F p pu

Aufgabe 2.1
F
a) Aus dem Kräftegleichgewicht am Kolben errechnet
sich der Druck im Zylinder
p1 = pu +
pu
F1
A
Kontrolle der Dimension und Zahlenwerte:
p
N
− 1800 N
F1
= 0, 01 · 106 Pa
p1 = pu +
= 1 · 105 2 +
A
m
200 · 10−4 m2
Aus der Stoffdatentabelle findet man, dass bei diesem Druck bei der Temperatur ϑ1 überhitzter
Dampf vorliegt. Die beiden unabhängigen Zustandsgrößen p1 und ϑ1 bestimmen eindeutig alle
anderen Zustandsgrößen (Zustandspostulat).
Das spezifische Volumen ist laut Tabelle (lineare Interpolation):
v1 =
v(50 ◦ C)
= 14, 869
m3
kg
+
v(100 ◦ C) − v(50 ◦ C)
10 ◦ C
100 ◦ C − 50 ◦ C
+
17, 196 − 14, 869
m3
m3
10
= 15, 3344
.
50
kg
kg
Damit errechnen sich Volumen V1 und die Höhe h1 aus
V1 = m v 1 ,
h1 =
V1
m v1
=
.
A
A
Kontrolle der Dimension und Zahlenwerte:
m3
≈ 6, 134 · 104 cm3 ,
kg
V1 = 4 · 10−3 kg 15, 3344
h1 =
V1
6, 134 · 104 cm3
=
≈ 3, 067 m
A
200 cm2
b) Erreichen der Taulinie für Wasser. Es liegt gesättigter Dampf vor. Aus der Stoffdatentabelle
findet man für eine Temperatur ϑ = 60 ◦ C einen Druck
p2 = ps (ϑ) = 19, 94 · 102 Pa = 0, 01994 MPa.
(
)
Damit gilt für die Kraft auf den Kolben: F⃗2 = p2 − pu A
Zahlenwert: F2 ≈ −1601 N
Das negative Vorzeichen gibt an, dass immer noch am Kolben gezogen werden muss.
Die Position des Kolbens in diesem Moment ist
h2 = h1
v ′′ (ϑ)
7, 671
v2
= h1
= 3, 06688 m
≈ 1, 534 m.
v1
v1
15, 3344
c) Im Nassdampfgebiet sind Druck und Temperatur gekoppelt (Dampfdruckkurve). Bis zum
Erreichen der vollständigen Kondensation bleibt deshalb der Druck und damit auch die Kraft
konstant. Damit gilt für die Kraft auf den Kolben:
F⃗3 = F⃗2
Zahlenwert: F3 ≈ −1601 N
Das Volumen verringert sich aber weiter. Aus der Tabelle für den Sättigungszustand (siedendes
Wassser) liest man das spezifisches Volumen ab:
v3 = v ′ (ϑ)
Zahlenwert: v3 ≈ 0, 001017
1
m3
kg
Die eingeschlossene Masse des Wassers ändert sich nicht. Daher gilt:
V3 = v3 m ,
V3
A
h3 =
Zahlenwerte: V3 ≈ 4 cm3 ,
h3 ≈ 0, 2 cm
d) Wird das Volumen weiter verkleinert, wird das Regime unterkühlter Flüssigkeit erreicht mit
Zahlenwert: v4 ≈ 0, 00100683
v4 = 0, 99 v3
m3
.
kg
Nach der Tabelle für unterkühlte Flüssigkeit liegt der Druck zwischen 200 bar und 300 bar.
Lineare Interpolation liefert:
p4 = 200 MPa +
(
)
300 MPa − 200 MPa
◦
v
−
v(200
MPa,
60
C)
4
v(300 MPa, 60 ◦ C) − v(200 MPa, 60 ◦ C)
= 200 MPa + 100 MPa
1, 00683 − 1, 0084
≈ 237, 4 MPa.
1, 0042 − 1, 0084
e)
v
p
p
x=1
T = const
p4
4
Taulinie
p4
K
K
4
v1
1
v2
2
p = const
Taulinie
p,T = const
2
p,T = const
p2=p3
p1
3
1
T = const
Siedelinie
p2=p3
p1
2,3
1
K
3
v3
v4
4
x=0
x=0
Siedelinie
Dampfdruckkurve
x=1
v4 v3
v2 v1
p = const
v
T1
T
T1
T
f) Der Dampfgehalt x ist definiert als das Verhältnis der Masse an Dampf (m′′ ) zur Gesamtmasse
Dampf und Flüssigkeit (m′ ):
m′′
x= ′
m + m′′
Alle Zustandsgrößen reiner Stoffe setzen sich einfach entsprechend der Massenanteile additiv
zusammen. Es gilt also für das Volumen, die innere Energie und die Entropie:
V = m′ v ′ + m′′ v ′′
(
)
(
)
= m (1 − x) v ′ + x v ′′
U = m′ u′ + m′′ u′′ = m (1 − x) u′ + x u′′
S = m′ s′ + m′′ s′′
(
= m (1 − x) s′ + x s′′
= mv
= mu
)
= ms
Zahlenwerte für die gegebene Siedetemperatur von ϑs = 60 ◦ C und Dampfgehalt x = 0, 3:
(
)
(
)
(
)
V = m (1 − x) v ′ + x v ′′
U = m (1 − x) u′ + x u′′
S = m (1 − x) s′ + x s′′
(
) m3
= 4 · 10−3 kg 0, 7 · 0, 001017 + 0, 3 · 7, 671
(
= 4 · 10−3 kg 0, 7 · 251, 11
(
= 4 · 10−3 kg 0, 7 · 0, 8311
2
= 9, 208 dm3
kg
) kJ
+ 0, 3 · 2456, 6
= 3, 651 kJ
kg
) kJ
J
+ 0, 3 · 7, 907
= 11, 815
kg K
K
g) Vereinfachende Annahmen (einige wesentliche!):
1. Das Gewicht des Kolbens ist vernachlässigt worden.
2. Der Kolben muss reibungsfrei im Zylinder laufen können, sonst ist kein eindeutiger Zusammenhang zwischen den Kräften auf den Kolben und dem Zylinderdruck gegeben.
3. Die Zustandstabellen gelten für homogene Zustände. Es muss dem eingeschlossenen
Wasser genügend Zeit gegeben werden, dass sich stationäre Zustände einstellen (quasistatische Zustandsänderungen, eigentlich unendlich langsam).
4. Das Wärmebad muss groß genug sein, damit sich seine Temperatur nicht ändert (eigentlich
unendlich groß).
5. Ein Schwerefeld würde zu einem inhomogenen Druck im Zylinder führen. Damit dieser
Einfluss gering bleibt, sollte, wenn das Schwerefeld senkrecht gerichtet ist, die Höhe h
klein sein.
6. Die Definition homogenen Drucks und spezifischen Volumens setzt eine große Anzahl
von Wassermolekülen voraus. Die Masse an Wasser muss deshalb bezogen auf das zur
Verfügung stehende Volumen groß genug sein, sonst wirkt sich die Granularität der Materie aus (Kontinuumshypothese muss gelten).
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