegrenzungsspule. LD
resultierende Induktivität, RD
resultierender Widerstand,
CE resultierende Kapazität
Leiter – Erde, CW resultierende
Wicklungskapazität
105
&:
5'
/'
&(
&(
Abb. 2.64 Vereinfachtes Ersatzschaltbild einer
Kompensationsspule
5.
&:
/.
dass sich Abb. 2.64 ergibt. Im Gegensatz zur Abb. 2.64 kann nach [11] auch eine Parallelschaltung der Elemente R, L und C verwendet werden.
Für eine Beurteilung der Überspannung bei der Ausschaltung von kleinen induktiven
Strömen nach Abschn. 7.2 ist der charakteristische Widerstand L / C von entscheidender
Bedeutung. Nach [25] liegt dieser Wert bei Ladestromspulen zwischen 35 und 65 kΩ,
wobei der häufigste Wert ca. 50 kΩ beträgt.
In Tab. 2.18 sind aus [11] typische Werte von Ladestromspulen dargestellt, in Abhängigkeit der Spannung und der Leistung.
Nach [28] kann die resultierende Kapazität von Spulen in der Größenordnung von einigen CW = 100 pF sein, so dass sich hieraus Eigenfrequenzen im Bereich von f0 = 10 bis
100 kHz ergeben. In der Tab. 2.19 sind einige Werte für unterschiedliche Spulen aufgeführt. Die Induktivitäten beziehen sich jeweils auf die Betriebsfrequenz. Bei Simulationen
mit höheren Frequenzen (z. B. bei Ausschaltvorgängen) sind die Induktivitäten um ca. 5
bis 10 % geringer als die angegebenen Werte bei Betriebsfrequenz.
106
2 Darstellung der Betriebsmittel
Tab. 2.18 Charakteristische Werte von Ladestromspulen nach [11]
Bemessungsspannung/kV
Bemessungsleistung/MVA
400
380
230
132
> 36–≤ 60
> 24–≤ 36
> 17,5–≤ 24
> 12–≤ 17,5
≤ 12
50–200
100
10–180
15–63
20–30
50–100
35–80
40–70
10–20
Tab. 2.19 Charakteristische Werte von Ladestromspulen nach [11]
Größe
1
2
3
4
5
Wirkverluste/kW
150–540
400
48–301
66–276
190–290
150–300
100–300
70–190
70–190
6
13,8
14,6
115
132
235
235
Ur/kV
30
34,1
25
55
120
180
Sr/MVA
60
60
60
50
60
60
fr/Hz
Kerntyp
Eisenlos Mantel Eisenlos
3-Schenkel 3-Schenkel 5-Schenkel
Schaltung Y
Y
D
Y
Y
Y
Erdung
Nein
Ja
–
Ja
Ja
Ja
∞
≈ 1
∞
0,4
≠
≈ 1
X0/X1
0,017
0,017
1,4
1,0
1,22
0,81
L1/H
2,1
10,1
2,9
1,3
1,2
2,3
C/nF
a
27,0
12,3
2,5
4,2
4,1
3,7
f0/kHz
0,75
0,88
0,99
0,9
0,80
0,99
Dämpfunga
a
der ersten Phase
Ur Bemessungsspannung, Sr Bemessungsleistung, fr Betriebsfrequenz, X0/X1 Verhältnis
tanz/Mitreaktanz, L1 Induktivität, C Kapazität, f0 Eigenfrequenz
7
400
200
50
Mantel
Y
Ja
1,0
2,55
1,9
2,3
0,93
Nullreak-
2.7 Kondensatoren
Kondensatoren zur Kompensation besitzen eine Induktivität L in Reihe zur Kapazität C,
die zusammen einen Serienschwingkreis bilden, mit einer Eigenfrequenz von f0 = 50 kHz
und darüber. Zum Schutz von steilen Spannungen, z. B. bei Motoren, werden spezielle Schutzkondensatoren verwendet, die in diesem Fall Eigenfrequenzen von f0 = 300 bis
500 kHz aufweisen.
2.8 Netz
107
2.8 Netz
Grundsätzlich besteht ein Netz aus verschiedenen Netzkomponenten, z. B. Generatoren,
Freileitungen, Kabel, Transformatoren usw., die bei Simulationen zu berücksichtigen sind.
Dieses führt jedoch dazu, dass ein erheblicher Aufwand für die Netznachbildung erforderlich ist. Im Allgemeinen ist die elektrisch nähere Entfernung z. B. bei einer Einschaltung
zu berücksichtigen, jedoch kann in vielen Fällen eine überlagerte Spannungsebene durch
einfache Elemente nachgebildet werden, wodurch das Ergebnis nicht beeinflusst werden
sollte. Hierbei sind in jedem Fall die folgenden Eigenschaften zu berücksichtigen:
• Kurzschlussimpedanz des Netzes am Anschlusspunkt, ermittelt bei Betriebsfrequenz:
Nachbildung einer Induktivität
• Haupteigenfrequenz des Netzes: Nachbildung einer Kapazität,
• Dämpfungsverhalten des Netzes bei einer Ausschaltung (Abschn. 7.5.1.3): Nachbildung einer Resistanz.
Dieses bedeutet, dass im allgemeinen Fall ein Netz nach Abb. 2.65 durch eine R/L/CSchaltung für eine einphasige Simulation nachgebildet werden kann. Diese Nachbildung
ist besonders für den Fall geeignet, wenn das Netz inklusive eines Transformators dargestellt wird, so dass der Kurzschlussstrom nahezu ausschließlich aus der Transformatorimpedanz gebildet wird.
Die Netznachbildung ist besonders für Vorgänge im Bereich Gruppe 1 und 2 nach
Tab. 4.2 (Abschn. 4.1) geeignet.
Die in der Abb. 2.65 dargestellten Elemente können durch die folgenden Gleichungen
ermittelt werden:
Z Q = RQ + jX Q
LQ =
ZQ =
c ⋅U n / 3
(2.267)
"
I kQ
ZQ
(2.268)
w ⋅ 1 + ( RQ /X Q ) 2
Abb. 2.65 Vereinfachte
Netzersatzschaltung
54
HW
/4
5'
&
108
2 Darstellung der Betriebsmittel
e(t ) =
Un
C=
RD = r·
3
(2.269)
⋅ sin( w ⋅ t )
1
(2.270)
LQ ⋅ w02
1,5 ⋅ LQ
C
r=
2
 π 2

 +1
 ln(a −1) 
(2.271)
mit
c
Un
I″kQ RQ/XQ
Spannungsfaktor nach [11]
dreiphasige Netznennspannung
Anfangs-Kurzschlusswechselstrom
R/X-Verhältnis am Anschlusspunkt
w02 a
Eigenfrequenz des Netzes
Amplitudenfaktor nach Abschn. 7.5.1.4, z. B. a = 1,4
Da in Hochspannungsnetzen im Allgemeinen ein Verhältnis R/X = 0,1 gesetzt werden
kann, ist es zulässig, in der Netznachbildung nach Abb. 2.65 auf den Wirkwiderstand RQ
zu verzichten.
Wird im Gegensatz zur Darstellung nach Abb. 2.65 angenommen, dass am Anschlusspunkt des Netzes noch Freileitungen bzw. Kabelverbindungen abgehen, wie in Abb. 2.66
dargestellt, so ist für eine Nachbildung im Spannungsbereich Gruppe 3 nach Abschn. 4.1,
die Reflexion am Anschlusspunkt zu berücksichtigen. Hierbei wird angenommen, dass
z. B. eine Zuschaltung durch den Schalter S vorgenommen wird.
Aufgrund der angeschlossenen Leitungen kann die Abb. 2.65 erweitert werden, so dass
sich Abb. 2.67 ergibt. Der Widerstand RL ergibt sich hierbei aus dem resultierenden Wanderwellenwiderstand der angeschlossenen Leitungen.
/HLWXQJHQ
1HW]
7UDQVIRUPDWRU
6
Abb. 2.66 Netzschaltbild mit Leitungen
2.9 Asynchronmotoren
109
Abb. 2.67 Erweiterte Netzersatzschaltung nach Abb. 2.66
54
/4
5'
HW
5/
&
Die in Abb. 2.67 dargestellte Netzersatzschaltung ist nicht für Berechnungen mit Netzfrequenz zu verwenden, da als Folge des ohmschen Widerstandes RL sich ein falscher
Lastfluss ergibt.
2.9 Asynchronmotoren
Für den Einschaltvorgang eines Asynchronmotors kann das Ersatzschaltbild nach
Abb. 2.68 verwendet werden. Es besteht hierbei aus den Streureaktanzen des Ständers Xσ1
und des Läufers Xσ2, der Hauptreaktanz XH und des Wirkwiderstands R2/s. Hierbei ändert
sich der Schlupf zwischen den Werten s = 1 (Stillstand) und s = 0 (Normalbetrieb).
Der Schlupf nach Abb. 2.36d berechnet sich nach Gl. (2.272) zu:
nsyn − n
s=
(2.272)
nsyn
Mit
nsyn synchrone Drehzahl des Drehfeldes
n
tatsächliche Drehzahl des Läufers
Bei der Zuschaltung eines Asynchronmotors gilt für den Schlupf s = 1, so dass das Ersatzschaltbild Abb. 2.68 gleich einem kurzgeschlossenen Transformator entspricht. Für die
Impedanz ergibt sich somit allgemein nach Abb. 2.68:
Abb. 2.68 Ersatzschaltbild
eines Asynchronmotors
5
8
&0
M;i
M;i M;+
5 V
8
110
2 Darstellung der Betriebsmittel
Z M ≈ R1 + R2 /s + j ( X σ 1 + X σ 2 )
(2.273)
Hierbei wird die Hauptreaktanz nach Abb. 2.68 vernachlässigt. Nach [4] kann der Anlaufstrom das 4- bis 7-fache des Bemessungsstroms Ir erreichen, wobei der höhere Wert bei
größeren Leistungen auftritt.
Der Betrag der Impedanz des Motors bestimmt sich nach Gl. (2.274) unter Vernachlässigung der Hauptreaktanz und der Eingangskapazität CM (Erdkapazität der Eingangsspule) aus den Angaben, die vom Hersteller angegeben werden, zu:
ZM =
U rM
U2
1
1
⋅
=
⋅ rM
I LR /I RM 3 ⋅ I rM
I LR /I RM SrM
(2.274)
Mit
UrM
IrM
ILR
SrM
Bemessungsspannung
Bemessungsstrom
Anlaufstrom
Bemessungsscheinleistung
Wird im Gegensatz hierzu der Motor auf Bemessungsdrehzahl durch einen Antrieb beschleunigt und dann erst elektrisch zugeschaltet, so ist der Sekundärkreis wegen s = 0 unendlich, so dass ausschließlich die Hauptinduktivität wirkt. Der Einschaltstrom entspricht
dann dem Rush-Strom eines zugeschalteten Transformators.
Für das R/X-Verhältnis können die folgenden Werte genommen werden, wenn keine
Angaben des Herstellers bekannt sind [17]:
• R/X = 0,1 bei Hochspannungsmotoren mit einer Wirkleistung je von ≥ 1 MW
• R/X = 0,15 bei Hochspannungsmotoren mit einer Wirkleistung je von < 1 MW
• R/X = 0,42 bei Niederspannungsmotoren
Die oben angegebenen R/X-Verhältnisse gelten für den Fall, dass der Asynchronmotor im
Kurzschluss betrieben oder eingeschaltet wird.
Im Gegensatz hierzu ist im Normalbetrieb der Schlupf klein, so dass am Widerstand
R2/s die Spannung U2 abfällt. Diese Spannung ist kleiner als die an den Klemmen anliegende Netzspannung U1 und ist bei der Abschaltung bzw. bei einem Kurzschluss eines
Motors wirksam.
Zusätzlich zur Darstellung nach Abb. 2.68 ist an den Klemmen eine Kapazität gegen
Erde wirksam, wie dieses ebenso bei Transformatoren der Fall ist. Die Berücksichtigung
der Kapazität ist dann notwendig, wenn Spannungsvorgänge der Gruppe 1 nach Tab. 4.2
(Kap. 4) nachgebildet werden sollen.
2.10 Schaltgeräte
111
Tab. 2.20 Typische Werte von Wellenwiderständen ZW [10]
Wirkleistung/kW
Bemessungsspannung/kV
100
3
6
3
6
10
1000
Wellenwiderstand/kΩ
2–4
3–8
0,5–1
0,9–2
3
Für Abschaltvorgänge kann der folgende Wellenwiderstand ZW verwendet werden:
L + Lσ 2
ZW = σ1
(2.275)
CM
Mit
Lσ1, Lσ2
CM
Streuinduktivität der Primär- bzw. Sekundärwicklung, Abb. 2.68
Erdkapazität des Motors, Abb. 2.68
Nach [10] hat der Wellenwiderstand ZW folgende Werte in Abhängigkeit der Motordaten,
Tab. 2.20.
Im Prinzip weicht der oben angegebene Wellenwiderstand ZW für Schaltvorgänge mit
steilen Anstiegszeiten, zum Beispiel bei der Nachbildung von Einschaltvorgängen unter
Berücksichtigung der Wanderwellenvorgänge, von dem dann relevanten Widerstand Zi ab,
da in diesem Fall nur ein Teil der gesamten Erdkapazität des Motors wirkt. Messungen
haben jedoch ergeben, dass die Werte nicht stark voneinander abweichen [10]. Darüber
hinaus kann bei diesen Simulationen der Motor als ein offenes Ende nachgebildet werden.
2.10 Schaltgeräte
Schaltgeräte dienen der Unterbrechung von Stromzweigen und im Folgenden werden ausschließlich Wechselstromschaltgeräte für Spannungen Un > 1 kV betrachtet. Gleichstromschalter stehen prinzipiell zur Verfügung – auch für hohe Spannungen. Diese sind jedoch
aufgrund der fehlenden Stromnulldurchgänge technisch aufwendiger und somit kostspieliger. Dieses hat zur Folge, dass z. B. bei Zweipunkt-HGÜ-Verbindungen auf der Drehstromseite geschaltet werden, bzw. die Umrichter so geregelt werden, dass kein Beitrag
zum Kurzschlussstrom erfolgt.
Das Schalten bzw. Schaltverhalten von Hochspannungs-Leistungsschaltern, Trennund Erdungsschaltern wird ausführlich in den Kap. 7 bis 9 dargestellt.
112
2 Darstellung der Betriebsmittel
2.10.1 Einteilung der Schaltgeräte
Grundsätzlich werden die Schaltgeräte aufgrund des Aufbaus und der Funktion in unterschiedliche Klassen eingeteilt:
• Leistungsschalter (Abschn. 2.10.3.1) müssen folgende Ströme unterbrechen:
Kurzschlussströme (cosφ ≥ 0,1): Hierzu gehören der Klemmenkurzschluss, der Abstandskurzschluss, Kurzschlüsse bei Phasenopposition und die Kurzunterbrechung
bzw. automatische Wiedereinschaltung (AWE),
Bemessungsströme (cosφ ≥ 0,7),
Betriebsströme (cosφ < 0,1): Kapazitive Ströme von Leitungen, Kabeln, Kondensatoren; induktive Ströme von Transformatoren, Spulen, Motoren.
• Lastschalter (Abschn. 2.10.3.2) unterbrechen alle Betriebsströme bis zu ihrem Bemessungsstrom mit einem Leistungsfaktor cosφ ≥ 0,7. Darüber hinaus können Lastschalter
kleine induktive und kapazitive Ströme schalten.
• Lasttrennschalter sind Lastschalter, die nach dem Ausschaltvorgang eine Trennstrecke
herstellen.
• Trennschalter (Abschn. 2.10.3.3) stellen nach dem Ausschaltvorgang eine Trennstrecke
her. Hierbei sind grundsätzlich zwei Schaltfälle zu unterscheiden:
− Die wiederkehrende Spannung entspricht der Bemessungsspannung. In diesem
Fall ist nur eine Unterbrechung kleiner Ströme möglich, z. B. Sammelschienenabschnitte, Wandler.
− Die wiederkehrende Spannung beträgt maximal 0,3…0,4 kV. In diesem Fall ist eine
Unterbrechung bis zum Bemessungsstrom möglich, z. B. Sammelschienenwechsel.
• Erdungsschalter sind Schaltgeräte zum Erden und Kurzschließen von ausgeschalteten
Betriebsmitteln bzw. Anlagen. Das Schaltverhalten entspricht dem des Trennschalters.
• Sicherungen (Abschn. 2.10.3.4) sind Überstromschutzgeräte, bei denen die Strombahn
durch Abschmelzen eines Schmelzleiters unterbrochen wird. Die Schmelzwärme wird
durch den durchfließenden Kurzschlussstrom erzeugt.
2.10.2 Schaltlichtbogen
Ein Schaltlichtbogen kann in drei verschiedene Bereiche eingeteilt werden:
• Kathodenfall (Gebiet positiver Raumladung)
• Bogensäule (Gebiet konstanter Feldstärke)
• Anodenfall (Gebiet negativer Raumladung).
Der wesentliche Teil des Lichtbogens stellt die Bogensäule (Plasma) dar. Die Feldstärke
hängt vom Druck, von der Gasart und von den Kühlungsbedingungen ab. Sie beträgt
2.10 Schaltgeräte
113
• 2 V/mm bei einem frei brennenden Bogen
• 10 V/mm bei einem angeströmten Bogen.
Die schmalen Raumladungsgebiete (λ ≈ 10−6 m) vor den Elektroden können bei Hochspannungsschaltern aufgrund der geringen Lichtbogenspannung ( UL < 10 V) vernachlässigt werden.
In der Nähe des Stromnulldurchgangs kühlen sich die ionisierten Gase ab. Als Folge
der Trägheit des Bogenleitwertes bildet sich eine Restleitfähigkeit aus, die unter Berücksichtigung der wiederkehrenden Spannung zu einem Nachstrom führt. Ist die Wärmeleistung dieses Nachstroms größer als die abgeführte Wärme des Restkanals kommt es
zu einer Wiederzündung. Durch eine intensive Kühlung in den Löschkammern verliert
das Plasma seine Leitfähigkeit, so dass eine Wiederzündung vermieden werden kann. Im
Gegensatz zu diesem Vorgang werden mit dem Begriff Rückzündungen die Neuzündungen umschrieben, die nach einer stromlosen Pause von mehr als einer Viertelperiode auftreten.
2.10.3 Bauformen von Schaltgeräten
Als Folge der unterschiedlichen Aufgaben der Schaltgeräte ist es sinnvoll, angepasste
Gerätetypen zu entwickeln, die diesen Aufgaben auch in wirtschaftlicher Sicht gerecht
werden.
2.10.3.1 Leistungsschalter
Ölschalter Bis etwa 1930 wurden Hochspannungsleistungsschalter ausschließlich als
Kesselölschalter gebaut. Hierbei diente das Öl zur Isolation und zur Lichtbogenlöschung.
Der Schaltlichtbogen erhitzt das Öl in seiner Umgebung (Gas) und verursacht dadurch
eine Ölströmung, die die Lichtbogenlöschung bewirkt. Die durch den Lichtbogen entstehende Gasmenge wird im Schalterkopf gesammelt und entweicht über Ventile ins Freie.
Ein Pol eines 220-kV-Ölschalters enthält z. B. 20 t, so dass die Umwelteinflüsse bei einem
Schalterversagen erheblich sind.
Im Gegensatz zu den Kesselölschaltern haben die ölarmen Schalter nur ein geringes
Ölvolumen, welches ausschließlich in der Löschkammer ist. Diese Schalter sind noch
häufig im Einsatz.
Druckluftschalter Bis Ende der siebziger Jahre waren Druckluftschalter mit komprimierter Luft als Lösch-Isolier- und Antriebsmittel weit verbreitet. Die Druckluft wird in Behältern gespeichert und im Schaltfall in die Lichtkammer geblasen. Kompressoren saugen die
Luft aus der Umgebung an, die anschließend gereinigt und getrocknet werden muss. Während des Ausschaltvorgangs wird die komprimierte Luft an die Umgebung abgegeben.
Die Arbeitsdrücke liegen bei 15 bis 30 bar, so dass die Luft in den Löschdüsen Schallge-
114
2 Darstellung der Betriebsmittel
schwindigkeit erreicht. Aufgrund der großen Lärmentwicklung werden Druckluftschalter
immer seltener eingesetzt.
SF6-Schalter Bei einem SF6-Leistungsschalter stellt SF6 sowohl das Isoliermittel als auch
das Löschmedium dar. Die Löscheinheit besteht aus einem Festkontakt und einem beweglichen Kontakt mit einem Blaszylinder.
Während des Ausschaltens wird das Volumen des Blaszylinders verkleinert und damit
der Druck des eingeschlossenen Gases erhöht, bis der Festkontakt und der bewegliche
Kontakt sich trennen. Durch die Trennung der Kontakte entsteht ein Lichtbogen, der eine
weitere Druckerhöhung bei großen Strömen bewirkt, so dass das komprimierte Gas ausströmen kann, den Lichtbogen bebläst und ihm Energie entzieht.
Bei höheren Spannungsebenen können jeweils mehrere Schalterpole in Reihe geschaltet werden. Zur besseren Spannungsaufteilung auf die einzelnen Löschkammern sind
Steuerkondensatoren erforderlich.
Vakuumschalter Aufgrund der hohen Durchschlagsfestigkeit und der großen Wiederverfestigungsgeschwindigkeit des Vakuums benötigt man bei diesen Schaltern nur kleine
Kontaktabstände. Die mechanische Lebensdauer des Schalters liegt im Allgemeinen bei
20.000 bis 30.000 Schaltspielen. Der Vakuumschalter ist der zur Zeit überwiegend eingesetzte Mittelspannungsleistungsschalter.
2.10.3.2 Lastschalter
Aus wirtschaftlichen Gründen werden häufig Lastschalter anstelle von Leistungsschaltern
eingesetzt, wobei der Kurzschlussschutz von übergeordneten Leistungsschaltern oder Sicherungen (im MS-Bereich) wahrgenommen werden muss. Außer dem Lastschalter kommen auch Lasttrennschalter mit einer sichtbaren Trennstrecke in ungeöffneter Schaltstellung zum Einsatz. Lastschalter werden in steigender Anzahl in GIS-Anlagen eingesetzt.
2.10.3.3 Trennschalter, Erdungsschalter
Trennschalter sollten stets verriegelt sein, so dass sie nicht Betriebsströme bei voller Netzspannung schalten. In Abhängigkeit von der Anwendung der Trennschalter in den einzelnen Schaltanlagen gibt es unterschiedliche Bauformen. Die Hauptaufgabe eines Trennschalters besteht in der Herstellung einer sichtbaren Trennstrecke zwischen spannungsführenden und nicht spannungsführenden Anlageteilen.
Im gleichen Sinne wirkt auch ein Erdungsschalter, der diese Trennstrecke zwischen
einem Anlagenteil und Erde herstellt.
2.10.3.4 HH-Sicherungen
Sicherungen dienen in MS/NS-Netzen als Kurzschlussschutz und unter Umständen auch
als Überlastschutz. Sicherungen sind Schaltgeräte, deren Strombahn unterbrochen wird
und die nach jeder Abschaltung ausgewechselt werden müssen. Der Schmelzleiter üblicher Sicherungen besteht aus einem oder mehreren Drähten aus Kupfer oder aus Silber.
2.11 Zusammenfassung
115
Dieser Schmelzleiter wird von Füllmaterial (Quarzsand) umgeben, der den entstehenden
Lichtbogen kühlt. Die Schmelzzeit einer Sicherung hängt sowohl von dem durchflossenen Strom als auch vom Bemessungsstrom der Sicherung ab. Für jeden Bemessungsstrom lässt sich der Scheitelwert des Durchlassstroms ablesen, auf den die Sicherung den
unbeeinflussten Kurzschlussstrom begrenzt. Dieser Durchlassstrom ist dann der für die
Dimensionierung der Schaltanlage maßgebende Strom. Bei der Auswahl der SicherungsBemessungsströme sind folgende Regeln zu beachten:
•
•
•
•
•
Anlaufstrom und -zeit von Motoren
Häufigkeit von Schalthandlungen (Abkühlverhalten)
Selektivität
Kurzschlussfestigkeit von Anlagen
Einschaltströme von Kondensatoren
2.10.3.5 IS-Begrenzer
IS-Begrenzer sind Schaltgeräte, die Stromkreise in kurzer Zeit auftrennen ( t < 1 ms)
und den Strom auf eine parallel angeordnete Quarzsandsicherung kommutieren. Der ISBegrenzer besteht aus einem Rohrstück, in dem im Inneren sich eine Sprengkapsel befindet, die mit Hilfe eines Zündgerätes durch Entladung eines Kondensators gesprengt wird.
Aufgrund des bei der Sprengung auftretenden hohen Druckes wird der Hauptstromkreis unterbrochen. Die parallele Sicherung, die für eine kleinere Bemessungsstromstärke
ausgelegt ist, begrenzt und löscht den Kurzschlussstrom. Da die Ausschaltverzögerung
sehr klein ist, ist der Durchlassstrom der Sicherung sehr gering, so dass für die Dimensionierung der Anlage der über den IS-Begrenzer fließende Kurzschlussstrom nicht berücksichtigt werden muss.
2.11 Zusammenfassung
Die Simulation verschiedener Netz- und Schaltvorgänge erfordert eine ausreichende
Nachbildung der unterschiedlichen Betriebsmittel. Hierbei ist in einem besonderen Maße
darauf zu achten, welche Ergebnisse erwartet werden. Dieses bedeutet, dass z. B. in einer
Berechnung nur die Eigenfrequenzen erwartet werden können, wenn auch eine entsprechende Nachbildung mit Hilfe von Induktivitäten und Kapazitäten vorliegt.
In diesem Abschnitt werden ausführlich die folgenden Betriebsmittel betrachtet:
• Freileitung – Kabel – Transformatoren
während die weiteren Betriebsmittel insofern betrachtet werden, wie deren Nachbildung
für die Darstellung der Vorgänge ausreichend ist, hierzu gehören:
116
2 Darstellung der Betriebsmittel
• Generatoren – Spulen – Kondensatoren – allgemeines Netz – Asynchronmotoren –
Schaltgeräte.
Das Verhalten der Schaltgeräte bei den unterschiedlichen Schaltvorgängen wird ausführlich in den Kap. 7 bis 9 dargestellt.
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